Методы математического моделирования и...

of 220 /220

Upload: vuonghuong

Post on 08-Dec-2016

231 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Page 1: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Êàðåëüñêèé íàó÷íûé öåíòðÐîññèéñêîé àêàäåìèè íàóêÈíñòèòóò ïðèêëàäíûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé

Karelian Research Center ofthe Russian Academy of Sciences

Institute of AppliedMathematical Research

Page 2: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

ÒÐÓÄÛ ÈÍÑÒÈÒÓÒÀ ÏÐÈÊËÀÄÍÛÕ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ

Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ

è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè

Âûïóñê 7

Ïåòðîçàâîäñê2006

Page 3: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

PROCEEDINGS OF THE INSTITUTE OFAPPLIED MATHEMATICAL RESEARCH

Methods of mathematical modelingand information technologies

Volume 7

Petrozavodsk2006

Page 4: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Редакционная коллегия:

В.В.Мазалов (главный редактор), д.ф.-м.н., проф. Ю.Л.Павлов, д.ф.-м.н., проф. Ю.В.Заика, д.ф.-м.н., проф. В.Т.Вдовицын, к.ф.-м.н., доцент В.А.Лебедев, к.э.н., ст.н.с. А.В.Соколов, к.ф.-м.н., доцент Т.П.Тихомирова (ответственный за выпуск), к.т.н. доцент

ISBN 5-9274-0257-7 © Карельский научный центр РАН, 2006 © Институт прикладных математических

исследований КарНЦ РАН, 2006

Page 5: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ñîäåðæàíèå

Ïðåäèñëîâèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ðàçäåë I. ÌÅÒÎÄÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß

Àáàêóìîâ Þ. Ã., Áàíèí Ì. Â. Î ìíîæåñòâàõ ñõîäèìîñòè, ãà-

ðàíòèðóåìîé òåîðåìàìè òåñòîâîãî òèïà. . . . . . . . . . . . . . . . . 13Èâàíîâ À. Ï., Îñòîâ Þ. ß. Äâîéñòâåííîñòü è ïðèíöèï ðàñ-

øèðåíèÿ â çàäà÷å äèíàìèêè ïîëåòà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ïîïîâ Â. Â. Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîìàññîïåðåíî-

ñà â ãèäðèäíîì àêêóìóëÿòîðå âîäîðîäà. . . . . . . . . . . . . . . . . 35Ïîïîâ Â. Â., Ñåìèí Ï. À. Ðåàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷

ìîäåëèðîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ âîäîðîäà ñ òâåðäûì òå-ëîì â ñïåöèàëüíîì ïðîãðàììíîì êîìïëåêñå. . . . . . . . . . . . 47

Ñòàôååâ Ñ. Â. Î ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèöèðóåìîñòè

ìîäåëè ôàêòîðíîãî àíàëèçà ñ çàâèñèìûìè ôàêòîðàìèè îñòàòêàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Òàðàðèí Â. Ì., ×åïëþêîâà È. À. Î äåéñòâèè ñëó÷àéíîãî

s�îòîáðàæåíèÿ êîíå÷íîé áóëåâîé ðåøåòêè. . . . . . . . . . . . . 80Ôàëüêî À. À. Èãðà íàèëó÷øåãî âûáîðà ñ âîçìîæíîñòüþ îò-

êàçà îò ïðåäëîæåíèÿ è ïåðåðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿò-íîñòåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Õâîðîñòÿíñêàÿ Å. Â. Î âîçíèêíîâåíèè ãèãàíòñêîãî ϕ�ïðè-ìèòèâíîãî èäåàëà ñëó÷àéíîãî àâòîìîðôèçìà ϕ êîíå÷-íîé áóëåâîé ðåøåòêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

×åðíîâ È. À. Ñõîäèìîñòü ñåòî÷íûõ àïïðîêñèìàöèé ðåøå-íèÿ êðàåâîé çàäà÷è ñ íåëèíåéíûì ãðàíè÷íûìè óñëîâè-åì è ïîäâèæíîé ãðàíèöåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Ðàçäåë II. ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ

Áîðîäèíà À. Â., Ìîðîçîâ Å. Â. Äîâåðèòåëüíîå îöåíèâàíèå

âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà íà îñíîâå óñêîðåí-íîãî ðåãåíåðàòèâíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ñèñòåìûM/M/1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Êèñåëåâà Í. Ñ. Îá îäíîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ãðàôà "Èíòåð-íåò" òèïà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Êóêèí Â. Ä. Êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì äëÿ ïî-

òîêîâîé çàäà÷è Øòåéíåðà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Page 6: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

6

Ëàçóòèíà À. À. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ñòåêàìèâ ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé.. . . . . . . . . 154

Ïå÷íèêîâ À. À. Çàäà÷à ðàöèîíàëüíîãî ðàçìåùåíèÿ ññûëîêâ ðåãëàìåíòèðóåìîé ëîêàëèçîâàííîé ñèñòåìå èíòåðíåò-ðåñóðñîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Ðîä÷åíêîâà Í. È. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿÒÄÑ-ñïåêòðà äåãèäðèðîâàíèÿ ìåòàëëîâ ñ ó÷åòîì òåïëî-ïîãëîùåíèÿ è ñæàòèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Ðåòòèåâà À.Í., Ðîäèîíîâ À.Â.Ìîäåëèðîâàíèå ýêîíîìè÷åñ-êèõ îòíîøåíèé â ëåñíîì êîìïëåêñå Ðåñïóáëèêè Êàðå-ëèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Ùåðáàê Ì. Ï. Ïðèìåíåíèå ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ìåõàíèêè òâåðäîãî äåôîðìè-ðóåìîãî òåëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Abstracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Page 7: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Table of Contents

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Section I. METHODS OF MATHEMATICAL MODELLING

AbakumovY.G., BaninM.V. On sets of convergences guaran-

teed by test type theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ivanov A.P., Ostov Yu.Ya. Duality and principle of expansion

in the problem of dynamics of flight. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26PopovV.V. Modelling of heat-mass transfer processes in hyd-

ride accumulator of hydrogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35PopovV.V., SeminP.A. Implementation and use of modelling

problems of hydrogen interaction with solids in special

software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Stafeev S.V. On the parameter identifiability of a factor ana-

lysis model with correlated residuals and correlated factors. 63TararinV.M., Cheplyukova I.A. On the action of a random

s�mapping of a finite Boolean lattice.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80FalkoA.A. A best-choice game with the possibility of an appli-

cant refusing an offer and with redistribution of proba-

bilities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87KhvorostyanskayaE.V. On emergence of the giant ϕ�primi-

tive ideal of a random automorphism ϕ of a finite Boolen

lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Chernov I.A. Convergence of the lattice approximations of the

solution to the boundary-value problem with nonlinear

boundary condition and moving bound. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Section II. COMPUTER SCIENCE

BorodinaA.V., MorozovE.V. Overflow probability estimation

with acce lerated regeneration simulation in the queue

M/M/1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

KiselevaN.S. On an "Internet" type random graph model. . . . . 136KukinV.D. A composite evolutionary algorithm for solving

the weighted Steiner tree problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Page 8: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

8

LazutinaA.A. On the problem of optimal control of three pa-rallel stacks in bounded space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

PechnikovA.A. The problem of rational allocation of links ina controlled and localized Internet-resource system. . . . . . . . 176

RodchenkovaN.I. A differences scheme for modelling the TDS-spectrum of dehydriding of metals with heat absorption anda size reduction effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

RettievaA.N.,RodionovA.V. The model of dynamic game offorest resources management problem is constructed. . . . . . 199

ShcherbakM.P. Parallel computing in application to analysisof some problems in mechanics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Abstracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Page 9: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ïðåäèñëîâèå

Íàñòîÿùèé ñáîðíèê ñòàòåé ïðîäîëæàåò ñåðèþ ðàáîò Èíñòè-

òóòà ïðèêëàäíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé Êàðåëüñêîãî íà-

ó÷íîãî öåíòðà ÐÀÍ. Îí èçäàåòñÿ â þáèëåéíûé äëÿ Êàðåëüñêîãî

íàó÷íîãî öåíòðà ÐÀÍ ãîä, ÊàðÍÖ èñïîëíÿåòñÿ 60 ëåò.

Ðàçäåë, êàñàþùèéñÿ ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ,

ñîäåðæèò ðÿä ðàáîò, ïðåäñòàâëåííûõ íà Ðîññèéñêî-Ñêàíäèíàâñ-

êîì ñèìïîçèóìå "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ïðèêëàäíàÿ âåðîÿò-

íîñòü", êîòîðûé ñîñòîÿëñÿ â Ïåòðîçàâîäñêå 26-31 àâãóñòà 2006 ã.,

à òàêæå íà Ðîññèéñêî-Ôèíñêîé øêîëå-ñåìèíàðå "Äèíàìè÷åñêèå

èãðû è ìíîãîêðèòåðèàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ", êîòîðàÿ ñîñòîÿëàñü â

Ïåòðîçàâîäñêå 2-7 ñåíòÿáðÿ 2006ã. Ïðîâåäåíèå ýòèõ íàó÷íûõ ìå-

ðîïðèÿòèé áûëî ïîääåðæàíî Ðîññèéñêèì ôîíäîì ôóíäàìåíòàëü-

íûõ èññëåäîâàíèé (ïðîåêòû 06-01-10090, 06.01.10123) è Ïðåçèäè-

óìîì ÐÀÍ ïî ïðîãðàììå "Ïîääåðæêà ìîëîäûõ ó÷åíûõ".

Ðàçäåë, ïîñâÿùåííûé èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì, ñîäåð-

æèò ðÿä ðàáîò, êîòîðûå äîêëàäûâàëèñü íà ìåæäóíàðîäíîé êîí-

ôåðåíöèè "Ðàçâèòèå âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè â Ðîññèè è ñòðà-

íàõ áûâøåãî ÑÑÑÐ: èñòîðèÿ è ïåðñïåêòèâû", êîòîðàÿ ñîñòîÿëàñü

â Ïåòðîçàâîäñêå 3-7 èþëÿ 2006 ã.

Äèðåêòîð Èíñòèòóòà ïðèêëàäíûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé,

ä.ô.-ì.í., ïðîô. Â.Â.Ìàçàëîâ

Page 10: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7
Page 11: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ðàçäåë I. Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî

ìîäåëèðîâàíèÿ

Section I. Methods of Mathematical

Modelling

Page 12: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Section I. Methl

Page 13: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ Âûïóñê 7, 2006ÓÄÊ 517.51Î ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÕ ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ, �À�ÀÍÒÈ�ÓÅÌÎÉÒÅÎ�ÅÌÀÌÈ ÒÅÑÒÎÂÎ�Î ÒÈÏÀÞ. �. ÀÁÀÊÓÌÎÂ, Â. �. ÁÀÍÈÍ�àññìîòðåíû ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå C[a; b℄, íà êîòî-ðûõ èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèíåéíûõ îïå-ðàòîðîâ íåêîòîðûõ êëàññîâ íà òåñòîâîì ìíîæåñòâå ñëå-äóåò ñõîäèìîñòü ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è íà âñåììíîæåñòâå. Ïîêàçàíî, ÷òî ðàñøèðèòü ýòè ìíîæåñòâàñ ñîõðàíåíèåì ñõîäèìîñòè íåëüçÿ. �àññìîòðåíà îáùàÿñõåìà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèíåéíûõ �óíêöèîíàëîââ áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. 1953 ã. Ï.Ï. Êîðîâêèí [1℄ äîêàçàë òåîðåìó î ñõîäèìî-ñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèíåéíûõ ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâLn : C[a; b℄ ! C[a; b℄ (îïåðàòîðû ïîëîæèòåëüíûå, åñëè èç óñëî-âèÿ f(t) > 0 ñëåäóåò Ln(f(t); x) > 0 äëÿ ëþáûõ x 2 [a; b℄), ñîãëàñíîêîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:(kLn(ti; x)� xik ! 0 äëÿ i 2 f0; 1; 2g) �) (kLn(f(t); x)� f(x)k ! 0äëÿ ëþáîé f(t) 2 C[a; b℄)Çäåñü k � k - ÷åáûøåâñêàÿ íîðìà, ò.å. kf(x)k = maxx2[a;b℄ jf(x)jÏî òåðìèíîëîãèè, èñïîëüçóåìîé â ðàáîòå Ë.�. Ëàáñêåðà [2℄,ïðîñòðàíñòâî C[a; b℄ ÿâëÿåòñÿ (S00fIg) - çàìûêàíèåì Êîðîâêèíàäëÿ ìíîæåñòâà f1; t; t2g (çäåñü S00 îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî ïîëîæè-òåëüíûõ îïåðàòîðîâ, I - òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð).Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü èíóþ òåðìèíîëîãèþ.  àíàëîãè÷íûõñèòóàöèÿõ áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òåîðåìà òåñòîâîãî òèïà ãàðàíòè-ðóåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îïåðàòîðîâ äàííîãî êëàñ-ñà (ïîëîæèòåëüíûõ â òåîðåìå Êîðîâêèíà) íà ýëåìåíòàõ äàííîãîìíîæåñòâà (ïðîñòðàíñòâà C[a; b℄ â ñëó÷àå âûøå íàçâàííîé òåîðå-ìû). Þ. �. Àáàêóìîâ, Â. �. Áàíèí, 2006

Page 14: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ���������� ����������������������� ������

¤�§J¡* �§$¥ ��¥g¨.§$¥g��¥g¯a'ôä�¥g� �"¢ �"��¢x#a¥g�"#�§ �"��� ���g¤� �ä�§g�"�"�2¢x�"¢$¤��a�d���¥x§g�a��§g¨Q�è/��a�����*#��"�"¢ �*!J¥g��§Jä�¢$¤���!$¯²!$��¥J "¢xû��"�©'~#��a�¿¡�¢ Ñ�§g£b¡������g¤��"��­¥x§J¤�¯g���a�d�Ó "!_¤����*��Æ���¢x�*���a¨.§$������± �a�d��¢x�"��ä�§g�"���a!J¥g�2���"! ���a��¨ ÖdµQ¶�Ö��§� *¡�¢x�*¢$¤��a!$¯D���ü!_¬��*¡��"¨Q�a!J¥g� �"¢D¥x§g!J¥g���*�a¨�¨Q���*³�§g!J¥g��§b�d¢x��¢x��¥g�"����­�*¢g¥g¯�!_¬��*¡��"¨Q�a!J¥g¯��"¢��*!g§g¨²�"���a!J¥g��¢x�"!J¥g��§�¸»º ¼�½¿¾ÁÀ�Ä !$¨�5©� �a m'©� #� m'©� 1�  ùm5�D£$¢x¨.§$¥g#�§&� 1� m'���¡��a!J¥g¢g¥g�xä�����ä�¢x!J¥g����±�!$��¥J "¢xû��"�©'�Ñ���¤��´�*��Æ�!$��§g����'ä�¥g����¥g!_ �¥g!J¥g�*��§}�d¢x��¢x��¥g�"� !_¬��*¡��"¨Q�a!J¥g�b¡a¤�Æ&�*!g§J¬¹ÇPÈÊÉoË�Ò&¸»º ¼�½¿¾ÁÀô�"¨.§x§$¥�"���"�"û��"�"�"¢$¤�¯g�"��±�¬�¢x��¢x#a¥x§$��5�����"���a!ü��Ñ2���"��§J¡�§J¤�§g�"�"��¨Q���*³�§g!J¥g�*¢��d¢x��¢x��¥g�"�� �§g¨Q��±�!_¬��*¡��"¨Q��­!J¥g� Ä ��¤��©'a���´¥x§$��¨Q�"���g¤��a�d�"� � (� m'a£$¢x¨Q��#�¢x�"��Æ}/��a�����*#��"�"¢�ùô¨Q�*³´���}����­!J¥g¢x�*��¥g¯ü!_¤�§J¡* "Ð?Ô´�"¨ ��Ñ���¢x£$�a¨àÄ �a�d��¢x�"��ä��"¨Q!_Æ ����#�¢ü�"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�*�a¨¸»º ¼�½¿¾ÁÀÊËw5"�0 "!J¥g¯}�"¨.§x§$¥g!_ƹ��§g#���¥g�a����±�#�¤�¢x!$!�����§$��¢g¥g�a�����%$ ö �Ó¨Q���*³�§*­!J¥g�*�'&)( ¸»º ¼�½¿¾ÁÀ 5+*A�"��§J¡�§J¤���¥g¯´¨Q���*³�§g!J¥g�*�-,.( ¸»º ¼�½¿¾ÁÀ '�¡a¤�Æ�#���¥g�a���a�d��Õ/10�243 �"£�µQ¶}Ò5$ ö ½_ÖdµQ¶�È76áÈÊÉoËw½oÏ�ËôØ86áÈÊÏ�Ë4Ö0 ͻ¡a¤�Æ��*!g§J¬%6áÈÊÉoË�Ò5&�!_¤�§*­¡* �§$¥

ÖdµQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�ËPØ ÇPÈÊÏ�Ë4Ö�¦Í�¡a¤�Æ��*!g§J¬DÇPÈÊÉoË.Ò5,/19�243 #�¢x#����*¢ Ñ��à�"��Ñ���¤�¢;:�ÈÊÉoË�Ò�¸»º ¼�½¿¾ÁÀ ½<:�ÈÊÉoË;=Ò>,~'�!_ "Ô�§g!J¥g�g �§$¥���a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯@?.¶´ÒA$ ö ¥g¢x#�¢$Æ"'�ä�¥g�ÖB?.¶�È76áÈÊÉoËw½oÏ�ËwØC6áÈÊÏ�Ë4Ö=¦Í�¡a¤�Æ��*!g§J¬%6áÈÊÉoËáÒA&á½ D E ç¶�FHG ÖB?.¶�ÈI:�ÈÊÉoËw½oÏ�ËwØ�:�ÈÊÏ�Ë4ÖKJÓÍ

-~¤�Æ� "!J¥g¢x�����g¤�§g�"��Æ�¥g�a�d��'xä�¥g�´¡�¢x�"����§»¨Q���*³�§g!J¥g�*�5,Ó *¡����g¤�§$¥g�*�a��Æ�­§$¥& "!_¤����*�"ÐÃÈq¼�Ëw'©�"¨.§gл¥g!_Æb¬��a���aå��ü���"����Ñ����*¢x�"�"�=§D¨.§$¥g�*¡��"#��©5MLA¢x��­Ñ��g¤�§x§D������ g¤�Æ����"¢$ÆÓ�"£&�"��¬ü�a!$�����*¢x�"¢D�"¢D!_¬�§g¨Q¢$¬�'�Æ��g¤�Æ�Ð?Ô´��¬�!_Æb¢x�"¢�­¤��a�d¢x¨Q�2!_¬�§g¨Q�¦/��a�����*#��"�"¢�5á� � +� m'Q�"¢x�"���"¨.§$��'Q��§g#���¥g�a���=§Ó�"£D¥g¢x#���¬!_¬�§g¨®��¢x!$!$¨Q��¥g��§g�"� ��¡��a!J¥g¢g¥g�xä����Ó��Ñ�Ô�§g¨ �*��¡�§a5 �"������§$��#���±²!$�*��±�­!J¥g�*¢�ÈξdË.¡�§J¤�����Ñ�!J¥g����¥�!_¤��*³´��§x§a5+LA¢xå�¢������"�~¥g#�¢´���a!J¥g¢x�*��¥g¯´ý$¥g��¥��*��­�"���a!��¹�"��§J¡a¤��*³´��¥g¯´��§g#���¥g�a���=§}���*¡a¬��*¡��°#�§g�d�}��§gå´§g�"�"Ð Ä !$¨�5©� %a áùm'�"¢x!$#��g¤�¯g#��&�"¢x¨��"£$��§g!J¥g����'��*�"�"¨Q¢x�"��Æ���§��"���"�g¤�§g#�¤�¢�5���"��§J¡a¤�¢x�d¢*§g¨Q��±�!J¥g¢g¥g¯x§&¨Q���"£_¤��*³´�"¨�'��&ä�¢x!J¥g���a!J¥g�©'���§g£_ g¤�¯$¥g¢g¥g�¡�§g�����"�"�����*¢x�"����± ��¢*Ñ���¥g�«� %a m5N*A!$�����*�"�=§���¡�§g�Ó��¢*Ñ���¥g�¦� %a á!$�*¬���¢x��§*­�"�A'�������¡�§$¥g¢$¤��Ó�*��§g!g§g�"� £$�"¢$ä���¥x§J¤�¯g�"�=§��"£$¨.§g��§g�"��Æ"5�O�¢x!$!$¨Q��¥g��§g�"��"���"¨.§$���A5�A��§J³?¡�§�ä�§g¨���Ñ���¢xÔ´¢g¥g¯g!_Æ�#}#����"#���§$¥g�"£$¢xû���Æ�¨�'���¢x!$!$¨Q��¥g���"¨���§g#���­¥g�a�� "Ð ��Ñ�Ô? "Ð !$��¥J "¢xû��"Ð�5����§J¡�§g¨��a!$�����*�"�=§´ýJ¤�§g¨.§g��¥g��"¢xå´§g�d�}��!$!_¤�§J¡����*¢x�"��Æ"5*�Ñ��a£$�"¢$ä��"¨QPSR ¡�§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g����§ Ñ�¢x�"¢$¬����*� �"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�*��'�TUR

V �"#�!$�"�����*¢x�"�"��±�¤��"��§g±"�"��±²��§g�"��§$�����*�"��± V "�"#�û��"���"¢$¤®ÈIT ·HPÃÂW0Ëw'YX5Z\[]T^RÆ�¡����AT©'?¥g� §g!J¥g¯ ¨Q���*³�§g!J¥g�*�«§g�d� �� g¤�§g±©'_X`(aX5Z\[]T

Page 15: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �M�N���������\�� ������������� ���\� ���R #����� "!�'=¥g�§g!J¥g¯�¥g¢x#���§2�*���� "#�¤���§ £$¢x¨Q#��� �¥g��§2¨Q���*³�§g!J¥g�*��'�#���¥g��­����§2�*¨.§g!J¥x§ !�¤�Ð�Ñ���¨¦!$�*���"¨àýJ¤�§g¨.§g��¥g�a¨���!$�*¡�§$��³´��¥ ¨Q���*³�§g!J¥g�*������ ö�� �AÈ � Ò W0Ëw5�*�Ñ��a£$�"¢$ä��"¨�¡�¢$¤�§x§a'�X��%R !$���"��Æ�³�§g�"�"��±2#UX�#���­�� "!�'.¥g�²§g!J¥g¯Ó¨Q���*³�§g!J¥g�*��¤��"��§g±"�"��¬ ��§g�"��§$�����*�"��¬ V "�"#�û��"���"¢$¤����¥g¢x#���§a'�ä�¥g�²È�� Ò"X��dË�� È�� �ÓÒ"X�½!��È ��Ë�Ì®ÍxËw5 ä���¥g¢*§g¨�'�ä�¥g�Ó£$¢ V �"#�!$��­�����*¢x���ü��§g#���¥g�a����§b#�����§Jä����a¨.§$������§b�"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�*�;& ( P 'P�"����ä�§g¨�'¨Q���*³�§g!J¥g�*¢�È7&#"�X�Ë$�Ú_Í�Ý�Ä £_¡�§g!$¯=Í R2�� g¤�¯��"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�*¢HPDù��A&#$�X5Z\[]T��§g�� "!J¥g�A5-~¤�Ʋ#�¢$³?¡��a�d�²ýJ¤�§g¨.§g��¥g¢&%�®Ò)X ��Ñ��a£$�"¢$ä��"¨ µ~È�%��ËA( X5Z\[]T®¥g¢x#���§¨Q���*³�§g!J¥g�*��'�ä�¥g�'�üÒÓµ~È�%��Ë�¥g�a�¿¡�¢���¥g�g¤�¯g#��b¥g�a�¿¡�¢�'�#��a�¿¡�¢D!_ "Ô�§g!J¥g�g �§$¥¡�§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g����§�ä���!_¤��'( JÓÍ&Ä £$¢x�*��!_Æ�Ô�§x§���¥)��ùP¥g¢x#���§a'�ä�¥g�

( %�?Ø*�}Ò X�½"Ø+( %�»Ø*�}ÒDØCX�, ÈmÛ_Ë*�Ñ��a£$�"¢$ä��"¨ü¡�¢$¤�§x§

µ~È7&á½ X�Ëôæ.-ÊÙ !ôÈoÈ0/12Jì�354 6

µ~È�%��ËoË87@&�Ëw½�¿¡�§9-ÊÙ !;: R ý$¥g��¤��"��§g±"�"¢$Æ���Ñ��g¤��xä�#�¢�¨Q���*³�§g!J¥g�*¢�:05�5<�=��><�?á�.@A�BDC E�F;G'T"¶¹Ò^X��IH��KJ�Ò^&%T"¶�ÈLJaË= TôÈLJaËNM+O!PRQ�S>T�S�UWV�XKE�Y[Z�}Ò�µ~È7X�½ &�Ë\XW]_^`P�U aKVbY�F#E[V'T"¶�È ��ËQ TôÈ ��ËNM-ANPK�I�cXIKd eRf8gWhKd*O*Nô5��0 "!J¥g¯'� Ò2µ~È7X�½ &�Ëw5ji"�a�¿¡�¢Ó�"¢x±�¡* �¥g!_Æ�¥g¢x#���§ÓýJ¤�§*­¨.§g��¥g�k�>l_'m� ø 'gä�¥g���>l~Ò &»'m� ø Ò X5Z\[]T©'m��æ��>lbno� ø '�%�}Ò &p"HX 'm� ø Ò}µ~È�%��Ëw5 ¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g����'x¡��g¤�³´�"�²�"¨.§$¥g¯»¨.§g!J¥g���*#�¤�Ð�ä�§g�"��Æ"'*¢x�"¢$¤��a�d��ä��"�=§Äm3Xù�( %�AØq� ø ÒAX '�Ø+( %��Øq� ø Ò�ØCX�½a�"£»#���¥g�a����¬�'� �ä���¥g���*¢$Æ"'*ä�¥g� T"¶�Ò X��J'���g¤� �ä��"¨r( T"¶�È�%��Ë.Ì"T"¶�È � ø Ëw'�Ø+( T"¶�È�%��Ëjs"T"¶�È � ø Ë.��¤�� ò T"¶�È � ø Ë ò sk( ò T"¶�È�%��Ë ò ÂÍa5

i"¢x#�#�¢x#5TôÈ ��Ë�æ TôÈ �>ldË`n TôÈ � ø Ëáæ TôÈ �>ldËw'+T"¶�È �>ldËá TôÈ �>ldËw'+T"¶�È � ø Ëá Ía½���g¤� �ä�¢*§g¨ T"¶"È ��Ëôæ.T"¶�È �>ldË5n8T"¶�È � ø ËQ TôÈ �>ldËôæ.TôÈ ��Ëw5i�§g�a��§g¨Q¢´¡���#�¢x£$¢x�"¢�5-=¢$¤�§x§´¨Q��"��§J¡����g¤�¢x�d¢*§g¨�'aä�¥g�%X ��§´!$�*¡�§$��³´��¥��"��Æ�¨© "Ð Ä ¥g��§g!J¥g¯a'§g!_¤���utæÍ&��üÒ"X '�¥g��Øv�Q=Ò;X�Ë��ü "!J¥g¢x�����*�"¨�'�ä�¥g�Ó�¹ý$¥g�a¨!_¤� �ä�¢*§ "!_¤����*��§;��Ò}µ~È7X�½ &�Ë��´¥x§g�a��§g¨.§b30��§J "!J¥g��¢x�"�"¨Q��5�A��§J¡��*¢x����¥x§J¤�¯g���D��¢x!$!$¨Q��¥g���"¨ Ñ��g¤�§x§�¡�§$¥g¢$¤�¯g���� "!_¤����*��ÆD�"���"�"¢$¡�­¤�§J³´���a!J¥g�&ýJ¤�§g¨.§g��¥g¢w�}ÒAX5Z\[]T�¨Q���*³�§g!J¥g�g �µ~È�%��Ë©¡a¤�Æ´��§g#���¥g�a���a�d�´¡�¢x��­���a�d�.%��ÒAXà� ýJ¤�§g¨.§g��¥g¢;�}Ò@P ¨Q���*³�§g!J¥g�g bµ~È7X�½ &�Ëw5

Page 16: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ���������� ����������������������� ������

��><J���>=��*<���5< @A�vENU8HrS�UWV �°Ò)X5Z\[]TkHk%�°Ò)X a�T �WS C�F#E[V.^`P�UbP�� H �F#Y U GRab]DY��!H ENUbTI(ml�H ( ø�� F#T��bH Y � �mF#PI(ml!%��Ø ��Ò'X � Ø+( ø %��Ø ��Ò¹ØCX � F#P�}Ò�µ~È�%��ËNM-ANPK�I�cXIKd eRf8gWhKd*O*Nô5 *0ä�§g�*��¡�����'"¡a¤�ÆD¤�Ð�Ñ���¬pJ�Ò8X ' � J ÍoJ;n � %� Ò8X '¥g¢x#}#�¢x#�!_ "¨Q¨Q¢»¡��g �¬}ýJ¤�§g¨.§g��¥g����'�#�¢$³?¡���±��"£A#���¥g�a����¬��"���"�"¢$¡a¤�§J³´��¥#����� "!_ ©'�¥g¢x#�³�§´�"���"�"¢$¡a¤�§J³´��¥�#����� "!_ ©5

i"�xä����}¥g¢x#�³�§&ÈLJ´Ò�ØCX�½ � JüÍxËPÞJß JAØ � %�}Ò�ØCX 5*�Ñ��a£$�"¢$ä��"¨�( æ ç?éJê�È (ml_½N( ø Ëw5���!_¤�� (bæ (ml_'�¥g��Ø+( %��Ø�°æèØ�È (AØØr( ø Ë�%��Ør( ø %��Øp� Ò°ØCX '©¥g¢x#�#�¢x#2Ø�È (=Ør( ø Ë�%� Ò°ØCX '�Ø+( ø %��Øp� Ò°ØCX 5 �a�¿¤�¢x!$���&Äm3Xùm'g�»ý$¥g�a¨ü!_¤� �ä�¢*§ �}Ò�µ~È�%��Ëw5 �"¨Q¨.§$¥g����ä��"��±�!_¤� �ä�¢x±�(�ær( ø��¢x!$!$¨Q¢g¥g���"�*¢*§$¥g!_Æ&¢x�"¢$¤��a�d��ä�����5�A��§J¡a¤��*³�§g�"��§�¡���#�¢x£$¢x����5*�Ñ��a£$�"¢$ä��"¨��AÈ ��½W%��Ë=�"��Æ�¨© "Ð�'��"���*¬��*¡aÆ�Ô? "Ð ä�§$��§g£�� � %��Ä �"��§J¡�����­¤�¢x�d¢$Æ"'xä�¥g�9��tæ %��Ëw½�¥g�&§g!J¥g¯

�AÈ ��½W%��ËQæ /� ì���� G ï G�� ��on�ÈmÛ�Ø � Ë�%�5,

��><J���>=��*<���5< � A"! UWV �¹Ò8X5Z\[]T � %�¹Ò8X � È �ktæ�%��Ë+X#�U%$&�WY�a H Yo�¹Ò¹µ~È�%��ËH�'_Y�Y�F('_Y�E�F#PDF#PRQ�S>T9HDF#P�U G)� PDF#PRQ�S>T � � PRQ�S>Tp%�;V XRUWVbY�F#E[VoXWa>C�F+*8Y�aba�Y%�F#P,��� P-��PRF;a�P!EWH�F#Y U GRa�P.'va�P��#Y�E�F;XKT@X&"/�AÈ ��½W%��ËNM-ANPK�I�cXIKd eRf8gWhKd*O*Nô50��!_¤�� %� Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ �*�� �¥g��§g�"��§g±à¥g�xä�#���± ��¥g���a!$��­¥x§J¤�¯g��� X "1�AÈ ��½W%��Ëw'�¥g� �"¢x±�¡* �¥g!_Æ � lJ' � ø '��"����ä�§g¨�' � l^J«Ía' � ø32 Ía'¥g¢x#���§a'aä�¥g� � �on�ÈmÛ�Ø � Ë�%��Ò X �"��� � Ò¹º � ø ½ � l¿À 5���a£$¯g¨.§g¨ %� ¥g¢x#"'_ä�¥g��Ñ���Í 2 %� 2 ç E 4�ÈmÛg½ � ldËw5�5A¨.§x§g¨ %� ��n´ÈmÛaØ %� Ë�%�}ÒAX�,*�¥g!$Ð�¡�¢

Ø %� � l È %� ��n�ÈmÛ�Ø %� Ë�%��Ëôæ2Øv�?Ø %� �l ÈmÛ�Ø %� Ë�%�}ÒDØCX��¤��©'�§g!_¤�� ��Ñ��a£$�"¢$ä���¥g¯9( ø æ %� �

l ÈmÛ�Ø %� Ëw'��*#�¤�Ð�ä�§g�"��§�¨Q�*³´����£$¢x�"��!$¢g¥g¯���*��¡�§}Ø+( ø %�?Ø*�}Ò�ØCX 5����a£$¯g¨.§g¨ ¥x§g��§$��¯6� ÒDÈ � ø�7 ÍxË[,

i"�a�¿¡�¢ 6� ��n�ÈmÛ�Ø 6� Ë�%�}ÒAX 5�*�¥g!$Ð�¡�¢DÄ ¥g¢x#�#�¢x# 6� 2 ÍxËw'Ø 6� � l È 6� ��n�ÈmÛ�Ø 6� Ë�%��æ2Øv��n 6� �l È 6� ØÓÛ_Ë�%�}Ò X�,

*�Ñ��a£$�"¢$ä��"�p(ml�æ 6� � l È 6� Ø Û_Ëw'"£$¢x�"�"å´§g¨ (ml!%��ØI�bÒ8X 5 �a�¿¤�¢x!$���¹�"��§J¡�­¤��*³�§g�"�"Ð 3J'��}Ò�µ~È�%��Ëw5

Page 17: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �M�N���������\�� ������������� ���\� ���

5�¥g¢x#"'a¡���#�¢x£$¢x����'�ä�¥g�D§g!_¤�� %��Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ��*�� �¥g��§g�"��§g±b¥g�xä�#���± ��¥g����­!$��¥x§J¤�¯g���'X&"/�AÈ ��½W%��Ëw'a¥g�q�}Ò�µ~È�%��Ëw5-=��#�¢$³�§g¨���Ñ���¢g¥g����§? �¥g��§$��³?¡�§g�"��§a5�0 "!J¥g¯��DÒ�µ~È�%��Ëw5bi"�a�¿¡�¢��"¢x±�¡�§$¥g!_Æ�( ö J²Í´¥g¢x#���§a'�ä�¥g�ÓØv�on ( ö %�DÒ%X 'Øv��ØI( ö %�}ÒDØCX 5x-~¤�Æ´¤�Ð�Ñ��a�d�*( Jk( ö �"¨.§x§g¨ È (©ØI( ö Ë�%�}Ò X '�È ( ö ØI(4Ë�%��Ò�ØØCX '"!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g����'.Øv�qnk( %� Ò X '©Øv��Ø( %�bÒ ØCX 5N*�¥g!$Ð�¡�¢&!_¤�§J¡* �§$¥a'ä�¥g�&�DÄm3Xù©¨Q�*³´�������g¤��*³´��¥g¯#( J�Ûg55A£�Øv��n( %�}Ò X ���g¤� �ä��"¨È (.ØÓÛ_Ë � l ÈmØv��n( %��Ëôæ2Ø�È (.ØÓÛ_Ë � l ��n�ÈmÛ�ØüÈmØ�È (.ØÓÛ_Ë � l Ë�%��ËáÒ X�,

5A£�Øv�?Ø�( %�}Ò�ØCXà���g¤� �ä��"¨�on( %��ÒAX 5�*�¥g!$Ð�¡�¢È ( n�Û_Ë � l È �on( %��Ëôæ È ( n Û_Ë � l ��n�ÈmÛ�ØüÈ ( n Û_Ë � l Ë�%��Ò X�,

��!$��¤� &�*���� "#�¤��a!J¥g�5X � �+nDÈmÛ�Ø � Ë�%��ÒAX �"���¹Ø�È ("Ø�Û_Ë � l s � s È (bnn²Û_Ë � l 5���¥g�¹�a£$�"¢$ä�¢*§$¥a'�ä�¥g� %�DÆ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ �*�� �¥g��§g�"��§g±ü¥g�xä�#���±²��¥g���a!$��­¥x§J¤�¯g���'X " ��È ��½W%��Ëw5�A��§J¡a¤��*³�§g�"��§�(�¡���#�¢x£$¢x����5�¡�¢$¤�¯g��§g±"å´§g¨ ��Ñ��a£$�"¢$ä�¢*§g¨�� æ & " X5Z\[]T©' %X æ X "��¹5�-~¤�Æ

�}Ò X5Z\[]T¹��Ñ��a£$�"¢$ä��"¨�� È ��Ëôæ.-ÊÙ !ôÈ�� 7�ÚN�"ÝJËw'�XbÈ ��Ëôæ.X&"� È ��Ëw5-~¤�Æ ¥g�a�d��'ôä�¥g��Ñ�� � Ò µ~È7X�½ &�Ëw'.��§g��Ñ�¬��*¡��"¨Q��� ¡��a!J¥g¢g¥g�xä�����'.ä�¥g��­Ñ�� �� È ��Ë?�"¢xå´§J¤�!_Æ ýJ¤�§g¨.§g��¥ 6� =Ò��¹'ô¢ � %X ýJ¤�§g¨.§g��¥ %��¥g¢x#���§a'©ä�¥g�6� Ò µ~È�%��Ëw5 �a�¿¤�¢x!$���D�"��§J¡a¤��*³�§g�"�"Ц(�'"ý$¥g� ��¢x�*���a!$��¤�¯g���¹¥g�a¨© ©'"ä�¥g� %�Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ��*�� �¥g��§g�"��§g±�¥g�xä�#���±¹¨Q���*³�§g!J¥g�*¢ XbÈ ��Ë�" �AÈ 6��½W%��Ëw5��á¤�§g¨.§g��¥g¢ 6�!0 "#�¢x£$¢x�"�"��¨Q�}�*��å´§�!$�*��±"!J¥g�*¢x¨Q�D��§A�"¢x±�¡�§$¥g!_Æ´�»¥g�a¨ü�}¥g�g¤�¯g#����»¥g�a¨!_¤� �ä�¢*§a'�#��a�¿¡�¢ %X æ XbÈ ��Ë´��¤�� %X Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ �d��¢x�"¯gÐ XbÈ ��Ë�Ä �d���*�a��Æa¥a'ä�¥g� #����� "!;X*l�Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ �d��¢x�"¯gÐè#����� "!$¢ X ø '�§g!_¤�� X*l��"��¢x�*��¤�¯g�"¢$Æä�¢x!J¥g¯-X ø � X*l´§g!J¥g¯D��§$��§g!g§Jä�§g�"��§ X ø !&#�¢x#���±�­Ê¤���Ñ��ü�����a������± #;X ø�d�"��§$����¤��a!$#��a!J¥g¯gдùm5 #�¢x£$¢x�"����§��*��å´§D¨Q�*³´���Ó! V �a��¨© g¤��"�����*¢g¥g¯ � �*��¡�§D!_¤�§J¡* "Ð?Ô�§g�d� �¥g��§$��³?¡�§g�"��Æ"5

��><J���>=��*<���5< !A��5UbY '_Y�abF ��Ò%X5Z\[]T�a�Y�^�*`H�a�TWS�UbY � H�F¦µ~È7X�½ &�Ë F#P-�Q�S>T�HqF#P�U G)� PoF#PRQ�S>T � � PRQ�S>T %X æ XbÈ ��Ë�HmU8H %X�V XRUWVbY�F#E[V Q *8T�abG)$ XbÈ ��ËNM

*A!$�����*����±°��§g£_ g¤�¯$¥g¢g¥b¡�¢x�"����± !J¥g¢g¥g¯g�®�"��§J¡�!J¥g¢x�g¤�Æ�§$¥ü!_¤�§J¡* "Ð?Ô´¢$Æ¥x§g�a��§g¨Q¢�5

Page 18: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ���������� ����������������������� ������

�5<�=��><�?á� � A_BDC E�F;G;�;=Ò�µ~È7X�½ &�ËNM O!PRQ�S>T�E�C��;Y�E�F;X C Y�F ^`P!ENUbYS>PRXKT�F#Y U G-�a�P!E�F;G}Ú\T"¶�Ý � T"¶´ÒAX � F#T�� TRV � �mF#P

D E ç¶�FHG ò T"¶�È ��ËPØ%TôÈ ��Ë ò tæ�Í � a�P����»Ò &%T"¶�È��*Ëô TôÈ��*Ë-ANPK�I�cXIKd eRf8gWhKd*O*Nô5 �"¢$ä�¢$¤�¢»¡���#�¢$³�§g¨ ¡a¤�Æ�!_¤� �ä�¢$Æq�}Ò X5Z\[]T©5 �a�¿¤�¢x!$���?�"��§J¡a¤��*³�§g�"�"Ð ��'g�"£=¥g�a�d��'gä�¥g�D�"=Ò}µ~È7X�½ &�Ë©!_¤�§J¡* �§$¥a'gä�¥g�%X æ.XbÈ ��Ë.¤���Ñ�� %X¦Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ��d��¢x�"¯gÐ XbÈ ��Ëw5úb�¦Ñx *¡�§g¨ !J¥g������¥g¯ V "�"#�û��"���"¢$¤�� T"¶�'.��#���¥g�a����¬2�d���*�a����¥g!_Æ � "!_¤����*�"�&¥x§g�a��§g¨Q�®(�5 �"¢$ä�¢$¤�¢����"��§J¡�§J¤��"¨ ��¬��?�"���a!J¥g��¢x�"!J¥g��§ �¹'*����­¥g�a¨®¡��a���"��§J¡�§J¤��"¨��"¢��"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�*�� È ��Ëw'P£$¢g¥x§g¨°�"¢p-ÊÙ !ôÈ7& 7¹ÚN�"ÝJË��©'�"¢x#�����§gûP'J¡���#�¢$³�§g¨ �*�a£$¨Q�*³´���a!J¥g¯��"���*¡��g¤�³�§g�"��Æ T"¶A�"¢0�*!g§��"���a!J¥g��¢x��­!J¥g�*�AP 5���=Ñ�§$��§g¨ #�¢x#� "д­Ê¤���Ñ��}���a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯?¡�§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g�"��¬�����­¤��*³´��¥x§J¤�¯g�"��¬&ä���!g§J¤��$¶�Í�� ýJ¤�§g¨.§g��¥*J�'�Æ��g¤�Æ�Ð?Ô´�"±"!_Æ��*�� �¥g��§g�"�"�"¨��¥g���a!$��¥x§J¤�¯g��� %X 5�0 "!J¥g¯�� R #�¢x#�¢$Æ�­Ê¤���Ñ��¹�d�"��§$����¤��a!$#��a!J¥g¯&�D�"���a!J¥g��¢x�"!J¥g��§ �¹'"¥g¢�­#�¢$Æ"'�ä�¥g� �r"@X æ2Ú_Í�Ý�Ä �¿¡�§�Í@R �� g¤�¯��"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�*¢@PDùm5��� "�"#�û��"���"¢$¤

T"¶����"��§J¡�§J¤�Æ�§$¥g!_Æ �"¢ � "!_¤����*��Æ�¨Q�©Õ�T"¶�ÈLJaË´æ��$¶�'v�+[ÓÒ ¾_T"¶"ÈI[$Ë�æ Ía5*0ä�§g�*��¡�����'�ä�¥g��¡a¤�Æ&¤�Ð�Ñ��a�d����Ò � T"¶�È��aË� Ía5�-0§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g����'"¨Q�*³�­�����"��§J¡�!J¥g¢x�*��¥g¯�»æ.[ n�( J�'*�¿¡�§ [�Ò��»'!(KR ¡�§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g����§»ä���!_¤���'���§£$¢x�*��!_Æ�Ô�§x§���¥Y!©5 i"�a�¿¡�¢YT"¶�È��aËôæ.T"¶�ÈI[$Ë`n( T"¶�ÈLJaËôæ.(��$¶?¦Ía5O�¢x!$�"���a!J¥g��¢x�"�"¨ T"¶��"¢ � È ��Ëw5����=Ñ�§$��§g¨ #�¢x#� "д­Ê¤���Ñ������a!_¤�§J¡����*¢�­¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯�¡�§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g�"��¬b���g¤��*³´��¥x§J¤�¯g�"��¬¹ä���!g§J¤��~¶�!�¥x§g¨ "!_¤���­�*��§g¨�'�ä�¥g��Ñ�� D E ç?¶�FHG��~¶AJ Í�Ä ��§´��!$#�¤�Ð�ä�§g����'�ä�¥g���~¶´Â��Óùm5 i"¢x#�#�¢x#%XªÆ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ �d��¢x�"¯gÐ XbÈ ��Ëw'��*�����g¤���Æ�§$¥g!_Æ ��� #���¢x±"��§g± ¨.§$��§��*¡���� �"£¡��g �¬» "!_¤����*�"±©Õ�ÈÊÙmË�º ��½ JxÀ " XbÈ ��Ëôæ²Ú�J�Ýx'*ÈÊÙ ÙmËẠÜJ"Ø\��½ JxÀ " XbÈ ��Ë©æ Ú�J�Ýx5*Ä â ¡�§g!$¯a'#�¢x#¹��Ñ���ä�����'©º ��½ JxÀQ��Ñ��a£$�"¢$ä�¢*§$¥}£$¢x¨Q#��� �¥g��±Ó��¥g��§g£$��#"'"¥a5 §a5"¨Q���*³�§g!J¥g�*�ýJ¤�§g¨.§g��¥g�����*��¡�¢ � �on�ÈmÛ�Ø � Ë J}�"��� � ÒDº Ía½4ÛdÀÊËw5��!_¤����*�����g¤���§g����ÈÊÙmËw'_¥g�?���g¤��*³´�"¨ ����æ�ÜJ�Øj��'J�A�"����¥g�"�*���a¨ !_¤� �ä�¢*§���g¤��*³´�"¨����æ ��5a-=�a���"��§J¡�§J¤��"¨ T"¶}�"¢ � È ��Ëw'��"���"��Æ��_T"¶�È ��� Ëôæ��~¶�5â ¢x¨.§$¥g�"¨�'�ä�¥g��¢x�"�� g¤�Æa¥g�a� V "�"#�û��"���"¢$¤�¢�T"¶����"���a!J¥g��¢x�"!J¥g��§ � È ��Ë�"���*¬��*¡���¥�ä�§$��§g£�¥g�xä�#� � ¶R���Wn�ÈmÛ�Ø � ¶�Ë J��"��� � ¶´æ Ø����� � � ��� '��©'�!_¤�§J¡���­�*¢g¥x§J¤�¯g����'��"¢$¬��*¡���¥g!_Æ��"¢´��§g#���¥g�a���a¨ ��¢x!$!J¥g�*Æ��"�"� ��¥qJ�ÒAX 5-=¢$¤�§x§a' T"¶�È ��Ë æ �~¶®�"��� "!_¤����*�"�¦ÈÊÙ ÙmË&��¤��¦Ä §g!_¤���¨Q�è���g¤��*³´��­¤�� ���»æªÜJ}Ø��ù�T"¶"È ��Ë�æ Ü!�$¶}Ø"�~¶�5 5 �²¥g�a¨�'=� ��¡��� "�d�a¨ !_¤� �ä�¢*§

D E ç?¶�FHG ò T"¶�È ��Ë ò JÓÍa5�A���*¡��g¤�³´�"¨2¥x§g��§$��¯ V "�"#�û��"���"¢$¤��>T"¶��"¢��"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�*�-ÊÙ !ôÈ7&.7ÚN�"ÝJËw5$-~¤�Æ�ý$¥g�a�d���*�=Ñ�§$��§g¨b�q-ÊÙ !K&²ýJ¤�§g¨.§g��¥g�#� × 'gÙPæ2Ûg½�,�,�,d½�$~¥g¢x#"'$ä�¥g��Ñ��

Page 19: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �M�N���������\�� ������������� ���\� ���

���"� Ñ���¤��b¤��"��§g±"���D��§g£$¢x�*��!$�"¨Q�A'�ä�¥g��Ñ��&-ÊÙ !ôÈ�Ú!� × Ý_7 �&Ë�æQ&��bä�¥g��Ñ���"��� ¤�Ð�Ñ��a¨®Ù�Ò�ÚxÛg½�,�,�,w½�$$Ý � × =Ò �¹5P�A�g¤��*³´�"¨ T"¶�È�� × Ë0æ TôÈ�� × Ëw5`i"¢x#Ó#�¢x#XbÈ ��Ë (�� È ��Ëw'"¢}�*!g§ � × =Ò � È ��Ëw'"���g¤��*³´��¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯AT"¶&�"¢AXbÈ ��Ë=!$�*¬���¢�­��Æ�§$¥g!_Æ"5i�§g��§$��¯�¡���#�¢$³�§g¨ �*�a£$¨Q�*³´���a!J¥g¯&�"���*¡��g¤�³�§g�"��Æ8T"¶��"¢APª!}!$�*¬���¢�­��§g�"��§g¨����g¤��*³´��¥x§J¤�¯g���a!J¥g�b�"¢YX 5-~¤�Æ�¤�Ð�Ñ��a�d�D���g¤��*³´��¥x§J¤�¯g���a�d��'"¡��a!J¥g¢g¥g�xä���� ¨Q¢$¤��a�d��ä���!_¤�¢�����Ñ���­£$�"¢$ä��"¨ XbÈLJ�½��$Ë�#����"��ä�§g!$#� "Ðè��Ñ��g¤��xä�#� ��Ñ��P§J¡��"��§g�"��Æ;X � £$¢x¨Q#��� �­¥g�a�d�Då�¢x��¢}!�û"§g��¥g���a¨ J&��¢$¡��� "!$¢��*5"� !$��¤� Ó¥g�a�d��'�ä�¥g�D¢x�"�� g¤�Æa¥g�a� T"¶� � È ��Ë�Ä �xä�§g�*��¡�����'P� ��-ÊÙ !ôÈ7&.7DÚN�"ÝJËoË0�"¢$¬��*¡���¥g!_Æ �"¢&���g¤��*³´��¥x§J¤�¯g���a¨��¢x!$!J¥g�*Æ��"�"� ��¥ J�Ò X '"¨Q�*³´���¹���*¡���Ñ���¢g¥g¯��4¶�¥g¢x#"'�ä�¥g�8T"¶D�a!J¥g¢x�� �¥g!_Æ���g¤��*³´��¥x§J¤�¯g�"��¨Q� �"¢YXbÈLJ�½��4¶�Ë>"*-ÊÙ !ôÈ7& 7�ÚN�"ÝJËw5 i"¢x#�#�¢x#&#����� "!YXbÈLJ�½��4¶�Ë¥x§J¤�§g!$�"��±©'Q¥g� T"¶ ¨Q�*³´�����"���*¡��g¤�³´��¥g¯b�"¢ P�! !$�*¬���¢x��§g�"��§g¨����g¤���­³´��¥x§J¤�¯g���a!J¥g� �"¢^XbÈLJ�½��4¶�Ëw'Q¢�'Q!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g����'.� �"¢ XÅÄ !$¨�50� a m'Q!J¥g��5�x�#aùm5��!$��¤� °���a!J¥g����§g�"��Æ"'�¡a¤�Æ�¤�Ð�Ñ��a�d� � Ò &5T"¶�È��aË} TôÈ��aËw'��*¡��"¢x#���'

T"¶�È ��Ë���§�!J¥g��§g¨Q��¥g!_Æ�#'TôÈ ��Ëôæ�Ía5�b!_¤� �ä�¢*§D�^=Ò�µ~È7X�½ &�Ëw'�TôÈ ��ËQæ Í?¥x§g�a��§g¨Q¢´¡���#�¢x£$¢x�"¢�5��!_¤��´³�§_�^=Ò}µ~È7X�½ &�Ëw' TôÈ ��Ë tæ�Ía'J¥g��¨Q�*³´�����"��§J¡�!J¥g¢x�*��¥g¯+��æ��>l nw� ø '�¿¡�§)�>l�ÒA&»'�TôÈ � ø Ë.æ�Ía5 i"�a�¿¡�¢)� ø =Ò�µ~È7X�½ &�Ëw'��"�"¢$ä�§�Ñ��.�&�"���"�"¢$¡a¤�§J³´¢$¤µ~È7X�½ &�Ëw5$/�¢x#»����#�¢x£$¢x�����*��å´§a'J!_ "Ô�§g!J¥g�g �§$¥����a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯KT"¶´Ò

X���¥g¢x#�¢$Æ"'$ä�¥g�_T"¶�È��aËô TôÈ��aË©¡a¤�Æ �´Ò &»' D E ç?¶�FHG ò T"¶"È � ø Ë ò JüÍa5LA��¥g�a�¿¡�¢D E ç¶�FHG T"¶�È ��ËôæSD E ç¶�FHG T"¶"È �>ldË5n D E ç¶�FHG T"¶�È � ø Ë�tæ;TôÈ �>l4Ëôæ.TôÈ ��Ë[,i�§g�a��§g¨Q¢�(�¡���#�¢x£$¢x�"¢�5O�¢x!$!$¨Q��¥g���"¨²��§g#���¥g�a���=§�#����"#���§$¥g�"£$¢xû��"�©5�� �5? <g�r@A�L�§g#���¥g�a���=§�����§$��¢g¥g�a���°#�¤�¢x!$!$¢�õ�A5â ¢x¨.§$¥g�"¨�'*ä�¥g�´¡a¤�Æ������"�"¨Q¢x�"��Æ��"£_¤��*³�§g�"���a�d���"��³�§»��Ñ�Ô�§g�d�����"��§*­¡�§J¤�§g�"��ÆD����§$��¢g¥g�a������#�¤�¢x!$!$¢}õ�A'�¡�¢x�"���a�d��'��"¢x�"���"¨.§$��'��ü� (� m'���§�¥g��§*­Ñx �§$¥g!_Æ"5�0 "!J¥g¯A#�¢$³?¡��a¨© �Ï}Ò¹º ¼�½¿¾ÁÀ����a!J¥g¢x�g¤�§g���´�?!$�a��¥g��§$¥g!J¥g�*��§?¨Q���*³�§g!J¥g�*�

�AÈÊÏ�ËDæ Ú4Ï × Ý � ë �× l '=�"��� ý$¥g�a¨«Ï�Ò��AÈÊÏ�Ëw'��DÈÊÏ�Ë JèÛÓ�"���¤�Ð�Ñ��a¨ Ï�!_ "Ô�§g!J¥g�g �§$¥}#�����§Jä��"��± ¨Q¢x#�!$�"¨© "¨�� æ²ç?éJê ë$ì�í îXï ðÊñ �DÈÊÏ�Ëw5"/����a¨.§}¥g�a�d��'���"��§J¡�§J¤�§g�"¢ V "�"#�û���Æ^Z*ÈÊÏ�Ëw'NZ�·?º ¼�½¿¾ÁÀ. ÚxØ0Û 7 Û$Ýx5 *�Ñ��a£$�"¢$ä��"¨�� ë ÈÊÉoË0ææ Z*ÈÊÏ�Ë�� ë�� ì�� � ë � ÈÊÉPØ�Ï × Ëw5-~¤�Æ2#�¢$³?¡��a�d� Ï Ò º ¼�½¿¾ÁÀ»���"��§J¡�§J¤��"¨ #����� "! X ë !_¤�§J¡* "Ð?Ô´�"¨ ��Ñ�­��¢x£$�a¨�Õ X ë R ¨Q�"�"�"¨Q¢$¤�¯g�"��± ��� �*#�¤�Ð�ä�§g�"�"Ð #����� "!�'�¥g¢x#���±©'´ä�¥g�È $4Ù J!�ÇPÈÊÉoË©æ�� ë ÈÊÉoËoË©ÞJßàÇPÈÊÉoË.ÒAX ë 5

Page 20: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ���������� ����������������������� ������

�A�g¤�¢x�d¢*§g¨ ¡�¢$¤�§x§a'}ä�¥g�à!_ "Ô�§g!J¥g�g �§$¥�� J Í ¥g¢x#���§a'�ä�¥g� ��Ï Òº ¼�½¿¾ÁÀ���ÈÊÏ�ËáÌ��´'��¿¡�§���ÈÊÏ�Ë.æ ��Ù !� ï $ì�� � ë � ï ��� ò ÉPØ� ò 5R� *¡�§g¨ ��¢x!$!$¨Q¢g¥g���"�*¢g¥g¯&���a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g� ¤��"��§g±"�"��¬b����§$��¢g¥g��­������'? *¡����g¤�§$¥g�*�a��Æ�Ð?Ô´��¬ "!_¤����*�"Ð�Õo��Ï Òú ¼�½¿¾ÁÀ��"£�ÇPÈÊÉoË Ò X ë ÞJßµQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�ËáÌüÍa5��><J���>=��*<���5<��!A BDC E�F;G�µQ¶��uU8H�a�Y%��ab]DY9PR^`Y�*8T�F#P�* ] � CWS>PRXRUbY�F;XKP�*!V �$ �oH Yo^�*`H�XKYS>Y�abab] ' XW]��;YoC ENUbPRX>HRV%' H � �#*8P)'_YoF#PRQP � $��W� ë ò µQ¶�ÈÊÉ × ½oÏ�Ë©ØØ�Ï × ò ¦Í�^�*`H�Ù©æ Ía½4Ûg½�,�,�,d½ ��MvO!PRQ�S>T

�"ÇPÈÊÉoË.Ò�µôÙ���Û=· D E ç¶�FHG������ë ò µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�ËPعÇPÈÊÏ�Ë ò æ�Í ,

-ANPK�I�cXIKd eRf8gWhKd*O*Nô5 â ¢ V �"#�!$�"�� �§g¨2�"�����"£$�*�g¤�¯g����ϹÒüº ¼�½¿¾ÁÀQ�Ó��¢x!$!$¨Q��¥*­���"¨ü���a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯ V "�"#�û��"���"¢$¤����´µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�Ëw'a#���¥g�a���=§a'���!$��­¤� � "!_¤����*��Æ"'����g¤��*³´��¥x§J¤�¯g�"�®�"¢´#����� "!g§@X ë 5�0 "!J¥g¯a'�¡�¢$¤�§x§a'�£$¢ V �"#�!$�"�����*¢x�"¢ V "�"#�û���Æ&ÇPÈÊÉoË.Ò�µôÙ�����Ûg5-~¤�Æ°¥g�a�d��'0ä�¥g��Ñ��Ã�"���"¨.§g�"��¥g¯2¥x§g�a��§g¨© ª3J'���Ñ��a£$�"¢$ä��"¨ !$�a��¥g��§$¥*­!J¥g�*��§�ýJ¤�§g¨.§g��¥g���&��¢x!$!$¨Q¢g¥g���"�*¢*§g¨Q��±Ó#����"#���§$¥g����±ü!$��¥J "¢xû��"� ýJ¤�§g¨.§g��­¥g¢x¨���Ñ�Ô�§g±¹!_¬�§g¨Q�A5i"¢x#"'$#����� "!_ AX !$�a��¥g��§$¥g!J¥g�g �§$¥»#����� "!HX ë '$�"���a!J¥g��¢x�"!J¥g�g A& R2¨Q����­³�§g!J¥g�*��� R ¢$¤��4§xÑ���¢x��ä�§g!$#���¬?���g¤��"���a¨Q����!J¥x§g��§g�"� ��'JýJ¤�§g¨.§g��¥J ��_R

V "�"#�û���Æ�ÇPÈÊÉoËw5a�¹#�¢$ä�§g!J¥g��§ V "�"#�û��"���"¢$¤�¢ T��*��!J¥J "�"¢*§$¥ � R V "�"#�û���Æ¥g�xä�#�� Ï�5�A��#�¢$³�§g¨�'Xä�¥g��Ä �=�"���"��Æa¥g��¬»��¢x��§x§���Ñ��a£$�"¢$ä�§g�"��Æ�¬�ù�ÇPÈÊÉoË.Ò�µ~È7X ë ½ ��0Ëw'�"����ý$¥g�a¨ ýJ¤�§g¨.§g��¥J o�>lQ!$�a��¥g��§$¥g!J¥g�g �§$¥)J�ÈÊÉoË R²�"��¥x§$�����g¤�Æ�û��"���"�"��±�����­¤��"���a¨üó=¢x�d��¢x��³´¢ V "�"#�û��"� ÇPÈÊÉoË����� "£_¤�¢x¨ Ï × Ò �AÈÊÏ�Ëw'�ýJ¤�§g¨.§g��¥J �� ø R��¢x£$���a!J¥g¯´ÇPÈÊÉoËPØ'J�ÈÊÉoËw'�¢´��#�¢$ä�§g!J¥g��§k%��¨Q�*³´���&�*£_Æa¥g¯ � ë ÈÊÉoËw5-0§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g����'8J�ÈÊÉoË�Ò ���'�¢}¥g¢x# #�¢x#DÏ Ò �AÈÊÏ�Ëw'�¥g� ÇPÈÊÏ�ËQØ�J�ÈÊÏ�Ë~ææ Ía'�¥g�D§g!J¥g¯}ÇPÈÊÉoË©ØpJ�ÈÊÉoË�Ò%X5Z\[]T©5�-=¢$¤�§x§a' � ë ÈÊÉoË~Ò5X ë �©'�#�¢x#D�"£$��§g!J¥g����'ò ÇPÈÊÉoË_Ø�J�ÈÊÉoË ò æ ò ÇPÈÊÉw½oÏ>lJ½�,�,�,d½oÏ 0Ë ò ã ò � ë ÈÊÉoË ò '$�¿¡�§0ÇPÈÊÉw½oÏ>lJ½�,�,�,d½oÏ 0Ë R ��¢x£_¡�§J¤�§g��­�"¢$Æ���¢x£$���a!J¥g¯a5!i"¢x#��"¨ ��Ñ���¢x£$�a¨�'�§g!_¤��D!_ "Ô�§g!J¥g�g �§$¥´#�����§Jä��"¢$Æ���§$��¬���Æ�Æ�d��¢x�"¯ ����� � ï ë$ì�í îXï ðÊñ ò ÇPÈÊÉw½oÏ>l_½�,�,�,4½oÏ =Ë ò '©¥g� §x§D��¤���¤�Ð�Ñ���§&ä���!_¤�� Ñ��g¤�¯gå´§x§��§x§�¨Q�*³´�����*£_Æa¥g¯��}#�¢$ä�§g!J¥g��§�¨Q���*³´��¥x§J¤�Æ�(A� V �a��¨© g¤�§¹Äm3Xùm'��"����ä�§g¨�'¡a¤�Æ�¤�Ð�Ñ��a�d��Ï}Ò¹º ¼�½¿¾ÁÀ 5úb�*³´���° �Ñ�§J¡���¥g¯g!_Æ"'0ä�¥g���*!g§®��§J¤���ä��"�"� �*��¡�¢°ÇPÈÊÉw½� l_½�,�,�,4½� �$˹���¨Q�*¡* g¤�Ð ��¢x�*���a¨.§$�����ª�a�d��¢x�"��ä�§g�"� !$��§$��¬a Ä ¡a¤�Æ V �"#�!$�"�����*¢x�"����±ÇPÈÊÉoËoËw5 â ¡�§g!$¯"! s �DÈÊÏ�Ëw'�Ú� × Ý �× l ( �AÈÊÏ�Ëw'~�*!g§�ýJ¤�§g¨.§g��¥g�ª¨Q���*³�§g!J¥g�*¢ÚXÉw½� l_½�,�,�,4½� �xÝA��¢x£_¤���ä��"�A5

Page 21: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �M�N���������\�� ������������� ���\� � �

-0§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g����'��"����!�æ°Û?���g¤� �ä�¢*§g¨ ò ÇPÈÊÉw½� l4Ë ò æ�� � � �� � � � � � � �� �� � � �

s��°5�A��� !»æ�Üò ÇPÈÊÉw½� lJ½� ø Ë ò æ ò ÇPÈ lJ½oÉw½� ø Ë ò æ

Ûò ø Ø� l ò ò

ÇPÈÊÉw½� ø ËPعÇPÈÊÉw½� ldË ò s Ü�� � � l ,-=¢$¤�§x§a'�§g!_¤�� ��§$��¢x��§g�"!J¥g�*�

ò ÇPÈÊÉw½� l_½�,�,�,4½� � � l4Ë ò s Ü� � ø � � � �� ø

�*�����g¤���§g����¡a¤�Æ�¤�Ð�Ñ��a�d���"¢*Ñ��a��¢}ÚXÉw½� lX½�,�,�,4½� � � l_Ýx'* *¡����g¤�§$¥g�*�a��Æ�Ð?Ô�§g�d��"���"��§J¡�§g�"�"��¨��*��å´§´�a�d��¢x�"��ä�§g�"��Æ�¨�'a¥g��¡a¤�ÆDÚXÉw½� l_½�,�,�,d½� �xÝ����g¤� �ä�¢*§g¨ò ÇPÈÊÉw½� lJ½� ø ½�,�,�,4½� �$Ë ò æ ò ÇPÈ l_½oÉw½� ø ½�,�,�,d½� �$Ë ò ææ Ûò �~Ø� l ò ò

ÇPÈÊÉw½� ø ½�,�,�,4½� �$ËPعÇPÈ l_½oÉw½� ø ½�,�,�,4½� � � l4Ë ò ,*�¥g!$Ð�¡�¢ò ÇPÈÊÉw½� l_½�,�,�,4½� �$Ë ò s

Ûò ��Ø� l ò

È ò ÇPÈÊÉw½� ø ½�,�,�,d½� �gË ò n ò ÇPÈÊÉw½� lJ½�,�,�,d½� � � l4Ë ò Ë ss�� � l ã_Ü�ãXÜ � � ø � � � �� ø æ�Ü � � l � � � ��`l ,

5�¥g¢x#"'���§$��¢x��§g�"!J¥g�*�ò ÇPÈÊÉw½� l_½�,�,�,4½� �$Ë ò Ü

� � l � � � ��`l�*�����g¤���Æ�§$¥g!_Æ�¡a¤�Æ��*!g§J¬�!?æ2Ûg½�,�,�,d½ �DÈÊÏ�Ëw5

i"¢x#��"¨²��Ñ���¢x£$�a¨�'�§g!_¤��b���g¤��*³´��¥g¯*(�æ�ç?éJê ë Ü � ë � � l � � � � ë ��`l '�¥g��*#�¤�Ð�ä�§g�"��Æ'( � ë ÈÊÉoËPØÓÈÎÇPÈÊÉoËPØ'J�ÈÊÉoËoË.Ò X ë ½�Ø+( � ë ÈÊÉoËPØüÈÎÇPÈÊÉoË�Ø'J�ÈÊÉoËoË.ÒDØCX ë�"¨.§gл¥´¨.§g!J¥g�&�"����¤�Ð�Ñ��a¨�Ï}Ò¹º ¼�½¿¾ÁÀ 55A£ �xä�§g�*��¡����a�d�°��¢x��§g�"!J¥g�*¢ µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�ËDæ µQ¶�ÈLJ�ÈÊÉoËw½oÏ�Ë+n2µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoË�ØØ J�ÈÊÉoËw½oÏ�Ë?�2���g¤� �ä�§g�"���a�d��� ¬��*¡�§¹¡���#�¢x£$¢g¥x§J¤�¯g!J¥g�*¢ ¥x§g�a��§g¨Q�Ã3}��§$��¢�­��§g�"!J¥g�*¢ ò T"¶�È � ø Ë ò sk( ò T"¶�È�%��Ë ò '����g¤� �ä��"¨

ò µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�˩عÇPÈÊÏ�Ë ò s ò µQ¶�ÈLJ�ÈÊÉoËw½oÏ�ËPØpJ�ÈÊÏ�Ë ò Ø�(dµQ¶�È � ë ÈÊÉoËw½oÏ�Ë[, ÈÎÜgËÄ úb�*¡* g¤�¯´�����a!_¤�§J¡���§g¨²!_¤�¢x�d¢*§g¨Q�a¨²�"��¢x�*��±Dä�¢x!J¥g� ��§$��¢x��§g�"!J¥g�*¢DÄ (aùô��§���a!J¥g¢x�g¤�§g�©'�¥g¢x#b#�¢x# � ë ÈÊÉoË�Ò^X ë Ëw5 â ¡�§g!$¯&Ñ���¤��¹��!$���g¤�¯g£$���*¢x��� ��¢x��§g��­!J¥g�*�¹ÇPÈÊÏ�Ë�æ J�ÈÊÏ�Ëw5�-~¤�ÆD#����"!J¥g¢x��¥g�&(A����§$��¢x��§g�"!J¥g��§ Ä (aù.¨Q�*³´���D�*£_Æa¥g¯��¥g¨.§Jä�§g�"����§��*��å´§´£$�"¢$ä�§g�"��§9(�æ ç?éJê ë Ü � ë � � l � � � � ë ��`l 5

i"¢x#�#�¢x#rJ�ÈÊÉoË�� � ë ÈÊÉoË@R ���g¤��"���a¨Q�«!J¥x§g��§g�"� � � � ë ÈÊÏ�Ë´æ Ía'ô¥g��"£»��§$��¢x��§g�"!J¥g�*¢DÄ (aù©�& "!_¤����*�"± �"��§J¡a¤��*³�§g�"��Æ'#�!_¤�§J¡* �§$¥´����¥g�xä�§Jä��"¢$Æ!_¬��*¡��"¨Q�a!J¥g¯ µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�Ë�#ÇPÈÊÏ�Ëw5�-~¤�Æ2¡���#�¢x£$¢g¥x§J¤�¯g!J¥g�*¢ ��¢x�*���a¨.§$������±!_¬��*¡��"¨Q�a!J¥g�b!_¤�§J¡* �§$¥� "!J¥g¢x�����*��¥g¯���¢x�*���a¨.§$������§�!J¥g��§g¨©¤�§g�"��§�#��� g¤�Ð

Page 22: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� � ���������� ����������������������� ������

µQ¶�È � ë ÈÊÉoËw½oÏ�Ë�� ò µQ¶�ÈLJ�ÈÊÉoËw½oÏ�ËáØ J�ÈÊÏ�Ë ò '©ä�¥g����§ �xä�§g�*��¡�����'Q¥g¢x#�#�¢x#kJ�ÈÊÉoË?�� ë ÈÊÉoË�£$¢x�*��!_Æa¥���¥�Ï�5�� "�"#�û��"�J�ÈÊÉoË=� � ë ÈÊÉoË~Æ��g¤�Æ�л¥g!_ÆD¢$¤��4§xÑ���¢x��ä�§g!$#��"¨Q� ���g¤��"���a¨Q¢x¨Q�!J¥x§g��§g�"� ��§��*��å´§ ��'a¥g�&§g!J¥g¯´¨Q�*³´�����"��§J¡�!J¥g¢x�*��¥g¯

� ë ÈÊÉoËôæ � ë ��× ö

¼ × Ém×m½!J�ÈÊÉoËôæ � ë � � l�× ö

¾ × Ém× ,i"¢x#�#�¢x# ò � ë ÈÊÉoË ò æ ò �

� ë �× l ÈÊÉ©ØDÏ × Ë ò '�¥g�&�xä�§g�*��¡�����'�ä�¥g� ò ¼ × ò ��¢x�*���a¨.§$���������Ï��a�d��¢x�"��ä�§g�"�A5��A�g¤��*³´�"¨ �²æ ����� ë$ï × ò ¼ × ò 5a-=¢$¤�§x§a'a¥g¢x#&#�¢x#J�ÈÊÉoËôæ�ÇPÈÊÏ>l4ËNn=ÇPÈÊÏ>l_½oÏ ø ËdÈÊÉwØ�Ï>ldËNnAã4ã4ã n=ÇPÈÊÏ>l_½�,�,�,4½oÏ � ë � ËdÈÊÉwØ�Ï>l4Ë�ã4ã4ã4ÈÊÉwØ�Ï � ë � � l Ë�©'~#�¢x#®¨Q� "!J¥g¢x�����*��¤�� �*��å´§a' ò ÇPÈÊÏ>lJ½�,�,�,d½oÏ��$Ë ò ��¢x�*���a¨.§$�����®�a�d��¢x�"��­ä�§g�"�A'=¥g���¢x�*���a¨.§$��������®Ï �a�d��¢x�"��ä�§g�"�ª� ò ¾ × ò 5 *�Ñ��a£$�"¢$ä��"¨���ææ ����� ë$ï × ò ¾ × ò 5��!_¤��Ó��Ñ��a£$�"¢$ä���¥g¯���¶}æ ç?éJê ö�� × � ����� ë ò µQ¶�ÈÊÉ × ½oÏ�ËôØ¹Ï × ò '�¥g��"£�Ä (aù©���g¤� �ä��"¨��aû"§g�"#� ò µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�ËPعÇPÈÊÏ�Ë ò s ÈoÈ � n Û_Ë ( � n ����Ë���¶>, ÈxË

i"¢x#�#�¢x#���¶��¹�*!g§´#����"!J¥g¢x��¥g��DÄ ��ù©��§´£$¢x�*��!_Æa¥���¥�Ï�'����g¤� �ä��"¨D E ç¶�FHG������ë ò µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�ËPعÇPÈÊÏ�Ë ò æ Í ,�A��§J¡a¤��*³�§g�"��§@#�¡���#�¢x£$¢x����5

��><J���>=��*<���5< �!A�BDC E�F;G :�ÈÊÉoË Ò�¸»º ¼�½¿¾ÁÀ;F#T�� PRXKT � �mF#P E�C��;Y�E�F;X C Y�FF#P,��� T�� Ò º ¼�½¿¾ÁÀ;F#T�� TRV � �mF#P.XW]_^`P�U aKVbY�F#E[VuZbPRF)V���] P�S!a�P H��3*8T �XKY�a�E�F;X ò : �� È��gË ò æ � HmU8H ò : �� È��gË ò æ � M+O!PRQ�S>T E�C��;Y�E�F;X C Y�F ^`P!ENUbYS>P-�XKT�F#Y U GRa�P!E�F;G�U8H�a�Y%��ab]jZPR^`Y�*8T�F#P�*8PRX&µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�Ë � CWS>PRXRUbY�F;XKP�*!V%$ �oHZC ENUbPRX>HRV%'r^�*8YS�UbP��#Y�a HRV�� � S�UWV/� PRF#P�* ]jZ

D E ç¶�FHG������ë ò µQ¶�ÈÊÉm×m½oÏ�Ë©Ø�Ï�× ò æ Í^�*`H�Ù©æ Ía½4Ûg½�,�,�,d½ � � a�PD E ç¶�FHG������ë ò µQ¶�ÈI:�ÈÊÉoËw½oÏ�Ë©Ø%:�ÈÊÏ�Ë ò JüÍ ,-ANPK�I�cXIKd eRf8gWhKd*O*Nô5CO�¢x!$!$¨Q��¥g���"¨ V "�"#�û��"Ð���ÈÊÉoË�æ :�ÈÊÉoË�Ø.J��©ÈÊÉoËw'��¿¡�§

J��©ÈÊÉoË�R®�"��¥x§$�����g¤�Æ�û��"���"�"��±�¨Q���a�d�xäa¤�§g��ó=¢x�d��¢x��³´¢ V "�"#�û��"�':�ÈÊÉoËQ��� "£_¤�¢x¨�'��"���"�"¢$¡a¤�§J³´¢xÔ´�"¨ �AÈ��gËw5��!_¤��ü¡a¤�ÆÓ#�¢x#���±�­Ê¤���Ñ��Ó���a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g�²¤��"��§g±"�"��¬ü����§$��¢g¥g��­�������*�����g¤���Æ�л¥g!_Æ� "!_¤����*��Æ"Õ

µQ¶�ÈÊÉm×o½��gËôÂ��$×o½aÙ©æ Ía½4Ûg½�,�,�,d½ ��½�D E ç¶�FHG ò µQ¶�È���ÈÊÉoËw½��gË ò JüÍ

Page 23: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �M�N���������\�� ������������� ���\� ���

¥g��'��xä�§g�*��¡�����'D E ç¶�FHG ò µQ¶�ÈI:�ÈÊÉoËw½��gË©Ø%:�È��gË ò JÓÍ ,i"¢x#��"¨ ��Ñ���¢x£$�a¨�'$¡a¤�Æ�¡���#�¢x£$¢g¥x§J¤�¯g!J¥g�*¢��"��§J¡a¤��*³�§g�"��Æ´1�Ä ��#�¢$ä�§g!J¥g��§��§$���*�a�d�´å�¢x�d¢�ù�¨Q�� "!J¥g¢x�����*�"¨�'gä�¥g�´!_ "Ô�§g!J¥g�g �§$¥����a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯¤��"��§g±"�"��¬ V "�"#�û��"���"¢$¤����@T"¶´ÒAX��

�¥g¢x#�¢$Æ"'*ä�¥g�

T"¶�ÈÊÉm× ËQÂ��$×o½oÙPæ�Ía½4Ûg½�,�,�,w½ ��½AD E ç¶�FHG ò T"¶�È���ÈÊÉoËoË ò JüÍ , È��*Ë-~¤�Æ}¥g�a�d��'�ä�¥g��Ñ�� �¥g��§$��³?¡�¢g¥g¯�!_ "Ô�§g!J¥g�*���*¢x�"��§����a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g����­!J¥g�%T"¶�!� "#�¢x£$¢x�"�"��¨Q���*��å´§?!$�*��±"!J¥g�*¢x¨Q�©'��"¢x¨ Ñx *¡�§$¥A¡��a!J¥g¢g¥g�xä�����!$��­!_¤�¢g¥g¯g!_Æ��"¢�¥x§g�a��§g¨© �(�'x§g!_¤���¨Q��¡���#�¢$³�§g¨�'gä�¥g����ÈÊÉoËK=Ò�µ~È7X � ½ ��=Ëw5g-~¤�Æ¡���#�¢x£$¢g¥x§J¤�¯g!J¥g�*¢ ý$¥g�a�d�ü�"���"¨.§g�"�"¨�"��§J¡a¤��*³�§g�"��§ ��5P-0§g±"!J¥g�*��¥x§J¤�¯g����'� ¡�¢x�"���a¨�!_¤� �ä�¢*§ %X

�!$�a!J¥g����¥Ó�"£¹���g¤��"���a¨Q��� �*��¡�¢ �

�ÈÊÉoËáã $��ÎÈÊÉoËw'.�¿¡�§

$��ÎÈÊÉoËKR���§g��¥g���"û�¢g¥x§J¤�¯g�"��±ü�"¢Dº ¼�½¿¾ÁÀô¢$¤��4§xÑ���¢x��ä�§g!$#��"±Ó���g¤��"���a¨²¥g¢x#���±©'ä�¥g� !J¥x§g��§g�"¯���ÈÊÉoËQã $�� ÈÊÉoË0��§��*��å´§���5 ��!_¤�� � ö ÈÊÉoË�Ò-ÊÙ !ôÈ %X

�7�Ú ��ÈÊÉoË¿ÝJËw'

��ÈÊÉoËA=Ò %X�'5��ÈÊÉoË�Ò %X

�'�¥g� ��ÈÊÉoËA��§�Æ��g¤�Æ�§$¥g!_ÆÓ�*�� �¥g��§g�"��§g±�¥g�xä�#���±�Ä ��¥*­���a!$��¥x§J¤�¯g���Ó�"��Æ�¨Q��± �AÈ�� ö ÈÊÉoËw½ ��ÈÊÉoËoËA¨Q���*³�§g!J¥g�*¢8X � " �AÈ�� ö ÈÊÉoËw½ ��ÈÊÉoËoËw5ô�!$¢x¨Q�a¨�¡�§J¤�§a'��*¡��"¢��"£´�*¡����a!J¥g�a�����"�"��¬ �"�����"£$�*�*¡��"��¬ V "�"#�û��"� � ö ÈÊÉoË�Ó¥g�xä�#�§ � ��§b�a�d��¢x�"��ä�§g�"¢�'.!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g����'áý$¥g¢b³�§b�*¡����a!J¥g�a�����"��Æ�Æ�"�����"£$�*�*¡��"¢$Æ}��§��a�d��¢x�"��ä�§g�"¢��& �¤�Ð�Ñ���±D�"£ V "�"#�û��"±D�*��¡�¢ � � ö ÈÊÉoË>nn�ÈmÛ»Ø � Ë ��ÈÊÉoËw'0§g!_¤�� � tæ Ía5�/����a¨.§²¥g�a�d��'=�"�����"£$¨.§g��§g�"�"��£$�"¢x#�¢ �¨.§g��Æ�§$¥ £$�"¢x# �� "���a¨Q�"�"¢*§g¨Q¢$Æ �*¡����a!J¥g�a�����"��Æ�Æ��"�����"£$�*�*¡��"¢$Æ Ä !n ��"¢�Ø � ��¤��2�"¢x��Ñ��a����¥*ùm5�*0ä�§g�*��¡�����'Qä�¥g��#����� "!_ )X � ��§ ¨Q�a�¿ �¥b�"����­�"¢$¡a¤�§J³´¢g¥g¯¹�*¡������*��§g¨.§g�"����¡���§ V "�"#�û��"�©'ô�"¨.§gÐ?Ô´��§b�b¥g�xä�#�§ �D�*¡�­���a!J¥g�a�����"�"��§}�"�����"£$�*�*¡��"�=§���¢x£$�"��¬&£$�"¢x#�����5 5�¥g¢x#"'K��ÈÊÉoË~��§?Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ�*�� �¥g��§g�"��§g±���¥g���a!$��¥x§J¤�¯g���´�"��Æ�¨Q��±��AÈ�� ö ÈÊÉoËw½ ��ÈÊÉoËoË©¥g�xä�#���±&¨Q���*³�§g!J¥g�*¢X � "��AÈ�� ö ÈÊÉoËw½ ��ÈÊÉoËoËw5 ¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g����' %X � Æ��g¤�Æ�§$¥g!_ÆD�d��¢x�"¯gÐ X � È�� ö ÈÊÉoËoËw5�A���"¨.§g��Æ�Æ��"��§J¡a¤��*³�§g�"��§»����¥x§g�a��§g¨© D(�'x£$¢x#�¤�Ð�ä�¢*§g¨�'$ä�¥g��!_ "Ô�§g!J¥g�g �­§$¥´���a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯ V "�"#�û��"���"¢$¤����@T"¶´Ò X��

�'* *¡����g¤�§$¥g�*�a��Æ�Ð?Ô´¢$Æ "!_¤����*��Æ�¨°Ä #aùm5

��!_¤�� ¨Q� ¥x§g��§$��¯°���"��§J¡�§J¤��"¨ª���a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯�����§$��¢g¥g�a�����µQ¶ ! ���a¨Q�aÔ´¯gÐ ��¢x��§g�"!J¥g��ÕáµQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½��gË�æ�T"¶�ÈÎÇPÈÊÉoËoËw½�µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�Ë�æ ÇPÈÊÏ�Ë�"���bϹÒÓº ¼�½¿¾ÁÀ $xÚ �*Ýx'�¥g��'"�xä�§g�*��¡�����'����a!_¤�§J¡����*¢g¥x§J¤�¯g���a!J¥g¯} *¡����g¤�§$¥g�*�a��Æ�­§$¥? "!_¤����*��Æ�¨�ÕD E ç¶�FHG �����ë ò µQ¶�ÈÊÉ × ½oÏ�Ë©Ø�Ï × ò æ Í�"��� ÙPæ�Ía½�,�,�,d½ ��½CD E ç¶�FHG������ë ò µQ¶�ÈI:�ÈÊÉoËw½oÏ�Ë©Ø%:�ÈÊÏ�Ë ò JÓÍ ,�A��§J¡a¤��*³�§g�"��§�1�¡���#�¢x£$¢x����5

Page 24: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� � ���������� ����������������������� ������

�� �5? <g� � A *A��§$��¢g¥g�a���°#�¤�¢x!$!$����� �È �gË���� � È �gËw5*A�"��§J¡�§J¤�§g�"��§ ����§$��¢g¥g�a�����²ý$¥g��¬ #�¤�¢x!$!$��� ¡�¢x���²�� a m5 *A��§$��¢g¥g�a�µü·Q¸»º ¼�½¿¾ÁÀ�Â฻º ¼�½¿¾ÁÀ��"���"�"¢$¡a¤�§J³´��¥A#�¤�¢x!$!_ �� �È �gË�Ä #�¤�¢x!$!_ �� � È �gËoËw'�§g!_¤����Ï}ÒDº ¼�½¿¾ÁÀP�"£»¥g�a�d��'�ä�¥g�

ÇPÈÊÉoË.Ò�¸ º ¼�½¿¾ÁÀ ½�Ç � × � ÈÊÏ�ËQæ�Í�"���

Ù©æ�Ía½4Ûg½�,�,�,w½ � ØüÛg½ôÇ � � ÈÊÉoË�JüÍ»ÈÎÇ � � ÈÊÉoË 2 ÍxË���������� s Ûjn��

Û�Ø � ½~�¿¡�§�������æ«ç?éJê� ì�í îXï ðÊñJò Ç � � ÈÊÉoË ò ½����� AæÃç E 4� ì�í îXï ðÊñJò Ç �

� ÈÊÉoË ò!_¤�§J¡* �§$¥�µ~ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�ËáÌÓÍa5� � a ?¡���#�¢x£$¢x�"¢�¥x§g�a��§g¨Q¢2��Ñ "!_¤����*��Æ�¬!_¬��*¡��"¨Q�a!J¥g�����a!_¤�§J¡����*¢�­¥x§J¤�¯g���a!J¥x§g±¹����§$��¢g¥g�a������#�¤�¢x!$!$����� �È �gË.��� � È �gËw'�¢�¥g¢x#�³�§� "!J¥g¢x�����g¤�§*­����'xä�¥g������§$��¢g¥g�a��� 6�¹¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�Ëw'xÆ��g¤�Æ�Ð?Ô´��§g!_Æ�¢$¤��4§xÑ���¢x��ä�§g!$#��"¨Q�D¢x�"¢�­¤��a�d¢x¨Q������§$��¢g¥g�a������'P���a!J¥g����§g�"�"��¬ �Q5 G?5�R�¢x!$#�¢x#����*��¨ � �� m'���Ñ�¤�¢$¡�¢xл¥!_¤�§J¡* "Ð?Ô´�"¨ !$�*��±"!J¥g�*�a¨�Õ�¡a¤�Æ�¤�Ð�Ñ��a�d� ��Ò ÈqÍ 7 Û_Ë=¨Q�*³´���¹�"¢x±�¥g�"! ö ¥g¢�­#���§a'�ä�¥g���"���-!%J"! ö 6�¹¶´Ò�� �� È �gËw5�A���"��§J¡��x¨ V �a��¨© g¤��"�����*#� i�§g�a��§g¨Q� Äm� a m'�!J¥g��5ô%x1aùmÕP�0 "!J¥g¯DÇPÈÊÉoË�Ò¸ º ¼�½¿¾ÁÀ©�©'��"��� ý$¥g�a¨�' ò Ç �

� ÈÊÉoË ò s;T-J Ía½�µQ¶�Ò�� �È �gË�Ä ��¤��¹µQ¶�Ò�� � È �gËoËw'¥g�a�¿¡�¢

ò µQ¶�ÈÎÇPÈÊÉoËw½oÏ�Ë©Ø � l�� ö

Ç � � � ÈÊÏ�Ë!�� µQ¶�ÈoÈÊÉPØ�Ï�Ë � ½oÏ�Ë ò s

T � � l��� ò µQ¶�ÈoÈÊÉPØ�Ï�Ë

½oÏ�Ë ò ,-~¤�Æ´#�¢$³?¡��a�d�?Ï X ë Æ��g¤�Æ�§$¥g!_Æ´£$¢x¨Q��#�¢x�"��§g¨Ó¨Q���*³�§g!J¥g�*¢ V "�"#�û��"±�*��¡�¢ � 6áÈÊÉoËw½ � Ì®Ía½�6áÈÊÉoË�Òü¸ º ¼�½¿¾ÁÀ 'QÛ=Ø �'s)6 � � ÈÊÉoË;s�Û+n��bÄ �D!_¤� �ä�¢*§#�¤�¢x!$!$¢�� � È �gË.¡��g¤�³´�����*�����g¤���Æa¥g¯g!_ƹØ0ÛáØ ��s;6 � � ÈÊÉoË s�Ø0Ûjn��gËw5�A� ¥g��± ³�§�!_¬�§g¨.§a'�ä�¥g�Ó���¹�"���"¨.§$��§�3J'�¨Q�*³´��� "!J¥g¢x�����*��¥g¯a'�ä�¥g� "!_¤����*��ƹ�"���"��§J¡�§g�"����± �*��å´§�¥x§g�a��§g¨Q���"£ � a á��§}�d¢x��¢x��¥g�"�� "л¥�!_¬���­¡��"¨Q�a!J¥g¯´µQ¶�ÈI:�ÈÊÉoËw½oÏ�Ë~#A:�ÈÊÏ�Ë~�"���& "!_¤����*�"�

D E ç¶�FHG �����ë ò µQ¶�ÈÊÉm×o½oÏ�ËPØ�Ï�× ò æ�Í»¡a¤�Æ}ÙPæ�Ía½4Ûg½�,�,�,w½ �§g!_¤���¬���¥JÆ´Ñ�� ¡a¤�Æ��*¡�����±}¥g�xä�#�� ��Ò¹Èq¼�½¿¾dË©�*�����g¤���Æ�§$¥g!_Æ ò : �

� È��gË ò æ"� 5�D!$¢x¨Q�a¨Ó¡�§J¤�§a'*¥g¢x#�#�¢x#´¡a¤�Æ�¤�Ð�Ñ��a�d��ýJ¤�§g¨.§g��¥g¢Y6áÈÊÉoËáÒ X � �"¢x±�¡�§$¥g!_Æ('J ÍD¥g¢x#���§a'ôä�¥g� ò 6áÈÊÉoË ò s&( ò É.Ø � ò '©¥g��'Q�xä�§g�*��¡�����'á§g!_¤�� ò : �

� È��gË ò ææ#� '�¥g�5:�ÈÊÉoË`n�� �ÈÊÉoË =Ò5X � '��¿¡�§�� »ÈÊÉoË R����g¤��"���a¨ !J¥x§g��§g�"�Ó��§��*��å´§

Page 25: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Î ìíîæåñòâàõ ñõîäèìîñòè 25m. Òîãäà �K� = K�( ). Äîñòàòî÷íî ñîñëàòüñÿ íà ïðåäëîæåíèå 3 èòåîðåìó 2. Ëèòåðàòóðà1. Êîðîâêèí Ï.Ï. Î ñõîäèìîñòè ëèíåéíûõ ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ â ïðî-ñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ �óíêöèé // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑ�. 1953, ò. 90, � 6, ñ. 961-964.2. Ëàáñêåð Ë.�. Òåñòîâûå ìíîæåñòâà äëÿ ïðèáëèæåíèÿ îïåðàòîðàìè è �óíêöè-îíàëàìè êëàññà Sm. Ì.: ÌÈÏÊÕÏ, 1990.3. Áàñêàêîâ Â.À. Îáîáùåíèå íåêîòîðûõ òåîðåì Ï.Ï. Êîðîâêèíà î ïîëîæèòåëü-íûõ îïåðàòîðàõ // Ìàò.çàìåòêè. 1973, � 13, ñ. 785-794.4. Àáàêóìîâ Þ.�., Ëàìïå Å.È. Îá îäíîé òåîðåìå òèïà òåîðåìû Ï.Ï. Êîðîâêèíà// Ïðèìåíåíèå �óíê. àíàëèçà â òåîðèè ïðèáë. Êàëèíèí: Ê�Ó, 1974, âûï. 2, ñ.3-7.5. Àáàêóìîâ Þ.�. Àíàëîã òåîðåìû Ï.Ï. Êîðîâêèíà äëÿ îäíîãî êëàññà ëèíåéíûõîïåðàòîðîâ // Ïðèìåíåíèå �óíê. àíàëèçà â òåîðèè ïðèáë. Êàëèíèí: Ê�Ó,1975, âûï. 6, ñ. 3-4.6. Àáàêóìîâ Þ.�., Çàáåëèíà Í.À., Øåñòàêîâà Î.Í. Î ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ ëè-íåéíûõ �óíêöèîíàëîâ è íåêîòîðûõ îïåðàòîðàõ êëàññà S2m // Ñèá. ìàòåì.æóðíàë. 2000, ò. 41, � 2, ñ. 247-252.7. Àáàêóìîâ Þ.�., Áàíèí Â.�. Ìîäè�èêàöèè òåîðåì Êëèìîâà, Êðàñíîñåëüñêîãî èËè�øèöà è èññëåäîâàíèå àïïðîêñèìàòèâíûõ ñâîéñòâ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ.×.1 // ×èòèíñêèé ãîñ. ïåä. èí-ò. ×èòà, 1987. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 17.11.87, � 8094.8. Àáàêóìîâ Þ.�., Áàíèí Â.�. Îá îïåðàòîðàõ êëàññà �m(") è îá àëãåáðàè÷åñêèõàíàëîãàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ Áàñêàêîâà // Äè�. óðàâíåíèÿ è àíà-ëèòè÷åñêàÿ òåîðèÿ. ×èòà: ×èò�ÒÓ, 1999, ñ. 75-80.9. Áàñêàêîâ Â.À. Îá îäíîì ìåòîäå ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ êëàññà S2m // Òåî-ðèÿ �óíêöèé è ïðèáëèæåíèé. Èíòåðïîëèðîâàíèå ïî Ëàãðàíæó. Ñàðàòîâ, 1984,ñ.19-25.

Page 26: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ����������������������� "!$#&%�'�(*)*)*+

,.-0/21�34%�5 6

798":<;�=.��8�>"����:0=.��?@����������<��A���B=�CD����>"���<E8GFH��7I�BJK>L79������� �����A�:BM�>����

N 5POQ5�RTS$U�VXWYS�'�ZA5\[K5�]_^�`�WYS

a�bdc4c4e�b4f4g�hHijbdkdfdcml�n4bpoqbpr*bse�bdtqc4hHe�hHn4bdu�hHhBtqhHvHkdfdh*r*kwc4tyx$z�{dvHk4g�|} hHhD~*kdfdb4fdk4~*�dv�x } x�bd�H�Hb4g�b4fdb�i�tyx$vHk4r*v�x$zDfdxwr*tqk�f4g�bdkwtyfdx$g�hHh����g�k4o$~*xj�0kwv�e�kdfdxjoT��xycpf4g�xykwvHh*l�cm���yx$��fdhHe�bp~*�dv�x } x0�H��g�bdid~*kwvHh*l��

�"�$���$���0� ���y�"� �$���y���H�p� "�"� �q�y���y� ��� ��� ��� �y� � � � ��� � � � �j���y���H�p�Q� ���� � � � � ��� �KN� ��Q� �y� � !y¡ � � � � �y� � � �y!w� �*������¢ �"£<�"� � #H�y� ��� !$#�� �*� � � �9¤£ �$���$�_�*���y¥Q���y¢�¦��$��� ��!j�y�"#��§��� �y� ���"�� "�"� �q�y���y� ���"5y¨ ��� � ��� !j� � �"� � �¦���� �s� ��¦ "! �����y���y�"� �y�� ����� �s# � !j� �y© � �y¥ª�y� ���"'�� �y� ���*� � �H�p�2� ��!q����y�"� ���s�&� � � �*��� �s� �"��� ! ������� �"��� �"« �"� � � � #�!$�"�X "� �<� 5¬¨�5*O ��� �y������ � �"�®­ 3j' (�¯°5"O � �s�"� �²± � �H�p� ' ± #�!j�y� � � �$���y�����®� � ���y�"� �$���y�����*  "�"� �q�y��� �� � � ' �"�q¢����y�"����� # � #®� � £w ��� � � �&� �y¥ª�y� ���@#�� �*�y�*��¢ £ �$���$� � �"�&� ! ��� ���� �"��� �"« �"� � � � #�!$�"�X "� �G�G�y�p� # ��� !$!$� ��� !$# ��¢ ¡ � ���X � �"� ��� # � '.� � �� � � �y!w�®�"� �H� � � �s� � ���� "�"� �q�y���y� � � �9'Y���"��� �"�$� � � �"� � !w��# �H�p� � �*����*� £$�X "³ �y� � ¢�� # � £$� �*�*� �y!w� ���y± ¡<¡ � #H�y� �*� ���9'Y�H5 � 5 ���L��¦�� !$� �j� � �*�*� �� ���y�"�X "�´£ �$���q�"���H�p� #������ � �����&# �$��� !j� �*� 5

O �H± � � �X X' � ! � � �p���*� ����� �§� �"���"# ���$����� � � !$� � #H� � � �y¥ª�y� ���L£ �$��� �� �X's� ����� � ���y��¦ ¤ �*� �"� � !j�y� �´µ � �q����� �9¶ � �y¥ª�y� �"��£ �$���$� � � ���y�"�s���£ �q« �"�X· ��� !j� � � �q����� � � !j�y� � ��� � "�"� �q�y���y� � � '��"���@# � � � � � ��£ �"�$���y� � �� ���y�"�s�"£$�"�� � � �H�p� ¡B � # « � ���"�$���L� � � � ���*� �y!w� � � �y�p� � ���y�"� �$���y���H�p�£ �"�$���y� ��� ���§¦��y���q� ' ��� � �"� £ �$���q�"� ©A���j� � � � � G¸d5�¹ � # ��� "�"� �q�y��� �� � �ª¦ ��� � �"� £$� �*� � � !w ¦�� ���y�"� �$���y� ��� � � ���y�"� �$���y� ����!T� �q����� !j� �y©��� ¸ � !$�s��! ��� £ �"�$���y� ��� � ���y�"�s�"£$�"�� � � �H�p� ¡B � # « � ���"�$����  5sO<� � #���y� ��� !$#�� ± � �@��� !j�y� �p�*� �y!w�º£ � ! ��� �» "�"� � ³ �y� ���G� �*���j� �X' � �"��!$� �*�q© �³ �y¢ � �y�$���y� � ¢ "�"� �q�y� � � �s� ¢ �"� �H«"� !$!&��£ �$���q�"����¢���¦ � ����� �²� � ���

¼½ U¿¾ÁÀs¾dÂ�ÃmĬÅ$ÆmÃwÇjȲ¾ É�¾dWYÊPˬÆmÃwÇw̬ÍmÍpÎ

Page 27: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ ������������������������������������������� ��

!$��!j� � �s� � ��¡<¡ � � �y�"« � �$���y� �9¤& "� �q�*���y� � ¢ 5�,I�"� � ³ �y� � ��± � ��¢ !$��!j� � ��s�� "� �q�*���y� � ¢&�*� £$� � � ��� £ � ! ��� ��� �q« � ���"�$���y���H�p�ª� � ¦�� � � ¡ � £ ���*�H�p��"� � !j�y� �q� !j� �*� ' ��� £ �q� ��!$�"� ��¢ � � � � � �y�"����¢ � � � �y� ���"� ���*�q� ���"'�£ � � �y� ���!w¤ �*��� �9¤L! � ��£ �y¢ � ¡B � # « � ���"�$���ª± # � � �*�$���y� � � ���s�X5

] ���"� # � �¦��y���y¥ � � !j� ��� ! � ���*�y� ' ��� � � !´ ��! � � � !$� �y« ��¡��"#���"���"# ���$������¢ £ �$���$� �X'T� � # ��� "�"� � ³ �y� � � � �*���j� � ��� ���*� � � �j���*� �� �H�p� � � £w ��� � � � � �®� � ��� !$� � � � £$�"� ���*�q�"���H�p� "�"� �q�y���y� ���"5¿O �H± � � �X ���$���y���y¢"¥ª�q� "�"� � ³ �y� � � � �*���j� � � � � � � ��¢®± � � �  ¿� !w "³ � !j� �y� � � �y!w� �"�� ! ������� �"��� �"« �"� � � � ! ¥ �"� �y� ���"'X�"��� �*�*� ��³ �y�p� # � ��� � � ���y�"����¢ £ � ����$���<� ���y�"� �$���y���H�p� "�"� �q�y���y� ���"5qRQ' �"� # �����y« 'y�y� � �y� ¢&± � � � � �y¥ª�y� ���£ �$���$� � � �"��� �*� !$!j� �q�����y���y�"����¢ ! � ��£$�X'���!$# ��©����y�"����¢²�"�_� � � � � � ± � � �� �*  �"��� �*�*� ���L#²� �j���*� � � �X ´� � £w ��� � � �j �»� � ��� !$� � � � £ �G� "�"� �q�y��� �� ��� ! ��¦ � � � ����¢ ! � ��£ �y©ª �­ " ' 1�¯°5

O<� �j�H���q�p�*� �X © � � � �*� �"#� D� � � ��� �"� � � ����© !j�y���"� ���*� � �@�"� �"������ � � � · � ���y�"�s�"£$�"� ���*� � � �y� �*� #H� � ��� © �"� �*���y���y���H�p����� ��� �y� ��� «"�y� �y� �� � !$! �$#�%G B�KN 's! ����� � ¥Q�q© ³ �y�p� � �y�&! �@�"£ �"�$���$���y����¢ � �q� #�� � �y� � �!y¡ � � ���H�p� �"� � !j�y� �q� !j� �*�<� £ �$���q�"� © # �����j��� © � �q� #� �"� � ����� ��¤ ��� �!j�y� ��� � � �X5I/9����� � ��� � � � ���y�"� �$���y��� !j�y�2�y� �*� #H� � ���"� � "�"� �q�y���y� ���  � �y� � � �y!w�®� � #�!$�"�X "� #�� ��� �y� ��� !$# ��¢�±y��� � � �"� �KN � # �����j������¢ � �q� # ��y� �*� #H� � ���"�X5- � ��� �y� � �'#�% �KN´� �"��!$� �*�*� �y!w�Q! ���j� © ³ª�"�s�� "� �q�*���y� �����s� ­ ( ¯°·

)+*)�,.-0/�123/547698 :<;>= *@?BA�C - *>D =) ;)�,@-FE2 * / 4�GIH�6J;* =K; ?BA�C -.; D =)�L)�,M- * 698 :<;>= LN?BA�C - L�D =)�O)�,@-.PRQS * = O>?BA�C - OID =

� 3  

�¬���T*@?U,9CWV � �*� ��� !$# � � � !j�y�X' ; ?U,9CWV �p�y�2�"� # �����"� �y� �*� #H� � ���"� #�p� ���"£ ��� �j X' LN?U,9CXV � ��! � � �@�"�$� � ����� ��¤ ��� !j� �y© ��� � � �X' O>?U,9CXV ¦�� £q�� � £$� � � �"�"� � µj� £ ���y¥ª�y�"�"� �"¶ �H� � �"� �y� �*� #H� � ���"�X' ,7Y[Z A =9\<]^= 2 V � � !$! ��KN ' 4 V "!$# � � �y� � � ! �*��¦��*�����H�p� � �$���y� ���"' 1 - ?`_7abD<cd_7a�eBf�g�C S *'g�h�i�jV ����¦����*��� ! � �"� � �y� �y���y� � �&�KN ' E - _lkm f S *'g�h�i�j5V � �*�>nY� � �"� �®!$������®�KN ' S - S>oD�pIqJr ? /<P L5CsV � ��� � ��� !j� �º� �y� � !y¡ � ��� �"�G� ��! � � �tL 'QSvu.S i S oD ' f.V �p�y�»� � � #�� � "�"� �q�y���y� � �*  5�®� �*���j� � _7abD = _7a�e = _lkm = h = 2 = S oD =�Pw=�4sx £ �$���q�"� � � # ��� !j� �q� �y�<5¨9� �q� ���y!w� £ �$���$��� ·H� � #�!$�"�s�"£$�"� ���*� � � #�� ��� �y� ��� !$#� © ±y��� � � � ©

Page 28: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� �������� �>���������� ��������������

� ?BfC -���� *@? \ C�� - 2 * g ? \ C9i�j � (  

�"��� £ �$���q�"� �9¤ª£ �"�$���y� ����¤ � ��! � �y��� µj� £ ���y¥ª�y�"����¢ ¶ �H� � � ���y� �*� #H� � ����"� � �y��� � �ª� # �����j��� � ¢ � � � �y� � \ 'H�H5 � 5��"���²£ �$���q�"� �9¤ L�� ' O��

LN? \ C / L�� - A = �$"� 

O>? \ C / O�� - A�� � (H , �p�y� ; ? \ C �&# �����j��� � ¢ � � � �y� � � � � � �y� � \ ��� ¡��"#�!$�"� ���*�q� �<' � � ������y� ��� � � �"�ª��¦ ³ ��� !j� � � �*� ¤ �*��� #&� �y¥ª�y� � © £ �$���$� �X5 � � � � �*� � ± � � � � ��!w¤ �*���"� � !$��!j� � � �»� 3   �"� �y��¦ � � £w � �y!w� # � � � X·

)+*�!)�O -M/#"�Q$ abD7c Q$ gmj�)&% *�! /dQ$ m *(' = *�!9?UOID C - *�! D =)+*(')�O - Q$ m *�! / " Q$ abD7c Q$ gmj�) % *(' / 4

QS*) * g! c * g' = *('�?UOID C - *('bD =) QS)�O -0/

*(') * g! c * g' = QS ?UOID C - QS D =

� 1  

�¬���QS - S

S oD - pIqJr ? / Q+�C = Q+ -.P L = Q4v- 4P =

Q$ abD - _7abD S oD hj 2 P = ) -

?`_ km C g S oD h, 2 P _7a�e = Q$ m - ?`_ km C S oD h�fj 2 P = � +  

*�! = *('vV �"� ��� # « �"� !$# � � � !j�y� Q* #�% �KN ! �H� � ��� �y!j� ���y�"���§�"�<�p� ���"£ ��� �� �$���y� © � ��� ���y�"# �$���y� ©A� !$� � ��� � « � �$���y����¢ !$��!j� � �s�<5- � # « � ���"�$�G� (   � �H� � �q� � ���y� ��� �$"�  ' � (H  � � � � �"� ¥ ��y!w� ��� � ��� ·

.� ?0/&C - .� � ?`* g! c * g' CI?UO��C � - * g ?UO��C = � %  

QS ?UO��C /MQS � - A = �21� O�Y[Z OID = O�� ]^= OID�3- A�� � 6  

Page 29: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ ������������������������������������������� ���

/ � #ª! ���j� � �T�"£��"��� ���j���y�"� �9¤�! �H� � ���H¥ª�y� � ¢ ' �KN���¦����$���*� �<� � � � �¦��y� � ��� !$# ��¢ � �y� ��� ��¢ '"�H5 � 5�# �H± ¡<¡�� « � �y� � ����¦����*�H�p� ! � �"� � �y� �y���y� ���! � ��£ �q� !_# �H± ¡<¡�� « � �y� � � � �q± � �*� � �"� �s� ��� !$# ��¢ � �*�>nY� � ����¢ !$� � �D! � �� � ���H¥ª�y� � � � Q$ a - Q$ abD�c Q$ m g�i�j�) ' �¬��� Q$ abD � ) V � �y��� �ª��� �j���y� � � # ��� �!j� �q� �y�<5.R<£²� � ! ���j�����y�p� ! �H� � ���H¥ª�y� ���´! ���j� � ��� - j�� � /�� i = �¬����"��� � �H�y� ��¦�� £ �"�$���y� ����� - Q$ m ' � - Q$ a ' �v-0Q$ abD ' - ) j�i ) 5

] ¦�� £ �"�$� �"� � ?���C - j � � /�� i 5"O0 "!j� �����WV # �H± ¡<¡�� « � �y� � ����¦�� ��*�H�p� ! � �"� � �y� �y���y� ���"5s/ � ! � � �j���y�"� �G#G#���� �*��¢ � ?���CT� � �q� # ��� - ����"� �j� !j� �q�y� � � �y!w� �§� � ��� ·

� -�� �� �����

a���a�� ?�� / ����C�c � ?�����C� � �

� - ?�� / ����C � ��� /�� c j

� ��� /�� �] ¦�� £ �"�$� �"�º� �q� #� @� � � � ! �j���y� ���&�"����� ��¢ ! � ! �y©���� ��� � � £���'��H5 � 5

A -? � / ����C � ��� /�� c j

� ��� /�� �]��y#� ��� ! ���j� � � ��� c � - j � ' �s- GIH�:�6 � 5Y¨ ��� � � �� � ! ���j��� ��¤ ��� �¤! �H� � ���H¥ª�y� � ¢ "� �q�*���y� � � # � ! � � �j���y����¢ �"��� � �"� �*� � � � �

� - ?�� / � C!� �'/ � �

¹ �q� # � � � � �*¦��y� � ? Q$ a - � =�Q$ m - � C ! � � � !j� �q�y���y�"� �"����� � � � � �"� � �!j�y� �q� !j� ���y�"��� � ! � ���*� V � �"� � ��� ��� !$# � !j� � 'Y# � � � � � �G! �H� � ��� �y!j� � � ��"� �y��¦ � � £ ���*�q� � © �0� � �q��� � � �"���"� �y� ��� �j���y��� #&� � � �*¦��y��� � �   5¹ � � � � � !$��!j� � � � "� �q�*���y� � ¢�� 1   � � � � �"� ¥ª� �y!w� �§� � ���

)+*�!)�O -M/'Q$ a�*�! / ? Q$ a / � C

!� �'/ � *(' = *�!9?UOID C - *�! D =)+*(')�O -

? Q$ a / � C � �'/ � *�! /TQ$ a�*(' / Q4

QS ) * g! c * g' = *('�?UOID C - *('bD =) QS)�O -M/

*(') * g! c * g' = QS ?UOID C - QS D �� 3p)  

Page 30: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� �������� �>���������� ��������������O<���²� � � � ¤ �*��� # �����*��¢ ��� £ �q� ��!$�"� ��¢ � � � � � �y�"����¢ QS ·

)+*�!) QS - Q$ a�*�! ) * g! c * g'*(' c ? Q$ a / � C ) * g! c * g'!� �'/ � =)+*(') QS -0/

? Q$ a / � C9*�! ) * g! c * g'I*(' � �'/ � c Q$ a�� * g! c * g' c Q4QS *(' =

)�O) QS -M/

) * g! c * g'*(' �

� 3*3  

� � �s� ��� � ��� � �q� !$��!j� � �s� � 3*3   �²! � �"����� �y�"�"� ��!$��!j� � � � "� �q�*���y� � ¢ ·

L -�� D )+*�!) QS c �� )+*(') QS c �Rg )�O) QS = � 3p(  

) � D) QS -M/�� L� *�! -0/� D - D /��� - �7/��Rg - g�=) ��) S -M/�� L� *(' -0/� D - � /��� -�� /��Rg -�� =) �Rg) S -M/�� L� O

- A =

� 3 "� 

�¬���

- D - Q$ a�**(' c Q$ a�*'g!*('+* c ? Q$ a / � C9*�!I* � �'/ � = - g -0/ *�!

* *(' =- � -M/ ? Q$ a / � C9*

I*(' � � / � /? Q$ a / � C9*lg!I* *(' � � / � c Q$ a�*�!* =

-�� - /'Q$ a�* �!* * g' c ? Q$ a / � C9*('I* � �'/ � =

-�� - ? Q$ a / � C9* �!I* * g' � � / � c Q$ a�*('* / Q4QS * g' = - � - *'g!

* * g' �¹ � #L# � # * - ) * g! c * g'�� A '� "! ����� � � !j� �q« � ���"� � ��� !j�y� �p� �s� ��� � ��� ����q�"�Q� � ��� !$��� �j���y��� "�"� �q�y���y� ��� Q$ a � � � ��� �"� �j� !j� �q� ��� �ª�§� � ��� ·� �<-��* � L

� Q$ a -�� D��*�!*(' c �!� � / ��� c �� � / *�!

I*(' � �'/ � c � � - A��ª� 3 (H 

Page 31: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ ������������������������������������������� ���,�! ����� � � !j� �q« � ���"� � ��� !j�y� �p� �s� ��� � ��� � �q�"�º� � ��� !$��� �j���y��� ¡B � # « �"�� ? QS C �"��� �H� � �q� � ���y� �"� ? � / � C � A ·

/ �* � L� � j ? �l/ � C ��� g - � � D /��� *�!*(' � ?`j �'/TQ$ a / � C - A��

O � � � � ¢ ! � � ��� �ª��� �j���»� �"� �q�*��¢º��� !j�y� ± � �H�p�@� ��� � � �y� ��� � � � � ���y�� � � � � � � �"�$��� � D -���<- A*  ' � � � � ��¢ ! � � ��� �ª��� �j��� � �q���y� � ��© 5� � �s� ��� � ��� � �q� �"�ª± #�!j�y� � � �$� �®� �y� � � �y!w�L¡B � # « � �y¢ QS · L - LN? QS C 'LN? QS C -0/ _ ) * g! c * g' i�*(' ' _ -tGIH�:�6 � � A 5�O �H± � � �X

� gR- � � D�*�!*(' c �� � � c _ /��Rg*(' c ���Q4) * g! c * g' QS *(' - A�� � 3p1  

O<� �*� ��¡<¡ � � �y�"« �"� ���*�q� � � � �y� � �$� �

� � ? 1 ? QS C = � ? QS C9C - A � � g ? 1 ? QS C = � ? QS C =+QS C - A� � QS ' �¬��� 1 - ?`*�! = *(' = � D = �� C�� !$� � ²!$��!j� � �s� � 3*3   ' � 3 "�  '��»��!$# ��©�� � �� � � � � �y�"� © ) � i ) QS '�� �y� � �"��� � � �y� � �$� � � - A_�§� � ��� ·� � - ��� ���+g g</���� g �+g �<- A =�¬���

��� � - � � �� 1

) 1) QS = �+g g -�� � g� � = ��� g -�� � �

� � = �+g �<-�� � g� 1

) 1) QSc � � g

� QS�

�®� � £ ��� � � �� � � � � ��� � � � �y� � �$� � � - A � � � ��� �"� �j� !j� �q� ��� � � � #"·� � - �� ���

QS g *c � / j � � / � *�!�*

��� c Q4 * g!QS * g * g' � _ - A�� � 3p+  

O �y� ���*� �´! ���j� © ³ª� �ª� ��� � � �y� ���"·

� D - *.? ��� / ������ � C QS ? �RgX/ _lC� * � QS c Q4 ��������>c�� � Q4 = ��<- ? ��������Jc�� � C&? �Rg</ _lC QS *� * � QS c Q4 ��������>c�� � Q4 =�¬������� - � �'/ �H5KO �*� !j� �q� � �����$���q� �� � � � � �y� � �$�A� 3p+   'I� �y� � �"� "� �q�*���y� � �X" � �y¢ !j� � � �y� � � � ��� !$��� �j���y��� � � � � � �y�"����¢ Q$ a ·

� g� ? Q$ a /�� C / � gD - A�� � 34%  

Page 32: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� �������� �>���������� ��������������� � £ �H� � �q� � ���y� ��� ��¦ ³ ��� !j�y�®� � � ��� �"��� � �H� � �Rg - _ � cd_ '�� _ - � '� �H�¬��� � D � � � �"���"�X ��ª! ���j� © ³ª� ¢²� � � ·

��� -0/�� GIH�6g ; Q$ a698 : g ;

c Q4�GIH�6 g ;698 :>; * g QS

c 698 :>; _ �QS

c , GIH�6 g ; �698 : g ; =

� �<- j QS *'g GIH�6 ; Q$ a698 : g ; Q4 c Q4 GIH�6 � ;698 : g ; * g QS /

j GIH�6 ;698 :>; / , QS *'g GIH�69; �

698 : g ; Q4 c GIH�6 ; _ �QS = =

�¬��� ;�-�� G ����: ?`*('Ji�*�!BC ' * - ) * g! c * g' ' �v-0Q$ abD 5� � £w ��� � � �y� � ��! ���y� ����H�p� � �*���j� �"� ���*�q� ���"'Y�"��� ���j���y�"� � �&� ��� � '�� �*� � ��� ��� ���q© � ± ¡<¡ � #���y� �*��� !j� � � � !$!$� � �y� �y�"����¢ � � � �*� �"#��X5_¨K� � � � £$�"� ���*�q�"����� � � "�"� � �³ �y�"����¢ � �*���j� �L "�"� �q�y���y� � � ���� �"� ¤ �*� � ��� ! � # � #�# � � �y�"� "� �q�*���y� ���� 34%   �"���&� � #� "³ª��¤ £ �"�$���y� ����¤�¡ � £ ��� �9¤�� � � � � �y�"� �9¤ ; ' QS ' � �L� � � � �! � ���y� �*�$��� ! ��� �p�y�ª� � � #�� f '$# � � � ��� ¢ � ��!w¤ �*������¢ !$��!j� � � ��� 3   � �y� ���� �y!w� "�"� �q�y���y� � � �95�O<��� ± � � ��# ��� !j� �q� �y���<� _ � ' � ��# � � � ���9¤²£ �q� ���!w�H� # �H± ¡<¡�� « � �y� �y�A� �y� � ��� � �@� 34%   ' ���y� � � � ¦ �K� � � �*����¦ � �q� � � � #"'� � ��¦ � ¦ � � � � ��� �y�����y� � £ �$���q�"� � �®� � �q� � ��� � � "! ����� ���"59¨K��!j� � � � "� �q�*���y� � ¢@� 3   � � � �y� ���"� ���*�$��� ! � � � � �*��� �� � �"�4� � /I ��q� �§� ( � �p� � � ��� � �# � � �q����� !j�y�   ! ¥Q�q�p� � +�� - A�� A�j �"���º! ���j� © ³ª��¤ £ �"�$���y� ����¤ � � � � �� � �y� ��� �KN � � �y� � !y¡ � ���<· _7abD - A�� � � � � = _7a�e -�� � ��� = _lkm - A�� � � , ��A ,�� =2 - , j�j���h - A�� � � � =+4�- � � � � �� � ��� �q� �»3j· S oD - j � A ,�� =>P5- � � � � ��j! / A , �� � ��� �q� �Q(�· S>oD - � � j�j �J=>P5- � � , j!��A� / A , � �$���$���y�"� �´� �q� # � �y� �*� #H� � ���"� �´��¦�� ��¤ �*� ��� �q� � � ¤ �*���"� � � � � � ·O>?BA�C - A = LN?BA�C - j , A � , � �J= *@?BA�C - � A������ � � = ; ?BA�C - / A�� � , � � � � ¹ � �"��s� �"�$���y� � �@�H� � �q� � ���y� ��� �$"�  ' � (H ��º��¦�� ��¤ �*� ��� �q� � � ¤�! ���j� © ³ª� � ·LN? \ C / A - A = O>? \ C / � � , j � A�A - A�� � £w ��� � � �y��! ��� � ��± �y��¤ �*� ��� �q� � ��� ·

O � � � � � �y� ,I�"� � ³ �y�"�"� ��� �*���j��� O �y���"� � � �*���j��� 3 " 5 " +�%"3p(*) V�V �_ � )�5 ( (*( " (*( ( + ( V�V �\ " %�5 1 1 " %�5 1 )O>? \ C 3j5 ( (*1*)*) 3j5 ( (*1*)*)LN? \ C �\)�5 )*)*)*)�3 )�5 )*)*)*)*)*@? \ C %q)*)�5 1�( %q)�3 %q)*)�5 1�( 6*6; ? \ C �\)�5 1�(+( 3p+*) �\)�5 1�(+( ( 1+"

Page 33: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ ������������������������������������������� � �O � � � � � �y� ,I�"� � ³ �y�"�"� ��� �*���j��� O �y���"� � � �*���j��� +�5 + "+"�(J" ) V�V �_ � )�5 ( 1*6�3 " ) V�V �\ " +�5 3 1 " +�5 3p+*(O>? \ C 3j5 ( (*1*)*) 3j5 ( (*1*)*)LN? \ C �\)�5 )*)*)*)�3 )�5 )*)*)*)*@? \ C 1 1 1 5 6 ( 1 1 1 1 1 5 6*+*)*6�%; ? \ C �\)�5 1 (*6*1*) �\)�5 1 (*+*1*) "

¹Y� � �y� ¢®�*� ��� �q� � � � � � ���*� �y!w� � �ª� � � �*�H�p�&�"�$���$���y����¢ � �q� # ��¢ �y� � �� #H� � ���"�X· O>?BA�C - A�� A = LN?BA�C -� A�A�A�A�� A = *@?BA�C - � j�A�A�� A =�; ?BA�C -0/ A�� ,�' � � � #��� �Q�H� � �q� � ���y� � � � �"� # �����j��� © � �q� #� �y� �*� #H� � ���"�X· O>? \ C / � � � � A�A -A 5�]<!j� �$���y� � � � � � � � � �y���D! �H� � ��� �y!j� � © � �*� ��� �q� �j ´3j5� ��� � ��� ��� � � �*� ��� �q� � � � � � � � � �y��� � �y� � !y¡ � ��� S oD � P # � # �*�

� � � � � � �*� ��� �q� � � ' � !j� �$���y� � � � � � � � � �y��� ! �H� � ��� �y!j� � © � �*� ��� �q� �j " 5� � £w ��� � � �y� ! ��� � �ª�*� ��� �q� � ���W" � ( �"��� ���j���y� �D! �H� � ��� �y!j� ���y�"���L�� �*¦�� � «�� ¤�·

O � � � � � �y� ,I�"� � ³ �y�"�"� ��� �*���j��� O �y���"� � � �*���j��� ( 5 1 %"3p6*) V�V �_ � )�5 % ( %q6*)�%q( V�V\ 1*)�5 6 " 1�3j5 )�3O>? \ C 3j5 +*1*)*) 3j5 +*1*)*)LN? \ C �\)�5 )*)*)*)�3 )�5 )*)*)*)*)*@? \ C +*6*1�5 1 +*1*1 +*6*1�5 6 " % " 1; ? \ C �\)�5 %q( " 1 ( �\)�5 %q(*1*1�% 1�( %O � � � � � �y� ,I�"� � ³ �y�"�"� ��� �*���j��� O �y���"� � � �*���j��� +�5 ( ( ( 1 3p) V�V �_ � )�5 1 1*1 1 1�%"3 V�V\ ( 1 5 ( 1 ( 1 5 1*)O>? \ C 3j5 +*1*)*) 3j5 +*1*)*)LN? \ C )�5 )*)*)*)*( )�5 )*)*)*)*)*@? \ C 1 1 %�5 6*6*6*1*6 1 1 1 5 )�%q+ "; ? \ C �\)�5 %"3p)*6*1 �\)�5 %"3p(*6�% 1+"

O<���"� �j���q� � � ·�� �*� � �y������¢ � �*���j���y© ! ���j� � �Q� ��� �"� � � � �y� �$� � « ������"� © !w¤ � �X ®� �y¥ª�y� ���L£ �$���$� � � 3   x � (H X�"��� ! ������� �"��� �"« �"� � � � #�!$����X "� �_� 5 ¨�5 O ��� �y��� � � �"�Q���y�p� # ��� !$!$� ��� !$# ��¢ ¡ � ���X � �"� ��� # �²� !_� � � � �� ���"� ���*�q� � � �´! � �"����� �y�"����¢ !$��!j� � �s�   5

Page 34: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� �������� �>���������� ��������������O<��� "�"� �q�y���y� �"�X'B!$� � � � £$�"� ���*�q�"��� � � � "�"� � ³ �y�"����¢ � �*���j� �X'

!$��!j� � � � � � � �y� ���"�� � �y!w� �"���"� � � ���§� 3j' 1 � � £ �_¦ ��!j�y� �q� ' ��� ���"���L��!q�� �y��� £ ���*�q� �"�ª�y� �$� � « � ���"����¢ !w¤ � �s��� �y¥ª�y� ���T£ �$���$� � � 3   x � (H  '4�H5P#"5 � �*�� �$���*� � ���y��¦ ¤ �*� �"� � !j� � � � � �y� ���"� ���*� � � ! � �"����� �y�"� © !$��!j� � �X � 3 "�  5

¨ ���j� � �º£ � � � �y��� � ' � � � �"� �j� !j� �q�y���y� � ��� 3p+   � � � �y� � �$��� � � - A� �y� � � �y!w� �����j� � � !j� ���y�"� ���9'��H5 � 5�� � � ��� � �y� � ��� �´� ��¥ª�q� �"�����¦�� ��� �y� � ��� ���y�"� �$���y���H�p� £ �"�$���y� ���²¡B � # « � ���"�$���®� (   ' � � � ! ���j�����q� "� �q�*���y� � � !$��!j� � �s� � 3   � � � ��� £ � � �y� ��� � � �� � �"�A! �H� � ���H¥ª�y� � � �9'�"� �"���"� � ��'� "� �q�*���y� � � � ��� ���s�"� ���*�q�"����¢��p� ���"£ ��� � �$���y����¢ ���$���y��� �!j�y� )��^i )�, - P * GIH�6J; � � �§ "� �q�*���y� � � � µj� £ ���y¥ª�y�"����¢ ¶ �p� ���"£ ��� � �$���y����¢���$���y��� !j�y� )���i )�, -TPRQS * GIH�6J; 5

�������� �������

�m�I�9x$v�f4gql } hHv��9� �.� ����xd~qfplyvHc4tqhHz��"� ��� ��ybde�tyg�k4~*h*oqn4k§a�� �"� ��§h��0kwvHtyx! �� "���§b4fdkwe�b4fdh*r*kwc4tqbplTfdkwx$g�h*lTx$��fdhHe�bp~*�dv$#&%T��g�xyu�kwc4c4x$iq���&� ')(9bp�Htqb*���,+.-$�m�

/ ��0¿h�g�hHv1(B� ��2�§kdfdxjo�#»��xycm~*k4oqx$ijb4fdk4~*�dv$#&%0xyu�kwv�x$t0i9n4bpoqbpr*b3%0x$��fdhHe�hHn4bdu�hHh�H��g�bdid~ylykwe�#&%Qc4h�cpfdkweX�4�9� '.�5�.67���,+4829y�

: �50Xg�x$fdx$i��"� "�� �3�H�Htyg�kwkwi��"� ;�� �<�j��g�e�bdv=�"� >B�?(9x$i4#¿kIe�kdfdxjo�# ijb4g�hHbdu�hHx$vHv�x } xh�cmr*h�cm~*kwvHh*l�i0oqhHvHbde�hHtqk0��xd~*kdfdb$�@�&� '�(9bp�Htqb*���,+.-.+y�

Ay�@�.kj�yk4oykwiCBK� BK� �.DXk4g�v�xq�$g�x$ijtqhHvE�9� �.�!F.hHvHbde�hHtqbK��xd~*kdfdb$�*�&� 'G(9bp�Htqb*�H�,+48 : �9y�5>9ijbdv�x$iIBK� �B� ��J9cpfdx$iLK�� MX�NBIvHbp~*h�fdh*r*kwc4tqhHz2e�kdfdxjo�g�k2O0kwvHh*l�n4bpoqbpr*hcm���yx$��fdhHe�bp~*�dv�x } x �H��g�bdid~*kwvHh*lº��xd~*kdfdxyeQP.PR�§kdfdxjo�#Ae�b4fdkwe�b4fdh*r*kwc4tyx } xe�xjoyk4~*h�g�x$ijbdvHh*lKhBhHv$S�x$g�e�bdu�hHx$vHv$#¿ksfdkT%qv�xd~*x } hHh��<U�gq�wo�#!>9���V>W0¿b4g�(�Xa�B�(B�Y�H#¿����Ay�q�9kdf4g�xyn4bdijxjoqc4tZ� /.[.[.: ��\j��] :G^ +$�m�

Page 35: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ����������������������� "!$#&%�'�(*)*)*+

,.-0/21�354�6 +�'71�894�6 (

�;:=<?>�@�����:BA"������>C���:B�B>�DEDE:BAF��>"0@?:B�;�=DEDE:B�>"��>"��:0DE�AFG7�0<?���0<?��:B�H�����EIJ�KI�@ML.��:B��>FA":=<N:B��:=<N�

�E6��E6�OQPSRTPSU

V�WYXZXZ[�WZ\Z]�^7_`WYaY\YXcbed`f9g�dh[�aZ]�g7W5bC[�d`fhaZi*j&k�]�dhl�amXZXZd$_;\Yamk*i*d*n[�WYXZXZd$k7aZ]�amg�dhXZWJ_Nop^*fh]�^*f9g�dh[qWYr9r$s7[�sYihb$\Yd$]�aN_`d`f9d$]�d`f9W$tvu"w*^�n\YxJ_`WYaY\YXcbByZWY_`^�XZ^7[�dhX5\Yj�rhdhzY{�{�^7l�^7amg�\Yd$_M[�d`fhaZi*^Qd$\�\Yam[�k7a$n]�WZ\5s�]�x�^|rhd$g7l�amg�\Z]�WYl�^7^�}TW~\YWYr$�0aKk�]�d$\Yamr9WYg7^7a~�9^7[�^*w*a$nXZr9^*��]�amWYr9l�^7��d9�$]�WYyZd$_`WYg7^*b�^q]�WYyci*d`�0amg7^*b�op^*fh]�^*f9W$tV�Wm�hd$\YW?_`xJk�dYi*g7amg7W?k�]�^�k�d`fhfhaZ]9�0r9a0���0d$g*f9WMXZd`fham�7X5\Y_`^*b

d$\YaZw*amX5\Y_`amg7g�d$��g7W5s7r9ah��t

3`6��TU9�$�"�h�S�S��&�"�9!`�h�*�����9���*���h�T���Q!$�h���$��!����$��!$���h#7�h�"�*�9�E�K�*�*���7���*�������K�h���$�"�

� �$�h�"#�� �9#7�` "�$¡�¢h�����£���h¡����$�h!m�¤�"����¥�¡��h�E�|¦����9���h�"���2��h���9�"!$���7���h��������*#��§�*�*���7���*����6��§#��$¨��h!`�h���©���$��!$���h#7�h�"�*��� � �ª!$���7!$��¥��©���h«��h�"����$�h���¬�"����¥�¡��h�E�­���9!$!$�E�h�h���"�*�*�$�h!m�©��!$���h¡�¢h�$���*�9�"��� � �����������"�?¦©�"���#����"���9�`¡��h�¬® �9#�#� "�T h¡��7�h�7�����7¯Q�*�*���7���*����6?���*���* °¥��h¡�¢h«q� � �±���9�$���7��¥�����9�$���¬�*�7�$�E�*²��"�?¦³#����"!`�h�� "#�´��"�T'µ��!`�h�h�h¢9� ��� ���9!$!$�E�h�h���"�*�9¶��h!m��E�*���`¡���#����"#����$�h�"�?¦ �9#�#� "�T h¡��7�h�7������'��·���9!$!$�E���h���h�"�±¡��"«q¢±�*��������.�$���"�$�µ�E�h�9�h�E�h�h��¨��h!$#��$�~�E�*���`¡�¢7'7���"��!$���*�9¶Q���$���7!$�����*�"�=��¸��"�$�"#����¦��"�E��¨��h!$#����;�"���7´"�h!$!$�B6T¹C�*���`¡�¢&�E�*²��$�º¥��M�h¢~���h¡��h�$�"�~�7¡��C���7!`�h������h�"���2�h���`¦��.�$���"�?¦©�E�*���`¡��h��#����"#����$�h�"�?¦©#����"!`�h�� "#�´��"���9#�#� "�T h¡�����h�7������'�¨��h���q!$�*�7¶��9¨��$���`��¢q���7�$�*�h¡����Q�"�����*�*�����h¢q���9!m¨��$��¦��9���9#7�9�$�����!`�h�"#"'$�*�=¥��"���h�h¢=�����h�"�E�$¡�¢h�"�=�0�"�9���9�.�$�h���B'`!`�h�9�*���h¢0�����h«q�h�h¢0�$�$���$¨�������h�"�E�$¡�¢h��� � �µ "�"���9�h¡��h�"���~��¦&���*¥����h���T6

»¼ U7½YU7½ZRS¾c¿`¾cÀmÁ$ÂÄÃcÃ5Å

Page 36: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ����������� ��

(�6����MU*P���������U9�S�h�S�����*�hR���P��������"PSRS���`�h�TP�� �!��9!$!$�E���h���"� ���*¥����` � ������������� � ���9#�#� "�T h¡��7�h�7���B�*�*���7���*����69�~�"�����

!`�9�h�"«��h�·!m¡� �¨��*���9#�#� "�T h¡��7�h�7�º�"���`��!`�h�9�h¡����$��!$��¥����º���h#����h�7�� "¶ �h�N�#��7!`�h¢K!µ�h�� �¥�#��9�E�|�7¡�� ���*���*�*���K� ���h�*�*���K�*�*���7���*����'S�;#����h�7����� �"���¦��*�����h!m�K���7���7«q��# � �����������7��¥����9�m "¶Q��� � �~�.�$�h�$¡�¡���6����� ��h��¢��h�E#��7!`�h����7�.�h���h�"� �`¡��h�.�h���h� �7¡����*¦7¡��$²Q���h�"��� � �"� � ���h�*�£���7���7«q#���'������!$#��h¡�¢h#� ����h�9#�´��"� ��¥����9�$���*�9�"���2�©���9�m¡��*²��h�"��� � �������������±���h¡���¶��*�!m� �h#��$��® �h������¯ �9�$���E��¨��h!$#��"�E�T6.�±�"�$¨��$¡�¢h�"���e�E�7�.�h���K�*���h�.�h�"�±�º�h�N�#��7!`�h¢º���*���*�$�h!m�e�*�*���7���*�±���*�F���9�h¡��h�"���h�?6JOB���·���"���`���`¡��h�"�����2#������´"�h���h���9´��"�F�*�*���7���*���~� �9�h�E���$���h�` "��� ® ���7!`�h�h�h�9¨����;�"�"�$#�����¯N�"�$¨��"�"����$�h!m�����h�9#�´���� � �����������7��¥����9�$���*�9�"����!��*�?���`¡��h�"���h�C�9�h��¡���6*OB�7!m¡��B���*��9#�´��"�F�*�*���7���*� ��#��9�$���*�*�$�h!m�&¦��"�E��¨��h!$#��e!$�h���$�9�"�"���±� � �������������.�*��h�$¡�¡���6�� �h�9#��7� �*������� � �&¥��h�$���"�9!$���~�E�*²����µ¦����9�"���h¢q�º�h���9�"!$���7���h��������*�h�h¢76"OB���C���h��¥�¦��*���"�E�7!`�h�F���h¡� �¨����h¢µ�*�*���7���*��' � ���������;���9#�#� "�T ��¡��7�h�7���e�"� � ���h�*�9¶��º��� �9�h�E���$���h�` "���§���9�m¡��*²��h�"���"6"!��h�9#�´����·���9�m¡����²��h�"��� � �����������&���h¡����$�h!m�C�h�������9�$���E��¨��h!$#����T'.���7�$�h�7�T ±�7¡��C���*�����$�"�²��9�"�������h�9#�´��"� � ���������&!m¡��`�* ��$�����*��� � ���h�*�h�h¢76-M¡��C���7!`�h�����h�"���|�E�*���`¡��·�����h�$¡��"�$�"�� ��h�£#����"!`�h�� "#�´��"¶ �9#�#� "�T ��

¡��7�h�7��� !m¡��`�* "¶Q���"�©��¥����9�$�7�?6#!��9!$!$�E���h���"� ���h¡���� ´���¡��"�����e���7!`�h����h�9¨����2¥��h¡�¢h«q� � �·�*�� ��h���h�"��� � �±���"�9�.�$�h���%$�'N�"�.�h¶Q���"�¤�����±�h�h¡�¢h#��!&�*������� !`�h�7�����"� ® ����!�6�3Y¯�6�&� *���h�!m¨����h�h�h¢7'�¨��h�F´���¡��"����� �$�9���h¡����h����7���7«q#��7� � �����������7��¥����9�m "¶Q��� � ���.�$�h�$¡�¡���'����"� � ���h�*�9¶Q�����q�º�*¦7¡����²Q���9¶Q�����Q�`¡��h�.�h���h�£#����"!`�h�� "#�´��"�C!$#����M�h�°��!`�9�h�"#��$¦�6����*���7���*�K��������*�$�h!m�~��¡�� ���9¥��"���*�$�h!m�&!Q���h#����M�h���C!`�h�7�����"�´���¡��"��������6��C!$��¡� ;�h���#���� �����h�$¡��"�$�9´��"�;�E�*²��������9!$!$�E�h�h���"�*�h�h¢q�*�����7�.�$���� "¶¬�E�*���`¡�¢��"�����´"�h!$!$����'"�"���h���9¥���� � �$�&�h¡������"���h� !`�9�h����#º´���¡��"�������º® �"���º���7!`�h�h�h�9¨����¥��h¡�¢h«q�7� ���"�9�.�$�h���*¯�6('.6 �76M���$¡��9� ¥9 *���h� ���9!$!$�E�h�h���"�*�h�h¢·���h#����h�7������h���$�������F�9�`¡��±�h�h¡����"�����*)$'.!$�7!`�h�*�����9�F�"� ���7���7«q�"����# � �����������7��¥�����9�m "¶Q��� � �2�.�$�h�$¡�¡��·� �"�.�h¶Q���9�·���7����!`�h�7!`�h¢,+.-0/214365c6=OB��� �$�h�7�§!�*�������±!`�h�7�����"�ª���*���*�$�h!m� � �9�$�7��¥����9�$�"���e�*�*���7���*��'T!����� � ��� !`�h�7������"�©�9�`¡�� !$���"���"#��9!$�*�$�h!m� !����h#����h�7�����±!`�9�h�"#����T687B!$�����*�"�=�K¸��"�$�"#����¦��"�E��¨��h!$#����~�"���7´"�h!$!$�B'��h���9¥9 "¶Q�����µ���9!$!$�E���h���h�"���º�&�E�*���`¡���9�����¸��¸= "�$���±® ����!$���$��!$����¯?�*�*���7���*���;�º���7���$¦F�E�h�9�$���"�$¡���:��9�h��¡������$���h���7!&�� �9�h�C® �*�*���7���*���*¯��|�;�E�h�9�$���"�$¡��e® ���7���7«q#��*¯;:��9�h��¡��7��¥��.�h�±!$���"���"#��7!9��������h�"���h� ��"�m¡� �¨��h�"���h�³�.�`²Q�*  �E�h�9�$���"�$¡��7�³� � �9�$�7�<:?��¥����9�$���*����"��� � �����������B!= �¨��$�h�7�e��� � ¡��7���h�"���q�*�*���7���*�����~�*�?���`¡��h�"���q�h���$� � �"���¡��~���9!$�"�$� � ������������!��*�?���`¡��h�"���h�e�*�*���7���*�����~��� � ¡��7���h�"���h�F�h���$�"�� �"�T6�-=��¸B¸= "�$���K�*�*���7���*���&�&�E�h�9�$���"�$¡����������9!$!$�E�h�h���"�*�*�$�h!m�º�*�*���*

Page 37: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �������������� �������������� ������ ������������ �������� ���� � � � ���

���h�$�"�$¨����9�`¡�¢h���7!`�h�µ����!$���9�*���h�"�"¶°!M����¸B¸= "�$���h���B���7���$¦�6$��!h�0�7!$�����7��"�=�µ#��7�9¸B¸��"´����h���h� �E�*���`¡��F�$�9�*��!m�7�µ�����9�h�E���$���h�` "���B'"#��7�9¸B¸��"´�����h���Q����¸B¸= "�$�"�;�$�9�*��!$�����h�����º����#����"´"�h���h���9´��"�T6

00 xx

!���!�6T3`6���¦��h�E���"�9#����"���9�`¡���*�*���7���*���

!���!�6�(�6�OB���7´"�h!$!$�£��`¡��h�.�h���h�9�����7� ��¥! S�h�.�

-M¡������7!`�h�����h�"���K�E�*���`¡�� ���9!$!$�E���h���"�·�"���7´"�h!$!$�B'��"������!m¦��*�7��������e�`¡��h�.�h���h�9�����7�ª��¥! S�h�.�F���h���h!`�h�*� ® #� �¥��*¯B!$� !`�h�7�����"�9�E� $�3�1 $�"61 $�#® ����!�6q(7¯º�$�©�*���h�T� $�/c'q�§��!$���h¡�¢h�m ��h�­�$�9#����"� !$�*¦����9���h�"���%$�3'&�8�(�6���$�h�7�§��¥! S�h�.�2¥9 *���h�³���9!$!$�E�h�h���"�*�h�h¢ ����¸B¸= "�$�"���"�"���©�����h��#���*����h!`�h�*�*)8-0/214365��£�9�h��¡����*�=�±�����h��#�� � � �9�h�,+ -0/214365���·�E�h�9�$���"�$¡��-+ -0/214365��h�h¡�¢h#�� �h���h¡�¢;�7!$� 3�6T-M¡��e���"���`���`¡��h�"���7!`�h�°¥9 *���h����9!$!$�E�h�*����"�*�h�h¢ �"���7´"�h!$! � �������"�����*�9�"���"'J�F!m¡� �¨��*�K��� � �������"�����*�9�"��� �E�*���`¡�¢�*���*�*�����h¢h!m�F�9�"�$¡�� � ��¨��"���°��¥����9�$�7�?6T� ���$¡�¢h���h�"«��h�¥9 *���h�°��!$���h¡�¢*��$���*�h�h¢ !m¡��`�* "¶Q����� ��¥��7�$�"�$¨��h�"���ª® ���`¡���¨��"�"�B'0���h���7!m�������h!m�#��������7«q#� T'��"�.�h¶��~�&��¥��7�$�"�$¨��h�"�"�e�"�$��!`�h���9¨��"���e�$�"�9# - ¯;9/. -0/21436510ª#������´"�h���h���9´����~�E�h¡��h#� h¡�������� � �&�*�*���7���*���������7���$¦F®32545687:9Z¯;:!; -0/21436521 -; -0/2143650 �9�h�E���$���h�` "���|�*�*���7���*��� �°���7���7«q#��°® <�¯;:�= -0/214365>0 ���9�h¡��h�"���e�*������7���*���¤�¤���7���$¦¬® ?8@�A`¯;:CB -0/21436521 -B -0/214365D0 �9�h��¡����h�E#��7!`�h� � �9�$�·����������7«q#��e® E�45F�G�H I=¯;:�J�-0/21436521 -J -0/21436510¬�9�h��¡����"�����*�*�����7!`�h� � �9�$���|���7���7«��#��F® E�45K'H ILH MON�¯;:�P6-0/21436521 -P6-0/214365L0 ��¡����h���7!`�h� � �9�$���|���7���7«q#��e® F�G845MONQ95¯;:R -0/214365S0³#��7�9¸B¸��"´����h���&����¸B¸= "�$�"�°® ����!$���$��!$�"��¯ � �9�$�K�º�E�h�9�$���"�$¡��® MON1T845Kį;:6+.-0/21436510ª���7����!`�h�7!`�h¢~���7���7«q#��F® ���h���7«��h�"���~��¥! S�h�E� � �9�$�µ#���*!h�h�T °��¥! S�h�T �¯;:VU6-0/214365W0 #��h¡���¨��h!`�h�*� �����h���9¥�¡��h�"��� � �°® �*�?���`¡��h�"������ ��¯��*�*���7���*���|�"��� � �������"�����*�9�"�"��® ��� � �������"�����*�9�"�"��¯�®32545687:9�H XZ¯;:�YZ0�E�h¡������"�$�~�E�9!$!$���*�*���7���*����:�[1\]0£¨���!m¡��W^��*� � �$������6

Page 38: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ����������� ��

(�6 3`6NA��������º������������ �~��������������� ������h����������/?�h¡���¨��h!`�h�*�º�E�h¡��*�#� h¡µ�*�*���7���*�����"���"���h!h�h�"�����0����¸B¸= "�$�"���"�"���º�����h��#��7�F���7!`�h�9�*«��9�h!m��;#� �¥��&�$�h�C���9�$�"�"´��&�.�`²Q�* e����¸B¸= "�$�"���"�"���E�|�����h��#��9�E�|¨��$���h�&��������$��¦����7!`�h�C#� �¥���9

��� �"! )8-0/214365$# )8-0/2143&% $�365('�$�" $�# $�/*)���� ��h��� #� �¥��~¨��9!`�h¢~�*�*���7���*���º��� � ¡��7���*�$�h!m� �;���h�m h¡�¢$�h�h�9� � ���������������¥����9�$���*�9�"����9

��+,� U6-0/214365<$�3�$�" $�# $�/*)-B�$�.�h���h�"����#��h¡���¨��h!`�h�*���E�h¡��h#� h¡~�*�*���7���*���q�Q#� �¥����E�*²������*�����9�$���h¢!� �¨��$�h�7� ���7����!`�h�7!`�h�C���7���7«q#����"�"�$¨���9

��.,�/! . -0/% $�/214365 +.-0/% $�/214365$# . -0/214365 +.-0/214365('8$�3�$�" $�#0)-B���$�9#����"��!$�*¦����9���h�"���~���h���h!`�h�*���"�.�9�h� ��.,����� # ��+ 6�OB�*��!`�h�9�h¡�����*�����$²��h�"���?�7¡�������¸B¸= "�$�"���"��� � �������h��#��L)8-0/214365 � # R -0/21436521�. -0/2143654351 3�'���h¡� �¨��"�<9 11 /76 +.-0/214365 . -0/21436528 � 11 396 R -0/214365 1�. -0/2143651 3 8:# U6-0/214365*)OB���h��¥����9�m ��h�±���h¡� �¨��h�"�����q "���9�*���h�"����#K¥��h¡��9���"���"�*�?¨����7�T �*���* �91�. -0/2143651 / � ;+.-0/214365

11 396 R -0/214365 1�. -0/2143651 3 8 # . -0/214365+.-0/214365

1 +.-0/2143651 / # U6-0/214365+.-0/214365 )§®�3Y¯

(�6 (�6NA��������~������������ �=<>�� ?��0�����0��������0��<>�@�=A5�����>�=OB���h��#��9�h��¡��Q�"�9��.�h�����$���*�� ��h���h�"�"¶Q¶¬�h���$� � �"¶ª��¥! S�h�E���"�����`¡���¨��"�� �9

B �C�ED + -0/214365 +.-0/214365$# + -0/2143&% $�365 +.-0/21439% $�365(F�$�" $�# $�/*)-=��¸B¸= "�$�"���"�"���C�����h��# �"���"�*�*�����~#º�"�$�.�h���h�"�"¶³�*�� ��h���h�"���h�|�h���$�"�� �"�º��¥! S�h�E���"�q���`¡���¨��"�� �9

B +G� Y D )8-0/214365 B -0/214365 ; -0/2143655#:)8-0/2143$% $�365 B -0/2143$% $�365 ; -0/2143$% $�365(F�$�" $�# $�/43�[1\H)I ���$� � ���"'7���h¡� �¨��h�"�"�$�&�*!m¡��`��!`�h�*�����9�h��¡��7��¥��.�h�"�=JQ���7���7«q#��7�<9

B .,��K 6 -;CL�-0/214365$# ;CL�-0/21436528M%ON 6 -; -0/214365�# ; -0/21436528�)'��h��¡����*�$�~�h���$� � ���~��� � ¡��7���h�"��� � �~���7���7«q#��7� �*�*���7���*����9B L � U6-0/214365 Y�B -0/214365 ; -0/21436543�[1\ )

Page 39: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �������������� �������������� ������ ������������ �������� ���� � � � ���

!��9�$� � ���h�µ���h���h!`�h�*���µ��¥! S�h�.���*�����$²��*�$�h!m�µ¨��$���h�Q�9�h�E���$���h�` "�� �9B�� � D +.-0/ % $�/214365 P6-0/ % $�/214365 B -0/ % $�/214365 ; -0/ % $�/214365*#

#�+.-0/214365 P6-0/214365 B -0/214365 ; -0/214365(F�$�3�$�" $�#0)��!m¡��`��!`�h�*�"��$�9#����"�|!$�*¦����9���h�"��� �h���$� � �"�£�"�.�9�h�<9,B�� � B � % B + %B . #:B L 6*OB�*��!`�h�9�h¡�����!$¶����1Y73�[1\ � P�3�.B® ���h¡� �¨��*�$�h!m���"�1.��CY73�[1\ ��� '� ����� 0���¥! S�h�<: � 0��E�9!$!$�µ���h���h!`�h�*��¯�' )8-0/214365 � # R -0/21436521�. -0/2143654351 3�'+ -0/214365 � # J�-0/21436521; -0/2143654351 3�'E���`¡��·�"� $�3*$�" $�# $�/��2 "!`�h���h�T¡���� #�� h¡�¶ $�3�$�/c'����h¡� �¨��"�°® �7¡��~#����h�h#��7!`�h�C�9� � "�.�h���h�°���Q "#��9�$���*�9¶��h!m��¯;9+ P�B�; % +�P� B�; % +�P�B� ; % +�P�B�; � -0+�J�;�� 5�� % K - -;CL # ;CL�5%ON�- -; # ;(54%%�� P�3�.�� � - R .�� 5���B�;O%DR .���B���; %DR .���B�;���# U�B�;��5),N�"���7!`�h�"� ���h¡� �¨��h�"�����e "���9�*���h�"���76?-M¡�� �$�h� � �¤���$���h���h!h�h� ���$���*�=��h���±!m¡�� � �*�h�E�=�K�"�µ¡��h�*��� ¨��9!`�h�±�º�"���9�h "¶µ'���!$���h¡�¢h�m ��h�¤ "���9�*���h�"�������¸B¸= "�$�"�|®�3Y¯T�K �¨��9�h�?'�¨��h� =� � .� Y73�[1\#9+�P�B�; � -0+�J�;�� 5��G% K - -;CL�# ;CL 5 % N�- -;9# ;(5 %�� P�3�.�� � R .���B���;�%LR .���B�;�����# +�P�B� ;C)'��h���$��¢q���9�m���`¡��"�±�"�+�P�B�� �$�9�"�"«��h� �µ¥��h¡��9���"���"�*�?¨����7�±�*������9

1;1 / � ;+�P�B 11 396 +�J 1;1 3 8 % K - -; L # ; L 5 % N�- -;9# ;(5+�P�B %% RS;.2+!B

1�.1 3 1�B1 3 % R.2+ 1�.1 3 1;1 3 # ; B 1�B1 / ) ® (7¯

(�6 8�6NA��������������������� ��<>�� ?��0�����0��������0��<>�9��������������>�M�����*�*�B "���9�7����h�"�����"�����"�$�*�*�����h!m�~�9�"�$¡�� � ��¨�����6�OB���h��#~�9�h��¡����"�$�.�h�����$�q�*�� ��h���h����"¶Q¶ª�h���$� � �"¶ª��¥! S�h�E���"�����`¡���¨��"�� �9-B � � D -+ -0/214365 - ; #�+.-0/21436545$# -+ -0/2143&% $�365 - ; #�+.-0/21439% $�36545(F�$�" $�# $�/*)

I ���$� � ���"'7���`���9�"�"�$�~�*!m¡��`��!`�h�*�����9�h��¡��7��¥��.�h�"�=Jq���7���7«q#��7�<9-B +,��K 6 -; L -0/214365$# ; L -0/214365 8 %ON 6 -; -0/214365�# ; -0/214365 8 )

'��h��¡����*�$�~�h���$� � ���~��� � ¡��7���h�"��� � �~�*�*���7���*����9-B . � U6-0/214365 Y�B -0/214365 ; -0/21436543�[1\ )I ���$� � ���"'7�*�?���`¡��"�*«q�$��!m�~�µ���h�m h¡�¢$�h�h�9�����h�9#�´��"� � �������"�����*�9�"����9

-B L � U6-0/214365��! 3�[1\ )

Page 40: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ����������� ��

!��9�$� � ���h�µ���h���h!`�h�*���µ��¥! S�h�.���*�����$²��*�$�h!m�µ¨��$���h�Q�9�h�E���$���h�` "�� �9-B�� � D - ; #�+.-0/ % $�/21436545 -P6-0/ % $�/214365 -B -0/ % $�/214365 -; -0/ % $�/214365*#

# - ; #�+.-0/21436545 -P.-0/214365 -B�-0/214365 -; -0/214365(F�$�3�$�" $�#0)��!m¡��`��!`�h�*�"��$�9#����"�|!$�*¦����9���h�"��� �h���$� � �"�£�"�.�9�h�<9 -B�� � -B � # -B + %-B . % -B L 6MOB�*��!`�h�9�h¡����¤!$¶���� -+ -0/214365 � # -J�-0/21436521 -; -0/2143654351 3�'N���`¡��2�"�$�3�$�" $�# $�/��K "!`�h���h�T¡����&#&�� h¡�¶ $�3�$�/c'����h¡� �¨��"�<9

# + -P -B -;�% - ; # +�5 -P� -B -; % - ; # +�5 -P -B� -; % - ; # +�5 -P -B -; �� -4- ; # +�5 -J -;���5�� # K - -;CL�# ;CL�55# N�- -;&# ;(5 %LU6-3Y�B�;�% �! #543�[1\ )O��$���h���h!h�h�2���$���*�=���h���F!m¡�� � �*�h�E�=���"��¡��h�*���C¨��9!`�h�C�~�"���9�h "¶µ'����9�9����`¡��"� �*�����$²��h�"���0�"�- ; #�+�5 -P -B��µ�$�9�"�"«��h�;��¥��h¡��9���"���"�*�?¨����7� �*������91 -;1 / � ;- ; #�+�5 -P -B

11 3 6 - ; #�+�5 -J 1 -;1 3 8 # K - -; L # ; L 5 % N�- -;&# ;(5- ; #�+�5 -P -B %% -; D ;- ; #�+�5

1 +1 / # ; -B 1 -B1 / # ; -P 1 -P1 / F�) ® 8�¯

�2 "���9�*���h�"����¦£® (7¯�'�® 8�¯�!m¡�� � �*�h�E���ON�- -;"# ;(5Q�*�����$²��*�$�º�9�h��¡��7��¥���.�h��!$���"���"#��7!$�������h�"���h�?'��B!m¡�� � �*�h�E��� K - -; L #Q; L 5S�*�����$²��*�$�0�9�h��¡��7��¥���.�h�·�"�m¡� �¨��h�"���h�?6E�S�`¡���¨��"�"� N#1 K 'T�E� � �� ¥��M�h¢K#����"#����$�h�"�$�"�����*�9�"� 9N � N�����1 K@� K ����,$ �' 1 (�6������h!$¢ K � �� ) ����� ;������ )�3���� � + ��� L 02���7!`�h�*������"�$���?�9�9¸��9�"��� &��h¡�¢h´��E�9�"��:��,0©��¡��7���$��¢��������$��¦����7!`�h�C���7���7«q�"����#&��`¡��h�.�h���h�9�����7�·��¥! S�h�.��:�� 0©#��7�9¸B¸��"´����h���7'�¦��9���9#7�9�$���"�m "¶Q���"�;!`�9�*����h�"¢F¨��$�������h� �������$��¦����7!`�h��: N�� 0 #��7�9¸B¸��"´����h���7'?¦��9���9#7�9�$���"�m "¶�����"�;�9�h��¡��7��¥��.�h� !$���"���"#��7!$�������h�"���h�?6

8�6�� �����S�� ����M���F���! ���!"h���M� � � ��PSU9�!#&� *���h�ª���h¡�� � �h�h¢7'J¨��h�·�"��� � �������"�����*�9�"�"�£�*�*���7���*�¤���*���*�$�h!m� �"�

���h#����h�7��� � �¸��"#�!$�"�����*�9�"��� � �°��¥! S�h�E�·¥��h�|���*�����$��²��9�"���2�$�$���9�"������ �|���9�h¡��h�"���©® #����"´"�h���h���9´��"��¯�'��e�"���2��� � �������"�����*�9�"�"�£!$��¥��"���*�$�h!m��e���h#����h�7���7�¬��¥! S�h�.�F¥��h�º���9¥��7��� � �9�$��6J�£�$�h�7��!m¡� �¨��*� � ���9�"��¨��"�=� "!m¡����*���¤�7¡��2 "���9�*���h�"�"� �9�h��¡��7�E�9!$!$�����$���h���7!$� ®�3Y¯ 0�® 8�¯��7¡��°!`�h�7������"�B'���¥����9���h�"����� # � �9�m T'"�E� � ��;¥��M�h¢&���h¡� �¨��h�"�ª�;�"���9� � ���$¡�¢h�����±�����¸B¸B�$���h�"´��"�$¡�¢h�����~¸��7���.�B!=��!$���h¡�¢h�$���*�9�"���h�C�$�9#���������!$�*¦����9���h�"���!m¡��`�* "¶Q���"� ��¥����9�$�7�³® #����"´"�h���h���9´����±� �9�h�E���$���h�` "���F�C��¥! S�h�.� ����"���`�����h¡�� � �*�$�h!m�~���9�*�����D. -0/21 � 521 ; -0/21 � 5v¯�6

Page 41: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �������������� �������������� ������ ������������ �������� ���� � � � ���/?�h¡���¨��h!`�h�*� �E�h¡��h#� h¡°�*�*���7���*��� �|��¥! S�h�.�����;� �"�$¨��$¡�¢h�"���2�E���

�.�h���|�*���h�.�h�"�©���9�*��� [1\ ����3����� � ® ����� � 0 �E�h¡�¢h�"���£��¥! S�h�¬�*�*���7��������¤�"���¬�$�$���9�"���7� �"�$¨��$¡�¢h���7�§���$¡��h�"�"�Z= �`¯�'��£�"�����"�$�*�h¡�¢h�"���¬�E����.�h���³�*���h�.�h�"� ����. -0/21 � 5c'~���9�$�"�"´�� �$�h��¦ #��h¡���¨��h!`�h� �h!`�h¢ª����¸B¸= ���$�"���"�"��� �����h��# ¨��$���h�ª�*!$¶ �������$��¦����7!`�h¢ �$�¬�"���7«��`��«��9� �*���h�T���� � ! R -��1 � 521�. -��1 � 54351 3�' $��6�OB�7�$�h�7�T C�"�.�9�h�<9

����. -0/21 � 5 � [1\ �������� � %�� � R -��1 � 5 1�. -��1 � 51 3 $��) ® 7¯

'��h��¡����*�$� �h���$� � ���C�*�*���7���*���;�;��¥! S�h�.�������;�"�$¨��$¡�¢h�"���|�E�7�.�h����*���h�.�h�"�e���9�*�"� ; - � 1 � 5 B - � 1 � 5 . - � 1 � 5 ����Y73�[1\.'����"�����"�$�*�h¡�¢h�"���C�E�7�.�h����*���h�.�h�"� ; -0/21 � 5 B -0/21 � 5 . -0/21 � 5 ���5Y73�[1\.6.!��9�$���7!`�h¢��$�h��¦º�h���$� � �"�C�$�h�K�9�h���¡����*�=������h��#�� ¨��$���h�°�������$��¦����7!`�h¢ ��� � ! +.-��1 � 5 J�-��1 � 521; -��1 � 54351 3�' $��'��� � ! - ; # +.-��1 � 545 -J -��1 � 521 -; -��1 � 54351 3�' $�~�º�h���$� � ���"'* "���h!h�h�"�"�$�~�*�.�h!`�9��!����¸B¸= "�$�"���"�"���&�����h��#��7�<9�Y�� � � ! B -��1 � 5 ; -��1 � 5 R -��1 � 521�. -��1 � 54351 3�' $��3�[1\E6-B!$���h¡�¢h�m ����$�h� �*�����$²��h�"���"'��E�*²����~�$�9�"��!$�h�h¢�9; -0/21 � 5

B -0/21 � 5 . -0/21 � 5 ����Y[1\

� ; - � 1 � 5 B - � 1 � 5 . - � 1 � 5 ����Y[1\%

% ��� � +.-��1 � 5 J�-��1 � 5 1; -��1 � 51 3 $��% ��� � - ; # +.-��1 � 545 -J�-��1 � 5 1 -; -��1 � 51 3 $��%% Y��[1\

� � B -��1 � 5 ; -��1 � 5 R -��1 � 5 1�. -��1 � 51 3 $��) ® 17¯

B� � ���9�"�"´"�;���7���7«q#�� � �*�*���7���*��� �"������!m¦��*�����º�9�h��¡��7��¥��.�h�2!$����"���"#��7!$�������h�"���h�F�µ�"�m¡� �¨��h�"���h�?'h���7�$�h�7�T � ���9�"��¨������� "!m¡����*���B¥9 *���$����"���`���`¡��7�h¢q�9�h��¡����*���C�����h��#�9

- ; #�+.-0/21 � 545 -J�-0/21 � 5 1 -; -0/21 � 51 3 �:K � - -;CL -0/21 � 55# ;CL -0/21 � 545 % N � - -; -0/21 � 55# ; -0/21 � 545*)|® +7¯�����h!$¢~���`¡���¨��"�"� KG� 1 N � ���"���`���`¡���¶��h!m�C�9�"�$¡�� � ��¨���� K 1&NE6S�±!m¡� �¨��*����*���$¨��F® ���h#��$¨�#���¯��*�*���7���*��� � ���9�"��¨��"�=�0 "!m¡����*�����E�*����¸��"´��"�� "¶��h!m�"6�7���9�"��¨��"�=� "!m¡����*���£® 7¯�'0® 17¯�'.�$�9�"��!$�9�"�"�=�º�|�"���9� � ���$¡�¢h�����£¸��7���.�7'�E�*²����F���$���h�"��!$�h�h¢;� ¥��h¡��9�º�"���"�*�?¨������ ����¸B¸B�$���h�"´��"�$¡�¢h�����·¸��7�"��.�7'S�76 �76J�º�*�����&���"�"�9�E��¨��h!$#���¦ � ���9�"��¨��"�?¦C "!m¡����*�"�©® ����¸B¸B�$���h�"´�����$¡�¢h�"�?¦µ "���9�*���h�"�"�;�7¡����������$��¦����7!`�h�"�?¦;���`¡���¨��"��¯�6

Page 42: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ����������� ��

-M¡�� !`�h�7�����"�B' � ���9�"��¨��9���h� !$� !`�9�h�"#����T' � ���9�"��¨��"�=�� "!m¡����*������"���`���`¡���¶��������h��#�� �9�h��¡���� � �9�$��9

- ; #�+.-0/21;)�545 -J�-0/21;)�5 1 -; -0/21;)�51 3 ���$� -0/4521 +.-0/21;)�5 J�-0/21;)�5 1; -0/21;)�51 3 ���7+ -0/4521 ® %�¯

R -0/21;)�5 1�. -0/21;)�51 3 ���7. -0/45*) ®���¯

�e¨��9!`�h���7!`�h�T'��9�h��¡����*�=�&�����h��#��±�E�*²����º!m¨����h�h�h¢&#����"!`�h�9���h�9�E�T'�������h��# � �9�$�Q�� h¡��h�*���® ���$������¸B¸= "�$�"�;�*�*���7���*����¨��$���h�q!`�9�h�"#���¯�6 B�$¨��$¡�¢h�"���E�| "!m¡����*�����E�±�7¡��C "���9�*���h�"�"�®�3Y¯ 0�® 8�¯=!m¡� �²��h�;�*�������²��h�"���"'m�$�$���9¶Q�������"�$¨��$¡�¢h�� "¶2#����"´"�h���h���9´��"¶�*�*���7���*���������7���$¦Q�E����9�$���"�$¡����º�"�$¨��$¡�¢h�� "¶��9�h�E���$���h�` "�� � �9�$�q�º���7���7«q#���9

. - � 14365 � . � -036521 ; - � 14365 � -; - � 14365 � ;��) ® 47¯

�º¨��9!`�h���7!`�h�T'��E�*²����µ "!`�h�9�����*���h¢ . � -0365 � � 6

8�6 3`6ED ������� ���0����� <9������� ��������?���� � �����������������N-M¡�����$���h!m¨��h�h�#����"´"�h���h���9´��"���*�*���7���*���Q. -0/214365S�=���9�h¡��h�"��� = -0/214365c'`���h�9#�²����7¡������"���*����`¡��h�"��� �E�h¡�������� � �©��¥! S�h�E� ����� �·�E�*²����©�*�7!$���h¡�¢h�$���*�h�h¢h!m� �*���"�"��"�Q "���9�*���h�"�"�F!$�7!`�h�*���"��� $ ��'�4 (�'��µ¨��9!`�h���7!`�h�T'� "���9�*���h�"���h�¤���9��� ���$�"����9�$¡�¢h!$��9

- � #� � 5 6 = % U� +� + 8 � �� ;C) ®�35)7¯

�����h!$¢� >0·#��h¡���¨��h!`�h�*�q�E�h¡��h� � �9�$��:'U � � ) ��������������� � � ��"!$#%'& � ! #

'�� � � ) � ��� � ; � � ��"!%'& � !0 �����"���9�*#��C���9��� ���$�"� ���9�$¡�¢h!$�B�7¡��~�*�*���7���*����6�OB���"���7�h�~!m¨����h�h�h¢7'�¨��h��$�h�º "���9�*���h�"���&�$���h#��*�h�h��� ���"��!$���*�*�$�&!$�7!`�h�*���"���&�*�*���7���*���&���;���9�7�¡��h�"���235)*)�0µ351*);¥��9��6�,E¨����h���*�$�C�9¨��h�*���������º���9���h�"!`�h�*� .�� � �[1\©® .0#����"´"�h���h���9´����~����¥! S�h�.����¯�'*���h¡� �¨��*�h� �*�����$²��h�"�����7¡������9�h¡��h�"����*�*���7���*����¨��$���h�q#����"´"�h���h���9´��"¶ �;�9�h�E���$���h�` "�� �9

= - . 1 ;(5 � � ; .[1\@# .(� # U�. +

[ +\ ) ®�3*3Y¯

I �h�º "���9�*���h�"���&��!$���h¡�¢h�m ��$�h!m�º�7¡��C���"���`���`¡��h�"���º���9�h¡��h�"���C�*�*���7��������q�*�� ��h���º���7�K�E�h�9�$���"�$¡���6�-=�9�h¡��h�"���Q�h���9¥9 ��$�h!m�~�$�"�h�h¢���!m¡� �¨��*�q��!9����h¡�¢h�$���*�9�"���2¥��h¡��9� !m¡��*²��"�?¦¤�E�*���`¡��h� � �������"�����*�9�"���"'?�±#����h�7���?¦�$�S® �*¥�¯ !$�7��¥�´����°�*�*���7���*���¤�"� �������$��¦����7!`�h�¬���`���`¡�¢h�"�?¦���7���7«q�"����#

Page 43: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �������������� �������������� ������ ������������ �������� ���� � � � � �

���"���`���`¡����$�h!m� ���9�h¡��h�"���h���*�*���7���*����6N-M¡�� �"�$¦��*²Q���h�"��� #����"´"�h���h�����´��"�º���µ���9�h¡��h�"�"¶ª�"�.�9�h� "���9�*���h�"����9

. . - =�1 ;(55# [1\�. + - =�1 ;(5 % � ; [ +\ % � =[ +\

U�.�- =�1 ;(55# [ .\ =

U�� � ) ®�35(7¯

-=�9�"�����0 "���9�*���h�"�����E�*²��$�Q¥��M�h¢���!$���h¡�¢h�$���*�9���Q�7¡��q�$�$���9�"���q�"�$¨��$¡�¢*������©#����"´"�h���h���9´��"� �*�*���7���*���® 47¯��·���7���$¦¤���7���7«q#��±���2�"�$���h!`�h������T º�"�$¨��$¡�¢h���7�T K���9�h¡��h�"�"¶µ67-M¡����"�$¦��*²Q���h�"�����E�h¡�������� � �~��¥! S�h�E�q������9�h¡��h�"�"¶ª�"�.�9�h� "���9�*���h�"����9

� .� - =�1 ;(57# 6 �$% � ;=8�� +� - =�1 ;(5 % U

=���.- =�1 ;(57# U�

=� � ) ®�3Z8�¯

¹C�h¡������"���2��¥! S�h���*�*���7���*���|�"���·���9�"���7�©���9�h¡��h�"�"� ����� �K�h¦��*�����F� "���9�*���h�"���·® 7¯�6.OB���"���`���h�"�"�=�C#� �¥���¨��h!$#���� "���9�*���h�"��� �"� ¸��"�$��¨��*�!$#�� � �C!$�E��!m¡��~���h¡�²��"���"�.�$�h¢&�h�h¡�¢h#��F�*���"�±���h¡��*²����9�`¡�¢h�"��� ���h���*�!`�h���h�"�"���~#��7���h�"¢7' � �� �¥������$�"�$¨��h�"����#����h�7��� � ���E�*²����q��!$#��h�h¢��9�"�$¡�����h��¨��h!$#��F® �.�$�h�*��/?�9�����9����¯�'h���h�9¨��������$�"�$¨��h�"���0¨���!m¡��h�"���&® �"�9�"���"�.�$��'�.�$�h�*���7� B¢h¶��h���"��¯�67�; "���9�*���h�"����¦C®�3*3Y¯ 0�®�3Z8�¯S#����"´"�h���h���9´�����.=� �

� � ��"!® ; � ��� A�� � ;�� � � 687 9 ¯�'7���E�h¡������"���º��¥! S�h� ���µ� � � ��"!%'& � !

6

8�6 (�6JI�0��<��� � ���0����� &���h� � ��� � A �����������0�7���� �@�;���A �����������0�7���� ��������0���?��������������<>�0��<>���,� ?���<>��0��<>� A5���$�"���N��<>�h������?��������E�*���*�¡��±�9�h��¡��7�E�9!$!$�����$���h���7!$�·®�3Y¯ 0�® 47¯����h���"���`���`¡��h�"�����2����#��º���`¡���¨��"��������h¡����$�h!m��#��h¡���¨��h!`�h�*�µ��� � ¡��7���h�"��� � ���*�*���7���*���SU6-0/214365c6��K��¥����h�F!m¡� ��¨��*�7'"�m���h!$¢µ�*�7�$�"�"#��*�$�~���`���`¡�¢h�"�$�;���*���$�$���$¨����E�*���`¡��"�����*�9�"��� ��� � ¡�������h�"���;�*�*���7���*���&���7���7«q#��7�£�"���F�"�$���h!`�h���7� ���9�h¡��h�"�"�T'��9�h�E���$���h�` �����7'����h�9#�²��µ�"�$���h!`�h�"�?¦ ¸��"�$��¨��h!$#���� ¦��"�E��¨��h!$#���¦C� � �h�7�.�$�h����¨��h!$#���¦¦��9���9#7�9�$����!`�h�"#��$¦F���7���7«q#���67-B�m¡��*²��"� �"���7!`�9�h�"«� "¶§�E�*���`¡�¢~��� � ¡�������h�"���|�*�*���7���*��� � �����������7�?'E�E�*���`¡�¢º��� � �������"�����*�9�"��� �E�*²��$�F¥��M�h¢���7!`�h�����h�"�±�9�"�$¡�� � ��¨�����6<&� *���h�¬!m¨����h�h�h¢7'.¨��h�2���7���7«q��#°!$�7!`�h����� �"�!h¸B�$����¨��h!$#���¦K���7���7«q�"����#K���$���� "!$��� �h6��C���h�m h¡�¢$�h�h�9� � �������"�����*�9�"������7���7«q�"�"#��±��� � ¡��7���9¶����*�*���7���*�C��� ���h#����h�7�����·�E�9#�!$�"�E�$¡�¢h����� ���*�¡���¨��"�"�±�µ�"�������7��´��"���"�$¡�¢h���q��� � ¡��7���h�"���7�T ~�*�*���7���*�* &�.�h�����$�h!m�q��¦��¥! S�h� �C�*�?���`¡����$�h!m�&�9�h��¡����*�$�;�h���$� � ���"6�OB���C�$�h�7�2�.�h�����$�h!m�;���7�����!`�h�7!`�h¢K���7���7«q#�� +.-0/214365c6TOB�h¡��*²��"�?'"¨��h�C��� � ¡��7���h�"���&�*�*���7���*��� � ������������7�£�"������!m¦��*�����;�"�������7��´��"���"�$¡�¢h��� �9�h#� "���h�±#����"´"�h���h���9´��"�·�*������7���*����. -0/214365=!µ���h#����h�7�����°#��7�9¸B¸��"´����h���h�7�°�"�������7��´��"���"�$¡�¢h���7!`�h�

Page 44: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ����������� ��

� -0/214365;® �|�"���7!`�9�h�"«��h�ª!m¡� �¨��*�e#����"!`�h�9���h��¯����|���7!`�h��²��h�"���·�E�9#�!$����E�$¡�¢h��� � ��!$�*���$��²��9�"���~�*�*���7���*���µ� � ��������������� 9

U6-0/214365 � � . -0/214365 � -0/21436521 /�� /��� -0365� 1 /��/ �� -0365*)

�����h�T�±��#�����¨��9�"���±�"���7´"�h!$!$� � �������"�����*�9�"���%/ �� -0365q���"���`���`¡����$�h!m�·�"��9¨��h�*������� � �&�*�����$²��h�"����9

����� � ���� ���� U6-��14365;$��$�3 � ����� ����- ; #�+.- � 1436545;$�3)

/?�h¡���¨��h!`�h�*�~�*�?���`¡���¶Q���h�"!m���h���$� � �"�K�"��� � �������"�����*�9�"�"�K���"���`���`¡�����$�h!m��¨��$���h�Q�9�h��¡����` ��¥����9�$���*�9�"��� � ����������� �! 9B � -0/214365 � U6-0/214365��! 3�[1\ )'��h���$��¢F�*�7�$�E�*²����·�*�?¨���!m¡����h¢e��¡����h���7!`�h¢e���7���7«q#�� -P6-0/214365��°���7�����!`�h�7!`�h¢ +.-0/214365c6/�M�"�$¨��$¡��q���"���`���`¡��"�·�*!$���7�E� � �h�9�`¡�¢h�"�=�����`¡���¨��"�"� 9

�"��� � )�- ; #�+�� 5����� .� 1 ��� -0/214365 � 6 ����� � � � ���� ������ U6-��14365;$��8 6 ����- ; #�+.- � 143654528 � � )

�����h!$¢ � 0©#��h¡���¨��h!`�h�*�K�*!h�`¦&���7���7«q�"����#�: ��� -0/214365 0£���h¡�� � �����������q����7���7«q#���:�+��>0³���h#����h�7���$�e!$���`������� �"�$¨��$¡�¢h�"�$�º���7����!`�h�7!`�h¢;���7���7«��#���6JOB�7!$#��h¡�¢h#� !m¨����h�*�h�?'S¨��h�e��¥! S�h�°¨��9!`�h�"´��¬�.�h�����$�h!m�|�"�������7��´�������"�$¡�¢h���º#��h¡���¨��h!`�h�h ·��� � ¡��7���h�"��� � �º�*�*���7���*����'��76 �76����h¡�� � �����������~����7���7«q#��7'��h���E�*²������"�9�"��!$�h�h¢��*�����$²��h�"�����7¡����E�9!$!$�¤�.�$�h�$¡�¡�� � ���� � ����������� � � �����7���7«q�"�"#���9� ��� �

� ���.� -P ��� - ; # ����-0/2143654521 � � � � � ���

.� -P ��� ��� -0/214365 %Y�� )� [�\ � ��� � � � �� � ������ U6-��14365;$��)

7��h!$¶����µ�*�7�$�E�*²����K���h¡� �¨����h¢µ�*�����$²��h�"�����7¡��K���$���� "!$�����7���7«q�"�"#���º��¡����h���7!`�h��9

� -0/214365 � D � .� ����-0/214365-P � 6 -P ��� %

Y ���[1\

8 % �.� - ; # ��� -0/21436545 F �! 4. 1

-P6-0/214365 � � �� -0/21436576 -P ��� %

Y ��� ����-0/214365[1\

8 �! 4. )-=�$¡��9���E�*²��h�±���"���`���`¡����h¢����7����!`�h�7!`�h¢�9

+.-0/214365 � ; # �. -0/214365�.� - ; #�+.- � 1436545*)

Page 45: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� �������������� �������������� ������ ������������ �������� ���� � � � ���

�����h!$¢���!$���h¡�¢h�$���*�9�"�£���`¡���¨��"�"� 9 -P ��� 1 -P � 0 #�����!`�h�$¡�¡���¨��h!$#����~��¡����*����7!`�h�K�.�$�h�$¡�¡��Q� � ������������'*#����h�7���=�q�E� � ��Q¥��M�h¢�¸= "�"#�´������E�&�9�h�E���*����h�` "���B'7�h!m¡��&�h���9¥9 ��$�h!m�� �¨��h!`�h¢B¡��"���h�"�����Q���9!$«q�"���h�"���767�º���h�$¡�¢h�����!`�h�� �¨����h���*�h�h¢�¡��"���h�"���������9!$«q�"���h�"����!$�E��!m¡������0�"�.�9�$�7'9���7!$#��h¡�¢h#� �*���$�*�9�"�������"�±�"�$�.�h���h�"������¡����h���7!`�h�C� ���7����!`�h�7!`�h�C�"�9�E��� � �~�.�h�"¢*�«��9�7'`¨��h� �"����¸��9�$���*�?¦Q���$���`¦��*���$¦��*���*���h�T�����h�9#�´��"� � �������"�����*�9�"���® ��� � �������"�����*�9�"����¯�6 B�9�����* ©!e�h�9#���� �"���7!`�9�h�"«��h� �E�*���`¡�¢h¶ �E�*²����¤���9!$!$�E�h�h���"�*�h�h¢¥��h¡��9� !m¡��*²��"�=�º�E�*���`¡�� � �������"�����*�9�"���¤® ��� � �������"�����*�9�"����¯�'J�C#����h������?¦· �¨��9�h�"� ���`���`¡�¢h�"�=� ¸��"�$�"#���� ¦��"�E��¨��h!$#���� �"���7´"�h!$!$�B'��"�����9�h#����¶Q�����&�"�K�������$��¦����7!`�h� � �º��¥! S�h�.�K���7���7«q�"����#"'T�h�9#�²��~ �¨����h���*�h�h¢���9!$�"���`���`¡��h�"�������7���7«q�"����#��������9�$�.�$���9� $ +�' %�(�6h�µ���9�"�����µ�$�$���$¨��0�$�h����7�$�*�h¡����q �¨��h!`�h¢µ#��"���$�h�"#� F�"�����9�h#��9�"���K���h�9#�´��"�T'��*���"�9#��K�����h���9¥9 ���$���"�9�E��� � �~¥��h¡�¢h«q��¦&�$�h�h���h���*���h�.�h�"� �"���º�*�?¨���!m¡��h�"����¦�6

�6 -�� ���h�S�h�S�S���N���`�� �� ������.� ���� �*���`��� �*��� ��� �*���`�����6�C�� �����OB�7!$#��h¡�¢h#� �9�h�E���$���h�` "��� �#����"´"�h���h���9´��"�©�.�h����¶��h!m�2�±«q�"�����

#���¦~�"���`���`¡��$¦�'*�h��¸��"�$��¨��h!$#�����¦��9���9#7�9�$����!`�h�"#��º�*�*���7���*�����K���7���7«��#��º�.�h����¶��h!m�F�"�&���h!m�7�h#��·�·!$���h�"�·�"���7´"�h���h����'J� �E�*���`¡�� �$�h�F�E�*²µ����Q �¨��h!`�h¢�!m¡��`�* "¶Q���"�e��¥����9�$�7�?6 I #�!$���$���"�.�h���h�$¡�¢h�"�=���$�9�*��!$�"�E�7!`�h��9�h��¡����h�E#��7!`�h� �&�9�h��¡����"�����*�*�����7!`�h� �����9�h�E���$���h�` "���°�*�7�$�E�*²����µ�9����"����#�!$�"�E�"�����*�h�h¢K�������9�E�|�;�*�����C® � 0����h#����h�7�����&���7!`�h�h�h�9¨����F�E�$¡����´"�`¡����q¨���!m¡���¯;9��� ��������� ����� ���������

%�� "! %

� �$# � � �������%�'&� % ! � ���������(&� % !%) �*� ���������%�

� "! %&� % !%) �+# � � �������%�

&�-,�� ���.���/�0&�-, ) � � ���������%�

� "! %&�-, ) � # � � ���.���%�1&��� �������/�0&� % ! � ������� � 2.24305 � ���.����� �6&�-, 305 � �������%�

7 � ���������87 �-� ���������%�

� "! %7 �$# � � �������%� &7 % ! � ���.����� &7 % !%) �*� ���.�����

%�� "! %

&7 % !%) �+# � � �������%�

&7 ,9� �������/� &7 , ) � � ���������%�

� "! %&7 , ) � # � � �������%� &7 � �������/� &7 % ! � ���.��� � 2.24305 � ��������� � &7 , 305 � �������%:

���7�$�E�*²��"���·�*�9���"�9���h�7� ���"��!$�9�"���K#����"´"�h���h���9´��"���"�����|� �9�h�E���*����h�` "�������&�$�9�*��!$�"�E�7!`�h�&#��7�9¸B¸��"´����h���h�B����¸B¸= "�$�"���Q���h#����h�7���7�|�����¥��9¨��h� ���"�9�"�9�$�����Q#����"´"�h���h���9´��"�C�;�9�h�E���$���h�` "�º�E�*²����~���h¡��*²����h¢�9

R - . 1 ;(5 � � R � - ; %<;�. -0/21436545�=->@?�-2#CBBA 3�� ; -0/2143654521 +.-0/214365� + � 1R ����C �*D ��E 1 +.-0/214365���+ � )

Page 46: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� � ����������� ��

�����h!$¢=�"�9���9�.�$�h���]R ��1$BBA 1;����"���`���`¡���¶��0�$�9�*��!$�"�E�7!`�h¢��7¡������7����!`�h���!`�h� �*��«��&���h#����±#������h��¨��h!$#���� ���`¡���¨��"�"� + � 6��·!m¡� �¨��*�K�h!m¡�� ���7�����!`�h�7!`�h¢Q��#��9�$���*�*�$�h!m���"��²��7'*�h�µ�E�*²�����!m¨����h�h�h¢7'9¨��h�����7���7«q��#~!$���h#�!m�������¸B¸= "�$���Q�"������!m¦��*�������"���h�"�T "���h!`�h���h�"�������E�h�9�$���"�$¡������7���7«q#���6

1�6����� ��� ��h�S�S�� !`�h�h�h¢9�����9!$!$�E���h���h�"���*�����7�.�$���"�$�&�E�*���`¡�¢�¸��"�$�"#���� ¦��"�E��¨��h!$#���¦

�"���7´"�h!$!$���|� � �������������7���9#�#� "�T h¡��7�h�7���e�*�*���7���*����6.-=�9�"�"�$�|�E�*���`¡�¢¥��?¡��;���h�$¡��"�$���*�9�"�;�"��� � ���9�E�E����6EOB����¥��"�=�K���9!m¨��$�h� ����#��9�$�$¡��±�$���*�#��*�h�h���7!`�h¢��E�*���`¡��T6�K���9�"�����;�E�*���`¡��º��!$���h¡�¢h�$���*�9���� "���9�*���h�"��������¸B¸= "�$�"�F® ����!$���$�"�

!$�"��¯ � �9�$�������7����!`�h�7�e�E�h�9�$���"�$¡��76�^=¡�¢$�9�$���"�h�h�"�*�"���C���*�7¦��*���7�e#��E������`¡��"�����*�9�"�"¶©�"���7´"�h!$!$�������$���h���7!$�B�����7����!`�h�?¦��E�h�9�$���"�$¡��$¦Q���h¡����$�*�!m����!$���h¡�¢h�$���*�9�"���M "���9�*���h�"�"� � �9�$���*���q���"�"�9�E�"#��T'Y�76 �76`���9!$!$�E���h���h�"��� "���9�*���h�"�"�&���$���9�$�����*���7!`�h�K!m²��"�E�*�h�E� � � � �9�$��'`���*��²��h�"�����&�h���$� � �"�� �9�$� $�35) (�6

��������� �����

� ½������Y¾cÀ(�J½ U7½ Á������������`¾cÀ��º½ �J½ ���c¾ �!��"$#��Ä¿!�`¾��&%�(')'v¾c¿*�)����+$¾,'-�Y½ �/. �S½ 0� Y¾,')1)+��)�!2 ¾�.��354���#ZÁ �76 Å(8Y½

ÂY½������Y¾cÀ��J½ U7½2���Ä¿!�`¾ %�(')'v¾Z¾�9 %���+�: 'p¿��!�ÄÀ5¾�;�+*�*��< ½ ��½ 0!=>+��)�!2?��"$Á �76(@(A ½8Y½6� ��%����'-���*�(�J½ �J½ Á2�����������`¾cÀ#�J½ RE½ ����#���%��#)��;!�('-�Y¾,��%�¾(4��)�!�*�`¾cÀ(��+*����0Z�B4�����½ �$��#ľ�.

4��S½YRC�!�*%��)�!�S½ ��½ 0*�D��3-%��#-�!�*#ZÁZÂÄÃcÃ(Em½F ½"�!�*27�)�!G��9½ Á-��)H*1-���M�S½ ���Ä¿!�`¾Z¾�9 %���+���35��H!;!��+*����%�½ ��½ 0 ���*�9Á �76(@ Em½Em½ ��¾(+*2 T½9P�'-+$¾cÀ(+*����I�¾ �!%JH��!�K�L4���+*+*���M¿`¾$#��Ä¿!�`¾Z¾�9 %���+�H/4,��"��*+�MD��+��)�`¾cÀ�: 'p¿��!� .À5¾�;�+*�*��< ½���½ 0 �B#ľ %��354���#ZÁ �76(@(6 ½

ÅY½"�!���*�����º½ U7½ Á��`¾(4,;!��+*�Y¾cÀ(�0�E½ �E½ ��¾(4��)�!�*�`¾cÀ(��+*��� �9����. 'p¿*����#)�!�N4���2?��4��!�*�`¾cÀ(��+*��"L'H!;!��#ľ %�'5MO��#)��"��D#��Ä¿!�`¾c¿`¾ 2P�`¾ QD��+*��"�R(RSPS9Z¾,3-����+*����¿��!�*�,�!�)4�+$¾(�T�.¿��`¾ %��U�����+*+$¾(�%��#���%��#)�*����Á #ľ % � ÂYÁZÀ(��¿!H*'-� F ÁYÂÄÃcÃ(EmÁ » ½ 6 E @ . 6 ÅÄÃm½

@ ½"�!���*���N�º½ U7½ Á� ��)�!+$¾cÀ0�E½ �J½ � �!�(�ÄÀ(�)"$3-�)4��);��V'D4��*+*��%��;!�('-���*%�/2?�!��+*��;�+*��%�/H*'5�`¾�.À(��",%�W�W4YÀ(��M�H�QD����'5"O2?�!��+*�*X*���/: ���*+���#)�*���C4���2?��4��!�*�`¾cÀ(��+*��"!<�R(R8����#���%��#)��;!�('-�Y¾,�%�¾(4��)�!�*�`¾cÀ(��+*���YÁ #ľ % � ÅYÁ�Y F ÁZÂÄÃcà F Á » ½ 8 . ÅY½

A ½�U*H����)�`¾cÀ(��;%��½ RE½ ÁN�S¾cÀ(�*�Y¾cÀC�E½ �E½8��!�ÄÀ(+���+*���Z'v¾,'-#ľ(",+*��"[�����)�!G)+*� �\2?�(3v¾cÀm½ ��½ .�S½ 0 Y¾,')1)+��)�!2 ¾(��354���#ZÁ �76�F A ½

6 ½ �$����'v¾(+ @ ½ =�½ Á���¿*�)���!�*+*2���½YU��*�!�*�)�!G)+$¾,��H��!�ÄÀ(+���+*���T'v¾,'-#ľ(",+*��"$½ ��½ 0����*�9Á �76(@ ÂY½� Ãm½>]*������+^9(�!��#�# $½ �E½ Áv�*+*#ľcÀTU7½ ��½ Á �!� MO�*�.U7½ ��½;���c¾ �!��"S+��('-#)��X��h¾(+*���!+$¾(�WIB���!G)#)�!��X��*�

MO��4��Y¾,'-#)�N��2?�(3-�Y½���½ 0Y���)4��!�YÁ �76(@ ÂY½

Page 47: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ Âûïóñê 7, 2006ÓÄÊ 519.68�ÅÀËÈÇÀÖÈß È ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅ ÇÀÄÀ×ÌÎÄÅËÈ�ÎÂÀÍÈß ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß ÂÎÄÎ�ÎÄÀÑ ÒÂÅ�ÄÛÌ ÒÅËÎÌ Â ÑÏÅÖÈÀËÈÇÈ�ÎÂÀÍÍÎÌÏ�Î��ÀÌÌÍÎÌ ÊÎÌÏËÅÊÑÅÂ. Â. Ïîïîâ, Ï. À. Ñåìèí�àññìàòðèâàþòñÿ ïðàêòè÷åñêèå âîïðîñû ïðîãðàììíîé ðå-àëèçàöèè è èñïîëüçîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé âçàèìîäåé-ñòâèÿ âîäîðîäà ñ òâåðäûì òåëîì â ñïåöèàëèçèðîâàííîìïðîãðàììíîì êîìïëåêñå.1. Ââåäåíèå íàñòîÿùåå âðåìÿ â ìèðå ïðîâîäÿòñÿ øèðîêîìàñøòàáíûå èññëåäî-âàíèÿ ïî ïîèñêó ý��åêòèâíûõ ñïîñîáîâ õðàíåíèÿ è òðàíñïîðòèðîâêèâîäîðîäà, êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿ â êà÷åñòâå ïåðñïåêòèâíîãî ýíåð-ãîíîñèòåëÿ â ðàìêàõ êîíöåïöèè âîäîðîäíîé ýíåðãåòèêè [1�3℄. Ââèäóáîëüøîé ñòîèìîñòè è òðóäîåìêîñòè ïðîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåí-òîâ ïî èçó÷åíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ âîäîðîäà ñ òâåðäûì òåëîì ÷àñòüþèññëåäîâàòåëüñêèõ ðàáîò ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Â÷àñòíîñòè, ýòî ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ãèäðèðîâàíèÿ è äåãèäðèðî-âàíèÿ ïîðîøêîâ ìåòàëëîâ â ñâÿçè ñ êîíñòðóèðîâàíèåì ãèäðèäíûõ íà-êîïèòåëåé (àêêóìóëÿòîðîâ) âîäîðîäà, ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ïðî-íèöàåìîñòè ÷åðåç êîíñòðóêöèîííûå ìàòåðèàëû è çàùèòíûå ïîêðû-òèÿ � ïðîáëåìû âûáîðà ìàòåðèàëîâ è ïðîáëåìû âîäîðîäíîé êîððîçèè(õðóïêîñòè) ìåòàëëîâ, ðåøåíèå îáðàòíûõ çàäà÷ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåò-ðîâ ìîäåëåé ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Òàêèå ðàáîòû âåäóòñÿ âëàáîðàòîðèè ÌÏÒÑ ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíèõëåò [4�8℄. Ââèäó ðàçíîîáðàçèÿ è ñïåöè�è÷íîñòè çàäà÷, ìîäåëåé, ÷èñ-ëåííûõ ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ çà ïîñëåäíèå ãîäû â ëàáîðàòîðèè ñî-çäàíî ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ïðîãðàìì. Îñíîâíûì íåäîñòàòêîì ýòèõ Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. Ñåìèí, 2006

Page 48: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

48 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. Ñåìèíïðîãðàìì, ïðåïÿòñòâóþùèì äàëüíåéøåìó èõ èñïîëüçîâàíèþ, ÿâëÿåò-ñÿ "íåäîî�îðìëåííîñòü" äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ êîíå÷íûì ïîòðåáèòåëåì� �èçèêîì-èññëåäîâàòåëåì èëè èíæåíåðîì. Âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòüóíè�èöèðîâàòü è èíòåãðèðîâàòü èõ â åäèíûé ìàñøòàáèðóåìûé ïðî-ãðàììíûé êîìïëåêñ (ÏÊ) [9℄, êîòîðûé ïîçâîëèë áû ý��åêòèâíî õðà-íèòü, ðåäàêòèðîâàòü, îáðàáàòûâàòü ìîäåëüíûå è ýêñïåðèìåíòàëüíûåäàííûå.  ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ðåàëèçàöèè â äàííîì ïðî-ãðàììíîì êîìïëåêñå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ âîäîðîäàñ òâåðäûì òåëîì è èõ èñïîëüçîâàíèÿ.2. Êîíöåïöèÿ ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñàÈññëåäîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ âîäîðîäà ñ òâåðäûì òåëîì ïðåäïî-ëàãàþò ïðîâåäåíèå ýêñïåðèìåíòîâ. Ïðè ýòîì ïðîèñõîäÿùèå �èçèêî-õèìè÷åñêèå ïðîöåññû, âîçìîæíî îïèñàòü ñ íåêîòîðîé òî÷íîñòüþ ââèäå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè.  çàâèñèìîñòè îò çàäà÷è, ýêñïåðèìåí-òàëüíîãî ìåòîäà, ñòåïåíè äåòàëèçàöèè è ó÷åòà òåõ èëè èíûõ �èçèêî-õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ìîãóò áûòü ðàçëè÷íîéñëîæíîñòè è ñîäåðæàòü îò íåñêîëüêèõ åäèíèö äî äåñÿòêîâ ìîäåëèðó-åìûõ âåëè÷èí (�óíêöèè êîíöåíòðàöèé, äåñîðáöèîííûå ïîòîêè è ïð.),êîòîðûå áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ìíîæåñòâîì ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (ïàðà-ìåòðû, îïèñûâàþùèå ìàòåðèàëû è âåùåñòâà, èñïîëüçóåìûå â ýêñïå-ðèìåíòå) è ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ, èäåíòè-�èêàöèè ïàðàìåòðîâ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé è âèçóàëèçàöèè ðåçóëüòàòîâìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûå àëãîðèòìû. Òàêèì îáðà-çîì, ìíîæåñòâî çàäàâàåìûõ ïàðàìåòðîâ, îñîáåííîñòè èñïîëüçîâàíèÿè ðàáîòû òåõ èëè èíûõ àëãîðèòìîâ äåëàþò çàòðóäíèòåëüíûì ïðî-âåäåíèå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ïîâûøàþòâåðîÿòíîñòü îøèáîê ñîâåðøàåìûõ èññëåäîâàòåëåì. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ìîäåëèðîâàíèå âîäîðîäîïðîíèöà-åìîñòè çàùèòíîãî ïîêðûòèÿ, íàíåñåííîãî íà êîíñòðóêöèîííûé ìàòå-ðèàë (ìîäåëü [10℄, ÌÊÈ). Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòà òðåáóåòñÿ çàäàòü:� 12 ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ âîäîðîäîïðîíèöàåìîñòü äâóõ-ñëîéíîé ñèñòåìû ìàòåðèàë-ïîêðûòèå (äëÿ êàæäîãî ñëîÿ çàäà-þòñÿ êîý��èöèåíòû àäñîðáöèè, äåñîðáöèè, äè��óçèè, çàõâà-òà è âûñâîáîæäåíèÿ âîäîðîäà �èçèêî-õèìè÷åñêèìè äå�åêòà-ìè ñòðóêòóðû ìàòåðèàëà è êîý��èöèåíòû íà ñòûêå ñëîåâ);

Page 49: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�åàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ ... 49� 8 ïàðàìåòðîâ, çàäàþùèõ óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà(òîëùèíû ñëîåâ, äëèòåëüíîñòü ýêñïåðèìåíòà, äàâëåíèÿ â êàìå-ðàõ, ïåðèîä âêëþ÷åíèÿ äèññîöèàòîðà, óðîâåíü êîíöåíòðàöèèïîä ïîâåðõíîñòüþ ïðè âêëþ÷åííîì äèññîöèàòîðå, íà÷àëüíîåðàñïðåäåëåíèå âîäîðîäà â ìàòåðèàëå);� 12 ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ðàáîòó àëãîðèòìà è çàïèñü ðå-çóëüòàòîâ (êîëè÷åñòâî øàãîâ ïî ïðîñòðàíñòâó è âðåìåíè, íà-çâàíèÿ 2-õ �àéëîâ ïîòîêîâ è 8-ìè �àéëîâ êîíöåíòðàöèé).Òàêèì îáðàçîì, âñÿêèé ðàç ïåðåä ïðîâåäåíèåì ðàñ÷åòîâ òðåáóåòñÿ çà-äàòü, êàê ìèíèìóì, 32 ïàðàìåòðà. Òàêîå êîëè÷åñòâî ïàðàìåòðîâ çà-äàâàòü â êîìàíäíîé ñòðîêå òðóäîåìêî, ïîýòîìó ëó÷øå õðàíèòü èõ â�àéëå íàñòðîåê, íî èññëåäîâàòåëü, ïðîâîäÿùèé ðàñ÷åòû, íà÷íåò ïó-òàòüñÿ ïîñëå ïðîâåäåíèÿ äåñÿòêîâ è ñîòåí ðàñ÷åòîâ ñ èñïîëüçîâàíèåìðàçëè÷íûõ àëãîðèòìîâ, òðåáóþùèõ ðàçëè÷íûõ �àéëîâ íàñòðîåê. Îò-ìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå åñëè òðåáóåòñÿ ïîñìîòðåòü èçìåíåíèå âûõîäíîãîäåñîðáöèîííîãî ïîòîêà ïðè èçìåíåíèè òîëüêî îäíîãî ïàðàìåòðà, çàäà-íèå îñòàëüíûõ 31 ïàðàìåòðà áóäåò èçëèøíèì, ïîñêîëüêó 10 ïàðàìåò-ðîâ (èìåíà �àéëîâ) ìîæíî ñãåíåðèðîâàòü àâòîìàòè÷åñêè, à çíà÷åíèÿ20 ïàðàìåòðîâ âçÿòü èç ïðåäûäóùåãî ýêñïåðèìåíòà.Ïîÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ áîëåå óäîáíîãî è áîëåå ñëîæ-íîãî ïîëüçîâàòåëüñêîãî èíòåð�åéñà, ÷òî òðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ çàòðàòñèë è âðåìåíè. Çàêîíîìåðíûì ÿâëÿåòñÿ ñäåëàòü åãî óíèâåðñàëüíûìè íàñòðàèâàåìûì äëÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷, ò.å. ðàçäåëèòü ïðîãðàììíûéêîä êàæäîé çàäà÷è íà àëãîðèòìè÷åñêóþ è èíòåð�åéñíóþ ÷àñòè. Òîãäàðåàëèçàöèÿ íîâîé çàäà÷è ñâåäåòñÿ ê íàñòðîéêå èíòåð�åéñíîé ÷àñòè èíàïèñàíèþ êîäà òîëüêî ïîäêëþ÷àåìîãî àëãîðèòìà. ïðîöåññå ðåàëèçàöèè ðàçëè÷íûõ çàäà÷ âûðàáîòàëàñü ñëåäóþùàÿêîíöåïöèÿ ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà. Ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ ñîñòîèòèç äâóõ ÷àñòåé (ðèñ. 1):� âû÷èñëèòåëüíûå ïðîåêòû, êàæäûé èç êîòîðûõ âêëþ÷àåò â ñå-áÿ ÁÄ (ñîäåðæèò ïàðàìåòðû ìîäåëåé, ýêñïåðèìåíòîâ, àëãî-ðèòìîâ è ïð.), àëãîðèòìû äëÿ ðàñ÷åòà è âèçóàëèçàöèè (íàáîðDLL è/èëè MATLAB ïðîãðàìì), �àéëû íàñòðîåê ïîëüçîâà-òåëüñêîãî èíòåð�åéñà;� ÿäðî, âêëþ÷àþùåå â ñåáÿ ïîëüçîâàòåëüñêèé èíòåð�åéñ (ðåäàê-òîðû ïðîåêòîâ, ýêñïåðèìåíòîâ, ïîëåé, ÁÄ), ïðîãðàììíûé èí-òåð�åéñ (ñâÿçü ñ ÁÄ è àëãîðèòìàìè î�îðìëåííûìè â âèäåDLL èëè MATLAB ïðîãðàìì), à òàêæå îáùóþ �óíêöèîíàëü-íîñòü äëÿ âñåõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷.

Page 50: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

50 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. ÑåìèíВычислительная среда

MatLab

Экспериментальный проект

База данных

Параметры

Подключаемые программыMatLab-

Подключаемые библиотекиDLL-

Ядро программного комплекса

Программный интерфейс

Редактор проекта

Интерфейс пользователя

Редактор экспериментов

Редактор полей

Интерфейс с БД

Интерфейс с DLL

Интерфейс с MatLab

Конфигурация

�èñ. 1. Ñòðóêòóðà ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà.Ïîëüçîâàòåëüñêàÿ ðàáîòà ñ ïðîãðàììíûì êîìïëåêñîì âûãëÿäèòñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëüçîâàòåëü çàïóñêàåò ÏÊ, îòêðûâàåò â íåìíóæíûé âû÷èñëèòåëüíûé ïðîåêò, ïðè ýòîì ïîäêëþ÷àåòñÿ ÁÄ, íàñòðà-èâàåòñÿ èíòåð�åéñ. Òåïåðü â ïðîãðàììíîì êîìïëåêñå âîçìîæíî ïðî-âîäèòü ðàñ÷åòû, ïðåäóñìîòðåííûå âûáðàííûì ïðîåêòîì (ðèñ. 5). Äà-ëåå ïîëüçîâàòåëü äîëæåí ñîçäàòü è çàïîëíèòü çàïèñè â ÁÄ. Êàæäàÿçàïèñü ñîîòâåòñòâóåò âû÷èñëèòåëüíîìó ýêñïåðèìåíòó è õðàíèò âñåíåîáõîäèìûå ïàðàìåòðû. Ïðè ýòîì ÷àñòü ïîëåé ìîæåò çàïîëíÿòüñÿàâòîìàòè÷åñêè ãåíåðèðóåìûìè çíà÷åíèÿìè èëè çíà÷åíèÿìè ïî óìîë-÷àíèþ. Ïðè ðàáîòå ñ ÁÄ ïîëüçîâàòåëü ìîæåò íàñòðàèâàòü è èñïîëüçî-âàòü ñåðâèñíûå �óíêöèè (êîïèðîâàíèå è âñòàâêà çíà÷åíèé ãðóïï ïî-ëåé, çàïîëíåíèå ïî óìîë÷àíèþ, àâòîìàòè÷åñêàÿ ãåíåðàöèÿ çíà÷åíèé,ñîðòèðîâêà, ïîèñê, ãðóïïèðîâêè, îòáîðû). Ïîñëå çàäàíèÿ ïàðàìåòðîâîñòàåòñÿ çàïóñòèòü àëãîðèòì äëÿ ðàñ÷åòà è ïðîñìîòðåòü ïîëó÷åííûåðåçóëüòàòû íàæàòèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ êíîïîê.Äëÿ ðàçðàáîò÷èêà ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìà ñâîäèòñÿ ê ñîçäàíèþ âû-÷èñëèòåëüíîãî ïðîåêòà. Ñ ïîìîùüþ âñòðîåííûõ ñðåäñòâ ïðîãðàìì-íîãî êîìïëåêñà îí ñîçäàåò ÁÄ è íàñòðàèâàåò ïîëüçîâàòåëüñêèé èí-òåð�åéñ. Äàëåå ñëåäóåò ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìà â âèäå DLL èëè EXE�àéëà íà ëþáîì ÿçûêå ïðîãðàììèðîâàíèÿ èëè íàïèñàíèå MATLABïðîãðàììû. Ïðè ýòîì ðàçðàáîò÷èê äîëæåí îðèåíòèðîâàòüñÿ íà ðàáî-òó DLL ñ ïðîãðàììíûì êîìïëåêñîì ÷åðåç ïðîãðàììíûé èíòåð�åéñ,êîòîðûé ïîçâîëÿåò óïðàâëÿòü ðàáîòîé àëãîðèòìà, ðåàëèçóåò ïåðåäà÷óè âîçâðàò ïàðàìåòðîâ (ïåðåäàåòñÿ âñÿ âûáðàííàÿ çàïèñü, íàñòðîéêèïðîåêòà è ÏÊ). Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ñðåäñòâ âèçóàëèçàöèè ïðåäóñìîò-ðåííûõ â ÏÊ, ñëåäóåò �îðìèðîâàòü �àéëû äàííûõ íåêîòîðîãî ïðå-äóñìîòðåííîãî �îðìàòà.  ñëó÷àå íàïèñàíèÿ àëãîðèòìîâ â âèäå DLL

Page 51: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�åàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ ... 51(EXE) â ñðåäå Delphi èëè â âèäå MATLAB ïðîãðàìì ìîæíî èñïîëü-çîâàòü ðàçðàáîòàííûå êëàññû è áèáëèîòåêè �óíêöèé, ÷òî îáëåã÷àåòèñïîëüçîâàíèå ïðîãðàììíîãî èíòåð�åéñà è ðàáîòó ñ �àéëàìè.Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óìåíüøèòü êîëè÷åñòâî ðó-òèííîé ðàáîòû ïðè ðåàëèçàöèè è èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìîâ. Ïîëüçî-âàòåëü èìååò óäîáíûé åäèíîîáðàçíûé äëÿ âñåõ çàäà÷ ãðà�è÷åñêèé èí-òåð�åéñ ñ áîãàòîé íàñòðàèâàåìîé �óíêöèîíàëüíîñòüþ. �àáîòà ïîëüçî-âàòåëÿ ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèé îäèíàêîâûõ äëÿ ëþ-áûõ ðàñ÷åòîâ. Îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü ïîìíèòü íàñòðîéêè îòäåëüíûõàëãîðèòìîâ è ñïåöè�èêó çàäà÷. Ïàðàìåòðû è ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâóäîáíî õðàíÿòñÿ, èìååòñÿ âîçìîæíîñòü îðèåíòàöèè â ïðîâåäåííûõ âû-÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ (ïîèñê, ñîðòèðîâêà, îòáîðû, ãðóïïèðîâ-êè ïàðàìåòðîâ). �àçðàáîò÷èê ñîñðåäîòà÷èâàåòñÿ òîëüêî íà ðàçðàáîò-êå âû÷èñëèòåëüíîãî àëãîðèòìà è òàêèì îáðàçîì ñîêðàùàþòñÿ çàòðà-òû âðåìåíè è ñèë. Îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü â ïåðåêîìïèëÿöèè âñåãîïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà è åñòü âîçìîæíîñòü ñêðûòü äåòàëè ðåàëèçà-öèè àëãîðèòìîâ. Äëÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ âîçìîæíî èñïîëüçîâà-íèå ëþáûõ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ.3. Îñíîâíûå ýòàïû ðåàëèçàöèè àëãîðèòìàÄëÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà â ïðîãðàììíîì êîìïëåêñå òðåáóåòñÿñîçäàòü âû÷èñëèòåëüíûé (ýêñïåðèìåíòàëüíûé) ïðîåêò, êîòîðûé áóäåòâêëþ÷àòü â ñåáÿ ÁÄ è �àéëû íàñòðîåê, ïîñëå ÷åãî ñîçäàòü DLL (EXE)èëè MATLAB ïðîãðàììó. �àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíî âñå ýòàïû.Ñîçäàíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïðîåêòà.Ñîçäàíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïðîåêòà íà÷èíàåòñÿ ñ âûáîðà ïóíêòàìåíþ File\New. Äàëåå â ïîÿâèâøåìñÿ äèàëîãîâîì îêíå âûáîðà �àé-ëà ïðîåêòà (ðèñ. 2) òðåáóåòñÿ óêàçàòü êàòàëîã ðàçìåùåíèÿ ïðîåêòà èíàçâàíèÿ �àéëà. Äàëåå îòêðîåòñÿ îêíî íàñòðîéêè ïðîåêòà (ðèñ. 2), âêîòîðîì ñëåäóåò çàïîëíèòü âñå ïîëÿ. Åñëè êàêèå-ëèáî óêàçàííûå �àé-ëû íå ñóùåñòâóþò, òî îíè áóäóò àâòîìàòè÷åñêè ñîçäàíû. Ïðè ýòîìàâòîìàòè÷åñêè ñîçäàåòñÿ ïóñòàÿ áàçà äàííûõ, êîòîðóþ âîçìîæíî ðå-äàêòèðîâàòü âî âñòðîåííîì ðåäàêòîðå (ðèñ. 3). Òðåáóåòñÿ çàäàòü èíàñòðîèòü âñå íåîáõîäèìûå ïîëÿ. Íàçâàíèÿ ïîëåé áóäóò ÿâëÿòüñÿ íà-çâàíèÿìè ïàðàìåòðîâ â ñïèñêàõ ïàðàìåòðîâ ïåðåäàâàåìûõ â êîä àë-ãîðèòìà. Äàëåå íåîáõîäèìî óêàçàòü ïóòè ê àëãîðèòìàì è ê �àéëàìäàííûõ íà çàêëàäêå Algorithms\Parameters (ðèñ. 3). Íàñòðîéêà íà

Page 52: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

52 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. Ñåìèí�èñ. 2. Îêíà âûáîðà è íàñòðîéêè ïðîåêòà.

�èñ. 3. Îêíà ðåäàêòîðà ÁÄ è íàñòðîéêè äîïîëíè-òåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ïðîåêòà.äðóãèõ çàêëàäêàõ ãðóïï ïîëåé, ïåðåìåííûõ ïðîåêòà, ñâÿçåé è îãðàíè-÷åíèé ïîëåé ÿâëÿåòñÿ íåîáÿçàòåëüíûì, íî ïîëåçíûì.Ïîñëå âûõîäà èç äèàëîãîâîãî îêíà íàñòðîéêè ïðîåêòà â óêàçàííîìðàíåå êàòàëîãå ïðîåêòà áóäóò ñ�îðìèðîâàíû ñëåäóþùèå �àéëû:� îñíîâíîé �àéë ïðîåêòà (ðàñøèðåíèå .hip), â êîòîðîì õðàíÿòñÿññûëêè íà äðóãèå �àéëû è íåêîòîðûå ïàðàìåòðû ïðîåêòà;� �àéëû áàçû äàííûõ (.dbf,. dx,.fpt), â êîòîðûõ õðàíÿòñÿ äàí-íûå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, èíäåêñû è êîììåíòàðèè;� �àéë êîí�èãóðàöèè ïîëåé ÁÄ (.hipdb), êîòîðûé ñîäåðæèòîïèñàíèå ïîëåé ÁÄ;� �àéë ñâÿçåé è îãðàíè÷åíèé (.hiplinks), â êîòîðîì îïðåäåëÿþò-ñÿ ñâÿçè ìåæäó ïîëÿìè ÁÄ (è èõ çíà÷åíèÿìè), à òàêæå îãðà-íè÷åíèÿ çíà÷åíèé äëÿ ïîëåé ÁÄ;� �àéë îïèñàíèÿ àëãîðèòìîâ (.hipalgs), îïðåäåëÿþùèé íàñòðîé-êè àëãîðèòìîâ è íåêîòîðûå äðóãèå ïàðàìåòðû;

Page 53: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�åàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ ... 53� �àéë âñïîìîãàòåëüíûõ íàñòðîåê (.hippref).Òåïåðü íàñòðîéêà ïðîåêòà çàêîí÷åíà, ïðè íåîáõîäèìîñòè ìîæíîîòêðûòü ïðîåêò (File\Open, âûáðàòü .hip �àéë) è ïîìåíÿòü ëþáûåïàðàìåòðû èëè èçìåíèòü ÁÄ ïðîåêòà (File\Proje t\Settings).Âûçîâ àëãîðèòìîâ èç ÏÊ è ïåðåäà÷à ïàðàìåòðîâ.Ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ ìîæåò èñïîëüçîâàòü àëãîðèòìû, î�îðìëåí-íûå êàê èñïîëíÿåìûå �àéëû, äèíàìè÷åñêè ïîäêëþ÷àåìûå áèáëèî-òåêè (DLL) è MATLAB ïðîãðàììû. Êîìïëåêñ îïðåäåëÿåò ðåàëèçà-öèþ àëãîðèòìà ïî ðàñøèðåíèþ �àéëà (.exe,.dll,.m) è â çàâèñèìîñòèîò ýòîãî âàðüèðóåòñÿ ñïîñîá âûçîâà àëãîðèòìà è îáìåíà äàííûìè. Âîáùåì ñëó÷àå âñåãäà ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ îáìåí äàííûìè ÷åðåç �àé-ëû îïðåäåëåííîãî �îðìàòà. Ýòî ïîçâîëèëî óïðîñòèòü è ñäåëàòü ãèá÷åêîä, óñòðàíèòü ïîòåíöèàëüíóþ ïðîáëåìó íåñîâìåñòèìîñòè ñî ñðåäîéMATLAB äðóãèõ âåðñèé, îáëåã÷èòü îòëàäêó îòäåëüíûõ àëãîðèòìîâ.Ïðè âûçîâå àëãîðèòìà ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ âûïîëíÿåò ñëåäóþ-ùèå äåéñòâèÿ:� îçäàåò ñëåäóþùèå óíèêàëüíûå âðåìåííûå �àéëû:� �àéë ñ âõîäíûìè äàííûìè àëãîðèòìà;� �àéë èíäèêàòîðà ðàáîòû àëãîðèòìà;� �àéë äëÿ ñîõðàíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû àëãîðèòìà;� çàïóñêàåò âûïîëíåíèå àëãîðèòìà â îòäåëüíîì ïðîöåññå, ÷òîïîçâîëÿåò âûïîëíÿòü ïàðàëëåëüíî íåñêîëüêî àëãîðèòìîâ;� ïåðåäàåò àëãîðèòìó èìåíà ñîçäàííûõ �àéëîâ, à òàêæå íåêî-òîðûå äðóãèå ïàðàìåòðû;� îæèäàåò çàâåðøåíèÿ ðàáîòû àëãîðèòìà. �àáîòà àëãîðèòìà ìî-æåò áûòü ïðåðâàíà ïî æåëàíèþ ïîëüçîâàòåëÿ;� â ñëó÷àå óñïåøíîãî çàâåðøåíèÿ, ñ÷èòûâàåò è ñîõðàíÿåò ðå-çóëüòàòû ðàáîòû àëãîðèòìà, óäàëÿåò âðåìåííûå �àéëû.Çàïóñê àëãîðèòìîâ, ðåàëèçîâàííûõ â âèäå èñïîëíÿåìûõ �àéëîâ,ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ �óíêöèè API CreatePro ess(). Íàçâàíèå�àéëà ñ ïàðàìåòðàìè ïåðåäàåòñÿ â êîìàíäíîé ñòðîêå.Âûïîëíåíèå àëãîðèòìîâ, î�îðìëåííûõ â âèäå DLL, èíèöèèðóåòñÿâûçîâîì ýêñïîðòèðóåìîé �óíêöèè TDLLMainPro ñòðîãî îïðåäåëåí-íîãî �îðìàòà. Âñå íåîáõîäèìûå ïàðàìåòðû ïåðåäàþòñÿ ÷åðåç àðãó-ìåíòû ýòîé �óíêöèè.Äëÿ âûïîëíåíèÿ MATLAB ïðîãðàìì êîìïëåêñ èñïîëüçóåò ìî-äóëü MATLAB-laun her, î�îðìëåííûé â âèäå DLL, êîòîðûé ÷åðåçMATLAB API çàïóñêàåò âû÷èñëèòåëüíóþ ñðåäó, âûçûâàåò �óíêöèþ

Page 54: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

54 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. ÑåìèíMatLabAlgorithmLaun her è ïåðåäàåò åé íàçâàíèÿ �àéëà ïàðàìåòðîâ.Ôóíêöèÿ ñ÷èòûâàåò �àéë ïàðàìåòðîâ, ïðîïèñûâàåò ïóòè â MATLABè çàïóñêàåò óêàçàííóþ â �àéëå �óíêöèþ ñ àëãîðèòìîì (ðèñ. 4).Программный

комплекс

MatLablauncher (DLL)

СредаMatLab

MatLab-программа(алгоритм)

Файл сэкспериментальными

данными

Управление MatLab

Взаимодействие свычислительной средой

( )MatLab

MatLab API

Экспериментальныеданные

Экспериментальныеданные

ВыполнениепрограммыMatLab-

Файл параметроврабочей функции

Параметрыобработки данных

Параметрыобработки данных

�èñ. 4. Çàïóñê MATLAB ïðîãðàììû.Ôàéë ïàðàìåòðîâ, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ ñ MATLAB ïðîãðàììàìèè èñïîëíÿåìûìè �àéëàìè, ñîñòîèò èç ñòðîê âèäà <èìÿ ïàðàìåòðà> -<çíà÷åíèå ïàðàìåòðà>. Îáÿçàòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ïàðàìåòðàñ èìåíåì Fun tion name, êîòîðûé çàäàåò MATLAB �óíêöèþ ñ àëãî-ðèòìîì. Êðîìå ýòîãî â �àéëå ìîãóò áûòü ïåðåäàíû ïàðàìåòðû, íåîá-õîäèìûå äëÿ âûçûâàåìîé �óíêöèè (ïðè çàïóñêå âû÷èñëèòåëüíîãî àë-ãîðèòìà ïåðåäàþòñÿ íàçâàíèÿ ïîëåé è èõ çíà÷åíèÿ äëÿ âûáðàííîéçàïèñè ÁÄ, à ïðè âèçóàëèçàöèè ðåçóëüòàòîâ � íàçâàíèå �àéëà äàí-íûõ), è ïàðàìåòðû ñ èìåíàìè Path.<íîìåð> äëÿ óêàçàíèÿ ïóòåé, ïîêîòîðûì MATLAB áóäåò èñêàòü âñïîìîãàòåëüíûå �óíêöèè, �àéëûïàðàìåòðîâ è äàííûõ. Ïðè çàâåðøåíèè ðàáîòû àëãîðèòì ìîæåò ïåðå-ïèñàòü ýòîò �àéë ïàðàìåòðîâ, çàïèñàâ â íåãî â òîì æå �îðìàòå íîâûåçíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ. Ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ ñ÷èòûâàåò ïàðàìåòðûè çàïèñûâàåò èõ â âûáðàííóþ çàïèñü ÁÄ. Åñëè àëãîðèòì â �àéëåïàðàìåòðîâ íå íàõîäèò íóæíûé ïàðàìåòð, òî ïðîèçîéäåò îøèáêà, êî-òîðóþ îáðàáàòûâàåò àëãîðèòì. Ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ èãíîðèðóåòîøèáêè, âîçíèêàþùèå ïðè ñ÷èòûâàíèè âîçâðàùàåìûõ ïàðàìåòðîâ.Ïîñêîëüêó ñèñòåìà MATLAB èìååò ìîùíûå ñðåäñòâà âèçóàëèçà-öèè, òî ýòîò ìåõàíèçì âûçîâà MATLAB èñïîëüçóåòñÿ â ïðîãðàììíîìêîìïëåêñå äëÿ ïðîñìîòðà ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâåíàçâàíèÿ �óíêöèè ñ àëãîðèòìîì ïåðåäàåòñÿ íàçâàíèå �óíêöèè äëÿïîñòðîåíèÿ ãðà�èêîâ, à â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ èìÿ �àéëà äàííûõ.Ñîçäàíèå àëãîðèòìà â âèäå DLL èëè EXE �àéëà.Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü íàïèñàíèå àëãîðèòìà âñðåäå Delphi 7. Ñîçäàíèå DLL â Delphi íà÷èíàåòñÿ ñ ïóíêòà ìåíþ(File\New\DLL), ïîñëå ÷åãî òðåáóåòñÿ íàïèñàòü îñíîâíîé ìîäóëü:

Page 55: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�åàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ ... 55unit AlgDLL;interfa e uses MyDefsFile, Classes, SysUtils; //óêàçûâàåì ñâîè�àéëû ñ êîäîì, à òàêæå // íåîáõîäèìûå ñòàíäàðòíûå áèáëèîòåêèpro edure TDLLMainPro (var Options: APOptions; Vars: TList;Params: TList;var flAbort: boolean; var Exe Status: integer; Exe Message: PChar); StdCall;exports TDLLMainPro ;implementation pro edure TDLLMainPro (var Options: APOptions;Vars: TList; Params: TList;var flAbort: boolean; var Exe Status: integer; Exe Message: PChar); StdCall;var Alg: TMyAlgorithm; Beginif (Exe Status <= 0)and(not flAbort) thenBeginTry //Ñîçäàåì ýêçåìïëÿð êëàññà è èíèöèàëèçèðóåì ïåðåìåííûåAlg:=TMyAlgorithm.Create(Options, Vars, Params);Try Alg.Computation; //Âû÷èñëÿåìex eptAlg.ErrorStatus := 1;Alg.ErrorMessage := 'Íåèçâåñòíîå èñêëþ÷åíèå';end;Exe Status := Alg.ErrorStatus;StrCopy(Exe Message, PChar(Alg.ErrorMessage));Params := Alg.GetParams(Params); //Äîïèñûâàåì â ñïèñîê Params,finally // âîçâðàùàåìûå çíà÷åíèÿAlg.Free; //Óíè÷òîæàåì ýêçåìïëÿð êëàññàend;end;end; end.Çäåñü îïèñûâàåòñÿ îñíîâíàÿ ýêñïîðòèðóåìàÿ èç DLL ïðîöåäó-ðà TDLLMainPro , êîòîðàÿ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ èìååò ñòðóêòóðóOptions, ñïèñêè ïàðàìåòðîâ Vars è Params � ïåðåìåííûå ïðîåêòà èïîëÿ âûáðàííîé çàïèñè â ÁÄ, �ëàã ïðåðûâàíèÿ ðàáîòû flAbort (íåèñïîëüçóåòñÿ), êîä è ñîîáùåíèå îá îøèáêå: Exe Status, Exe Message.Îïèñàíèå êëàññà TMyAlgorithm, ðåàëèçóþùåãî àëãîðèòì, à òàêæåñòðóêòóð APOptions è APVal, ÿâëÿþùèìèñÿ ïóíêòàìè ñïèñêîâ TList,íàõîäÿòñÿ â �àéëå MyDefsFile. Íèæå ïðèâîäèì îïèñàíèå ñòðóêòóð, âêîòîðûõ ïåðåäàþòñÿ äàííûå ìåæäó ïðîãðàììíûì êîìïëåêñîì è DLL.APVal = re ord //(àíàëîã stru t â C++)Name: AnsiString; //íàçâàíèå ïàðàìåòðà èëè ïîëÿ ÁÄValue: Variant; //çíà÷åíèå ïàðàìåòðà èëè ïîëÿ ÁÄ â âûáðàííîé çàïèñè

Page 56: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

56 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. ÑåìèíValueType: TFieldType; //òèï ïîëÿ ÁÄend;APOptions = re ordSemaphoreName: AnsiString; //èìÿ ñåìà�îðà äëÿ ïðåðûâàíèÿ àëãîðèòìàParamsFile: AnsiString; //�àéë ïàðàìåòðîâProgressFile: AnsiString; //�àéë èíäèêàòîðà ðàáîòûLogFile: AnsiString; //�àéë ñîîáùåíèé, âîçíèêàþùèõ ïðè ðàáîòåResultFile: AnsiString; //�àéë ñ âîçâðàùàåìûìè ðåçóëüòàòàìè ðàáîòûend;Êîä àëãîðèòìà íàõîäèòñÿ â êëàññå TMyAlgorithm, ðåàëèçàöèÿ êî-òîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ðàçðàáîò÷èêîì. Íåîáõîäèìûìÿâëÿåòñÿ òîëüêî íàëè÷èå ìåòîäîâ: Create � äëÿ ñîçäàíèÿ ýêçåìïëÿ-ðà êëàññà è èíèöèàëèçàöèè ïåðåìåííûõ, ÷àñòü çíà÷åíèé êîïèðóåò-ñÿ èç ïåðåäàííûõ ñòðóêòóð; Computation � äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàñ÷å-òîâ; GetParams � äëÿ âîçâðàùåíèÿ ïðåäóñìîòðåííûõ çíà÷åíèé â ïðî-ãðàììíûé êîìïëåêñ, ãäå îíè áóäóò çàïèñàíû â ñîîòâåòñòâóþùèå ïî-ëÿ âûáðàííîé çàïèñè ÁÄ; Free � äëÿ êîððåêòíîãî óíè÷òîæåíèÿ ýê-çåìïëÿðà êëàññà. Òàêæå êëàññ äîëæåí èìåòü ïåðåìåííûå ErrorStatusè ErrorMessage äëÿ âîçâðàùåíèÿ êîäà è ñîîáùåíèÿ îá îøèáêå, âîç-íèêøåé ïðè ðàáîòå. Äëÿ çàâåðøåíèÿ àëãîðèòìà ïî íàæàòèþ êíîïêèîñòàíîâêè èç ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà �óíêöèÿ Computation äîëæíàñîäåðæàòü �ðàãìåíò êîäà, ïðåðûâàþùåãî àëãîðèòì (ïåðåìåííàÿ hndlîáúÿâëåíà êàê THandle)://èíèöèàëèçàöèÿ ñåìà�îðàhndl:=OpenSemaphore(MUTANT_ALL_ACCESS,false,PChar(Options.SemaphoreName));if hndl=0 thenhndl:=CreateSemaphore(nil,1,1,PChar(Options.SemaphoreName));//îñíîâíîé öèêë, â êîòîðîì ïðîèñõîäÿò âû÷èñëåíèÿ ïî ðàçíîñòíîé ñõåìåfor j := 0 to StT do//êîä ðàçíîñòíîé ñõåìû...//îïðîñ ñåìà�îðà äëÿ îñòàíîâêè ðàñ÷åòîâif j mod InquiryStep = 0 then //ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü áûñòðååif WaitForSingleObje t(hndl,1) = WAIT_TIMEOUT thenBeginErrorStatus := 10;ErrorMessage := 'Âûïîëíåíèå ïðåðâàíî ïîëüçîâàòåëåì.';endelse ReleaseSemaphore(hndl,1,nil);//Âûéäåì, åñëè ïðîèçîøëà îøèáêà èëè ïðåðûâàíèå ïîëüçîâàòåëåìif ErrorStatus > 0 then break;end;

Page 57: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�åàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ ... 57Ñîçäàíèå èñïîëíÿåìîãî �àéëà ñ àëãîðèòìîì ïðîèçâîäèòñÿ àíàëî-ãè÷íûì îáðàçîì. Ïðè ýòîì íå îáúÿâëÿåòñÿ �óíêöèÿ TDLLMainPro .Äëÿ ïåðåäà÷è ïàðàìåòðîâ èç ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà ñ÷èòûâàåòñÿè ðàçáèðàåòñÿ �àéë ïàðàìåòðîâ, íàçâàíèå êîòîðîãî ïåðåäàåòñÿ â êî-ìàíäíîé ñòðîêå.Èí�îðìèðîâàòü ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ î òåêóùåì ñîñòîÿíèè âû-÷èñëåíèé, î âîçíèêàþùèõ îøèáêàõ è ñîîáùåíèÿõ àëãîðèòìû ìîãóò÷åðåç �àéëû, èìåíà êîòîðûõ ñîäåðæàòñÿ â ïîëÿõ ProgressFile, LogFileñòðóêòóðû APOptions.Ñîçäàíèå àëãîðèòìà â âèäå MATLAB ïðîãðàììû.Ïðè çàïóñêå MATLAB ïðîãðàììû ñíà÷àëà áóäåò çàïóùåíà �óíêöèÿMatLabAlgorithmLaun her, êîòîðàÿ ïîñëå ñ÷èòûâàíèÿ �àéëà ïàðàìåò-ðîâ è óñòàíîâêè íåîáõîäèìûõ ïóòåé çàïóñòèò óêàçàííóþ åé �óíêöèþñ âû÷èñëèòåëüíûì àëãîðèòìîì. Êîä �óíêöèè ñëåäóþùèé:fun tion Status = MatLabAlgorithmLaun her(varargin) strName = '';if (nargin == 1) strName = varargin{1}; end; if strName == ''strName = 'Laun h.par'; end; [Status, Laun hPar℄ =ReadLaun hParams(strName);% ïðîïèñûâàåì ïóòè ê �óíêöèÿì è �àéëàì äàííûõ â MATLABfor i = 1:length(Laun hPar)if length(findstr(Laun hPar(i).Name,'Path.')) > 0addpath(Laun hPar(i).Val);endend; if Status == 0f = f n hk(GetParamValByName('Fun tion name', Laun hPar));Status = feval(f, Laun hPar);end;fun tion [Status, Laun hPar℄ = ReadLaun hParams(FName) Status =0; mes = ''; [F, mes℄ = fopen(FName, 'rt'); if F ~= -1% Åñëè �àéë îòêðûò, òî ïûòàåìñÿ ñ÷èòàòü çàãîëîâîêStr = ''; Str1 = '';while (feof(F) == 0)lines = fgetl(F); line = strrep(lines,(','),('.'));if findstr('-', line) > 0 Str = har(Str, line); endendf lose(F);% Ïðåîáðàçóåì çàãîëîâî÷íóþ èí�îðìàöèþ â äðóãîé âèäsz = size(Str);for i = 1:sz(1)p = findstr('-',Str(i,:)); s = length(Str(i,:));Name = deblank(Str(i,1:p-1)); Vl = deblank(Str(i,p+2:s));Laun hPar(i).Name = har(Name); Laun hPar(i).Val = har(Vl);

Page 58: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

58 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. Ñåìèíendelse% Ïîêàæåì ñîîáùåíèå îá îøèáêådisp(mes); Status = 1;end;fun tion outParVal = GetParamValByName(Name, Par) outParVal = '';fl = 0; Names = fieldnames(Par); for i=1:size(Par,2) ifstr mp(lower(deblank(getfield(Par(i), har(Names(1))))),lower(deblank(Name)))==1outParVal = getfield(Par(i), har(Names(2))); fl =1; break; endend if fl == 0 disp(['ïàðàìåòð ' Name ' íå íàéäåí!'℄); end;Ôóíêöèÿ ñ âû÷èñëèòåëüíûì àëãîðèòìîì äîëæíà â êà÷åñòâå àðãó-ìåíòà ïîëó÷àòü ñïèñîê ñ ïàðàìåòðàìè Laun hPar è âîçâðàùàòü êîäîøèáêè èëè 0 â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî çàâåðøåíèÿ. Ïîëó÷åíèå çíà÷åíèéïàðàìåòðîâ ïî èìåíè èç ñïèñêà Laun hPar ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ èñ-ïîëüçîâàíèåì �óíêöèè GetParamValByName.Èí�îðìèðîâàòü ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ î òåêóùåì ñîñòîÿíèè âû-÷èñëåíèé, î âîçíèêàþùèõ îøèáêàõ è ñîîáùåíèÿõ àëãîðèòìû ìîãóò÷åðåç �àéëû, èìåíà êîòîðûõ ïåðåäàþòñÿ â ïàðàìåòðàõ ñ èìåíàìèProgress file, Log file.Ôàéëû äàííûõ è èõ âèçóàëèçàöèÿ.�àçðàáîò÷èê ïðîåêòà ìîæåò ïðåäóñìîòðåòü èñïîëüçîâàíèå �àéëîâäàííûõ ëþáîãî �îðìàòà, â òîì ÷èñëå è ñâîåãî ñîáñòâåííîãî, â ýòîìñëó÷àå îí äîëæåí òàêæå ðàçðàáîòàòü ïðîãðàììó äëÿ âèçóàëèçàöèèäàííûõ. Äëÿ èçáåæàíèÿ ýòèõ ðóòèííûõ äåéñòâèé âîçìîæíî èñïîëüçî-âàòü �àéëû äàííûõ ïðåäóñìîòðåííîãî ÏÊ �îðìàòà.Ôàéë äàííûõ çàïèñûâàåòñÿ â �îðìàòå ASCII è ñîñòîèò èç òåê-ñòîâîãî çàãîëîâêà, îïèñûâàþùåãî ïàðàìåòðû, ïðè êîòîðûõ �àéë áûëïîëó÷åí, çà êîòîðûì ñëåäóåò ÷àñòü ñ äàííûìè.  ïåðâîé ñòðîêå çàãî-ëîâêà óêàçûâàåòñÿ òèï äàííûõ (äåñîðáöèîííûé ïîòîê, êîíöåíòðàöèÿâ ëîâóøêàõ è ò.ä.), äàëåå ðàçäåëåííûå ïóñòûìè ñòðîêàìè ðàñïîëàãà-þòñÿ ñåêöèè: Parameters, Variables, Additional parameters, Data partdes ription. Êàæäàÿ èç ñåêöèé âêëþ÷àåò ïàðàìåòðû, çàïèñàííûå ââèäå <èìÿ ïàðàìåòðà> - <çíà÷åíèå ïàðàìåòðà>. Ñåêöèÿ Parametersñîäåðæèò çíà÷åíèÿ ïîëåé âûáðàííîé çàïèñè ÁÄ.  ñåêöèþ Variablesïîìåùàþòñÿ ïåðåìåííûå ïðîåêòà. Ñåêöèÿ Additional parameters çàðå-çåðâèðîâàíà. Ñåêöèÿ Data part des ription ñîäåðæèò ïàðàìåòðû, èñ-ïîëüçóåìûå ïðè âèçóàëèçàöèè (çíà÷åíèÿ ïî îñÿì, íàçâàíèÿ îñåé è ïð.).Òåã <Data part> îòäåëÿåò çàãîëîâîê îò ÷àñòè ñ äàííûìè. Äàííûå çà-ïèñûâàþòñÿ â âèäå îäíîìåðíîãî èëè äâóõìåðíîãî ìàññèâà.  ñëó÷àå

Page 59: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�åàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ ... 59îäíîìåðíîãî ìàññèâà êàæäîå ÷èñëî çàïèñûâàåòñÿ ñ íîâîé ñòðîêè, âäâóõìåðíîì ìàññèâå ÷èñëà â ñòðîêå ðàçäåëÿþòñÿ ";".Ïðè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ íà Delphi êîä äëÿ ñîçäàíèÿ è çàïèñè�àéëîâ òàêîãî �îðìàòà ìîæåò áûòü ñëåäóþùèì.unit MyDefsFile;... onstFT_ = 'Hydrogen on entration file';TypeTMyAlgorithm = lassAddParams: TList; //Ñïèñîê äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâConz: array of double; //Ìàññèâ, õðàíÿùèé êîíöåíòðàöèþ ïðè ðàñ÷åòàõ...publi f_ : TDataFile; //Îáúÿâëåíèå íàøåãî êëàññà, ðàáîòàþùåãî ñ �àéëîì... onstru tor Create(var Options: APOptions; Vars: TList; Params: TList);destru tor Destroy();end;... onstru tor TMyAlgorithm.Create(var Options:APOptions;Vars:TList;Params:TList);var ConzFN: string;begin...ConzFN := GetValByName('CONZFILE', Params); //Ñ÷èòûâàíèå èìåíè �àéëà äàííûõ//Ñîçäàíèå ýêçåìïëÿðà êëàññàf_ := TDataFile.Create(Params, Vars, AddParams, ConzFN, FT_ , 0);f_ .Clear; //Èíèöèàëèçàöèÿ, èñïîëüçóåòñÿ ïåðåä ëþáûì îòêðûòèåì �àéëàf_ .OpenFileToWrite; //Îòêðûòèå �àéëà, çäåñü ïèøåòñÿ çàãîëîâîê...end;destru tor TMyAlgorithm.Destroy;beginf_ .CloseDataFile; //Çàêðûòèå �àéëàf_ .Free; //Óíè÷òîæåíèå ýêçåìïëÿðà êëàññà...end;pro edure TMyAlgorithm.Computation;begin//îñíîâíîé öèêë, â êîòîðîì ïðîèñõîäÿò âû÷èñëåíèÿ ïî ðàçíîñòíîé ñõåìåfor j := 0 to StT do...//çàïèñü äàííûõ â �àéë

Page 60: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

60 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. Ñåìèíif j mod WriteStep = 0 then f_ .WriteNext(Conz);end;end;end.Ïîñòðîåíèå äâóõ è òðåõìåðíûõ ãðà�èêîâ äëÿ òàêèõ �àéëîâ äàí-íûõ âîçìîæíî ñ ïîìîùüþ MATLAB �óíêöèè ShowDatFile (ðèñ. 6).4. Èñïîëüçîâàíèå ïðîåêòàÏðè ðàáîòå ñ êîìïëåêñîì èññëåäîâàòåëü èñïîëüçóåò ïîëüçîâàòåëü-ñêèé èíòåð�åéñ (ðèñ. 5), îñíîâíîé ÷àñòüþ êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ðåäàêòî-ðû âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ïîëåé. Ïîñêîëüêó îïòèìàëüíûìÿâèëîñü èñïîëüçîâàíèå ÁÄ â âèäå îäíîé áîëüøîé òàáëèöû, ãäå ñòðîêèñîîòâåòñòâóþò âû÷èñëèòåëüíûì ýêñïåðèìåíòàì, à ñòîëáöû çàäàâàå-ìûì ïàðàìåòðàì, òî ðåäàêòîð ýêñïåðèìåíòîâ ïîçâîëÿåò ïðîñìàòðè-âàòü ìíîæåñòâî çàïèñåé ÁÄ, íî ïðè ýòîì âèäíà òîëüêî ÷àñòü ïîëåé, àäëÿ ïðîñìîòðà âñåõ ïîëåé òåêóùåé (âûáðàííîé) çàïèñè èñïîëüçóåòñÿðåäàêòîð ïîëåé. Ñ ïîìîùüþ ïàíåëè óïðàâëåíèÿ ÁÄ è ëþáîãî èç ýòèõðåäàêòîðîâ âîçìîæíî ðåäàêòèðîâàòü äàííûå.Óïðàâëÿòü äàííûìè, âû÷èñëåíèÿìè è ïðîñìîòðîì ðåçóëüòàòîâïîëüçîâàòåëü ìîæåò ñ ïîìîùüþ ïóíêòîâ ìåíþ èëè ñ ïîìîùüþ êíî-ïîê íà ïàíåëÿõ èíñòðóìåíòîâ. Îñíîâíûå äåéñòâèÿ ïîëüçîâàòåëÿ ïðèèñïîëüçîâàíèè ïðîåêòà áûëè ïðèâåäåíû â ïóíêòå 2.  îêíå íàñòðîéêèïðîåêòîâ ìîæíî äîïîëíèòåëüíî çàäàòü ãðóïïû êîïèðîâàíèÿ è âñòàâêèïîëåé, à òàêæå ãðóïïû îòîáðàæåíèÿ ïîëåé â ðåäàêòîðå ïîëåé.5. �åàëèçàöèÿÏðîãðàììíûé êîìïëåêñ ðåàëèçîâàí â ñðåäå ïðîãðàììèðîâàíèÿBorland C++Builder 6.0 ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïîëíèòåëüíûõ êîìïîíåí-òîâ: à) RXLib 2.75 äëÿ ðåàëèçàöèè ñïåöèàëèçèðîâàííûõ òèïîâ ïîëåé;á) TMS Component Pa k 3.7 äëÿ ðåàëèçàöèè èíòåð�åéñà ïîëüçîâàòå-ëÿ; â) Advantage Database Server 8.0 äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ òàáëèöàìèÁÄ. Ïðîãðàììíàÿ ïîäñèñòåìà MATLAB-laun her î�îðìëåíà â âèäåDLL, êîòîðàÿ íàïèñàíà íà ÿçûêå MS Visual Ñ++. Òàáëèöû ÁÄ ýêñïå-ðèìåíòàëüíûõ ïðîåêòîâ õðàíÿòñÿ â �îðìàòå DBF/CDX.

Page 61: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�åàëèçàöèÿ è èñïîëüçîâàíèå çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ ... 61

�èñ. 5. Îñíîâíîå îêíî ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà,ðåäàêòîðû ýêñïåðèìåíòîâ è ïîëåé.0

0.02

0.040 1000 2000 3000 4000

0

2

4

6x 10

19

l, cm

t, s

c(t,x), cm−3

0 100 200 300 400 500 600 700 8005.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6

6.1

6.2

6.3

6.4x 10

13

�èñ. 6. Âèçóàëèçàöèÿ äàííûõ ñðåäñòâàìè MATLAB:îáúåìíàÿ êîíöåíòðàöèÿ è äåñîðáöèîííûé ïîòîê.

Page 62: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

62 Â. Â. Ïîïîâ, Ï. À. ÑåìèíËèòåðàòóðà1. International Symposium on Metal Hydrogen Systems, Fundamentals and Appli a-tions. Âook of abstra ts // Krakow, Poland, 2004.2. Hydrogen Materials S ien e and Chemistry of Carbon Nanomaterials // NATOS ien e Series II: Mathemati s, Physi s and Chemistry. Vol. 172. Kluwer A ademi Publishers, Netherlands. 2004.3. Hydrogen Materials S ien e and Chemistry of Carbon Nanomaterials. Ñáîðíèê òå-çèñîâ IX ìåæäóíàðîäíîé êîí�åðåíöèè // �åä. Ùóð Ä.Â., Çàãèíàé÷åíêî Ñ.Þ.,Âåçèðîãëó Ò.Í. Kiev: AHEU, 2005.4. Zaika Yury V. Identifi ation of a hydrogen transfer model with dynami al boundary onditions // International Journal of Mathemati s and Mathemati al S ien es.2004. N 4. Pp. 195-216.5. Çàèêà Þ.Â. Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ïåðåíîñà âîäîðîäà ñêâîçü ìåìáðàíû ìå-òîäîì êîíöåíòðàöèîííûõ èìïóëüñîâ // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ôèçèêà. 2002. N 1. C.81-87.6. Çàèêà Þ.Â. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ ìîäåëè âîäîðîäîïðîíèöàåìîñòèñ äèíàìè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè // Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå.2001. Ò. 13. N 11. Ñ. 69-87.7. Ïîïîâ Â.Â. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòè�èêàöèÿ ðàñïðåäåëåííûõ ìîäåëåé âîäî-ðîäîïðîíèöàåìîñòè. Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà�èç.�ìàò. íàóê. Ïåòðîçàâîäñê: Ïåòð�Ó, 2004.8. ×åðíîâ È.À. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ âîäîðîäà ñ òâåð-äûì òåëîì (òåðìîäåñîðáöèîííàÿ ñïåêòðîìåòðèÿ). Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèåó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà �èç.�ìàò. íàóê. ÑÏá: ÑÏá�Ó, 2004.9. Â.Â. Ïîïîâ, Ï.À. Ñåìèí Ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ ìîäåëèðîâàíèÿ âçàèìîäåé-ñòâèÿ âîäîðîäà ñ òâåðäûì òåëîì // Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ, Ïåòðîçàâîäñê,2005. Âûï.6. Ñ.58-68.10. Â. Â. Ïîïîâ Èäåíòè�èêàöèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëåé âîäîðîäîïðîíèöàåìîñòèäâóõñëîéíûõ ìåìáðàí // Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ. Ïåòðîçàâîäñê, 2005.Âûï.6. Ñ.69-77.

Page 63: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ����������������������� "!$#&%�'�(*)*)*+

,.-0/21�354�6 (

7 �������� 8�������9:8�;<� 7>= �0?@8"�>���>AB���>����CD8"� 7 ;.���� 7 ?@8�E���AF���<� 7 ��� 7>G*7 ������E��IHJ�

;KHJ��L���;<��� M � ��AF���<� 7 ����� �N� 7 ;.���0���.��� �

O 6��P6 O:QSRUT<VWVWX

Y�Z\[][]^�Z]_]`�aJbcZ\d\_\[feg^�hciWd]j*kml�Z\nW_\h$`�o�hWpqh&Z\oJZ5j*aJr]ZF[mr]Z\bca�[]a�s^�tD^�a&l�Z\nW_\h$`�Z\^�a�u�bmnWh$_\h$`�h$vwr]Z\bca�[]aJ^�hW[5_\k�^�d]x�icy&hW[5_\Z]_csnzZ\^�a{h$|Ja�[]tDbcZ\d\_\[fe}nWh$bcZ]`�aJZ\~�aJh$oJo�h$v{p�`�Z\l�h$bch$v ^�hciWd]j*k\����@h\jWy*�*dSoJt{yJ[fj*h$bca*e�j*h$nzZ5j*k\o�h$v�a*iWdSo�_\aJl�aJ~�a�`zyJdS^�hW[5_\am^�h*siWd]j*a a{oJZ\v*iWdSo n$j*Z\[][�^�hciWd]j*dSv�u�ySizh$b\j*d\_\bch$`zeW�:�0a*�{|�h\jWy�s�*dSoJoJtD^wyJ[fj*h$bca*eW^}a*iWdSo�_\aJl�aJ~�a�`zyJdS^�hW[5_\a��

3c6�� XzV$�"VW�U�UV�&���*�����W�$� ��3c'�(������z!$!$�P�W�W���"�*�$����!$�>�P�*���c���}���z#J�W�J�����J�5�m�z�"�$���"�$�>!

���W�$�z�*��!$�"�P���P�����z#J�W�J���z�P� '��}#����W�J���@�¡�$�z�*��!$�"�P�J!c�W�w�.�c¢£�* ��J!c�W�W�*¤#��z�P�¥���"��!$���*�*�$�W!S¦§�5�$ "!$!$���*!$#���¨¥�"�z!S���c��!c�W���W�"����¨��5���*�����*��¨©�P�*���*¤���WªN� «J��6c�m���z�"����¨m!c�W�W�W�z�¬�P�­�z *���W�&���z!$!$�P�W�W���"�*�W�W�¬�P�*���c���¬!:�$�z�*��!$��¤�P���P�{���z#J�W�J���z�P� 'J��#����W�J����¨®�$�z�*��!$�"�P�J!c�W�£�.�c¢£�* g�J!c�W�W�W#��z�P�{�"���c��¤!c�W�z�W��¦��$�W!S¦m�£�*�����>�5�$ "!$!$���*!$#���¨&#����*�z���"�z¯��"���"����¨}�5���*�����*��¨&�P�*���c��� 6°®�*���c���0¦��W��¦��$�W!S¦F��������±F�W�"���W�²�P�*���c��� '*#����W�J���$¦B���@���>���z!$!$�P���W���W�"��­���*�����z�§� ³���6.-:��¦´���z!$!$�P�W�W���"�*�*�W�P��¨µ�P�*���c���µ�z *�* ��®���W�� �¶��W�"�·����¤!c�W�W�W�z¶��"�¬�� "!S�����*��¦w����#��$���W����¨®�"�z���z�.�$�W����¶��W!$#���¨²�����W���W�����"¯��"�� ��*¤�P�J!c�W�K�P�*���c���K�¸�"�z¨����W�´#����z!$!}�P�*���c���W¨ 'U *�����W���$�W�*�J��¦�ª£±m���´���W�� �¤¶��W�"�"��� "!S�����*��¦��@6*-¬�z�"�"��¨B#����z!$!�!$�J!c�W�z�W��¦�ªI�����W!$�I�"���w���W#����W�J���@��J�5���z�"��¶��W�"��¦��²�"�B¶���!S���®���$��¹��"�´!$�.�c¢m�"�@�²!º���z�"����¨����$��¹��"����¨ 6 ����*�����z�m��!$���W���W�S "ªI�W!S¦w�����J�$�"�$¶��W�"��¦"'��*���c���W�"�"�¬�m�F���*�����z�{� (���6

»¼¾½�¿ X ¿\½�ÀÂÁfÃ�ÄfÄÆÅSÇ\ÈÆÉfÉ5Ê

Page 64: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ��������� ���������

(�6���� � ½ R��U�UV�����R ½"½ R��\R ½"½�� R�Q �c�UX$R�V �"!�#���$ �"V �"V&%'0 "!c�W��()+*, �P���*¢F�W!c�W�*�F�*!W�c�º�"�z!S���c��!c�W���W�"�"�@�F�5���*�����&� (�' «J�"!.-�/+0

���$��¹��"�"�z�P� '"#��$¢£����¨²�5���*�21436587:9<;>=¬#����W�J���J�5� �������$���*�$�º!S���c�* "ªm¤±m�"�P�{!$�*��¨"!c�W�*�z�P�@?

A 3CBD723FE4G�Hg'��Æ���IEJ3LK�MIN�9PO O O 9<MRQ�Sz'��RHT3UK�V�N�9PO O O 9<V�W�S�XA (�BI�U�$��¹��"�"� �5���*����1I'P#����W�J���¬�²!$���c���"���W�"� ���W�J�����W���W�"�����*�z��¤

�"���P�{���z�����z�P� '�!$�J!c�W�z�W��¦�ªI���P���*¢F�W!c�W�*�YEZXA «�B.[¬ª����¬�������º���z�S����¶��"�¬�º���$��¹��"�"�©�P���*¢F�W!c�W�*�:E !$���c���"���W�"�

���z�����J��XA ³�B>-:��¦º��ª�����¨{���$��¹��"�"�\M:]�^_Eg'�`�a�58M:]b=�c3ed�XA 1�BI/@�$¢£���$¦¸���$��¹��"�"�FVf^\H �"�.�z�$�­�W�W���W#��2�*�����J�5�K���*�����z�c��¦"'

�"����¶��W�g�h58VD=i3LK�M ] ] S�9jM ] ] ^kEZO

'0 "!c�W�FK�1�9<l�mn5poY9<q�9<rI9tsn=tSz'u1v3w587:9<;>=_^2()+*, 'u723FE4G�Hg'�ox^y W{zQ 9}|�m�58q�9<rI9tsn=~^�g.m�'��§�"�z!S���c��!c�W���W�"�"�$¦2�5�$ "!$!$���*!$#��$¦K�5���*�����*�$¦�P�*���c���§� (�'f«J�>! �P���*¢F�W!c�W�*�J�����W�z�W���W�"�@�¸!S�� �¶��z¨"�"�@�¸���c����¶��"�\E ��P���*¢F�W!c�W�*�J�K�"�*����ª����*�W�P�@�w!S�� �¶��z¨"�"�@�&���c����¶��"��Hg6,P���$���"�{�>�5���*�>�.1K�*!W�����$��¹��"�"�´�P���*¢F�W!c�W�*��E��B�"�"¯������W���W�"�¬��!

�"�"�P� ���z������6�'>�W�� �¶��W�"�"��¨g���W "�J�����W���W�"�����*�z�"�"��¨¡�5���*����3\5pHZ9<;>��=�P�µ�z *���W���"�z�$���*�W�W�£!c�W�� "#J�c "����¨²�P�*���c��� 6°®��P�*¢F�W�2�"���c��!c�W�z�*���W�º�$�z�*��!$�"�P�J!c�W�º�.�c¢£�* ��c���W�.�W���W�z�P�¡�P����¤

¢F�W!c�W�*��H �º�*�����m!$��!c�z�W�P�µ���W�5���W!$!$�"���"�"�@�w "���z�*���W�"�"¨V���3�ok��/�� �8M�58V���=/Z�{��9��@3U�&9PO O O 9�-@9 A 3CB

�Æ���M�58V���=i3Fg�h58V���=}Xo�3JKCo:NC9PO O O 9�okW�SY�­���W#J�W�J�K�P�W�z�W�P�W�W��¶��W!$#����´�*¢m�����z�"�"¨¸�"�*����ª����*�*¤�P�@�}!S�� �¶��z¨"�"�@�w���c����¶��"� 6� �z�*��!$�"�P�J!c�W�}�.�c¢£�* ´#��J�P�������W���W�z�P�¸!S�� �¶��z¨"���J�5� ���W#J�W�J���{�J!c�W�W�W#������3�KP��NC9PO O O 9��{W�S}���"��!$���*�*�$�W!S¦´�5�$ "!$!$���*!$#���¨µ#����*�z���"�z¯��"���"����¨µ�5���*����¤�*��¨{�P�*���c���Wª�!$�º!c�W�� "#J�c "����¨��<6�'0 "!c�W�Is�3�5b��� � =��B�P�W�W���"¯���#����*�z����¤�z¯��"¨{���W#J�W�J������'J�W�J�Æ���

�W!S����V�����V����^k;�9 �W���> �¡¢5b�{��9��C��=i3F£¤5b��� �>3�£�=}O

O �� �¶��z¨"�"�¬�0���c����¶��"�"�eMIN 9PO O O 9<MRQ��"�.�WªI������±F�z�����J���P�$���W�����>���z!$�"���*¤���c���W�"���{!g�P�W�W���"¯"�W¨2#����*�z���"�z¯��"¨�¥¦3§58� � ��=f'D�"����¶��W��¨�58M��©=D3ª£g�«.h�¬�58M���=i3��W'��@3��&9PO O O 9t0�6

Page 65: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� � �

'0 "!c�W�"!�3UKCoY9<� ��9���3��&9PO O O 9�-@9ts�9<¥.Sz6��>�"���c���c���"�´�"�z���z�.�$�W����¶��W!$#�����P���*¢F�W!c�W�*�$#L3UK�!�% s�9<¥'&g���W���*¢m���z�c���W���w���"���c���c���W�"�DO S°®� �z *���W� �5���*�J�����W�J'�¶��W���P�*���c��� A 3CB&�����W���W�����"¯��"�� ��W�P�©�"���

!�^(#�]�)*#>'��W!S���{�"���+!�^(#�]�)*# ���B�P�W�W���"¯"�m#����*�z���"�z¯��"¨ �"�*����ª�����¤�W�P�@�B!S�� �¶��z¨"�"�@�º���c����¶��"��| , �"�z���z�.�$�W���\KP��� �&9<V�����V��.^_; � S0���"���*¤���c��¦�ªI�W!S¦{�*�����J�$�"�$¶�����'��w�"�z���z�.�$�W���JK���NC9PO O O 9<� W�9<� � �&9P�",U�.-0/1, 0�Sm!�W�z¶����J!c�W�WªN���w�$�"�z#���6°®�µ�z *���W�´�5���*�J�����W�J'�¶��W�&�P�*���c��� A 3CBU����#��$���W���&�����W���W�����"¯��"�� ��*¤

�P�F�"���2!I^(#�] ]�)3#>'��W!S���g�J��¦B��ª����J�5�4!I^(#�] ]��P�*���c���º�z *���$�m�����W���W��¤���"¯��"�� ��W�P��¨®�"���$!�^6587$'��Æ���9587D�&���W#����W�J���$¦}��#����W!c�W���J!c�W�:!J6�B���*�����z�F� ³��"���@���F���W�� �¶��W�"�¡ "!S�����*��¦£�����W���W�����"¯��"�� ��W�P�J!c�W�B�P��¤

���c��� A 3CBP�J��¦ !S�� �¶��$¦�0:3��W6�°®���z *���W�2���z!$!$�P�W�W���"�*�W�W�w!S�� �¶��z¨­�"����¤�"�$�*�W���W���J�5�~0�6

�>�"���c���c���"�L0º�P���*¢F�W!c�W�H � 3UK�V�^+H;% M���3�g�h58VD=tS

�{�� "!c�W�(% H � %�3�- �q'���3��&9PO O O 9t0�6'0 "!c�W� �n5pHZ9 ;>=��B�������W���"���z�c���W�"��¨ �5���*�!c�W�� "#J�c "���6�<6'0 "!c�W��� ���*���5���*� �������W���"���z�c���W���J�5�K�5���*����'D¦��W��¦�ª£±m�"¨"!S¦¸�"����¤

!c�W���¸¯��"#����J�@'�!$�J!c�W�*¦�±m�"�´�"�����$��¹��"��K=<¢N 9PO O O 9><�Q�S"^_Hg'���1©���*���5���*��������W���"���z�c���W���J�5�¡�5���*����'�!$�J!c�W�*¦�±m�"¨¸�"�&�"���J!c�W�J�5�²¯��"#����{!&���$��¹���¤�"�z�P��K=<¢N�9PO O O 9>< �@?�S�^_Hg'��"���J!c�W��¨®¯"�W�"�®!����$��¹��"�"�z�P��K=< �@?�9PO O O 9>< � A{S�^_H�{�"���J!c�W�J�5�w¯��"#����F!£���$��¹��"�"�z�P��K=< � A{9PO O O 9>< W�S"^+Hg6-:��¦Z�B, oC-�DE,�0º���"���c���c���"�K�¬ "�"#�¯��"�

FBGIHN 5©�.= 3Q�J NK� L�NM GIH 5N< �<9>< � z�NP= 5O&.��=

� z�N / M GIH 5N<¢N 9><�Q{= 5O&.��=Q}z�N

F GIHP 581"= 3�@?>J NQ�RL�N M GIH 5N< ��9>< �<z�NP= 5O&.��=

�<z�N / M GIH 5N<¢N 9>< �@?P= 5O&.��=�@? z�N /

S 5� ATJ NQ�RL �@? M GIH 5N< ��9>< �<z�NP= 5O&.��=

�<z�N =</WUJ NQ�RL � A M GIH 5N< ��9>< �<z�NP= 5O&.��=

�<z�N / M GIH 5N< W�9>< � AC= 5O&.��=� A 9

�Æ��� M GIH 5N< ��9>< ��=>32�F�W!S���3< ��^�H G '�< �+^�H H �����0< �+^�H G '�< ��^�H H �M GIH 5N< �<9>< ��=i3F£��F�"�����W�"�*���J�¸!S�� �¶��*�J6

Page 66: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� � ��������� ���������

«�6D, ½ � $ Xz���w���"VW��Q*� T<��� ������V ��$ ½ Q*� � �c� 0R3 S'0 "!c�W�®�P���*¢F�W!c�W�*�UE !$�J!c�W�����¡�"�{���W ��K���$��¹��"� A �J6 �J6n0F3 S B>�

�� "!c�W�k� � �"3��B��F N PN 5©�.=�3 F@N 5©�.=f'�F N PP 581"=n3 F P 581"=f6�-:��¦Y�$�W�J�5�g!S�� �¶��$¦�"�z�P�¡���W�� �¶��W�"�����W�������*���"�P�¬�&�²���J!c�W�W�W�z¶��"�¬�B "!S�����*��¦ �����W���W������¤¯��"�� ��W�P�J!c�W�®�P�*���c��� A 3CB�6

��������<� ��������������0R3 S�� � ��c3F£ � �_c3F£ � �@3U�&9PO O O 9�-����! "#%$&�B3�$' �(*)+$&��,� - "#�,'� -/.�-10*-2 ��#�34)5�6 �7�") - �6 �$&��(* 8�6 �7�") � (* �7�")A 3CB9(*)�:;")�<=(* �3�>� �,�#�,'�6)?��@<�A�,� /��� - " �>� �$&, - �6#%$&��,� �7� B7 2 ) . ) ��� "# 2 : - �C>� ;( 2 )1D�,�#&DE34# 2 #F " - ,B,�#HGH#���,'I�D 0*- (�$�JA (�B9>� !( 2 )1D�,�#&DK34# 2 #L "/,�)?(* �3�>� �,�#�,'�6)M��@<�A�,� /��� - �� "# 2 : - �$ -�N OGH#���,'I�D 0*- (�$Z� � "$H<F(* ��6 2 �7� 4F@N 5©�.=>c3F£ � - $ - >� "/7 2 ) .

1 � �� /���6 �<�P - D - AB"/@&��Q?> 2 /����IRQ?,�#HGH#���,'IRQ 0*- (�$' �@ � �� /#�" -1S,�#�,','IRQF> 2 /���6 *D 0 #�>1��T � "$H<F(* ��6 2 �7� :F P 581"=�c3�£&�- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6@°®� �z *���W� ��!$���W���W�$���*�W�W�2���W�5���W!$!$�"���"����� �"���c��¤!c�W�z�W���W�"���B�P�*���c��� A 3CB�6�'0 "!c�W�:|L365XW � � ="�{�P�W�W���"¯��w#����*�z���"�z¯��"¨­�"��¤����ª����*�W�P�@�&!S�� �¶��z¨"�"�@�&���c����¶��"� 6'Y>!$���W���W�S �¦ A 3CB�'J�P� ���W�� �¶��*�W�

W � �>3[ZR\ � �C� �©�{��/Z��� �&9 �W!S����V���&ZV��+�^ ;"9\ � �C� �©�{�&9 �W!S����V���&ZV��.^ ;"9 A (�B

����

\ � ��3 Z �&9 �W!S����V���9<V��.^kH N ������V���9<V��.^+H P 9��9·�F�"�����W�"�*���J�¸!S�� �¶��*� O

O ��!c�z�W�P� A (�BD�$�$���*�$�����W�������$¢F�W�"���]=^ #`_�yba�c a+d ?XeA O°®�W�W���"¯��!f.#������Cg ':!$�J���W���$�W!c�W�W "ª£±m�$¦µ���W�������$¢F�W�"�"ª ] ':�"�.�z�$�

!S���c�* "ª£±m�"¨®�����z¶�����¤ ���$�������*¤ ���"�z�5���"�$���W�"��¨g�*���g:3ih g�N jgi5 \ =lk 9

���� g�N�3mhon W � �n ��� � kqp+r J p�s�tu v 3xw a�c a+d ?XeA J�y v y 9gi5 \ = 3ihzn W � �n ��N 9PO O O 9Hn W � �n � W 9Hn W � �n � k p+r J p�s u v O

Page 67: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� ���°®�*���c��� A 3CB0�z *���$�&����#��$���W���­�����W���W�����"¯��"�� ��W�P��¨2�W�J�Æ��� �¸�W�W���*¤

#��²�W�J�Æ����' #��J�Æ���{�P�W�W���"¯��?g¸�"�.�z�$�{���W���"��¨¸���z�"�{� 1���6 A '>�*�­���W���"������z�"�5�J���P�·���*�����z�S "�.�W�*�*�W�����W���"��¨2���z�"�B���­!c�W�W����¯��z�@'P�J6 �J6.#��J�Æ������z�"�¬�P�W�W���"¯��µ���z���W�}¶���!S�� {!c�W�W����¯����º�P�W�W���"¯��>6 B�[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W��&�"�z¹m�W�2!S�� �¶��*�_�$�W���W#��*�"�*�$���W���W���{�W�J�   '�¶��W�{�P�W�W���"¯�� gi5 \ =0�"�.�z�$����W���"��¨{���z�"�c6

[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�B�J��¦k�t9 /�' V���&ZV��.^ ;>'�0�3��&9PO O O 9�-@9

n W � �n ��Q ��Q.3�� Q� � � � �C� �©�{�&9 n W � �n � � � �>3�� � ��� � �C� �8�{�&9�Æ���I�J��¦~0R3U�&9PO O O 9�-

� Q� � 3 Z �&9 �W!S����0�3��t9 /�9£�9 �W!S����0_c3��t9 /�9

� � ��3[Z �&9·�W!S����� � ��3F��9£�9·�W!S����� � ��3��{O

'0 "!c�W����� �>3�5�� N� � 9PO O O 9�� W� � =��n� �>3 5���� ��9�� � ��=f6�������z�S ��W�¡�����m�P�W�W���"¯�� ��3 5���� � = p+r J p�s u � ��� 3 5�n� � = p+r J p�s u v 6�0¶��W�*��������'�¶��W�gi5 \ =��&� ����K���N�9PO O O 9<� W¢9<� S�3��&� ����K�� � �P� �©�{�{9<V���&ZV��.^ ;"S��ZO

���*���* ´�W�J�5��'�¶��W� � ��c3�£J'��.3J�&9PO O O 9�- '��Fc36£J'U�P�W�W���"¯��!gi5 \ =I�"�.�z�$����W���"��¨F���z�"�D�W�J�Æ���¬�m�W�W���W#��I�W�J�Æ����'S#��J�Æ���0�P�W�W���"¯���� �"�.�z�$�����W���"��¨���z�"�c6

� �z�.�$�W�"�@'J¶��W�w��!$���W���W�S �¦ A (�B�'J�P�*¢m���w���W�� �¶����W�

5�� � % W � � % = p+r J p�s u v 3������� � % ��N %O O O� � % � W%� � % ��%

���� O

���W#� *���m���W�� �¶��*�W�@'J¶��W�&�W!S���{�P�W�W���"¯��!� �"�.�z�$�m���W���"��¨{���z�"�c'��W��"�z���z�.�$�W����K���NC9PO O O 9<� W¢9<� S����"���c���c���W�"�µ!I�W�z¶����J!c�W�WªN���w�$�"�z#���6

'0 "!c�W���������W���"���z�c���W�"��¨&�5���*� �{!$�J!c�W�����£�"� D�#��J�P�������W���£!$�W¦��$����¤!c�W� � NR3J5pH N 9 ;.N =f'.6 6 6.' � H 3J5pH H 9 ; H =f6 [0�W�5#��²�*�����$�W�J'�¶��W�²�P�W�W���"¯���

Page 68: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ��������� ���������

�"�.�z�$�º�����z¶�����¤ ���"�z�5���"�$���W�"��¨g�*���

��3����IN

6 6 6 � H� �

�Æ��� ����'���36�&9PO O O 9RD�'��P�W�W���"¯��>'"!$�J���W���$�W!c�W�W "ª£±m���g#��J�P�������W���W�z� !$�W¦��z¤���J!c�W� �5���*��� �.6°®�W�W���"¯���� �"�.�z�$�´���W���"��¨���z�"�}�W�J�Æ���´�µ�W�W���W#��§�W�J�Æ����'@#��J�Æ���

#��$¢£���$¦B�"�£�P�W�W���"¯ �INS' 6 6 6 ' � H �"�.�z�$�F���W���"��¨{���z�"�c6'0 "!c�W� � ]� !$�W¦��$�"��¨ ���*���5���*�©�5���*��� ���.!RH � ���$��¹��"�"�z�P�®� !$�*���$�"¤¢m�z±m�"¨+% H � % /R�<���z���$�m�F�� "!c�W� � ] ]� ���*���5���*� � ]� '\¦��W��¦�ª£±m�"¨"!S¦��"���J!c�W���¯��"#����J�@6�°®�W�W���"¯� �I]� !º���J�P�J±m�Wª ���$���W!c�W�z�����*��# !c�W����#®�²!c�W�W����¯�����P�*¢m���·�"���"���W!c�W� #·!S���c�* "ª£±F�W�  ���$�������*¤ �����z¶�����¤ ���"�z�5���"�$���W���J�  �*���* ����

�� j6 6 6

� �I] ]�

����� 9

�Æ���!�I] ]� �P�W�W���"¯���'"!$�J���W���$�W!c�W�W "ª£±m�$¦ �5���*�¬ � ] ]� 6��0¶��W�*��������'�¶��W�g�P�W�*¤���"¯�� �I]� �"�.�z�$�w���W���"��¨²���z�"�>�W�J�Æ���B�²�W�W���W#��g�W�J�Æ����'�#��J�Æ���w�P�W�W���"¯���I] ]� �"�.�z�$�F���W���"��¨g���z�"�c6°®�W�W���"¯� � ] ]� �P�*¢m���­!$�����*� !g���J�P�J±m�Wª ���$���W!c�W�z�����*#��§!c�W����#´�

!c�W�W����¯����B�"���W�������z�$���*�W�W��#&�P�W�W���"¯"�9FI'��"�.�Wª£±F�W¨ !S���c�* "ª£±m�"¨ �*����������

� �� �6 6 6

� �� �

�������

9

����

� � H 3����� �����&9 �W!S��� /D30D�9�&9 �W!S��� D3;/>/;D�9�&9 �W!S��� /D3�oY9RD 3��&9£�9·�F�"�����W�"�*���J�¸!S�� �¶��*� O

Page 69: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� ���

'0 "!c�W� � ��3\5 � �}N 9PO O O 9 � � G =f'�B,;/ , o}6 � �z�.�W��¦�¦w���J!S���c���"ª£ª !c�W����#� � G �P�W�W���"¯���F ���"���W¨"����¨ #��J�.���"�"�z¯����W¨

� G /G J NK�RL�N 5O&.��=

� � �&9�P� ���W�� �¶��"�©�®!S�� �¶��*�J'D�W!S���Lo ���c¶��$�W�����{¶���!S����'D���W�*�����*¢£���W�"�� "ª���$�������*¤ ���"�z�5���"�$���W�� "ª��P�W�W���"¯� ������

� �� �6 6 6

� �S

�������

O

�¬�0!S�� �¶��*�J'c�W!S���Ioµ¶��$�W������¶���!S����'S�*�����*¢£���W�"�� "ª§���$�������*¤ ���"�z�5���"�$���W�� "ª�P�W�W���"¯� ������

� �� �6 6 6

� �£

�������

O

�"�z#��"� �������z�$�J�@'U�W!S���´#��$¢£����¨­�"�w�5���*����� ���q'��32�&9PO O O 9t0�'�!$�*���$�"¤¢m�������c¶��$�W�"��¨®¯��"#���'J�W�w�P�W�W���"¯�� � �"�.�z�$�F���W���"��¨{���z�"�c6

'0 "!c�W�Z�¦3��8V��N?�9<V�� A{9PO O O 9<V�����9<V��N?��®¶��$�W�"��¨¸¯��"#���6 �>�"���c���c���"� ����¤���W¨"�� "ª #��J�.���"�"�z¯��"ª �N{5©�.=:!c�W����#{�P�W�W���"¯�� �µ'�!$�J���W���$�W!c�W�W "ª£±m������z�����z�´�5���*�����D?

�N{5©�.= 3 Q�J NK� L�N �� r � � r d ?�5O&.��= � z�N / ��N? � ��� 5O&.��= Q}z�N O

'0 "!c�W�k1����*���5���*�¥�������W���"���z�c���W���J�5�g�5���*����'�!$�J!c�W�*¦�±m�"¨²�"�����W ���"���J!c�W�@� ���c¶��$�W�"�@� ¯��"#��������8V��N?�9PO O O 9<V��N?º���8V�� r A 9PO O O 9<V�� r A f'@!$���c���"���W��¤�"�@�­�"���J!c�W��¨K¯"�W�"�Wª��8V��@? 9PO O O 9<V�� A�f6 �>�"���c���c���"����"���W¨"�� "ª #��J�.���"�"��¤¯��"ª P 581"=@!c�W����#}�P�W�W���"¯�� � !$�J���W���$�W!c�W�W "ª£±m���{���z�����z���5���*���I1�?

P 581"= 3 Q �@?>J N�RL�N �� s� � s d ?�5O&.��= � z�N / ��N? � � r ? 5O&.��= �@? z�N /S 5 Q � ATJ N�RL �@? �� s� � s d ? 5O&.��= �<z�N =</Q WUJ N�RL � A �� s� � s d ? 5O&.��= �<z�N / �� a � � r A 5O&.��= � A O

Page 70: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ��������� ���������

'0 "!c�W�F�������W���"���z�c���W�"��¨¡�5���*��!$�*���$��¢m���º¶��$�W�"��¨¡¯��"#����nNS6'>���*¤�������z�S ��W�N�P�W�W���"¯� � � �5���*� �©!S���c�* "ª£±m�"�N�������z�$�J�@6P,P���$���"����5���*�>� �®�"�����"�$�*�W���W�����£���z�����F¯��"#����I�nNc'*�£���P�W�W���"¯"�����!$�J���W���$�*¤!c�W�W "ª£±£ "ª§�$�W�J�  ­���z���� ¡!c�W����#� ­�$�z�.�W�"�"�¸���"���W¨"����¨²#��J�.���"�"�z¯����W¨�N{5©�nNP=f6��� *���W������z�W�J��¦J�W�{���"��!$�z�"�� "ª �����$���z¯��"ª ���®�z�c�����J��' ����#�����F���W�� �¶��"�¸�5���*� ���{5pHZ9 ;��P=f'��B#����W�J���J�§���$�£¶��$�W�"�@�{¯��"#�������6�'>�W�� �¤¶��W�"�"�$¦ �}���W�S W���$�W�W�z�&���W�*�����*¢£���W�"�"�@�{���"���W¨"�"�@� �"���W�������z�$���*�z�"�"¨�"�$�&!c�W����#��z�P�®�P�W�W���"¯�� � �P�W�W���"¯�� � � �"�.�z�$�F!S���c�* "ª£±m�"¨ �*���

� � 3mh �ZN� P k 9

�Æ��� �ZN�3�5�n� �{= p+r � p�s�� u v� � � P 3 58£&W¢9RF@N 5©����=�=�� L�N � � � � � � ?S6��!S����5���*� � � ����!$�*���$��¢m���´¯��"#�������':�W�2���z�"�g�P�W�W���"¯�� � � A �

�$�"�$¶����g�¸�P�W�W���"¯�� � B¬�.�W�"�W¹m�Z-_/��W'��J6 #"6D�P�W�W���"¯����ZNF�"�.�z�$�{������W���z�I-:& �>!c�W����#"6

'>���c�����W���*¢m�"�@'�¶��W�²�5���*� ���m!$�*���$��¢m���g���W���z�w¶��W��-����z���$��6 �"��¤�Æ����'*�J6 #"6��5���*� ���¬!$�W¦��$�"��¨ '��W�B���g!$�*���$��¢m�������*���5���*��1�N¬!$�J!c�W�*¦�±m�"¨�"�I���W ��{�"���J!c�W�@�g¯��"#�������'�!$���c���"���W�"�"�@�g�"���J!c�W��¨²¯"�W�"�Wªº6¢'>���W��������¤�S ��W�®�5���*� � � �B�P�W�W���"¯� � � !S���c�* "ª£±m�"�®�������z�$�J�@6c,P���$���"� ���5���*�>����I��ª������&���z������'U�"���"�"�$�J���c¢m�z±F�z�&�*�����J�  ´�"�w¯��"#������{�5���*���~1�NS'�����P�W�W���"¯"��� � !$�J���W���$�W!c�W�W "ª£±£ "ª¦�$�W�J�  {���z���� }!c�W����#� {�$�z�.�W�"�"�¡�"����"���W¨"�� "ª #��J�.���"�"�z¯��"ª P 581�N =f6��� *���W� �����z�W�J��¦J�W�F�$�c �����$���z¯��"ª����#����������W�� �¶��"� !$�W¦��$�"��¨�5���*� � �� 5pHZ9 � �� =f'@!$�*���$��¢m�z±m�"¨©�c���"��¤!c�W���W�"�"��¨����c¶��$�W�"��¨´¯��"#���6 �´���W�S W���$�W�W�z�w���"���W¨"�"�@�²�����$���z¯��"¨��"�$�!c�W����#��z�P�w�P�W�W���"¯�� � � �P�´���W�� �¶������B�P�W�W���"¯� � �� '$�"�.�Wª£±£ "ª!S���*¤�* "ª£±m�"¨{�*���

� �� 3�� �U]N� P���

� 9

�Æ��� �U]N 3�5�n� �{= p+r � p�s�� u v � '�� ����3 58£&W¢9RF@N{581.��=�=�� L�N � � � � � � Ac6'0 "!c�W���~�F¶���!S���º#��J�P�������W����!$�W¦��$���J!c�W�}�5���*��� �<'*#����W�J���¬�m���I!$��¤���$��¢m�W�F���c¶��$�W�"�@� ¯��"#�������6 �"�J�Æ����'��W!S��� "!S�����*���B(º�z�W�J���W�P�¥!$������ªm¤���*�$�W!S¦"'W�W�m���z�"�@�P�W�W���"¯�� � ���z���W�_-B&��n/~�W'c�I�W!S���w����!$������ª����*�$�W!S¦"'�W�_-:&���6

�"�z#��"���������z�$�J�@'����z�"�¬�P�W�W���"¯�� � �� A ���$�"�$¶�������� BD���z���W��-I/���W�J�Æ�����F�W�W���W#��£�W�J�Æ����'$#��J�Æ���>#��$¢£���$¦I#��J�P�������W���W��!$�W¦��$���J!c�W�B�5���*��� �!$�*���$��¢m�������£#����z¨"���W¨B�.�$���>�*���"�º���c¶��$�W�"��¨w¯��"#��F�B���I#����z¨"�����.�$����*���"�¸#��J�P�������W���W�2!$�*���$��¢m���­�������K¶��$�W�"��¨�¯��"#��6� �J��¦ #����W�J���J�5�

Page 71: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� ���F@N{5©�.="c3L£J'��������&���*���5���*�21¥!$�J!c�W�*¦�±m�"¨²�"�£���W ��{���c¶��$�W�"�@�{¯��"#�������'!$���c���"���W�"�"�@�}�"���J!c�W��¨ ¯"�W�"�Wª��J��¦w#����W�J���J�5�+F P 581"=�c3F£J6���W�J���W�P������#��z�$�z�"��6

��������<���&�9���������5��� $' �@ - <B�6# 2 #�3�I 36�� N $&T ")�T �6� <'����� $ - " �>� �$ S, - �6#%$&��,'I�DE7 2 ) . <&@�$H<'#��6� < ��@<�A�,'I43 � �6 34 "#%$&���53��<&@�$H<'#��6� < - "#�, S� -/.�-10*-2 ��#�34 *D��- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6@/@�z#®���@���g���W�.�c¶��W���®�"���®����#��z�$�W�z�c���W!c�W���w�z�W�J���*¤�P� 3c':�"���©�*�����W�����W�"�"�µ "!S�����*�"¨©�z�W�J���W�P� �"�z���z�.�$�W���w��N�9PO O O 9<� W¢9<����"���c���c���W�"� !¥�W�z¶����J!c�W�Wª ��� �$�"�z#���6 � �*���"#�!$�"�� ��W� �$�"�z#�� ��N ���6���z!$!$�P���W���"� �"�z���z�.�$�W��� ��6 �"�z#µ#��z# �������W���"���z�c���W�"��¨N�5���*� ¦��J¤��¦��$�W!S¦�!$�W¦��$�"���@'0�W�¥���$��¹��"�"� V�N­�JV��&!$�W¦��$�z�"� �"���J!c�W��¨·¯"�W�"�Wª�8V�N 9<V��N?�9PO O O 9<V�� ��9<V�� f6 �"�z# #��z# �$�"�z#�� \ N �N?}��N}� �©N�9PO O O 9 \ � � �©� � �8� �@�"�$���W!c�W�"�>'"�W��P� ���J!S���c�����*�W�z�c���W���­���"���c���c��¦��W�©�$�"�z#��´�"�z���z�.�$�W������� �N?\' 6 6 6 '�� � �q'�� �q6�"�z#��"���������z�$�J�@'P�"���§���"#�!$�"�����*�z�"�"�@�´�$�"�z#��$�´�"�z���z�.�$�W��������NB����'�$�"�z#��2�"�z���z�.�$�W������� �q'i�R3 S 9PO O O 9�- 'P���"���c���c��¦�ªI�W!S¦´�*�����J�$�"�$¶�����6n���*¤!$ª����}���W�� �¶��*�W�@'�¶��W�²�$�"�z#²�"�����"�$���c���W�"��¦ \ � ��� �8�{�W'��Rc3 /�'����"���c���c���W��*�����J�$�"�$¶�����6 Y>!$���W���W�S �¦ A (�B�'����W�� �¶��*�W�@'¬¶��W�µ�"�z���z�.�$�W��� KP��� �&9<V���&&ZV��+�^ ;"S>���"���c���c���W�"�µ�*�����J�$�"�$¶�����6����W�J���W�P�m����#��z�$�z�"��6

³�6n' �c� � V&� ! ���"VW��Q*� T<��� ������V �"!�# ��$ �"V �"V&%'0 "!c�W�{�������W���"���z�c���W�"��¨ �5���*� !c�W�� "#J�c "��� ¦��W��¦��$�W!S¦¸!$�W¦��$�"�����

!$�*���$��¢m���B�5���*�21I'"�"���c��!c�W�z�W���W�"�"��¨¡�"�º����!�6<3c'��W�J�Æ���B�"�.�WªI�w�.�W!c�W��"���"�.�$��� 3��&³�6

������o�W�x���K=<¢N 9>< P 9>< �{SB) H N 9 K=<��&9><��&9><�� S )�H P O

[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�(F P 581"= 3 S 6������o�W���&�

K=<¢N 9>< P 9>< �&9><�� S ) H N 9 K=<���9><�� S )�H P O[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�(F P 581"= 3 S 6

������o�W���/�K=< P 9>< � S )�H N 9 K=<¢N�9><���9><��&9><�� S )�H P O

[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�(F P 581"= 3���6

Page 72: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ��������� ���������

1V

2V

4V3V

5V

6V

� ½ 6 3c6��J���*�61I6

������o�W���/�K=< P 9>< �{9><��{SB) H N 9 K=<¢N�9><���9><�� S )�H P O

[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�(F P 581"= 3 S 6'0 "!c�W�{�������W���"���z�c���W�"��¨ �5���*� !c�W�� "#J�c "��� ¦��W��¦��$�W!S¦¸!$�W¦��$�"�����

!$�*���$��¢m���F�5���*�41.] '��"���c��!c�W�z�W���W�"�"��¨®�"�m����!�6�(�'J�W�J�Æ���F�"�.�WªI�F�.�W!c�W��"���"�.�$���µ1�' +�6

������o�W���/�K=<¢N�9>< P SB) H N 9xK=< �&9><��&9><��{SB) H P O

[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�(F P 581.]b=i3 S 6������o�W���&�

K=<¢N�9>< P 9><�� S )�H N 9 K=< �{9><��&SB) H P O[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�(F P 581.]b=i3 & S 6

Eq��o�<�L���� �>� �$&, - �6#%$&��,'I�D 7 2 ) . $'#��)=��-!@1# 2��;- ,�)�3 - � @ (* ��6 2 �3,�#�� @1# 2��;- ,'I � - 34#�TFP�#&D�-(&e�O��34# :�,��T @1# 2��;- ,� � <&@�$H<'#��6� <K��@<�A S,'I434�- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6�'>���+-:3 S ��W���$��¢£���W�"�������W�P�P�´�z¶��W�*��������6�'>���c��¤���W���*¢m�"�@'\¶��W�����W�P�P�0!$�"���z���c�J���"�*�¬�"���I-+, o©�m���z!$!$�P���W���"�}���W!���33 5pHZ9<; � =U!�o�/I�<���$��¹��"����¨ 6�'0 "!c�W�>V ] ^kH��"�����"�$�*�W���W�"��¨�����!c�¬���W!$�� �&�� "!c�W�+58V�]89<V"] ]b=�^_; � 6���z!$!$�P���W���"�²���W!��@]�3�5pH� V.]©9<; � 58V"]89<V�] ] =�=f'���W�� �¶��W�"�"��¨ �"�R�® *���$���W�"���W�´���z�����~58V�]89<V�] ] =f6

Page 73: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� ���

1V

2V

4V3V

5V

� ½ 6�(�6 �J���*�41.] 6

'>���c�����W���*¢m�"�@'z¶��W�£���W!��@]�!$�*���$��¢m���I���$��¹��"�� ~V�] ] ]�!.o &:�:!$�.�c¢º¤����¨{���$��¹��"����¨ 6����$�W�J�´!S�� �¶��*�J'����W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�º�������W���"���z�c���W�"��¨�5���*� ��3 5pHZ9 ; � =<¦��W��¦��$�W!S¦w!$�W¦��$�"���@6����W�w!S���c�* ��$�F�"���W�J�5��'J¶��W�

V ] &�V�^ ; � 9jV4^+H �V ] ]�

V ] ] &ZV�^ ; � 9jV�^kH �58V ] ] 9<V ] ] ] =}O���W���$�����"���c�����W���*¢m�"�@'*¶��W�m���W!��@]����I!$�*���$��¢m���£���$��¹��"�� }!�o &Y�

!$�.�c¢m����¨g���$��¹��"����¨ 6 '>�F�"���c�����W���*¢F�W�"�"ª��"���* "#�¯��"� '*�������W���"���z�c���*¤�"��¨{�5���*� � ] 3 5pH �V"]©9 ; ��� =.¦��W��¦��$�W!S¦&!$�W¦��$�"���@6��>��'��W�z#&#��z#

V ] &ZV4^ ; � 9jV4^+H �V ] ] 9�W� �²�W�*¢F�£¦��W��¦��$�W!S¦w!$�W¦��$�"���@6 [0�W�P�P������#��z�$�z�"��6

Eq��o�<���&�� 2 #�" - $&T N IRQ >*<&� - @1# 2��;- ,x" �>� �$&, - �6#%$&��,� �7� F7 2 ) . )E$'# S��) ��3�5pHZ9<; � =�@1��#�7�")B,�)1DH"����6� <!� 2�- � �� /#�" - ,�#�,','I�#O34# :;"��K�� N *D@1# 2��;- ,'I��- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6 ��z!$!$�P���W���"�{���*���5���*�e�@]�3 5 K=<¢N�9>< P 9>< �{9><���9><�� S�9<; ��� =�5���*�����<'J�"����¶��W���J��¦�� , �t9 / ,�

5N< ��9>< � =�^k; ��� �W�J�Æ���m�g�W�W���W#��w�W�J�Æ����'�#��J�Æ����5N< �<9>< ��=�^_; � O,.�W���$��¢£���W�"���{���W�P�P� �z¶��W�*��������'��W!S���\�@]:�"�.�z�$�²���®�.�W���z� �W���c�

����!c�W�z�W��6

Page 74: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�C� ��������� ���������

1V

2V 4V

3V

5V

� ½ 6�«

��!S��� �@] �"�.�z�$�º�W�W���W#��}���*�m����!c�W��'��W�}�W�J�Æ���:�@]�¦��W��¦��$�W!S¦g�"���J!c�W��¨¯"�W�"�Wª �¥#��z# ���$�W�� *�����2 ����c�����W�W!S¦ A !$�@6�����!�6¬«�B��¥�U�$�W�J� !S�� �¶��*� ��W���$��¢£���W�"�������W�P�P�µ!$�"���z���c�J���"�*��6

Eq��o�<� �/� o$H<!> 2 - A�@1 �$&��,'IRQ GH#���I 2 # Q?@1# 2��;- , <¢N 9>< P 9>< �&9><�� " �>� �$ S, - �6#%$&��,� �7� 87 2 ) . ) $'#��)k��3 5pHZ9<; � =

K=<¢N &2< P 9>< P &2< �&9>< ��&2<���9><�� &2<¢NCS�� ; � c3Fd�O

- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6 ��!S���} ��W���$��¢£���W�"���£���W�P�P������*�����W����¦��$�W!S¦"'J�W�K 5N<¢N�9>< P =}9C5N< P 9>< �C=}9C5N< �&9><�� =}9C5N<���9><¢NP=tS ) ; � 9

��$�"�$¶����4� !$�*���$��¢m���µ¯��"#���6I-¬�z�"�����µ�"�����W�"�*�J���c¶����©����#��z�$���*�*�$�!$�"���z���c�J���"�*�J!c�W�£���W�P�P�>6

��������<� �/����������� ��� $' �@ - <x�6# 2 #�3�I 3F@HI4>� �$&,1<&T �6� < - -�N�� � -- P � �/���/ �7�") � #� $ - 7 2 ) . ��� 2 ��(� � 2 I �M<&@�$H<'#��6� < $'#�� �3 � @!(* ��6 S2 �3[,�#�� @1# 2��;- ,'I �~-$&L� ��34# :�,� *D=@1# 2��;- ,� *D � �6 34 "#%$&� N �H"#��- "#�,'� -/.�-10*-2 ��#�34 *D��

Page 75: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� ���- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6 ��z!$!$�P���W���"� �"���* "¯��"�����*�z�"�"��¨����*���5���*� �������W�"¤�"���z�c���W���J�5�F�5���*��� � !>�P���*¢F�W!c�W�*�J�­���$��¹��"��K=<¢N�9>< P 9>< �{9><���9><��{9><��&9><��&9<��{Sz'J�"����¶��W� K=<¢N�9>< P 9>< �&9><��{S ) H N � K=<��{9><��{9><��&9><��{SB) H P 6

��z!$!$�P���W���"�§�P���*¢F�W!c�W�*� �"�º��¦J�W�¡���$��¹��"�eK=<¢N�9>< P 9>< �{9><���9><��{Sz6 O ��¤�Æ���z!$�������W�P�.�­(�!$���c����"���2�W!c�W�¡�W���µ!$���c���"���W�"�"�@�§�.�c¢£�* !$������¨���$��¹��"�"�>6

'>���c�����W���*¢m�"�@'J¶��W�&�*!W���W��� ���$��¹��"�"�µ�"���"�"�$�J���c¢m�W���P���*¢F�W!c�W�W H N 6�'0 "!c�W�m�J��¦}���"���c���c���W�"���J!c�W���$�W�{�z *�* ��4<¢Nc'�< P ��< �W6 O ���c���²�P����¤¢F�W!c�W�*�>���$��¹��"�~K=<���9><��{9><��&9><��{9><��{S@!$�����*�>�"�z¨��* ��W!S¦I�W���B!$���c���"���W�"�"�¬��.�c¢£�* �!$������¨­���$��¹��"�"�>6U���J�$�P�*¢m�"����*�&!S�� �¶��$¦"6������$���*�J� !S�� �¶��*�J'�*!W���W��� ���$��¹��"�"�µ�"���"�"�$�J���c¢m�W���P���*¢F�W!c�W�W �H P '��m�*�w�z�W�J���J���w��������$��¹��"�"� �"���"�"�$�J���c¢m�W�²�P���*¢F�W!c�W�W �H P '<�¡�*���"�¡���$��¹��"�"�­�P���*¢F�*¤!c�W�W _H N 6Y>!$���W���W�S �¦����W�P�  &«�'$���W�� �¶��*�W�@'$¶��W�I�������W���"���z�c���W�"��¨w�5���*�!c�W�� "#J�c "���·� ���$���*�J�©!S�� �¶��*�J' !$�*���$��¢m���g���*���5���*�£'U���z!$!$�P���W���W�"�"��¨�­�"���"�.�$��� 3c'<�²�*�¸�z�W�J���J� !S�� �¶��*� � ���*���5���*�£'.���z!$!$�P���W���W�"�"��¨µ��"���"�.�$���m(�6���W���$���B�"���c�����W���*¢m�"�@'�¶��W�g�����w���$��¹��"�"�¥�"���"�"�$�J���c¢m�W�B�P���*¢F�*¤

!c�W�W kH N A �J��¦I���"���c���c���W�"���J!c�W�(<¢N<�4< P B�'$�0�*���"� A <���B���P���*¢F�W!c�W�W _H P 6�"�J�Æ���>!$���c���w���$��¹��"�w�P���*¢F�W!c�W�*�IK=<��{9><��&9><��&9><��{9>< �{S:�"�z¨��* ��W!S¦��W���w!$��¤�c���"���W�"�"�@�{�.�c¢£�* ¡!$������¨¡���$��¹��"�"�>6 O �����*�B�*�J�$�P�*¢m�"����*�B!S�� �¶��$¦"6�­���$���*�J�§!S�� �¶��*�J'"�*!W�º�W���¡���$��¹��"�"�¥�"���"�"�$�J���c¢m�W�º�P���*¢F�W!c�W�W �H P '�w�*�{�z�W�J���J�6�{�����w���$��¹��"�"���"���"�"�$�J���c¢m�W�B�P���*¢F�W!c�W�W �H P '��w�*���"����$��¹��"�"�0�P���*¢F�W!c�W�W kH N 6�Y>!$���W���W�S �¦����W�P�  B«�'c���W�� �¶��*�W�@'S¶��W�>�������W�"¤�"���z�c���W�"��¨®�5���*�©!c�W�� "#J�c "���¥�B���$���*�J�¸!S�� �¶��*�J'�!$�*���$��¢m���º���*���5���*�£'���z!$!$�P���W���W�"�"��¨2���������¡�"���"�.�$���®1�'D�������­�¡�"���"�.�$���¡«�'P�®�*�´�z�W��¤���J�´!S�� �¶��*� �©���*���5���*�£'����z!$!$�P���W���W�"�"��¨g�������B�F�"���"�.�$���F³�'*�������B��"���"�.�$���m+�6�"�z#�#��z#"'c�*!W�0�5���*���>'\���z!$!$�P���W���W�"�"�¬�0���"���"�.�$���$��'c!$�J���W���$�W!c�W�W "ªI�

�����W���W�����"¯��"�� ��W�P���¸�P�*���c��¦��@'��z�W�J���W�P�m����#��z�$�z�"��6

1�6D, ½ � $ Xz���B���"VW��Q*� T<��� ������V ��$ ½ Q*� � �c� � � $ ��UcX $ ��VW� $�� 0-:��¦ !S�� �¶��$¦ �"�����"�$�*�W���W���J�5�v0 �"�z�P� ���W�� �¶��W�"� ���J!c�W�W�W�z¶��"�¬�

"!S�����*��¦&�����W���W�����"¯��"�� ��W�P�J!c�W�®�P�*���c��� A 3CB�6

��������<���/�q���������~� �"c3�£ � ��32�&9PO O O 9�- � � � �~c3�£ � �t9 /_32�&9PO O O 9t0*���! "#%$&��53��$' �(*)+$&��,� - "#�,'� -/.�-10*-2 ��#�34) � #� $ -

A 3CB9(*)�:;")�<=(* �3�>� �,�#�,'�6)?��@<�A�,� /��� - " �>� �$&, - �6#%$&��,� �7� B7 2 ) . ) ��� "# 2 : - �C>� ;( 2 )1D�,�#&DE34# 2 #F " - ,B,�#HGH#���,'I�D 0*- (�$�J

Page 76: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ��������� ���������

A (�Bb"$H<���,J�1- /3,�0 - ,�"�� 0*-2 �@1)�,','I�D?>� "/7 2 ) . � �B3�,� +:6# S����@1 �3 @1# 2��;- ,�H � GDH � �� "# 2 : - � $ -�N 5GH#���,'I�D 0*- (�$~� � "$H<(* ��6 2 �7� F � �N 5©�.=:c3ª£ � - $ - >� "/7 2 ) . 1 � �� /���6 �<�P - D - A "/@&��Q> 2 /����IRQx,�#HGH#���,'IRQ 0*- (�$' �@ � �� /#�" - ,�#�,','IRQx> 2 /���6 *D 0 #�>1��T �"$H<F(* ��6 2 �7� :F � �P 581"=�c3�£&�- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6�'>�}�z�"�$���J�5�"� !�����#��z�$�W�z�c���W!c�W�*�J�K�z�W�J���W�P� 3c'��P��z *���W� ��!$���W���W�$���*�W�W�¥!S���c�* "ª£±F�z�¥�"���c��!c�W�z�W���W�"���©�J��¦ #��J�P�������W����P�W�W���"¯��2#����*�z���"�z¯��"¨�| 3 5XW � � =.�"�*����ª����*�W�P�@�F!S�� �¶��z¨"�"�@�º���c����¶��"�@?

W � �>3[Z \ � �C� �©�{��/Z��� �&9 �W!S����V���&ZV��+�^ ;"9\ � �C� �©�{�&9 �W!S����V���&ZV��.^ ;"9 A «�B

����

\ � �>3 ��� ��� H G 9 �W!S����V��@^kH H ' V��.^+H G �����

V��.^+H H ' V��@^kH G '�D�c3�o}'�D�9�o¦3U�&9PO O O 9t0�'�&9 �F�"�����W�"�*���J�¸!S�� �¶��*� O

O ��!c�z�W�P�m���z���W�"!c�W� A (�B �$�$���*�$�����W�������$¢F�W�"���]=^ #`_�y a�c a+d ?XeA O°®�W�W���"¯��mf.#������ g '}!$�J���W���$�W!c�W�W "ª£±m�$¦ ���W�������$¢F�W�"�"ªº'}�$�$���z��¤

���J�  �!$��!c�z�W�P��¨����z���W�"!c�W� A (�B�':�"�.�z�$�K!S���c�* "ª£±m�"¨������z¶�����¤ ���$�������*¤���"�z�5���"�$���W�"��¨g�*��� g:3ih g�N jgi5 \ =lk 9�Æ��� g�N�3mh n W � �n ��� � k p+r J p�s�tu v 3xw a�c a+d ?XeA J�y v y 9

gi5 \ = 3ih n W � �n ��� 9���3U�&9PO O O 9�-@9 n W � �n � GIH 9P�B,�oC-'DE,�0 k p+r J p�s u v O

[0�W�5#��w�*�����$�W�J'�¶��W�B�J��¦k�t9 /�' V���&ZV��.^ ;>'�0�3��&9PO O O 9�-@9n W � �n ��Q ��Q>3�� Q� � \ � �C� �©�{�&9 n W � �n � � � �>3���GIH� � \ � ��� �©�{�{9�Æ���I�J��¦~0R3U�&9PO O O 9�-

� Q� � 3 Z �&9 �W!S����0�3��t9 /�9£�9 �W!S����0_c3��t9 /�9

Page 77: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� � ��

� GIH� � 3[Z �&9·�W!S��� \ � �>3�� GIH 9£�9·�W!S��� \ � �>3U�&O

'0 "!c�W����� ��3f5�� N� � 9PO O O 9�� W� � =w� � � ��3 5 � GIH� � 9P�0,�o - D4, 0�=f' n� ��33 5���� ��9�� � ��=f6

�������z�S ��W�¡�����m�P�W�W���"¯�� ��3 5���� � = � � � � u � ��� 3 5�n� � = � � � � u v 6�0¶��W�*��������'�¶��W�gi5 \ =��&� ����K���N�9PO O O 9<� W¢9<� S>3��&� ����K \ � �C� �8�{�&9<V���&ZV��"^ ;"S��ZO

���*���* {�W�J�5��'J¶��W�~� �uc3F£J'��i3��&9PO O O 9�- ' � GIH c3F£�9P� ,�oC-*DE,�0�'��P�W�W����¤¯��=gi5 \ =>�"�.�z�$�}���W���"��¨����z�"�I�W�J�Æ���}�¡�W�W���W#��®�W�J�Æ����'�#��J�Æ���}�P�W�W���"¯��� �"�.�z�$�F���W���"��¨{���z�"�c6O �����*� ���W¨"!c�W�W ��W�������z�"�$���J�5�"�2!g����#��z�$�W�z�c���W!c�W�*�J���z�W�J���W�P� 3c6

'0 "!c�W�}�������W���"���z�c���W�"��¨¸�5���*� !$�*���$��¢m���}¶��$�W�"��¨K¯��"#��e�nNc6i'>���W����¤���z�S ��W�{�P�W�W���"¯� � �º�5���*� �}!S���c�* "ª£±m�"�{�������z�$�J�@6\,P���$���"�g�>�5���*�>��­�"�����"�$�*�W���W�����º���z�����&¯��"#����_�nNS'��F�º�P�W�W���"¯"� � �g!$�J���W���$�W!c�W�W "ªm¤±£ "ª\�$�W�J�  w���z���� º!c�W����#� w�$�z�.�W�"�"�}���"���W¨"����¨º#��J�.���"�"�z¯����W¨!�N 5©�nNP=f6�� *���W�������z�W�J��¦J�W�F���"��!$�z�"�� "ª������$���z¯��"ª����º�z�c�}���J��'�����#��F�������W�� �¤¶��"�´�5���*� ���{5pHZ9 ;��P=f'��º#����W�J���J�2���$�£¶��$�W�"�@�}¯��"#�������6�'>�W�� �¶��W�"�"�$¦w����W�S W���$�W�W�z�m���W�*�����*¢£���W�"�"�@�w���"���W¨"�"�@�w�"���W�������z�$���*�z�"�"¨{�"�$�&!c�W����¤#��z�P� �P�W�W���"¯�� � �P�W�W���"¯�� � � �"�.�z�$�m!S���c�* "ª£±m�"¨ �*���

� � 3mh �ZN� P k 9

�Æ��� �ZN43 5�n� � = p+r � p�s�� u v � � P 3 58£&W¢9RF@N{5©����=�=�� L�N � � � � � � ?´! F@N{5©����=�33 5 F GIHN 5©��� =}9P� , oC-'D�,�0�=f6

'>���c�����W���*¢m�"�@'W¶��W�m�5���*� ���@!$�*���$��¢m���I���W���z�0¶��W� -B���z���$��6 �"�J�Æ������&!$�*���$��¢m���I���*���5���*� 1�NS'*!$�J!c�W�*¦�±m�"¨&�"�0���W ��º�"���J!c�W�@�º¯��"#�������'J!$��¤�c���"���W�"�"�@�{�"���J!c�W��¨¡¯"�W�"�Wªº6 '>���W�������z�S ��W�2�5���*� � � �²�P�W�W���"¯� � �!S���c�* "ª£±m�"���������z�$�J�@6z,P���$���"�­�m�5���*�>� � � ��ª������£���z������'��"���"�"�$�J���*¤¢m�z±F�z�£�*�����J�  �"�I¯��"#������º�5���*���R1�Nc'J���m�P�W�W���"¯"� � � !$�J���W���$�W!c�W�W �¤ª£±£ "ª �$�W�J�  ���z���� §!c�W����#� µ�$�z�.�W�"�"���"�{���"���W¨"�� "ª #��J�.���"�"�z¯��"ª P 581�NP=f6 �� *���W�­�����z�W�J��¦J�W�I�$�c {�����$���z¯��"ª�����#��m���£���W�� �¶��"�­!$�W¦��$�"��¨�5���*� ����{5pHZ9 � ��P=f'<!$�*���$��¢m�z±m�"¨ �c���"�"!c�W���W�"�"��¨ ���c¶��$�W�"��¨µ¯��"#���6�����W�S W���$�W�W�z�����"���W¨"�"�@� �����$���z¯��"¨¥�"�$� !c�W����#��z�P���P�W�W���"¯�� � � �P�

Page 78: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� � ��������� ���������

���W�� �¶������ �P�W�W���"¯� � �� '��"�.�Wª£±£ "ªN!S���c�* "ª£±m�"¨ �*���

� �� 3�� �U]N� P���

� 9

�Æ��� �U]N 3 5�n� � = p+r � p�s�� u v � '�� ���U3 58£&W�9RF P 581.��=�=�� L�N � � � � � � A¡! F P 581.��=�33 5 F GIHP 581.� =}9P� , oC-'D�,�0�=f6

'0 "!c�W���uN�3f5 F@N 5©��� =�=�� L�N � � � � � � ?\':��� P 3 5 F P 581.��=�=�� L�N � � � � � � Ac6¬°®�W�W���"¯��� �� �"�.�z�$�º�����z¶�����¤ ���$�������*¤ ���"�z�5���"�$���W�"��¨{�*����� � �� j�uN� P

� O

�"�z#��"�2�������z�$�J�@'����z�"���P�W�W���"¯�� � �� A �B�$�"�$¶����º��� B��z *���$�º���W�"¤�"��� �W�J�Æ�����B�W�W���W#����W�J�Æ����'z#��J�Æ�������z�"���P�W�W���"¯�� � �� ���z���W�_- 'z�>���z�"��P�W�W���"¯�� h �uN� P k ���z���W� Q Q�J N �

P 6Y>�F����#��z�$�W�z�c���W!c�W�*�&�z�W�J���W�P� 3�!S���c�* ��$�J'�¶��W�®���z�"�£�P�W�W���"¯�� � �����z���W�_-º�W�J�Æ�����º�W�W���W#��m�W�J�Æ����'W#��J�Æ����#��$¢£���$¦£#��J�P�������W���W�£!$�W¦��$���J!c�W��5���*��� �¡!$�*���$��¢m�������w#����z¨"���W¨{�.�$���F�*���"�{���c¶��$�W�"��¨ ¯��"#���6

'>���c�����W���*¢m�"�@'�¶��W�B "!S�����*��¦&(F�z�W�J���W�P�©�*�����W�����W�"�>6��"�J�Æ����'����W�\¤#��º�*�����$�W�J'z¶��W�º�P���*¢F�W!c�W�*�º�5���*�����kK �nN�9PO O O 9t� � ?�9<1�N�9PO O O 9<1 � A S0!$�*���$��¢m���Q Q�J N �

P �5���*�����Y� G r s� � '�� ,e� -�/1,L0�'¢ok� �D34�£������ok� ��3 S '��W�z#�����'�¶��W�F � �G r s 5©� G r s� � =�c3F£J6 ���W!$ª�����!S���c�* ��$�J'z¶��W�m�P�W�W���"¯�� h �uN� P k !$�*���$��¢m�������*��¤�P�W�W���"¯�  'D#����W�J�� "ª ���$���W!c�W�z�����*#���¨2!c�W����#��´!c�W�W����¯����®�P�*¢m���¡�"����¤���W!c�W� #&�*���* ��

�F N PG ? A 5©� G

? AN P =6 6 6

F Q�J N � QG ��� ? � � 5©�

G ��� ? � �Q�J N � Q =

��� O

�"�z#��"�2�������z�$�J�@'��"���¡�*�����W�����W�"�"�® "!S�����*�"¨­�z�W�J���W�P�>'����z�"���P�W�*¤���"¯�� � �z *���$�£���W���"���@6 ���W�J���W�P�m����#��z�$�z�"��6��������<� �/�����������9��� $' �@ - < �6# 2 #�3�I­³��� N $&T ")�T �6� <'� ��� $ - " �>� �$&, -1S�6#%$&��,'I�DE7 2 ) . ��� 2 ��(� � 2 I <&@�$H<'#��6� < ��@<�A�,'I43 � �6 834 "#%$&� �53� - "#�, S� -/.�-10*-2 ��#�34)��-¬��#��z�$�W�z�c���W!c�W�*�{�z�W�J���W�P���z�"�$���J�5��¶����&����#��z�$�W�z�c���W!c�W�W ­�z�W�J���W�P�

(�6

Page 79: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�������������&������ ����� ������������@������������������{�� � ���������<� �&����������� ��� $' �@ - <?�6# 2 #�3�Ii@HI4>� �$&,1<&T �6� < - - � � � � ��33��&9PO O O 9t0*� �/ �7�") � #� $ - 7 2 ) . ��� 2 ��(� � 2 I¦�x<&@�$H<'#��6� <O$'#�� �3 � @ (* ��6 S2 �3[,�#�� @1# 2��;- ,'I �~-$&L� ��34# :�,� *D=@1# 2��;- ,� *D � �6 34 "#%$&� N �H"#��- "#�,'� -/.�-10*-2 ��#�34 *D��- $ ��R�U\R�Q*V ��V ½ Q*X $ 6 Y>������#��z�$�W�z�c���W!c�W�*���z�W�J���W�P�§«>!S���c�* ��$�J'W¶��W�m�£�"��¤¹m�W�´!S�� �¶��*�£ "!S�����*���{3¬�z�W�J���W�P�©³F!$������ª����*�$�W!S¦"6-:��¦�� ,F��-�/:,e0&���z!$!$�P���W���"�2�"���* "¯��"�����*�z�"�"��¨²���*���5���*�2��� ��3

3v5pH � GZH � 9<;�� ��=F�5���*��� �<6@[0�W�5#��¸�*�����$�W�J'P¶��W�� "!S�����*���­(²�z�W�J���W�P�!$������ª����*�$�W!S¦"'¬�W!S�����5���*� ��� �¡!$�*���$��¢m���´���$��¹��"�� �!�% H � G�H � %�&\�!$�.�c¢m�"���P�{���$��¹��"�"�z�P� 6��{�W�*¢F���*���W� ¦w�"������#��z�$�W�z�c���W!c�W�*���z�W�J���W�P�«0!S���c�* ��$�J'S¶��W�> "!S�����*���0(�!$������ª����*�$�W!S¦I�F��!S�� �¶��*�J'c#��J�Æ���0�5���*�L��� �����!$�*���$��¢m�������$��¹��"�� }!:% H � G>H � % &:�:!$�.�c¢m�"���P�}���$��¹��"�"�z�P� 6 ���W�J���W�P�����#��z�$�z�"��6

��������������

¿�½�ÀÂÁfÃ�ÄfÄÆÅ<½�¿ X ¿ � Å��������������������$Ä�� �$ÅfÁ�� � �!�cÁ��SÁ�"�ÄÆÀ#���fÅ�"���$\Ä#%&��Ã�Á�'\À����&� ��()�<Á��$Á#%&�+*, Á�� , ÁÆÅ�� �-� "�./"������qÀÂÁÆÀ#'\Á�"��10�0 Q ����$�. � � � �Y� Á�� ���Z�\R�� Ç\ÈÆÉfÉ�2\Ç��5¿�3�4�* É�5S¿

È\¿�½�ÀÂÁfÃ�ÄfÄÆÅ�½�¿ X ¿ T Á�'\À����&� ./6£Á��$Á#%&� , � , ÁÆÅ�� �-� "�./"��7���qÀÂÁÆÀ#'\Á�"��98:��������%cÄ�"JÁ;��$\Ä��$À#�+*Ã<� ��� ���$Ä�"����qÀ#�=�>���$Ä�� '\Á?�cÁ��SÁ�"�ÄÆÀ#���fÅ70�0 Q ����$�. � � � �L� Á�� �����\R�� Ç�ÈÆÉfÉ�5SÇ@�5¿ � 3�* 2ÆÉS¿

2\¿@A�B&C DFEHG�IKJz¿ Ç�L+C »-M&N DPO&IRQ�SUT�¿&V<S » G�IWE D N�X�Y D N B M?Z�N DF[�Q#\1]�Q�O&G X I^0�0_V<S&Sz¿ A�E N E C IWE ¿ ÇcÈÆÉfÉ5È\Ç�\$¿2ÆÉSÇ�Bz¿�3fÊfÈ�* É�2ÆÉS¿

` ¿�abDFc-G#d�e�[ Z ¿ Ç�fgC X O�Jz¿ Ç�h M Q�i N S&C G�DPGUj�¿9k^SlC O&G�S&E C m C »-N E C Q�SnQ�m<]oi X E C * m Nf» EHQ�D]�Q�O&G X�p C E M» Q�DFDPG X N EHG�O_DPG�IWC O�i N�X I<0�0rq:C Q�]�G�E DFC [ N Ç\ÈÆÉfÉ ` Ç�\$¿�3 Ç R`: * 5 ¿

5S¿�a<G�C Y G�Dlj�¿ Ç�sG » [�G�DF] N Stj�¿ Ç�u�C S Y sP¿ Ç Z G�G�[th�¿rA�E D N E C m C G�Owv�x�B�Q�S�G�S&E C N�Xzy&N ]oC X C G�I�8abD N B M C »-N�X9Z Q�O&G X I N S�O Z Q�O&G X A�G X G » E C Q�S!0�0oV<S&Sz¿�A�E N E C IWE ¿ Ç]ÈÆÉfÉ Ç�\$¿\È�3\Ç�Bz¿�5fÉ�5�* 55È�3\¿

Page 80: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ����������������������� "!$#&%�'�(*)*)*+

,.-0/21�34(�5 1*+

687:9";�< ��=���� <?>�@BA � ; � 6DC*6FEHG�6 � 6DI ���0J 9 ���DK� 6 � 9�A � 6D;LI�@�>�9 = 6D; � 9�MN9 ������H5�OP5RQ"S�TUS�TWVBX?'�YZ5*[\5R]�^`_�a"b&c�dBe$S

fhgji$kUijl$m�n4o0prqRsRput`i$qRphv*q�i$w lUxUy*przWi$w{m�pU|0pUkUtjs }2g~zWphmj�jqRsRw� q*�ji`��i$m���sR�h����m�pU|0pUkUtjs�}�kUnUt`i$w���vjkUi�sR�u�����R��������y*ph�WxRpUk���������R�����������R�������`p������R��g~zW ?�hi$kUn � y*pr��prq�kUn��{¡ }£¢�¤:��x*v*nUpUkW¥��¦��`prwR�4kUzWsRpD��y`x*v*nUwRq�i`��i\fhgji$kUijl$m�n4o0prqRs*¦ZlUxUy*przWi$w�m�pU|0pUkUtjsu}�§�$y*sRqR ©¨�ª�m�sZ¨\«�¬�¢­ nrl`i$kUnuzW ?ª�iUy*qRprqRnuª�m�s ª�iW�`�`phmjo0tjp®ª�m�i`�¯m�nU���� �°²±Hy*��pWl$m�i*¥

s*v*pr�htjsRpDs®t`i`��l`sRqRnhkUi$m�qR ?pD��pUkUiW�j P��nhkUpr��nhkUs*v*pr�ht`i$w®tjs�l`phm�qRp$¥kUsRtjs�°�³:´uµ ­ ±¶µ�s\�¯m�nUq�kUn�·r¸r¸r¹���iW�jn�º0i$q*�jn��hiW�`prwR�4kUzWs*¦0i$kUphv*p$¥�4kUzWprqRq�i$w�qRn4xRtjp`»

¼D½�¾"¿�ÀWÁ�À`ÂL½�Ã�Á2Ä�À`Å�Æ�Ç�Å*Á�¾"ÂH�:Ç2!$¿�ÀWÁ�À`Ä"¾"È£5:¼DÅ�Ä�ÃRÉ`¾�ÃÊ#�ÅRÂH��Å�Ä�À`Ä�É`�!$¿`Ã�Ë$Ä�ÅR!WÉ`¾£'"Ì�¾"#�Í�Î�'"Ì�¾"#�Í�¾�Ï�À`!$#�¾�Ç�¿�À$½�ÐZ¾"Ä�Ñ4½�Î*Ò�ÎuÅ�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�à !rÏ�¾�ÔÉ`ÎjÕÖÉ`!rÃ\¾"Ë$¿�À`!WÉ`Ä"��ÂH¾�×�3rد'WÉ`Îj#�Ó�À0#�Îj#\¾u��Å�Ä�ÃRÉ`¾�ÀDÆj `Í�À`¿*Å�Èu½�À`Ð�À$É`#�¾Ù× (�د5Ú ��À$½�ÎjÌ�¾"¾u��À$½�À`!`ÀWÏ�À`Ä"¾�Ã\¾uÅ�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�ÃÖ¿D½�À`Ð�À$É`#�ÀDÜ{Æj *Á�À`Â�Å�Æ�ÅRË$Ä"Î�ÔÏ�Î`É`ÝR'�!$ÅRÅ�É`¿�À$É`!WÉ`¿�À`Ä"Ä�Å�'�Ï�À$½�À`ËuÞ�¾�ß.à�Ä"Îj¾"Â.À`Ä"Ý`ÐZ¾"È©áWÍ�À`Â.À`Ä�É â Ä� `Í�Ý*ãH¾Ä"Îj¾�Æ�Å`Í�Ý`ÐZ¾"È�áWÍ�À`Â.À`Ä�É�âäÀWÁ�¾"Ä"¾"Ì� �ã�¿PÜ�Æj *Á�À`Â�Å�Æ�ÅRË$Ä"Î$Ï�Î`É`ÝR'¶!$ÅRÅ�É`¿�À$É*Ô!WÉ`¿�À`Ä"Ä�Å�'�Ï�À$½�À`Ë�å�¾çæ�è0é�ê0ë$ìWí�ì�îï�ð²ñ�ò{áWÍ�À`Â.À`Ä�É`Î�ñ�#�Å�Ä�ÀWÏ�Ä�Å�ÈçÆj �ÔÍ�À`¿*Å�È�½�À`Ð�À$É`#�¾8Ü�Ä"ÎjË$��¿*Î*À$É`!rÃ�É`ÅjÏ�Ä"Î$ÃP¿�À$½�Ç�Ä�Ã�ÃPÑ4½�ÎjÄ"Ý~ÁRÍ�¾"Ä2Ì"À`��À`Èå�ó�ñ�ô0õ�ñ�ö�õ÷èhèhèRõ�ñ�øÊó�ñuÂ.ÀWÓ\Á* ~å�¾®ñ�è�YDÂ.ÀjÀ`Â�ï�ðùå�ò?óPúRè�û¶Í�À`Â.À`Ä�É`�ñýüuÜ�É`Îj#�¾�ÀR'$Ï�É`Å�ï�ð²ñ�òHó�þ�Ä"ÎjË$��¿*ÎjÕÖÉ`!rÃZÿ$í�ì���ÿ����Ö½�À`Ð�À$É`#�¾&Ü:è������Bì�î� ð�Ü.òB#�Å�Ä�ÀWÏ�Ä�Å�È~Æj `Í�À`¿*Å�Èý½�À`Ð�À$É`#�¾ýÜ Ä"ÎjË$��¿*Î*À$É`!rÃÖ¿*��!$Å�É`ÎÖï�ð¯æ�ò£ÀWÁ�¾"Ä"¾�Ï�ÔÄ�ÅRÑ4ÅPáWÍ�À`Â.À`Ä�É`ÎÊæÙ½�À`Ð�À$É`#�¾NÜ:è�YDË$¿�À`!WÉ`Ä�Å× (�د'?Ï�É`Å÷#�Å�Ä�ÀWÏ�Ä"Î$Ã�Æj `Í�À`¿*ν�À`Ð�À$É`#�ÎZÅ*Á�Ä�ÅRË$Ä"Î$Ï�Ä�Å�'*!�É`ÅjÏ�Ä�ÅR!WÉ`Ý`Õ�Á�Å�¾"Ë$ÅRÂHÅR½�Ò�¾"Ë$ÂHÎ�'*Å��"½�ÀWÁ�ÀWÍ�Ã�À$É`!rÃ!$¿*Å�À`È�ÁRÍ�¾"Ä�Å�È£5 �� `Í�À`¿` ÷½�À`Ð�À$É`#� PÁRÍ�¾"Ä"���PÆj *Á�À`Â�Å�Æ�ÅRË$Ä"Î$Ï�Î`É`ÝuÏ�À$½�À`ËÜ���èBYDË$¿�À`!WÉ`Ä�Å�× (�د'"Ï�É`Å�� Ü����ó�� � ¾�Ü���¾"Â.ÀjÀ$É&É`ÅjÏ�Ä�Å���Î`É`ÅRÂHÅ�¿�'BÂHÄ�Å�ÔÓ�À`!WÉ`¿*Å�#�Å�É`ÅR½��:ÇýÆj *Á�À` Å�Æ�ÅRË$Ä"Î$Ï�Î`É`Ý0Ï�À$½�À`Ë�����è������`ÿ���ì��Ù½�À`Ð�À$É`#�¾~Ü��

! e#"�$%"'&�(�)*(�)*+�,.-UV�"4S/"10�2�3*4*5/6�7181(�-*9�:1:';

Page 81: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ � ��������������������E������! "���#$���� &%' ��������!�(�)"*��+,�(�-! .�/

Ä"ÎjË$��¿*Î*À$É`!rîÄ�À`�� "!WÉ`Å�À���Å*Á�ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Å)021ÙÜ���É`Îj#�Å�ÀR'RÏ�É`ÅuÁRÍ�ÃuÍ�ÕZÆ��:Ç3 à54~ü60Ù!$�"½�Îj¿�ÀWÁRÍ�¾"¿*Å 3 ß74~ü80�à�¾8À`!rÍ�¾�ñ89 3 à 3 ü80�à¶É`Å÷ñ�ü80�è:�½�À`Ð�À$É`#�ÀuÜ���Í�ÕZÆ�Å�È{¾�Á�À`Î$Í�À`!WÉ`Ý�ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Å©ð 3(: ó6;Uñ®ü®Ü��� å<9Ùñ$9 3!=ÁRÍ�ÃÊÄ�À`#�Å�É`ÅR½�ÅRÑ4Å 3 üNÜ���è�Y0Á�À`Î$Í��>0�½�À`Ð�À$É`#�¾�Ü���É`Îj#�Ó�À©Ã�¿`Í�Ã�ÕÖÉ`!rÃÆj `Í�À`¿*��ÂH¾ ½�À`Ð�À$É`#�ÎjÂH¾£'��"½�¾�Ï�À` � ð?0*ò@9 �£èÚ É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÀBA Æj `Í�À`¿*Å�È~½�À`Ð�À$É`#�¾�Ü��Z¿Z!`ÀjÆ�Ã�Æj *Á�À`Â�Ä"ÎjË$��¿*Î`É`ÝDC(E

ìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�#� ��'�À`!rÍ�¾JALK�¿�À$½�Ç�Ä"¾"È�á`Ä�Á�ÅRÂHÅR½�Ò�¾"Ë$Â2½�À`Ð�À$É`#�¾�Ü���à�ÉR5 ÀR5A¶ð²ñuß$MRòÖóNA¶ð²ñ�òHßOA¶ðPMRòDÁRÍ�Ã�Í�ÕZÆ��:Ç�ñ�àQMÙü÷Ü:àH¾÷ÁRÍ�Ã�Í�ÕZÆ�ÅRÑ4Å�ñÊü÷Ü��É`Îj#�ÅRÑ4Å�'RÏ�É`Å~ï�ð²ñ�òR9÷þD!$�"½�Îj¿�ÀWÁRÍ�¾"¿*Åý½�Îj¿�À`Ä"!WÉ`¿*Å~ï�ð?A¶ð²ñ�ò�ò.óPï�ð²ñ�ò�è

O©Ä�Å*Ó�À`!WÉ`¿*ÅN¿*!`ÀWÇSCTK�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾"È ½�À`Ð�À$É`#�¾�Ü��2Æj *Á�À` Å�Æ�ÅRË$Ä"Î�ÔÏ�Î`É`Ý\Ï�À$½�À`ËVU�ð�Ü��Rò�è Ú Ï�À`¿*¾�Á�Ä�Å�'�Ï�É`ÅOU�ð�Ü��Rò¶Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ&��Å`Í� "Ñ4½� "�"��Å�È{Å�É*ÔÄ�ÅR!$¾�ÉjÀWÍ�Ý`Ä�Å&!r "��À$½���ÅRË$¾"Ì�¾"¾{Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾"È£5W ÿ�� ��Xjÿ�/�#�(YDZ�!rÍ�¾[A\K[CTK�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�À Æj `Í�À`¿*Å�È�½�À`Ð�À$É`#�¾2Ü���à£É`Å�'£¿!$¾�Í� �Å��"½�ÀWÁ�ÀWÍ�À`Ä"¾�Ã"'�A¶ð ����ò�ó];�A¶ð 3 ò � 3 ü ��� = 1 ����à"¾£'�!rÍ�ÀWÁ�Å�¿*Î`ÉjÀWÍ�Ý`Ä�Å�'ÅRÑ4½�ÎjÄ"¾�Ï�À`Ä"¾�ÀLAFÄ"ÎÊÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Å�����Î`É`ÅRÂHÅ�¿�½�À`Ð�À$É`#�¾LÜ��ÊÃ�¿`Í�Ã�À$É`!rÃÅ�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�À`ÂÊÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Î ���®¿�!`ÀjÆ�Ã"5^_H ��� ��H�Y:¼0 "!WÉ`ÝB`�ðPa~òRKýÆj `Í�À`¿*ÎÖ½�À`Ð�À$É`#�ÎZ¿*!`ÀWÇý��Å*Á�ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿�ÂHÄ�Å*Ó�À*Ô!WÉ`¿*ÎDa Å�É`Ä�ÅR!$¾�ÉjÀWÍ�Ý`Ä�ÅuÅ�Æ��:Ï�Ä"�:Ç�ÉjÀ`ÅR½�À$É`¾"#�Å�K�ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿�À`Ä"Ä"�:Ç�Å���À$½�Î�ÔÌ�¾"È~Å�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�Ã,b¾~��À$½�À`!`ÀWÏ�À`Ä"¾�Ã)c8¾ed)K®�"½�Å�¾"Ë$¿*Å`Í�Ý`Ä�Å�À\Å�É`Å�Æ�½�Î�ÔÓ�À`Ä"¾�À0ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*ÎfaL¿�!`ÀjÆ�Ã"5 Ú �"½�ÀWÁ�ÀWÍ�¾" Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÀfA¶ðgd�òBÂHÄ�Å*Ó�À*Ô!WÉ`¿*Îh`�ðPa~ò�¿�!`ÀjÆ�Ã"'���Å`Í�ÎjÑ4Î$Ã,A¶ðgd�ò4ð?iÖò?ó[dBð?i�ò�à�Ñ Á�ÀVdBð?i�ò?ó�;TdBðPMRò � M�ü<i = àÁRÍ�éÍ�ÕZÆ�ÅRÑ4Å©��Å*Á�ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Îjik1Saýèml�À`!rÍ�Å*Ó�Ä�Å���Å�#�ÎjË$Î`É`ÝR'�Ï�É`Å�A¶ðgd�òÃ�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ)CTK�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�À`Âʽ�À`Ð�À$É`#�¾J`�ðPa~ò�è���nW�&o�pGqhn(r�s�nVt�uwv.ì�ìWíyx �hí�ë4íyx��#�_z£à�ë$ìT{�ì�ë4í�ÿx���|�}h~����fC(E�ìWí�ìGF(H"ÿ�I ���/�}�A�F(��� ��x�ì�î�H�����híy� ��Ü���à0ìT��H"ÿ�/�!X � /�#� AFìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|\A Bÿ� Bì�I �`ë4íyx�ì ����ÿ$í�ì���ìTxDH�����híy� �\Ü��_|�x���| �hí�ë�| ���`ì���ìH������ ��ì��'{�ì �G�����H!�{�{�ê�U�ð�Ü��Rò�Bÿ�{�ì �G���H!�{�{&�,�:ð ���*òRx�ë����{ìWí�ìGF(H"ÿ�I � /��î � Bì�I �`ë4íyx�ÿ���Vx&ë��(FT|&Y-DdBc�S��US &*^Wa���� &*e*d?5:�!$¾�Í� NË$ÎjÂ.ÀWÏ�ÎjÄ"¾�Ã"'¶À`!rÍ�¾\A�ü]U�ð�Ü��Rò�à¶É`Å[z?ð?A£òuóA�üL�:ð ���*ò�èwZ�!rÍ�¾6A?öWà�A���ü8U�ð�Ü��RòZ¾ A ö ó A � à.É`Å[A?öWð 3 ò�ó�A��`ð 3 ò\ÁRÍ�ÃÍ�ÕZÆ�ÅRÑ4Å 3 ü ����è���ÕZÆ�Å�ÈÊáWÍ�À`Â.À`Ä�É�ñPü�Ü:à�ñ6�ó�å"à?Å*Á�Ä�ÅRË$Ä"Î$Ï�Ä�Å�ÂHÅ*Ó�À$ÉÆ���É`Ý��"½�ÀWÁ�!WÉ`Îj¿`Í�À`Ä8¿�¿*¾�Á�À�Å�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�Ã÷ñ2óçß 3�� ½�ÎjËrÍ�¾�Ï�Ä"�:Ç�Î`É`Å�ÔÂHÅ�¿ 3 öràhèhèhèhà 3G� ü ���Ù× (�د'�Å�É`#� *Á�Îu��Å`Í� �Ï�Î*À`Â�A?öWð²ñ�ò¶ó[A?ö$ð 3 ö£ß~èhèhèrß 3G� ò.óA?ö$ð 3 ö4òWß�èhèhèùß�A?öWð 3G� ò?ó�A��jð 3 ö4òWß�èhèhè�ß�A��jð 3G� ò?ó�A��jð 3 ö*ß�èhèhè�ß 3G� ò?ó�A��`ð²ñ�ò�à�¾£'!rÍ�ÀWÁ�Å�¿*Î`ÉjÀWÍ�Ý`Ä�Å�'�A?ö�ó]A��`èB¼DÅRá$É`ÅR£ �z�Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ{¾"Ä�ÛBÀ`#RÉ`¾"¿*Ä"��ÂNÅ�É`Å�Æ�Ô½�Î$Ó�À`Ä"¾�À`Â:5�Q"Îj#�Ó�À<z�K{!$Õ\½�ÛBÀ`#RÉ`¾"¿*Ä�Å�À&Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÀR5�-0À`È"!WÉ`¿*¾�ÉjÀWÍ�Ý*Ô

Page 82: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

.�� �����������"���"� ��� ���������*���&���2-��(���

Ä�Å�'�À`!rÍ�¾NdLüN�:ð ���jò�à0É`Å8Å��"½�ÀWÁ�ÀWÍ�¾" A¶ðgd�ò&��Å8�"½�Îj¿*¾�Í� �� A¶ðgd�ò4ð²ñ�ò óß dBð 3�� ò�à?Ñ Á�À~ñ�ó�ß 3�� à 3 öràhèhèhè4à 3G� ü ����è@l�À`!rÍ�Å*Ó�Ä�ÅÙ��Å�#�ÎjË$Î`É`ÝR'�Ï�É`Å�A¶ðgd�òÃ�¿`Í�Ã�À$É`!rÃeCTK�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�À`Â�½�À`Ð�À$É`#�¾ÙÜ��®¾ A¶ðgd�ò¶óLd�è Ú Ï�À`¿*¾�Á�Ä�Å�'�Ï�É`Åz?ð?A?ö�A��ròZó�z?ð?A?öhò z?ð?A��WòÖÁRÍ�Ã�Í�ÕZÆ��:Ç[A?örà�A��{ü8U�ð�Ü��Rò�è�YDË{¿*��Ð�À�¾"ËrÍ�Å�ÔÓ�À`Ä"Ä�ÅRÑ4Åý¿*��ÉjÀ`#�Î*À$É�!$�"½�Îj¿�ÀWÁRÍ�¾"¿*ÅR!WÉ`Ý��"½�ÀWÁRÍ�Å*Ó�À`Ä"¾�Ã"5���nW�&o�pGqhn(r�s�n���u��£ë ��OAÊüjU�ð�Ü��Rò � ���JE � Bì�I �`ë4íyx�ì<x�ë�����ÿ$í�ì���ìTxF(��� ��x�ì�îVH�����híy� �®Ü���à�í�ì� t�� H"ÿx � Bë4íyx�ìVA¶ð²ñ�òHó�ñ�à�ñ&üuÜ���à�ñ7�ó÷å"à�ë�{&H"ÿx �*����x�ìÖí�ìT�'��ÿ �Zí�ì �� T��ì

í�ìT�'��ÿ"!���ìT�'��ÿ�� Bì�I �`ë4íyx�ì ���"ð²ñ�ò�ók; 3 ü ��� � 3 9Lñ = |�x���| �hí�ë�|ìGF$# �*� �� � /�#� �� ����ìWí�ìHRê@�&% ��*��ìTx���H"ÿG�0ÿPìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|�A Bÿ� Bì�I �`ë4íyx � ����'

� �(�*),+ ñ.-$/�ð?A£ò�ó>;Uñ2ü2Ü���� A¶ð²ñ�ò�óLñ = E�F(��� ��x�ÿ'H�����híy��ÿ ������ê�H"ÿx��Bì�î$X.�Rë �G�0% ��*��ìTx21�����"!*XUí�ì�3��(x��x�ÿ�� � �í�Bì�!�X.�Rë �G����ì�� {�ì� � �íë�x(|�� Bì�ë4í �"4���H"ÿG�0ÿZìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|<A Bÿ � Bì�I �`ë4íyx � ����à{&H �!X � �5!�*� ��/�!X��ê ��3'� � � � �í�ì��[H�����híy� �6),+ ñ.-$/�ð?A£ò@|�x���| �hí�ë�|63'� � � � �íæ(7{ó�ß 3�� à��'��� 3�� {&H"ìGF#���rÿ#�hí>x�ë��8% ��*��!X �`ë�� �#�,x ��H��%���ê ��H"ÿG�0ÿìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|)A�Bÿ%� Bì�I �`ë4íyx � ��� '

�:9 ��Ü�7� ó�ð¯þ�7 : E%Bÿ ��FRì �� !�%��î � ���`ÿ���H�����híy� ��Ü��Dí�ÿ��ì�î"!�XUí�ìZìT��H"ÿ�/���X � /�#�®ìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|7A Bÿ � Bì�I �`ë4íyx�ìýÜ�7� |�x���| �hí�ë�|©ÿxjí�ì���ìH������� ��ì���H�����híy� �&Ü�7� è������BÿVH�����híy� �ýÜ�7� H"ÿx Bÿ$X.�Rë �G�8% ��*����X �`ë�� ���<x ��H��%��e��H"ÿG�0ÿuìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|OA�Bÿ%� Bì�I �`ë4íyx � ��� '

�:; ��Ü�7� E�� Bì�I �`ë4íyx�ì x�ë����<% ��*��!X �`ë�� ����x ��H��%��h��H"ÿG�0ÿÖìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|A Bÿ � Bì�I �`ë4íyx �\Ü���è

-DdBc�S��US &*^Wa���� &*e*d?5�â¯3Uã�YDË$¿�À`!WÉ`Ä�Å�× (�د'?Ï�É`Å�À`!rÍ�¾�ñ�ü2Ü���à.É`ÅPñ�óçß 3��ÁRÍ�Ã~¿*!`ÀWÇ 3�� ü ����ð²ñ�ò�à"�"½�¾�Ï�À`Â:'�áWÍ�À`Â.À`Ä�Éuñ{Å*Á�Ä�ÅRË$Ä"Î$Ï�Ä�Å&Å��"½�ÀWÁ�ÀWÍ�Ã�À$É`!rÃ���"ð²ñ�ò�è�¼DÅRá$É`ÅR£ ©¾"ËBA¶ð²ñ�ò.óÙñ~!rÍ�ÀWÁ* �À$ÉVA�ð ����ð²ñ�ò�ò.óL;�A¶ð 3 ò � 3 ü ����ð²ñ�ò = ó���"ð²ñ�ò�à`Å�É`#� *Á�ÎD¿*��ÉjÀ`#�Î*À$ÉR'WÏ�É`Å ���"ð²ñ�ò�Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ\Å�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�À` Ä�À`#�Å�É`Å�Ô½�ÅRÑ4ÅuÏ�¾�!rÍ�Î�Ì�¾"#�Í�Å�¿uÑ4½�Î*Ò�ÎZÅ�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�Ã)AÙÄ"Î ����è Ú Æ�½�Î`É`Ä�Å�ÀZ �É`¿�À$½"ÔÓ\Á�À`Ä"¾�ÀZÅjÏ�À`¿*¾�Á�Ä�Å�5

â (RãDZ�!rÍ�¾2ñ�àQM�ü=),+ ñ.-$/�ð?A£ò�à�É`Å�'¶!$ÅRÑ Í�Îj!$Ä�ÅÊ�� "Ä"#RÉW �â¯3Uã¯'.ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Î���"ð²ñ�òZ¾ ���"ðPMRò�Ã�¿`Í�Ã�ÕÖÉ`!rÃPÅ�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�Ã�ÂH¾�Ä�À`#�Å�É`ÅR½��:Ç2Ì�¾"#�Í�Å�¿�Ñ4½�Î�ÔÒ�Î�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�Ã8A�Ä"Î ����è:Q"Îj#2#�Îj# ���"ð²ñýßeMRòýó ���"ð²ñ�ò b ����ðPMRò®¾���"ð²ñZÞ<MRò�ó ����ð²ñ�ò c ����ðPMRòu× (�د'"É`Å©ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Î ���"ð²ñZß,MRò0¾ ���"ð²ñZÞ,MRòÉ`Îj#�Ó�À�Ã�¿`Í�Ã�ÕÖÉ`!rÃ~Å�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�À`ÂÊÄ�À`#�Å�É`ÅR½��:Ç©Ì�¾"#�Í�Å�¿&Ñ4½�Î*Ò�Î�Å�É`Å�Æ�½�Î�ÔÓ�À`Ä"¾�Ã<A©Ä"ÎZÜ���à�Å�É`#� *Á�ÎZ��Å{â¯3UãB��Å`Í� �Ï�Î*À`Â:'�Ï�É`Åuñ�ßBM�à�ñ�ÞBM�ü<),+ ñ.-$/�ð?A£ò�è

Page 83: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ � ��������������������E������! "���#$���� &%' ��������!�(�)"*��+,�(�-! .��

Q"Îj#�¾"Â÷Å�Æ�½�ÎjË$ÅRÂ:'�),+ ñ.-$/�ð?A£ò K~½�À`Ð�À$É`#�Î�'�å®ü ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�è Ú Ï�À`¿*¾�Á�Ä�Å�'�Ï�É`ÅÀWÁ�¾"Ä"¾�Ï�Ä"��Â�áWÍ�À`Â.À`Ä�É`ÅRÂ�½�À`Ð�À$É`#�¾0),+ ñ.-$/�ð?A£ò£Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ�áWÍ�À`Â.À`Ä�É�æ(7ZÉ`Î�Ô#�Å�È£'`Ï�É`Å ���"ð¯æ(7�òRK�Å�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�ÀD¿*!`ÀWÇ�Ì�¾"#�Í�Å�¿ZÑ4½�Î*Ò�Î�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÃVAÄ"Î ����à"ÉR5 ÀR5���"ð¯æ(7�òfK ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Å ¿*!`ÀWÇ©Ì�¾"#�Í�¾�Ï�À`!$#�¾�Ç©¿�À$½�ÐZ¾"Ä�Ñ4½�Î*Ò�ÎÅ�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÃjA�Ä"Î&ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿�À ����èB¼0 "!WÉ`Ýýñ�ü ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�à�ñL�óå"à�ñ[�óæ(7"è��� ���À`!WÉ`¿` �À$É~áWÍ�À`Â.À`Ä�ÉOM{ü©Ü���É`Îj#�Å�È£'�Ï�É`Å ���"ðPMRòDK�Å�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�À¿*!`ÀWÇ®Ì�¾"#�Í�Å�¿�Ñ4½�Î*Ò�Î�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÃhA Ä"Î ����à�Ä�ÀÖ¿`Ç�Å*ÁRÃ���¾�Çu¿*Å�ÂHÄ�Å*Ó�À*Ô!WÉ`¿*Å����"ð²ñ�ò�è�Q"ÅRÑ Á�Î�'�ÅjÏ�À`¿*¾�Á�Ä�Å�'�M~ü ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�¾ÙñZÞ,Mýóå"à�ñ\ß,Mýó�æ(7�èQ"Îj#�¾" Å�Æ�½�ÎjË$ÅRÂ:'5),+ ñ.-$/�ð?A£òhKÊÆj `Í�À`¿*Î ½�À`Ð�À$É`#�Î�5 Ú Ï�À`¿*¾�Á�Ä�Å�'HÏ�É`ÅPÎ`É`Å�ÔÂHÎjÂH¾©½�À`Ð�À$É`#�¾ ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�Ã�¿`Í�Ã�ÕÖÉ`!rÃ~áWÍ�À`Â.À`Ä�É`�ñ~É`Îj#�¾�ÀR'�Ï�É`Å ����ð²ñ�ò_KÌ�¾"#�ÍuÑ4½�Î*Ò�Î0Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÃVA~Ä"Î ����àjÅ�É`#� *Á�Î�!rÍ�ÀWÁ* �À$ÉR'$Ï�É`Å � ð ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�òK®Ï�¾�!rÍ�Å&Ì�¾"#�Í�Å�¿uÑ4½�Î*Ò�ÎZÅ�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�Ã$AÙÄ"ÎZÜ���è

â���ãù¼0 "!WÉ`Ý{ñ�ü2Ü���¾ ð²ñ : K�¾�Á�À`Î$ÍÊÉ`Îj#�Å�È£'.Ï�É`Å÷ÅRÑ4½�ÎjÄ"¾�Ï�À`Ä"¾�À�Å�É`Å�Æ�Ô½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÃeAPÄ"Î�ð²ñ : Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ�Îj¿jÉ`ÅRÂHÅR½�Ò�¾"Ë$ÂHÅRÂN½�À`Ð�À$É`#�¾2ð²ñ : è"Q"ÅRÑ Á�Î�'�¿Ï�Îj!WÉ`Ä�ÅR!WÉ`¾£'�A¶ð�ð²ñ : ò.ó2ð²ñ : è�¼DÅ�#�Î$Ó�À`Â:'*Ï�É`Å<A¶ð²ñ�òHó�ñ�è�¼D½�ÀWÁ���Å`Í�Å*Ó�¾"Â:'*Ï�É`ÅA¶ð²ñ�ò��óNñ�è�Q"Îj#©#�Îj#jA¶ð²ñ�òDü÷ð²ñ : à�É`Å'A¶ð²ñ�òDõ2ñ�è�Q"Îj#©#�Îj#jA¶ð�ð²ñ : ò0ó�ð²ñ : àBÉ`Å!r ���À`!WÉ`¿` �À$É�M�ü{ð²ñ : É`Îj#�Å�È£'RÏ�É`Å,A¶ðPMRòHó�ñ�è�Q"Îj#®#�Îj#,MV9�ñ�à�É`Å<M�ß\ñ�ó�ñ�àÅ�É`#� *Á�ÎOA¶ð²ñ�ò0ó\A¶ðPMDß®ñ�ò�ó\A¶ðPMRòBß$A¶ð²ñ�ò�óNñZß$A¶ð²ñ�ò�óNñ�à�Ï�É`Å©�"½�Å�É`¾"¿*Å�Ô½�ÀWÏ�¾�É�Ä�À$½�Îj¿�À`Ä"!WÉ`¿` jA¶ð²ñ�ò¶õ�ñ�è�¼DÅRá$É`ÅR£ jA¶ð²ñ�ò.ó�ñ~¾�ñýü<),+ ñ.-$/�ð?A£ò�è�¼DÅ�� "Ä"#RÉW �â¯3Uã ���"ð²ñ�ò�KuÅ�Æ�ÛBÀWÁ�¾"Ä�À`Ä"¾�À�Ä�À`#�Å�É`ÅR½��:ÇýÌ�¾"#�Í�Å�¿�Ñ4½�Î*Ò�ÎDÅ�É`Å�Æ�½�Î�ÔÓ�À`Ä"¾�Ã2A&Ä"Î����Ö¾£'$!rÍ�ÀWÁ�Å�¿*Î`ÉjÀWÍ�Ý`Ä�Å�'`ÅRÑ4½�ÎjÄ"¾�Ï�À`Ä"¾�ÀfA&Ä"Î ����ð²ñ�ò�Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ��Å*Á�!WÉ`ÎjÄ�Å�¿*#�Å�ÈÊÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Î ����ð²ñ�ò�èBQ"Îj# #�Îj# ����ð²ñ�òBK©Î`É`ÅRÂH��½�À`Ð�À$É`#�¾ð²ñ : ¾�A]KÙ��Å*Á�!WÉ`ÎjÄ�Å�¿*#�Î{ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Î ���"ð²ñ�ò�àBÉ`Å�'£#�Îj#�Ä�À`!rÍ�Å*Ó�Ä�Å���Å�#�Î�ÔË$Î`É`ÝR'£ÅRÑ4½�ÎjÄ"¾�Ï�À`Ä"¾�ÀeANÄ"Î�ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Å�ð²ñ : Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃÙÎj¿jÉ`ÅRÂHÅR½�Ò�¾"Ë$ÂHÅR½�À`Ð�À$É`#�¾ ð²ñ : è�YDË©¿*��Ð�ÀP¾"ËrÍ�Å*Ó�À`Ä"Ä�ÅRÑ4Å�¿*��ÉjÀ`#�Î*À$ÉR'�Ï�É`Å2Ü 7� ó ð¯æ 7 : KÄ"Îj¾�Æ�Å`Í�Ý`ÐZ¾"È÷¾�Á�À`Î$Í�½�À`Ð�À$É`#�¾�Ü��{É`Îj#�Å�È£'BÏ�É`ÅÙÅRÑ4½�ÎjÄ"¾�Ï�À`Ä"¾�ÀeA2Ä"Î�Ü�7�Ã�¿`Í�Ã�À$É`!rÃ�Îj¿jÉ`ÅRÂHÅR½�Ò�¾"Ë$ÂHÅRÂP½�À`Ð�À$É`#�¾�Ü�7� à�¾ '*��Å��� "Ä"#RÉW Hâ (Rã¯'`ÁRÍ�¾"Ä"Î�½�À*ÔÐ�À$É`#�¾�Ü�7� ½�Îj¿*Ä"Î�Ï�¾�!rÍ� ÙÌ�¾"#�Í�¾�Ï�À`!$#�¾�Ç©¿�À$½�ÐZ¾"ÄÙÑ4½�Î*Ò�ÎuÅ�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�ÃAÙÄ"ÎZÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Å ����è

â Rãù�8!$¾�Í� 8�� "Ä"#RÉ`Î�â���ã¯'�À`!rÍ�¾Nñ8ü8Ü�7� à�É`ÅÊñ]K2Ì�¾"#�Í�¾�Ï�À`!$#�Î$Ã2¿�À$½"ÔÐZ¾"Ä"ÎýÑ4½�Î*Ò�ήÅ�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾�Ã7AÊÄ"ÎýÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿�À ����èB¼0 "!WÉ`Ýuñ�K Ì�¾"#�Í�¾�ÔÏ�À`!$#�Î$Ã2¿�À$½�ÐZ¾"Ä"ÎPÑ4½�Î*Ò�Î�A�Ä"Î�Ü���è�Q"ÅRÑ Á�Î�!r ���À`!WÉ`¿` �À$É÷Ä"Îj¾"Â.À`Ä"Ý`Ð�ÀjÀÄ"Î`ÉW "½�Î$Í�Ý`Ä�Å�À&Ï�¾�!rÍ�Å� É`Îj#�Å�ÀR'£Ï�É`Å�A � ð²ñ�ò�ó ñ�è.¼0 "!WÉ`ÝOM ó�ß�A � ð²ñ�ò�à +�ü;jþ`àhèhèhè4à� = è�Q"ÅRÑ Á�Î�A¶ðPMRò?ó�A¶ðùß�A � ð²ñ�ò�òHó÷ß�A � ö ð²ñ�òHó M�à�¾£'R!rÍ�ÀWÁ�Å�¿*Î`ÉjÀWÍ�Ý`Ä�Å�'M�ü<),+ ñ.-$/�ð?A£ò�à�Å�É`#� *Á�Î�¿�!$¾�Í� �ñ$9jMV9Êæ(7®��Å`Í� �Ï�Î*À`Â:'�Ï�É`Å®ñ®ü®Ü�7� è

¼D½�ÀWÁRÍ�Å*Ó�À`Ä"¾�À\Á�Å�#�ÎjË$ÎjÄ�Å�5��¿�ÀWÁ�À`Â�Ä"ÎýÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿�ÀeU�ð�Ü��Rò0¿*!`ÀWÇJCTK�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾"È÷Æj `Í�À`¿*Å�È�½�À*Ô

Ð�À$É`#�¾©Ü��u½�Îj¿*Ä�ÅRÂ.À$½�Ä�Å�À�½�Îj!$�"½�ÀWÁ�ÀWÍ�À`Ä"¾�À�¿�À$½�Å*ÃRÉ`Ä�ÅR!WÉjÀ`È£5

Page 84: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

.�� �����������"���"� ��� ���������*���&���2-��(���

��n(p���n��¶�7t�u�^_�Rë4í �����ð?A£ò_E �����Bÿ�H�����híy� � ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rìhC(EìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|OA ü$U�ð�Ü��Rò�è���ìT�'��ÿB{&H � ���

� ; ����ð?A£ò?ó�� = ó þ� z�� � ������� ��� ð�� � ö� � � ��ò �� � � � ð¯þ �"!�ð¯þrò�òH"ÿx Bì�� ��H#Bì�ìWí�Bì�ë �$í ���� �Bì %.���*ê@�#�®à*����|_��ìWí�ìHRê@�uð�� � ö� � � ��ò4ð$� � ��ò&%('&) ö �� ��I �$íNx%��}�FRì�����ì� ��X�Bì�� ���í ��H�x�ÿ�� ��!��* ����ð?A£òHó þ

� � � �+�"!�ð$� � ��ò�è��n(p���n��¶� ��u�^_�Rë4í �����ð?A£ò_E �����Bÿ�H�����híy� � ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rìhC(EìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|OA ü$U~ð�Ü���ò�è,��ìT�'��ÿB{&H � ���

ð$- � þrò/. � �ð$� � � ��ò ø % ö � ; ����ð?A£òHó0- = ó�12�"!�ð¯þrò�à

�'���

1 ó � 3 z54��*à6-Ló�!�ð$� � ��ò�àð � 798;:Hð<8"ò�ò&% ö à6-Ló08=� � ���"!�ð$� � ��ò�à úÖõ"8&õ��è

��n(p���n��¶� 9 u�^_�Rë4í �����ð?A£ò_E �����Bÿ�H�����híy� � ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rìhC(EìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|OA ü$U~ð�Ü���ò�� ����à?>@���à?-45� ���ýóBAÖð$� � ��ò�è,��ìT�'��ÿ

ð$- � þrò/. � � >�ð � � ��ð¯þ � ñ�öhò�ò ø % ö/CED ) � >GF � ;H����ð?A£òHóI- = ó ����� ; � 8�ö = ð¯þ��"!�ð¯þrò�ò�à

�'���ñ�ö:ó�þ � þJ � � J àK8�ö�ó >L � � J � � � ð � M�ò�à J ó � �- à

>&ó -� � J à?Mýó >�0N þ � � �O� � J� � JQP è

��n(p���n��¶� ; u ^_�Rë4í SR;T �9U ð?A£òBE �����Bÿ � ���`ÿ���ÿ~Ü�7� ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rìOC(E�ìWí�ìGF��H"ÿ�I � /�T|OA ü$U~ð�Ü���ò�è,��ìT�'��ÿ ����| ��}�FRìT�rì�� ó2þ`à���àhèhèhè�à �

�WV R T �9U ð?A£òHóI�YXuó � ð � � þrò/.�[Z�ð � � �&ò/. è

Page 85: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ � ��������������������E������! "���#$���� &%' ��������!�(�)"*��+,�(�-! .��Ú Æ�ÅRË$Ä"Î$Ï�¾"Â�Ï�À$½�À`ËhU¶øÖð�Ü��Rò:ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿*Å�¿*!`ÀWÇ7CTK�Å�É`Å�Æ�½�Î$Ó�À`Ä"¾"ÈjA�ü

U¶ø�ð�Ü��RòÖÉ`Îj#�¾�Ç�'?Ï�É`Å � ð ),+ ñ.-$/�ð?A£ò�òZó -~à.¾2¿*¿�ÀWÁ�À`Â�Ä"ÎjU¶ø�ð�Ü��Rò\½�Îj¿*Ä�Å�ÔÂ.À$½�Ä�Å�À�½�Îj!$�"½�ÀWÁ�ÀWÍ�À`Ä"¾�À�¿�À$½�Å*ÃRÉ`Ä�ÅR!WÉjÀ`È£5��n(p���n��¶���Gu*^_�Rë4í #R;T ��� ø U ð?A£ò�E �����Bÿ � ���`ÿ���ÿÖÜ�7� ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rìBC(E�ìWí�ìGF��H"ÿ�I � /�T|�A�ü8U¶ø©ð�Ü��Rò�è5�£ë �� � � �à?-45� ��� � úRà?í�ìjH"ÿx Bì�� ��H#BììWí�Bì�ë �$í ���� �Bì %.���*ê@��{�ì ��ì�I �$í ���� ��ê@�6X.�Rë����I�®à�����|j��ìWí�ìHRê@���{ó�+45� ��� � ��I �$íNx%��}�FRì�� ��ì� ��X�Bì�� ���í ��H�x�ÿ�� �� � �WV R T ��� ø U ð?A£ò 4 � �ýó��;X�ó 3 ��4�z C %�� ) � �"!�ð¯þrò�à

* R T ��� ø U ð?A£òHó � ���z �"!�ð � ��ò�è

��n(p���n��¶�� �u*^_�Rë4í #R;T ��� ø U ð?A£ò�E �����Bÿ � ���`ÿ���ÿÖÜ�7� ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rìBC(E�ìWí�ìGF��H"ÿ�I � /�T|�A8ü[U¶ø©ð�Ü��Rò�è �£ë ����£à?-2� �à?-45� ��� � 8Bà��'���88E� ����ì!�í�ìH"ÿT|B{�ì ��ì�I �$í ���� �BÿT|B{�ì�ë4í�ì�| BÿT|$!*í�ì_H"ÿx Bì�� ��H#Bì\ìWí�Bì�ë �$í ���� �Bì%.���*ê@�,{�ì ��ì�I �$í ���� ��ê@�@�®à ����|<��ìWí�ìHRê@���Dó��+45� ��� � ��I �$íNx%��}�FRì����ì� ��X�Bì�� ���í ��H�x�ÿ�� �� � �WV R T ��� ø U ð?A£òHó��;X�ó � 7� �Tz :Hð<8"ò:Hð �H8"ò � � 7 C %�� ) � �"!�ð¯þrò�à

* R T ��� ø U ð?A£òHó � �Tz[:Hð<8 ��þrò:Hð<8 ��þ 4��`ò ð¯þ�� !�ð¯þrò�ò�è��n(p���n��¶����uV^_�Rë4í R T ��� ø U ð?A£òLE �����Bÿ � ���`ÿ���ÿ Ü 7� ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rì C(EìWí�ìGF(H"ÿ�I � /�T|]A ü U¶ø ðùÜ���ò�è �£ë ���� � �à?-45� ��� � �à?-45� ��� óAÖð$� � ��ò�à��©ó �+4 � �Bà?í�ì'H"ÿx Bì�� ��H#Bì�ìWí�Bì�ë �$í ���� �Bì�%.���*ê@� {�ì ��ì�I ���í ���� ��ê@�@�®à ����|,��ìWí�ìHRê@��� � � � M � ��I �$í x ��}�FRì��6�����ë �(H"ìTx�ÿ� Bì����ì� ��X�Bì�� ���í ��H�x�ÿ�� �> F C % D ) � � z�� �WV R T ��� ø U ð?A£òHóI�YXuó�� � F C %�� ) � ð¯þ �"!�ð¯þrò�à�'��� J ó � �- à?>&ó -� � J à?Mýó >

�0N þ � � �O� � J� � JQP è��n(p���n��¶���Gu*^_�Rë4í #R;T ��� ø U ð?A£ò�E �����Bÿ � ���`ÿ���ÿÖÜ�7� ë �G�!Xjÿ�î�BìT�rìBC(E�ìWí�ìGF��H"ÿ�I � /�T|,A ü,U¶ø©ðùÜ���ò�è"�£ë �� �£à?- �� í�ÿ��!�XUí�ì#-Ló � � � à � ó�!�ð � ��ò�à

Page 86: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

.�� �����������"���"� ��� ���������*���&���2-��(���

í�ì ����| %.���*ê@�,{�ì ��ì�I �$í ���� ��ê@�@� ó � ��� à úD9 � 9 � à�ë�{&H"ÿx �*����x�ì

�WV R T ��� ø U ð?A£òHóI�YX�ó������ � � ð¯þ��"!�ð¯þrò�ò�à* R T ��� ø U ð?A£òHó � �

�"!�ð � ò�è-DdBc�S��US &*^Wa���� &*e*d?5:¼0 "!WÉ`Ý�Ä"Î�ÂHÄ�Å*Ó�À`!WÉ`¿�À]U�ð�Ü��Rò~Ë$Î$Á�ÎjÄ�Å�½�Îj¿*Ä�ÅRÂ.À$½"ÔÄ�Å�ÀZ½�Îj!$�"½�ÀWÁ�ÀWÍ�À`Ä"¾�À\¿�À$½�Å*ÃRÉ`Ä�ÅR!WÉjÀ`È£'�É`ÅRÑ Á�ÎZ¿�!$¾�Í� ��"½�ÀWÁRÍ�Å*Ó�À`Ä"¾�Ã�3�Ä"Î��Å`Í� "Ñ4½� "�"��À,�:ð ���*ò�Ë$Î$Á�ÎjÄ�Å�½�Îj¿*Ä�ÅRÂ.À$½�Ä�Å�À�½�Îj!$�"½�ÀWÁ�ÀWÍ�À`Ä"¾�À&¿�À$½�Å*ÃRÉ`Ä�Å�Ô!WÉjÀ`È£5 ���"½�Îj¿�ÀWÁRÍ�¾"¿*ÅR!WÉ`Ý�ÉjÀ`ÅR½�À`ÂL32K�u¿*��ÉjÀ`#�Î*À$Éý¾"Ë��� "Ä"#RÉ`Î â (Rã.�"½�ÀWÁ�ÔÍ�Å*Ó�À`Ä"¾�î(Z¾~½�À`Ër `Í�Ý$É`Î`É`Å�¿~'�!$ÅRÅ�É`¿�À$É`!WÉ`¿�À`Ä"Ä�Å�'�½�Î*Æ�Å�É~×�3W' ��' �د5*Q�À`ÅR½�À`ÂHÎ�!rÍ�ÀWÁ* �À$É ¾"Ë\�� "Ä"#RÉ`Î~â���ãÙ�"½�ÀWÁRÍ�Å*Ó�À`Ä"¾�Ã&(�¾{½�Î*Æ�Å�É`�F× 1�د5RQ�À`ÅR½�À`ÂH�1hK�\¿*��ÉjÀ`#�ÎjÕÖÉZ¾"Ë��� "Ä"#RÉ`Å�¿~â (Rã�¾�â���ã��"½�ÀWÁRÍ�Å*Ó�À`Ä"¾�Ãu(Z¾�½�À`Ër `Í�Ý$É`Î`É`Å�¿'�!$ÅRÅ�É`¿�À$É`!WÉ`¿�À`Ä"Ä�Å�½�Î*Æ�Å�É{× ��' �' +�د5

������������������

� "?c�7 4���+�,Êe#"���"�� 4�����(! �,#"2�7%$�7�&')*((' 2�,�+*)�"�$%" +hX ((��6�(�- �-,/.!0 "9�"21�+�)*6�3 75476�"1&�217')*+*) )�2!8 2!$�716�"�$%" +UX ((��6�(�- �-,/.!0 "9 "?_ (�8�4�718Ùb "�a "�� 4�����(! �,#"2 4�2/: (�"h_ 2!$ )�75; (�8'7/<�: 6�- �-,/, ;�"0 " 0�2�3*4*5/6�7181(�V�"WS/"jd�<�+�,=: 4�����(! 3�)�2(<�2 4�> ,�7%3 7�)*(/: 3�)�2(<�2 4�2�,�+*)?��+#: 4*(?@�+�6 4*+*�*2%A: 6�+*B 8'2 )�8�+�, 8=: 4�����(! �,�7%C 7%$�7�&')*((' 2�,�+�+ED/DGF�+#: 6�)�2!$ ,�(()=C#(!$�2!$(C#(!$ +�6�(�" 9�:1: 0 -$ " � ;�-'8/"�3 " 9 -�:'"5H1;%I .!0 "J "2K�L!MNMNO PRQ#"!S�MUT/V�L(V�O W O X Y�Z�O P[X MNO V�\�X O T%]*P�MU^!W L!X_^/Z2X_T2MNL!]*Z�T%`a`bL!c�c�O ]*d�P "!e�]�] "!fgL!X h "!i5X L!X O P[X "�-, ;�:*"/j�T%W " 9 � -%O PkP[\*^ 0 -5c " � : 0 J A � :';19�"

;�" 0�2�3*4*5/6�7181( V�"4S/"rd )*(/: 3�)�2(<�2 4�2�,�+�,?��+#: 4*(b@�+�6 4*+*�*2/: 6�+*B�8'2 )�8�+�, 8�: 4�����(! �,�7%C7%$�7�&')*((' 2�,�+�+g: +l; 8'2/:m$ ,#"�CG��+#: 4�7%C=@�+�6 4�718& )��/<�"®VB_ $�V~c (�)WXon�TUS�X�-U_ 2!$ )�75; (�8'7/<�: 6�-*9�:1: J -'8/"�3 " ;�-�:'" �k0 9%A � J � "

Page 87: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ����������������������� "!$#&%�'�(*)*)*+

,.-0/21�354�6 7*8*8

��9:���;�����0<�=?>�@BA"9*CED�F G"CH���IJD"C�K��LC�M��C0I.��N"OPC����.�HK:�C��Q���A�R.<SC�MA"���HTU���A"��A"���VIW���A�RSA�<�A"����A"�

D�A"��C�T.����C0I.��A"X

Y 6 Y 6�Z\["]"^`_�a

b�cedfdfg�cfhfi�j:klcemehedonpj:qri�c0sut*j:v\w:cej*t`x*y{z0m|q~}�kl���`}$i�c�d0��}et:�w�}$�Hj:w:��}$i�g�cev�j:m|���e�Sce�*�`m|w:��}$��hej:g�c5t*�ew:��m�d5hfi�cfhem|q~j:jH�$t`ndot`x*y*c5n�kl}`�fg�}l�0w�}`d5hej�}$he�{ce�fc�}$h���i�mf�$t*}l�0m|w:j*n�j��:mfi�mfi�ced|���i�mf�`mft*m|w:j*n�klmfi�}ln$hew�}`d5hem|���

3l6����{�$�"�`�?�?�

�����{�"�����L���*���� {¡����{!$!$¢��` `��£"¤*�*¡$ `!|¥¦£"§5����¨E©�£"ª��"�{£�©� �«�¬�¡`§5��¤*�0­���:����6�®0 "!l `¯ £"¢.¡{¡$ `!|¥°¨±�"��¡l���"��£�¥: `£"��'�#��$²�����¡ £"³L#��� `�:���S´µ´��{«�¡$ �"��£"��¥: `¯0�"�0���*���� l �����!$��¡`ª�£"�$©�£�!l l �¤H�*�������¦£\ `���\²\¡0����©��{!l `£�6`��!`¡*­§5�¶£"¢.¡{¡$ `!|¥Q·°�"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤¶�"�&!$¤*�����*������¡�¢.¡`!l `�Q£°#�¤*�$©�£�¸�£"#��{ª�£�¥#��$²����:§5�¶���{¤*���:¢.¡$�����Q���{!$�"��¡l��¡l©�¡`�"�¦�"�&�� `��¡`³$#�¡°¹ )�'º3|»r6�¼H�$«��$©�¯`�"£"#�£�"��¡l���"��£�¥: `£"� ½ £"§5����#�£�¾������{«�¡$��¡l��£���¡`!`¡l�* "¿� H!0#��$²�����¢ �"��¡$ {¡`����¡`��­ `�:¢µ£¶���:!|©�¡�À$ `�:§5�¦¤*�����:!|¥: ���¡`¬�¡`�"£�¡\�"��£"��¥: `¯p¡`§5�¦£�©�£¶�� `¤�¡$��§5�� � `¯:6Á�!|©�£¦Â~­Ã���¦£"§5����#Ä��¡`¬p�*¡$ ��"��¡l�:©��*²�£� `¯��"��¡$ {¡`����¡`�� l L���*���� l �'{ `���"��¡*­ {¡`����¡`�� 0¢��*²\¡$ 0!$�:§Å©��{!$£� `¯`!|¥��"��£"��¥: `¯��"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¡0!�¤�¡$���*¥: `���:!l `¯`¿Æ�Ç '*Â?È É`Ê~¨&' Æ�Ë"ÌpÆ�Í�Ì Î Î Î5Ì�Æ�Ï2Ð É`6�/S�:§Å���p��¡`#��� `�:���V¡��"�$«��$©�¯`�"£"#�£Ä �²\¡¤*�V�����$©�£ !$��¡`ª�£"�$©�£�!l `��¤�'�¤�¡$���*¥: `���:!l `£�'"!p#��� `�:����¢�£Ñ�:!l `�$©�¯`�"�V¡\�"��¡*­ {¡`����¡`�� `��¢��:§Å©�£°���;!$�:§Å©��{!$£� `¯`!|¥L���*���� `�` `¯Ä�"�¦À$ `£�´Q�"��¡l���"��£�¥: `£�¥�´�'��¡$��¡$���{!$�"��¡l��¡l©�¥�¿� `!|¥Ò�"���:!l `�{¤*¬p£�¡`!|¥"6�Á�!|©�£µ¤*!`¡L£"§5����#�£J�� `¤�¡$��§5�{¿�  {¡`#� "Ó\¡`§5�Ò�"��¡$ {¡`����¡`�� `��'� `�Q���{!$!$¢��` `��£"¤*�*¡$ `!|¥Ò!|©�¡l�* "¿�Ó�£"��'?�"��£�«�¡`¢S'�� `¤�¡$��§5�� "¤��"��¡$ {¡`����¡`�� `��'`#���¡`¢� Ä��¡l©�¯`³|¥p�{ *��¡$ V¤�¡$���� � `¯`!|¥p¤0���$©�¯`��¡`��­¬�¡`¢S6*Á�!|©�£��"£"#: `��£"³V�"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤���¡H���S©\�"��£"��¥: :'l `�p�"��¡l���"��£�¥: `£�¡ {¡$���"£� � ����Ô `#�£ Õ£"³{­Ã³$�p��¡l´�¤*�` `#�£ !$��¡`ª�£"�$©�£�!l `��¤�'�Õ×Ö¶Ø Ù:ÊfÉ5ÚÛ6

ÜÝ [�Þo[�Þ|ß.àâá|ãâäeålæfçÅèoè5é

Page 88: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ������������� ���

� "Ó\¡`!l `¤` "¿� ×���{³|©�£�«��"�V¡2¤*�{��£"�{�� `�±#���£� {¡$��£�¡`¤u¤B³$�$���$«�¡×�"�{£�­©� �«�¬�¡`§5�;¤*�V���:�����Ä3e¾Ä¢��{#�!$£"¢�£"³$�{ª�£�¥;¤�¡$���*¥: `���:!l `£ �"�{�� `£ �"�{£�©� �«�­¬�¡`§5�°�"��¡$ {¡`����¡`�� `��'.(:¾0¢��{#�!$£"¢�£"³$�{ª�£�¥ ¢��` {¡`¢��` `£�«�¡`!$#��:§5�J�*²�£����{�"£�¥¤*��£"§5����¬p��'"8�¾W¢�£"�"£"¢�£"³$�{ª�£�¥¶�*²�£����*¡`¢��:§5�L�*��!$�`©�¿� `���:§5�L���{�"§5�Ä�"��¡*­ {¡`����¡`�� `��6 � �{#��{§Å �«�£Ò£��Q�{³$�$©���¤Ñ¹ 3|»����{!$!$¢��� `��¡l©�£ !$ª"¡`�"�{��£"�ѳ$�$���$«�£�:©�¥Q��¤` �´ £"§5����#���¤�'.!$��¤*¢.¡`!l `��� ¤*�V��£"���{¿�Ó�£�´Ñ�"��¡$ {¡`����¡`�� `��'�¤Q#��� `��­���:¢µ¢�£"�"£"¢�£"³$£"�� �¡$ `!|¥��*²�£����*¡`¢����¶�*��!$�`©�¿� `�"���L���{�"§0�"��¡$ {¡`����¡`�� `��'£B��¡$ Ò�"£"#��{#����B£"��¸��:��¢��{ª�£"£B�µ���:!l l "�"�{Ó�£�´J�"��¡$ {¡`����¡`�� `�$´�6��"�{¢���­#�£°¹ (�»�£�!$!|©�¡l����¤*�$©Ä¤*�{��£"�{�� H³$�$���$«�£Ä!�¤*�:³$¢��*²����:!l `¯`¿��� `#��{³$���"��¡$ {¡`��­��¡`�� `�L�� L�"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¥Ò£µ���`©� �«�£�© ¸��:��¢� `©� �:©�¥Ò�"�$´��*²���¡`�"£�¥Q¤*�0­£"§5����¬p��'.#��:§Å���Q«�£�!|©��µ�"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤µ!l `��¡`¢�£� `!|¥2#U��¡`!$#�����¡l«����:!l `£�6� �$���$«��¦¢��{#�!$£"¢�£"³$�{ª�£"£ ¢��` {¡`¢��` `£�«�¡`!$#��:§5�Ò�*²�£����{�"£�¥¶¤*��£"§5����¬p�Ä«���­!l `�¶�"�{³$��¤*�*¡$ `!|¥L³$�$���$«�¡`�Ò�L�"���*���$²\¡Ä��¡l��¤*£�²�£"¢��:!l `£�6�Z�¡$��§5¿�!$���×¹ 8:»���{!$!$¢��� `��¡l©�¤*�{��£"�{�� H���{�"�����&³$�$���$«�£Ä�:©�¥���¡`!$#��`©�¯`#�£�´¦£"§5����#���¤�6 � ©� �­«��{�B¢��{#�!$£"¢�£"³$�{ª�£"£B¤�¡$���*¥: `���:!l `£�"�{�� `£B�"�{£�©� �«�¬�¡`§5�J�"��¡$ {¡`����¡`�� `��:©�¥Ò��¤` �´ £J `��¡l´J£"§5����#���¤�'.#��:§Å��� �"��£"�:��£� {¡$ Q£"§5����#�� ���"��¡l��¡l©�¥�¡$ `!|¥!ij$�$���{�"�����Ѥ�¡$���*¥: `���:!l `¯`¿�'�£"³| �«�¡`� � �{#��{§Å �«�£B¹ ��»r6��:�{���"�*¡`¤�£ � �`©���­¤*¯{¡`¤°¹ 1�»W���{!$!$¢��� `��¡l©�£°!$ª"¡`�"�{��£"� �:©�¥¦��¤` �´ £"§5����#���¤�£Ò¤*�:³$¢��*²����:!l `£�� `#��{³$���� ��"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¥"'{�H `�{#�²\¡�!$ª"¡`�"�{��£"�&£"§5���J!����:���:§5��¤*��¢Ñ³$�"��­«�¡`�"£�¡`¢ �:©�¥¦#�¤*�$©�£�¸�£"#��{ª�£"£¶�"��¡$ {¡`����¡`�� `��6�&���{�"�����L!l `�` `¯{¡����{!$!$¢��` `��£"¤*�*¡$ `!|¥Ä!|©� �«��{��¨ £"§5����#���¤\!�¤*�:³$¢��*²�­

���:!l `¯`¿ �� `#��{³$���� ��"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¥�£ ��¡$��¡$���{!$�"��¡l��¡l©�¡`�"£�¡`¢J¤�¡$���*¥: `����­!l {¡`��6S¼�¡`����´��*��£"¢��J¢��{#�!$£"¢�£"³$£"����¤*�` `¯°¤�¡$���*¥: `���:!l `¯Ñ�"�{�� `£B�"�{£�©� �«�­¬�¡`§5�¦�"��¡$ {¡`����¡`�� `��6

(�6 � ]�����[�� � a��"�?�"!;�Q�"�#��!%$&�"&('$a?_�[�!��� �"�$«��$©�� ���{!$!$¢��� `��£"¢ !|©� �«��{�×! �*���"£"¢�£"§5����#��:¢S6S/S�$²������×�"��¡*­

 {¡`����¡`��  £"¢.¡{¡$ Q#�¤*�$©�£�¸�£"#��{ª�£"¿*)�'�#��� `�:���$¥µ���{¤*���:¢.¡$����� ���{!$�"��¡l��¡*­©�¡`�"� �"�¶�� `��¡`³$#�¡2¹ )�'V3|»r6��?¡$���*¥: `���:!l `¯¶ `�:§5��'�«� `�°�"��¡$ {¡`����¡`��  !$�:§Å©���­!$£� `!|¥×�"��£"��¥: `¯Ñ�"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¡µ���{¤*�"� Æ ' ÆÐ É`6+�"�:§Å���-,Æ È É/. Æ10¤�¡$���*¥: `���:!l `¯Ò�� `#��{³$�Q��  �"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¥"6�2�¡`¬�¡`�"£�¡Q `�{#����׳$�$���$«�£U����­©� �«�¡`��� �:�{���"�*¡`¤*��¢B£ � �`©���¤*¯{¡`¤*��¢ ¹ 1�»��:©�¥ !|©� �«��$¥¶��¤` �´Ñ£"§5����#���¤ £¤*�:³$¢��*²����:!l `£2�� `#��{³$� �� ¶�"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¥"6�Á�!|©�£J�"�¶¬p�{§f¡43�£"§5����#°�� *­#��{³$��¤*�*¡$ `!|¥Ò�� ¶�"��¡$ {¡`����¡`�� `��'? `�Ò���{!$!$¢��` `��£"¤*�*¡$ `!|¥Ñ£"§5����'?¤ #��� `�:����� `��¡{�{ �¡$ `!|¥����{!$!$¢��� `��¡$ `¯53�.�ÉW�:!l `�{¤*¬p£�´�!|¥��"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤�6�6����:³$�"�$«�£"¢7"Ë98 :<; Æ�=%0 �*²�£����*¡`¢���� ¤*��£"§5����¬ £"§5����#���¤�À$ `�:¢J!|©� �«��*¡:6Á�!|©�£43�È2É`'� `�¦£"§5����#Ä���`©�²\¡`� �"��¡l�:©��*²�£� `¯��"��¡$ {¡`����¡`�� l ���*���� l

Page 89: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ������������ �� � ��������� � � �����¡`³$�{¤*£�!$£"¢��¶�� &¡`§5�L#�¤*�$©�£�¸�£"#��{ª�£"£�6 �"�:§Å����'� �«�£� `��¤*�$¥"'�«� `� ) ���{¤*����­¢.¡$�����&���{!$��¡$��¡l��¡l©�¡`�"���"�L¹ )�'�3|»r'����`©� �«�£"¢

7"Ë98 Ë#; Æ�= ÈË� �Æ )�� ) Ì Ë� � ,Æ�; .ÔÕ = � )�È Æ � . ,Æ Õ Î

Á�!|©�£&²\¡�£"¢.¡`¿� `!|¥ 3%.ÒÉH�"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤�'� `�

7"Ë98 :<; Æ�= È�� �"!#%$& ' Ë� �)(Æ )+* ; ) =�Ì ,Æ 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�= * ; ) =�Ì 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�= * ; ) =/. � )10 23 Ê

§Å��¡4* ; ) =65 ¤�¡$���*¥: `���:!l `¯��"��£"��¥: `¯��"��¡$ {¡`����¡`�� `��!0#�¤*�$©�£�¸�£"#��{ª�£�¡`�)�' * ; ) = È2É+.7* ; ) = 6�"�{#�£"¢ �������{³$�:¢S'�¡`!|©�£u£"¢.¡`¿� `!|¥ 3�.×É �"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤�'� `�×£"§5����#

�"��£"¢.¡$ H {¡`#� "Ó\¡`§5�\�"��¡$ {¡`����¡`�� `��!�#�¤*�$©�£�¸�£"#��{ª�£�¡`� )�'` `�:§Å����£Ä `�`©�¯`#�� `�:§Å����'�#��:§Å��� )�8 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�= 6� ©�¡l����¤*�` {¡l©�¯`����'

7"Ë98 :<; Æ�= È:9�;=< >@?�;BA CEDF � 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�= � ) Ì ËF9�;=< >@?�;GA CED ; Æ ) Ì ,Æ�7"Ë98 :-,"Ë; Æ�= = � )È C Í ; É+. 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�= = Í Ì 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�=oÎ

®H�`©� �«�£"¢µ¤*�����$²\¡`�"£�¡

7"Ë98 :<; Æ�= È Æ � ; É+. 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�= = Í Ì 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�=oÎ ½r3e¾

� ©�¡l�* �¡$ ¦�� `¢.¡$ `£� `¯:'�«� `�7H I � :BJLK 7"Ë98 :<; Æ�= ÈÉ�£ÑÀ$ `�� ¦�"��¡l��¡l©Q��¡Ä³$��­¤*£�!$£� ���  Æ £ Õ�6Á�!|©�£L�"��#��{#��:¢W­Ã�"£��{ *��¯p¬p�{§f¡ 7"Ë98 :-,"Ë; Æ�=1M Ù:'� `�

7"Ë98 :<; Æ�= È Æ � Ì ,Æ�7"Ë98 :-,"Ë; Æ�=oÎ2��{!$!$¢��� `��£"¢ !|©� �«��{�u��¤` �´�"��¡l���"��£�¥: `£"��60¼H�{³$��¤�¡`¢ �"�$«��$©�¯`�"£"#��

��¡$��¤*�:§5�µ�"��¡l���"��£�¥: `£�¥ONH§5����#��:¢ 3l'.�Q¤{ `�:���:§5� 0 NH§5����#��:¢E(�6.�?¡$����­¥: `���:!l `¯Ñ `�:§5��'W«� `�2�"��¡$ {¡`����¡`��  !$�:§Å©��{!$£� `!|¥U�"��£"��¥: `¯Ò�"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¡���*���� `�` `¯¦�"�¦�"��¡l���"��£�¥: `£"£ÑÂÅ'"���{¤*�"� Æ�Ç '�§Å��¡�ÂSÈ;É`Ê

�' Æ�Ë�Ì�Æ�Í È Æ Ð É`'

,Æ È2É+. Æ 6

Page 90: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ������������� ���

®�¡$��¤*���"�$«��$©�¯`��� ���{!$!$¢��� `��£"¢u!$£� l "�{ª�£"¿�'�#��:§Å���L�*��£"� £"§5����# �²\¡�"�{��¥�©¶�"�����*���� l Ò!$��¡`ª�£"�$©�£�!l `��'�£ ���� "§5�:¢� Ñ�:!l `�$©��:!$¯����{!$!$¢��� `��¡$ `¯ 3�"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤�6��QÀ$ `�:¢J!|©� �«��*¡\¡`§5�Ĥ*��£"§5����¬ ���{¤�¡`� 7"Ë98 :<; Æ�= 6��¡`��¡$��¯p¢��*²����¦��¡$��¡`�� `£ #&!|©� �«��{¿���¤` �´�£"§5����#���¤¦£ 3��"��¡$ {¡`����¡`��­

 `��¤�6�6����:³$�"�$«�£"¢°�*²�£����*¡`¢����L¤*��£"§5����¬�Â~­Ã§5�\£"§5����#�� 7 ÇÍ 8 : '�Â?È2É`Ê�6�Á�!{­

©�£ 3UÈ2É`'| `��������£"§5����#���³$�{£"�� {¡$��¡`!$��¤*�{�"�µ�"��£"��¥: `¯V�"��¡$ {¡`����¡`�� `��'$ `�{##��{#\���"£¦��¡�´��� l¥: H {¡$����¡$ `¯� ����Ô `#�£&£"³{­Ã³$����¡l´�¤*�` `#�£�!$��¡`ª�£"�$©�£�!l `��¤��"�!$¤*��¡`¢×�"��¡l���"��£�¥: `£"£�6 � ©�¡l����¤*�` {¡l©�¯`����'��*²�£����*¡`¢��V¡Ä¤*��£"§5����¬p£Ò#��$²�­���:§5�&£"³p£"§5����#���¤&���{¤*�"� 7 ÇÍ 8 Ë È 7"Ë98 Ë#; Æ�Ç = 6��"�{#�#��{# 7 ÇÍ 8 Ë ; Æ�Ç = 5 ¤*�:³$���{!l `��­¿�Ó�£�¡¶¸V "�"#�ª�£"£�'� `�Q«�¡`¢u¤*��¬�¡L¤�¡$���*¥: `���:!l `¯¶ `�:§5��'�«� `�Ñ�"��¡$ {¡`����¡`�� !$�:§Å©��{!$£� `!|¥¦���*���� `�` `¯��"���"��¡l���"��£�¥: `£"£¶ÂÅ': {¡`¢U���`©�¯`¬�¡�¤*��£"§5����¬EÂ~­Ã§5�£"§5����#���62��{!$!$¢��� `��£"¢Ò!|©� �«��{��'`#��:§Å����£"¢.¡`¿� `!|¥�30�"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤�6�¼H�H��¡$��¤*�:¢

¬p�{§f¡p£"§5�� ¶¢��*²����¦���"£�!$�` `¯���£"¢��` `��£"ª"¡`��� Í: ; ) = 6� Í: ; ) = È �

® 6® � ¨ ËËâË Ê~¨ Í ËâË�� � ¨ ËËrÍ Ê~¨ Í ËrÍ��6 � ¨ ËÍoË Ê~¨ ÍÍoË�� � ¨ ËÍâÍ Ê~¨ ÍÍâÍ�� Ê

§Å��¡¨ ËËâË È Æ�Ë ) ̦Æ�Í 7"Ë98 :-,"Ë?Ì ,Æ�7 ËÍ 8 :-,"Ë��¨ Í ËâË È Æ�Í ) ̦Æ�Ë97"Ë98 :-,"Ë?Ì ,Æ�7 ÍÍ 8 :-,"Ë �¨ ËËrÍ È Æ�Ë ) Ì ,Æ�Ë97 ËÍ 8 :-,"Ë �¨ Í ËrÍ È Æ�Ë97"Ë98 :-,"Ë?Ì ,Æ�Ë97 ÍÍ 8 :-,"Ë��¨ ËÍoË È Æ�Í 7"Ë98 :-,"Ë?Ì ,Æ�Í 7 ËÍ 8 :-,"Ë �¨ ÍÍoË È Æ�Í ) Ì ,Æ�Í 7 ÍÍ 8 :-,"Ë �¨ ËÍâÍ È 7 ËÍ 8 :-,"Ë��¨ ÍÍâÍ È 7 ÍÍ 8 :-,"Ë Î

�  `���` {¡`§5£�¥�®H��£"��¥: `¯����:¢�£"�"£"�� �¡$ �!l `���` {¡`§5£"¿ 6� `#�©����"£� `¯��:©�¥ NH§e­����#��&3� `�:§Å����£Ä `�`©�¯`#��p `�:§Å����'{#��:§Å��� ) 8 7 ËÍ 8 :-,"Ë '`£¦!l `���` {¡`§5£�¥�®H��£"��¥: `¯���:¢�£"�"£"�� �¡$ Ò!l `���` {¡`§5£"¿ 6� `#�©����"£� `¯¶�:©�¥ NH§5����#��Q(Q `�:§Å���Q£U `�`©�¯`#�� `�:§Å����'W#��:§Å��� ) 8 7 ÍÍ 8 :-,"Ë 6�¼�¡Ñ�:§5���{�"£�«�£"¤*�$¥J����Ó����:!l `£�'�¢��*²����U!|«�£�­ `�` `¯:'�«� `� Æ�Ë 8 Æ�Í '? `�:§Å��� 7 ËÍ 8 :-,"Ë 8 7 ÍÍ 8 :-,"Ë 6�6� `!$¿�����'�¡`!|©�£ ) 8 7 ËÍ 8 :-,"Ë ' `���:©�¥¶������£�´ £"§5����#���¤L!l `���` {¡`§5£�¥ ®H��£"��¥: `¯\���:¢�£"�"£"�� �¡$ &!l `���` {¡`§5£"¿6� `#�©����"£� `¯:6?®H��£ ) Ö°Ø 7 ÍÍ 8 :-,"Ë Ê 7 ËÍ 8 :-,"Ë Ú.!l `���` {¡`§5£�¥Q®H��£"��¥: `¯\���:¢�£"�"£"�� �­¡$  !l `���` {¡`§5£"¿ 6� `#�©����"£� `¯°�:©�¥ NH§5����#�� (µ£ �  `���` {¡`§5£�¥ 6� `#�©����"£� `¯���:¢�£"�"£"�� �¡$ U!l `���` {¡`§5£"¿ ®H��£"��¥: `¯°�:©�¥ NH§5����#��;3l6V®H��£ ) M 7 ÍÍ 8 :-,"Ë!l `���` {¡`§5£�¥ 6� `#�©����"£� `¯Ä���:¢�£"�"£"�� �¡$ &!l `���` {¡`§5£"¿ ®H��£"��¥: `¯\�:©�¥¶������£�´

Page 91: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ������������ �� � ��������� � � ���£"§5����#���¤�6��"�{#�£"¢µ�������{³$�:¢S'����� `£"¢��$©�¯`�����¶!l `���` {¡`§5£�¡`� NH§5����#��¶3Ô¥�¤`©�¥�­¡$ `!|¥��"��£"��¥: `£�¡��"��¡$ {¡`����¡`�� `�� `�:§Å����£¦ `�`©�¯`#��\ `�:§Å����'�#��:§Å���/) 8 7 ËÍ 8 :-,"Ë '£J���� `£"¢��$©�¯`�����U!l `���` {¡`§5£�¡`� NH§5����#�� (�¥�¤`©�¥�¡$ `!|¥°�"��£"��¥: `£�¡L�"��¡$ {¡`��­��¡`�� `�µ `�:§Å���J£; `�`©�¯`#��× `�:§Å����'V#��:§Å��� ) 8 7 ÍÍ 8 :-,"Ë 6�,�«�£� `��¤*�$¥"'S«� `� )���{¤*���:¢.¡$�����&���{!$�"��¡l��¡l©�¡`�"���"�¶¹ )�'º3|»r'��"�$´��*��£"¢

7 ËÍ 8 : È 9 �� < >@?�;F � 7 ËÍ 8 :-,"Ë � ) Ì 9 ;� < >@?�;F9 �� < >@?�; ; Æ�Í 7"Ë98 :-,"Ë�Ì ,Æ�Í 7 ËÍ 8 :-,"Ë = � )Ì

ËF9 ;� < >@?�; ; Æ�Ë ) ÌÄÆ�Í 7"Ë98 :-,"Ë?Ì ,Æ�7 ËÍ 8 :-,"Ë = � ) �7 ÍÍ 8 : È 9 �� < >@?�;F � 7 ÍÍ 8 :-,"Ë � ) Ì 9 ;� < >@?�;F9 �� < >@?�; ; Æ�Í ) Ì ,Æ�Í 7 ÍÍ 8 :-,"Ë = � )

ÌËF9 ;� < >@?�; ; Æ�Í ) ÌÄÆ�Ë97"Ë98 :-,"Ë�Ì ,Æ�7 ÍÍ 8 :-,"Ë = � ) Î���S«�£�!|©�¥�¥Ä£"�� {¡`§5���$©��H'����`©� �«�£"¢µ¤*�����$²\¡`�"£�¥��:©�¥ 7 ËÍ 8 : £ 7 ÍÍ 8 :

7 ËÍ 8 : È Æ�Ë� ; É+. 7 ËÍ 8 :-,"Ë = Í Ì 7 ËÍ 8 :-,"Ë ÌÄÆ�Í ; É+. 7 ÍÍ 8 :-,"Ë = ; 7"Ë98 :-,"Ë . 7 ËÍ 8 :-,"Ë = �7 ÍÍ 8 : È Æ�Í� ; É+. 7 ÍÍ 8 :-,"Ë = Í Ì 7 ÍÍ 8 :-,"Ë ÌÄÆ�Ë#; É+. 7 ËÍ 8 :-,"Ë = ; 7"Ë98 :-,"Ë . 7 ÍÍ 8 :-,"Ë =oÎ,�«�£� `��¤*�$¥"'`«� `��H I � :BJLK 7"Ë98 : ÈUÉ`'*���`©� �«�£"¢�H I � :BJLK 7 ÇÍ 8 : ÈUÉ`'{Â�È2É`Ê � '

#��� `�:�����  `�{#�²\¡���¡�³$�{¤*£�!$£� p�� \Õ £ Æ�Ç 6

8�6 � ]�����[��¶¨ �"&('$a?_�a?�2��{!$!| �²����$¥L�{�"�$©��:§5£�«�����'����{�"�"���Ñ!$ª"¡`�"�{��£"�°¢��*²����¶���{!$!$¢��� `��¡$ `¯

£2�:©�¥ ¨ �"��¡l���"��£�¥: `£"��6�®0 "!l `¯Ò£"¢.¡{¡$ `!|¥J¨ �"��¡l���"��£�¥: `£"�B£ 3Q�"��¡*­ {¡`����¡`�� `��¤�6��?¡$���*¥: `���:!l `¯� `�:§5��':«� `�¦�"��¡$ {¡`����¡`�� \!$�:§Å©��{!$£� `!|¥¦�"��£"��¥: `¯�"��¡l�:©��*²\¡`�"£�¡Ä���*���� `�` `¯��"�Ä�"��¡l���"��£�¥: `£"£QÂÅ'����{¤*�"� Æ�Ç '�§Å��¡\ÂWÈ É`Ê~¨ £� ÏÇ ��Ë Æ�Ç È ÆÄÐ É`6 6����:³$�"�$«�£"¢ �*²�£����*¡`¢����¦¤*��£"§5����¬ Â~­Ã§5��£"§5����#�� 7 ÇÏ 8 : 'Â�È É`Ê~¨�6�Á�!|©�£ 3�È É`'� `��¤*!`¡\£"§5����#�£Ò³$�{£"�� {¡$��¡`!$��¤*�{�"��"��£"��¥: `¯��"��¡*­ {¡`����¡`�� `��'� `�{#Ò#��{#Q���"£µ��¡Ä´��� l¥: � {¡$����¡$ `¯¦ ����Ô `#�£�6 � ©�¡l����¤*�` {¡l©�¯`����'³|��¡`!$¯¶£"¢.¡{¡$ `!|¥µ¡l��£"�"!l `¤�¡`�"����¡Q���{¤*����¤�¡`!$£�¡Ò���°¼HÀ`¬� 2£U�*²�£����*¡`¢��V¡¤*��£"§5����¬p£�#��$²����:§5��£"³�£"§5����#���¤����{¤*�"� 7 ÇÏ 8 Ë È 7"Ë98 Ë; Æ�Ç = 6��"�{#�#��{# 7 ÇÏ 8 Ë5 ¤*�:³$���{!l `�{¿�Ó�£�¡°¸V "�"#�ª�£"£�'W `�µ«�¡`¢ ¤*��¬�¡°¤�¡$���*¥: `���:!l `¯° `�:§5��'.«� `�

Page 92: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ������������� ���

�"��¡$ {¡`����¡`��  !$�:§Å©��{!$£� `!|¥J���*���� `�` `¯Ñ�"�°�"��¡l���"��£�¥: `£"£BÂÅ'W {¡`¢ ���`©�¯`¬�¡¤*��£"§5����¬EÂ~­Ã§5��£"§5����#���6®�¡$��¡`����¡`¢;#°!|©� �«��{¿*3��"��¡$ {¡`����¡`�� `��¤�6W¼�¡¶�:§5���{�"£�«�£"¤*�$¥Ñ����Ó�����­

!l `£�'�¢��*²����¦!|«�£� `�` `¯:'�«� `�Æ�Ë 8 Æ�Í 8 Î Î Î 8 Æ�Ï ': `�:§Å��� 7 ËÏ 8 :-,"Ë 8 7 ÍÏ 8 :-,"Ë 8 Î Î Î 8 7 ÏÏ 8 :-,"Ë 6

����£"§5����¬�Â~­Ã§5��£"§5����#��\¤*�S«�£�!|©�¥�¡$ `!|¥&���¦¸��:��¢� `©�¡

7 ÇÏ 8 : È C��Í ; É�. 7 ÇÏ 8 :-,"Ë = Í Ì�7 ÇÏ 8 :-,"Ë Ì Ï�� ��Ë98 ����"Ç Ø Æ � ; É�. 7

� Ï 8 :-,"Ë = ; 7 ÇÏ�,"Ë98 :-,"Ë . 7 ÇÏ 8 :-,"Ë = ÚÛÊÂ?È É`Ê~¨&Ê

½ (:¾§Å��¡

7 ÇÏ 8 : È 7 ÇÏ 8 : ; Æ�Ë Ê Î Î Î Ê Æ�Ï = Ê

7 ÇÏ 8 :-,"Ë È 7 ÇÏ 8 :-,"Ë ; Æ�Ë Ê Î Î Î Ê Æ�Ï = ' 7 � Ï 8 :-,"Ë È 7 � Ï 8 :-,"Ë ; Æ�Ë Ê Î Î Î Ê Æ�Ï = Ê7 ÇÏ�,"Ë98 :-,"Ë È 7 ÇÏ�,"Ë98 :-,"Ë�� Æ�Ë`Ì CÏ�,"Ë Ê Î Î Î Ê Æ � ,"Ë`Ì CÏ�,"Ë Ê Æ ��� Ë{Ì CÏ�,"Ë Ê Î Î Î Ê Æ�Ï�Ì CÏ�,"Ë� Î�"�{#�£"¢×�������{³$�:¢S'"��¡`¬�¡`�"£�¡&³$�$���$«�£Q�:©�¥L¨ £"§5����#���¤¶�"�$´��*��£� `!|¥¶���

¸��:��¢� `©��{¢ ½r3e¾r'�½ (:¾r62��{!$!$¢��� `��£"¢ «��{!l `�"���Ä!|©� �«��{�\���{�"�����ij$�$���$«�£�6`®0 "!l `¯V�:©�¥p�"��¡$ {¡`��­

��¡`�� `��¤&¤*!`¡��"��¡l���"��£�¥: `£�¥����{¤*���:ª"¡`�"�"�H'� `�L¡`!l `¯ Æ�Ë È Æ�Í È Î Î Î È Æ�Ï ÈÈ CÏ 6 �"�:§Å���p¤*��£"§5����¬ #��$²����:§5�¦£"§5����#���¤*�S«�£�!|©�¥�¡$ `!|¥&���&¸��:��¢� `©�¡

7�Ï 8 : È 9�� < >@?�;F � 7�Ï 8 :-,"Ë � ) Ì ËF9�� < >@?�; ( CÏ ) Ì A Ï�,"Ë D CÏ 7�Ï�,"Ë98 :-,"Ë$Ì ; É . Æ�= 7�Ï 8 :-,"Ë . � )È CÍâÏ ; É+. 7�Ï 8 :-,"Ë = Í Ì 7�Ï 8 :-,"Ë�Ì A Ï�,"Ë D CÏ ; É+. 7�Ï 8 :-,"Ë = ; 7�Ï�,"Ë98 :-,"Ë . 7�Ï 8 :-,"Ë = Ê

½ 8�¾§Å��¡

7�Ï 8 : È 7�Ï 8 :<; CÏ = Ê7�Ï 8 :-,"Ë È 7�Ï 8 :-,"Ë; CÏ = Ê7�Ï�,"Ë98 :-,"Ë È 7�Ï�,"Ë98 :-,"Ë; CÏ�,"Ë =oÎ

Page 93: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ������������ �� � ��������� � � ����"�:§Å��� H I � :BJLK 7�Ï 8 : ÈUÉH£7H I � Ï JLK 7�Ï 8 : È°Ù:6Á�!|©�£L�"��#��{#��:¢W­Ã�"£��{ *��¯p¬p�{§f¡ 7�Ï 8 :-,"Ë M Ù:': `�

7�Ï 8 : ÈËF � ( CÏ ) Ì A Ï�,"Ë D CÏ 7�Ï�,"Ë98 :-,"Ë?Ì ; É+. Æ�= 7�Ï 8 :-,"Ë@. � )

È CÍâÏ Ì A Ï�,"Ë D CÏ 7�Ï�,"Ë98 :-,"Ë?Ì ; É+. Æ�= 7�Ï 8 :-,"ËeÎ ½ �:¾

®H��£¦Ù Ð Õ Ð CÍ A Ï�, CED ¤*!`¡�¸V "�"#�ª�£"£&¤*��£"§5����¬�¡`�¦��¡`�� `��£"ª��` {¡l©�¯`�"�H'£¶!|©�¡l����¤*�` {¡l©�¯`���&¤*�S«�£�!|©�¥�¿� `!|¥¦ `�`©�¯`#��&���¦¸��:��¢� `©�¡�½ 8�¾r6�& `�*��©�£"ª"¡¦3Ô�"��£"¤*�*�:¥: `!|¥p«�£�!|©�¡`�"�"�V¡���¡`³| `©�¯$ `�` `�µ�:©�¥\���{³|©�£�«��"�S´

¨�£ Æ �"��£�Õ2È°Ù0£ÄÕUÈ Ù Î � 6l¼H����£�!�6�3W����#��{³$�{�"� ¸V "�"#�ª�£"£�¤*��£"§5����¬p�7�� 8 Ë��:©�¥¦���{³|©�£�«��"�S´&³$�"�$«�¡`�"£"�¶Õ�6

�"[��l]"����[U3l6 � �"�$«�¡`�"£�¡\¤*��£"§5����¬p� 7�Ï 8 Ë��:©�¥�ÕBÈJÙ\£

ÕUÈ Ù Î �

¨ Æ )�6 (*1 )�6 1 3 )�6 (*1 )�6 1 33 )�6 1�%*% )�6 % ��3 )�6 7{+�3 )�6 1�35) )�6 %{(*( )�6 7{+�3( )�6 �*+�3 )�6 +*1*4 )�6 7"3 � )�6 8{1*4 )�6 +�8{) )�6 7"3518 )�6 8{+�7 )�6 1�7{) )�6 %{+�% )�6 (*(*) )�6 1�8*% )�6 %{+�7� )�6 (*4*+ )�6 1*)�7 )�6 %{(*) )�6 )*4�7 )�6 ���*+ )�6 %"3541 )�6 (���� )�6 ����8 )�6 +�%{( ­Ã)�6 )*)*1 )�6 8{1�% )�6 +�%{)+ )�6 (*)*1 )�6 8*7*% )�6 +*(*1 ­Ã)�6 )�7 � )�6 (�%{( )�6 +�354% )�6º3f%*% )�6 8 �*) )�6 1�%{4 ­Ã)�6º3 ��8 )�6º354*( )�6 1*+*17 )�6º351*1 )�6 8{)�3 )�6 1�8 � ­Ã)�6º3f7*% )�6º35(*) )�6 1�35)4 )�6º3f8*7 )�6 (�%{) )�6 �*4*( ­Ã)�6 (*(*( )�6 )*1*+ )�6 �*1��35) )�6º35(�� )�6 (��*1 )�6 �*1�� ­Ã)�6 (*1*) ) )�6 8{4�7

Page 94: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ������������� ���

u ,5,10 p = 1

u ,5,10 p = 0.5

u ,5,10 p = 0.25

C

- 0.5

0.5- 1

0

1

10

0.5

2�£�!�6�3¼H� 2�£�!�6º3�¤*£�������'"«� `� �"��£ Æ È;Ép¤*��£"§5����¬p£°£"§5����#���¤ 7�� 8 Ë

����{«� `£

��¡p³$�{¤*£�!|¥: p�� �³$�"�$«�¡`�"£�¥&Õ�6��������� �����

� Þ����������������� �"! #$�"��%&��' (&)+*,! -/.�01.32 465�780�2 9;:=<>.�0�2 ? .=@ 017A<CB�D ? 01.FE�5&9;DA2 Ü6G 01? Ü 5+H�B�<I5+J&JK B�D G 5�<CB�D ? Ü B�L K 5�D G 0�M=9N01@�OQP�5�7AB�D ? 01.SR,5&9�5�B�7 Ü6G æeçÅèoè&T|æ&UN01L Þ éÅè|æ1P=P{Þ�T1V&W12 T&X � ÞçeÞNY1��ZI�����Q�"! K ? .=? <CB�L[5�\�P�5 Ü D]5&M^7AB�.=_�9"@ 017`D G 5a9�5 Ü 785�D B�7 bcP=780&E=L 5�<I9`dN? D G :=. Ü 5�7AD B�? .9�5�L 5 Ü D ? 01./J&Jfe$B�<I5hg G 5&017 b`æ`OQP=D ? <CB�L�i�D]01P=P=? .�H`æ`j=780&E=B�E=? L ? D b/B�.�Mki�D B�D ? 9;D ? Ü 9ræ`5&M`Þl 7A:�9�9Qm{Þ1g�Þ�B�.�MSn B�<po$Þ�o�5eæ�q .�9;D ? D :=D]5r01@ K B�D G 5�<CB�D ? Ü B�L,i�D B�D ? 9;D ? Ü 9ræeçÅèoèoè|æ�P=P{Þ � ç&W12 � V&seÞ

VeÞt�uwv8����x6(6yzY1!�i�5�L 5 Ü D ? 01.cE�b Ü 01<C<C? D D]5&5{J&Ja-N.=.=B�L 9|01@rD G 5Fq .=D]5�7A.=B�D ? 01.=B�Lri�0 Ü ? 5�D b}01@~ b�.=B�<C? Ü e$B�<I5&9ræ�UN01L Þ Weæ�-QM&��B�. Ü 5&9I? . ~ b�.=B�<C? Ü e$B�<I5&9�-NP=P=L ? Ü B�D ? 01.{D]0|� Ü 01.�01<C? Ü 9ræm=? .=B�. Ü 5eæ�OQP=D ? <C? 4�B�D ? 01.SB�.�M�i�D]0 Ü6G B&9;D ? Ü n 01.=D 7801L æeçÅèoè&X|æ1P=P{Þ|çÅè1V12 çÅè1seÞ

T|Þ�����������������,�"!�OQP=D ? <CB�L 9;D]01P=P=? .�H+H�B�<I5&9Nd G 5�785�P=L B6b=5�789 G B���5IdQ5�? H G D]5&M�P=7A? ��? L 5&H=5�J&J-N.=.=B�L 9�01@�D G 5Qq .=D]5�7A.=B�D ? 01.=B�L=i�0 Ü ? 5�D bC01@ ~ b�.=B�<C? Ü e$B�<I5&9ræ�UN01L Þ Weæ�-QM&��B�. Ü 5&9? . ~ b�.=B�<C? Üe$B�<I5&9�-NP=P=L ? Ü B�D ? 01.�D]0|� Ü 01.�01<C? Ü 9ræm=? .=B�. Ü 5eæOQP=D ? <C? 4�B�D ? 01.{B�.�M�i�D]0 Ü6G B&9;D ? Ü n 01.=D 7801L æçÅèoè&X|æ�P=P{Þeç&��X�2 ç&s�T|Þ

X|Þ$����vAy���u�)��$! #��(6' (&)w��u�)��$!�OQ.+B�D dQ0"M=5�P=B�7AD <I5�.=D$<C:=L D ? 9;D B&H=5SH�B�<I5`J&J�q .=D]5�7A.=B�D ? 01.=B�L� 017A_�9 G 01P�OQP=D ? <CB�L�i�D]01P=P=? .�H�B�.�M�i�D]0 Ü6G B&9;D ? Ü n 01.=D 7801L æ�B�:�H�:�9;D°çoç12 çoéeæ�çÅèoè&X|æj�5�D 78014�B���0�M=9;_{æ�P=P{Þ ç�T�2 V&WeÞ

Page 95: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍÂûïóñê 7, 2006

ÓÄÊ 512.544.43

Î ÂÎÇÍÈÊÍÎÂÅÍÈÈ ÃÈÃÀÍÒÑÊÎÃÎ ϕ�ÏÐÈÌÈÒÈÂÍÎÃÎÈÄÅÀËÀ ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÀÂÒÎÌÎÐÔÈÇÌÀ ϕ

ÊÎÍÅ×ÍÎÉ ÁÓËÅÂÎÉ ÐÅØÅÒÊÈ

Å. Â. ÕÂÎÐÎÑÒßÍÑÊÀß

 ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîæåñòâî An,N âñåõ àâòî-ìîðôèçìîâ ϕ áóëåâîé ðåøåòêè äëèíû n òàêèõ, ÷òî ÷èñëîâñåõ ϕ�ïðèìèòèâíûõ èäåàëîâ ðàâíî N , íà êîòîðîì çàäàíîðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé. Äîêàçàíî, ÷òî ãè-ãàíòñêèé ϕ�ïðèìèòèâíûé èäåàë ñëó÷àéíîãî àâòîìîðôèçìàϕ ∈ An,N âîçíèêàåò òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà n, N → ∞ òàê,÷òî N/ ln n→ 0.

Ïóñòü Ln � áóëåâà ðåøåòêà äëèíû n [1]. Îáîçíà÷èì ÷åðåçAut (Ln) ìíîæåñòâî âñåõ àâòîìîðôèçìîâ áóëåâîé ðåøåòêè Ln.Èäåàë I ðåøåòêè Ln áóäåì íàçûâàòü ϕ�ïðèìèòèâíûì, åñëè ϕ(I) == I è èç ϕ(x) = x, x ∈ I, ñëåäóåò, ÷òî ëèáî x ðàâíî íàèìåíüøåìóýëåìåíòó ðåøåòêè Ln, ëèáî x ðàâíî íàèáîëüøåìó ýëåìåíòó èäåà-ëà I. Îáîçíà÷èì ÷åðåç An,N ìíîæåñòâî âñåõ àâòîìîðôèçìîâ ϕ áó-ëåâîé ðåøåòêè Ln òàêèõ, ÷òî ÷èñëî âñåõ ϕ�ïðèìèòèâíûõ èäåàëîâðàâíî N . Çàäàäèì íà Aut (Ln) è An,N ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåâåðîÿòíîñòåé.

 ðàáîòå [1] ïîëó÷åíû ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ÷èñëà ϕ�ïðèìèòèâíûõ èäåàëîâ ñëó÷àéíîãî àâòîìîðôèçìà ϕ ∈ Aut (Ln) ïðèn→∞ è äëÿ ÷èñëà ϕ�ïðèìèòèâíûõ èäåàëîâ çàäàííîé äëèíû ñëó-÷àéíîãî àâòîìîðôèçìà ϕ ∈ An,N ïðè n, N →∞. Ïðåäëîæåíèå 1 [1]ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè àâòîìîðôèçìà

c© Å. Â. Õâîðîñòÿíñêàÿ, 2006

Page 96: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

96 Å. Â. Õâîðîñòÿíñêàÿîïðåäåëÿþò äëèíó ðåøåòêè FixLn(') íåïîäâèæíûõ ýëåìåíòîâ àâ-òîìîð�èçìà ', ÷èñëî '�ïðèìèòèâíûõ êîíãðóýíöèé ðåøåòêè Ln,à òàêæå ÷èñëî '�ïðèìèòèâíûõ êîíãðóýíöèé � ðåøåòêè Ln ñ çà-äàííîé äëèíîé �àêòîð - ðåøåòêè Ln=�.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðè äåéñòâèè ñëó÷àéíîãî àâòîìîð�èçìà' 2 An;N âîçíèêàåò ãèãàíòñêèé '�ïðèìèòèâíûé èäåàë, åñëè ïðèn!1 äëèíà ìàêñèìàëüíîãî '�ïðèìèòèâíîãî èäåàëà èìååò ïîðÿ-äîê n ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, à ñëåäóþùèé ïî âåëè÷èíå'�ïðèìèòèâíûé èäåàë èìååò áåñêîíå÷íî ìàëóþ â ñðàâíåíèè ñ näëèíó ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1.Òåîðåìà 1. Ïðè äåéñòâèè ñëó÷àéíîãî àâòîìîð�èçìà ' 2 An;N âîç-íèêàåò ãèãàíòñêèé '�ïðèìèòèâíûé èäåàë òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäàn;N !1 òàê, ÷òî N= lnn! 0.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.  [1℄ äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóþò âçàèìíî îäíî-çíà÷íûå ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ìíîæåñòâîì Aut (Ln) è ìíîæåñòâîìâñåõ ïîäñòàíîâîê n�ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà An âñåõ àòîìîâ ðå-øåòêè Ln, à òàêæå ìåæäó '�ïðèìèòèâíûìè èäåàëàìè ðåøåòêèLn è öèêëàìè ïîäñòàíîâêè ' íà ìíîæåñòâå An.  [2℄ óñòàíîâëå-íî, ÷òî â ñëó÷àéíîé ïîäñòàíîâêå ñòåïåíè n, èìåþùåé N öèêëîâ,âîçíèêàåò ãèãàíòñêèé öèêë (ò.å. äëèíà ìàêñèìàëüíîãî öèêëà èìå-åò ïîðÿäîê n ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, à ñëåäóþùèé ïîâåëè÷èíå öèêë èìååò áåñêîíå÷íî ìàëóþ â ñðàâíåíèè ñ n äëèíó ñâåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1 òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà n;N ! 1òàê, ÷òî N= lnn! 0. Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.Ëèòåðàòóðà1. Òàðàðèí Â. Ì., ×åðåïàíîâà Å. Â. Î äåéñòâèè ñëó÷àéíîãî àâòî-ìîð�èçìà êîíå÷íîé áóëåâîé ðåøåòêè // Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ�ÀÍ, 2005, ñ.139�147.2. Êàçèìèðîâ Í. È. Âîçíèêíîâåíèå ãèãàíòñêîé êîìïîíåíòû â ñëó-÷àéíîé ïîäñòàíîâêå ñ èçâåñòíûì ÷èñëîì öèêëîâ // Äèñêðåòíàÿìàòåìàòèêà, 2003, 15, �3, ñ.128�144.

Page 97: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ Âûïóñê 7, 2006ÓÄÊ 517.9ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÑÅÒÎ×ÍÛÕ ÀÏÏ�ÎÊÑÈÌÀÖÈÉ �ÅØÅÍÈßÊ�ÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È Ñ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÌ ��ÀÍÈ×ÍÛÌÈÓÑËÎÂÈÅÌ È ÏÎÄÂÈÆÍÎÉ ��ÀÍÈÖÅÉÈ. À. ×Å�ÍΠñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ íåëèíåéíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àòèïà Ñòå�àíà, ìîäåëèðóþùàÿ ãèäðèäîîáðàçîâàíèå ïðèïîñòîÿííûõ óñëîâèÿõ. Ïðåäëîæåí ÷èñëåííûé ìåòîä,ïîçâîëÿþùèé ñòðîèòü ñåòî÷íûå àïïðîêñèìàöèè ïîðÿä-êà ph, h � øàã ñåòêè. Äîêàçàíà ñõîäèìîñòü àïïðîêñè-ìàöèé ê îáîáùåííîìó íåïðåðûâíîìó ðåøåíèþ óðàâíå-íèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåìó êðàåâûì óñëîâèÿì. Ïîäâèæíàÿãðàíèöà ïîëó÷àåòñÿ ãëàäêîé. Òåì ñàìûì äîêàçàíî ñóùå-ñòâîâàíèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è.1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ�èäðèäû ìåòàëëîâ âåñüìà ïåðñïåêòèâíû äëÿ çàäà÷ õðàíåíèÿè òðàíñïîðòèðîâêè âîäîðîäà. Êèíåòèêà îáðàçîâàíèÿ è ðàçëîæå-íèÿ ãèäðèäîâ èíòåíñèâíî èçó÷àåòñÿ [1, 2℄. Ñîîòâåòñòâóþùèå ìî-äåëè èìåþò �îðìó êðàåâûõ çàäà÷ ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé ðàçäåëà�àç è íåëèíåéíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (�èçèêî-õèìè÷åñêèåïðîöåññû íà ïîâåðõíîñòÿõ) [3℄. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ îòêðûòû âîïðîñûñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ è íàëè÷èÿ ñõîäÿùèõ-ñÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. ýòîé ðàáîòå ìû ðàññìîòðèì îäíó ìîäåëü ãèäðèäîîáðàçîâà-íèÿ ïðè ïîñòîÿííûõ óñëîâèÿõ; äëÿ íåå ïîñòðîèì ñåòî÷íûé ìåòîäðåøåíèÿ: àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷èòü ñåòî÷íóþ àïïðîêñè-ìàöèþ íà ïðîèçâîëüíî ìåëêîé ñåòêå; äîêàæåì êîìïàêòíîñòü ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòè àïïðîêñèìàöèé â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ È. À. ×åðíîâ, 2006

Page 98: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� ��������� �������

Ã: "²"#�Æ�¥"Å_5��B§�©]¦�©]¬± *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª� "§�«|®*²�©[²"¥"ÁÑ®�­�¹�­�¹�Â�©[²"²�­K¨�Ç !v¬�«�»¹�­K¨>Ê.!$¨°��!v¬�©Ä¥¸¼f§�«|²"¥�¶�²"��¨� "!v¬�­�®*¥�³�¨s¥±³�®[¬�³�©$ª[!v³½­�¹�­�¹�Â�©[²"²"��¨z§�©*»Ì�©[²"¥�©[¨±´$«$¦�«$¶�¥_5���¦�¥"²"!]ª[®�©[²"²�­K!]ª[¯:¥W "!]ª[­�Å�¶�¥"®*­K!]ª[¯�´v¦�©[!$¯�²�©�¥"´v �¶�«*©[¨Q5

(�5��W^����vÖ�\_^a`���Ö��hÖ�¢�Ö"×�£ �«|!$!$¨°«[ª[§�¥"®*«*©[¨z¼f¥�¦�§�¥"§�­�®*«|²"¥�©W¶�«|!]ª[¥"Æ��d��­K§�­KÌU#�«Ä¨.©$ª[«$¬�¬�«�5�-:«|®K»

¬�©[²"¥�©�®*­*¦�­K§�­*¦�«�¥�ª|©[¨°��©$§�«[ª] "§�«���­K!]ª[­*³�²"²"�B5$XQ«|!]ª[¥"Æ� ��"§�©]¦�!]ª[«|®[¬�³�©[¨®µ®*¥�¦�©¸ª[­�²"#�­�Åd��¬�«|!]ª[¥"²"#�¥�» �"«|§�«$¬�¬�©]¬�©[�"¥"��©]¦�«�'P�"§�­KÆ"©[!$!$«|¨°¥F²"«"!h "´|»#�¥�·�#ļf§�«|²�³�·±�"§�©[²�©|¹�§�©[¼f«*©[¨Q5�$"­K¼á¦�«Ä¦�¥�ÃBÃ: "´$¥�³A®*²� �ª[§�¥l¶�«|!]ª[¥"Æ���­*¦�»²�­K¨.©$§�²"« Ç ��­&¼á¬� �¹�¥"²�©�%'&)( *�+�,-+�. Ê�'0/1+32�ª[­[¬�Â�¥"²"«Ä��¬�«|!]ª[¥"²"#�¥_5�4B![©*»®*«$³�!$¥"¨°¨.©$ª[§�¥�³½��­K´$®*­[¬�³�©$ª�§�«|!$!$¨°«[ª[§�¥"®*«[ª[¯Uª[­[¬�¯[#�­5%6&7( 89,-+�. 5À�¶�¥�ª[«*©[¨Q']¶�ª[­�²"«���­�®�©$§�·�²�­K!]ª[¥&��¬�«|!]ª[¥"²"#�¥�#U²"«$¶�«$¬� ÄÍ[#�!$��©$§�¥"¨.©[²�»

ª[«Ä �º�©�­�¹�§�«|´$­�®*«$¬�!v³A!v¬�­�ŵ¼f¥�¦�§�¥�¦�«¸Ç #�­K§�#�«�Ê>ª[­[¬�Â�¥"²"�:+;*7<�=[5"TB´|» ´$«Ã�«|´$­�®*­K¼f­&��©$§�©]·�­*¦�«Ä#�­K§�#�«�!]ª[«|²�­�®*¥�ª[!v³½ª[­[¬�Â�©K'�©|©�ª[­[¬�Â�¥"²"«>+7*'<0?A@CBq5D "²"#�Æ�¥�³E<0?A@CB�­��"¥�!$��®*«*©$ªx��­[¬�­*º�©[²"¥�©z¨.©]º�Ã�«|´$²�­�Å�¼f§�«|²"¥"Æ��B5���§�©*»¨_³>@GFGHJI�!$­K­�ª[®�©[!]ª[®[ �©$ª���­[¬�²�­K¨_ A¼f¥�¦�§�¥"§�­�®*«|²"¥"Á�­�¹�§�«|´$Æ�«�Ç <0?A@GFGHJI1BLKM8*Ê�5�¸¼f¥�¦�§�¥�¦�©�·�¥"¨°¥�¶�©[!$#�¥l!$®[³�´$«|²A®*­*¦�­K§�­*¦�Ï"©[¼f­�#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"Á��"§�¥�»

¨.©[¨l´$«�©]¦�¥"²"¥"Æ� _5KÀ�¶�¥�ª[«*©[¨Q'$¶�ª[­�®W¨.©$ª[«$¬�¬�©�§�«|!]ª[®*­K§�³�©$ª[!v³�­|¶�©[²"¯�¨°«$¬�­®*­*¦�­K§�­*¦�«���­W!$§�«|®*²�©[²"¥"Ád!0©]¦�¥"²"¥"Æ"©[Å_5*��¼f¥�¦�§�¥�¦�©0¨°­*º�©$ªB§�«|!]ª[®*­K§�³Kª[¯*»!v³z¥2¦�¥�ÃBÃ: "²�¦�¥"§�­�®*«[ª[¯µ©[Â�©l®*­*¦�­K§�­*¦�!¸#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥�©[ÅON1?A@ ,C%0BP*RQ[5/Q­KÍ|ÃBÃ�¥"Æ�¥�©[²�ªW¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥A�"§�¥"¨.©[¨x´$«�©]¦�¥"²"¥"Æ� _5

SB«���­�®�©$§�·�²�­K!]ª[¥T%5K3+x�"§�­�¥�!v·�­*¦�¥�ª���­K¼á¬�­KÂ�©[²"¥�©�®*­*¦�­K§�­*¦�«¸Ç �"§�¥¦�­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­K¨±¦�«|®[¬�©[²"¥"¥�Ê�514�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨A��¬�­�ª[²�­K!]ª[¯:��­�ª[­�#�«�!$­K§�¹�Æ�¥"¥U¶�©*»§�©[´�URKMVXW�Y[Z]\�Ç ´$«|®*¥�!$¥"¨°­K!]ª[¯[ÁD©[¼f­�­�ªW¦�«|®[¬�©[²"¥�³�²�©U¥"²�ª|©$§�©[!v �©[¨°!v³�Ê�5

4�¹��Q¶�²�­z��­[¬�«|¼f«|Á�ªK'P¶�ª[­s­�¹_^a©[¨°²"«$³Î¦�©[!$­K§�¹�Æ�¥�³s#�®*«$¦�§�«[ª[¥�¶�²"«Î­�ª*»²�­K!$¥�ª|©]¬�¯[²�­�#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"¥;N1?A@ ,-+`B0Ç ¥"´|» ´$«�­�¹�§�«|´$­�®*«|²"¥�³�¨°­[¬�©[#� [¬7acbvÊ�540¦�²"«|#�­l#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥�³Î®*­*¦�­K§�­*¦�« ®±¼f¥�¦�§�¥�¦�©½!v¬�«|¼f«*©$ª[!v³l¥"´�·�¥"¨°¥�¶�©*»!$#�¥�!$®[³�´$«|²"²�­K¼f­W®*­*¦�­K§�­*¦�«�¥�§�«|!]ª[®*­K§�©[²"²�­K¼f­�5_��!]ª[¯:¦�®�©Bª[­|¶�#�¥&´$§�©[²"¥�³"Ð3hÊ�­�¹�§�«|´$­�®*��®*«[ª[¯:¨°­[¬�©[#� [¬���¨°­K¼á �ª0®*![©:«[ª[­K¨°�ή*­*¦�­K§�­*¦�«�Ç ·�¥"¨°¥�¶�©[!$#�¥�©!$®[³�´$¥�­�ª[²�­K!$¥�ª|©]¬�¯[²"�0Ê�Ï$(KÊKª[­[¬�¯[#�­W��­*¦�®*¥�º�²"�:©�«[ª[­K¨°�έ�¹�§�«|´v "Á�ª:¨°­[¬�©*»#� [¬��B5d4�¹�­�¹�Â�¥"¨x­�¹�«�®*«|§�¥"«|²�ª[«Uª[«|#�­�Ÿ¨°­*¦�©]¬�¯[ÁÄÐ�!v¶�¥�ª[«*©[¨z��¬�­�ª[²�­K!]ª[¯��­�ª[­�#�«½¦�©[!$­K§�¹�Æ�¥"¥�§�«|®*²�­�Åfe_ghN1?A@ ,-+`BL*fiNJj b 'ecKkVXW�Y[Z]\45l�¦�©[!$¯TiN�&"( 89,JQX.2FÍ$ª[­m!]!$®[³�´$«|²"²"«$³�#:#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥�³"'�²�©�!$��­K!$­�¹�²"«$³�#U¦�©[!$­K§�¹�Æ�¥"¥_5_�B§�¥iNnKE8�¥"¨.©|©[¨���©$§�®[ "ÁѪ[­|¶�#� �´$§�©[²"¥�³"'"�"§�¥3iNoKOQ�2J®|ª[­K§� "ÁÄ5�B­[¬�²"��Å��­�ª[­�#&!$­K§�¹�Æ�¥"¥±¥"¨.©|©$ª���¬�­�ª[²�­K!]ª[¯6p5KMUq*re_ghN1?A@ ,-+`B�*TiNJj b 5�TB´�!$­K­�¹�§�«�»º�©[²"¥"ÅÎ!$­*·�§�«|²�©[²"¥�³¸!v¬�©]¦* �©$ªK'"¶�ª[­¸��­K¼á¬�­KÂ�©[²"²"��Åή*­*¦�­K§�­*¦¸ "²�­K!$¥�ª[!v³®*¼á¬� �¹�¯W­�¹�§�«|´$Æ�«W¦�¥�ÃBÃ: "´$¥�©[Å_ÐK��­[¬� �¶�«*©[¨x¼f§�«|²"¥�¶�²�­�©W "!v¬�­�®*¥�©

Page 99: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� � �

��� N1?A@ ,-+`B�KqU"*7e_ghN1?A@ ,-+`B�*MiNJj b � �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨Ò�"§�­KÆ"©[!$!$�D²"«A¼f§�«|²"¥"Æ"©A§�«|´v¦�©]¬�«±Ã�«|´6%�KO<0?A@CBq5°À�¶�¥�»

ª[«*©[¨Q'>¶�ª[­2§�«|!]ª[®*­K§�©[²"²"��ÅÒ®*­*¦�­K§�­*¦2 ¼f§�«|²"¥"Æ�� §�«|´v¦�©]¬�«�Ã�«|´l¹| *¦�©$ª��­�ª[§�«$¶�©[²&²"«�Ã�­K§�¨°¥"§�­�®*«|²"¥�©�¼f¥�¦�§�¥�¦�«�Ï[!]ª[«$¬�­�¹���ª[¯K'v¶�©[¨µ¹�­[¬�¯[Ì�©B#�­�²�»Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥�³"'�ª|©[¨d¹���!]ª[§�©|©Ä¦�®*¥�º�©$ª[!v³±¼f§�«|²"¥"Æ�«�5��B§�¥�©]¦�¥"²"¥�¶�²�­�ÅÎ#�­�²�»Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"¥sÃ�­K§�¨°¥"§�­�®*«|²"¥�©A¼f¥�¦�§�¥�¦�«½²�©[®*­K´$¨°­*º�²�­sÇ ²�©$ª½¥"´[¹���ª[­|¶�²�­�»¼f­±®*­*¦�­K§�­*¦�«�Ê�5 �«|!v·�­*¦l®*­*¦�­K§�­*¦�«½´$«&®*§�©[¨_³���@0²"«½©]¦�¥"²"¥"Æ"©���¬�­KÂ�«$¦�¥_Ð*�N1?A@ ,C<_B���<�! �¶�©$ª[­K¨Dª[­K¼f­�'>¶�ª[­���<�� 8K5! �ª[­�ªÎ®*­*¦�­K§�­*¦d¥"´$®[¬�©[#�«*©$ª[!v³¥"´s�"§�¥"¼f§�«|²"¥�¶�²�­�ÅJ­�¹�¬�«|!]ª[¥Jª[­[¬�Â�¥"²"�#"$��@q'�#�­KÍ|ÃBÃ�¥"Æ�¥�©[²�ª%"d��­[¬�­�»º�¥"¨�§�«|®*²"��¨�©]¦�¥"²"¥"Æ"©K5P�B§�¥�¨°«$¬��Q·&��@U#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"Á §�«|!]ª[®*­K§�©[²�»²�­K¼f­±®*­*¦�­K§�­*¦�«½®½Í$ª[­�Å�­�¹�¬�«|!]ª[¥µ¨°­*º�²�­ !v¶�¥�ª[«[ª[¯���­K!]ª[­*³�²"²�­�ÅΥΧ�«|®K»²�­�Å6N1?A@ ,C<_B1*�Q['vª[­K¼á¦�«�¥"´$®[¬�©[#�«*©[¨°­�©�#�­[¬�¥�¶�©[!]ª[®*­½Ç ²"«�©]¦�¥"²"¥"Æ� ���¬�­KÂ�«$¦�¥#�­�²�ª[«|#Kª[«�Ã�«|´|Ê_!$­K!]ª[«|®[¬�³�©$ª)ghN1?A@ ,C<_B*TQ�j'��@q5�TB´�´$«|#�­�²"«�!$­*·�§�«|²�©[²"¥�³"Ð

N9g @ ,C<0?A@CBCj)(<0?A@CB�KR*�ghN9g @ ,C<0?A@CBCjP*TQ�j �À�¦�§� "¼f­�Ål!]ª[­K§�­�²"�B'�¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"­�²"²�­�» ��­*¦�®*¥�º�²"��Å ®*­*¦�­K§�­*¦¸�"§�¥"²�­�»

!$¥�ª[!v³½#½¼f§�«|²"¥"Æ"©�§�«|´v¦�©]¬�«ÄÃ�«|´�¦�¥�ÃBÃ: "´$¥�©[Å_50��!v¬�¥ ¼f§�«$¦�¥�©[²�ª�#�­�²"Æ"©[²�»ª[§�«|Æ�¥"¥2¨°«$¬z��­Î!$§�«|®*²�©[²"¥"Á !A¥"´[¹���ª[#�­K¨�®*­*¦�­K§�­*¦�«�'.®*­*¦�­K§�­*¦2¹| *¦�©$ª��­�ª[§�«$¶�©[²x²"«AÃ�­K§�¨°¥"§�­�®*«|²"¥�©A¼f¥�¦�§�¥�¦�«�'�#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥�³l��­�²"¥"´$¥�ª[!v³l¥¼f§�«$¦�¥�©[²�ªA®*­K´$§�«|!]ª|©$ªKÏ.©[!v¬�¥z¼f§�«$¦�¥�©[²�ªA®�©]¬�¥"#"'P�"§�¥�ª[­�#�®*­*¦�­K§�­*¦�«A "®�©*»¬�¥�¶�¥�ªÎ�"§�¥"¼f§�«|²"¥�¶�²� "ÁR#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"ÁÄ5�T�ª[«|#"'�¼f§�«$¦�¥�©[²�ªÎ¥d#�­�²"Æ"©[²�»ª[§�«|Æ�¥�³Ä!$®[³�´$«|²"�z ½¼f§�«|²"¥"Æ��B5 �ª[¥A§�«|!$!v �ºW¦�©[²"¥�³���­K´$®*­[¬�³�Á�ªW!v¶�¥�ª[«[ª[¯K'¶�ª[­W§�«|!v·�­*¦U®*­*¦�­K§�­*¦�«B²"«�Ã�­K§�¨°¥"§�­�®*«|²"¥�©�¼f¥�¦�§�¥�¦�«�­�¹| "!v¬�­�®[¬�©[²�ª[«|#�º�©¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"­�²"²"��¨Ò�"§�¥�ª[­�#�­K¨�#μf§�«|²"¥"Æ"© §�«|´v¦�©]¬�« Ã�«|´�5�V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²"�:©®*��#�¬�«$¦�#�¥ �"§�¥"®*­*¦K³Kª�#Ä "!v¬�­�®*¥"ÁJª[¥"�"«ÄÀQª|©|Ã�«|²"«�Ð

N9g @ ,C<0?A@CBCj*(<0?A@CBLKR* ��� N9g @ ,C<0?A@CBCj �,.ª[­|¶�²"¥"¨F²"«$¶�«$¬�¯[²�­�©&§�«|!$�"§�©]¦�©]¬�©[²"¥�©&®*­*¦�­K§�­*¦�«A®A#�­K§�#�©ÎÇ ª[­[¬�Â�¥�»

²�­�Å +R*3<�=]Ê�5�À�¶�¥�ª[«*©[¨ #�­K§�#� �ª[­�²"#�­�Å_'���­KÍ$ª[­K¨_ D¦�­��� "!]ª[¥"¨Q'0¶�ª[­�®�"§�­KÆ"©[!$![©x©|©�Ã�­K§�¨°¥"§�­�®*«|²"¥�³z¦�¥�ÃBÃ: "´$¥�³� "!$��©]¬�«Î!v¦�©]¬�«[ª[¯µ�"§�­�Ã�¥�¬�¯#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"¥!]ª[«|Æ�¥"­�²"«|§�²"��¨Q5�TB´A "§�«|®*²�©[²"¥�³�¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥���­[¬� �¶�«�»©[¨ !v¬�©]¦* "ÁWÂ�©|©� "!v¬�­�®*¥�©J²"«J!]ª[«|Æ�¥"­�²"«|§�²�­�©J§�«|!$�"§�©]¦�©]¬�©[²"¥�©,+ ?A%0BqÐ����� + ?A%0BLKq8KÏK!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­�'-+ ?A%0B`K/.n%1032�5

Page 100: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ��������� �������

/Q§�«*©[®*«$³�´$«$¦�«$¶�«�'�ª[«|#�¥"¨x­�¹�§�«|´$­K¨Q'�¥"¨.©|©$ª�®*¥�¦��� N1?A@ ,C%0BLK ����� N1?A@ ,C%0B , %5& g <0?A@CB ,-+ j , @`&7? 89,C@GFGHJI1B , Ç�3hÊ��� N1?A@ ,-+`B�KqU"*7e_ghN1?A@ ,-+`B�*MiNJj b , U��Me ?]QP*MiNJB b , 8�3iN�fQ Ç (KÊ

��� N9g @ ,C<0?A@CBCj KqN9g @ ,C<0?A@CBCjP*TQ�, ÇÈË�Ê(<cKqN9g @ ,C<0?A@CBCj��� `*TQ�, <0? 8�B�KM<�=�, <0?A@GFGHJI�BLKM89, Ç �KÊ

N1? 89,C%0B�K .n%1032n, %5&'( <�=�,-+�. , 8 �T<�= ��+ � Ç 1KÊS�©$§�«|®�©[²"!]ª[®*­OU�� e ?]Qc*OiNJB b ­K´$²"«$¶�«*©$ª2Ã�¥"´$¥�¶�©[!$#� "Á ®*­K´$¨°­*º�²�­K!]ª[¯!$­K§�¹�Æ�¥"¥_Ð4¦�«|®[¬�©[²"¥�©�¦�­[¬�º�²�­�¹���ª[¯�¦�­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­W®*��!$­�#�¥"¨Q'h¶�ª[­�¹��Î!$­K§�¹�»Æ�¥�³��"§�©[®*­K!v·�­*¦�¥�¬�«x¦�©[!$­K§�¹�Æ�¥"Á �"§�¥Ò¨°¥"²"¥"¨°«$¬�¯[²�­�» ®*­K´$¨°­*º�²�­�Å�!]ª|©*»·�¥"­K¨.©$ª[§�¥�¶�©[!$#�­�ÅÎ#�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"¥zÇ �"§�¥"²�³Kª[­�ű´$«�©]¦�¥"²"¥"Æ� �Ê�5/Q­�²"!]ª[«|²�ª[�,2�¥ . ­��"§�©]¦�©]¬�³�Á�ª[!v³l¥"´Ä "!v¬�­�®*¥"Ås¹�«$¬�«|²"!$«&��­�ª[­�#�­�®

Ç (KÊ '"ÇÈË�Ê��"§�¥m@�KM8K5�TB´�ÇÈË�Ê���­[¬� �¶�¥"¨/2"KRQ 0 .�?]Q�*><�=JBq5K�a©]¬�¥�¶�¥"²"«1.���8��­�!$¨°��!v¬� _Ï�ª[­K¼á¦�«�²"«$¶�«$¬�¯[²�­�©�§�«|!$�"§�©]¦�©]¬�©[²"¥�© 2 03.n%��fQ�Ç ¥±��­�ª[­K¨_ ��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­�Ê_¦K¬�³�®*![©]·m%6&7( <�=�,-+�. Ð2 03.n% K3Q)03.�?]Q�*r<�=�B�03.n%��fQ)03.�?]QP*r<�=�B 03.n<�= KRQ)03.��fQ �

�«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨�Ç (KÊ��"§�¥T@�K 8KÐ�. K U3*)e ? 2/0 .o+;*"iNJB b 5��B­*¦�!]ª[«|®[¬�³�³ 2�'��­[¬� �¶�¥"¨x#�®*«$¦�§�«[ª[²�­�©U "§�«|®*²�©[²"¥�©½Ç ­�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨��N�KRQP*�iNhÊ

e��J+'*r<�=�0MQ�� b . b 0�� /�e��N ?]Q�0;+'*r<�=�B 0MQ��-.3* g Uf*7e��N b j KM8 � �ª[­ "§�«|®*²�©[²"¥�©�¥"¨.©|©$ªF®�©[Â�©[!]ª[®�©[²"²"�:©F²�©[²� [¬�©[®*�:©F#�­K§�²"¥�§�«|´$²"�Q·´$²"«|#�­�®±Ç !$¨Q5�²�©$§�«|®�©[²"!]ª[®*­&®AÇ (KÊ Ê�Ï�®*�:¹�¥"§�«*©[¨x��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��Å_5�¸�ή*�:¹�§�«$¬�¥�#�­KÍ|ÃBÃ�¥"Æ�¥�©[²�ª[�Φ�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥�¥Ä¼f¥�¦�§�¥�¦�­K­�¹�§�«|´$­�®*«|²"¥�³¥�!]ª|©]·�¥"­K¨.©$ª[§�¥�¶�©[!$#� "Á #�­�²"Æ"©[²�ª[§�«|Æ�¥"Á §�«|®*²"��¨°¥x©]¦�¥"²"¥"Æ"©K5� �ª[­A¦�­�»�� "!]ª[¥"¨°­�'vª[«|#�#�«|#�­�²"¥�¥"¨.©[Á�ª0§�«|´$²� "Á2§�«|´$¨.©$§�²�­K!]ª[¯WÇ !$¨ b�� ![©[#"'v!$¨ � ![©[#¥z¨°­[¬�¯ � !$¨��]Ê�'a«A® ´$«$¦�«$¶�©½¥"´$²"«$¶�«$¬�¯[²�­ ª[§�¥z²�©[´$«|®*¥�!$¥"¨°�:©A§�«|´$¨.©$§�²�­�»!]ª[¥_Ð>¦K¬�¥"²"«�'�®*§�©[¨_³"'Q#�­[¬�¥�¶�©[!]ª[®*­F®�©[Â�©[!]ª[®*«�5Q-:§� "¼f¥�·2®*­K´$¨°­*º�²�­K!]ª|©[Ų�©$ªK'���­KÍ$ª[­K¨_ ¸�"«|§�«|¨.©$ª[§�� +Q'9<�=['�iN]'[U¥;e:²�­K§�¨°¥"§�­�®*«[ª[¯�²�©]¬�¯[´v³"5

Ë�5P��Z]£a\ �_£ !#":Ö�����£ "$�":Ö¸¢&%('6��ZhÖ�Y[`*^ )M�hÖ�¢�Ö"×�£�0 "!]ª[¯T<0?A@CB62 ²�©[®*­K´$§�«|!]ª[«|ÁWÂ�«$³sÃ: "²"#�Æ�¥�³"'>´$«$¦�«|²"²"«$³x²"«3( 89,+*P.�¥

¥"¨.©[ÁWÂ�«$³ �"§�­�¥"´$®*­*¦�²� "ÁÄ'�²�©[�"§�©$§���®*²� "Á ®�( 89,+*P. 5��0 "!]ª[¯5<0? 8�B K <�=�¥<0?,* B-� 8K5`4�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨/."K ( 89,+*P.�0�( 89,-+�.�¥2§�«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨�¨°²�­*º�©[!]ª[®*­1(2 ?,* B�34.�ª[«|#�­�©K'�¶�ª[­2©[!v¬�¥dª[­|¶�#�« ?A@ ,C%0Br&�1(2 ?,* Bq'>ª[­38 � @ �5* ¥<0?A@CB � %%� +QÏ.ª[«|#�º�©Î®*®�©]¦�©[¨D´$«|¨°��#�«|²"¥�©761(2 ?,* B�¨°²�­*º�©[!]ª[®*«81(2 ?,* Bq5�¸²�­*º�©[!]ª[®*«961(2 ?,* B"¥:1(2 ?,* B���­[¬�²�­K!]ª[¯[Á�­��"§�©]¦�©]¬�³�Á�ª[!v³WÃ: "²"#�Æ�¥�©[Å�<0?A@CBq5

Page 101: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� ���&��0 "!]ª[¯;N1?A@ ,C%0B�´$«$¦�«|²"«±® 61(2 ?,* Bq'°¥"¨.©|©$ªl®#1(2�?,* B�¦�®�©±¶�«|!]ª[²"�:©¸�"§�­�»

¥"´$®*­*¦�²"�:©½��­;%Î¥x­*¦�²� 32Ñ��­;@q'a�"§�¥�¶�©[¨­�²"¥x²�©[�"§�©$§���®*²"�J® 61(2 ?,* Bq5�0 "!]ª[¯ N1?A@ ,C%0BP *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª�® 1(2 ?,* B_ "§�«|®*²�©[²"¥"Á¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥¸Ç�3hÊ '*�"§�¥%EK +� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ªdÇ (KÊ '>�"§�¥E%EK <0?A@CBW *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ªdÇÈË�ÊB¥d�"§�¥@LK"8� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª�²"«$¶�«$¬�¯[²�­K¨_ A "!v¬�­�®*¥"Á Ç 1KÊ 5��0 "!]ª[¯�ª[«|#�º�©�Ã: "²"#�»Æ�¥"¥6<0?A@CBP¥5N1?A@ ,C%0B_ *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�Á�ª��"§�¥6@`&7( 89,+*P.K "§�«|®*²�©[²"¥"Á�Ç �KÊ 5�$"­K¼á¦�«�"«|§� r<0?A@CBq'9N1?A@ ,C%0B�²"«|´$­�®�©[¨�#�¬�«|!$!$¥�¶�©[!$#�¥"¨x§�©[Ì�©[²"¥�©[¨x´$«$¦�«$¶�¥ÎÇ�3hÊ � Ç 1KÊa®61(2 ?,* Bq5K-:«$¬�©|©>2�#�¬�«|!$!$¥�¶�©[!$#�­�©�§�©[Ì�©[²"¥�©K5O ����� ���U� ������ ����������������������� "!�#���"$%#'&(#*)�#,+- �# N1?A@ ,C%0B �,��.�#����/*��#,�/ 61(2 ?,* B '#,0�$�12���"�� �1-��13 4�( 516 �+- �1-��1879$%���: �0���#,�;�=<>/?�;$�!4�"# ?A@A@1,C%9@JBABC $D0�79�E�( �F�$ @A@�Kq8�G �( �F�$ %9@�KM<0?A@A@JBHG �( �F�$ %9@ KM+IB-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5 �¸²�­*º�©[!]ª[®*­ 61(2�?,* B>´$«|¨°#�²� �ª[­�¥A­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²�­�¥A��­�»ª[­K¨_ A#�­K¨°�"«|#Kª[²�­�5�S�©[�"§�©$§���®*²"«$³�Ã: "²"#�Æ�¥�³>N1?A@ ,C%0B°¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ªW²"« 61(2 ?,* BÍ[#�!]ª[§�©[¨°«$¬�¯[²"�Q·A´$²"«$¶�©[²"¥"Å_5-:«$¬�©|©K'�®�!$¥�¬� ÎÇ 1KÊa§�©[Ì�©[²"¥�©U²�©W��­K!]ª[­*³�²"²�­Ä® 61(2 ?,* B.�"§�¥&¬�ÁU¹��Q· *�5�B§�©]¦���­[¬�­*º�¥"¨Q'�?A@ @ ,C% @ B`& 1(2�?,* B0Ç ®*²� �ª[§�©[²"²�³�³Äª[­|¶�#�«�Ê�5� �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨

�"§�³�¨°­* "¼f­[¬�¯[²"¥"#T( @A@ *LK_,C@A@�0MK�. 07( %9@ *MN ,C%9@*0ON . 381(2�?,* Bq5���²� �ª[§�¥¸Í$ª[­�»¼f­¸�"§�³�¨°­* "¼f­[¬�¯[²"¥"#�«±Ã: "²"#�Æ�¥�³TN1?A@ ,C%0BB²�©[�"§�©$§���®*²"«A¥Î *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª "§�«|®*²�©[²"¥"ÁÒ¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥_5 �B­��"§�¥"²"Æ�¥"�� �¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�¦K¬�³��"«|§�«*¹�­[¬�¥�¶�©*»!$#�¥�·� "§�«|®*²�©[²"¥"Å_'*Í[#�!]ª[§�©[¨°«$¬�¯[²�­�©W´$²"«$¶�©[²"¥�©�¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ª[!v³�²"«�¼f§�«|²"¥"Æ"©�"§�³�¨°­* "¼f­[¬�¯[²"¥"#�«�'�¶�ª[­��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�ª��"§�©]¦���­[¬�­*º�©[²"¥"ÁÄ5

�0 "!]ª[¯�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨l¦�­K!]ª[¥"¼f²� �ªW�"§�¥m@A@�K *�'�<0?,* B*�T%9@ �T+Q59 �«|!$!$¨°­�ª*»§�¥"¨��"§�³�¨°­* "¼f­[¬�¯[²"¥"#M( *q*PK_,+* B 0;( %>*ON ,C% 0�N . '"Æ"©]¬�¥"#�­K¨2¬�©]º�«|Â�¥"Ål®1(2 ?,* Bq5K-:«$¬�©|©U§�«|!$!v �ºW¦�«*©[¨�«|²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�5O ����� ���U� �����LQ*���������������������� "!�#���"$%#'&(#*)�#,+- �# N1?A@ ,C%0B �,��.�#����/*��#,�/ 61(2 ?,* BABRC $D0�79� Q ��N1?A@ ,C%0B �TS U6U1e 0"iN4B-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5��0 "!]ª[¯W¨°¥"²"¥"¨_ "¨qN1?A@A@ ,C%9@ B)�fQ0�"§�¥T?A@A@1,C%9@JB & 61(2 ?,* Bq5TB´& �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�³d3Ä!v¬�©]¦* �©$ªK'P¶�ª[­l¦�­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­x�"§�­�®�©$§�¥�ª[¯ ´$²"«$¶�©[²"¥�³�"§�¥'@A@�Kq8K'_%9@ Kq+Î¥7%9@�KM<0?A@A@JBq5

40¦�²"«|#�­5N1? 89,C%0B�K 2 03.n% � 2 03.n<�= KRQ)03.��"Q[5�B§�¥'%9@�KM<0?A@A@JB��"§�¥"¨.©[²�³�©[¨dÇÈË�Ê Ð ��� N g @A@ ,C<0?A@A@JB j KMN g @A@ ,C<0?A@A@ B j *)Q ��8K5

SB­ÄÍ$ª[­�­K´$²"«$¶�«*©$ªK'|¶�ª[­6N1?A@A@ ,C<0?A@A@ B 0�K�B)��N1?A@A@ ,C<0?A@A@JBCB>�"§�¥A¨°«$¬��Q·'K�'�«WÍ$ª[­�"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�ª�ª[­K¨_ _'�¶�ª[­�®r?A@A@1,C%9@JB>¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ª[!v³�¨°¥"²"¥"¨_ "¨Q5

�B§�¥5% @ Kq+¸��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��Ž¨°¥"²"¥"¨_ "¨¸¦�­K!]ª[¥"¼f«[ª[¯[!v³�²�©�¨°­*º�©$ªK5K�!$«|¨°­K¨Î¦�©]¬�©K'�¨°¥"²"¥"¨_ "¨x´$«|®�©]¦�­K¨°­&¨.©[²"¯[Ì�©VS U6U1e 0"iN]5��B§�¥"¨.©[²"¥"¨Ç (KÊ Ð

��� N1?A@ @ ,-+`B�KqU"*7e_ghN1?A@ @ ,-+`B�*MiNJj b ��89,

Page 102: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ��������� �������

«l´$²"«$¶�¥�ªK' N1?A@A@ ,-+q*�K�B�� N1?A@A@ ,-+`B��"§�¥�¨°«$¬��Q· K�'P¶�ª[­z¥F­K´$²"«$¶�«*©$ªl­�ª*»!v �ª[!]ª[®*¥�©�¨°¥"²"¥"¨_ "¨°«�®r?A@ @ ,-+`Bq5�À�¬�©]¦* �©$ª�¥�!$#�¬�Á�¶�¥�ª[¯�¹�©[!$!$¨°��!v¬�©[²"²� "Á!AÃ�¥"´$¥�¶�©[!$#�­�Åzª[­|¶�#�¥s´$§�©[²"¥�³µ!$¥�ª] "«|Æ�¥"ÁÄ'a#�­K¼á¦�«;N1?A@A@ ,-+`B �k8K5�SB­Î©[!|»¬�¥�Í$ª[­�ª[«|#"'°ª[­�²"«|Å�¦�©$ª[!v³�ª[«|#�«$³Îª[­|¶�#�«3?A@A@ @1,C%9@ @JBq'P¶�ª[­"N1?A@A@ @ ,C%9@ @ B�K 8¥MN1?A@ ,C%0B �R8��"§�¥T@ �f@ @ @ 5���­±¨°²�­*º�©[!]ª[®�©�61(2�?A@ @ @ B�Ã: "²"#�Æ�¥�³7N1?A@ ,C%0B�¦�­�»!]ª[¥"¼f«*©$ª���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­K¼f­&¨°¥"²"¥"¨_ "¨°«�'�#�­�ª[­K§���Ål¨.©[²"¯[Ì�©Ä©]¦�¥"²"¥"Æ��B'�«²�©[®*­K´$¨°­*º�²�­K!]ª[¯�Í$ª[­K¼f­�¨°�d��­�#�«|´$«$¬�¥_5

�0 "!]ª[¯lª|©[��©$§�¯�N1?A@A@ ,C%9@ B�� S U6U1e 0 iN&�"§�¥ ?A@A@ ,C%9@ B5& 61(2 ?,* Bq5`$"­K¼á¦�«¨°«|#�!$¥"¨_ "¨Ã: "²"#�Æ�¥"¥qN1?A@ ,C%0B�® 61(2 ?,* B:ª[­*º�©A¹�­[¬�¯[Ì�©&Í$ª[­K¼f­±¶�¥�!v¬�«�5�-:­�»!]ª[«[ª[­|¶�²�­&�"§�­�®�©$§�¥�ª[¯�´$²"«$¶�©[²"¥�³��"§�¥'@A@�Kq8K'_%9@ Kq+Î¥'%9@ KM<0?A@CBq5

�B§�¥'%9@ KM+��"§�¥"¨.©[²"¥"¨dÇ (KÊ Ð��� N1?A@ @ ,-+`B�KqU"*7e g N1?A@ @ ,-+`B�*MiN j b ��89,

«�´$²"«$¶�¥�ªK'[N1?A@ @ ,-+'*VK�B ��N1?A@ @ ,-+`B��"§�¥±¨°«$¬��Q·�K�Ð��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K5�0 "!]ª[¯ @A@�Kq8KÏ]ª[­K¼á¦�«nN1? 89,C%0BLK/2 01.n% � 2 01.o+Q'vª[«|#�¶�ª[­c%9@ Kq+Q5�$"«|#

#�«|#lÇ (KÊ_�"§�¥"¨.©[²"¥"¨°­&�"§�¥'@�KM8K'�¥"¨.©|©[¨� �º�©U§�«|!$!$¨°­�ª[§�©[²"²"��Å !v¬� �¶�«|Å_5�B§�¥'%9@ K�<0?A@A@ B��"§�¥"¨.©[²�³�©[¨dÇÈË�Ê Ð

��� N9g @ @ ,C<0?A@ @ BCj KMN9g @ @ ,C<0?A@ @ BCjP*TQ ��8 �TB¨.©|©[¨z�"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©KÐdN1?A@A@ ,C<0?A@A@JB 0PK�B ��N1?A@A@ ,C<0?A@A@JBCBQ�"§�¥±¨°«$¬��Q·�K�5� ��#�79����/9 �# 34B �0 "!]ª[¯&#�¬�«|!$!$¥�¶�©[!$#�¥�©½§�©[Ì�©[²"¥�³)N1?A@ ,C%0B�¥��?A@ ,C%0B�!v "Â�©*»!]ª[®[ "Á�ª�® 61(2 ?,* Bq5_$"­K¼á¦�«�N1?A@ ,C%0BLK��?A@ ,C%0B�® 61(2�?,* Bq5-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5��B§�©]¦���­[¬�­*º�¥"¨ �"§�­�ª[¥"®*²�­�©K5r �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨ Ã: "²"#�»Æ�¥"Á��o?A@ ,C%0B K N1?A@ ,C%0B�*��?A@ ,C%0B�¥d�� "!]ª[¯��o?A@ ,C%0B�� 8l®�#�«|#�­�Å�» ²"¥�¹| *¦�¯ª[­|¶�#�©K5�40¶�©[®*¥�¦�²�­�'��o?A@ ,C%0BQ *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª¸Ç�3hÊP¥¸��­�ª[­K¨_ l��­*¦K¶�¥"²�³�©$ª[!v³�"§�¥"²"Æ�¥"�� ±¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�5.!$²�­�'�¶�ª[­�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨z��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�©[²_5

40¦�²"«|#�­��o? 89,C%0BrK 8K'Q��­KÍ$ª[­K¨_ ���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��Å�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨ �"§�¥@�Kq8W²�©W¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ª[!v³"5

�B§�¥'%9@ K�<0?A@A@ BQÃ: "²"#�Æ�¥�³��o?A@ ,C%0B� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª� "§�«|®*²�©[²"¥"Á��� � g @ @ ,C<0?A@ @ B j K�� g @ @ ,C<0?A@ @ B j �

��!v¬�¥ ®Äª[­|¶�#�©7?A@A@1,C<0?A@A@JBCB�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨Q'�ª[­ ��� ��gh@A@ ,C<0?A@A@JBCj �M8K'K¶�ª[­½�"§�­�ª[¥�»®*­K§�©]¶�¥�ªÄ²"«$¬�¥�¶�¥"Á�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�5

�«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨z!v¬� �¶�«|Å'%9@ KM+Q59$"­K¼á¦�« �o?A@ ,C%0B� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª��� �o?A@ ,-+`BLKR* e��o?A@ ,-+`B��JN1?A@ ,-+`B�0��?A@ ,-+`B�0)/[iN � �

Page 103: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� ������B­� �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥"ÁJ(�!$#�­�¹�#�«���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"«�5[�B­KÍ$ª[­K¨_ �"§�¥&¦�­K!]ª[¥�º�©*»²"¥"¥±®�ª[­|¶�#�©r?A@ @ ,-+`B���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­K¼f­&¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«���­[¬� �¶�«*©[¨x­�ª[§�¥"Æ�«�»ª|©]¬�¯[²� "ÁJ�"§�­�¥"´$®*­*¦�²� "Á ��� �o?A@ ,-+`BQ¥Aª|©[¨x!$«|¨°��¨x�"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K5T�ª[«|#"'"��­[¬� �¶�«*©[¨Q'�¶�ª[­ ��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��ŵ¨°«|#�!$¥"¨_ "¨2¦�­K!]ª[¥"¼f«[ª[¯[!v³±®61(2 ?,* B�²�©U¨°­*º�©$ªK'�«���­�ª[­K¨_ �o?A@ ,C%0B��q8K'�¶�ª[­�¥Aª[§�©|¹�­�®*«$¬�­K!$¯K5�B­K!$#�­[¬�¯[#� s¨°��¦�­�#�«|´$«$¬�¥_'�¶�ª[­µ§�©[Ì�©[²"¥�©±²�©A¨.©[²"¯[Ì�© ©]¦�¥"²"¥"Æ��D¥

��­�ª[­K¨_ ��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­�'�´$«|¨.©[²"¥"¨dÇ !�Æ"©]¬�¯[Á�ª|©]·�²"¥�¶�©[!$#�­K¼f­� *¦�­�¹�!]ª[®*«�ÊÇ (KÊaª[­*ºW¦�©[!]ª[®�©[²"²"��¨z!W²"¥"¨Î "!v¬�­�®*¥�©[¨

��� N1?A@ ,-+`B�KqU"*'Z���YLghN1?A@ ,-+`BCj e��JN1?A@ ,-+`B�*MiN � b � Ç +KÊ

��5QÀ:Y ��^�×�\�Ö '�Ö ! !aZ$^����£ ":Ö �_£�' �«|´$­�¹_^a©[¨2­�ª[§�©[´$­�#"( <�=�,-+�.°²"«�� §�«|®*²"�Q·A¶�«|!]ª|©[Ål¦K¬�¥"²"��"5�-:«$¬�©|©

��­*¦&­�¹�­K´$²"«$¶�©[²"¥�©[¨��� 8U¹| *¦�©[¨���­�²"¥"¨°«[ª[¯ �����Î5��®�©]¦�©[¨ ­�¹�­K´$²"«$¶�©[²"¥�³�� K ( +IU��_.�Ç Æ"©]¬�«$³2¶�«|!]ª[¯*Ê�'�� K��6*� ¥

N��oKq+o*����"51l"«$¦�«$¦�¥"¨±#�«|#� "Á�» ²"¥�¹| *¦�¯���­K!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯�����!� "!v¬�­�»®*¥�³�¨°¥_Ð�� = K�� '�«U¦K¬�³ � �3Q�¬�¥�¹�­ ����! K�����'K¬�¥�¹�­ ����! K"��� 0qQ[5-�¬�³�!$­�#�§�«|Â�©[²"¥�³�´$«|�"¥�![©[ű®*®�©]¦�©[¨z­�¹�­K´$²"«$¶�©[²"¥�© "#� K$���o*%�_5��®�©]¦�©[¨Ñ�"§�­�¥"´$®*­[¬�¯[²� "Á ![©$ª[#� _':²�©$§�«|®*²�­K¨.©$§�²� "Á ��­�®*§�©[¨.©[²"¥_':!

ÌU«|¼f«|¨°¥��x¥'&(��'`8#�)���)*±'`8 �,+:�)��5.XQ¥�!v¬�­�* ­��"§�©]¦�©]¬�¥"¨J#�«|##�«|# ²"«|¥"¨.©[²"¯[Ì�©|©-*±'"­�ª[®�©]¶�«|ÁWÂ�©|©Ä "!v¬�­�®*¥"Á @/. K10 .= &(��� *�'�¼á¦�© *2 ´$«$¦�«|²"²�­�© ®*§�©[¨_³"5P,�´v¬��ÑÍ$ª[­�ÅF![©$ª[#�¥F­�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨ ?2��,�+]BqаÍ$ª[­xª[­|¶�#�¥?A@/�d,C%43 Bq'�¼á¦�© %43�K8N�� 05+/�"'_@G= KM8K'9@/��! KM@/� 05&(��'6� �T8K5 �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨A��­*¦�¨°²�­*º�©[!]ª[®*­�678.l![©$ª[#�¥_']!$­K!]ª[­*³�Â�©|©0¥"´> "´v¬�­�®�?2��,�+]Bq'ª[«|#�¥�·�'�¶�ª[­2¦K¬�³d#�«$ºW¦�­K¼f­E8 �9�5��*±':+mK "#�d, "#��0kQ�, � � � ,;��5:TB²"�0»¨°¥!v¬�­�®*«|¨°¥_'�²"«Î#�«$ºW¦�­K¨���­K!v¬�©]¦* "ÁWÂ�©[¨�!v¬�­�©l¬�¥�¹�­s²"«Î­*¦�¥"²F "´[©]¬¹�­[¬�¯[Ì�©x!v¬�©[®*«dÇÈ©[!v¬�¥<����! K�����Ê�'�¬�¥�¹�­2!]ª[­[¬�¯[#�­2º�©Î "´v¬�­�®ÇÈ©[!v¬�¥����! K,��� 0RQ]Ê�5P��®�©]¦�©[¨Òª[«|#�º�©M!]­�ª[#�§���ª[­�©9#±��­*¦�¨°²�­*º�©[!]ª[®*­�![©$ª[#�¥78.!W "´v¬�«|¨°¥"?2��,�+]BQª[«|#�¥"¨°¥_'�¶�ª[­&¦K¬�³r8 �$�3�$*�+`K�"#� 0qQ�, � � � ,;�o*�Q[5��Â�©:²"«|¨A��­�²"«$¦�­�¹�¥�ª[!v³�![©$ª[­|¶�²�­�©B¨°²�­*º�©[!]ª[®*­ i78.B']��­[¬� �¶�©[²"²�­�©�¥"´ 678. *¦�«$¬�©[²"¥�©[¨Î "´v¬�­�®'? 89,;�rB>¥M? 89,;� Bq5,�´v¬�� ?2��, "#�9B�³�®[¬�³�Á�ª[!v³�![©$ª[­|¶�²"��¨J«|²"«$¬�­K¼f­K¨���­*¦�®*¥�º�²�­�ÅF¼f§�«|²"¥�»

Æ��B5[��©W²�©[�"§�©$§���®*²� "Á�«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"Á���­[¬� �¶�¥"¨Q'��"§�­�®�©]¦K³�®*��­K!v¬�©]¦�»!]ª[®*¥"¥A¬�¥"²�©[Å"²� "ÁJ¥"²�ª|©$§���­[¬�³�Æ�¥"Á ¾ ��¿�5

�B§�¥"¨.©$§ª[«|#�­K¼f­F¨°²�­*º�©[!]ª[®*«s²"«x![©$ª[#�©s¥"´$­�¹�§�«$º�©[²Ò²"«x§�¥�!v "²"#�©K5X�©$§�²"�:©�#�§� �º�#�¥q2�Í$ª[­& "´v¬��B'�®[·�­*¦K³�Â�¥�©�® 78.B'�´$®�©[´v¦�­|¶�#�¥"2� "´v¬��B'®[·�­*¦K³�Â�¥�©�® 678.B'�²�­�²�©U®=78.B5��B­*¦K¶�©$§�#�²� �ª[�F "´v¬�� ? 89,;�rB>¥M? 89,;� Bq5

Page 104: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ��������� �������

������������������� �5K"/������������������� �5KRQ������������� ���� �5Kq8 ©$ª[­|¶�²"��Å «|²"«$¬�­K¼0Ã: "²"#�Æ�¥"¥��?A@ ,C%0BQ®U "´v¬�©5?2��,�+]B�­�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨ � 3� 5��®�©]¦�©[¨x«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥±�"§�­�¥"´$®*­*¦�²"�Q·�Ð

��� N�� ��� N 3� K N 3� *'N 3� �� &(� �� , ��� N�� � ��N 3� K N 3� *'N 3 �� �

� �

l"«|¨.©$ª[¥"¨Q'K¶�ª[­ ����� N�� � � ��N 3� K � �[? � ��N 3 ! � Bq5�� *¦�©[¨�!v¶�¥�ª[«[ª[¯ <�´$«$¦�«|²"²�­�Å_59��©U´$²"«$¶�©[²"¥�³�²"«U![©$ª[#�©AÇ ®*§�©[¨.©[²"¥�Ê�<���5

l"«|¨.©[²"¥"¨l�"§�­�¥"´$®*­*¦�²"�:©�¥&Ã: "²"#�Æ�¥"¥�![©$ª[­|¶�²"��¨°¥&«|²"«$¬�­K¼f«|¨°¥�®�Ç�3hÊ '�ÇÈË�Ê 'Ç 1KÊ_¥�Ç +KÊ 5��B­[¬� �¶�¥"¨z!$¥�!]ª|©[¨_ A "§�«|®*²�©[²"¥"Å_Ð

��� N 3� K � � ��N 3� , ?2��,�+]B`&-78.n, ÇÈ%�Ê

� ��N��� KMUf*'Z���Y�? N��� BCe�� N��� *�iN � b , 8� � � *6, Ç���Ê� ��N���� ! � KMN����� *TQ�, 8� ��� *6, Ç 6KÊ

N 3= K/2 03. +/��, +K$� � � � � � Ç�3f)KÊ�B«|§�«|¨.©$ª[§���´$«$¦�«|²"�B'aÌU«|¼f¥"�µ¥"&(� ª[­*º�© !v¶�¥�ª[«*©[¨Ò¥"´$®�©[!]ª[²"��¨°¥_5°��![©§�«|!$!$¨°«[ª[§�¥"®*«*©[¨°�:©�![©$ª[­|¶�²"�:©ÄÃ: "²"#�Æ�¥"¥±!v¶�¥�ª[«*©[¨x´$«$¦�«|²"²"��¨°¥A²"«�678.B5

1�5P��Z]£a\ �_£ !#":Ö�����£ "$�":Ö¸¢&%('5��Y ��^�×�\_^ )"�hÖ�¢�Ö"×�£l�¦�©[!$¯�¨°�Ò¦�­�#�«$º�©[¨d§�³�¦± �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥"Å_'�«|²"«$¬�­K¼f¥�¶�²"�Q· �"§�¥"²"Æ�¥"��

¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�¥ ©[¼f­�!v¬�©]¦�!]ª[®*¥�³�¨Î¦K¬�³�²�©[�"§�©$§���®*²�­�Ÿ´$«$¦�«$¶�¥_5O ����� ���U� �������%� ���������L��#,�;$�!4+R�D<�� ��+����" D< N 3�! ��79��+R�;/ 678. ���79$#"/D��#,��/�$�&%<�#,� �� ����;#,12# ÇÈ%�Ê / 78.6G%$ & "!�#,1 12���"�� �1-��1 4�( T16 �+- �1-��1& +R#�$%FD< ���;# �*�D+R$ ��� &($D0� �#('>79$%���: �0���#,�;�=<8/ � ��# ?2� @1,�+ @XBAB�C $D0�79�L�( )"F�$ � @ Kq8�G �( �F�$ + @ K$�G �( �F�$ + @ K "#�+*�G �( �F�$ N 3� KqVXW�Y[Z]\ / i78�+*4B-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5��0 "!]ª[¯�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨�Ç ®*­K´$¨°­*º�²�­�']²�©[!]ª[§�­K¼f¥"Å�Ê�¦�­K!]ª[¥"¼h»²� �ª�®*­Ò®*²� �ª[§�©[²"²�©[¨ "´v¬�©:?2� @ ,�+ @JBq' � @ � 8K' ��� * *� @ 0:Q ��+ @ �, � � � ,;�o*qQ[50$"­K¼á¦�«��"§�¥"¨.©[²"¥"¨°­½ "§�«|®*²�©[²"¥�©¸ÇÈ%�Ê 5),0©[®*«$³½¶�«|!]ª[¯�©[¼f­�'�­|¶�©*»®*¥�¦�²�­�'[²�©[­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"«�'[«��"§�«|®*«$³�22²�©[��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"«�5� �ª[­W®*­K´$¨°­*ºÄ»²�­�'�ª[­[¬�¯[#�­�©[!v¬�¥ ��� N 3 *� * K � � ��N 3 *� * KM8K5�À�¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­�'[N 3 *�- � * KqN 3 *� * Ç ��­�»!$#�­[¬�¯[#� �Í$ª[­T2D¨°«|#�!$¥"¨_ "¨>ÊQ¥MN 3 *�+* �� KEN 3

*�+* 5��B§�¥"¨.©[²"¥"¨�§�«|!$!v �ºW¦�©[²"¥�©#± "´v¬�«|¨:?2� @ ,�+ @�.fQ�Bq5��B­[¬� �¶�¥"¨Q'"¶�ª[­)N 3 *�- b�+* K N 3 *�- �+* K N 3 *� * 5��B§�­*¦�­[¬�º�«$³§�«|!$!v �ºW¦�©[²"¥�³"'[��­[¬� �¶�¥"¨�N 3�+* KqN 3 *�+* �"§�¥-+�K ��� * *8� @ � � � �ÄÇÈÃ: "²"#�Æ�¥�³U²"«®*![©[¨Î!v¬�­�©�#�­�²"!]ª[«|²�ª[«�Ê�5 $"«|#�#�«|# N 3 *� * �� KqN 3

*� * '|ª[­�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨l¦�­K!]ª[¥"¼f²� �ª

Page 105: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� �����ª[«|#�º�©Ä²"«Ä!v¬�­�©=� @P*�Q[5�V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­&��­[¬� �¶�«*©[¨Q'�¶�ª[­rN 3 *�+* � b KfN 3

*�+* ¥¸²"«®*![©[¨x "´v¬�©Ä!v¬�­*³�� @ *�QWÃ: "²"#�Æ�¥�³½#�­�²"!]ª[«|²�ª[«�5��B§�­*¦�­[¬�º�«$³½§�«|!$!v �ºW¦�©*»²"¥�©K'���­[¬� �¶�¥"¨Q'K¶�ª[­mN 3� KqVXW�Y[Z]\�® i78� * 5-�¬�³�¨°¥"²"¥"¨_ "¨°«U¦�­�#�«|´$«[ª|©]¬�¯[!]ª[®*­&«|²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�5

� ��#�79����/9 �# (�B �0 "!]ª[¯�![©$ª[­|¶�²"«$³±Ã: "²"#�Æ�¥�³rN 3� ´$«$¦�«|²"«�®/678.¥± *¦�­�®[¬�©*»ª[®*­K§�³�©$ª�!$¥�!]ª|©[¨.©�ÇÈ%�Ê � Ç�3f)KÊ 51$"­K¼á¦�«B©[!v¬�¥�©|©�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨¸¥�¬�¥�¨°¥"²"¥"¨_ "¨zÇ ®ª[­K¨Î¶�¥�!v¬�©U²�©[!]ª[§�­K¼f¥�©*Êa¦�­K!]ª[¥"¼f«|Á�ª[!v³�®U "´v¬�«$·7?2� @ ,�+ @JBq'�ª[­�¬�¥�¹�­=� @ KM8K'¬�¥�¹�­ + @ K$��'�¬�¥�¹�­ + @ K "#�+*$5-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5Q�A!$¥�¬� µÇ�3f)KÊ�Ã: "²"#�Æ�¥�³>N 3� ²�©�#�­�²"!]ª[«|²�ª[«W�"§�¥��5KM8K'¥±��­�ª[­K¨_ ¸²�©U#�­�²"!]ª[«|²�ª[«�® i78�Ä�"§�¥½¬�ÁU¹�­K¨ �_5�À�¨Q5� �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�©ÄË�5O ����� ���U� �������%����������� ��#,�;$�!4+R�D< � ��+����" D< N 3� ��79$D/D��#,��/�$�&%<�#,� �� )"���;#,12# ÇÈ%�Ê���Ç�3f)KÊ / 678.�B C $D0�79� Q ��N 3� �3S U6U1e 0"iN / 678. B-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5>-:­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­ ¦�­�#�«|´$«[ª[¯&Í$ª[­¸²�©$§�«|®�©[²"!]ª[®*­±¦K¬�³ Í[#�!|»ª[§�©[¨°«$¬�¯[²"�Q· ´$²"«$¶�©[²"¥"Å_5��B§�¥ �7KE8Ä­�²�­A®�©$§�²�­�Ð"¨°«|#�!$¥"¨_ "¨EN 3= ¦�­K!]ª[¥�»¼f«*©$ª[!v³z�"§�¥'+�K ��Ï�©[!v¬�¥F­�²F§�«|®�©[²d¥�¬�¥��"§�©[®*­K!v·�­*¦�¥�ª S U6U1e 0 iN]'.ª[­�"§�«|®*«$³µ¶�«|!]ª[¯xÇ���Ê�²�©[��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"«�'°²�­µ¬�©[®*«$³Î¶�«|!]ª[¯xÇ���Ê��"§�¥�RK 8§�«|®*²"« .���8K5��¸¥"²"¥"¨_ "¨"N 3= ¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ª[!v³&�"§�¥ +�K � ¥ ¹�­[¬�¯[Ì�©A3]5

�0 "!]ª[¯�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨ÒÇ ­�² ´$«|®�©]¦�­K¨°­A¹�­[¬�¯[Ì�©�©]¦�¥"²"¥"Æ��0Ê_¦�­K!]ª[¥"¼f²� �ª�²"«¬�©[®*­K¨ #�§�«|ÁÄ'�ª[­d©[!]ª[¯K':®z "´v¬�© ?2� @ , "#� * Bq50TB´µ "§�«|®*²�©[²"¥�³�Ç 6KÊ�¥"¨.©|©[¨� ��N � � * ! �+* ��8K'�ª[­&©[!]ª[¯�N � � * ! �+* �TN � � *�+* Ð��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K5TB´�Ç 6KÊ���­[¬� �¶�«*©[¨Q'°¶�ª[­s©[!v¬�¥�¨°¥"²"¥"¨_ "¨ Ç ¨.©[²"¯[ÌU¥"Åd©]¦�¥"²"¥"Æ��0Ê:¦�­�»

!]ª[¥"¼f²� �ª�®U "´v¬�©5?2� @ , "#�+* Bq'Kª[­ � ��N � � * ! � * �T8KÐ��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K54B!]ª[«$¬�­K!$¯��"§�­�®�©$§�¥�ª[¯W�"§�«|®*��Å�#�§�«|Å_59��!v¬�¥&¨°«|#�!$¥"¨_ "¨¸¦�­��]ª[¥"¼f²� �ª�®

"´v¬�©�?2� @ ,;� Bq'$ª[­W¥"´WÇ���Ê���­[¬� �¶�«*©[¨Q'$¶�ª[­U�"§�¥ N �� �3S U6U1e�06iN>�"§�«|®*«$³B¶�«|!]ª[¯­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"«�'�«�´$²"«$¶�¥�ªK' � ��N �� �T8K504B��³Kª[¯U��­[¬� �¶�¥�¬�¥±�"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K5�¸¥"²"¥"¨_ "¨�´$«|®�©]¦�­K¨°­x¨.©[²"¯[Ì�© S U6U1e 0 iN]5`�0 "!]ª[¯ ­�²z¦�­K!]ª[¥"¼f²� �ª¸® "´v¬�© ?2� @ ,;� Bq50TB´l "§�«|®*²�©[²"¥�³JÇ���ÊU¥"¨.©|©[¨ � ��N ��+* � 8KÐ��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K5l�¦�©[!$¯U�"§�¥"¼f­*¦�¥�¬�!v³�®*!$��­K¨°­K¼f«[ª|©]¬�¯[²"��ű¨°²�­*º�¥�ª|©]¬�¯�®±Ç���Ê 5

�0 "!]ª[¯�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨3N �� * K S U6U1e�0fiN]5�$"­K¼á¦�«Ä¥"´&Ç���Ê°¥"¨.©|©[¨ � ��N �� * Kf8K'ª[­�©[!]ª[¯K' N �� * KMN � �� � * 5�$"«|#�#�«|#>N �� * 2F¨°«|#�!$¥"¨_ "¨Q'|ª[­�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨¸¦�­K!]ª[¥"¼f«�»©$ª[!v³Ä®*­Ä®*²� �ª[§�©[²"²�©[¨µ "´v¬�© KqN � �� � * '|¶�ª[­Ä��­�!v¬�©]¦�!]ª[®*¥"Á�(U²�©[®*­K´$¨°­*º�²�­�5V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�§�«|!$!v �ºW¦�©[²"¥�©�¦K¬�³�¨°¥"²"¥"¨_ "¨°«>N � � *�+* 5

$"«|#Ä#�«|#Ä![©$ª[­|¶�²"«$³�Ã: "²"#�Æ�¥�³>N 3� �fQ:®�678.B'�®*!$��­K¨°­K¼f«[ª|©]¬�¯[²"��Ž¨°²�­�»º�¥�ª|©]¬�¯U!�Z���Y�®±Ç���Êaª[­*ºW¦�©[!]ª[®�©[²"²�­&§�«|®�©[²¸©]¦�¥"²"¥"Æ"©K5

Page 106: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ��������� �������

� ��#�79����/9 �# Ë%BL�0 "!]ª[¯nN 3� ¥ � 3� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�Á�ª�!$¥�!]ª|©[¨.©ÄÇÈ%�Ê � Ç�3f)KÊ�® 678.B5$"­K¼á¦�«�N 3� K�� 3� ® 678.B5�Ç �©[Ì�©[²"¥�©�©]¦�¥"²"!]ª[®�©[²"²�­�Ê�5-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5>-:­�#�«|´$«[ª|©]¬�¯[!]ª[®*­­��"¥"§�«*©$ª[!v³²"«x¦�­�#�«|´$«|²"²"�:©� �ª*»®�©$§�ºW¦�©[²"¥�³�¥±«|²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�¦�­�#�«|´$«[ª|©]¬�¯[!]ª[®[ ¸!v¬�©]¦�!]ª[®*¥�³Î3]5��®�©]¦�©[¨���­*¦�¨°²�­*º�©[!]ª[®*­/67��. ![©$ª[#�¥_'�!$­K!]ª[­*³�Â�©|©U¥"´B "´v¬�­�®m?2��,�+]Bq'�ª[«�»

#�¥�·�'�¶�ª[­±¦K¬�³l#�«$ºW¦�­K¼f­;8����8��* + K "#�103Q�, "#�10M/_, � � � ,;��5�$"­l©[!]ª[¯K'²"«U­*¦�¥"²A "´[©]¬½!v¬�©[®*«�¨.©[²"¯[Ì�©K'K¶�©[¨x® 678.B5���®�©]¦�©[¨�ª[«|#�º�©5!]­�ª[#�§���ª[­�©9#��­*¦�¨°²�­*º�©[!]ª[®*­±![©$ª[#�¥ 7��. !W "´v¬�«|¨°¥"?2��,�+]BQª[«|#�¥"¨°¥_'�¶�ª[­�¦K¬�³½#�«$ºW¦�­K¼f­81� � � * +K$��� *-�10'/_, � � � ,;� *;Q[5 �¸²�­*º�©[!]ª[®*­ i7 �. ��­[¬� �¶�¥"¨�¥"´ 67 �. *¦�«$¬�©[²"¥�©[¨Î "´v¬�­�®'? 89,;� 0MQ�B�¥M? 89,;� Bq5� ��12#�!���+- �# 34B �0 "!]ª[¯5N 3� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª½!$¥�!]ª|©[¨.©lÇÈ%�Ê � Ç�3f)KÊ>® 678.B5�À�©*»ª[­|¶�²"«$³ �"§�­�¥"´$®*­*¦�²"«$³ � ��N 3� ­��"§�©]¦�©]¬�©[²"«lÇ #�«|# ![©$ª[­|¶�²"«$³¸Ã: "²"#�Æ�¥�³�Ê>²"«67��. ¥� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª¸® 7��. !$¥�!]ª|©[¨.©xÇÈ%�Ê 5��B­KÍ$ª[­K¨_ 2­�²"«±��­��"«$¦�«*©$ªA® "!v¬�­�®*¥�³� �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�³½Ë&Ç �"§�¥"²"Æ�¥"�±¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�Ê�5O ����� ���U� �������%� ��������� N 3� ��79$D/D��#,��/�$�&%<�#,� �� ����;#,12# ÇÈ%�Ê���Ç�3f)KÊ / 678.�B� #,�;$�!4+R�D< $ &($" /�$7%+R�D< � ��N 3� +R#$D� & )�%���;# �*�D+R�� >$D0=&(��+- "!�#,+R�>��/�#4&��%�/ 67��. G�$ & "!�#,1 $#�%#,+��"�>+R# ��/9 ��� �� $D� ��B-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5 $"«|#W#�«|#W¨°«|#�!$¥"¨_ "¨ ¥�¨°¥"²"¥"¨_ "¨ � ��N 3� ¦�­K!]ª[¥"¼f«|Á�ª[!v³²"«;!]¼f§�«|²"¥"Æ"©9#=7��. '"ª[­A¦�­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­l�"§�­�®�©$§�¥�ª[¯½­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"²�­K!]ª[¯&´$²"«�»¶�©[²"¥"Å ²"«U²�©[Å_'�ª[­&©[!]ª[¯U®� "´v¬�«$·;? 89,�+]Bq'�?2��,;� B�¥M?2��, "#� 0MQ�Bq5�¸!$¥�¬� �Ç�3f)KÊ � ��N 3= K .���8�¦K¬�³�®*![©]·�+á5�¸!$¥�¬� �Ç���Ê_¥½ �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�³���¥"¨.©|©[¨dÇ �N�KRQP*�iNhÊ�Ð� ��N�� � KMU"*7Z���Y�? N��� BCe�� N��� *MiN � b KqU"*7e��JN��� *MiN � b &'? 89,-U"*7e��N b B ��¸!$¥�¬� �Ç 6KÊ_¥½ �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�³���¥"¨.©|©[¨QÐ

� ��N���� ! � KqN����� *TQ & � 89, S U6U1eL* �N � �$"«|#�¥"¨�­�¹�§�«|´$­K¨Q'�¥"¨.©|©[¨z­KÆ"©[²"#� A¦K¬�³��"§�­�¥"´$®*­*¦�²�­�Å_Ð81� � ��N 3� �MK��� ��-��.�,-U"*7e��N b , S U6U1eL*8�N ��, ?2��,�+]B`& 67 �. �

��®�©]¦�©[¨2��­*¦�¨°²�­*º�©[!]ª[®*­ 67�� �. ![©$ª[­|¶�²�­K¼f­±¨°²�­*º�©[!]ª[®*«7678.ª[«|#"Ð� "´[©]¬?2��,�+]Bc& 678.D®*#�¬�Á�¶�«*©[¨�®467 � �. 'aª[­[¬�¯[#�­�©[!v¬�¥x "´[©]¬E?2�r*fQ�,�+]B�®[·�­*¦�¥�ª±®![©$ª[#� ¥F�"§�¥"²"«$¦K¬�©]º�¥�ª 678.B5,0©[¼f#�­z®*¥�¦�©$ª[¯K'.¶�ª[­s® 67�� �. ¥"²�¦�©[#�! � �82Ç !v¬�­�Å1�OK 8µ²�©Î®[·�­*¦�¥�ª*Ê�'�«µª[«|#�º�©Î²�©Î®[·�­*¦K³Kªµ "´v¬�� � + K "#�3K

Page 107: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� �������� * �¸©[!v¬�¥ ����K"��� �� 50�B­KÍ$ª[­K¨_ µÍ$ª[­&¨°²�­*º�©[!]ª[®*­A��­K§�­*ºW¦�«*©$ª[!v³½¥"´![©$ª[#�¥�#�«|#�­�Å�» ª[­U��­K!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯[Á � � �� ' � �fQ[5�4B�"§�©]¦�©]¬�¥"¨±ª[«|#�º�©¨°²�­*º�©[!]ª[®*­�7�� �. «|²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­-78.B5� ��12#�!���+- �# (�B��0 "!]ª[¯nN 3� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª�!$¥�!]ª|©[¨.©�ÇÈ%�Ê � Ç�3f)KÊ�® 678.B5 $"­K¼á¦�«![©$ª[­|¶�²"«$³��"§�­�¥"´$®*­*¦�²"«$³ ��� N 3� ­��"§�©]¦�©]¬�©[²"«UÇ #�«|#�![©$ª[­|¶�²"«$³UÃ: "²"#�Æ�¥�³�Ê�²"«67 � �. ¥� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª�®�7 � �. !$¥�!]ª|©[¨.©�ÇÈ%�Ê 5��B­KÍ$ª[­K¨_ &­�²"«�!$«|¨°«���­��"«$¦�«*©$ª®� "!v¬�­�®*¥�³Ä �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�³½Ë½Ç �"§�¥"²"Æ�¥"�A¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�Ê�5O ����� ���U� �������*� ��������� N 3� ��79$D/D��#,��/�$�&%<�#,� �� ����;#,12# ÇÈ%�Ê���Ç�3f)KÊ / 678.�B� #,�;$�!4+R�D< $ &($" /�$7%+R�D< ��� N 3� +R#$D� & )�%���;# �*�D+R�; �$D0=&(��+- "!�#,+R� ��/�#4&��%� G$ & "!�#,1 $#�%#,+��"�?+R# ��/9 ��� �� $D� ��B-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5 $"«|#W#�«|#W¨°«|#�!$¥"¨_ "¨¸¥�¨°¥"²"¥"¨_ "¨ ��� N 3� ¦�­K!]ª[¥"¼f«|Á�ª[!v³²"«;!]¼f§�«|²"¥"Æ"©9#=7�� �. '"ª[­A¦�­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­l�"§�­�®�©$§�¥�ª[¯½­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"²�­K!]ª[¯&´$²"«�»¶�©[²"¥"Å ²"«U²�©[Å_'�ª[­&©[!]ª[¯U®� "´v¬�«$·;?]Q�,�+]Bq'�?2��,;� B�¥M?2��, " � �� Bq5

�«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨�¦�®*«W "´v¬�«5?2� 0MQ�,;� B�¥M?2��,;� Bq'6� ��8K5��¸!$¥�¬� �Ç���Ê_¥"¨.©|©[¨���� ���N ���! *'N � �� ��! � KqU"*7e ghN����! *�iNXj

b ,N �� *'N � �� �� KqU"*7e ghN��� *MiNJj b �

���Q¶�ª|©[¨x¥"´W��©$§�®*­K¼f­�®|ª[­K§�­�©K'�§�«|´v¦�©]¬�¥"¨x²"« &(��'� "¨°²�­*º�¥"¨x²"« �"Ð��� N����! * ��� N � �� ��! K3*:��e��JN����! 0;N��� 0)/[iN � ��� N����! �

À�#�­�¹�#�«�®��"§�«|®*­�ÅA¶�«|!]ª[¥ ¹�­[¬�¯[Ì�©W¦�®[ �·&¥ ­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"«�ÏK��­KÍ$ª[­K¨_ ��� N����! ��Q)0 ��e_g N����! 0;N��� 0)/[iNXj �6K ��� N � �� ��! �

�ª[­�­K´$²"«$¶�«*©$ªK'�¶�ª[­�� ��� N ���! �� ��� ��� N � �� ��! �� ¥±´$²"«|#�¥±­*¦�¥"²"«|#�­�®*�:©K54�ª[!$Á�¦�«z¨°� ¦�©]¬�«*©[¨Ñ®*��®*­*¦�'�¶�ª[­F��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��Å�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨ ¥­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"��Å&¨°¥"²"¥"¨_ "¨µÃ: "²"#�Æ�¥"¥ ��� N 3� ²�©B¨°­K¼á �ª�¦�­K!]ª[¥"¼f«[ª[¯[!v³��"§�¥+ K'��Ð�©[!v¬�¥ ��� N �� 2J��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��ŵ¨°«|#�!$¥"¨_ "¨Q'"ª[­ ��� N � �� � � ��� N �� 2�"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K5�V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�!W­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"��¨z¨°¥"²"¥"¨_ "¨°­K¨Q5

$�©[��©$§�¯Ä§�«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨s¦�®*«� "´v¬�«'?2� 0"Q�, " � ���! B�¥f?2��, " � �� Bq'�� �"8K5�À�²"«�»¶�«$¬�«�¥"´v �¶�¥"¨x!v¬� �¶�«|Å5� � ���! K � � �� 0MQ[5_$"­K¼á¦�«�®�!$¥�¬� �Ç 6KÊ����� ����N ��� �� ! ��! *'N ��� ����! � KqN ��� ����! *TQ�,N ��� �� ! � *'N ��� ���

� KqN ��� ��� *TQ �

Page 108: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� � ��������� �������

���Q¶�ª|©[¨x¥"´W��©$§�®*­K¼f­�®|ª[­K§�­�©K'�§�«|´v¦�©]¬�¥"¨x²"« &(��'� "¨°²�­*º�¥"¨x²"« �"Ð��� N ��� �� ! ��! * ��� N ��� ����! K�� ��� N ��� ����! �

�B­KÍ$ª[­K¨_ T?]Q-0=��B ��� N ��� �� � ���! K ��� N ��� �� � ��! ��! '[ª[­�©[!]ª[¯ �� ��� N ��� �� � ���! �� � �� ��� N ��� �� ���! ��! ��¥�´$²"«|#�¥U­*¦�¥"²"«|#�­�®*�:©K5]V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�©��"§�¥"®�©]¦�©[²"²�­K¨_ Ä®*��Ì�©:§�«|!$!v �ºW¦�©*»

²"¥�©W��­�#�«|´$��®*«*©$ªK'*¶�ª[­���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��ű¨°«|#�!$¥"¨_ "¨�¥A­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"��Ũ°¥"²"¥"¨_ "¨2Ã: "²"#�Æ�¥"¥ ��� N 3� ²�©�¨°­K¼á �ª�¦�­K!]ª[¥"¼f«[ª[¯[!v³&®� "´v¬�©r?2��, "#�9Bq'�©[!v¬�¥� � �� K$� � �� �� 0MQ[5$�©[��©$§�¯U¥"´v �¶�¥"¨x!v¬� �¶�«|Å_'�#�­K¼á¦�« � � ���! K$� � �� 5�� !$¥�¬� xÇ 6KÊ����� ����

N ��� ����! *'N ��� �� �� ��! � KqN ��� �� �� ��! *TQ�,N ��� �� ! � *'N ��� ���

� KqN ��� ��� *TQ ����Q¶�ª|©[¨x¥"´W®|ª[­K§�­K¼f­&��©$§�®*­�©�¥A "¨°²�­*º�¥"¨x²"« �"Ð

� N ��� �� �� ��! *'N ��� ��� � 0��JN ��� �� ! � *'N ��� ����! �6K�� �JN ��� ��� *'N ��� �� �� ��! � �,>�"§�­K!]ª[¥"¨QÐ

?]Q�0 ��B��JN ��� �� �� ��! *'N ��� ��� �6K3* �JN ��� �� ! � *'N ��� ����! � � �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨z­�ª]¦�©]¬�¯[²�­�®|ª[­K§� "Á�!$#�­�¹�#� _Ð

N ��� �� �� ��! *'N ��� ��� KMN ��� �� �� ��! *'N ��� ����! 0;N ��� ����! *'N ��� ��� KK3* � ��N � � ����! � 0 ��� N � � ����! &(� �

V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�!�ª[§�©$ª[¯|©[Ÿ!$#�­�¹�#�­�Å_ÐN ��� �� ! � *'N ��� ����! K � ��N ��� ��

! ��! �c* ��� N ��� ��! ��! &(� ��B­*¦�!]ª[«|®[¬�³�©[¨z��­[¬� �¶�©[²"²"�:©�®*��§�«$º�©[²"¥�³�¥±�"§�©[­�¹�§�«|´v �©[¨QÐ

?]Q)0 ��B ��� N ��� ����! K ��� N ��� ��! ��! 0

�&(� � � ��N ��� ����! * � ��N ��� ��

! ��! � 0� b&(� � ��N ��� ����! �

À�#�­�¹�#�«½®½�"§�«|®*­�Ål¶�«|!]ª[¥�§�«|®*²"«7* � � ��N ��� ����! �'K:* ��� N ��� ����! ��Ç �"§�¥"¨.©[²"¥�¬�¥ "§�«|®*²�©[²"¥�©½ÇÈ%�Ê Ê�5��B­KÍ$ª[­K¨_ ¸¥"¨.©|©[¨� Q)0 � 0 � b&(��� ��� N ��� ����! K ��� N ��� �� ! ��! 0� b&(� � ��N ��� ����! Ç�3*3hÊ

Page 109: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� ��� �4�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"��Å ¨°¥"²"¥"¨_ "¨Î¦�­K!]ª[¥"¼f²� �ª�¹���ª[¯U²�©U¨°­*º�©$ªK'���­�ª[­K¨_ A¶�ª[­� Q)0 � 0 � b&(��� ��� N ��� ����! � ��� N ��� �� ! ��! ���!v¬�¥ ©[!v¬�¥ ��� N ��� ����! ��8�2�¨°¥"²"¥"¨_ "¨Q'�ª[­ ��� N ��� ��

! ��! ��8U¥� Q)0 � 0 � b&(��� ��� ��� N ��� ����! ��� � ��� ��� N ��� �� ! ��! ��� �l"²"«$¶�¥�ªK' �� ��� N ��� ����! �� ��� ��� N ��� ��

! ��! �� ¥±��­�ª[­K¨_ ��� N ��� ����! � ��� N ��� ��! ��! 5�B§�­*¦�­[¬�º�«*©[¨x§�«|!$!v �ºW¦�©[²"¥�©K5���©$§�©[�"¥"Ì�©[¨Ç�3*3hÊ_®�®*¥�¦�©

?]Q)0 ��B ��� N ��� ����! K ��� N ��� ��! ��! 0

� b&(� � � ��N ��� ����! * ��� N ��� ����! �,

¥Aª[­K¼á¦�«�®Ä!$¥�¬� ±­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"²�­K!]ª[¥;8� � ��N 3� ��?]Q)0 ��B ��� N ��� ����! � ��� N ��� ��

! ��! 0� b&(� ��T* ��� N ��� ����! � �

4�ª[!$Á�¦�«Ä!v¬�©]¦* �©$ªK'�¶�ª[­A©[!v¬�¥ ��� N ��� ����! ¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ª���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­K¼f­&¨°«|#�»!$¥"¨_ "¨°«�'�ª[­�²�©F¹�­[¬�¯[Ì�©[¼f­ 05��Ñ�"§�­�ª[¥"®*²�­K¨ !v¬� �¶�«*©F��©$§�®*«$³Ò!$#�­�¹�»#�« ¹�­[¬�¯[Ì�©±©]¦�¥"²"¥"Æ��B'a«A��­K!v¬�©]¦�²�³�³µ!$#�­�¹�#�«±­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"«�'P��­KÍ$ª[­K¨_ ��� N ��� ����! � ��� N ��� ��

! ��! ,K¶�ª[­��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�ªÄ²"«$¬�¥�¶�¥"ÁJ¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�54B!]ª[«$¬�­K!$¯Î¥"´v �¶�¥�ª[¯µ!v¬� �¶�«|Å1�OK Q[5�SB«|��­K¨°²"¥"¨Q'Q¨°� ¦�­�#�«|´$��®*«*©[¨­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"²�­K!]ª[¯l![©$ª[­|¶�²�­�ÅdÃ: "²"#�Æ�¥"¥ ��� N 3� 5.¤K§�«|²"¥�¶�²"�:©± "´v¬�� +cK �¥'+ K " � � K � �º�©¸¥"´v �¶�©[²"�B5>��®�©]¦�©[¨�­�¹�­K´$²"«$¶�©[²"¥�© K 3 K N 3 *MN 3= ¥�"§�¥"¨.©[²"¥"¨x!$¥�!]ª|©[¨_ zÇÈ%�Ê_�"§�¥ �5KRQ['6� *TQ � +�� ��Ð��� N 3 K

N 3 �� *7/1N 3 0;N3 ! � b K N 3 �� = *7/1N 3= 0;N 3 ! =

� b 0K 3 �� *7/�K 3 0PK 3 !

� b �SB­ N 3 �� = * /1N 3= 0cN 3 ! = KqN 3= * .��L* /1N 3= 0cN 3= 01.���Kq8:¥"´|» ´$«0®*¥�¦�«B²"«$¶�«$¬�¯[²"�Q· "!v¬�­�®*¥"ÅxÇ�3f)KÊ 5�/Q§�­K¨.©�ª[­K¼f­�' ��� N 3 K�K�3HU &X=[504B#�­�²�¶�«[ª|©]¬�¯[²�­½¥"¨.©|©[¨

� b K�3�K &X=�g K 3 �� *7/�K 3 0PK 3 ! j ��0 "!]ª[¯�®Ä "´v¬�©7?]Q�,�+ @XB0Ã: "²"#�Æ�¥�³ ��� N 3� ¦�­K!]ª[¥"¼á¬�«���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­K¼f­A¨°«|#�»!$¥"¨_ "¨°«�ÏBª[­K¼á¦�« K 3 * ª[­*º�©�¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ªF��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­K¼f­�¨°«|#�!$¥"¨_ "¨°«�5�B§�¥FÍ$ª[­K¨�¬�©[®*«$³�¶�«|!]ª[¯l��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"«�'>«l�"§�«|®*«$³x­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"«"2�"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K5.V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­µ��­�#�«$º�©[¨�­�ª[!v �ª[!]ª[®*¥�©l­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²�­K¼f­¨°¥"²"¥"¨_ "¨°«��"§�¥ �5KRQ[5

�B­*¦�®�©]¦�©[¨Ò¥�ª[­K¼f¥_5 �¸¥"²"¥"¨°«$¬�¯[²�­�©½¥x¨°«|#�!$¥"¨°«$¬�¯[²�­�©A´$²"«$¶�©[²"¥�©A![©*»ª[­|¶�²�­�ÅAÃ: "²"#�Æ�¥"¥ ��� N 3� ® 67�� �. ¦�­K!]ª[¥"¼f«*©$ª[!v³�®B "´v¬�«$·m?2� @ ,�+ @JBP�"§�¥ � @ K3Q['

Page 110: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ��������� �������

+ @ K���¥�¬�¥ + @ K�� � ��+* * � @]5d40¦�²"«|#�­&­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"��Ål¨°¥"²"¥"¨_ "¨�¦�­K!]ª[¥�»¼f«[ª[¯[!v³�²�©:¨°­*º�©$ª�²"¥�®�­*¦�²�­K¨ !v¬� �¶�«*©KÏ]´$²"«$¶�¥�ªK' ��� N 3� �T8:® 67 � �. 5�4�ª[!$Á�¦�«!v¬�©]¦* �©$ªK'_¶�ª[­Î¨°«|#�!$¥"¨_ "¨ ��� N 3� ®467�� �. ��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�©[²�Ç ¥�¬�¥z²�­[¬�¯K'P©[!v¬�¥��� N 3� � 8*Ê�5�4B²Î²�©�¨°­*º�©$ª½¹���ª[¯�¦�­K!]ª[¥"¼f²� �ª��"§�¥ � @oK:QU¥Î�"§�¥ + @oK���'«½�"§�¥ + @cK1��� * * � @U²�©&�"§�©[®*­K!v·�­*¦�¥�ª 0'�#�­�ª[­K§�«$³l²�©½´$«|®*¥�!$¥�ª&­�ª �"5�B­KÍ$ª[­K¨_ )8� ��� N 3� �2® 67�� �. '�¶�ª[­�¥Aª[§�©|¹�­�®*«$¬�­K!$¯K5

�B­*¦K¶�©$§�#�²�©[¨Q' ¶�ª[­ ­�¹�© ![©$ª[­|¶�²"�:© �"§�­�¥"´$®*­*¦�²"�:© Ã: "²"#�Æ�¥"¥ N 3�²�©[­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"� ¥­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"� #�­�²"!]ª[«|²�ª[­�Å 0'Q²�©�´$«|®*¥�!v³�Â�©[Å­�ª�"5

� ��#�79����/9 �# ��B �B­�#�«$º�©[¨Q'�¶�ª[­D![©$ª[­|¶�²"«$³D�"§�­�¥"´$®*­*¦�²"«$³D²"«Ò�"§�«|®*­K¨#�§�«|Á � ��N �� §�©[Ì�©[²"¥�³;N 3� !$¥�!]ª|©[¨°� Ç � Ê.­�ª]¦�©]¬�©[²"«&­�ª�²� [¬�³"Ï�ª[­ ©[!]ª[¯K'"!v �»Â�©[!]ª[®[ �©$ª�ª[«|#�­�©�����8K'�¶�ª[­ � ��N �� ���A�"§�¥ �5KM89,JQ�, � � � ,;*±5-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5��B§�©]¦���­[¬�­*º�¥"¨Q'a¶�ª[­ � ��N �� * �����"§�¥x#�«|#�­K¨>» ª[­ � @]5$�©[­K§�©[¨°«Ä6� �ª[®�©$§�ºW¦�«*©$ªK'�¶�ª[­�![©$ª[­|¶�²"«$³½�"§�­�¥"´$®*­*¦�²"«$³ ��� N 3� ²�©[­�ª[§�¥"Æ�«�»ª|©]¬�¯[²"«A®Aª|©]·¸ "´v¬�«$·l![©$ª[#�¥_'_¼á¦�©&­�²"«A­��"§�©]¦�©]¬�©[²"«�5PÀ�¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­�'_®!$¥�¬� xÇÈ%�Ê '�²�©[­�ª[§�¥"Æ�«[ª|©]¬�¯[²"«Ä¥ � � ��N 3� Ï�­�ª[!$Á�¦�«���­[¬� �¶�«*©[¨Q'�¶�ª[­&![©$ª[­|¶�²"«$³Ã: "²"#�Æ�¥�³ � ��N 3� ²�©0 �¹���®*«*©$ª���­8+a�"§�¥�´$«$¦�«|²"²�­K¨5�_5�l"²"«$¶�¥�ªK'[�"§�¥ �5K � @![©$ª[­|¶�²"«$³½Ã: "²"#�Æ�¥�³ � ��N 3� * ���½�"§�¥ +�K "#� * , � � � ,;��5�¸!$¥�¬� �Ç 6KÊ�N � � *�+* �"Q)0��a59$"­K¼á¦�«

N �� * �fQ)0�� 0 ��3 � � � * !

� ��N � *3 ���"Q)0�� 0�� ��? � * "#� * B ��fQ)0�� 0�� � ��fQ)0�� 0���? +'*PN���B �fQ)0���? + 0MQ�B �

SB­½®&!$¥�¬� zÇ���Ê`N ��+* � S ? Uf*���BAU1e�0fiN]5��B­KÍ$ª[­K¨_ MN ��+* ��­*¦K¶�¥"²�©[²"«�¦�®*­�Å�»²�­K¨_ �²�©$§�«|®�©[²"!]ª[®[ _5[X�ª[­�¹��x��­[¬� �¶�¥�ª[¯��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K'�²� �º�²�­W!v¦�©]¬�«[ª[¯¬�©[®[ "Á�¶�«|!]ª[¯U²�©U¨.©[²"¯[Ì�©��"§�«|®*­�Å_Ð�iN�08S ? U"*���BAU1e �fQ*0��? + 0�Q�Bq5����0»��­[¬�²�³�³�Í]¬�©[¨.©[²�ª[«|§�²"�:©��"§�©[­�¹�§�«|´$­�®*«|²"¥�³"'K��­[¬� �¶�«*©[¨

e ? + 0MQ�B b � b 0Eg /�e��N ? + 0MQ�B�0MQ�j��*�? Uf*7e��N b B �T8 � �ª[­�ª�#�®*«$¦�§�«[ª[²"��Å�ª[§�©]·K¶K¬�©[²½¥"¨.©|©$ªB¦�®*«�#�­K§�²�³�§�«|´$²"�Q·�´$²"«|#�­�®�'*��­[¬�­�»º�¥�ª|©]¬�¯[²"��Å #�­K§�©[²"¯ 6�a50 �©[Ì�©[²"¥�©Ä²�©$§�«|®�©[²"!]ª[®*« 8 ��� � 6�a50�B§�¥ ª[«|#�¥�·� ¥"¨.©|©[¨��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©K'�!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­�'"�"§�©]¦���­[¬�­*º�©[²"¥�© � ��N �� * ���²�©[®�©$§�²�­�Ï�ª[«|#�¥"¨x­�¹�§�«|´$­K¨Q' � ��N �� � 6�A�"§�¥±®*![©]·��_5

Page 111: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� �����+�5P�W^�¢��|^aZ��UÖ��fÖ !_^µ`|Z]Y "�Y[\a£

-:­�!$¥�·U��­K§�¨°�Î!v¶�¥�ª[«$¬�¥Ä![©$ª[#� �´$«$¦�«|²"²�­�Å_'hª[­U©[!]ª[¯0²"«|§�³�¦* �!�ÌU«|¼f­K¨�U¹��Q¬�¥�¥"´$®�©[!]ª[²"�x¥ÄÌU«|¼f¥ &(��5�l"«$¦�«|²"²�­�ÅÄ!v¶�¥�ª[«$¬�¥�ª[«|#�º�©�¥Ä��­K!v¬�©]¦�­�®*«�»ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯ ����'$#�­�ª[­K§�«$³U­��"§�©]¦�©]¬�³�©$ªB![©$ª[­|¶�²� "Á­�¹�¬�«|!]ª[¯0­��"§�©]¦�©]¬�©[²"¥�³678.Ò´$«$¦�«$¶�¥_5"À�¬�©]¦* �©$ª�¦�­���­[¬�²"¥�ª[¯�!$¥�!]ª|©[¨_ 2ÇÈ%�Ê � Ç�3f)KÊ '�¶�ª[­�¹��Ò²"«$·�­*¦�¥�ª[¯¥"´�²�©|©K'K#�§�­K¨.©>N 3� '�ª[«|#�º�© &(��¥ ����5�-�¬�³�Í$ª[­K¼f­�§�«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨x![©$ª[­|¶�²"��Å«|²"«$¬�­K¼� "§�«|®*²�©[²"¥�³½ÀQª|©|Ã�«|²"«&Ç �KÊ Ð

��� <���! KE?A<���! *r<��9BAU &(� KE? N ���� B �� *TQ � Ç�3f(KÊ�¸�µ´$²"«*©[¨Q'4¶�ª[­ N ���� �fQ>¥Uª|©[¨A!$«|¨°��¨A!$¨.©[Â�©[²"¥�©:��­*¦�®*¥�º�²�­�Å�¼f§�«|²"¥"Æ��<���! *'<�� �q8K5�X�ª[­�¹��ÒÍ$ª[­½!$¨.©[Â�©[²"¥�©Ä�"§�¥¸��©$§�©]·�­*¦�©Ä­�ªÄ!v¬�­*³½#½!v¬�­KÁ¹��Q¬�­x®Î�"§�©]¦�©]¬�«$·zª[­|¶�²�­K!]ª[¥§�«|®*²�­x��­x¨°­*¦* [¬�ÁRÌU«|¼á ��"'.ª[§�©|¹| �©$ª[!v³!$��©[Æ�¥"«$¬�¯[²"��ÅA®*�:¹�­K§AÌU«|¼f« &(��Ð

&(��KqN ���� ? N ���� *TQ�B �� � �40¦�²"«|#�­W²�©0¥�!$#�¬�Á�¶�©[²�­�'$¶�ª[­ N ���� ¹�¬�¥"´$#�­W#U©]¦�¥"²"¥"Æ"©K'[¥�ª[­K¼á¦�« &(��¨°­*º�©$ª¹���ª[¯B²�©]¦�­��� "!]ª[¥"¨°­Ä®�©]¬�¥"#�­�5 �¸��¦�­[¬�º�²"�s¼f«|§�«|²�ª[¥"§�­�®*«[ª[¯K'$¶�ª[­ &(��� 8�"§�¥ � � 8K'�¥"²"«$¶�©U²�©$ª�«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥_5,>§�«|®*²�©[²"¥�©�Ç �KÊ�!$®[³�´$��®*«*©$ªW!$#�­K§�­K!]ª[¯�¦�®*¥�º�©[²"¥�³�¼f§�«|²"¥"Æ��s!�­�ª[#�¬�­�»

²�©[²"¥�©[¨TN ���� ­�ª�©]¦�¥"²"¥"Æ��B5_�B­KÍ$ª[­K¨_ ±¹| *¦�©[¨ !v¶�¥�ª[«[ª[¯K'[¶�ª[­��"§�¥7!]¨°«$¬��Q·�#N ���� ¼f§�«|²"¥"Æ�«U²�©[��­*¦�®*¥�º�²"«�5�! �¸«$¬��:©9# N ���� ­��"§�©]¦�©]¬�¥"¨�ª[«|#"Ð

N����� *TQ � .�� � � Ç�34Ë�Ê�B­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯�¬�©[®*­�Å�¶�«|!]ª[¥�¼f«|§�«|²�ª[¥"§� �©$ª[!v³�¦�­�#�«|´$«|²"²"��¨°¥W �ª[®�©$§"»ºW¦�©[²"¥�³�¨°¥_5�SB«�ÌU«|¼ ��²"«$¬�­*º�¥"¨µ "!v¬�­�®*¥�©

� �"Q � Ç�3 �KÊ��¼f­¸!$¨°��!v¬Î®Aª[­K¨Q'a¶�ª[­�¹��J²"«$¶�«$¬�¯[²�­�©½´$²"«$¶�©[²"¥�©½²"«A��­*¦�®*¥�º�²�­�Åz¼f§�«�»²"¥"Æ"©�N�= K3Q)03.�²�©�­�#�«|´$«$¬�­K!$¯6!]¨°«$¬�­d#*5

$"«|#�¥"¨�­�¹�§�«|´$­K¨Q'�ÌU«|¼ &(��®*�:¹�©$§�©[¨�ª[«|#"Ð

&(� K���� ���

N ����N ���� *TQ ��, N ���� *TQ � .�� �Q)03. � �

.� ��K 6&d, ¥"²"«$¶�©

, 8� � � * *TQ � Ç�3f1KÊ

�¸«|#�!$¥"¨°«$¬�¯[²"��Å�ÌU«|¼�­�¹�­K´$²"«$¶�©[² 6& � � ��?]Q-0 . �� B�K�c? � ��Bq5*�&��©$§�®*­K¨!v¬� �¶�«*©±![©$ª[­|¶�²"«$³Î��­*¦�®*¥�º�²"«$³l¼f§�«|²"¥"Æ�«A!$¨.©[Â�«*©$ª[!v³Î²"«A­*¦�¥"²x "´[©]¬�'_«

Page 112: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� � ��������� �������

®*­Ä®|ª[­K§�­K¨�­K!]ª[«*©$ª[!v³�²�©[��­*¦�®*¥�º�²�­�Å_ÏK®���©$§�®*­K¨Î!v¬� �¶�«*©W¨°�z¦�­�¹�«|®[¬�³�©[¨#&²�­�®*­K¨_ ¸!v¬�­KÁJ­*¦�¥"²½ "´[©]¬A!v¬�©[®*«�'�«�®*­�®|ª[­K§�­K¨R2�²�©$ªK50�B­KÍ$ª[­K¨_

����! K�� ����, N����� *TQ � .�� ���� 0MQ�, N ���� *TQ � .�� � , 8 � � � * *TQ � Ç�3f+KÊ

-:­�¹�«|®*¥"¨FÇ�3f1KÊ_¥�Ç�3f+KÊ_#&!$¥�!]ª|©[¨.©AÇÈ%�Ê � Ç�3f)KÊ 5��B­[¬� �¶�¥"¨x!$¥�!]ª|©[¨_ zÇ � Ê�5� ��12#�!���+- �# Ë%B �0 "!]ª[¯6N 3� *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ªA!$¥�!]ª|©[¨.©µÇ � Ê�® 67 5�l"«|¨.©$ª[¥"¨Q'¶�ª[­-� K$� = K � ®�!$¥�¬� �Ç�3 �KÊ 5[�B­KÍ$ª[­K¨_ ¸²"«W!v¬�­�© �5KRQ0²"«U­*¦�¥"²& "´[©]¬¹�­[¬�¯[Ì�©K'a¶�©[¨Ò²"«±!v¬�­�©5�"K 8K5P��!$«|¨°­K¨d¦�©]¬�©K' 67 !$­K!]ª[­�¥�ªK'°¥"´� "´v¬�­�®?2��,�+]Bq'�8 ��#� Q[' � *5�#�"+���5��0 "!]ª[¯�![©$ª[­|¶�²"«$³ �"§�­�¥"´$®*­*¦�²"«$³ � ��N 3�§�«|®*²"«&#�­�²"!]ª[«|²�ª|©½® i7�� 5�$"­K¼á¦�«&®½!$¥�¬� �Ç�3f)KÊ � ��N 3� K .Ñ® 67�� 5"-:«$¬�©|©K'�®!$¥�¬� �Ç 6KÊ N�= K N � �� K Q 0 . ¥RN� K N � �� 0 � ��N� �MK Q 0 . 0 .��"5V�²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�'�N � ! � K N� 0 � ��N� "6��K Q 0 . 0 .�� 0 . "6��K Q 0 . 0.�? " 07Q�B��"59�B­KÍ$ª[­K¨_ ;N . K3Q 0 . 0 .�? *k*-�%0;Q�B��"59 �«|!$!v �ºW¦�«$³�ª[«|#�º�©K'��­[¬� �¶�¥"¨"N .= KRQ)03. 03.�? * * �rB����KMN . 5��¸!$¥�¬� �Ç +KÊ '�­*¦�²"«|#�­�'

N .= KqN . K S ? U"* . BAU1e 0"iN ��B­[¬� �¶�©[²"²�­�©��"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©W­K´$²"«$¶�«*©$ªK'$¶�ª[­ � ��N 3� ²�©B¨°­*º�©$ª�¹���ª[¯B#�­�²�»!]ª[«|²�ª[­�Å ® i7�� '�«U´$²"«$¶�¥�ªK'�¥±® 67��. �"§�¥5* �fQ[5

%�5P "Y ��Y[\a£aY>��£����*Y "��-:­�#�«$º�©[¨Q']¶�ª[­U!$¥�!]ª|©[¨°«�Ç � ÊPÇ ²"«|��­K¨°²"¥"¨Q'v¶�ª[­UÍ$ª[­W!$¥�!]ª|©[¨°«ÄÇÈ%�Ê � Ç�3f)KÊ�¥Ç�3f1KÊ '�Ç�3f+KÊ Ê_¥"¨.©|©$ª�§�©[Ì�©[²"¥�©K'� "#�«|´$«|®�«$¬�¼f­K§�¥�ª[¨x©[¼f­Ä��­K!]ª[§�­�©[²"¥�³"5��"·�­*¦�»

²"�:©&¦�«|²"²"�:©KÐ�U�'�ev' iNv' *�'�+Q'�<�=�¥"�d5� �©[Ì�©[²"¥�©)2 Í$ª[­µ²"«*¹�­K§ &(�¸�"§�¥8�� � ��* *qQ[' ���±�"§�¥M8�� � ��*±'�N 3� �"§�¥M8��'�8� *±' "#�9� + ����Ï�"§�¥sÍ$ª[­K¨�­*¦�²�­K´$²"«$¶�²�­Î­��"§�©]¦�©]¬�©[²"� ��Ç ­�²�­¸ *¦�®*­[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ªsÇ�3 �KÊ Ê�' ��'� K � =B¥5* Ç !$¨Q5�!]ª[§�5P3f)�Ë�Ê�5[SB«|��­K¨°²"¥"¨Q'�¶�ª[­ "#� K$���o*%�_5V:¬�¼f­K§�¥�ª[¨QÐÇ�3hÊc�0 "!]ª[¯��6Kq8K5_�B­[¬�­*º�¥"¨ � = K$� 5 �B§�¥%� = � +�� ��­��"§�©]¦�©]¬�³�©[¨

N 3= ¥"´�Ç�3f)KÊ 5Ç (KÊ 4B�"§�©]¦�©]¬�³�©[¨$&(��¥"´�Ç�3f1KÊ 5040¶�©[®*¥�¦�²�­�' � � &(� � 6&"5ÇÈË�Êc4B�"§�©]¦�©]¬�³�©[¨$����! ¥"´ÄÇ�3f+KÊ 59��!v¬�¥%����! K � 0;QUÇ ªK5 ©K5"#��! Kq8*Ê�'´$«$¦�«$¶�«U§�©[Ì�©[²"«AÇ ¼f§�«|²"¥"Æ�«�¦�­K!]ª[¥"¼á¬�«�²� [¬�³�Ê�5Ç �KÊ0,>®�©]¬�¥�¶�¥"¨$�±²"«�©]¦�¥"²"¥"Æ� _5���!v¬�¥ �5K$*±'K´$«$¦�«$¶�«U§�©[Ì�©[²"«�5Ç 1KÊ�����§�«|´$¥"¨�¥"´B¬�¥"²�©[Å"²�­K¼f­Ä "§�«|®*²�©[²"¥�³¸Ç 6KÊ�N ���� ¶�©$§�©[´�N ��� ! � Ð

N ���� K N ��� ! � 0 �Q)0 � K�� ��� N ��� ! � 0� ��� �

Page 113: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� �����/Q­KÍ|ÃBÃ�¥"Æ�¥�©[²�ª[��¬�¥"²�©[Å"²�­�Å !$®[³�´$¥±®*���"¥"Ì�©[¨�­�ª]¦�©]¬�¯[²�­�Ð� ��� KR?]Q�0 ��B �� , � ��� K���?]Q)0 ��B �� � Ç�34%�Ê

Ç +KÊ�����§�«|´$¥"¨�®*![©rN 3� ' + K "#�10fQ[' 5h5v5h' � *"QW¶�©$§�©[´mN 3 ! � ¬�¥"²�©[Å"²�­¸!²�©[­��"§�©]¦�©]¬�©[²"²"��¨°¥¸#�­KÍ|ÃBÃ�¥"Æ�¥�©[²�ª[«|¨°¥xÇ ¨.©$ª[­*¦A�"§�­K¼f­�²"#�¥�Ê�Ð

N 3� K�� 3hN 3 ! � 0�43 � Ç�3���ÊÇÈ%�Ê �B­*¦�!]ª[«|®*¥"¨dÇ�3���Ê_®±ÇÈ%�Ê_®*¨.©[!]ª[­mN 3 �� � �B­[¬� �¶�¥"¨dÇ � � K�� b U &(� �� Ê� 3�KE?h/!0 � �o* � 3 �� B �� , �43�K � 3-? � �_N 3� �� 0�43 �� B � Ç�3f6KÊ

�ª[­ 2 §�©[#� "§�§�©[²�ª[²"«$³���­K!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯!2²"«$¶�«$¬�¯[²"��¨°¥¦�«|²"²"��¨°¥ÑÇ�34%�Ê ' � �2¥"´$®�©[!]ª[²�­�Ï � 3Ä¥ �43��"§�¥ "#� ��+ � �6* Q­��"§�©]¦�©]¬�³�Á�ª[!v³&­*¦�²�­K´$²"«$¶�²�­�5� ��12#�!���+- �# ��BQ-:­�#�«$º�©[¨s��­½¥"²�¦* "#�Æ�¥"¥_'�¶�ª[­�� 3`&)? 89,JQ�Bq' �43��"8�"§�¥ "#�:� +�� ��*rQ[5|-�¬�³ +�K "#��Í$ª[­�ª[«|#"'�!$¨Q5�Ç�34%�Ê 5_��!v¬�¥½Í$ª[­�ª[«|#¦K¬�³-+�*TQ['�ª[­�¥"´�Ç�3f6KÊ_Í$ª[­&®�©$§�²�­�¥½¦K¬�³-+á5

Ç���Ê �B­*¦�!]ª[«|®*¥"¨dÇ�3���Ê_�"§�¥ +�K$� *TQB®AÇ���Ê Ðe �Lg N��� j b 0;N��� gCQP* � � �� *7/#��e1iNXjP*3g-? U"*7e1iN b B�� 0� � �� j KM8 � Ç (*)KÊTB´�´$«|¨.©]¶�«|²"¥�³9�½!v¬�©]¦* �©$ªK'�¶�ª[­¸!$®*­�¹�­*¦�²"��Ål¶K¬�©[²�Í$ª[­K¼f­± "§�«|®K»²�©[²"¥�³Ä¨.©[²"¯[Ì�©W²� [¬�³"Ð�#�­K§�²"¥±®�©[Â�©[!]ª[®�©[²"²"�F¥½§�«|´$²"�Q·�´$²"«|#�­�®�5���:¹�¥"§�«*©[¨���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"��Å_Ð[N �� ­��"§�©]¦�©]¬�³�©$ª[!v³&­*¦�²�­K´$²"«$¶�²�­�5

Ç 6KÊ �B­[¬�¯[´v �³�!$¯B!$®[³�´$¯[Á�Ç�3���Ê�¥½Ã�­K§�¨_ [¬�«|¨°¥µÇ�3f6KÊ�¥lÇ�34%�Ê '*��­K!v¬�©]¦�­�®*«�»ª|©]¬�¯[²�­�­��"§�©]¦�©]¬�³�©[¨fN 3� ¦K¬�³-+�K �n*TQ['6�n*7/�'�5v5h5v' "#�

Ç�3f)KÊ�T0¦�©[¨�²"«�ÌU«|¼:(�540¶�©[®*¥�¦�²�­�'*«$¬�¼f­K§�¥�ª[¨ ´$«|®�©$§�ÌU«*©$ª[!v³�´$«�#�­�²�©]¶�²�­�©B¶�¥�!v¬�­U¥�ª|©$§�«|Æ�¥"Å_Ð

¬�¥�¹�­�²"«UÌU«|¼4©�Ë½Ç �"§�¥½¦�­K!]ª[¥�º�©[²"¥"¥ ¼f§�«|²"¥"Æ"©[ű²� [¬�³�Ê�'�¬�¥�¹�­�²"«�ÌU«|¼4©-�Ç ��­�¥�!]ª|©]¶�©[²"¥"¥¸§�«|!v¶�©$ª[²�­K¼f­�®*§�©[¨.©[²"¥�Ê�5O ����� ���U� �������*� ��������� N 3� G�&(� ��� #����� &(#*)�#,+- �#3�� ����;#,1�� &�� ' � 79$%���;���;$�!4+R$ 12�4��$ B�C $D0�79� �,��.�#����/*��E� /*&(#,12#,+R� * � * ! G +R# ��/9 ��=<(.5 �# $D� ��G �;���� �# G !4�;$ $ & * K/* � �4�*0�$�& ���1 ��/�#4& )5 ��;�=<+R� )���0�#� & 0=&(��+- )�%� +R#L79$%���: �0 +R#,� +9�4��< �O79��+�+R$%# /*&(#,1R< ' G � $ & *qK * ! �4�*0�$�& ���1 ��/�#4& )5 ��;�=<>+R�:)���0�# � & 0=&(��+- )�%�?79$%���: �0 +R#,� +9�4��<79$ ����;#�!�#,+- D<V79��+�+R$D0�$ /*&(#,12#,+- +' B-B^��Ö�hÖ��*Y�%(J����*`*^P5�À�²"«$¶�«$¬�«� "!]ª[«|²�­�®*¥"¨�­KÆ"©[²"#� ½¦K¬�³Ä®*§�©[¨.©[²"¥9* � 5[l"«ÌU«|¼ ��­�®*§�©[¨.©[²"¥�¼f§�«|²"¥"Æ�«Î¬�¥�¹�­F!$¨.©[Â�«*©$ª[!v³d²"«x­*¦�¥"²Ò "´[©]¬®[¬�©[®*­�'¬�¥�¹�­A­K!]ª[«*©$ª[!v³±®&�"§�©]º�²�©[¨z "´v¬�©K5�TB´$²"«$¶�«$¬�¯[²�­&­�²"«�´$«|²"¥"¨°«$¬�«� "´[©]¬¸!

Page 114: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ��������� �������

¥"²�¦�©[#�!$­K¨ � '[!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­�'|²� �º�²�­W²�©B¨.©[²�©|©���ÌU«|¼f­�®���­W®*§�©[¨.©[²"¥¦K¬�³Ä¦�­K!]ª[¥�º�©[²"¥�³&²� [¬�³"5��2«|¼f¥A��­�®*§�©[¨.©[²"¥5&(� � �"'K��­KÍ$ª[­K¨_

* � � �%��KE? � *5�RB���K$���c*5�k? +'*r<�=�BAU � KM<�=P*PN���T<�=P*5� ���!v¬�¥$�A¦�­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­l¨°«$¬�­�'�ª[­¸©[!]ª[¯%� � 6�3�R<�=AÇ ­|¶�©[®*¥�¦�²�­�©½ª[§�©|¹�­�®*«�»²"¥�©*Ê�'�ª[­9* � �E<�= * 6��5�4BÆ"©[²"#�«A¼f§� �¹�«$³"Ð"­�²"«½­K´$²"«$¶�«*©$ªK'"¶�ª[­¸!$#�­K§�­K!]ª[¯¼f§�«|²"¥"Æ���§�«|®*²"«5* Q[Ï�ª[­K¼á¦�«�¥"´�Ç�3f(KÊ_!v¬�©]¦* �©$ªK'�¶�ª[­5N ���� K��Î5

$�©[��©$§�¯�­KÆ"©[²"¥"¨#* !.5*-�¬�³�Í$ª[­K¼f­�§�«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨�![©$ª[­|¶�²"��Ž«|²"«$¬�­K¼�¹�«�»¬�«|²"!$­�®*­K¼f­Ä "§�«|®*²�©[²"¥�³¸Ç ´$«|#�­�²"«�!$­*·�§�«|²�©[²"¥�³�Ê�5

�0 "!]ª[¯ ����! K ��� 0EQ['°ª[­z©[!]ª[¯K'.¼f§�«|²"¥"Æ�«¸²�©[��­*¦�®*¥�º�²"«l�"§�¥���©*»§�©]·�­*¦�©Î­�ªl!v¬�­*³��F#s!v¬�­KÁ � 0EQ[Ï>�"§�¥FÍ$ª[­K¨,&(�"K 6&�5P�B§�©[­�¹�§�«|´v �©[¨�"§�¥"§�«|Â�©[²"¥�©�#�­[¬�¥�¶�©[!]ª[®*«&®�©[Â�©[!]ª[®*«�´$«Ä®*§�©[¨_³%&(�lÇ !v "¨°¨°�:2�#�­[¬�¥�¶�©*»!]ª[®*«�'�!]!$­*¦�©$§�º�«|Â�¥�©[!v³�#�®�!v¬�­*³�·�Ê�Ð

� �� �3 � �������

N 3��! � *� �� �3 � ���

N 3� ��K � �� �3 � ���

��� N 3��! &(�6� �� �� �3 � ��� !

� � ��N 3��! �6&(��K

K � �� �3 � ��� !

g � ��N 3 ! ��! * � ��N3��! j &(� K g � ��N ���! * � ��N ���

! ��! j &(� �l�¦�©[!$¯�¥�!$��­[¬�¯[´v �©[¨Î­��"§�©]¦�©]¬�©[²"¥�©W![©$ª[­|¶�²�­�ű�"§�­�¥"´$®*­*¦�²�­�Å ��� N 3� '| "§�«|®K»²�©[²"¥�©2ÇÈ%�Ê '�­��"§�©]¦�©]¬�©[²"¥�©Î![©$ª[­|¶�²�­�Å��"§�­�¥"´$®*­*¦�²�­�Å � � ��N 3� ¥d��­[¬�­*º�¥�»ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯ ��� N �����! Ç �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�©�+KÊ�59$�©[��©$§�¯U­KÆ"©[²"¥"¨x�"§�­�¥"´$®*­*¦�²� "ÁÄÐ* � ��N ��� ! ��! KR*�N �����! 0MQ KR* ��� N �����! &(� *'N ���� 0MQ K

KR* ��� N �����! 6&c* � ��N����! � �"*!� � � * .�� ��K3*n? .&03� B � � �

�B­K!v¬�©]¦�²�³�³�­KÆ"©[²"#�«���­[¬� �¶�«*©$ª[!v³�¥"´�­��"§�©]¦�©]¬�©[²"¥�³ 6&±Ç�3f1KÊa¥T!]¨°«$¬�­K!]ª[¥�#N ���� 5�/Q­�²"!]ª[«|²�ª[« � ��8U­�ª=��²�©U´$«|®*¥�!$¥�ªK5��B§�­*¦�­[¬�º�«*©[¨QÐ� �� �3 � �������

N 3��! � *� �� �3 � ���

N 3� � �kg 6��*�? .&03� B � ��j &(� � Ç (�3hÊ

�B§�¥"¨.©[²"¥�¬�¥Ä!v¬�©]¦�!]ª[®*¥�© ��51�B§�¥U¦�­K!]ª[«[ª[­|¶�²�­W¨°«$¬�­K¨ ����­K!v¬�©]¦�²�³�³�!$#�­�¹�»#�«���­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²"«�¥½¦�«$º�©�¹�­[¬�¯[Ì�©U#�«|#�­�Å�» ²"¥�¹| *¦�¯U#�­�²"!]ª[«|²�ª[��� ��8K5

Page 115: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� ��� ��0 "!]ª[¯=����! K����'�ª[­±©[!]ª[¯K'�¼f§�«|²"¥"Æ�«�!$¨.©[Â�«*©$ª[!v³±²"«ÄÌU«|¼��"§�¥l��©*»§�©]·�­*¦�©�­�ª�!v¬�­*³-�±#�!v¬�­KÁ)� 0MQ[59$"­K¼á¦�«&Ç «|²"«$¬�­K¼f¥�¶�²�­�Ê�Ð� �� �3 � �������

N 3��! � *� �� �3 � ���

N 3� ��KqN ���������! � 0� �� �3 � ���

ghN 3��! *'N3� j���K

KMN ���������! � 0Eg � ��N ���! * � ��N �����! j &(� K � ��N ���! &(� � 6��&(� � � &(� � Ç (*(KÊ�B§�¥"¨.©[²"¥�¬�¥ÒÇ 6KÊ�¥Ç�3f1KÊ 5�$�©[��©$§�¯A­KÆ"©[²"¥"¨Ò�"§�¥"§�«|Â�©[²"¥�©½#�­[¬�¥�¶�©[!]ª[®*«l!!$«|¨°­K¼f­�²"«$¶�«$¬�«&Ç ��­K¨°²"¥"¨Q'�¶�ª[­5@/� K�0)& � Ê�Ð

� �� �3 � �������

N 3��! �)*� �� �3 � �

N 3= � K��� �d=

�� � �� �3 � ��� ��� N 3� ! �c*

� �� �3 � ��� N 3� ���� � ��@/� �

l�¦�©[!$¯U¨°�F¥�!$��­[¬�¯[´$­�®*«$¬�¥ ­KÆ"©[²"#�¥xÇ (�3hÊ_¥�Ç (*(KÊ 5�SB­�'�!�¦�§� "¼f­�Å !]ª[­K§�­�²"�B'� �� �3 � �������

N 3��! �c*� �� �3 � �

N 3= � � � �� �3 �d=� � S U6U1e 0"iN ��� � S U6U1e 0qiN � +

Ç ­�ª|¹�§�­K!$¥�¬�¥ ®|ª[­K§� "ÁD!v "¨°¨_ ¸¥½ �¶K¬�¥_'�¶�ª[­mN 3� �TN �� Ê�5�T�ª[«|#"'��"§�¥@/� �T+ � �� g S U6U1e 0qiNJj K#* !P? ��B

�"§�­�ª[¥"®*­K§�©]¶�¥�©KÐ�¼f§�«|²"¥"Æ�«B¦�­K!]ª[¥"¼f²�©$ªW²� [¬�³�¦�­:* !P? ��B.�"§�¥� "!v¬�­�®*¥"¥_'|¶�ª[­��¨°«$¬�­�ÏK¶�©[¨x¨.©[²"¯[Ì�©=�"'Kª|©[¨z¹�­[¬�¯[Ì�© � ¥Aª|©[¨Î¬� �¶�Ì�©�­KÆ"©[²"#�«�5

���Q³�!$²"¥"¨ ��­K§�³�¦�­�# «|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥ ��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­K¼f­ ª[­|¶�²�­K¼f­¼á¬�«$¦�#�­K¼f­J§�©[Ì�©[²"¥�³ Ç �"§�©]¦���­[¬�­*º�¥"¨Q'�¶�ª[­D­�²�­J!v "Â�©[!]ª[®[ �©$ª*Ê�5>SB«|��­�»¨°²"¥"¨Q'"¶�ª[­5&(�mK g � ��j$'"!$¨Q5>Ç�3f1KÊ 5��B­K¼f§�©[ÌU²�­K!]ª[¯&«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥FÇÈ%�Ê "§�«|®*²�©[²"¥�³�¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥±Ç�3hÊ"­KÆ"©[²"¥"®*«*©$ª[!v³ g �� ��d?2&(�[B�0 � j K g � � j ¾ 1�¿�5�B­K¼f§�©[ÌU²�­K!]ª[¯A«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"ÅFÇ���ÊQ¥dÇ 6KÊQ¼f§�«|²"¥�¶�²"�Q· "!v¬�­�®*¥"Åx��­[¬� �»¶�«*©$ª[!v³ c? ��Bq5[SB«$¶�«$¬�¯[²�­�©� "!v¬�­�®*¥�©&Ç�3f)KÊ�®*����­[¬�²�³�©$ª[!v³Äª[­|¶�²�­�5�V��"�"§�­�#�»!$¥"¨°«|Æ�¥�³�Ç�3f(KÊ° "!v¬�­�®*¥�³lÀQª|©|Ã�«|²"« Ç �KÊ>­KÆ"©[²"¥"®*«*©$ª[!v³ g � ��j$5�T�ª[«|#"'"��­�»§�³�¦�­�#&«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥ ��­K!]ª[§�­�©[²"²�­�Ÿ§�«|´$²�­K!]ª[²�­�Å !v·�©[¨°� � �"5� ��12#�!���+- �# 1�B �B­K§�³�¦�­�#±«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥l²�©]¬�¯[´v³½��­*¦�²�³Kª[¯�®*��Ì�© � �"'�"§�­K!]ª[­±®*�:¹�§�«|®Ä "!v¬�­�®*¥�©�¨°«$¬�­K!]ª[¥�Ç�34Ë�Ê.®½Ã�­K§�¨.©5N� � � �� *MQ �&.�� � 5�B§�¥ Í$ª[­K¨Î "!v¬�­�®*¥�©AÇ�3 �KÊ_²"« ��²�©�¥"´$¨.©[²"¥�ª[!v³�¥±¥"´�Ç�3f1KÊ_��­[¬� �¶�¥"¨

��� &(�:� 6&�KR? . �� 0 � � B�� �3?]Q)03. �� B�� �

Page 116: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� � ��������� �������

�B­K§�³�¦�­�#±«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥sÇ�3hÊ � ÇÈË�Ê.!]ª[«|²�©$ª;K�'�²�­�¦K¬�³� "!v¬�­�®*¥�³ ÀQª|©|Ã�«�»²"«&­�²µ �·K *¦�ÌU¥�ª[!v³zÇ Q *MK|Ê�5���¼f­±¨°­*º�²�­± [¬� �¶�ÌU¥�ª[¯�¦�­¸©]¦�¥"²"¥"Æ��B'�©[!v¬�¥¦�­�#�«|´$«[ª[¯K'�¶�ª[­mN� � � �� *TQ�­�ª]¦�©]¬�©[²"«�­�ª�²� [¬�³"5

��5QÀ���^�¢"£ "B^����*JUÖ ! !aZ$^����£ ":Ö �_£ )�B§�¥s#�«$ºW¦�­K¨��¨°­*º�²�­Î­*¦�²�­K´$²"«$¶�²�­Î��­[¬� �¶�¥�ª[¯ §�©[Ì�©[²"¥�© &(�µ�"§�¥

8� � � *3* Q[' 678.B'�N 3� ® 678.B5[-:«$¬�¯[²�©[Å"ÌU¥�©�§�«|!$!v �ºW¦�©[²"¥�³�¥�!$��­[¬�¯[´v "Á�ª#�§�¥�ª|©$§�¥"Ÿ#�­K¨°�"«|#Kª[²�­K!]ª[¥ V�§�Æ"©]¬�«½Ç V�§�¶�©]¬�«�Ê�¾ +�¿

4B�"§�©]¦�©]¬�¥"¨r< �[?A@CB"¬�¥"²�©[Å"²�­�Å�¥"²�ª|©$§���­[¬�³�Æ�¥�©[Å�ª[­|¶�©[#6?A@/�0,C% ��� Bq5 D "²�»#�Æ�¥�³5< �[?A@CB�¥"¨.©|©$ª�#� "!$­|¶�²�­�» ��­K!]ª[­*³�²"²� "Á��"§�­�¥"´$®*­*¦�²� "ÁD¨.©]ºW¦* ± "´v¬�«�»¨°¥_Ï�­KÆ"©[²"¥"¨z©|©K5.!$²�­�'�¶�ª[­7*:� �T% ������� *r% ��� ��8W¥'@/��! *r@/� K &(�:� �"5�B­KÍ$ª[­K¨_ q* Q � (< �[?A@CB �T8U¨.©]ºW¦* A "´v¬�«|¨°¥±�"§�¥½¬�ÁU¹�­K¨"�"5À�«|¨°«n< �[?A@CB &'( 89,C<�=X.��"§�¥Ä¬�ÁU¹��Q·=�"5 �B­� �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥"Á�6��"§�¥�¦�­K!]ª[«�»

ª[­|¶�²�­�¨°«$¬�­K¨ §�«|!v¶�©$ª[²�­K¨l®*§�©[¨.©[²"¥�*µ¼f§�«|²"¥"Æ�«�®�²�­[¬�¯�²�©�­�¹�§�«|Â�«*©$ª[!v³"5 �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨2#�«|#� "Á�» ²"¥�¹| *¦�¯U��­K!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯���� � 8K5d�B­K!v¬�©*»

¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯�Ã: "²"#�Æ�¥"Å5< ���1?A@CB>²"« ( 89,+*P.�³�®[¬�³�©$ª[!v³Ä§�«|®*²�­K¨.©$§�²�­�­K¼f§�«�»²"¥�¶�©[²"²�­�Å�¥�§�«|®*²�­K!]ª|©[��©[²"²�­�²�©[�"§�©$§���®*²�­�Å_Ï>!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­�'>��­µª|©*»­K§�©[¨.©�V�§�Æ"©]¬�«�'�¥"´Ä²�©|©�¨°­*º�²�­ ®*�Q¦�©]¬�¥�ª[¯�§�«|®*²�­K¨.©$§�²�­¸!v·�­*¦K³�ÂW "ÁW!v³��­*¦���­K!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯xÇ ®*­K´$¨°­*º�²�­�'P²�©±­*¦�²� �Ê�5��B­*¦�¨°²�­*º�©[!]ª[®*­Î¥"²�»¦�©[#�!$­�® ­���³Kª[¯�­�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨���5�0 "!]ª[¯&�"§�©]¦�©]¬T<0?A@CBq5 .!$²�­�'�¶�ª[­;<0?A@CB �E8K'<0? 8�B�K <�=A¥F²�©¸®*­K´$§�«|!]ª[«*©$ªK5 �ª[­32 ²�©[�"§�©$§���®*²"«$³z��­*¦�®*¥�º�²"«$³x¼f§�«�»²"¥"Æ�«�5�,>®�©]¬�¥�¶�¥"®*«$³ * ¥��"§�¥�²�©[­�¹�·�­*¦�¥"¨°­K!]ª[¥��"§�­*¦K¬�©[®*«$³ < �9?A@CB&²� �»¬�©[¨���­2²�©[�"§�©$§���®*²�­K!]ª[¥_'���­�#�«$º�©[¨Q'�¶�ª[­3<0?A@GFGHJI�B5K 8Î�"§�¥#�«|#�­K¨>» ª[­@GFGHJI ��+ ? 6�dB �� gAS U6U1e 0"iNXj � � Ç !$¨Q5K �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�©�6KÊ�5

$�©[��©$§�¯���­K!]ª[§�­�¥"¨ Ã: "²"#�Æ�¥"Á� �[?A@ ,C%0B ® . K ( 89,+*P. 0R( 89,-+�.�!v¬�©*»¦* "ÁWÂ�¥"¨ ­�¹�§�«|´$­K¨Q5��J "´v¬�«$· 678. ��­[¬�­*º�¥"¨� �[?A@/�0,C%43 BTK N 3� 5B�J "´|»¬�«$·x²"«¸­*¦�¥"²s¦�«$¬�¯[Ì�©¸#�§�«|Å"²�©[¼f­µ¬�©[®*­K¼f­x²"«¸#�«$ºW¦�­K¨�!v¬�­�©l��­[¬�­*º�¥"¨� �[?A@/�d,C% ��� �� B`KqN ���� * � ��N ��� ! � �lÇ ��­7!]²�©[�"§�©$§���®*²�­K!]ª[¥�#W�"§�­�¥"´$®*­*¦�²�­�Å�Ê�5�½­K!]ª[«$¬�¯[²"�Q·U "´v¬�«$·r?2��,�+]B°![©$ª[#�¥lÇ �"§�¥58� � � *±'�8� +*� "#�P*6Q]Ê"��­[¬�­�»º�¥"¨�� ��?A@/�0,C%43 B�K�� �[?A@/�d,C% ��� �� B�Ç !]#�­�²"!]ª[«|²�ª[­�Ÿ��­�²�©[�"§�©$§���®*²�­K!]ª[¥�#[Ê�5��ª[­|¶�#�«$·5?A@ ,C%0Ba�"§�¥�@/� �)@ �T@/��! '�%43 �)%��T%43 ! ­��"§�©]¦�©]¬�¥"¨�� �[?A@ ,C%0B¬�¥"²�©[Å"²�­�Å&¥"²�ª|©$§���­[¬�³�Æ�¥�©[Å_5_�0 "!]ª[¯ �L, �7&'( 89,JQX. 5*��®�©]¦�©[¨l­�¹�­K´$²"«$¶�©[²"¥�©�� ��K�� �[?A@/� 0 � &(�d,C%43 0 � ��Bq50�B­[¬�­*º�¥"¨dÇ�� Kq8U¥�¬�¥�Q]Ê���� K����= 0 �`? ��� * ���= B , � � K��

=� 0�L? � � * � = � B , � � K � = � 0� g � � * � = �9j �

.!$²�­�'|¶�ª[­ �� � K�� = 0�� g � *�� = j$5[��!v¬�¥m@/�:�T@ �T@/��! ' %43 �T% �T%43 ! '�ª[­��­[¬�­*º�¥"¨�� �[?A@ ,C%0BLK��� � �"§�¥�rKE?A@�*r@/�[BAU &(��' �mKE?A%�*r%43 BAU��"5

Page 117: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� ��� �40¶�©[®*¥�¦�²�­�'P¶�ª[­���� Y�? � == , � = , � = , � B:� �� � � �� ��d? � == , � = , � = , � Bq5�$"«|##�«|# N 3� ­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"�B'hª[­ � �:§�«|®*²�­K¨.©$§�²�­W­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"�ή .�5$/Q§�­K¨.©0ª[­K¼f­�'

®*![© � �¸§�«|®*²�­K!]ª|©[��©[²"²�­x²�©[�"§�©$§���®*²"�Ñ®8.�5.�F!$«|¨°­K¨Ò¦�©]¬�©K'.®*�:¹�©$§�©[¨ª[­|¶�#�¥E?A@ ,C%0Bq'�?A@ 0 ��@ ,C% 0 ��%0B & .�5��0 "!]ª[¯ @/���f@�f@/��! '0%43 �"% �"%43 ! Ϩ°­*º�²�­µ!v¶�¥�ª[«[ª[¯K'a¶�ª[­�@/�#�k@�0/��@ �k@/��! '%43 �k%�0/��% �k%43 ! 5$"­K¼á¦�«��@�K &(�$� �°' ��% K$� � �P50 �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨z§�«|´$²�­K!]ª[¯� � � K � �[?A@ 03��@ ,C%103��%0B* � �[?A@ ,C%0BLK � !�� � !�� � * � � K � � � � � ��0 � � � � � �SB­r8:� � � �� ��� &(��'08-� � �� ��� :�"50�B­KÍ$ª[­K¨_ �� � � ���(� n?�� ��@��0� ��%�� Bq5 �ª[­�¥±­K´$²"«$¶�«*©$ª�§�«|®*²�­K!]ª|©[��©[²"²� "ÁD²�©[�"§�©$§���®*²�­K!]ª[¯K5��­K´$¯[¨.©[¨d®*�:¹�§�«|²"²� "Á ®*��Ì�©½��­K!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯5����� 8&¥�§�«|!|»

!$¨°­�ª[§�¥"¨±!$­K­�ª[®�©$ª[!]ª[®[ "ÁWÂW "Á��­K!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯ � ���1?A@ ,C%0Bq5�4B²"«:§�«|®K»²�­K¨.©$§�²�­s­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"«Î¥d§�«|®*²�­K!]ª|©[��©[²"²�­s²�©[�"§�©$§���®*²"«�5��B­xª|©[­K§�©[¨.©V�§�Æ"©]¬�«�'�¥"´W²�©|©�¨°­*º�²�­�®*�Q¦�©]¬�¥�ª[¯�§�«|®*²�­K¨.©$§�²�­&!v·�­*¦K³�ÂW "ÁW!v³&��­*¦���­�»!v¬�©]¦�­�®*«[ª|©]¬�¯[²�­K!]ª[¯K5��0 "!]ª[¯½©|©½�"§�©]¦�©]¬�N1?A@ ,C%0Bq5PÀ�­K­�ª[®�©$ª[!]ª[®[ "ÁWÂ�¥�©A¥"²�»¦�©[#�!$� ­���³Kª[¯Î­�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨ ��5 .!$²�­�'>¶�ª[­OQ#� N1?A@ ,C%0B � S U6U1e 0kiN]'Q²�© �¹���®*«*©$ª&��­;%l¥M@�¥µ *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª�Ç 1KÊ 5SB«|´$­�®�©[¨d�"«|§� E?A<0?A@CB ,-N1?A@ ,C%0BCB­�¹�­�¹�Â�©[²"²"��¨�§�©[Ì�©[²"¥�©[¨z´$«$¦�«$¶�¥�Ç�3hÊ � Ç 1KÊ 5

6�5�4��|^ � ��Y[\a\_^aY�Z]Y ��Y[\a£aY�B­�#�«$º�©[¨Q'h¶�ª[­ N1?A@ ,C%0B"¦�©[Å"!]ª[®*¥�ª|©]¬�¯[²�­B³�®[¬�³�©$ª[!v³�­�¹�­�¹�Â�©[²"²"��¨µÇ !v¬�«�»

¹���¨>Ê�§�©[Ì�©[²"¥�©[¨± "§�«|²�©[²"¥�³B¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥AÇ�3hÊ�®B¨°²�­*º�©[!]ª[®�© 1(2 ?,* Bq51�0 "!]ª[¯+ ?A@ ,C%0B`2FÃ�¥"²"¥�ª[²"�:©BÃ: "²"#�Æ�¥"¥�® 1(2 ?,* B�Ç + ?A@ ,C%0B &����d¥�²�­K!$¥�ª|©]¬�¯B#�­K¨>»�"«|#Kª|©[² ® 1(2 ?,* BÚÊ�5��­K´$¯[¨.©[¨�­*¦�²� + ?A@ ,C%0B&Ç �� "!]ª[¯½¦K¬�³Î­��"§�©]¦�©]¬�©[²"²�­K!]ª[¥d©|©¸²�­K!$¥�ª|©]¬�¯

2 �"§�³�¨°­* "¼f­[¬�¯[²"¥"#�® 1(2 ?,* BÚÊ&¥Ñ®*�:¹�©$§�©[¨ ��ª[«|#�¥"¨ ¨°«$¬���¨Q'B¶�ª[­�¹��¼f§�«|²"¥�¶�²"�:©± "´v¬�� 678. Ç ª|©K'.#�­�ª[­K§��:©Î®[·�­*¦K³Kªl® 678.B'.²�­�²�©l®[·�­*¦K³Kªl®78.0ÊB²�©l®[·�­*¦�¥�¬�¥d®Î²�­K!$¥�ª|©]¬�¯ +.5P�0 "!]ª[¯l®Î²�©[¼f­x®[·�­*¦K³Kª¸ "´v¬�� ?2��,�+]Bq'� � 0MQ � � � � !r*TQ[' + � 0MQ � +�� + !m*TQ[5��®�©]¦�©[¨x­�¹�­K´$²"«$¶�©[²"¥�© + 3� K + ?A@/�0,C%43 Bq50 �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨z!v "¨°¨_

��! �

� � ���

3�! �

3 � 3�� �� N 3��! g ��� +

3��! 0 � � ��+3��! j �6&(� � Ç (�Ë�Ê

�ª[­�¥"²�ª|©[¼f§�«$¬�¯[²"«$³�!v "¨°¨°«�5|À¸¦�§� "¼f­�ÅÄ!]ª[­K§�­�²"�B'[®*����­[¬�²"¥"¨±­���©$§�«|Æ�¥"ÁÄ'«|²"«$¬�­K¼f¥�¶�²� "Á�¥"²�ª|©[¼f§�¥"§�­�®*«|²"¥"ÁD��­Ä¶�«|!]ª]³�¨Q5��B§�¥ Í$ª[­K¨dÇ (�Ë�Ê_§�«|®*²"«

���

� � ���

3��3 � 3��

+ 3� g * ��� N 3��! 0 � � ��N3��! j �6&(� Kq8 �

Page 118: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� � ��������� �������

�«|®�©[²"!]ª[®*­&²� [¬�Á 2�®�!$¥�¬� �ÇÈ%�Ê '��"§�¥±®*![©]· �"5- �ª[­�­K´$²"«$¶�«*©$ªK'�¶�ª[­������� ��

N1?A@ ,C%0B�� ��� + 0 ����� + ����@���% Kq8¦K¬�³�¬�ÁU¹�­�Å�Ã�¥"²"¥�ª[²�­�Å�® 61(2 ?,* B�Ã: "²"#�Æ�¥"¥ + ?A@ ,C%0B>Ç ®�©]¦�¯�¬�ÁU¹�­�Å�#�­K¨°�"«|#Kª¨°­*º�²�­���­K¼f§� "´$¥�ª[¯B®U­�¹_^a©]¦�¥"²�©[²"¥�©��"§�³�¨°­* "¼f­[¬�¯[²"¥"#�­�®KÊ�'*ª[­�©[!]ª[¯cN1?A@ ,C%0B³�®[¬�³�©$ª[!v³�­�¹�­�¹�Â�©[²"²"��¨�§�©[Ì�©[²"¥�©[¨x "§�«|®*²�©[²"¥�³Ä¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥_5-:­�#�«$º�©[¨Q' ¶�ª[­R¥"¨.©[Á�ª[!v³R²�©[�"§�©$§���®*²"�:©NÇ ��­ @ÚÊ��"§�­�¥"´$®*­*¦�²"�:©

��� N1?A@ ,-+`BU¥ ��� N1?A@ ,C<0?A@CBCBq'.�"§�¥�¶�©[¨J¼f§�«|²"¥�¶�²"�:©A "!v¬�­�®*¥�³Ç (KÊ ':ÇÈË�Ê�®*����­[¬"»²�©[²"��Ç ®�­�¹��Q¶�²�­K¨x!$¨°��!v¬�©*Ê�5�¸!$«|¨°­K¨Î¦�©]¬�©K'���­*¦�!]ª[«|®*¥"¨�� �[?A@ ,C%0BQ®±ÇÈË�Ê 5���!v¬�¥5����! K$����'Kª[­

� �[?A@ ,C< �[?A@CBCBLK � � �� KKqN����� *7/ ��N����� 0 ��N �����! 0 ��N���� �� � * � b ? N �����! *'N����� *'N ��� �� ��! 0;N���� �� � B ,

��� � �[?A@ ,C< �[?A@CBCBLK � � � �"U���K � ��N ���� 0 � g � ��N �����! * � ��N ���� j �$"«|#�#�«|# � ��N ���� K � ��N ��� ! � KqN ���� *TQ['Kª[­�'���­*¦�!]ª[«|®[¬�³�³�®AÇÈË�Ê '�¥"¨.©|©[¨* /1N ���� 0;N �����! 0;N ��� �� � * � g N �����! *'N ���� *'N ��� �� ��! 0;N ��� �� � j K

K � ��N �����! * � ��N ���� 0� �"U � �l�¦�©[!$¯� �52Ò²�©[®[³�´$#�«�50�B§�¥"¨.©[²�³�©[¨dÇ 6KÊP©[Â�©�§�«|´�Ç �`?]QP* �B��"Q]Ê�Ð� � � � ��� N ���� *'N �����! *'N ��� �� � 0;N ��� �� ��! ��� � ��� � ��N ���� * � ��N �����! ��� � �:��K�c? ��B ���!v¬�¥5����! K ��� 0qQ['�ª[­

� �[?A@ ,C< �[?A@CBCBLK�� = ��KMN ���� 0 � ghN �����! *'N ���� j1,��� � �[?A@ ,C< �[?A@CBCBLK � � � U���K � ��N����� 0 � g � ��N �����! * � ��N����� j¥�ÇÈË�Ê_®*����­[¬�²�³�©$ª[!v³�ª[­|¶�²�­�5��A¬�ÁU¹�­K¨x!v¬� �¶�«*©

��� � � g @ ,C< �[?A@CB j K�� � g @ ,C< �[?A@CB j *TQ)0 c? ��B ��B§�«|®*«$³µ¶�«|!]ª[¯ §�«|®*²�­K¨.©$§�²�­x!v·�­*¦�¥�ª[!v³��"§�¥ �$� 8K'�Ç < �Aª[­*º�©¸§�«|®*²�­�»¨.©$§�²�­s!v·�­*¦�¥�ª[!v³�Ê�'���­KÍ$ª[­K¨_ Ò!v "Â�©[!]ª[®[ �©$ª�§�«|®*²�­K¨.©$§�²"��Å�"§�©]¦�©]¬2¬�©*»®*­�Ås¶�«|!]ª[¥�Ç ²�©[�"§�©$§���®*²"«$³��"§�­�¥"´$®*­*¦�²"«$³�Ê0¥z "!v¬�­�®*¥�©sÇÈË�Ê0®*����­[¬�²�©[²�­¦K¬�³���­K!]ª[§�­�©[²"²�­K¼f­&§�©[Ì�©[²"¥�³mN1?A@ ,C%0Bq'[<0?A@CBq5

$�©[��©$§�¯U��­*¦�!]ª[«|®*¥"¨�� �[?A@ ,C%0BQ®±Ç (KÊ 5��B§�¥±Í$ª[­K¨� �[?A@ ,-+`B�K�� � KMN �� 0 � g N ���! *'N �� j ,

��� � �[?A@ ,-+`B�K � � � � U���K � ��N �� 0 � g � ��N ���! * � ��N �� j �

Page 119: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� ��� ��B­*¦�!]ª[«|®[¬�³�³"'� �¶�ª|©[¨z²�©[®[³�´$#� � ��Ð

� ��N��� 0 � g � ��N�� ��! * � ��N��� j)0� � KMUf*7e��JN��� 0 � g N����! *'N��� j *MiN � b KKqU"*7e_ghN��� *MiNJj b *7e � b ghN����! *'N��� j b *7/�e � ghN����! *'N��� j�? N��� *MiNJB �

�B§�¥"¨.©[²�³�©[¨Ç���Ê Ð

�cK"e � ��ghN����! j b *7/1N����! N��� 0EghN��� j b * � ghN����! *'N��� j b � �4�ª[!$Á�¦�«���­[¬� �¶�«*©[¨dÇ �`?]QP* �B��"Q]Ê

�:��e_ghN����! *'N��� jb K"e_g ��� N����! &(�[j

b K�c? ��B �l�¦�©[!$¯ ¨°�Ñ�"§�¥"¨.©[²"¥�¬�¥s �ª[®�©$§�ºW¦�©[²"¥�© �¸¥sª[­�'P¶�ª[­ &(� � 6&qK c? � ��Bq5T�ª[«|#"'�Ç +KÊ_®*����­[¬�²�³�©$ª[!v³&²"«U«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥�³�· ��ª[­|¶�²�­K!]ª[¯[Á c? ��BqÐ

��� � �[?A@ ,-+`B�KqU"*7e_g � �[?A@ ,-+`B�*MiNJj b 0 c? ��B ��B§�«|®*«$³�¶�«|!]ª[¯B§�«|®*²�­K¨.©$§�²�­�!v·�­*¦�¥�ª[!v³��"§�¥�� � 8K'[��­KÍ$ª[­K¨_ ½!v "Â�©[!]ª[®[ �»©$ªÄ§�«|®*²�­K¨.©$§�²"��Ål�"§�©]¦�©]¬½¬�©[®*­�Å ¶�«|!]ª[¥sÇ ²�©[�"§�©$§���®*²"«$³&�"§�­�¥"´$®*­*¦�²"«$³�Ê¥½ "!v¬�­�®*¥�©AÇ (KÊ_®*����­[¬�²�©[²�­Ä¦K¬�³���­K!]ª[§�­�©[²"²�­K¼f­&§�©[Ì�©[²"¥�³mN1?A@ ,C%0Bq5

l"«|�"¥"Ì�©[¨F "!v¬�­�®*¥�©µÀQª|©|Ã�«|²"«�Ç �KÊ:®¸¥"²�ª|©[¼f§�«$¬�¯[²�­�Å2Ã�­K§�¨.© ¥s��­*¦�»!]ª[«|®*¥"¨�ª] *¦�«�«|�"�"§�­�#�!$¥"¨°«|Æ�¥"¥ � �[?A@ ,C%0B�¥'< �[?A@CBqÐ

< �[?A@CBLKM<�=P*r@ 0 ��= � �� � g�� ,C< �[? � B j � � 0��� � Ç (��KÊ

l�¦�©[!$¯���>2Ò²�©[®[³�´$#�«�5(�¸�2·�­�ª[¥"¨Î¦�­�#�«|´$«[ª[¯K'�¶�ª[­ ���� 8W�"§�¥ � � 8K5 �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨z!$²"«$¶�«$¬�« < �[?A@CBq5��0 "!]ª[¯�@/�:�T@ �)@/��! 50�B­���­K!]ª[§�­�©[²"¥"Á< �[?A@/�[B�KM% ��� KM% � 0

��� � % � *r% � �� KM<�=�0

��� � ��� < � & � �� �

�0 "!]ª[¯�� �62¨°²�­*º�©[!]ª[®*­Äª|©]·�� K3Q�, � � � ,��_'|¦K¬�³�#�­�ª[­K§��Q·mN ���� ²�©W¨°«$¬�­�'ª[­¸©[!]ª[¯mN ���� *MQ:� . � �"5"X�©$§�©[´ 6� �A­�¹�­K´$²"«$¶�¥"¨2¦�­���­[¬�²�©[²"¥�©K'�ª[­¸©[!]ª[¯

Page 120: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� ��� ��������� �������

ª|© � KRQ�, � � � ,��_'�#�­�ª[­K§��:©�²�©�®*­KÌ�¬�¥ ® � ��5��B§�¥"¨.©[²"¥"¨Ç�3f(KÊ Ð< �[?A@/�9B*r<�= K �� ��� � ��� < � & � �� K �� ��� � ��g N����� j �� *TQ � & � �� KK��� � �[ghN ���� j��� L*TQ��:& � �� * �� ��� � �[ghN ���� j��� `*TQ�� & � �� K

K��� � � & � �� ghN ���� j��� ��*r@/� 0 c? � ��B �

$�©[��©$§�¯U´$«|¨.©$ª[¥"¨Q'K¶�ª[­5< �[?A@CB�KM< �[?A@/�9B 0 c?2&(�[Bq5 �«|!$!$¨°­�ª[§�¥"¨

� � �= � �� � g � ,C< �[? � BCj � � K

��� � �

� �� � � � � �� � g � ,C< �[? � BCj�� � �

�B­*¦���²�ª|©[¼f§�«$¬�¯[²"�:©�Ã: "²"#�Æ�¥"¥±²�©[�"§�©$§���®*²"�d¥±­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"�B'���­KÍ$ª[­K¨_ � � �� � � � � �� � g�� ,C< �[? � B j � � KE? N����� B �� & � �� 0��_?2& � �� B �

��©$§�©[�"¥"Ì�©[¨z��­K!v¬�©]¦�²"ÁWÁ��_?2& � �� B�K & � �� �� � �� ' � � � 8W�"§�¥ � � 8K5$"­K¼á¦�«U§�«|!$!$¨°«[ª[§�¥"®*«*©[¨°��Ÿ¥"²�ª|©[¼f§�«$¬½�"§�¥"¨.©$ª�®*¥�¦

� � �= � �� � g � ,C< �[? � BCj�� � K

��� � ? N����� B �� & � �� 0 �

�� � � � �� & � �� �B­K!v¬�©]¦�²�³�³¸!v "¨°¨°«A!]ª[§�©[¨°¥�ª[!v³µ#¸²� [¬�Á �"§�¥��5� 8K5��B­*¦�!]ª[«|®*¥"¨²"«|Å�»¦�©[²"²"�:©½®*��§�«$º�©[²"¥�³¸®xÇ (��KÊ 'a­�¹_^a©]¦�¥"²�³�³¸®*![©A¨°«$¬��:©½®�©]¬�¥�¶�¥"²"�J®d5�B­[¬� �¶�¥"¨ ��nK��� 8��"§�¥=� � 8K5 ��©$§�©[Å�¦�©[¨A#��"§�©]¦�©]¬� �®UÇ (��KÊ 5 �B­[¬� �»¶�¥"¨Q'a¶�ª[­µ²�©[�"§�©$§���®*²�­�©±§�©[Ì�©[²"¥�©'<0?A@CBq'�N1?A@ ,C%0BB *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�Á�ªA "!v¬�­�»®*¥"Á ÀQª|©|Ã�«|²"«Î®x¥"²�ª|©[¼f§�«$¬�¯[²�­�ÅÒÃ�­K§�¨.©K5 �B­KÍ$ª[­K¨_ ¬�©[®*«$³2©[¼f­x¶�«|!]ª[¯ÇÈÃ: "²"#�Æ�¥�³M<0?A@CBÚÊ�²�©±ª[­[¬�¯[#�­x²�©[�"§�©$§���®*²"«�'°« ª[«|#�º�©¸­�¹�¬�«$¦�«*©$ª ²�©[�"§�©*»§���®*²�­�Å �"§�­�¥"´$®*­*¦�²�­�Å_5�-:¥�ÃBÃB©$§�©[²"Æ�¥"§� �³���­6@q'���­[¬� �¶�«*©[¨Q'K¶�ª[­&§�©[Ì�©*»²"¥�© <0?A@CBq'�N1?A@ ,C%0B> *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ªÄ¥�!v·�­*¦�²�­K¨_ ± "!v¬�­�®*¥"ÁÑÀQª|©|Ã�«|²"«&Ç �KÊ 5

�B­*¦�®�©]¦�©[¨ ¥�ª[­K¼f¥_5��¸� ��­K!]ª[§�­�¥�¬�¥ ­�¹�­�¹�Â�©[²"²�­�©D²�©[�"§�©$§���®*²�­�©��­[¬�­*º�¥�ª|©]¬�¯[²�­�©s­K¼f§�«|²"¥�¶�©[²"²�­�©s¨°­�²�­�ª[­�²"²�­�©���­F#�«$ºW¦�­�Å���©$§�©[¨.©[²�»²�­�Å §�©[Ì�©[²"¥�© N1?A@ ,C%0Bs "§�«|®*²�©[²"¥�³ ¦�¥�ÃBÃ: "´$¥"¥ Ç�3hÊ�¥ ²�©[�"§�©$§���®*²�­�»¦�¥�ÃBÃB©$§�©[²"Æ�¥"§� �©[¨_ "Á ¨°­�²�­�ª[­�²"²�­ �¹���®*«|ÁWÂW "Á ��­*¦�®*¥�º�²� "Á ¼f§�«|²"¥�»Æ� <0?A@CBqÏ[§�©[Ì�©[²"¥�©oN1?A@ ,C%0B_­�¹�¬�«$¦�«*©$ª0�"§�­�¥"´$®*­*¦�²"��¨°¥_'|®[·�­*¦K³�Â�¥"¨°¥�®�¼f§�«�»²"¥�¶�²"�:©Q "!v¬�­�®*¥�³�ÇÈË�Ê�¥½Ç (KÊ 'v¥W *¦�­�®[¬�©$ª[®*­K§�³�©$ª�¥"¨QÏ4 "!v¬�­�®*¥�©�ÀQª|©|Ã�«|²"«�Ç �KÊ

Page 121: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�����������P���� ������������������������� � � �¥z²"«$¶�«$¬�¯[²"�:©& "!v¬�­�®*¥�³2Ç 1KÊ:®*����­[¬�²�³�Á�ª[!v³"5��B­KÍ$ª[­K¨_ �²"«|´$®*«|²"¥�©½�"«|§��g N1?A@ ,C%0B ,C<0?A@CB j ­�¹�­�¹�Â�©[²"²"��¨�§�©[Ì�©[²"¥�©[¨z´$«$¦�«$¶�¥ÎÇ�3hÊ � Ç 1KÊ_­�¹�­K!$²�­�®*«|²�­�5

��������������

Õ0���4ÜfÙvÛ������áØ������ÚÜqÝ�"�Ø������]Û��áÙ]Ü��hÛ$Ü�� Ü����� �!]Ü"���#�# ��$!]Ü% �Ø&����'(']Ü() ÝfÜ��vÜfÙ]Ü��hÛ�*+ ,�������áØ�) ��& .- /10aßáàqà�2vÞ ��Ù3�&�hÜqÝvÞ�!aÜ�'34�56�hÞ3�ÚØáÛ���73�fÙ34°ßáàqà�2"8 Õ

ßhÕ0���4ÜfÙvÛ����9�áØ������ÚÜqÝ;: <= �Ø������]Û��áÙ]Ü��hÛ$Ü�>?�hÜqÛA@�ØÚÙ]ØáÛ�B#���DCÚ`|Ü��vÜfÙ]Ü��hÛ$Ü4ØE ��&�áØÚÙ3����']ÜqÝfØ�)�hØáÛ��[Ø��6F(�� ��#7G�#�H']ØÚÙ]Ü��hÛ�*�F°Û��áÛ$Ü� ��&�áØÚÙ3����']ÜqÝ(I�- : J+0/1KAL à�MvÞ-��ØáÝ������áÜ�!]Ü�'344Þ+$��hÙ3�&�$Û��hÞ�ÚØáÛ���73�fÙ34°ßáàqà�MvÞ ���[ØáÝvÞ�NG0OAPaÞhßáàqà�M"8 Õ

Q Õ0�3�&���(�;R±Õ `KÕ Þh×�ØÚÙvÛ$ÜqÝ0£°Õ ÖPÕ1��Ù3�qØáÝ���71�����(��S(�T�%�(�$Û��& ��#SvØ����(�� ��,� Ù3�áÛ��#ShÛ�*+ ��,���U']Ü()Ý��#7" ��E�V�hÝ��#���#W.Ø&>A�U7%� Ù3�áÛ���B$Ø&>,- �(�$Û[Ø&�����(�G�hØ&�X�#�hÙ3�$Ù]ÜqÝ��áÛ��#738AY�Y "9�&�áØ& ��&���#SvØ����hÜ4Ø �Ü��hØ�'3�$Ù]ÜqÝ��áÛ��[ØhÞ ��Õ âhÞ(Z=2vÞhßáàqà�2vÞ"�fÕ Q ) âhÕ

2vÕ �#���(�&����Õ "�Õ Þ|`A�����#'34áØáÝ1[�Õ !°Õ Þ $#��!$ØáÛA���(��>�ÖPÕ ��Õ*Z3����Û$Ü"���ÚÛ�*+>D �Ø&�áÜ��BÙ]Ø&5.ØáÛ��#7�Û[Ø&�hÜ()�áÜfÙ3*�F.�hÙ3�qØáÝ�*�F\�����(��S]����!#�>���áØ�@^�áÛ��DY�YUÝ_�hÛ�Õ `�×����U']ØáÛ$Û�*"Ø� �Ø&�áÜ��(*�Ý_�X���ÚÜqÝfÜ�>�(�$Û��& ����vØhÞqÝ�*+!*Õ(2�Y%!]Ü���Ù]Ø��[Õ�!G�áÝ&']ÜqÝ�� ��Õ "�Õ ) "�Õ `�" � $�Þ ba â&MvÞ"�fÕ Q a�cd be Q Õ

MvÕ0���& ��áÙ#���(��>�ÖPÕ ÖPÕ �[ØqÜfÙ3�#7�Ù3����Û$Ü"���ÚÛ�*�FT�UFvØ& �Õ ) "�Õ `h\G���#�(�hÞ ba�e Q ÕâhÕ %+f6���áØÚÙvÛ���� %aÕ ÖPÕ Þ ��Ü(�4Ü�']ØáÝQ`KÕ £°Õ3g�']Ø& �ØáÛ���*.@��]Û��(B#�[ÜqÛ���'34ÚÛ$Ü�� ÜE�áÛ���'3�A���hÕ ) "�Õ `h\G���A)�(�hÞ ba â&MvÕ

Page 122: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7
Page 123: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ����������������������

"!$#%'&)(+* �� -,/.�021�354�6879 ,;:<68=>,;6

Page 124: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7
Page 125: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍ

Âûïóñê 7, 2006

ÓÄÊ 519.87.872

ÄÎÂÅÐÈÒÅËÜÍÎÅ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈÏÅÐÅÏÎËÍÅÍÈß ÁÓÔÅÐÀ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÓÑÊÎÐÅÍÍÎÃÎ

ÐÅÃÅÍÅÐÀÒÈÂÍÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÑÈÑÒÅÌÛ M/M/1À. Â. ÁÎÐÎÄÈÍÀ, Å. Â. ÌÎÐÎÇÎÂ

 ñòàòüå ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ óñêîðåííîãî ìåòî-äà èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Splitting äëÿ ïîñòðîå-íèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíå-íèÿ áóôåðà (γ). Ïîëó÷åíà ôîðìóëà âåðîÿòíîñòè ïåðå-ïîëíåíèÿ γ äëÿ ñèñòåìû M/M/1 è ïðîâåäåíî ñðàâíåíèåñ îöåíêîé âåðîÿòíîñòè γ, ïîëó÷åííîé ìåòîäîì Splitting.

Ðàáîòà ïîääåðæàíà Ðîññèéñêèì ôîíäîì ôóíäàìåí-òàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ãðàíòû 04-01-00671, 04-07-90115.

1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Øèðîêèé êëàññ ïðîöåññîâ, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó êîììó-íèêàòèâíûõ ñåòåé, èìååò ðåãåíåðàòèâíóþ ñòðóêòóðó. Äëÿ ýô-ôåêòèâíîãî èíòåðâàëüíîãî îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ òàêèõ ñèñòåìèñïîëüçóåòñÿ ðåãåíåðàòèâíûé ìåòîä èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâà-íèÿ [1�3].

Ïîñêîëüêó îöåíèâàåìûå âåðîÿòíîñòè, êàê ïðàâèëî, î÷åíüìàëû, òî ñòàíäàðòíûå ìåòîäû èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ(Ìîíòå-Êàðëî) íå ýôôåêòèâíû. Ñóùåñòâóåò ðÿä ìåòîäîâ óñêî-ðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ [4, 5], ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷èòü îöåíêó ñçàäàííîé òî÷íîñòüþ ñ ìåíüøèìè âû÷èñëèòåëüíûìè çàòðàòàìè (â÷àñòíîñòè, ìåòîä Splitting è RESTART [6]).

 äàííîé ñòàòüå ìû ïðåäëàãàåì íåêîòîðóþ ìîäèôèêàöèþ ìå-òîäà Splitting [7�9] áåç îòñå÷åíèÿ òðàåêòîðèé (ò. å. ìîäåëèðîâà-íèå òðàåêòîðèè îñòàíàâëèâàåòñÿ òîëüêî ïîñëå äîñòèæåíèÿ íóëå-âîãî óðîâíÿ). Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Splitting ñòðîèòñÿ îöåíêà âåðî-ÿòíîñòè äîñòèæåíèÿ ñîáûòèÿ íà öèêëå ðåãåíåðàöèè (íàïðèìåð,

c© À. Â. Áîðîäèíà, Å. Â. Ìîðîçîâ, 2006

Page 126: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

126 À. Â. Áîðîäèíà, Å. Â. Ìîðîçîâ

âåðîÿòíîñòü ïðåïîëíåíèÿ áóôåðà çàÿâîê äî ìîìåíòà îïóñòåíèÿñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ). Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë îöåíèâàåìîéâåðîÿòíîñòè ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ìåòîäà ðåãåíåðàòèâíîãî ìîäåëè-ðîâàíèÿ.

2. ÌÅÒÎÄ ÐÀÑÙÅÏËÅÍÈß SPLITTING

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X = {X(t), t ≥ 0} ñ ïðîñòðàí-ñòâîì ñîñòîÿíèé E. Ïóñòü ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîììíîæåñòâà E. Äàëåå áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî A ìíîæåñòâîìðåäêèõ ñîáûòèé. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü âåðîÿòíîñòü γ = P (X ∈ A)ðåäêîãî ñîáûòèÿ èç ìíîæåñòâà A ⊂ E

γ =∫

I(X∈A)dF (x) = EI(X∈A), (1)

ãäå I(X∈A) ôóíêöèÿ-èíäèêàòîð ðåäêîãî ñîáûòèÿ èç ìíîæåñòâà A.

2.1. Îöåíèâàåìûå âåðîÿòíîñòè. Öåëüþ äèñêðåòíîãî ìîäåëèðîâà-íèÿ ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîå-íèå îöåíêè íåêîòîðûõ ñòàöèîíàðíûõ èëè ïåðåõîäíûõ õàðàêòå-ðèñòèê. Ïðèìåðîì òàêèõ õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíîåâðåìÿ îæèäàíèå çàÿâîê â î÷åðåäè, âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîêïðè ïåðåïîëíåíèè, âåðîÿòíîñòü ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà äî òîãî,êàê ñèñòåìà ñòàíåò ïóñòîé è ò.ä.

Îáîçíà÷èì TA ìîìåíò ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ ïðîöåññîì ìíîæå-ñòâà A. Ïóñòü TB ìîìåíò äîñòèæåíèå ìíîæåñòâà B ⊂ E (îáû÷íîB = {0}). Äàëåå TB áóäåò èìåòü ñìûñë ìîìåíòà ñèëüíîé ðåãåíåðà-öèè äëÿ ïðîöåññà X. (Íàïðèìåð, äëÿ ïðîöåññà èçìåíåíèÿ äëèíûî÷åðåäè â ñèñòåìå ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ TA - ìîìåíò ïåðå-ïîëíåíèÿ áóôåðà çàÿâîê, TB - ìîìåíò îïóñòåíèÿ î÷åðåäè.) Òîãäàñîáûòèå {TA < TB} îòðàæàåò ïîïàäàíèå â ðåäêîå ìíîæåñòâî Aíà öèêëå ðåãåíåðàöèè ïðîöåññà X. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îöåíêè âå-ðîÿòíîñòè γ = P (TA < TB), ðàçäåëèì ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé Eïðîöåññà X íà M + 1 âëîæåííûõ ïîäìíîæåñòâ Ci:

A = CM+1 ⊂ CM ⊂ · · · ⊂ C1. (2)

Ïîäìíîæåñòâà Ci çàäàþòñÿ òàê íàçûâàåìîé ôóíêöèåé çíà÷è-ìîñòè f , çàäàííîé íà E

Ci = {x ∈ E | f(x) ≥ Ti}, i ∈ [1,M + 1], (3)

Page 127: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Äîâåðèòåëüíîå îöåíèâàíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà 127

ãäå {Ti} èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f , íàçûâàåìûå ïîðîãàìèèëè óðîâíÿìè. Âåðîÿòíîñòü γ ïðåäñòàâëÿåò ïðîèçâåäåíèå óñëîâ-íûõ âåðîÿòíîñòåé p1 = P (C1), . . . , pi+1 = P (Ci+1|Ci), i ∈ [1,M ],γ ≡ p1p2 . . . pM+1.

Ïóñòü p̂1, . . . , ˆpM+1 îöåíêè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâíûõ âå-ðîÿòíîñòåé p1, . . . , pM+1, ãäå êàæäàÿ îöåíêà p̂i âû÷èñëÿåòñÿ ñòàí-äàðòíûì ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Íèæå ïðèâåäåì îïèñàíèå àëãî-ðèòìà ìåòîäà Splitting.

2.2. Îïèñàíèå ìåòîäà. Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî äîñòèæåíèé óðîâ-íÿ Ti âî âðåìÿ ìîäåëèðîâàíèÿ Ni (N0 = 1), i ∈ [1,M + 1] (NM+1

- êîëè÷åñòâî ðåäêèõ ñîáûòèé {TA < TB}). Ïóñòü Ri çàäàåò êîëè-÷åñòâî ïîäòðàåêòîðèé, ãåíåðèðóåìûõ íà óðîâíå Ti, RM+1 = 1 (íàïîñëåäíåì óðîâíå ïîäòðàåêòîðèè íå ãåíåðèðóþòñÿ). Ïîøàãîâàÿñõåìà àëãîðèòìà Splitting ñëåäóþùàÿ:

(1) N0 = 1, Ni = 0 äëÿ âñåõ i ∈ [1,M + 1].(2) Ìîäåëèðîâàòü òðàåêòîðèþ ïðîöåññà X ñòàíäàðòíûì ìå-

òîäîì Ìîíòå-Êàðëî.(3) Ìîäåëèðîâàòü òåêóùóþ òðàåêòîðèþ (ñãåíåðèðîâàííóþ íà

óðîâíå i). Åñëè ïðîèçîøëî äîñòèæåíèå óðîâíÿ Ti+1, òî ïå-ðåõîäèì ê øàãó 4. Åñëè äîñòèãëè óðîâíÿ T0, òî ïðåõîäèìê øàãó 2. Åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå, çàâåðøàþùåå ìîäåëè-ðîâàíèå, òî ïåðåéòè íà øàã 5 àëãîðèòìà.

(4) Åñëè äîñòèãëè óðîâíÿ Ti+1, òî óâåëè÷èì ñ÷åò÷èê Ni íà 1,ðàñùåïèì òðàåêòîðèþ íà Ri+1 ïîäòðàåêòîðèé-ïîòîìêîâ.Êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ ìîäåëèðóåòñÿ îòäåëüíî, ñîãëàñíî øàãó3.

(5) Âû÷èñëèì îöåíêè óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé äîñòèæåíèÿóðîâíÿ i ïðè óñëîâèè ñòàðòà ñ óðîâíÿ i− 1,

p̂i =Ni

Ri−1Ni−1, (4)

ãäå Ri−1Ni−1 ïðåäñòàâëÿåò îáùåå êîëè÷åñòâî òðàåêòîðèé,ñòàðòóþùèõ ñ óðîâíÿ i− 1. Ïåðåéòè íà øàã 6.

(6) Ðåçóëüòèðóþùàÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòè ðåäêîãî ñîáûòèÿ{TA < TB} ðàâíà

γ̂ =M+1∏i=1

p̂i. (5)

Page 128: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

128 À. Â. Áîðîäèíà, Å. Â. Ìîðîçîâ

Çàìå÷àíèå. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ïðåäëîæåííàÿ â äàííîéðàáîòå ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà Splitting ðàáîòàåò ïî öèêëàì ðåãå-íåðàöèè ìîäåëèðóåìîãî ïðîöåññà. Òàêàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïåðâîíà-÷àëüíîãî àëãîðèòìà (ñì. [7�9]) ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü àïïàðàò ðå-ãåíåðàòèâíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (êîòîðûé îïèðàåòñÿ íà ÖÏÒ) äëÿïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà îöåíèâàåìîé âåðîÿòíîñòèγ.

Ïðèâåäåííûé âûøå àëãîðèòì ðåàëèçîâàí íà ÿçûêå C ++ â âè-äå ðåêóððåíòíîé ôóíêöèè, ïàðàìåòðàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íîìåðóðîâíÿ íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò ðàñùåïëåíèå è òåêóùåå çíà÷åíèåôóíêöèè çíà÷èìîñòè f(x). Âîçâðàò èç ðåêóðñèè ïðîèñõîäèò ïðèäîñòèæåíèè ìíîæåñòâà B.

3. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÎÖÅÍÊÀ P (TA < TB) ÄËß ÑÈÑÒÅÌÛ M/M/1

Ðàññìîòðèì îäíîñåðâåðíóþ ìîäåëü ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëó-æèâàíèÿ M/M/1 ñ áåñêîíå÷íûì áóôåðîì è íåçàâèñèìî îäèíàêî-âî ðàñïðåäåëåííûìè èíòåðâàëàìè ìåæäó ïðèõîäàìè çàÿâîê {τn},èìåþùèìè ðàñïðåäåëåíèå

P (τn ≤ x) = 1− e−λx,

ãäå τn = tn+1− tn è tn - ìîìåíò ïðèõîäà çàÿâêè ñ íîìåðîì n, n ≥ 1.Ïóñòü í.î.ð. âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ {Sn} èìåþò ðàñïðåäåëåíèå

P (Sn ≤ x) = 1− e−µx.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X = {ν(t), t ≥ 0} íà ïðîñòðàíñòâåñîñòîÿíèé E = {0, 1, ...}, ãäå ν(t) - êîëè÷åñòâî çàÿâîê â ñèñòåìå âìîìåíò âðåìåíè t. Ïîëó÷èì äëÿ ñèñòåìû M/M/1 àíàëèòè÷åñêóþîöåíêó âåðîÿòíîñòè γ = P (TA < TB). Äëÿ óäîáñòâà îïðåäåëèì äâàñîáûòèÿ

H+ = { ïðèõîä çàÿâêè ïðîèçîøåë ðàíüøå, ÷åì óõîä},H− = { óõîä çàÿâêè ïðîèçîøåë ðàíüøå, ÷åì ïðèõîä}.

Ïóñòü p = P (H+) - âåðîÿòíîñòü óâåëè÷åíèÿ äëèíû î÷åðåäè íà 1(ñêà÷êà ââåðõ), q = P (H−) - âåðîÿòíîñòü óìåíüøåíèÿ äëèíû î÷å-ðåäè íà 1 (ñêà÷êà âíèç), L - çàäàííîå çíà÷åíèå äëèíû î÷åðåäè(êàê ïðàâèëî L èìååò ñìûñë ïîðîãà äëèíû î÷åðåäè, ïîñëå êîòî-ðîãî ïðîèñõîäèò ïîòåðÿ çàÿâîê).

Ïóñòü TA - ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà äëèíà î÷åðåäè ñòàëà ðàâíàL, TB - ìîìåíò îïóñòåíèÿ î÷åðåäè.

Page 129: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Äîâåðèòåëüíîå îöåíèâàíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà 129

Îáîçíà÷èì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà î÷åðåäè äîñòèãíåòçíà÷åíèÿ L äî òîãî, êàê î÷åðåäü îïóñòååò, ïðè óñëîâèè, ÷òî âìîìåíò âðåìåíè t äëèíà î÷åðåäè ðàâíà n

Pn(t) = P (TA < TB | ν(t) = n), (6)

ãäå 1 ≤ n < L. Ïî ñâîéñòâó ìàðêîâîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåñ-ñà X ëåâàÿ ÷àñòü (6) íå çàâèñòè îò t, ïîýòîìó äàëåå âìåñòî Pn(t)áóäåì èñïîëüçîâàòü Pn.

Îïðåäåëèì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ

PL = P (TA < TB | ν(t) = L) = 1, P0 = P (TA < TB | ν(t) = 0) = 0. (7)

Ïîëó÷èì ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ Pn

Pn = P (TA < TB | ν(t) = n) =P (TA < TB , ν(t) = n)

P (ν(t) = n)=

P (TA < TB , H+, ν(t) = n) + P (TA < TB , H−, ν(t) = n)P (ν(t) = n)

=

P (TA < TB |H+, ν(t) = n) · P (H+, ν(t) = n)P (ν(t) = n)

+

P (TA < TB |H−, ν(t) = n) · P (H−, ν(t) = n)P (ν(t) = n)

=

P (TA < TB | ν(t + ∆t) = n + 1) · P (H+)+P (TA < TB | ν(t + ∆t) = n− 1) · P (H−).

(8)

Ñëåäîâàòåëüíî, Pn ñâÿçàíû ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì

Pn = p · Pn+1 + q · Pn−1, 1 ≤ n < L. (9)

Îïðåäåëèì âåðîÿòíîñòè p è q äëÿ ñèñòåìû M/M/1, îïèñàííîéâûøå. Ðàññìîòðèì äâå íåçàâèñèìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè í.î.â.{τn} è {Sn}. Çàÿâêà ñ íîìåðîì n óøëà èç ñèñòåìû (ïðîèçîøëîñîáûòèå H−), åñëè Sn < τn (ò. å. âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè ñíîìåðîì n ìåíüøå âðåìåíè äî ïðèõîäà ñëåäóþùåé çàÿâêè ñ íî-ìåðîì n + 1). Ñëåäîâàòåëüíî âåðîÿòíîñòü q óõîäà çàÿâêè èç ñè-ñòåìû M/M/1 ðàâíÿåòñÿ

q = P (Sn < τn) =∫ ∞

0

λe−λt(1− e−µt)dt = 1− λ

λ + µ=

µ

λ + µ. (10)

Ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëå (10) âåðîÿòíîñòü ïðèõîäà çàÿâêè â ñè-

ñòåìó (P (H+)) ðàâíà p = 1− q =λ

λ + µ. Ïóñòü ρ = λ/µ - èíòåíñèâ-

íîñòü òðàôôèêà, òîãäà èç (10) ñëåäóåò ρ = p/q.

Page 130: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

130 À. Â. Áîðîäèíà, Å. Â. Ìîðîçîâ

Óðàâíåíèå (9) òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü èñïîëüçóÿ çàäà÷ó î ðàçî-ðåíèèè èãðîêà (ñì. [10]). Ìîäèôèöèðóÿ ôîðìóëû, ïðèâåäåííûåâ [10], ïîëó÷èì, ÷òî ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (9) ñ ãðàíè÷íûìè óñëî-âèÿìè (7) èìååò ñëåäóþùåå ðåøåíèå. Ïðè ρ 6= 1

Pn =ρL − ρL−n

ρL − 1. (11)

Ïîêàæåì, ÷òî (11) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äëÿ (9). Ïîäñòàâèì ôîð-ìóëó (11) â (9) è ðàññìîòðèì ÷èñëèòåëü äðîáè â ïðàâîé ÷àñòèóðàâíåíèÿ

p · ρL − p · ρL−n−1 + q · ρL − q · ρL−n+1 =ρL · (p + q)− ρL−n(p · ρ−1 + q · ρ) =

ρL − ρL−n = Pn(ρL − 1).(12)

 ñèëó òîãî, ÷òî ρ 6= 1 âûïîëíÿåòñÿ ρL 6= 1, ñëåäîâàòåëüíî, ôîð-ìóëà (11) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9).

Ðàññìîòðèì ρ = 1.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (11) íå èìååò ñìûñ-ëà. Ïîëó÷èì ðåøåíèå èç (11) ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó è âîñïîëüçîâàâ-øèñü ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ

limρ→1

ρL − ρL−n

ρL − 1= lim

ρ→1

L · ρL−1 − (L− n) · ρL−n−1

L · ρL−1=

n

L. (13)

Îöåíèâàåìàÿ âåðîÿòíîñòü γ = P (TA < TB) ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíî-ñòüþ äîñòèæåíèÿ óðîâíÿ L ïðè åäèíè÷íîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèèäëèíû î÷åðåäè, ò. å.

γ = P (TA < TB | ν(t) = 1) = P1 =

1L

, ρ = 1

ρL − ρL−1

ρL − 1, ρ 6= 1.

(14)

ãäå ρ = λ/µ - èíòåíñèâíîñòü òðàôèêà.Íà ðèñóíêå ?? ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ âåðîÿò-

íîñòè γ = P (TA < TB) äëÿ ñèñòåìû M/M/1 ìåòîäîì Splitting èðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïî ôîðìóëå (14). Ôóíêöèåé çíà÷èìîñòèäëÿ ìåòîäà Splitting (ñì. ÷àñòü 1) ÿâëÿåòñÿ f(t) = ν(t). Îöåíêà äëÿγ ìåòîäîì Splitting ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ρ è L áûëàïîëó÷åíà íà îñíîâå âûáîðêè îáúåìà 500 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Page 131: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Äîâåðèòåëüíîå îöåíèâàíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà 131

Ðèñ. 1. Òî÷å÷íûå îöåíêè äëÿ âåðîÿòíîñòè γ â ñèñòåìå M/M/1ïðè ρ = 0.6

4. ÐÅÃÅÍÅÐÀÒÈÂÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ

Êëàññè÷åñêèé ìåòîä ðåãåíåðàòèâíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îñíîâàííà èñïîëüçîâàíèè öèêëîâ ñèëüíîé ðåãåíåðàöèè äëÿ ýôôåêòèâíî-ãî èíòåðâàëüíîãî îöåíèâàíèÿ.

4.1. Ïîñòðîåíèå èíòåðâàëüíûõ îöåíîê. Ðàññìîòðèì X = {X(t), t ≥0} ðåãåíåðèðóþùèé ïðîöåññ (âîçìîæíî ñ çàäåðæêîé), çàäàííûéíà ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé E ñ ìîìåíòàìè ðåãåíåðàöèè T (−1) == 0 ≤ T (0) < T (1) < . . . . Ïóñòü αn = T (n) − T (n − 1), n ≥ 0 - äëèíàöèêëà ðåãåíåðàöèè. Ïóñòü Eτ1 < ∞ (ò. å. ïðîöåññ X ÿâëÿåòñÿïîëîæèòåëüíî âîçâðàòíûì). Äëÿ çàäàííîé èçìåðèìîé ôóíêöèèf : E → R îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

Yn(f) =∫ T (n)

T (n−1)

f(X(s))ds, n ≥ 0. (15)

Óñëîâèå 1. Äëÿ ðåãåíåðàòèâíîãî ïðîöåññà X ñ Eα1 < ∞ ñó-ùåñòâóåò êîíñòàíòà γ òàêàÿ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ E[Y1 − γα1] = 0 è0 < E(Y1 − γα1)2 < ∞.

Page 132: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

132 À. Â. Áîðîäèíà, Å. Â. Ìîðîçîâ

Åñëè ïðîöåññ X ÿâëÿåòñÿ ðåãåíåðèðóþùèì, òî {Zn, n ≥ 1},ãäå Zn = Yn − γαn - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäè-íàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Óñëîâèå 1 îçíà÷àåò,÷òî E|Z1| < ∞, E|Y1| < ∞ è γ = EY1/Eα1. Îöåíêó äëÿ ïàðàìåò-ðà γ ìîæíî ïîëó÷èòü ìîäåëèðîâàíèåì íà âðåìåííîì èíòåðâàëå(0, t) ëèáî ìîäåëèðîâàíèåì ïî n öèêëàì ðåãåíåðàöèè. Áóäåì ðàñ-ñìàòðèâàòü ñëó÷àé ìîäåëèðîâàíèÿ ïî öèêëàì ðåãåíåðàöèè, òîãäàîöåíêà äëÿ γ èìååò ñëåäóþùèé âèä

γn =n−1

∑nk=1 Yk

n−1∑n

k=1 αk=

Y n

αn. (16)

Èçâåñòíî, ÷òî îöåíêà γn äëÿ ïàðàìåòðà γ áóäåò ñòðîãî ñîñòîÿ-òåëüíîé, åñëè E|Y1| < ∞ è Eα1 < ∞. Öåëü ðåãåíåðàòèâíîãî ìåòîäàñîñòîèò â ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêè ïðàâèëüíîãî äîâåðèòåëü-íîãî èíòåðâàëà äëÿ γ (äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ÖÏÒ).

Òåîðåìà 1. Ïóñòü óñëîâèå 1 âûïîëíÿåòñÿ, òîãäà èìååò ìåñòîñëàáàÿ ñõîäèìîñòü

n1/2(γn − γ) ⇒ σN(0, 1), n →∞,

ãäå σ2 = EZ21/(Eα1)2.

Ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ γ, íåîáõîäèìîèìåòü ñëàáî ñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó vn äèñïåðñèè σ2, òîãäà 100(1−−δ)-ïðîöåíòíûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ñòðîèòñÿ ïî ôîðìóëàì[

γn −zδ√

vn√n

, γn +zδ√

vn√n

], (17)

ãäå zδ - êâàíòèëü, îïðåäåëÿåìàÿ âåðîÿòíîñòüþ P (N(0, 1) ≤ zδ) == 1− δ/2. Îöåíêà vn ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

vn =1/n

∑ni=1(Yi − γnαi)2

α2n

, n ≥ 1. (18)

Òåîðåìà 2. Åñëè óñëîâèå 1 âûïîëíÿåòñÿ, òîãäà îöåíêà vn ÿâëÿåòñÿñëàáî ñîñòîÿòåëüíîé, ò. å. vn ⇒ σ2

2 , n →∞.

Äëÿ ñòðîãîé ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíêè íåîáõîäèìû äîïîëíè-òåëüíûå óñëîâèÿ EY 2

1 < ∞ è Eα21 < ∞. Îäíàêî äëÿ ïðèìåíèìîñòè

ðåãåíåðàòèâíîãî ìåòîäà äîñòàòî÷íî ñëàáîé ñõîäèìîñòè îöåíîê.Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå 1 ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïðè-ìåíèìîñòè ðåãåíåðàòèâíîãî ìåòîäà. Áîëåå ïîäðîáíî ñì. [1,2,11].

Page 133: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Äîâåðèòåëüíîå îöåíèâàíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà 133

5. ÄÎÂÅÐÈÒÅËÜÍÎÅ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ P (TA < TB)

Ðàññìîòðèì ðåãåíåðèðóþùèé ïðîöåññ X = {ν(t), t ≥ 0} áåççàäåðæêè, ãäå ν(t) - ýòî êîëè÷åñòâî çàÿâîê â ñèñòåìå M/M/1 âìîìåíò âðåìåíè t. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü n öèê-ëîâ ðåãåíåðàöèè ïðîöåññà X. Ïóñòü αi = T (i) − T (i − 1), i ∈ [1, n]äëèíû öèêëîâ ðåãåíåðàöèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìîìåíòàìè ðå-ãåíåðàöèè T (i), i ∈ [0, n] . Äàëåå ïðèìåíèì ìåòîä èìèòàöèîííîãîðåãåíåðàòèâíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (ñì. ÷àñòü 3) äëÿ ïîñòðîåíèÿ äî-âåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ âåðîÿòíîñòè γ = P (TA < TB).

Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó ïðîöåññ èçìåíåíèÿ äëèíû î÷åðåäè X äëÿM/M/1 ìàðêîâñêèé, òî ëþáîå ïîïàäàíèå ïðîöåññà â ôèêñèðî-âàííîå ñîñòîÿíèå ν(t) = k ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì ðåãåíåðàöèè (k-ãîòèïà). Ìîäåëü M/M/1 õîðîøî èçó÷åíà, îäíàêî M/M/1 è ìîìåíòûðåãåíåðàöèè 0-ãî òèïà (ïðè k = 0) èñïîëüçóþòñÿ â äàííîé ðàáîòåäëÿ èëëþñòðàöèè ìåòîäà è âîçìîæíîñòè ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâìîäåëèðîâàíèÿ ìåòîäîì Splitting ñ àíàëèòè÷åñêîé ôîðìóëîé (14)(ñì. ÷àñòü 2).

Ïóñòü â ôîðìóëå (15) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

ðàâíà f = I(i){TA<TB}, ãäå èíäèêàòîð I

(i){TA<TB} = 1, åñëè íà öèêëå

ðåãåíåðàöèè ñ íîìåðîì i ïðîèçîøëî ñîáûòèå {TA < TB}. Ñëåäî-âàòåëüíî

Yn =∫ Ti

T (i−1)

I(i){TA<TB}ds = I

(i){TA<TB}(T (i)− T (i− 1)) = I

(i){TA<TB}αi.

(19)Òîãäà ôîðìóëó (16) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå

γn =

∑ni=1 I

(i){TA<TB}αi∑ni=1 αi

=I(1){TA<TB}α1 + · · ·+ I

(n){TA<TB}αn

α1 + · · ·+ αn(20)

×èñëèòåëü ôîðìóëû (20) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äëèí öèêëîâ ðåãåíå-ðàöèè, íà êîòîðûõ ïðîèçîøëî ñîáûòèå {TA < TB}. Çíàìåíàòåëüÿâëÿåòñÿ ñóììàðíîé äëèíîé âñåõ öèêëîâ ðåãåíåðàöèè.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû ðàññìîòðèì îöåíêó âåðîÿòíîñòè γ, ïîñòðî-åííóþ â ìåòîäå Splitting. Ïåðåïèøåì ôîðìóëó (5)

γ̂ =NM+1

R0R1 · · ·RM. (21)

Page 134: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

134 À. Â. Áîðîäèíà, Å. Â. Ìîðîçîâ

×èñëèòåëü ôîðìóëû (21) ïðåäñòàâëÿåò îáùåå êîëè÷åñòâî ñîáûòèé{TA < TB} (äîñòèæåíèé óðîâíÿ M + 1). Çíàìåíàòåëü ðàâåí îáùå-ìó ÷èñëó òðàåêòîðèé, ïîëó÷åííûõ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ìåòîäîìSplitting. Êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì öèêëîì ðåãåíå-ðàöèè ïðîöåññà X (è ìîãëà áûòü àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíà ìåòîäîìêëàññè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Ìîíòå-Êàðëî). Òàêèì îáðàçîì ìî-äèôèêàöèÿ ìåòîäà Splitting (òðàåêòîðèÿ îáðûâàåòñÿ òîëüêî ïðèäîñòèæåíèè ìíîæåñòâà B) ïîçâîëÿåò ñãåíåðèðîâàòü R0 ·R1 · · ·RM

öèêëîâ ðåãåíåðàöèè. Ñëåäîâàòåëüíî â ôîðìóëå (20) ÷èñëî öèêëîâðåãåíåðàöèè n = R0 ·R1 · · ·RM .

Ñîãëàñíî ñâîéñòâó PASTA (Poisson Arrival See Time Average)(ñì. [12]) äëÿ ñèñòåì, â êîòîðûõ ìîìåíòû ïðèõîäà çàÿâîê tn, n ≥ 1ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíó Ïóàññîíà (ò. å. M/ ·/·), îöåíêà ïî ôîðìó-ëå (20) ýêâèâàëåíòíà îöåíêå, ïîëó÷åííîé ìåòîäîì Splitting (ôîð-ìóëà (21)) è âûðàæåííîé â òåðìèíàõ ñîáûòèé (ò. å. γ̂ = γn), òîãäà

n∑i=1

αi =n ·

∑ni=1 I

(i){TA<TB}αi

NM+1. (22)

Ïîñòðîèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ γ ïî ôîðìóëå (17). Äëÿýòîãî ïîëó÷èì îöåíêó vn äëÿ σ2 ïî ôîðìóëàì (18) è (22)

vn =n ·

∑ni=1(I

(i){TA<TB} · αi − γn · αi)2

(∑n

i=1 αi)2=

N2M+1 ·

∑ni=1[α

2i · (I

(i){TA<TB} − γn)2]

n · [∑n

i=1(I(i){TA<TB} · αi)]2

.

(23)

Ïîäñòàâèâ ôîðìóëó (23) â âûðàæåíèå (17), ïîëó÷èì äîâåðèòåëü-íûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè γ, îöåíèâàåìîé ìåòîäîì Splitting.

Çàìå÷àíèå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ ïîìî-ùüþ ðåãåíåðàòèâíîãî ìåòîäà òðåáóåòñÿ âíåñòè èçìåíåíèÿ â îïè-ñàííûé â ÷àñòè 1 àëãîðèòì.  ïðîöåññå ìîäåëèðîâàíèÿ íåîáõî-äèìî âåñòè ïîäñ÷åò äëèí öèêëîâ αi, i ∈ [1, n], è õðàíèòü çíà÷åíèÿ

I(i){TA<TB}, i ∈ [1, n] äëÿ êàæäîãî öèêëà ðåãåíåðàöèè.

Page 135: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Äîâåðèòåëüíîå îöåíèâàíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíåíèÿ áóôåðà 135

6. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ

 äàííîé ñòàòüå ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà óñêîðåí-íîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Splitting äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èí-òåðâàëà âåðîÿòíîñòè ïåðåïîëíåíèÿ γ. Ìîäåëèðîâàíèå ïî öèêëàìðåãåíåðàöèè ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà äëèíû î÷åðåäè ïîçâî-ëÿåò ñòðîèòü èíòåðâàëüíûå îöåíêè, èñïîëüçóÿ ðåãåíåðàòèâíûéïîäõîä. Ôîðìóëû, ïðèâåäåííûå â ÷àñòè 4, ïîçâîëÿþò ñòðîèòü äî-âåðèòåëüíûé èíòåðâàë â ïðîöåññå óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿìåòîäîì Splitting.

Êðîìå òîãî ïîëó÷åíû òî÷å÷íûå îöåíêè âåðîÿòíîñòè γ äëÿ ñè-ñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ M/M/1 è ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ñàíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì (14). Ðèñóíîê ?? ïîêàçûâàåò, ÷òî îöåíêà,ïîëó÷åííàÿ ìîäåëèðîâàíèåì, ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ àíàëèòè-÷åñêîé îöåíêîé.

Ëèòåðàòóðà

1. P. W. Glynn, D. L. Iglehart. (1993). Conditions for the applicabilityof the regenerative method // Management Science 39: 1108-1111.http://citeseer.ist.psu.edu/36432.html

2. P. W. Glynn. Some topics in regenerative steady state simulation. 1993.3. K. Sigman, R. Wolff. A review of regenerative processes. SIAM Review, Vol. 35,

No. 2, pp.269-288. 1993.4. P. E. Heegaard, A survey of Speedup simulation techniques. Workshop tutorial on

Rare Event Simulation, Aachen, Germany. 1997.5. P. Shahabuddin. Rare event simulation in stochastic models. Proceedings of the

WSC 1995, IEEE Press., pp. 178-185.6. A. Borodina, E. Morozov. Simulation of rare events with speed-up techniques:

Splitting and RESTART. Proceedings of Finnish Data Processing Week at thePetrozavodsk State University (FDPW'2005), Vol. 7, 2006.

7. M. Garvels. The splitting method in rare event simulation. May 2000.8. P. Glasserman, P. Heidelberger, P. Shahabuddin, and T. Zajic. A look at multilevel

splitting. In H. Niederreiter, editor, Monte Carlo and Quasi Monte Carlo Methods1996, Lecture Notes in Statistics, volume 127, pages 99-108. Springer Verlag, 1996.

9. P. Glasserman, P. Heidelberger, P. Shahabuddin, and T. Zajic. Splitting forrare event simulation: analysis of simple cases. Proceedings of the 1996 WinterSimulation Conference.

10. Â. Ôåëëåð. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòèé è åå ïðèëîæåíèÿ. Òîì 1. Ì.:Ìèð,1964.

11. P. W. Glynn, D. L. Iglehart. A joint central limit theorem for the sample mean andregenerative variance estimator. Annals of Operations Research 8, 1987, 41-55.

12. R. W. Wolff. Poisson Arrivals See Time Average. Opns. Res, 30, 223-231. 1982.

Page 136: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍÂûïóñê 7, 2006

ÓÄÊ 512.56

ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÃÐÀÔÀ"ÈÍÒÅÐÍÅÒ" ÒÈÏÀ

Í.Ñ. ÊÈÑÅËÅÂÀ

Äàíî îïèñàíèå ñëó÷àéíûõ ãðàôîâ, ó êîòîðûõ ñòåïåíè âåð-øèí � íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííûåïî çàêîíó P(D = d) = d−τ/ζ(τ), ãäå D � ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ðàâíàÿ ñòåïåíè âåðøèíû ãðàôà, d = 1, 2, . . ., ζ(τ) =

∑∞d=1

d−τ

� äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà, τ ∈ (2, 3) (êîíå÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå è áåñêîíå÷íàÿ äèñïåðñèÿ), à îáðàçîâàíèå ðåáåðïðîèñõîäèò ðàâíîâåðîÿòíî. Ïðåäëîæåíî èññëåäîâàòü òàêèåñëó÷àéíûå ãðàôû äëÿ îïèñàíèÿ òîïîëîãèè Èíòåðíåò. Ïîëó-÷åíû ïðåäåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ êðàéíèõ ÷ëåíîâ âàðè-àöèîííîãî ðÿäà, ñîñòàâëåííîãî èç íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâà-òåëüíîñòè ñòåïåíåé âåðøèí ãðàôà, òàêæå äîêàçàíà ëîêàëüíàÿïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñóììû ñòåïåíåé âåðøèí ïðè N →∞,ãäå N � ÷èñëî âåðøèí â ãðàôå.

Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà ÐÔÔÈ 05-01-00007à.

Cëó÷àéíûå ãðàôû â êà÷åñòâå ìîäåëåé äëÿ èçó÷åíèÿ îñíîâ-íûõ õàðàêòåðèñòèê òîïîëîãèè Èíòåðíåò èíòåíñèâíî èñïîëüçóþò-ñÿ óæå íåñêîëüêî ëåò. Îäíîé èç òàêèõ ìîäåëåé ïîñâÿùåíà ñòàòüÿ[1]. Ïóñòü ãðàô ñîäåðæèò N âåðøèí, èìåþùèõ íîìåðà 1, 2, . . . , N .Îáîçíà÷èì D1, . . . , DN ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêî-âî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ1, 2, . . .. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Di ðàâíà ÷èñëóðåáåð, èíöèäåíòíûõ i-îé âåðøèíå.

c© Í.Ñ. Êèñåëåâà, 2006

Page 137: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îá îäíîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ãðàôà "Èíòåðíåò" òèïà 137

 ñòàòüå [1] èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿñòåïåíåé âåðøèí:

P{Di ≥ d} = d−τ+1,

ãäå i = 1, . . . , N, d = 1, 2, . . ., τ ∈ (2, 3). Îòñþäà

P{Di = d} = d−τ+1 − (d + 1)−τ+1.

Íà ïåðâîì ýòàïå êîíñòðóèðîâàíèÿ ãðàôà ðàññìàòðèâàþòñÿâåðøèíû ñ âûõîäÿùèìè èç íèõ ðåáðàìè è íå ó÷èòûâàþòñÿ âåð-øèíû íà äðóãîì êîíöå êàæäîãî ðåáðà. Äëÿ òàêîé ìîäåëè ââî-äèòñÿ ïîíÿòèå ïîëóðåáðà. Ïîëóðåáðî � ýòî ðåáðî, âûõîäÿùååèç âåðøèíû ñ íåçàêðåïëåííîé âåðøèíîé íà äðóãîì êîíöå. Íàñëåäóþùåì ýòàïå äàííûå ïîëóðåáðà ðàâíîâåðîÿòíî ñîåäèíÿþòñÿìåæäó ñîáîé, îáðàçóÿ ðåáðà ãðàôà. Åñëè ñóììà ñòåïåíåé âåðøèííå÷åòíà, òî äîáàâëÿåòñÿ íîâàÿ âåðøèíà ñ íîìåðîì 0 è åäèíè÷íîéñòåïåíüþ D0 = 1.

Íîâàÿ ìîäåëü, ïðåäñòàâëåííàÿ â äàííîé ðàáîòå, ÿâëÿåòñÿ ñëó-÷àéíûì ãðàôîì ñ àíàëîãè÷íûì ïîñòðîåíèåì, íî ñ èíûì çàêîíîìðàñïðåäåëåíèÿ ñòåïåíåé:

P{Di = d} =1

ζ(τ)dτ, (1)

ãäå d = 1, 2, . . ., τ ∈ (2, 3), ζ(τ) =∞∑

d=1

d−τ � äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà.

 ñòàòüå ïîêàçàíî, ÷òî íîâàÿ ìîäåëü ñîõðàíÿåò îñíîâíûå ñâîé-ñòâà èçâåñòíîé ìîäåëè, óêàçàííûå â ñòàòüÿõ [1] è [3]. Ïðè ýòîìâûäâèãàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü ìîæåòîêàçàòüñÿ áîëåå óäîáíîé äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ â ñèëóáîëåå ïðîñòîãî âûðàæåíèÿ P{Di = d}.

Èç (1) ñëåäóåò, ÷òî ïðè d →∞

P{Di ≥ d} =1

ζ(τ)(τ − 1)d−τ+1(1 + o(1)). (2)

Ðàñïðåäåëåíèå (1) íå èìååò êîíå÷íîé äèñïåðñèè è èìååò êîíå÷-íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Îáîçíà÷èì D ñòåïåíü ïðîèçâîëü-íîé âåðøèíû ãðàôà, òîãäà

ED =∞∑

d=1

d · 1ζ(τ)dτ

=ζ(τ − 1)

ζ(τ).

Page 138: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

138 Í.Ñ. ÊèñåëåâàÎáîçíà÷èì F (x) �óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûD. ÒîãäàF (x) = PfD < xg = (0 ïðè x � 1,1� 1�(�)(��1)dxe��+1(1 + o(1)) èíà÷å,ãäå dxe � íàèìåíüøåå öåëîå n � x.Ïóñòü G(d1; : : : ; dN ) � ìíîæåñòâî ãðà�îâ ñ N âåðøèíàìè, óêîòîðûõ ïåðâàÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü ðàâíóþ d1, âòîðàÿ d2 èò.ä. Îáîçíà÷èì îáùóþ ñóììó ñòåïåíåé âåðøèíl = NXi=1 di:Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûé ãðà� g ñ N âåðøèíàìè ïðèíàä-ëåæèò ìíîæåñòâó G(d1; : : : ; dN ) ðàâíà:Pfg 2 G(d1; : : : ; dN )g = PfD1 = d1; : : : ; DN = dNg == PfD1 = d1g � : : : � PfDN = dNg:Ïîñêîëüêó âñå ñîåäèíåíèÿ ïîëóðåáåð ìåæäó ñîáîé â ïàðû ðàâ-íîâåðîÿòíû, åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ãðà�û â ìíîæåñòâåG(d1; : : : ; dN ) ðàâíîâåðîÿòíû. Òàê êàê âñå ïîëóðåáðà çàíóìåðîâà-íû, òî ñóùåñòâóåò (l�1)(l�3) � : : : �1 ñïîñîáîâ ñîåäèíèòü èõ ìåæäóñîáîé. Çíà÷èò, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü âûáîðà êîíêðåòíîãî ãðà�àg èç ýòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà:Pfgjg 2 G(d1; : : : ; dN )g = 1(l � 1)(l � 3) � : : : � 1 :Òîãäà âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ êîíêðåòíîãî ãðà�à g 2 G(d1; : : : ; dN )ðàâíà: Pfgg = PfD1 = d1g � : : : � PfDN = dNg(l � 1)(l � 3) � : : : � 1 : ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè íåò îãðàíè÷åíèé íà ñîåäèíåíèÿïîëóðåáåð â ïàðû, ïîýòîìó íåò îãðàíè÷åíèÿ íà ñóùåñòâîâàíèåêðàòíûõ ðåáåð è ïåòåëü. ñòàòüå [1℄ äîêàçàíà ëåììà:

Page 139: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îá îäíîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ãðà�à "Èíòåðíåò" òèïà 139Ëåììà 1. Ïóñòü U è V äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâà âåðøèí.Îáîçíà÷èì F =Xi2U Di; G =Xj2V Dj :Åñëè FG=N ! 1 âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, ïðè N ! 1,òî ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, ñóùåñòâóåò âåðøèíà èçìíîæåñòâà U , êîòîðàÿ ñâÿçàíà ðåáðîì ñ êàêîé-íèáóäü âåðøèíîéèç V .Èç ýòîé ëåììû ñëåäóåò, ÷òî âåðøèíû, ñòåïåíü êîòîðûõ íåìåíüøå, ÷åì N1=2+", ãäå " > 0, ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé õîòÿ áûîäíèì ñâîèì ðåáðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê 1, ñëåäî-âàòåëüíî, îíè îáðàçóþò ïîëíûé ãðà�. Ïîêàæåì íèæå, ÷òî åñëèâûáðàòü " òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî " < (3��)=2(��1),òî òàêèå âåðøèíû ñóùåñòâóþò.Îáîçíà÷èì � ìíîæåñòâî âåðøèí ãðà�à, ó êîòîðûõ ñòåïåíèâåðøèí óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ: Di � N1=2+", ãäå i = 1; : : : ; N .Òîãäà ìîùíîñòü ìíîæåñòâà îïðåäåëÿåòñÿ:jj = NXi=1 IfDi � N1=2+"g;ãäå I(A) - èíäèêàòîð ñîáûòèÿ A.Ïðèìåíèâ òåîðåìó Ìóàâðà�Ëàïëàñà ïðè N ! 1, ïîëó÷èìñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:Pfjj = kg = 1 + o(1)p2�Np(1� p) � e� (k�Np)22Np(1�p) ;ãäå p = PfD � N1=2+"g = (�(�)(� � 1))�1 � (N1=2+")��+1(1 + o(1)).Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî Np ! 1, ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî âåðøèí,óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàííîìó óñëîâèþ, ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íî-ñòè.Äàëåå ïîñòðîèì âàðèàöèîííûé ðÿäD(1) 6 D(2) 6 : : : 6 D(N);ðàñïîëîæèâ D1; D2; : : : ; DN â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå. Íàéäåì ïðå-äåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ êðàéíèõ ÷ëåíîâ ýòîãî ðÿäà.

Page 140: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

140 Í.Ñ. ÊèñåëåâàÒåîðåìà 1. Ïóñòü N !1 è k � �èêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñ-ëî, òîãäà PfD(k) = 1g ! 1:ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü Fk(x); k = 1; 2; : : : ; N , îáîçíà÷àåò �óíê-öèþ ðàñïðåäåëåíèÿ k-ãî ÷ëåíà âàðèàöèîííîãî ðÿäà (3), òîãäàFk(x) = PfD(k) < xg = 1� PfD(k) � xg:ßñíî, ÷òîPfD(k) � xg =PfD1 � x; : : : ;D N � xg+ C1N � PfD1 < x;D2 � x; : : : ;D N > xg++ C2N � PfD1 < x;D2 < x;D3 � x; : : : ;D N > xg+ : : :++ Ck�1N � PfD1 < x; : : : ; Dk�1 < x;Dk � x; : : : ;D N > xg == PfD1 > x; : : : ;D N > xg++ k�1Xi=1 CiN � PfD1 < x; : : : ;D i < x;Di+1 � x; : : : ;D N � xg:Èç îïðåäåëåíèÿ Fk(x), ñëåäóåò, ÷òî PfD(k) < xg = 0 ïðè x � 1.Äàëåå ïðè x > 11� Fk(x) = � dxe��+1(1 + o(1))�N ++ k�1Xi=1 N !(N � i)!i! � �1� dxe��+1(1 + o(1))�i � dxe��+1(1 + o(1))�N�i ;ãäå = (�(�)(� � 1))�1. Èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî x > 1 è < 1, ïîëó÷èì,÷òî 1�Fk(x)! 0 ïðè N !1. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî PfD(k) � xg ! 0ïðè x > 1 è N !1. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.Òåîðåìà 2. Ïóñòü N !1 è k � �èêñèðîâàííîå íåîòðèöàòåëüíîåöåëîå ÷èñëî, òîãäàPf(� � 1) lnD(N�k) � lnN < xg = �(k + 1; e�x)k! (1 + o(1)); (3)ãäå = (�(�)(� � 1))�1 è �(m;x) = R1x tm�1e�tdt � äîïîëíèòåëüíàÿãàììà-�óíêöèÿ.

Page 141: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îá îäíîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ãðà�à "Èíòåðíåò" òèïà 141ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.Pf(� � 1) lnD(N�k) � lnN < xg = PfD(N�k) < (Nex) 1��1 g == PfD1 < (Nex) 1��1 ; : : : ; DN < (Nex) 1��1 g++ kXi=1 CiN � PfD1 < (Nex) 1��1 ; : : : ; DN�i < (Nex) 1��1 ;DN�i+1 > (Nex) 1��1 ; : : : ; DN > (Nex) 1��1 g == kXi=0 N !(N � i)!i! �1� Nex�N�i � (Nex)iÏðèìåíÿÿ �îðìóëó Ñòèðëèíãà, ïîëó÷èì ðàâåíñòâîPfD(N�k) < (Nex) 1��1 g = e�e�x kXi=0 ( e�x)ii! + o(1) == �(k + 1; e�x)k! (1 + o(1));÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñëåäñòâèå 1. Ïðè k = 0 ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ìàêñèìàëü-íîé ñòåïåíè ãðà�à èìååò âèä:Pf(� � 1) lnD(N) � lnN < xg = e�e�x(1 + o(1)): (4)Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñóììû ñòåïåíåéâåðøèí ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìàìè 2.1.1, 2.2.2, 2.6.1 è 4.2.1èç [2℄. Îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè-÷èíû D1; D2; : : : ; DN ÿâëÿþòñÿ ðåøåò÷àòûìè ñ ìàêñèìàëüíûì øà-ãîì, ðàâíûì åäèíèöå, è �óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (1). Îáðàçóåìñóììû: SN = D1 +D2 + : : :+DN �ANBN ;ãäå AN è BN - íîðìèðóþùèå ïîñòîÿííûå.Åñëè �óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FN (x) ñóìì SN ñëàáî ñõîäèò-ñÿ ê íåêîòîðîé �óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ G(x), òî ãîâîðÿò, ÷òî

Page 142: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

142 Í.Ñ. Êèñåëåâà

F (x) ïðèòÿãèâàåòñÿ ê G(x). Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, ïðèòÿãè-âàþùèõñÿ ê G(x), íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ çàêîíà G(x).

Èç òåîðåìû 2.1.1 êíèãè [2] ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñóììSN èìååò â êà÷åñòâå ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâûé çà-êîí G(x), è âèä íîðìèðóþùèõ ïîñòîÿííûõ ïðè ìåäëåííî ìåíÿþ-ùåéñÿ â ñìûñëå Êàðàìàòà ôóíêöèè h(x) = 1 áóäåò ñëåäóþùèì:

BN = N1/(τ−1), AN = N · ED,

ãäå 1 < τ − 1 < 2.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ïðèòÿæå-

íèÿ óñòîé÷èâîãî çàêîíà ñ ïîêàçàòåëåì τ − 1 â ñèëó òåîðåìû 2.6.1èç [2].Îòñþäà è èç òåîðåì 4.2.1 è 2.2.2 èç [2], ïîëó÷èì ñëåäóþùèéðåçóëüòàò:

Òåîðåìà 3. Ïðè N →∞ ñïðàâåäëèâî:

supk

∣∣∣∣N1/(τ−1) P{LN = k} − g

(k · ζ(τ)−N · ζ(τ − 1)

N1/(τ−1)ζ(τ)

)∣∣∣∣ → 0, (5)

ãäå LN =∑N

i=1 Di, g(x) � ïëîòíîñòü óñòîé÷èâîãî ðàñïðåäåëåíèÿG(x) ñ ïîêàçàòåëåì τ − 1, ïðè÷åì õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿϕ(x) óñòîé÷èâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ G(x) èìååò âèä:

ϕ(t) =

= exp{

iγt +Γ(3− τ)

ζ(τ)(τ − 1)(τ − 2)cos

π(τ − 1)2

|t|τ−1

(1 + i

t

|t|tg

π(τ − 1)2

)}.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñâèäåòåëüñòâóþò îòîì, ÷òî ðàññìîòðåííûå ñâîéñòâà ïðåäëîæåííîé ìîäåëè àíàëî-ãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì ñâîéñòâàì ìîäåëè, èçó÷àâøåéñÿ â ñòà-òüÿõ [1] è [3].

Ëèòåðàòóðà

1. Reittu H., Norros I. On the power-low random graph model of massive datanetworks, Performance Evaluation, 55, 2004, 3-23.

2. Èáðàãèìîâ È.À., Ëèííèê Þ.Â. Íåçàâèñèìûå è ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûå âåëè-÷èíû. Ì., 1965.

3. Ñòåïàíîâ Ì.Ì. Î ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ñòåïåíåé óçëîâ â ñëó÷àéíûõãðàôàõ "Èíòåðíåò" òèïà // Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍ, Ïåòðîçàâîäñê, 2005,âûï.6, ñ.235-242.

Page 143: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍÂûïóñê 7, 2006

ÓÄÊ 519.144.1 + 519.16

ÊÎÌÏÎÇÈÒÍÛÉ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÉ ÀËÃÎÐÈÒÌ ÄËßÏÎÒÎÊÎÂÎÉ ÇÀÄÀ×È ØÒÅÉÍÅÐÀ.

Â.Ä. ÊÓÊÈÍ.

Îáñóæäàåòñÿ êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì äëÿðåøåíèÿ çàäà÷è Øòåéíåðà ñ ïîòîêàìè è çàâèñÿùèìè îòíèõ âåñàìè. Ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû òåñòèðî-âàíèÿ ýòîãî àëãîðèòìà.

Çàäà÷à Øòåéíåðà ñ ïîòîêàìè è çàâèñÿùèìè îò íèõ âåñàìè �îäíî èç îáîáùåíèé ïðîáëåìû Øòåéíåðà [1]. Äàëåå äëÿ êðàòêî-ñòè ýòà çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïîòîêîâîé. Îíà îòíîñèòñÿ ê êëàññó NP-òðóäíûõ çàäà÷ [2], äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé êîòîðûõ îáû÷íî ïðèìåíÿ-þò ïðèáëèæåííûå ìåòîäû, â ÷àñòíîñòè, ìåòîäû ýâîëþöèîííîãîìîäåëèðîâàíèÿ.  ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ îäèí èç êîìïîçèòíûõýâîëþöèîííûõ àëãîðèòìîâ, ðàçðàáîòàííûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è.

1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È

Äàäèì êîìáèíàòîðíóþ ïîñòàíîâêó ïîòîêîâîé çàäà÷è Øòåéíå-ðà, èñïîëüçóÿ òåðìèíîëîãèþ òåîðèè ãðàôîâ. Ââåäåì ñëåäóþùèåîáîçíà÷åíèÿ:

G = (V,D) � îðèåíòèðîâàííûé ê êîðíþ ïëîñêèé ãðàô, ãäåV � ìíîæåñòâî âåðøèí è D � ìíîæåñòâî äóã îðãðàôà.V = V0 ∪ Vs, |V | = |V0|+ |Vs| = n + s.V0 � ìíîæåñòâî âåðøèí îðãðàôà, ðàñïîëîæåííûõ â ôèêñèðî-

âàííûõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè, íàçûâàåìûõ òåðìèíàëüíûìè âåðøèíà-ìè.

i0 ∈ V0 � êîðåíü äåðåâà, èëè âûäåëåííàÿ òåðìèíàëüíàÿ âåð-øèíà, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ñòîê.

M0 = {mi ∈ R+|i ∈ V0\{i0}} � ìíîæåñòâî ìîùíîñòåé èñòî÷íè-êîâ â òåðìèíàëüíûõ âåðøèíàõ.

c© Â.Ä. Êóêèí., 2006

Page 144: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

144 Â.Ä. Êóêèí.

Vs � ìíîæåñòâî âåðøèí îðãðàôà, ðàñïîëîæåííûõ â äîïîëíè-òåëüíûõ ñâîáîäíî ðàçìåùàåìûõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè, íàçûâàåìûõòî÷êàìè Øòåéíåðà (ÒØ).

X0 = {(xi, yi)|xi, yi ∈ R+; i ∈ V0} � çàäàííîå ìíîæåñòâî êîîð-äèíàò òåðìèíàëüíûõ âåðøèí.

Xs = {(xi, yi)|xi, yi ∈ R+; i ∈ Vs} � ìíîæåñòâî êîîðäèíàò ÒØ.D = Dr � ìíîæåñòâî äóã îðãðàôà, ñîåäèíÿþùèõ åãî âåðøèíû

â òîïîëîãèè τ ∈ T .T � ìíîæåñòâî òîïîëîãèé, îïðåäåëÿþùèõ ñïîñîáû ñîåäèíå-

íèÿ âåðøèí îðãðàôà äóãàìè.Èñòî÷íèêè ïîðîæäàþò ïîòîêè íà äóãàõ.  óçëàõ (âíóòðåííèõ

âåðøèíàõ) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ïîòîêîâ: ñóììèðó-þòñÿ ïîòîêè èç çàõîäÿùèõ äóã è îáðàçóþò ïîòîêè íà èñõîäÿùèõäóãàõ. Åñëè óçåë â òåðìèíàëüíîé âåðøèíå, òî ïîòîê èç íåå òîæåâõîäèò â ýòó ñóììó.

f(q) � âåñîâàÿ ôóíêöèÿ; f(q(i,j)) � çíà÷åíèå âåñîâîé ôóíêöèè,

çàâèñÿùåå îò âåëè÷èíû q(i,j) ïîòîêà íà äóãå (i, j), èëè âåñ ýòîéäóãè.

l åâêëèäîâà ìåòðèêà; l(i,j) = ((xi − xj)2 − (yi − yj)2)1/2 � äëèíà

äóãè (i, j) îðãðàôà.L(i,j) = l(i,j) · f(q(i,j)) � âçâåøåííàÿ äëèíà äóãè (i, j). êîìáèíàòîðíîé ïîñòàíîâêå ïîòîêîâàÿ çàäà÷à Øòåéíåðà �

ýòî ñëåäóþùèé îáúåêò:

WSTP =< V0,M0, X0, l, f(q), (τ,Xs), SL >,

ãäå ïàðà (τ,Xs) � òàêîå ðåøåíèå çàäà÷è, äëÿ êîòîðîãî ïðè íà-÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (V0,M0, X0, l, f(q)) è óñëîâèÿõ ñîõðàíåíèÿ ïî-òîêîâ ñóììà âçâåøåííûõ äëèí äóã îðãðàôà ìèíèìàëüíà:

SL =∑

τ∈T :(i,j)∈Dτ

L(i,j) → min,

Ñîîòâåòñòâóþùèé ïàðå (τ,Xs) îðãðàô G = (V,Dτ ) ÿâëÿåòñÿ äåðå-âîì. Ïîñëå îïòèìèçàöèè êîîðäèíàò ÒØ îíî ñòàíîâèòñÿ äåðåâîìØòåéíåðà (ÄØ), ò.å. îòíîñèòåëüíî ìèíèìàëüíûì äåðåâîì äëÿäàííîé òîïîëîãèè τ ∈ T . Èùåòñÿ äåðåâî, ìèíèìàëüíîå ñðåäè ÄØäëÿ âñåõ òîïîëîãèé (ÌÄØ).

Ìû ðåøàåì ïîòîêîâóþ çàäà÷ó, ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî äåðåâüÿñ ïîëíûìè òîïîëîãèÿìè [1], ò.å. ñ ìàêñèìàëüíûì ÷èñëîì ÒØ(s = n− 2). ×èñëî âåðøèí âñåãäà ðàâíî N = 2n− 2. Âûðîæäåííûå

Page 145: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì 145

äóãè (íóëåâîé äëèíû), êîòîðûå ìîãóò ïîëó÷àòüñÿ ïðè îïòèìè-çàöèè ïîëîæåíèÿ ÒØ, ìû ñ÷èòàåì ïîëíîïðàâíûìè ýëåìåíòàìèäåðåâüåâ. Ýòî íå íàðóøàåò îáùíîñòè ïîäõîäà, çàòî ïîçâîëèëîóíèôèöèðîâàòü ïðåäñòàâëåíèå òîïîëîãèè ñòðîêîé ôèêñèðîâàí-íîé äëèíû [3].

Ïîòîêîâàÿ çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðèëîæåíèè ê ïðîåêòè-ðîâàíèþ òðàíñïîðòíûõ ñåòåé, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíà ïîëîæè-òåëüíàÿ âåùåñòâåííàÿ âîãíóòàÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ f(q). Îíà îáû÷-íî èíòåðïîëèðóåòñÿ ñëåäóþùåé êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíêöèåé:

f(q) = K(q) + Tr(q) · q,ãäå: K(q), T r(q) � ñòóïåí÷àòûå (êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå) ôóíêöèè îòïîòîêà.  òðàíñïîðòíûõ ñåòÿõ K(q) è Tr(q) ïðèíÿòî íàçûâàòüêàïèòàëüíîé è òðàíñïîðòíîé ñîñòàâëÿþùèìè ñîîòâåòñòâåííî. Âýòîì ñëó÷àå öåëåâàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è èìååò âèä:

S′L =

∑τ∈T :(i,j)∈Dτ

[K(q(i,j)) + Tr(q(i,j)) · q(i,j)] · l(i,j) → min .

2. ÊÎÌÏÎÇÈÒÍÛÉ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÉ ÀËÃÎÐÈÒÌ

Íà îñíîâå ìåòîäîëîãèè ýâîëþöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è íà-øåãî îïûòà ðåøåíèÿ ïîòîêîâîé çàäà÷è [3] áûëè ðàçðàáîòàíûîðèãèíàëüíûå ãåíåòè÷åñêèå îïåðàòîðû è äâóõóðîâíåâàÿ ýâîëþ-öèîííàÿ ìîäåëü. Îíè âìåñòå ñ áèîëîãè÷åñêèìè àíàëîãèÿìè ïðè-âîäÿòñÿ â [4,5].

Íà âåðõíåì óðîâíå ìîäåëè èìèòèðóåòñÿ ïðîöåññ ñëó÷àéíî-ãî îáðàçîâàíèÿ íîâûõ âèäîâ îñîáåé áåç èõ äèâåðãåíöèè. Îñîáüïðåäñòàâëÿåòñÿ ïàðîé (τ,Xs), ãäå τ � òîïîëîãèÿ (õðîìîñîìà),Xs � êîîðäèíàòû ÒØ. Íà íèæíåì óðîâíå ìîäåëèðóåòñÿ ýâîëþ-öèÿ ïîïóëÿöèè îñîáåé ïîðîæäåííîãî âèäà êàê ñìåíà åå ïîêîëå-íèé â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Îñîáü îöåíèâàåòñÿ ôèòíåñ-ôóíêöèåé, ñîîòâåòñòâóþùåé öåëåâîé ôóíêöèè ïîòîêîâîé çàäà-÷è. Çà ñ÷åò ëó÷øèõ íàéäåííûõ â ïîïóëÿöèÿõ ðàçíûõ âèäîâ îñî-áåé ôîðìèðóåòñÿ ýëèòíàÿ ãðóïïà ðåøåíèé.

Íà ýòîé ìîäåëè ñòðîèëèñü êîìïîçèòíûå àëãîðèòìû, èñïîëüçó-þùèå ðàçëè÷íûå ïðèåìû ýâîëþöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Âû÷èñ-

Page 146: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

146 Â.Ä. Êóêèí.

ëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò ïîêàçàë, ÷òî âñå îíè îáåñïå÷èâàþò ïî-èñê õîðîøèõ ðåøåíèé äëÿ øèðîêîãî äèàïàçîíà óñëîâèé. Ýòî äî-ñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò ïðèìåíåíèÿ îðèãèíàëüíûõ ãåíåòè÷åñêèõ îïåðà-òîðîâ, ó÷èòûâàþùèõ ñïåöèôèêó çàäà÷è. Áûëî îòîáðàíî íåñêîëü-êî àëãîðèòìîâ, èìåþùèõ ëó÷øèå âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè,òîì ÷èñëå ðàññìàòðèâàåìûé íèæå àëãîðèòì. Ýòî àëãîðèòì ýâî-ëþöèîííîãî ïîèñêà, â êîòîðîì ïîïóëÿöèÿ ñîñòîèò èç îäíîé îñî-áè, è îí ìîæåò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê ñòðàòåãèÿ ýâîëþöèîííîãîïîèñêà.

Âíåøíèì öèêëîì ñëó÷àéíîãî âèäîîáðàçîâàíèÿ â àëãîðèòìåóïðàâëÿåò ïàðàìåòð Z, êîòîðûé çàäàåò ÷èñëî àêòîâ îáðàçîâàíèÿíîâûõ âèäîâ. Ïåðâûé øàã ðàáîòû àëãîðèòìà � ãåíåðàöèÿ ðîäèòå-ëÿ ïîïóëÿöèè. Ïåðâûé ðîäèòåëü � ýòî ïðàðîäèòåëü: àâòîìàòè÷å-ñêè ôîðìèðóåìàÿ îñîáü ïðåäêîâîãî âèäà [4], à êàæäûé ñëåäóþ-ùèé � ñëó÷àéíûé ðîäèòåëü, ïîðîæäàåìûé èç ïðåäûäóùåãî.

Âî âíåøíèé öèêë âëîæåí öèêë ýâîëþöèè ïîïóëÿöèè ïîðî-æäåííîãî âèäà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåòñÿ êàê ÷åðåäóþùèåñÿ ïàðûñìåí ïîêîëåíèé � ìóòàíòîâ è ãèáðèäíûõ îñîáåé. Ýòîò öèêëóïðàâëÿåòñÿ êðèòåðèàëüíûì ïðèçíàêîì H . Ïåðåä êàæäîé íîâîéïàðîé ñìåíû ïîêîëåíèé ïðèçíàê H = 0. Åñëè õîòÿ áû â îäíîìèç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîêîëåíèé íàéäåí ëó÷øèé ïîòîìîê,H = 1.

Îñíîâíûå øàãè àëãîðèòìà âêëþ÷àþò äâå ïîñëåäîâàòåëüíûåîïåðàöèè: ïåðåñòðîéêó õðîìîñîìû (òîïîëîãèè τ ) è ëîêàëüíóþîïòèìèçàöèþ ìíîæåñòâà Xs êîîðäèíàò ÒØ íà ïëîñêîñòè. Äëÿ ïå-ðåñòðîéêè èñïîëüçóþòñÿ: îïåðàòîð ñëó÷àéíûõ ìóòàöèé, îïåðàòîðñåëåêòèâíûõ ìóòàöèé è îïåðàòîð êðîññèíãîâåðà [4]. Äåéñòâèÿìèýòèõ îïåðàòîðîâ óïðàâëÿþò ñïåöèàëüíûå ïàðàìåòðû � íîðìû,óñòàíîâëåííûå â õîäå âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà.

Êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì.Øàã 1. Öèêë ñëó÷àéíîãî âèäîîáðàçîâàíèÿ: z = 1÷ Z

Åñëè z = 1, òî ãåíåðàöèÿ ïðàðîäèòåëÿ.Èíà÷å ãåíåðàöèÿ ñëó÷àéíîãî ðîäèòåëÿ âèäà z.

Ïåðåñòðîéêà õðîìîñîìû ïðåäûäóùåãî ðîäèòåëÿîïåðàòîðîì ñëó÷àéíûõ ìóòàöèé.

Îïòèìèçàöèÿ êîîðäèíàò ÒØ ðîäèòåëÿ.Çàïîìèíàíèå ðîäèòåëÿ.Çàäàíèå òåêóùåé îñîáè.

Page 147: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì 147

Øàã 2. Ýâîëþöèÿ ïîïóëÿöèè îñîáåé âèäà z.Íîìåð ïîêîëåíèÿ ïîïóëÿöèè h = 1.

2.1. Êðèòåðèàëüíûé ïðèçíàê H = 0.Öèêë ãåíåðàöèè ìóòàíòîâ òåêóùåé îñîáè: v = 2÷(2n−2)

Ïîðîæäåíèå ïîòîìêà v îò òåêóùåé îñîáè îïåðàòî-ðîì ñåëåêòèâíûõ ìóòàöèé.Îïòèìèçàöèÿ êîîðäèíàò ÒØ.Åñëè ïîòîìîê ëó÷øå, òåêóùàÿ îñîáü îáíîâëÿåòñÿ:H = 1.

Íîìåð ïîêîëåíèÿ ïîïóëÿöèè h = h + 1.2.2. Öèêë ãåíåðàöèè ãèáðèäíûõ îñîáåé: v = (n + 1)÷ (2n− 2)

Ïîðîæäåíèå ïîòîìêà v îò òåêóùåé îñîáè îïåðàòî-ðîì êðîññèíãîâåðà.Îïòèìèçàöèÿ êîîðäèíàò ÒØ.Åñëè ïîòîìîê ëó÷øå, òåêóùàÿ îñîáü îáíîâëÿåòñÿ:H = 1.

Íîìåð ïîêîëåíèÿ ïîïóëÿöèè h = h + 1.Åñëè H = 1, ïåðåõîä ê øàãó 2.1.

Øàã 3. Ýëèòíàÿ ãðóïïà G.Åñëè G íå ñîçäàíà, òåêóùàÿ îñîáü âêëþ÷àåòñÿ âG,èíà÷å, åñëè òåêóùàÿ îñîáü ëó÷øå õóäøåé îñîáè â G,çàìåíÿåò åå.

Øàã 4. Åñëè z < Z, òî ïåðåõîä ê øàãó 1, èíà÷å � ê øàãó 5.Øàã 5. Âûáîð ðåøåíèÿ.

 öèêëå v = 2÷(2n−2) èç òåêóùåé îñîáè ãåíåðèðóåòñÿ ïîêîëå-íèå ìóòàíòîâ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ñåëåêòèâíûõ ìóòàöèé. Ãåî-ìåòðè÷åñêèé ñìûñë äåéñòâèÿ îïåðàòîðà � ïîïûòêè ïåðåáðîñèòüäóãó v íà äóãè äåðåâà èç åå áëèæàéøåé îêðåñòíîñòè äî ïåðâîéóäà÷íîé ïîïûòêè èëè äî èñ÷åðïàíèÿ ñôîðìèðîâàííîãî ñïèñêàïåðåáðîñîê. Îïåðàòîð ïðèìåíÿåòñÿ êî âñåì äóãàì, êðîìå êîðíå-âîé.

 öèêëå v = (n + 1) ÷ (2n − 2) ïîðîæäàåòñÿ ïîêîëåíèå ãèáðèä-íûõ îñîáåé ñ ïîìîùüþ îðèãèíàëüíîãî îïåðàòîðà êðîññèíãîâåðà.Îí ðåàëèçîâàí òàê, ÷òî â ðåêîìáèíàöèè ó÷àñòâóþò õðîìîñîìû

Page 148: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

148 Â.Ä. Êóêèí.

òåêóùåé îñîáè è íåêîòîðîé âèðòóàëüíîé îñîáè. Äëÿ ýòîãî èñ-ïîëüçóåòñÿ àëãîðèòì èñ÷åðïûâàþùåãî è íåèçáûòî÷íîãî ïåðåáîðàïîëíûõ òîïîëîãèé [3].

Åñëè ïðè ïîèñêå íàéäåí ëó÷øèé ïîòîìîê (ëèáî ìóòàíò, ëèáîãèáðèäíàÿ îñîáü), òåêóùàÿ îñîáü îáíîâëÿåòñÿ. Òîëüêî îíà "âû-æèâàåò", è ñ íåå ïðîäîëæàåòñÿ ïîèñê. Ôàêòè÷åñêè, ýòî àëãîðèòìíàïðàâëåííîãî ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà.

 ñèëó ñëó÷àéíîñòè âèäîîáðàçîâàíèÿ â àëãîðèòìå, íå ñòîèòïðîáëåìà ïðåæäåâðåìåííîé ñõîäèìîñòè. Îí òàêæå ïðîñìàòðèâà-åò áîëüøîå ÷èñëî âàðèàíòîâ, ÷òî óâåëè÷èâàåò âåðîÿòíîñòü íàõî-æäåíèÿ õîðîøèõ ðåøåíèé. Âìåñòå ñ îðèãèíàëüíûìè îïåðàòîðà-ìè, ó÷èòûâàþùèìè ñïåöèôèêó ïîòîêîâîé çàäà÷è, ýòî îáåñïå÷è-âàåò ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû àëãîðèòìà, ÷òî ïîäòâåðæäàåòñÿ ðå-çóëüòàòàìè åãî òåñòèðîâàíèÿ.

3. ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒ

Âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò ñîñòîÿë èç òåñòèðîâàíèÿ ðàç-íûõ ðåàëèçîâàííûõ íà C++ àëãîðèòìîâ, êîòîðîå ïðîâîäèëîñü âîñíîâíîì íà ÏÊ ñ òàêòîâîé ÷àñòîòîé 800 ÌÃö. Èñêàëèñü ðåøåíèÿêàê ïîòîêîâîé çàäà÷è Øòåéíåðà, òàê è çàäà÷è áåç ïîòîêîâ. Ðåøà-ëèñü ñåðèè ïî 15 òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ êàæäîé èç ðàçìåðíîñòåé: 50,60, 70, 80, 90, 100, 250, 500 è 1000 òåðìèíàëüíûõ âåðøèí. Äëÿ çà-äà÷è áåç ïîòîêîâ èñïîëüçîâàëèñü òåñòû èç Èíòåðíåò-áèáëèîòåêè[6], âõîäíûå äàííûå êîòîðûõ áûëè ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ ãåíåðà-òîðà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Äëÿ ïîòîêîâîé çàäà÷è â íèõ äîïîëíèòåëü-íî çàäàâàëèñü ìîùíîñòè èñòî÷íèêîâ â òåðìèíàëüíûõ âåðøèíàõè âåñîâàÿ ôóíêöèÿ. Êðîìå òîãî, ðåøàëèñü ïîòîêîâûå çàäà÷è, äëÿêîòîðûõ áûëè èçâåñòíû ðåøåíèÿ èç ïðàêòèêè ïðîåêòèðîâàíèÿòðàíñïîðòíûõ ñåòåé. Äëÿ èõ âõîäíûõ äàííûõ õàðàêòåðíà íåêîòî-ðàÿ ðåãóëÿðíîñòü.

Ïðè òåñòèðîâàíèè ðàññìîòðåííîãî àëãîðèòìà ïîëó÷åíû ñëå-äóþùèå ðåçóëüòàòû.

1. Àëãîðèòì íàõîäèò ðåøåíèÿ îáåèõ çàäà÷ çà âðåìÿ, ïðèåìëå-ìîå äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèëîæåíèÿ ê îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðîâòðàíñïîðòíûõ ñåòåé. Îí íàõîäèò ðåøåíèÿ õîðîøåãî êà÷åñòâà äëÿøèðîêîãî äèàïàçîíà âõîäíûõ äàííûõ. Äëÿ çàäà÷è Øòåéíåðà áåçïîòîêîâ íàéäåíû ðåêîðäíûå çíà÷åíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè, óêàçàí-íûå â Èíòåðíåò-áèáëèîòåêå. Äëÿ ïîòîêîâîé çàäà÷è ïîâòîðåíû

Page 149: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì 149

èëè óëó÷øåíû ðåøåíèÿ, èçâåñòíûå èç ïðàêòèêè ïðîåêòèðîâàíèÿ.

2. Àëãîðèòì ñïîñîáåí íàõîäèòü ñóáîïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ. Íàðèñóíêàõ íèæå ïðèâåäåíû ñõåìû äëÿ çàäà÷è áåç ïîòîêîâ (ðèñ.1)è ñîîòâåòñòâóþùåé ïîòîêîâîé çàäà÷è (ðèñ.2) ðàçìåðíîñòüþ 250òåðìèíàëüíûõ âåðøèí ñ êîðíåì â òî÷êå 1.

Ðèñ. 1. Ñõåìà ÄØ ñ 250 òåðìèíàëüíûìè âåðøèíàìè.Çàäà÷à áåç ïîòîêîâ.

Äëÿ ðåøåíèé ïîòîêîâîé çàäà÷è õàðàêòåðíû ñëåäóþùèå îñî-áåííîñòè.

�  òî÷êàõ Øòåéíåðà óãëû ìåæäó âõîäÿùèìè äóãàìè ñ áëèç-êèìè âåñàìè âñåãäà ìåíüøå 120 ãðàäóñîâ. Óãëû ìåæäó âõîäÿùèìèäóãàìè ñ áîëüøîé ðàçíèöåé âåñîâ áëèçêè ê 90 ãðàäóñàì. ( çàäà÷åáåç ïîòîêîâ âñå óãëû ðàâíû 120 ãðàäóñàì.)

� Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ âûðîæäåííûõ äóã â ïîòîêîâîé çà-äà÷å ìåíüøå, ÷åì â çàäà÷å áåç ïîòîêîâ.

Page 150: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

150 Â.Ä. Êóêèí.

Ðèñ. 2. Ñõåìà ÄØ ñ 250 òåðìèíàëüíûìè âåðøèíàìè.Çàäà÷à ñ ïîòîêàìè.

� ÄØ ñ ëó÷øèì çíà÷åíèåì öåëåâîé ôóíêöèè â îñíîâíîì èìå-þò áîëüøóþ ñóììó äëèí äóã, ÷åì ÄØ ñ õîðîøåé öåëåâîé ôóíê-öèåé � çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ äëèí äóã ñ ìåíüøèìè âåñàìè.

� ÄØ îáëàäàþò îòíîñèòåëüíîé óñòîé÷èâîñòüþ. Ñðåäè õîðî-øèõ äåðåâüåâ, êàê ïðàâèëî, íàáëþäàåòñÿ ìàëîå ÷èñëî îñíîâíûõñõåì ðàñïîëîæåíèÿ äóã â ïðèêîðíåâîé îáëàñòè, ãäå äóãè èìåþòáîëüøèé âåñ. Ðàçëè÷èÿ íà÷èíàþòñÿ áëèæå ê ïåðèôåðèè äåðåâüåâ,ãäå äóãè èìåþò ìåíüøèé âåñ. (Òàêàÿ óñòîé÷èâîñòü ñîâñåì íå ñâîé-ñòâåííà çàäà÷å áåç ïîòîêîâ).

3. Àëãîðèòì ñîçäàâàëñÿ äëÿ ïîòîêîâîé çàäà÷è è ïðè ïîèñêåðåøåíèé äëÿ íåå áîëåå ýôôåêòèâåí, ÷åì äëÿ çàäà÷è áåç ïîòî-êîâ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ëó÷øèõ ðåøåíèé â ïîòîêîâîé çàäà÷å âñåãäàòðåáîâàëîñü ìåíüøåå ÷èñëî àêòîâ âèäîîáðàçîâàíèÿ, ÷åì â çàäà÷åáåç ïîòîêîâ. Íàëè÷èå âåñîâ ïîðîæäàåò óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé âïðèêîðíåâîé îáëàñòè è â êàêîé-òî ñòåïåíè "ñóæàåò"ïðîñòðàíñòâîðåøåíèé ïîòîêîâîé çàäà÷è. Ýòî äåìîíñòðèðóåò ãðàôèê íà ðèñ. 3.Îí ïîñòðîåí äëÿ êîíòðîëüíûõ òåñòîâûõ çàäà÷ ðàçíûõ ðàçìåð-íîñòåé êàê ñ ïîòîêàìè, òàê è áåç íèõ. Ïîêàçàíà îòíîñèòåëüíàÿ

Page 151: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì 151

ðàçíèöà ÷èñëà àêòîâ âèäîîáðàçîâàíèÿ â íèõ. Îòìåòèì, ÷òî â àá-ñîëþòíîì âûðàæåíèè íàáëþäàëñÿ îäíîâðåìåííûé ðåçêèé ñêà÷îê÷èñëà âèäîîáðàçîâàíèé â çàäà÷àõ ðàçìåðíîñòè 80. Îáðàòíàÿ êàð-òèíà � äëÿ çàäà÷ ðàçìåðíîñòè 100. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ îñîáåííîñòÿ-ìè ðàñïîëîæåíèÿ òåðìèíàëüíûõ âåðøèí â ýòèõ ïðèìåðàõ.

Ðèñ. 3. Ñðàâíåíèå ÷èñëà àêòîâ âèäîîáðàçîâàíèÿ.X � ðàçìåðíîñòü çàäà÷è.Y � îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî âèäîîáðàçîâàíèé â çàäà÷å áåç ïîòîêîâ.Äëÿ ïîòîêîâîé çàäà÷è ÷èñëî âèäîîáðàçîâàíèé ïðèíÿòî çà 100% .

 îáåèõ çàäà÷àõ íàáëþäàåòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâûé äèàïà-çîí ÷èñëà ïîêîëåíèé ïîïóëÿöèè � îò 4 äî 24. Ìèíèìàëüíîå èìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîêîëåíèé íàáëþäàåòñÿ êðàéíå ðåäêî � äî1% ñëó÷àåâ. Íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå òàêæå ñîâïàäàåò. Âçàäà÷àõ ðàçìåðíîñòüþ 50-100 òåðìèíàëüíûõ âåðøèí ÷àùå âñå-ãî âñòðå÷àþòñÿ 8; â çàäà÷àõ ðàçìåðíîñòüþ 100-250 âåðøèí � 10;â çàäà÷àõ ðàçìåðíîñòüþ 250-500 � 12 ïîêîëåíèé. Îäíàêî ìàêñè-ìàëüíûé ïðîöåíò íàèáîëåå âåðîÿòíûõ çíà÷åíèé ÷èñëà ïîêîëåíèéâ ïîòîêîâîé çàäà÷å ìåíüøå, ÷åì â çàäà÷å áåç ïîòîêîâ.

4. Äëÿ ñðàâíåíèÿ, íà ýâîëþöèîííîé ìîäåëè áûë òàêæå ïîñòðî-åí àëãîðèòì, â êîòîðîì öèêë ýâîëþöèè ïîïóëÿöèè ðåàëèçîâàí ïî

Page 152: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

152 Â.Ä. Êóêèí.

ñõåìå ñòàíäàðòíîãî ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà, íî ñ íàøèìè îðèãè-íàëüíûìè îïåðàòîðàìè. Ðåøàëèñü òå æå ñàìûå òåñòîâûå çàäà÷è� ñ ïîòîêàìè è áåç íèõ. Ïðè ïîèñêå ðåøåíèé îáåèõ çàäà÷ ýòîòàëãîðèòì îêàçàëñÿ ìåíåå ýôôåêòèâåí, ÷åì àëãîðèòì íàïðàâëåí-íîãî ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà. Ïðîöåññ çàòÿãèâàëñÿ è íå ãàðàíòèðî-âàë óñòîé÷èâîãî íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé. Ýòî ðåçóëüòàò ñëó÷àéíîãîäåéñòâèÿ ãåíåòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, êîòîðîå ïðèâîäèò ê "õàîòè÷å-ñêîìó"áëóæäàíèþ ïî ïðîñòðàíñòâó ðåøåíèé. Òàê, â êîíòðîëüíîéïîòîêîâîé çàäà÷å íà 80 òåðìèíàëüíûõ âåðøèí àëãîðèòì íàïðàâ-ëåííîãî ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà íàøåë õîðîøåå ðåøåíèå çà 9 àê-òîâ âèäîîáðàçîâàíèÿ, à ýòîò àëãîðèòì � çà 365. Ïîèñê ëó÷øåãîðåøåíèÿ ýòèì àëãîðèòìîì áûë ïðåêðàùåí, êîãäà âðåìÿ ïðåâû-ñèëî ïðàêòè÷åñêè ïðèåìëåìûå ïðåäåëû. Êðîìå òîãî, ïðèìåðíî â50% ñëó÷àåâ ýâîëþöèÿ ïîïóëÿöèè ñâîäèòñÿ ê 1 ïîêîëåíèþ. Âñëåä-ñòâèå ýòîãî òåðÿåòñÿ êà÷åñòâåííîå ðàçíîîáðàçèå ïîïóëÿöèè.

5. Òåñòèðîâàëñÿ òàêæå àëãîðèòì, â êîòîðîì ÷èñëî ïîêîëåíèéýâîëþöèîíèðóþùåé ïîïóëÿöèè ôèêñèðîâàííîå. Åãî ïðîèçâîäè-òåëüíîñòü çàâèñèò îò âëîæåííûõ öèêëîâ. Ñëîæíîñòü ôîðìèðî-âàíèÿ ïîêîëåíèÿ ìóòàíòîâ O(n2).  ýòîì öèêëå 2n − 4 ðàç âû-ïîëíÿåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî îïåðàöèé ïî ïåðåñòðîéêå õðîìîñîìûè îïòèìèçèðóåòñÿ ïîëîæåíèå n − 2 ïàð êîîðäèíàò ÒØ. Àíàëî-ãè÷íî, ñëîæíîñòü ôîðìèðîâàíèÿ ïîêîëåíèÿ ãèáðèäíûõ îñîáåéO(n2). Âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü öèêëà ýâîëþöèè ïîïóëÿöèè O(1).Ïðè íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ îáåèõ çàäà÷ ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî àê-òîâ ñëó÷àéíîãî âèäîîáðàçîâàíèÿ íå ïðåâûøàëî kn, ãäå êîíñòàíòàk << n. Çíà÷èò, âðåìåííàÿ ñëîæíîñòü ýòîãî öèêëà O(n), à âðåìåí-íàÿ ñëîæíîñòü àëãîðèòìà ñ ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì ïîêîëåíèéïîïóëÿöèè O(n3). Ïî-âèäèìîìó, ðàññìîòðåííûé âûøå àëãîðèòìèìååò òàêóþ æå âðåìåííóþ ñëîæíîñòü, èáî ýìïèðè÷åñêèå äàí-íûå ñâèäåòåëüñòâóþò, ÷òî îæèäàåìîå ÷èñëî ïîêîëåíèé ïîïóëÿ-öèè ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðíîñòè çàäà÷è ðàñò¼ò î÷åíü ñëàáî.

Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò ïîêàçàë, ÷òîêîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì èìååò ïðàêòè÷åñêóþ öåí-íîñòü ïðè ðåàëèçàöèè íà ÏÊ.  ñâÿçè ñ ýòèì, îáùèé ñëó÷àé êîì-ïîçèòíîãî àëãîðèòìà, â êîòîðîì ðàçìåð ïîïóëÿöèè ðàâåí ÷èñëóïðîöåññîðîâ ìíîãîïðîöåññîðíîé ñèñòåìû, ïåðñïåêòèâåí äëÿ ïî-ñòðîåíèÿ ïàðàëëåëüíîãî àëãîðèòìà.

Page 153: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Êîìïîçèòíûé ýâîëþöèîííûé àëãîðèòì 153

4. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ

Äëÿ ðåøåíèÿ ïîòîêîâîé çàäà÷è Øòåéíåðà èñïîëüçîâàëàñü ìå-òîäîëîãèÿ ýâîëþöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Íà åå îñíîâå ðàçðàáî-òàí ðÿä àëãîðèòìîâ, â òîì ÷èñëå àëãîðèòì íàïðàâëåííîãî ýâîëþ-öèîííîãî ïîèñêà, êîòîðûé è áûë ðàññìîòðåí âûøå.

Òåñòèðîâàíèå ýòîãî àëãîðèòìà ïîçâîëèëî ñäåëàòü ñëåäóþùèåâûâîäû.

� Àëãîðèòì îáåñïå÷èâàåò óñòîé÷èâûé ïîèñê õîðîøèõ è ñóáîï-òèìàëüíûõ ðåøåíèé ïîòîêîâîé çàäà÷è è çàäà÷è Øòåéíåðà áåçïîòîêîâ, íî äëÿ ïîñëåäíåé ðàáîòàåò ìåäëåííåå.

� Àëãîðèòì áîëåå ýôôåêòèâåí äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé çàäà÷ êàêñ ïîòîêàìè, òàê è áåç ïîòîêîâ, ïî ñðàâíåíèþ ñ àëãîðèòìîì, â êî-òîðîì öèêë ýâîëþöèè ïîïóëÿöèè áûë ðåàëèçîâàí ïî ñõåìå ñòàí-äàðòíîãî ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà, íî ñ èñïîëüçîâàíèåì îðèãè-íàëüíûõ îïåðàòîðîâ.

� Îáùèé ñëó÷àé àëãîðèòìà, êîãäà ïîïóëÿöèÿ ñîñòîèò èç êî-íå÷íîãî ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîãî ÷èñëà îñîáåé, ïåðñïåêòèâåíäëÿ ïîñòðîåíèÿ ïàðàëëåëüíîãî àëãîðèòìà äëÿ ìíîãîïðîöåññîð-íîé ñèñòåìû.

Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò óáåäèòåëüíîïîêàçàë, ÷òî ýâîëþöèîííûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ïîòîêîâîé çàäà÷èØòåéíåðà ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü àëãîðèòìû, èìåþùèå ïðàêòè÷å-ñêóþ öåííîñòü. Õîòÿ îíè íå ãàðàíòèðóþò íàõîæäåíèÿ îïòèìàëü-íîãî ðåøåíèÿ, îíè ñ áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ, ÷åì ìåòîäû ïîñëåäî-âàòåëüíîãî ïîèñêà, ñïîñîáíû íàõîäèòü ñóáîòèìàëüíûå ðåøåíèÿ.

Ëèòåðàòóðà

1. Ãèëáåðò Ý.Í., Ïîëëàê Ã.Î. Ìèíèìàëüíûå äåðåâüÿ Øòåéíåðà // Êèáåðíåòè÷.ñáîðíèê, íîâàÿ ñåðèÿ, âûï. 8. Ì.: Ìèð, 1971, c. 19-50.

2. Ãýðè Ì., Äæîíñîí Ä. Âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû è òðóäíîðåøàåìûå çàäà÷è. Ì.:Ìèð, 1982.

3. Êóêèí Â.Ä., Êóçèíà Â.È. Ìåòîäèêà ðåøåíèÿ çàäà÷è Øòåéíåðà ñ ïîòîêàìè èâåñàìè // Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍ. Âûï. 2. Ïåòðîçàâîäñê, 2000, c. 143-150.

4. Êóêèí Â.Ä. Ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû è çàäà÷à Øòåéíåðà ñ ïîòîêàìè è âåñàìè:ïîäõîä ê ïðîáëåìå // Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍ. Âûï. 3. Ïåòðîçàâîäñê, 2002,c. 170-177.

5. Êóêèí Â.Ä. Ýâîëþöèîííàÿ ìîäåëü äëÿ ðåøåíèÿ ïîòîêîâîé çàäà÷è Øòåéíåðà// Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍ. Âûï. 5. Ïåòðîçàâîäñê, 2004, c. 200-211.

6. OR-LIBRARY: http://mscmga.ms.ic.ac.uk/info.html

Page 154: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ ÐÀÍÂûïóñê 7, 2006

ÓÄÊ 681.142.2+519.2

ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÒÐÅÌß ÑÒÅÊÀÌÈ Â ÑËÓ×ÀÅÏÀÐÀËËÅËÜÍÎÃÎ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÎÏÅÐÀÖÈÉ

À. À. ËÀÇÓÒÈÍÀ

 ðàáîòå ïðåäëîæåíû è èññëåäóþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèåìîäåëè, îïèñûâàþùèå íåñêîëüêî ìåòîäîâ ïðåäñòàâëå-íèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïà-ðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿîïòèìàëüíîñòè ðàññìîòðåíî ñðåäíåå âðåìÿ äî ïåðåïîë-íåíèÿ ïàìÿòè.

Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà ÐÔÔÈ (ïðî-åêò � 06-01-00303).

Ïîíÿòèå ñòåêà øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðàçðàáîòêå ïðî-ãðàììíîãî è àïïàðàòíîãî îáåñïå÷åíèÿ [1]. Ïðè ýòîì ÷àñòî âîç-íèêàåò ïðîáëåìà ðàçìåùåíèÿ íåñêîëüêèõ ñòåêîâ (ïðîöåññîâ) âïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ � îïåðàòèâíîé èëè ðåãèñòðîâîé [2].

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïîñîáîâ îðãàíèçàöèè ðàáîòû ñî ñòå-êàìè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîì ñïîñîáå ðàçìåùåíèÿòðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âû-ïîëíåíèÿ îïåðàöèé.

Ïóñòü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîãóò ïðîèñõîäèòü ïàðàë-ëåëüíûå âêëþ÷åíèÿ èëè èñêëþ÷åíèÿ â òðè ñòåêà â ïàìÿòè îäíîãîóðîâíÿ.

 ïàìÿòè îáúåìà m > 0 óñëîâíûõ åäèíèö ðàñïîëîæåíû òðè ïà-ðàëëåëüíûõ ñòåêà, âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ ñëå-äóþùèå: pi � âåðîÿòíîñòü âêëþ÷åíèÿ â ñòåê ñ íîìåðîì i; qi �âåðîÿòíîñòü èñêëþ÷åíèÿ èç ñòåêà ñ íîìåðîì i, pij � âåðîÿòíîñòüîäíîâðåìåííîãî âêëþ÷åíèÿ â äâà ñòåêà ñ íîìåðàìè i è j; qij � âå-ðîÿòíîñòü îäíîâðåìåííîãî èñêëþ÷åíèÿ èç äâóõ ñòåêîâ ñ íîìåðà-ìè i è j; p123 � âåðîÿòíîñòü âêëþ÷åíèÿ â òðè ñòåêà îäíîâðåìåííî;q123 � âåðîÿòíîñòü èñêëþ÷åíèÿ èç òðåõ ñòåêîâ îäíîâðåìåííî, ãäå

c© À. À. Ëàçóòèíà, 2006

Page 155: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 155

pi > 0, qi > 0, i = 1, 2, 3. Èñêëþ÷åíèå èç ïóñòîãî ñòåêà ñ âåðîÿò-íîñòüþ qi, qij , q123 îçíà÷àåò îñòàíîâêó íà ìåñòå.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî p1 + p2 + p3 + q1 + q2 + q3 + p12 + p23 + p13 +q12 + q23 + q13 + p123 + q123 = 1.

Òåêóùèå äëèíû ñòåêîâ îáîçíà÷èì ÷åðåç x1, x2, x3.

1. ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ

Ïóñòü â ïàìÿòè îáúåìà m åäèíèö ðàñïîëîæåíû òðè ñòåêà ïî-ñëåäîâàòåëüíî. Äâóì ñòåêàì, ðàñòóùèì íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, îò-âåäåíî s åäèíèö ïàìÿòè, à òðåòüåìó ñòåêó � m − s åäèíèö (ñì.Ðèñ.1).

Ðèñ. 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòèîäíîãî óðîâíÿ.

1.1. Òðè ñòåêà, äîïóñêàþùèõ òîëüêî âêëþ÷åíèÿ. Äëÿ íà÷àëà ðàñ-ñìîòðèì áîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé, êîãäà âîçìîæíû òîëüêî âêëþ÷å-íèÿ â ñòåêè.

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò ñ ðàçíûìè âåðîÿòíîñòÿ-ìè ìîãóò ïðîèçîéòè ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ: ñ âåðîÿòíîñòüþ p0 âñåñòåêè îñòàþòñÿ íà ìåñòå, ñ âåðîÿòíîñòüþ pi ïðîèçîéäåò âêëþ-÷åíèå òîëüêî â ñòåê ñ íîìåðîì i, ñ âåðîÿòíîñòüþ p12 ïðîèçîéäåòîïåðàöèÿ ïàðàëëåëüíîãî âêëþ÷åíèÿ â ñòåêè 1 è 2, ñ âåðîÿòíîñòüþp13 ïðîèçîéäåò îïåðàöèÿ ïàðàëëåëüíîãî âêëþ÷åíèÿ â ñòåêè 1 è3, ñ âåðîÿòíîñòüþ p23 ïðîèçîéäåò îïåðàöèÿ ïàðàëëåëüíîãî âêëþ-÷åíèÿ â ñòåêè 2 è 3, ñ âåðîÿòíîñòüþ p123 ïðîèçîéäåò îïåðàöèÿïàðàëëåëüíîãî âêëþ÷åíèÿ âî âñå òðè ñòåêà.

Òîãäà â çàâèñèìîñòè îò òîãî êàêîé ñòåê áóäåò ðàñïîëîæåí îò-äåëüíî, ìû áóäåì èìåòü ðàçíûå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ. Ïóñòüñòåê îäèí è äâà îáúåäèíåíû â ïàðó, à òðåòèé ñòåê ðàñïîëîæåíîòäåëüíî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: x = x1 + x2, y = x3, r = p0, p1 =p1 + p2, p2 = p3, p3 = p13 + p23, p4 = p12, p5 = p123.

Òîãäà â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ìû áóäåì èìåòü äâó-ìåðíîå ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå âíóòðè ïðÿìîóãîëüíèêà [3], x >=0, y >= 0, x < s + 1, y < m − s + 1 ñ âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäîâ èçòî÷êè (x, y) â òî÷êó (x, y) ðàâíîé r, èç òî÷êè (x, y) â òî÷êó (x+1, y)ðàâíîé p1, â òî÷êó (x, y +1) ðàâíîé p2, â òî÷êó (x+1, y +1) ðàâíîé

Page 156: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

156 À. À. Ëàçóòèíà

p3, â òî÷êó (x + 2, y) ðàâíîé p4, â òî÷êó (x + 2, y + 1) ðàâíîé p5 (ñì.Ðèñ.2).

Ðèñ. 2. Îáëàñòü áëóæäàíèÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãîïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå,

êîãäà ïðîèñõîäÿò òîëüêî âêëþ÷åíèÿ.

Ïðîöåññ âûõîäèò èç íà÷àëà êîîðäèíàò è ïîãëîùàåòñÿ íà ïðÿ-ìûõ x = s+1, è y = m−s+1. Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèåòàêîãî çíà÷åíèÿ s è îïðåäåëåíèå òîãî, êàêîé ñòåê ðàñïîëîæèòüîòäåëüíî, ÷òîáû ñðåäíåå âðåìÿ áëóæäàíèÿ äî ïîãëîùåíèÿ áûëîìàêñèìàëüíûì. Òàêèì îáðàçîì çäåñü ìû ìîæåì óïðàâëÿòü òîëüêîïàðàìåòðàìè îáëàñòè, à íå íà÷àëüíîé òî÷êîé áëóæäàíèÿ.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç T (x, y) ñðåäíåå âðåìÿ áëóæäàíèÿ äî ïîãëî-ùåíèÿ, åñëè íà÷àëüíîé òî÷êîé áëóæäàíèÿ áûëà òî÷êà (x, y). ÒîãäàT (x, y) = r ∗T (x, y)+ p1 ∗T (x+1, y)+ p2 ∗T (x, y +1)+ p3 ∗T (x+1, y +1) + p4 ∗ T (x + 2, y) + p5 ∗ T (x + 2, y + 1) + 1.

Ïîïàâ íà ãðàíèöû îáëàñòè áëóæäàíèÿ, ìû óæå íå äâèíåìñÿíè íà îäèí øàã è, ñëåäîâàòåëüíî, T (s + 1, y) = 0, T (x,m − s + 1) =0, T (x, m− s + 2) = 0.

Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ âûáîð ñòåêà, êîòîðûé áóäåò ðàñïî-ëîæåí îòäåëüíî, è íàõîæäåíèå òàêîãî çíà÷åíèÿ s, ÷òîáû T (0, 0)áûëî ìàêñèìàëüíûì.

Áûë ðàçðàáîòàí àëãîðèòì è íàïèñàíà ïðîãðàììà íà C++. Çà-äàâàÿ âåðîÿòíîñòè è m, íàõîäèòñÿ s è T (0, 0).

Ðåçóëüòàòû äëÿ m = 100 ïðåäñòàâëåíû â Òàáëèöàõ 1-2.Òàáëèöà 1. p0 = p1 = p2 = p3 = p12 = p13 = p23 = p, p123 = 1−7∗p.

p îòäåëüíî �1 îòäåëüíî �2 îòäåëüíî �3T (0, 0) S T (0, 0) S T (0, 0) S

0.05 41.542580 66 41.542580 66 41.542580 660.1 54.348526 66 54.348526 66 54.348526 66

Èç òàáëèöû 1 âèäíî, ÷òî åñëè âñå âåðîÿòíîñòè ðàâíû, òî s èT (0, 0) íå çàâèñÿò îò òîãî, êàêîé ñòåê ðàñïîëàãàåòñÿ îòäåëüíî.

Page 157: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 157

Òàáëèöà 2. p0 = p1 = p2 = p12 = p13 = p23 = p, p3 = 1 − 6 ∗ p,p123 = 0.

p îòäåëüíî �1 îòäåëüíî �2 îòäåëüíî �3T (0, 0) S T (0, 0) S T (0, 0) S

0.05 87.295486 84 87.295486 84 85.757118 290.1 79.837135 73 79.837135 73 79.023659 500.15 73.716087 64 73.716087 64 73.850960 68

Âåðîÿòíîñòü âêëþ÷åíèÿ âî âñå òðè ñòåêà îäíîâðåìåííî ðàâíàíóëþ, p3 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå âåðîÿòíîñòè. Èç Òàáëèöû2 âèäíî, ÷òî ïðè ìàëåíüêîì p áîëüøàÿ âåðîÿòíîñòü âêëþ÷åíèÿ âòðåòèé ñòåê, ïîýòîìó ïîä íåãî îòâîäèòñÿ áîëüøàÿ ÷àñòü ïàìÿòè;ïðè áîëüøîì p ìàëåíüêàÿ âåðîÿòíîñòü âêëþ÷åíèÿ â òðåòèé ñòåê,ïîýòîìó ïîä íåãî îòâîäèòñÿ ìåíüøàÿ ÷àñòü ïàìÿòè.

1.2. Îáùèé ñëó÷àé. Ïóñòü â ïàìÿòè îáúåìà m > 0 óñëîâíûõ åäè-íèö ðàñïîëîæåíû òðè ïàðàëëåëüíûõ ñòåêà ïîñëåäîâàòåëüíî (ñì.Ðèñ.1).

Îáîçíà÷èì m1 = s,m2 = m− s.Çàäà÷à ýôôåêòèâíîãî ðàçìåùåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè ñâî-

äèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ òî÷êè ðàçáèåíèÿ ïàìÿòè íà ó÷àñòêè äëÿïàðû ñòåêîâ è äëÿ îòäåëüíî ðàñïîëîæåííîãî ñòåêà, ò. å. ê îïðå-äåëåíèþ m1 è m2 òàê, ÷òîáû ñðåäíåå âðåìÿ ðàáîòû äî ïåðåïîë-íåíèÿ áûëî áû ìàêñèìàëüíûì. Äîïîëíèòåëüíî âîçíèêàåò âîïðîñ,êàêîé èç ñòåêîâ ðàñïîëàãàòü îòäåëüíî.

 êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè çàäà÷è ðàññìîòðèì ñëó-÷àéíîå áëóæäàíèå òî÷êè, êîîðäèíàòû êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ òå-êóùèìè äëèíàìè ñòåêîâ (x1, x2, x3), ïî öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêå âïðîñòðàíñòâå âíóòðè òðåóãîëüíîé ïðèçìû ñ âåðøèíàìè ïåðâîãîîñíîâàíèÿ â òî÷êàõ (−1,−1,−1), (−1,m1 + 1,−1), (m1 + 1,−1,−1) èâåðøèíàìè âòîðîãî îñíîâàíèÿ â òî÷êàõ (−1,−1,m2 + 1), (−1,m1 +1,m2 + 1), (m1 + 1,−1,m2 + 1) ñî ñëåäóþùèìè âåðîÿòíîñòÿìèñäâèãîâ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ: p1, p2, p3 � âåðîÿòíîñòè ñäâèãà âïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè âäîëü îñåé x1, x2, x3 ñîîòâåòñòâåí-íî, q1, q2, q3 � âåðîÿòíîñòè ñäâèãà â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèèâäîëü îñåé x1, x2, x3 ñîîòâåòñòâåííî, p12, p13, p23, p123 � âåðîÿòíî-ñòè ñäâèãà â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè âäîëü îñåé x1 è x2,

Page 158: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

158 À. À. Ëàçóòèíà

x1 è x3, x2 è x3, x1, x2 è x3, ñîîòâåòñòâåííî, q12, q13, q23, q123 � âåðî-ÿòíîñòè ñäâèãà â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè âäîëü îñåé x1 è x2,x1 è x3, x2 è x3, x1, x2 è x3, ñîîòâåòñòâåííî (ñì. Ðèñ. 3).

Ðèñ. 3. Îáëàñòü áëóæäàíèÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãîïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â îáùåì

ñëó÷àå.

Ïëîñêîñòè x1 +x2 = m1 +1 è x3 = m2 +1 áóäóò âûñòóïàòü â êà-÷åñòâå ïîãëîùàþùèõ ýêðàíîâ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåïîëíåíèþîòðåçêîâ ïàìÿòè äëÿ äâóõ è îäíîãî ñòåêà ñîîòâåòñòâåííî.

Ïëîñêîñòè x1 = −1, x2 = −1 è x3 = −1 áóäóò îòðàæàþùèìèýêðàíàìè.

Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìîå â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëèñëó÷àéíîå áëóæäàíèå èìååò n íåâîçâðàòíûõ ñîñòîÿíèé. Òîãäà ïî-ãëîùàþùèå ñîñòîÿíèÿ ýòîãî ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ íóìåðîâàòüíå áóäåì, à åãî íåâîçâðàòíûå ñîñòîÿíèÿ ïðîíóìåðóåì îò 1 äî n,ò. å. êàæäîìó íåâîçâðàòíîìó ñîñòîÿíèþ áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷-íî ñîîòâåòñòâîâàòü íåêîòîðûé íîìåð i = 1, . . . , n.

Êàæäîå íåâîçâðàòíîå ñîñòîÿíèå ýòîãî ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿñ íîìåðîì i, ãäå i = 1, . . . , n, ñîîòâåòñòâóåò öåëî÷èñëåííîé òî÷-êå â ïðîñòðàíñòâå âíóòðè òðåóãîëüíîé ïðèçìû ñ êîîðäèíàòàìè(i1, i2, i3), ãäå i1, i2, i3 > 0, i1 + i2 6 m1 è i3 6 m2.  äàëüíåéøåì ýòîñîîòâåòñòâèå áóäåì îáîçíà÷àòü i = (i1, i2, i3).

Page 159: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 159

Âûáîð íóìåðàöèè ñîñòîÿíèé ñóùåñòâåíåí, òàê êàê îí âëèÿ-åò íà âèä ìàòðèöû ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé. Âûáåðåì íóìåðà-öèþ íåâîçâðàòíûõ ñîñòîÿíèé ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àéíîãî áëó-æäàíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàôèêñèðóåì x3 = m2, òîãäà îáëà-ñòüþ áëóæäàíèÿ ñòàíåò âíóòðåííîñòü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìèâ òî÷êàõ: (−1,−1,m2), (−1,m1 + 1,m2), (m1 + 1,−1,m2). Ïðîíóìå-ðóåì íåâîçâðàòíûå ñîñòîÿíèÿ, íà÷èíàÿ ñ òî÷êè (m1, 0, 0) ñíèçóââåðõ ñïðàâà íàëåâî. Ïðèìåð íóìåðàöèè ñîñòîÿíèé (ñì. Ðèñ. 4).

Ðèñ. 4. Ïðèìåð íóìåðàöèè ñîñòîÿíèé.

Ïåðåéäåì ê x3 = m2 − 1, òîãäà îáëàñòüþ áëóæäàíèÿ ñòà-íåò âíóòðåííÿÿ îáëàñòü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ:(−1,−1,m2− 1), (−1,m1 +1,m2− 1), (m1 +1,−1,m2− 1). Ïðîäîëæà-åì íóìåðàöèþ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, íà÷èíàÿ ñ òî÷êè (m1, 0, 1).È òàê äàëåå äî òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ (−1,−1, 0),(−1,m1 + 1, 0), (m1 + 1,−1, 0).

Òåîðåìà 1. Ïðè âûáðàííîé íóìåðàöèè ñîñòîÿíèé ïîäìàòðèöà Qìàòðèöû ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äàííîé öåïè, ñîîòâåòñòâó-þùàÿ ïåðåõîäàì èç íåâîçâðàòíûõ ñîñòîÿíèé â íåâîçâðàòíûå,èìååò âèä:

Qn×n =

Wm2+1 V m2 0 . . . 0 0Um2 Wm2 V m2−1 . . . 0 0

0 Um2−1 Wm2−1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . W 2 V 1

0 0 0 . . . U1 W 1

,

ãäå n = n1(m2 + 1), n1 =(m1 + 1)(m1 + 2)

2;

Page 160: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

160 À. À. Ëàçóòèíà

U l2n1×n1

=

Km1+1 Lm1 Mm1−1 0 . . . 0 0 0

0 Km1 Lm1−1 Mm1−2 . . . 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . K3 L2 M1

0 0 0 0 . . . 0 K2 L1

0 0 0 0 . . . 0 0 K1

,

ãäå l2 = 1, . . . ,m2;

Kl1l1×l1

=

q3 0 . . . 0 00 q3 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q3 00 0 . . . 0 q3

, ãäå l1 = 2, . . . ,m1 + 1;

Ll1(l1+1)×l1

=

q13 0 . . . 0 0q23 q13 . . . 0 00 q23 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q13 00 0 . . . q23 q13

0 0 . . . 0 q23

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

M l1(l1+2)×l1

=

0 0 . . . 0 0q123 0 . . . 0 00 q123 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q123 00 0 . . . 0 q123

0 0 . . . 0 0

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

V l2n1×n1

Cm1+1 0 0 0 . . . 0 0 0Dm1 Cm1 0 0 . . . 0 0 0

Em1−1 Dm1−1 Cm1−1 0 . . . 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . C3 0 00 0 0 0 . . . D2 C2 00 0 0 0 . . . E1 D1 C1

,

Page 161: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 161

ãäå l2 = 1, . . . ,m2;

Cl1l1×l1

=

p3 0 . . . 0 00 p3 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . p3 00 0 . . . 0 p3

, ãäå l1 = 2, . . . ,m1 + 1;

Dl1l1×(l1+1) =

p13 p23 0 . . . 0 0 00 p13 p23 . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . p13 p23 00 0 0 . . . 0 p13 p23

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

El1(l1+2)×l1

=

0 0 . . . 0 0p123 0 . . . 0 00 p123 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . p123 00 0 . . . 0 p123

0 0 . . . 0 0

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

W l2n1×n1

=

Hm1+1 Tm1 Am1−1 0 . . . 0 0 0Sm1 Hm1 Tm1−1 0 . . . 0 0 0

Bm1−1 Sm1−1 Hm1−1 Tm1−2 . . . 0 0 00 Bm1−2 Sm1−2 Hm1−2 . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . H3 T 2 A1

0 0 0 0 . . . S2 H2 T 1

0 0 0 0 . . . B1 S1 H1

,

ãäå l2 = 2, . . . ,m2 + 1;

Sl1l1×(l1+1) =

p1 p2 0 . . . 0 0 00 p1 p2 . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . p1 p2 00 0 0 . . . 0 p1 p2

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

Page 162: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

162 À. À. Ëàçóòèíà

Bl1l1×(l1+2) =

0 p12 0 . . . 0 0 00 0 p12 . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . p12 0 00 0 0 . . . 0 p12 0

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

T l1(l1+1)×l1

=

q1 0 . . . 0 0q2 q1 . . . 0 00 q2 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q1 00 0 . . . q2 q1

0 0 . . . 0 q2

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

Al1(l1+2)×l1

=

0 0 . . . 0 0q12 0 . . . 0 00 q12 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q12 00 0 . . . 0 q12

0 0 . . . 0 0

, ãäå l1 = 1, . . . ,m1;

H l1l1×l1

=

q2 + q12 + q23 + q123 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 00 0 . . . 0 q1 + q12 + q13 + q123

,

ãäå l1 = 2, . . . ,m1 + 1;

H11×1 =

(q1 + q2 + q12 + q13 + q23 + q123

);

W 1n1×n1

=

Fm1+1 Tm1 0 . . . 0 0Sm1 Fm1 Tm1−1 . . . 0 00 Sm1−1 Fm1−1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . F 2 T 1

0 0 0 . . . S1 F 1

;

Page 163: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 163

F l1l1×l1

=

q2 + q3 + q12 + q23 + q123 0 . . . 0 0

0 q3 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q3 00 0 . . . 0 q1 + q3 + q12 + q13 + q123

,

ãäå l1 = 2, . . . ,m1 + 1;

F 11×1 =

(q1 + q2 + q3 + q12 + q13 + q23 + q123

).

Ìîæíî íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó N = (I −Q)−1 è âû-÷èñëèòü ñðåäíåå âðåìÿ áëóæäàíèÿ [4].

Áûëà íàïèñàíà ïðîãðàììà, êîòîðàÿ ðåàëèçóåò äàííûé àëãî-ðèòì.

Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèâîäÿòñÿ â òàáëèöàõ3-4.

Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ â òàáëèöàõ 3-4: W1 � ñðåäíåå âðåìÿ âñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ, êîãäà ïåð-âûé è âòîðîé ñòåêè îáúåäèíåíû â ïàðó, à òðåòèé ñòåê ðàñïîëîæåíîòäåëüíî; W2 � ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ, êîãäà ïåðâûé è òðåòèé ñòåêè îáúåäèíåíûâ ïàðó, à âòîðîé ñòåê ðàñïîëîæåí îòäåëüíî; W3 � ñðåäíåå âðå-ìÿ â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ, êîãäàâòîðîé è òðåòèé ñòåêè îáúåäèíåíû â ïàðó, à ïåðâûé ñòåê ðàñïî-ëîæåí îòäåëüíî W4 � ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ñâÿçàííîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ.

Òàáëèöà 3. Ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàë-ëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé äëÿ p1 = 0.35, p2 = p3 = p12 = p23 =p13 = p123 = 0.05,q1 = q2 = q3 = q12 = q13 = q23 = q123 = 0.05.

m W1 W2 W3 W4

m1 T m1 T m1 T T10 7 11.15 7 11.15 4 10.78 8.5620 15 20.68 15 20.68 8 19.88 17.96

Page 164: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

164 À. À. Ëàçóòèíà

Èç òàáëèöû 3 âèäíî, ÷òî åñëè âñå âåðîÿòíîñòè ðàâíû, êðîìåâåðîÿòíîñòè âêëþ÷åíèÿ â îäèí èç ñòåêîâ (íàïðèìåð, ïåðâûé), èïðè ýòîì ýòà âåðîÿòíîñòü áîëüøå âñåõ îñòàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé,òî ñðåäíåå âðåìÿ äî ïåðåïîëíåíèÿ áóäåò áîëüøå â òîì ñëó÷àå,åñëè ýòîò ñòåê ïîìåñòèòü â ïàðó.

Òàáëèöà 4. Ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàë-ëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé äëÿ p1 = p2 = p3 = 0.01, p13 = p12 =p23 = p123 = 0.22,q1 = q2 = q3 = q12 = q13 = q23 = q123 = 0.01.

m W1 W2 W3 W4

m1 T m1 T m1 T T10 6 5.29 6 5.29 6 5.29 3.320 13 10.10 13 10.10 13 10.10 5.89

Ðåçóëüòàòû òàáëèöû 4 ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè âåðîÿòíîñòèp13, p12, p23, p123, îäèíàêîâû, òî ñðåäíåå âðåìÿ äî ïåðåïîëíåíèÿäëÿ âñåõ òðåõ ñëó÷àåâ îäèíàêîâî.

2. ÑÂßÇÀÍÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ

Ïóñòü ìû ðàáîòàåì â ïàìÿòè ðàçìåðà m åäèíèö ñ òðåìÿ ñòåêà-ìè, ðàñïîëîæåííûìè ñâÿçíî â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿîïåðàöèé (ñì. Ðèñ. 5).

Ðèñ. 5. Ñâÿçàííîå ïðåäñòàâëåíèå òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãîóðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé.

 êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èìååì ñëó÷àéíîå áëóæäà-íèå â ïèðàìèäå: x1 +x2 +x3 6 m

2 (ñì. Ðèñ. 6), ò.ê. ïîëîâèíà ïàìÿòèòðàòèòñÿ íà ñâÿçè.

Page 165: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 165

Ðèñ. 6. Îáëàñòü áëóæäàíèÿ äëÿ ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî

âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé.

Ïðîíóìåðóåì ñîñòîÿíèÿ: íà÷èíàÿ ñ ïëîñêîñòè x3 = 0, x1 +x2 +x3 6 m

2 , x3 = 1, x1 + x2 + x3 6 m2 è ò.ä. íàâåðõ, â êàæäîé èç

ýòèõ ïëîñêîñòåé íóìåðàöèÿ ñîñòîÿíèé íà÷èíàåòñÿ âäîëü ïðÿìîéx1 + x2 = m

2 − x3 îò îñè x1 ê îñè x2, x1 + x2 = m2 − x3 − 1 è ò.ä. (ñì.

Ðèñ. 7).

Ðèñ. 7. Ïðèìåð íóìåðàöèè ñîñòîÿíèé äëÿ m = 4.

Òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ìàòðèöó Q ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåéîäíîðîäíîé ïîãëîùàþùåé öåïè Ìàðêîâà.

Òåîðåìà 2. Ïðè âûáðàííîé íóìåðàöèè ñîñòîÿíèé ïîäìàòðèöà Qìàòðèöû ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äàííîé öåïè, ñîîòâåòñòâó-þùàÿ ïåðåõîäàì èç íåâîçâðàòíûõ ñîñòîÿíèé â íåâîçâðàòíûå,èìååò âèä:

Page 166: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

166 À. À. Ëàçóòèíà

Q =

An+1n∗(n+1)

2

Bn∗(n+1)2

0 . . . 0 0

C (n−1)∗n2

An(n−1)∗n

2

B (n−1)∗n2

. . . 0 0

0 C (n−2)∗(n−1)2

An−1(n−2)∗(n−1)

2

. . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . A2

3 B3

0 0 0 . . . C1 A11

,

ãäå n = m2 ,

ïîäìàòðèöà Aln∗(n+1)

2

- êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè n∗(n+1)2 ×

× n∗(n+1)2 èìååò âèä:

An∗(n+1)2

l =

Dn×n En×(n−1) Gn×(n−2) . . . 0 0 0Fn×(n−1) D(n−1)×(n−1) E(n−1)×(n−2) . . . 0 0 0Xn×(n−2) F(n−1)×(n−2) D(n−2)×(n−2) . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . D3×3 E3×2 G3×1

0 0 0 . . . F3×2 D2×2 E2×1

0 0 0 . . . X3×1 F2×1 D1×1

,

ãäå l = 1, ...., n,

Dn×n =

q2 + q12 + q13 + q23 + q123 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 00 0 . . . 0 q1 + q12 + q13 + q23 + q123

,

ãäå D1×1 =(

q1 + q2 + q12 + q13 + q23 + q123

),

An∗(n+1)2

n+1 =

Page 167: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 167

Hn×n En×(n−1) Gn×(n−2) . . . 0 0 0Fn×(n−1) H(n−1)×(n−1) E(n−1)×(n−2) . . . 0 0 0Xn×(n−2) F(n−1)×(n−2) H(n−2)×(n−2) . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . H3×3 E3×2 G3×1

0 0 0 . . . F3×2 H2×2 E2×1

0 0 0 . . . X3×1 F2×1 H1×1

,

Hn×n =

q2 + q12 + t 0 0 . . . 0 0

0 t 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . t 00 0 0 . . . 0 q1 + q12 + t

,

ãäå t = q3 + q13 + q23 + q123,

ãäå H1×1 =(

q1 + q2 + q3 + q12 + q13 + q23 + q123

),

En×(n−1) =

q1 0 0 . . . 0 0q2 q1 0 . . . 0 00 q1 q2 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . q2 q1

0 0 0 . . . 0 q2

,

Fn×(n−1) =

p1 p2 0 . . . 0 00 p1 p2 . . . 0 00 0 p1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . p2 00 0 0 . . . p1 p2

,

ïîäìàòðèöà Bn∗(n+1)2

- ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè n∗(n+1)2 × (n−1)∗n

2èìååò âèä:

Bn∗(n+1)2

=

Page 168: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

168 À. À. Ëàçóòèíà

0 0 0 . . . 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0 0 0

Tn×n 0 0 . . . 0 0 0Z(n−1)×(n) T(n−1)×(n−1) 0 . . . 0 0 0V(n−2)×(n) Z(n−2)×(n−1) T(n−2)×(n−2) . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . T3×3 0 00 0 0 . . . Z2×3 T2×2 00 0 0 . . . V1×3 Z1×2 T1×1

,

Tn×n =

p3 0 . . . 0 00 p3 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . p3 00 0 . . . 0 p3

,

Z(n−1)×(n) =

p13 p23 0 . . . 0 0 00 p13 p23 . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . p13 p23 00 0 0 . . . 0 p13 p23

,

V(n−2)×(n) =

0 p123 0 . . . 0 0 00 0 p123 . . . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . p123 0 00 0 0 . . . 0 p123 0

,

ïîäìàòðèöà C (n−1)∗n2

- ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè (n−1)∗n2 × n∗(n+1)

2èìååò âèä:

C (n−1)∗n2

=

Page 169: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 169

0 . 0 Wn×n Yn×(n−1) Jn×(n−2) . 0 0 00 . 0 0 W(n−1)×(n−1) Y(n−1)×(n−2) . 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . 0 0 0 0 . W3×3 Y3×2 J3×10 . 0 0 0 0 . 0 W2×2 Y2×10 . 0 0 0 0 . 0 0 W1×1

,

Wn×n =

q3 0 . . . 0 00 q3 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q3 00 0 . . . 0 q3

,

Yn×(n−1) =

q13 0 . . . 0 0q23 q13 . . . 0 00 q23 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . q13 00 0 . . . q23 q13

0 0 . . . 0 q23

,

Jn×(n−2) =

0 . . . 0 0p123 0 . . . 0 00 p123 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . p123 00 0 . . . 0 p123

0 0 . . . 0 0

.

Ïîñòðîèì ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó N = (I − Q)−1. Ìîæíîíàéòè ñðåäíåå âðåìÿ áëóæäàíèÿ.

Áûëà íàïèñàíà ïðîãðàììà, êîòîðàÿ ðåàëèçóåò äàííûé àëãî-ðèòì, ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöàõ 3-4.

Èç òàáëèö 3-4 âèäíî, ÷òî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ñðåäíåå âðå-ìÿ äî ïåðåïîëíåíèÿ áîëüøå â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ ñòåêîâ, ÷åì â ñëó÷àå ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, íî íå

Page 170: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

170 À. À. Ëàçóòèíà

âñåãäà. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âñå âåðîÿòíîñòè ðàâíû, ñðåä-íåå âðåìÿ äî ïåðåïîëíåíèÿ â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåäñòàâ-ëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëü-íîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé áîëüøå, ÷åì ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àåñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.

3. ÑËÓ×ÀÉ, ÊÎÃÄÀ ÄËÈÍÀ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÎÉ ×ÀÑÒÈ ÁÎËÜØÅÅÄÈÍÈÖÛ

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíôîðìàöèîííàÿ ÷àñòü èìååò ïðîèçâîëü-íûé ðàçìåð l, òîãäà ñðàâíèì äâà ñïîñîáà ñâÿçàííîå è ïîñëåäîâà-òåëüíîå ïðåäñòàâëåíèÿ ñòåêîâ.

Ñâÿçàííîå ïðåäñòàâëåíèå: ïîëå ñâÿçè òàêæå èìååò åäèíè÷-íóþ äëèíó, ðàçìåð ïàìÿòè m êðàòåí l + 1. Òîãäà â êà÷åñòâå ìà-òåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èìååì ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå ïî öåëî÷èñ-ëåííîé ðåøåòêå, ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó óçëàìè l + 1, â ïèðàìèäå:x1 + x2 + x3 6 m

l+1 , ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî m êðàòíî l + 1.Ïðîíóìåðóåì ñîñòîÿíèÿ òàêæå, êàê è â çàäà÷å î ñâÿçàííîì

ïðåäñòàâëåíèè òðåõ ñòåêîâ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿîïåðàöèé (ïî ïëîñêîñòÿì ïèðàìèäû). Ïîñòðîèì ìàòðèöó ïåðå-õîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ îäíîðîäíîé ïîãëîùàþùåé öåïè Ìàð-êîâà. Ìàòðèöà Q áóäåò èìåòü òàêóþ æå ñòðóêòóðó, êàê ìàòðèöàQ äëÿ ñëó÷àÿ ñâÿçàííîé îðãàíèçàöèè ïàìÿòè.

Íàéäåì ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó N = (I − Q)−1. Âû÷èñëèìñðåäíåå âðåìÿ áëóæäàíèÿ.

Äàëåå ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå òðåõ ñòå-êîâ â ñëó÷àå ðàçíîé äëèíû èíôîðìàöèîííîé ÷àñòè, ò.å. l > 1. Âýòîì ñëó÷àå ðàçìåð ïàìÿòè m äîëæåí áûòü êðàòåí l.

Ïðîíóìåðóåì ñîñòîÿíèÿ òàêæå, êàê è â çàäà÷å î ïîñëåäîâà-òåëüíîì ïðåäñòàâëåíèè òðåõ ñòåêîâ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âû-ïîëíåíèÿ îïåðàöèé (ïî ïëîñêîñòÿì ïèðàìèäû). Ïîñòðîèì ìàòðè-öó ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ îäíîðîäíîé ïîãëîùàþùåé öåïèÌàðêîâà. Ìàòðèöà Q áóäåò èìåòü òàêóþ æå ñòðóêòóðó, êàê ìàò-ðèöà Q äëÿ ñëó÷àÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ.Âû÷èñëèì ñðåäíåå âðåìÿ.

Ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ ýòèõ äâóõ ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíû â òà-áëèöàõ 5-6.

Page 171: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 171

Òàáëèöà 5. Ñðàâíåíèå ñâÿçàííîãî è ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàë-ëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè è ðàçìåðå èíôîðìàöèîííîé ÷à-ñòè áîëüøåì åäèíèöû, m = 30, p1 = 0.87, p2 = p3 = p12 = p13 = p23 =p123 = 0.01, q1 = q2 = q3 = q12 = q13 = q23 = q123 = 0.01.

l = 2 l = 5Ñâÿçàííîå 11.54 6.27

Ïîñëåäîâàòåëüíîå 14.66 6.26

Òàáëèöà 6. Ñðàâíåíèå ñâÿçàííîãî è ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàë-ëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè è ðàçìåðå èíôîðìàöèîííîé ÷à-ñòè áîëüøåì åäèíèöû, m = 30, p1 = p2 = p3 = p12 = p13 = p23 =p123 = 0.01, q1 = 0.87, q2 = q3 = q12 = q13 = q23 = q123 = 0.01.

l = 2 l = 5Ñâÿçàííîå 212.97 93.98

Ïîñëåäîâàòåëüíîå 93.37 61.63

Èç òàáëèö 5-6 âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðà l äëÿ áîëü-øèíñòâà âåðîÿòíîñòåé ñðåäíåå âðåìÿ äî ïåðåïîëíåíèÿ â ñëó÷àåñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ïàðàëëåëüíûõ ñòåêîâ ëó÷øå, ÷åìâ ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.

4. ÑÒÐÀÍÈ×ÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ

Ñâÿçàííîå ïðåäñòàâëåíèå ñòðóêòóð äàííûõ â ïàìÿòè ÿâëÿåò-ñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñòðàíè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòðóêòóð äàí-íûõ.  ñëó÷àå ñòðàíè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïàìÿòü ðàçäåëåíà íàñòðàíèöû îäèíàêîâîãî ðàçìåðà. Íà ñâÿçü òðàòèòñÿ îäèí ýëåìåíòêàæäîé ñòðàíèöû, ïîýòîìó ïîòåðè íà ñâÿçè â ñëó÷àå ñòðàíè÷íî-ãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòåêîâ áóäóò ìåíüøå, ÷åì â ñëó÷àå ñâÿçàííîãîïðåäñòàâëåíèÿ.

Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìåõàíèçì ðàáîòû ñî ñïèñ-êîì ñâîáîäíûõ ñòðàíèö, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ïðè çàïîëíåíèè ñòðà-íèöû ïðåäîñòàâèòü ñòåêó íîâóþ ñòðàíèöó. Åñëè æå âåðøèíû ñòå-êà îñâîáîäèëè ñòðàíèöó, òî ýòà ñòðàíèöà âîçâðàùàåòñÿ â ñïèñîêñâîáîäíûõ ñòðàíèö.

Page 172: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

172 À. À. Ëàçóòèíà

Ïóñòü â ñòðàíè÷íîé ïàìÿòè ðàçìåðà m åäèíèö (ñì. Ðèñ. 9) ìûðàáîòàåì ñ òðåìÿ ñòåêàìè â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿîïåðàöèé.

Ðèñ. 9. Ñòðàíè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãîóðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé.

Ñíà÷àëà îïðåäåëèì îïòèìàëüíûé ðàçìåð ñòðàíèöû. Ïóñòüðàçìåð ñòðàíèöû x åäèíèö ïàìÿòè. Òîãäà êîëè÷åñòâî ñòðàíèö m

x .Îáîçíà÷èì ÷åðåç M(x) êîëè÷åñòâî åäèíèö ïàìÿòè, êîòîðîå òðà-òèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïîä äàííûå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî M(x) =m − m

x −2∗(x−1)

2 , ò.ê. mx åäèíèö ïàìÿòè òðàòÿòñÿ íà ñâÿçè; òàêæå

ïîñëå ïåðåïîëíåíèÿ îäíîãî èç ñòåêîâ, â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñïèñîêñâîáîäíîé ïàìÿòè óæå ïóñò, ðàáîòà çàêàí÷èâàåòñÿ, ìû ïðåäïîëà-ãàåì, ÷òî äâå äðóãèå ñòðàíèöû, ñ êîòîðûìè ðàáîòàëè äâà äðóãèõñòåêà, çàïîëíåíû íå ïîëíîñòüþ äàííûìè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà-

ïîëîâèíó, ò.å. 2∗(x−1)2 åäèíèö.

Òîãäà M ′(x) = mx2 − 1, ò.å. îïòèìàëüíûé ðàçìåð ñòðàíèöû x =√

m.Åñëè ïðîâåðèòü çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé, òî ìîæíî óáåäèòü-

ñÿ, ÷òî ýòà òî÷êà ìàêñèìóìà. Ìû ðàáîòàåì ñ äèñêðåòíîé ìîäå-ëüþ, ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü äâà çíà÷åíèÿ - îêðóãëèòü xäî öåëîãî ñíèçó è ñâåðõó.

 êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èìååì ñëó÷àéíîå áëóæäà-íèå â ïèðàìèäå: x1 + x2 + x3 6 m∗, ãäå m∗ = m − m

x äëÿ ñëó÷àÿ,êîãäà ïàìÿòü èñïîëüçóåòñÿ ïîëíîñòüþ (ìàêñèìàëüíî), ò.å. ïîñëåïåðåïîëíåíèÿ èç îäíîãî èç ñòåêîâ, êîãäà â ñïèñêå ñâîáîäíîé ïà-ìÿòè íåò ñâîáîäíûõ ñòðàíèö, äâå äðóãèå ñòðàíèöû, ñ êîòîðû-ìè ðàáîòàëè äâà äðóãèõ ñòåêà, òîæå çàïîëíåíû ïîëíîñòüþ, èm∗ = m− m

x − 2 ∗ (x− 2) äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïàìÿòü èñïîëüçóåòñÿ íåïîëíîñòüþ (ìèíèìàëüíî), ò.å. ïîñëå ïåðåïîëíåíèÿ èç îäíîãî èçñòåêîâ, êîãäà â ñïèñêå ñâîáîäíîé ïàìÿòè íåò ñâîáîäíûõ ñòðàíèö,

Page 173: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 173

äâå äðóãèå ñòðàíèöû, ñ êîòîðûìè ðàáîòàëè äâà äðóãèõ ñòåêà, çà-ïîëíåíû ìèíèìàëüíî, â íèõ ñîäåðæèòñÿ òîëüêî ïî îäíîé åäèíèöåäàííûõ (ñì. Ðèñ.10).

Ðèñ. 10. Îáëàñòü áëóæäàíèÿ äëÿ ñòðàíè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿòðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî

âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé.

Ïðîíóìåðóåì ñîñòîÿíèÿ òàêæå, êàê è â çàäà÷å î ñâÿçàííîìïðåäñòàâëåíèè òðåõ ñòåêîâ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿîïåðàöèé (ïî ïëîñêîñòÿì ïèðàìèäû). Ïîñòðîèì ìàòðèöó ïåðå-õîäíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ îäíîðîäíîé ïîãëîùàþùåé öåïè Ìàðêî-âà. Ìàòðèöà Q äëÿ ñëó÷àÿ ñòðàíè÷íîé îðãàíèçàöèè ïàìÿòè áóäåòèìåòü òàêóþ æå ñòðóêòóðó, êàê ìàòðèöà Q äëÿ ñëó÷àÿ ñâÿçàííîéîðãàíèçàöèè ïàìÿòè.

Ïîñòðîèì ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó N = (I − Q)−1. Âû÷èñ-ëèì äâå îöåíêè äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè (ìàêñèìàëüíóþ è ìèíè-ìàëüíóþ), îáîçíà÷èì èõ Tmax è Tmin.

Áûëà íàïèñàíà ïðîãðàììà, êîòîðàÿ ðåàëèçóåò äàííûé àëãî-ðèòì. Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöàõ 7-8, òàì æå, äëÿ ñðàâ-íåíèÿ ïðèâîäèòñÿ ñðåäíåå âðåìÿ äî ïåðåïîëíåíèÿ â ñëó÷àå ñâÿ-çàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ.

Òàáëèöà 7. Ñòðàíè÷íîå è ñâÿçàííîå ïðåäñòàâëåíèå òðåõ ñòå-êîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíå-íèÿ îïåðàöèè p1 = 0.87, p2 = p3 = p12 = p13 = p23 = p123 = 0.01,q1 = q2 = q3 = q12 = q13 = q23 = q123 = 0.01.

m x Tmin Tmax m T16 4 9.42 13.66 16 9.4225 5 15.79 22.23 26 14.72

Page 174: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

174 À. À. Ëàçóòèíà

Òàáëèöà 8. Ñòðàíè÷íîå è ñâÿçàííîå ïðåäñòàâëåíèå òðåõ ñòå-êîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíå-íèÿ îïåðàöèè p1 = p2 = p3 = p12 = p13 = p23 = p123 = 0.01,q1 = 0.87, q2 = q3 = q12 = q13 = q23 = q123 = 0.01.

m x Tmin Tmax m T16 4 163.64 263.51 16 163.6425 5 314.77 470.45 26 289.08

Èç òàáëèö 7-8 âèäíî, ÷òî ñðåäíåå âðåìÿ äî ïåðåïîëíåíèÿ âñëó÷àå ñòðàíè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãîóðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé áîëüøå,÷åì ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òàêèõ æåñòåêîâ.

Ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðà ïàìÿòè m (m > 16) ñðåäíåå âðåìÿäëÿ ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ áóäåò õóæå, ÷åì ìè-íèìàëüíàÿ îöåíêà äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè â ñëó÷àå ñòðàíè÷íîãîïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ. Ïðîâåðèì, ñ êàêîãî m ñðåäíåå âðå-ìÿ â ñëó÷àå ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áóäåò âñåãäà ìåíüøå, ÷åììèíèìàëüíàÿ îöåíêà äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè â ñëó÷àå ñòðàíè÷íîãîïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòåêîâ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ñðàâíèòü îá-ëàñòè áëóæäàíèÿ. Êàê òîëüêî îáëàñòü áëóæäàíèÿ áóäåò áîëüøå,òàê ñðåäíåå âðåìÿ áóäåò áîëüøå:

m− m

x− 2 ∗ (x− 2) > m− m

2, x =

√m =>

m ⊂ (−∞, 4)⋃

(16,+∞),

ò.å. íà÷èíàÿ ñ x =√

17 ( x = 4 èëè x = 5 ) è áîëüøèõ, ìèíèìàëüíàÿîöåíêà äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè â ñëó÷àå ñòðàíè÷íîãî ïðåäñòàâëå-íèÿ òðåõ ñòåêîâ âñåãäà ëó÷øå, ÷åì ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ñâÿ-çàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.

Åñëè â êà÷åñòâå ðàçìåðà ñòðàíèöû ðàññìàòðèâàåòñÿ íå x =√m, à ëþáîé äðóãîé ïðîèçâîëüíûé ðàçìåð, òî ýòî óòâåðæäåíèå

òàêæå âåðíî:

m− m

x− 2 ∗ x + 4 >

m

2,m ∗ (x− 2) > 4 ∗ x ∗ (x− 2),

Page 175: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå òðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåêàìè 175

äëÿ x > 2 ìèíèìàëüíàÿ îöåíêà äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè âñåãäà ëó÷-øå, ÷åì ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ñâÿçíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, åñëèx < m

4 , (x 6 2 - äëÿ íàøåé çàäà÷è íå èìååò ñìûñëà).

5. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ

 äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðåíî íåñêîëüêî ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëå-íèÿ òðåõ ñòåêîâ â ïàìÿòè îäíîãî óðîâíÿ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãîâûïîëíåíèÿ îïåðàöèé. Áûëè ïðåäëîæåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäå-ëè è ïîëó÷åíû ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû äëÿ îöåíêè ýòèõ ìåòîäîâñ òî÷êè çðåíèÿ ìàêñèìèçàöèè ñðåäíåãî âðåìåíè ðàáîòû äî ïåðå-ïîëíåíèÿ ïàìÿòè.

Ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ,äëÿ áîëüøèíñòâà íàáîðîâ âåðîÿòíîñòåé, ëó÷øå, ÷åì ñðåäíåå âðå-ìÿ âî âñåõ îñòàëüíûõ ñïîñîáàõ ïðåäñòàâëåíèÿ.

Ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ñòðàíè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òðåõ ñòå-êîâ âñåãäà áîëüøå, ÷åì ñðåäíåå âðåìÿ â ñëó÷àå ñâÿçàííîãî ïðåä-ñòàâëåíèÿ.

Ëèòåðàòóðà

1. Êíóò Ä. Èñêóññòâî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ÝÂÌ. Ì.: Ìèð, 1976.T.1.2. Koopman P. Stack Computers. Ellis Horwood, 1989. URL:

http://www.cs.cmu.edu/~koopman/stack_computers/3. Â. Ôåëëåð. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. Ìèð, Ìîñê-

âà,1964.4. Êåìåíè Äæ., Ñíåëë Äæ. Êîíå÷íûå öåïè Ìàðêîâà. Ì:Íàóêà, 1970.

Page 176: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ����������������������� "!$#&%�'�(*)*)*+

,.-0/21�354�6 %"3*3

7 ��89�;:��<�����=��>=����?�@"��>=A*>B��� 7 � C�DEC"���=FGHG9I ?J>=�2KL��C"AM?J��� C"�=������NOC"�P>=Q�?J>=�.��?�� 7 >=K"������>=Q

G � G ��C"� C ���=��C"����C���RS��C G NO� G >=K

T 6 T 6�UWVYX�Z\[\]�^\_`ba5cedfcegehji�deafafk�dfcfi�lnmYdeheceaporqfd5sMd5t*dji�deu�lnv$wnd5x*gew�vzy{v|i�deqfk�h$}~ h�wnl*obmYqfdelnk�wn�\�Lafaf�\x*v$� wndr�Jw�cehfi�wnhecY}�i�h�ap��i�af����me�MvYs$o*}~ lnh�m�wnh��zv$cev$iM�n��x*v$�Md5x*lnqfv$mYdewnw*�n��afl�a5ceh�k�������deafafk�v$cY}i�h�w apxz�*t*de� afl�a5ceh�k����"m��zv$cev$i�v$�b�Md5��sM�O�b�*t*dea5cewnln�&vM�Yo*}qfdew|��vza5cedemYl�ceg0v$��i�hfszhfx*h�wnw�vzh=�zvex*l*t*h�a5cemYvWafaf�\x*v$�jwnd;sziM��}y{l*�|�*t*dea5cewnln�zv$mjaWu�hfx*ge�E�nmYhfx*l*t*h�wnl*o|l*��qfwnd5t*lnk�vza5cel�cedY}�Mlnk�vM�$i�deqfvzkO�YtMcevM�z��l�cevzy{v$mY�Oh�qfwnd5t*h�wnl*o�qfwnd5t*lnk�vza5cel��Mde�k�vY�0w�v�k�h�wngf�0h.v$c5x*l*t*d5x*l�afgHv$cHa5i�hfsMwnh�y{v�qfwnd5t*h�wnl*o���vJmYafh�k�*t*dea5cewnln�Mdek�afl�a5ceh�k���� apxz�*t*de�&�{afvzu�lnd5x*gew�vzy{v��Oi�he�0h�wnl*oM�S�

3Y6���_MV$�"VzZ\[\VU=�*�P�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$�n¥§¦M *��¢z¥¨���� "�"¥H©z¡zª��" �«��n£�¥H©M¬��"­®'�£�©M¯$¥.¢*¤

° ¢z " � "­± "©� �¢z#���¡z�n£��n¥³²J²J²=¤S!z¢$£�´�¢$£�¢§�µ�"¥.¢z­ ° "­±!$��¦�!Y¡z´�¢z " "��¶·0¸�¹�´®�"£���¡z��#��zº�¢®»�¼S¼S½�6��©$¾� ���¶b¿�©M£�©M#n¡M¢$£���!Y¡z�"#���¶À�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$©®Á�´zº�Á�¢$¡z!�Áb¢zÂ5��!$!$�0¤

º��MÃ� "©$ÁÄ������ zº�Á�£� ��n!Y¡zªn'J¦�º�©MÂ5�*��©M£�Á¨#���¡z�n£���¶<£�¢z!� "£�! "!$��¢zÅÆ ��Ç ��º���' "©M��¦��n£���¡n'� �¢Y "!$��¢zÅÆ ���È��" ���¢z#�!$�"£� �¢$¡z!�Á ������!$#���´*��¥H�¨!$��!Y¡M¢z¥H�=6�É�¢z©�¤º��"¯$©M¬���Á®©$º�Â5�n£���¡z¥H��´®!$!$�Jº��MÃ� ���¶b������ zº�Á�£� ��n!Y¡z� !� ° ¢z!Y¡z´�¢z " ���¯$©M´*��¤!$��¡0��¡0������!$#���´*��¶r!$��!Y¡M¢z¥H��¤�Ê�Ë*Ì�ÍM¸\ËMÎ�Ï&Ç ´WÐ;ÑnÑ�Ì�ÒÓÍ*ÈÔ'$�\Õ�Ö×Ç ´;Ø. ���¢z#�!z¢*ÈÔ'Õ�Ö�Ç ´ T ���n£�¡M¢*ÈÔ6*ÙL�*¾� ��Æ!$#�©M¯$©z¡zªn'�Ã�¡z��¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡zª=�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$©¯$©M´*��!$��¡Æ��¡�#��zº���Ã�¢z!Y¡z´*©®!$!$�Jº���#& "©W��©M " "��¶P£�¢z!� "£�!Æ!� �Ã�¢$¡z�n¥Ä¯$ "©$Ã���¤¥H�n!Y¡z�E!$©M¥H��¿Ä!$!$�Jº�©M­ ° ��¿�!�ÁÀ�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$��´�'��*�� "©M#��¨#��� "#�£�¢$¡*¤ "�;¢Ú��¢$¡z©$º��Û �Ã�¢$¡z©Ä´zº���Á� "��Á�¡z�nÂ5�2��º��×�" ��nÂ5�2����#�©M¯$©z¡M¢Yº�Á�Á�´zº�Á�­W¡*¤!�Á�#��n¥H¥.¢$£�Ã�¢z!$#���¶b¡z©M¶" ���¶&������!$#���´*�J¿r!$��!Y¡M¢z¥J6�Ü=©M��¦��zº�¢M¢����*��£���¦� "�;¢�� �¦�º��"#�©M¬��"�b���n!$´zÁ ° ¢z "�ÛÊ�Ë*Ì�ÍM¸\ËMÎ�Ï�'n "©M�"£��"¥.¢$£�'�ÝÞ3�ßÔ6

àáãâOäpâOäeå\æèçeé$ê$ëeìpí�îeïñðpð5ò

Page 177: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ������������������������������������ ��!#" "%$�����& '�(�(

ÙL�Ú¦M *��¢z¥&��!$���zº�ªz¯$��´*©z¡zª�¡M¢$£�¥H�" *)5¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡zª��" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$©+)´®!$¥H��!�º�¢Æ �¢z#���¡z�n£���¶À¦��zº�¢M¢Æ��¦ ° ¢z¶P¿�©M£�©M#n¡M¢$£���!Y¡z�"#���'����"£�¢Y��¢Yº�Á�¢z¥H��¶#�©M#|�" �¡M¢zÂ5£�©$º�ªz "©$Á�«; " "#�¬���Á�£�©M¯�º���Ã� "�J¿�¡z�"����´Æ!$!$�Jº��MÃ� ���¶������� zº�Á�£"¤ ��n!Y¡z�ÀÇ ´�Ã�©M!Y¡z ��n¥À!�º� �Ã�©*¢�,$¡z�®¥H�*¾|¢$¡�¦���¡zªn'*#®�"£��"¥.¢$£� �'�#��� "#�£�¢$¡z "��¶¡z�"�b�" ���¢z#�!$©�¬���¡z�"£���´*©M "��Á�ÈÔ6

-� *��¢z¥� "©M¯$��´*©z¡zª��" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S!$��!Y¡M¢z¥H��¶� �¢z#���¡z�n£���¢&¥H ��*¾|¢z!Y¡z´*�b�" �¤¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$��´P!����"£�¢Y��¢Yº�¢z " "��¥H�Ú "©.,$¡z�n¥2¥H ��*¾|¢z!Y¡z´�¢r!$´zÁ�¯�Á�¥H�L´´*����¢Ú�"£�Á�¥H�J¿Ä!$!$�Jº���#�!L£�¢z!� "£�!$©À "©�£�¢z!� "£�!�6�Ç�/J©M#Ä�"£�©M´*��º���'9!$!$�Jº"¤#������zº�¾� "�2 "©$¿��*����¡zªz!�Á� "©j¯$©MÂñº�©M´* ���¶P!Y¡z£�©M "�"¬"¢j!$�n��¡z´�¢$¡z!Y¡z´z "­ ° ¢zÂ5��" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$©�ÈÔ6

/;��#�©$º��"¯$��´*©M " ���¶L!$��!Y¡M¢z¥H��¶Ú�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$��´P¦M *��¢z¥Ä "©M¯$��´*©z¡zª �¢z#���¡z�n£���¢×���*��¥H ��*¾|¢z!Y¡z´*��´*!z¢Y¿��" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$��´�'j´*�J��¢Yº�¢z " "�J¿���®¯$©$��©M " ��n¥� P!$¥H��!�º���´*�n¥� b#�£���¡M¢$£��"­®6�U=£��"¥.¢$£��n¥Úº���#�©$º��"¯$��´*©M " ���¶�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S!$��!Y¡M¢z¥H� ¥H�*¾|¢$¡L!�º� �¾���¡zªP¥H ��*¾|¢z!Y¡z´*��´*!z¢Y¿¨!$©M¶�¡z��´��n£�Â5©�¤ ���´�Â5�n!� *��©M£�!Y¡z´�¢z " ���¶´zº�©M!Y¡z�É�¢z!$�� �¦�º��"#��Û/J©M£�¢Yº���Á"6�0"©M¥.¢$£��³!$!$�0¤º��MÃ� ���¶������ zº�Á�£� ��n!Y¡z�Û¥H ��nÂ5��¿2�"¯1,$¡z��¿§!$©M¶�¡z��´Ú��©M­W¡� "�"¯$#���¢Ú¯$ "©�¤Ã�¢z "��Á"'O�"£��2,$¡z�n¥���¡z!� �¡z!Y¡z´z "­W¡����"£�Á�¥H�;¢b!$!$�Jº�#���¥.¢Y¾j�* 2!$©M¶�¡z©M¥H�Ç  �¢z!$¥H��¡z£�Á& "©j¡z��'nÃ�¡z�r�� "�����zº�¾� "�E«��n£�¥H�"£���´*©z¡zª®¢Y���" ���¢��" �«��n£�¥H©�¤¬��"�� " ���¢|���zº�¢Æ�n£�Â5©M ���´®´zº�©M!Y¡z� £�¢z!$�� �¦�º��"#���ÈÔ6Õ=¯����"£�¢Y��¢Yº�¢z "��ÁP¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z��!�º�¢Y�* �¢$¡n'�Ã�¡z�r "´�¢Yº���Ã�¢z "��¢r#��zº���Ã�¢*¤

!Y¡z´*© �"£�Á�¥H�J¿À!$!$�Jº���#À "©b�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!b´�¢Y��¢$¡ #À£��n!Y¡Y 2¢zÂ5�Ú¯$ "©�¤Ã��"¥H�n!Y¡z��6�U=£��3,$¡z�n¥J'0�MÃ�¢z´*���� ���'�Ã�¡z�Û#��zº���Ã�¢z!Y¡z´*��"£�Á�¥H�J¿Û!$!$�Jº���#"'´*��!Y¡z©M´zº�Á�¢z¥H�J¿Ú "©&Âñº�©M´* ���¶À!Y¡z£�©M "�"¬"¢n'��nÂ5£�©M "��Ã�¢z ��ÄÇ ´b¦��zº�¢M¢&��¦ ° ¢z¥!�º� �Ã�©*¢b¯$©P!$!$�Jº�#��� "©b©M´M¡z�n£���¡M¢$¡z "�J¿¨£�¢z!� "£�!$©$¿¨¢ ° ¢b�Ä �¢z��¦�¿��*���"¥H���º�©z¡z��¡zª*ÈÔ6����n¯$ "�"#�©*¢$¡P¯$©$��©$Ã�©�£�©M!$!Y¡z©M ���´*#��Ä�"£�Á�¥H�J¿À!$!$�Jº���#Ú "©�!$©M¶�¤¡z©$¿Pº���#�©$º��"¯$��´*©M " ���¶À�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S!$��!Y¡M¢z¥H���"£��Ú �¢z#���¡z�n£��J¿�¯$©$��©M " "�J¿�nÂ5£�©M "��Ã�¢z "��Á�¿Ú!&¬"¢Yº�ªz­³ "´�¢Yº���Ã�¢z "��ÁÚ¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z�Ä£�¢z!� "£�!$��´�'�´z¿��*�nÁ�¤° ��¿&´|!$�n!Y¡z©M´®!$��!Y¡M¢z¥H�=6Ü=©M�"£��"¥.¢$£�'�´2!�º� �Ã�©*¢Ä!$©M¶�¡z��´2�n£�Â5©M ���´2´zº�©M!Y¡z��É�¢z!$�� �¦�º��"#���/J©�¤

£�¢Yº���Á�¬"¢Yº�ªz­�¥H�*¾|¢$¡Ú¦���¡zª� "´�¢Yº���Ã�¢z "��¢�¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z�2#�©$¾j���nÂ5�À!$©M¶�¤¡z©<¡z©M#��"¥ ��¦�£�©M¯$�n¥J'jÃ�¡z��¦�� ��¡z�nÂ5��´*�;¢�¯$ "©$Ã�¢z "��Á ¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z��#�©M#¥H�*¾� �� ¥.¢z "ªzÅ�¢r��¡Yº���Ã�©$º���!$ª&��¡r!$£�¢Y�� �¢zÂ5� ¯$ "©$Ã�¢z "��Áb���b´*!z¢z¥� �Ã�©M!Y¡*¤ "�"#�©M¥ !$��!Y¡M¢z¥H� Ç !�º� �Ã�©M¶4)5!$�n¬��"©$º�ªz ��nÂ5� )P£�¢zÅ�¢z "��Á�ÈÔ6��<��¡Yº���Ã���¢¨��¡º���#�©$º��"¯$��´*©M " ���¶�!$��!Y¡M¢z¥H��Õ= �¡M¢$£� �¢$¡*¤S£�¢z!� "£�!$��´& �¢z#���¡z�n£��nÂ5� ¦��"¯$ �¢z!M¤!$�n��¦ ° ¢z!Y¡z´*©®Ç  "©M�"£��"¥.¢$£�'$!$©M¶�¡z��´W!Y¡z£�����¡M¢Yº�ªz "�J¿®«��"£�¥ Â5�n£��*��©�U�¢$¡z£���¤¯$©M´*�*��!$#�©�ÈÔ'O´L!$��!Y¡M¢z¥.¢ !$©M¶�¡z��´��n£�Â5©M ���´�´zº�©M!Y¡z��£�©M!$!Y¡z©M ���´*#�©L!$!$�Jº���#¥H�*¾|¢$¡�¦���¡zªW���"£�¢Y��¢Yº�¢z "©Æ �¢z#���¡z�n£���¥¨�"£�©M´*��´*��¥À©M#n¡z�n¥J'����5,$¡z�n¥� P¡z©�¤#���¢�!$��!Y¡M¢z¥H�צM *��¢z¥À "©M¯$��´*©z¡zªj£�¢zÂñº�©M¥.¢z �¡z�"£���´*©M " "��¥H��6

Page 178: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

'�(�� ��������� ����� � &+��(�6�Ù â� V� â� [�X�V� �] â�� �=^��"V����j��� � �����X â���� V��� â ��VzZ [ � ��V�=^����^\] â �"[��$^\_ â Z\Z�^��� �[� V�! É�©M!$!$¥H��¡z£��"¥±£�¢zÂñº�©M¥.¢z �¡z�"£� �¢z¥� "­ º���#�©$º��"¯$��´*©M " � "­ Õ= �¡M¢$£� �¢$¡*¤

!$��!Y¡M¢z¥� L!$��!�º�¢Y�* "­ ° �"¥H�P¿�©M£�©M#n¡M¢$£���!Y¡z�"#�©M¥H��"Î$#×#��zº���Ã�¢z!Y¡z´*�& �Ã�©M!Y¡z "�"#���´�!$��!Y¡M¢z¥H�='�nº�Ár#�©$¾j���nÂ5�| �Ã�©M!Y¡z "�"#�©�!$��!Y¡M¢z¥H��"¯$´�¢z!Y¡z "�%"&('�) ¤O¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡zª+*Ó¤SÂ5�| �Ã�©M!Y¡z "�"#�©|!$��!Y¡M¢z¥H�='&$,-) ¤J#��zº���Ã�¢z!Y¡z´*�L�"£�Á�¥H�J¿L!$!$�Jº���#(*Ó¤SÂ5�& �Ã�©M!Y¡z "�"#�©& "©|��£� "Â5��¿

�Ã�©M!Y¡z "�"#���´�6. �"£�¢Y��¢Yº��"¥¨¥H©z¡z£��"¬� !$!$�Jº���#&#�©M#/103254 ) 687:9 ;<9>= 03?�@A 9CB�9Âñ��¢

4 ) 6 0ED A '�¢z!�º�� !� ° ¢z!Y¡z´z �¢$¡|!$!$�Jº�#�©���¡+*Ó¤SÂ5�| �Ã�©M!Y¡z "�"#�©�#�F{¤S¥� �'G '�¢z!�º�� !$!$�Jº�#��b �¢�!� ° ¢z!Y¡z´z �¢$¡n6H «��n£�¥� zº��"£� �¢z¥Ä!�º�¢Y�* "­ ° ��¢��nÂ5£�©M "��Ã�¢z "��Á�"4 ) ) 0 G 9C; 0I?�@A 9CB�9 2 A 7J ;LK(MN ) OQP 4 ) 6 0 ,-) 2SR 7

. Â5£�©M "��Ã�¢z "��¢�ÇÔ3eÈH�n¯$ "©$Ã�©*¢$¡n'nÃ�¡z�r �Ã�©M!Y¡z "�"#� L �¢Yº�ªz¯�Á®��©M´*©z¡zª�!$!$�Jº"¤#� × "©�!$©M¥H�nÂ5�2!z¢M¦�Á"'J©¨�nÂ5£�©M "��Ã�¢z "��¢EÇ (nÈƤơz��'�Ã�¡z�T*Ó¤S¥µ �Ã�©M!Y¡z "�"#��n¥���zº�¾� ��&¦���¡zªj´*��!Y¡z©M´zº�¢z ��&£���´* �� ,-) ��!�¿��*�nÁ ° ��¿�!$!$�Jº���#"6H Ã���¡z©*¢z¥J'\Ã�¡z�Ú�"¯$¥.¢z �¢z "��¢b¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z��#�©$¾j���nÂ5�L �Ã�©M!Y¡z "�"#�© �"£��¯$©$��©M " ���¶b¥H©z¡z£��"¬"¢+UÛ´*�JÃ���!�º�Á�¢$¡z!�Á&���r«��n£�¥� zº�¢

V'W6 0 'W6YX(Z�[ MN ) OQP 4 ) 6\[]'�) 2_^ 70���¢z!$ª Z ¤H �¢z#���¡z�n£���¶L#��5,M«=«��"¬���¢z �¡n' Ga` Z ` 0 A 6H �*��¢$£�¾�©z¡M¢Yº�ªz �� ,$¡z���n¯$ "©$Ã�©*¢$¡n'YÃ�¡z�Æ�"£��| "!Y¡z©M ���´zº�¢z "�"�r!$!$�Jº�#��r��¡*Ó¤SÂ5�� �Ã�©M!Y¡z "�"#�©® "©%F{¤SÂ5��'�¡n6 ¢n6��"£��(4 ) 6 0 A '�¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡zªaF{¤SÂ5�® �Ã�©M!Y¡z "�"#�©

´*�n¯$£�©M!Y¡z©*¢$¡� "©� �¢z#���¡z�n£� "­BÃ�©M!Y¡zªÆ¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z�(*Ó¤SÂ5�| �Ã�©M!Y¡z "�"#�©�6bdc�egf�hYcji\k\f "�´���¦ ° ¢z¥Ú!�º� �Ã�©*¢j���zº�©MÂ5©*¢z¥J'�!$!$�Jº�#���¥.¢Y¾j�* & �Ã�©M!Y¡*¤ "�"#�©M¥H�º���#�©$º�ªz ���¶<�" �¡M¢$£� �¢$¡*¤S!$��!Y¡M¢z¥H����¡z!� �¡z!Y¡z´z "­W¡�´*�n��¦ ° ¢n6;U=��¤ �Án¡z ���'�Ã�¡z�j¢z!�º��® �¢z#���¡z�n£��;¢�!$!$�Jº�#��®¢z!Y¡zªn'Y¡z�j¯$©$��©$Ã�©0¦M *��¢$¡;!$´*�*����¡zªz!�Á#W£�©M!$!$¥H©z¡z£��"´*©*¢z¥H��¶®�� �¡M¢z¥P´*´�¢Y��¢z "��Á=�������zº� "��¡M¢Yº�ªz "�J¿j�nÂ5£�©M "��Ã�¢z "�"¶¡z�"�"©�4 ) 6 0 A �nº�Ár �¢z#���¡z�n£��J¿$*S' Fñ6

Page 179: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ������������������������������������ ��!#" "%$�����& '�(���#�©$Ã�¢z!Y¡z´�¢À¬"¢Yº�¢z´*��¶×«; " "#�¬��"�2�nº�Á )5!$�n¬��"©$º�ªz ���¶ )&¥H©z¡M¢z¥H©z¡z��Ã�¢*¤

!$#���¶|¥H�*��¢Yº���'Y´*�n¯$ªz¥.¢z¥ «; " "#�¬��"­2!$£�¢Y�� �¢z#�´*©$��£�©z¡z��Ã� ��nÂ5�j��¡z#�º��� �¢z "��Á��� ´*!z¢z¥§ �Ã�©M!Y¡z "�"#�©M¥J6�� ,$¡z�n¥!�º� �Ã�©*¢&¬"¢Yº�¢z´*©$Á�«; " "#�¬���ÁL����¡z�"¥H�"¯$©�¤¬��"�� " ���¶ ¯$©$��©$Ã��b�"¥.¢M¢$¡|!�º�¢Y�* "­ ° �"¶b´*���j"

�g25/ 7 0 MN6WOQP 2M�� OQP V' �B ? V'W6�7�� @�� ��� ��� 2�� 7� 6JU � [���V �

��¯�Án¡z��Ã�¢$¡z��£�¢®£�¢z©$º�ªz "�J¿&#�©M£�¢Yº�ªz!$#���¿�!$©M¶�¡z©�!Æ��¿�Õ�Ö Ç ����Ø. ���¢z#�¤!� �ÈÔ6M�r#�©$Ã�¢z!Y¡z´�¢�#��5,M«=«��"¬���¢z �¡z��´j¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z�r!$©M¶�¡z��´�' '�) � ,-) 9C; 03?<@A 9 �´*¯�Án¡z�E�"£����"¯$´*�zº�ªz "�;¢n'� ��r¦�º��"¯$#���¢Æ#&´*�n¯$¥H�*¾� "��¥¨¯$ "©$Ã�¢z "��Á�¥J6»�¼S¼S½Q" ���Y²J²J²W6 Ì�Ñ��"6 Ï�Ë��{ÍzÒ *�Ë�6 ���\' ']P�� 3 �M)*)�' ,�P�� (�'»�¼S¼S½Q" ����!+*�Î#"_*�Î�6 Ï�Ë��{ÍzÒ *�Ë�6 ���\' ' � ��$ )�' , � � � '»�¼S¼S½Q" ���Y²J²J²W6 !&%�'pÑ)(8*�ËMÒ ¤*�ÔÏ�6 ���\' ',+-��$ )�' ,�+-� 3Y'»�¼S¼S½Q" ���Y²J²J²W6 ½�Íz¼*�ÔÑ.%�Ë/��Ñ)01'pÏ"¤2!�Ñ�6 ���\' '43-� 3*35)�' ,53-� (�6. ��¡z�"¥H©$º�ªz ���¢|£�¢zÅ�¢z "��¢|¯$©$��©$Ã��¨ÇÔ3eÈ ¤ñÇ $ È��"£��"´�¢Y��¢z ��& "��¾|¢j�nº�Á Z 0G 9 A "

6�7\0899:G A A GA G A AG G G AG A A G

; <<= �

�\¢z#n¡z�n£b ���´*�J¿&¯$ "©$Ã�¢z "�"¶b¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡z� !$©M¶�¡z��´®£�©M´�¢z �">? 0A@ A�B � G A�C�D8G A�C�CG A�CGFE. ��¡z�"¥H©$º�ªz ���¢�¯$ "©$Ã�¢z "��¢G�g25/ 7 7 0 A � C�D A�H X G�I 'Y¡z�nÂñ��©�#�©M#Æ´=!�º� �Ã�©*¢ � zº�¢z´*��¶¨¥H©z¡z£��"¬�� U��"¥.¢M¢z¥J�g25/ 7 0ER � R I�DKH X G�I 6�U=£�� ,$¡z�n¥E¯$ "©$Ã���¤¥H�n!Y¡zªÚ#�©$¾j���nÂ5�À �Ã�©M!Y¡z "�"#�©Ú!$��!Y¡M¢z¥H� ´*�n¯$£��n!�º�©�'HÃ�¡z�Ä���zº��*¾���¡M¢Yº�ªz ��!$#�©$¾|¢$¡z!�Á&´Æ��©$º�ªz �¢z¶"Å�¢z¥¨ "©Æ���n!z¢ ° ©*¢z¥H�n!Y¡z�1,$¡z��¿�!$©M¶�¡z��´�6

$ 6�Õg � ��"V$��^\_ â Z\[\V � â � â X�[Õ=!$!�º�¢Y�* �Á�¦��zº�¢M¢����*��£���¦� ��Æ!� "¥H¥� V'W6 !� �Ã�¢$¡z�n¥Ú¢M¢=´*����©|Ç � È����nÂ5£�©�¤

 "��Ã�¢z "�"¶¨Ç (nÈÔ'n�"¥.¢M¢z¥\"MN6WOQP V'W6 0 MN6WOQP 'W6YX Z [ MN ) OQP MN6WOQP 4 ) 6\[]'�) 0 MN6WOQP 'W6YX(Z�[ MN ) OQP '�)�[ ,-) �

Page 180: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

']��� ��������� ����� � &+����´�¢Y��¢z¥Û��¦��n¯$ "©$Ã�¢z "��Á��I0 M�6WOQP 'W69 ��� 0 M�) OQP '�)�[�,-) ��� 0 2�� X�Z [

��� 7�B 6�"�nÂñ��©Æ¬"¢Yº�¢z´z "­ «; " "#�¬��"­ Ç $ È�¥H�*¾� ��r¯$©M�"��!$©z¡zªj´|´*����¢�"

�g25/ 7 0 MN� OQP 2 � ? ' � ? Z�[ MN� OQP 4 � � []' � 7�� �

-;��«=«=¢$£�¢z "¬��"£� �Á���Ç ��È\���+4 ) 6 ���n!�º�¢W£�Á���©j�"£�¢z��¦�£�©M¯$��´*©M "�"¶����zº� �¤Ã��"¥\"

� �g25/ 7� 4 ) 6 0 R [ 2 � ? 'W6 ? Z�[ MN� OQP 4 � 6 []' � 7Q[ 2 ? Z�[ '�)>7 �U=£��"£�©M´* "�"´*©$Á¨Ã�©M!Y¡z "�;¢À�"£����"¯$´*�*�� "�;¢���� 4 ) 6  � zº�­®'J���zº� �Ã��"¥ Î

"£�©M´* �¢z "�"¶ ´*����© "= 0 ?�@A 9CB K MN

� OQP 4 � 6\[ ' � 0�� �Z ? 'W6 ���!$��!Y¡M¢z¥� � "£�©M´* �¢z "�"¶&´z¿��*�nÁn¡W¢ ° ¢�Î� "£�©M´* �¢z "�"¶&�"¯��nÂ5£�©M "��Ã�¢z "��Á

Ç (nÈ

; 0 ?�@A 9CB K(MN6WOQP 4 ) 6 0 ,-) �/J£��n¥.¢L¡z�nÂ5��'H���À�nÂ5£�©M "��Ã�¢z "�"­ 2 A 7:9C; 0 ?�@A 9CBTK 4 ) ) 0 G 6��"©M#��"¥<��¦�¤

£�©M¯$�n¥J'z�nº�Á| "©$¿��*¾j��¢z "��Á�����¡z�"¥H©$º�ªz ��nÂ5�|£�¢zÅ�¢z "��Á|¡z£�¢M¦M �¢$¡z!�Á®£�¢zÅÆ��¡zª!$��!Y¡M¢z¥� R [�B "£�©M´* �¢z "�"¶ ! B � ? B  �¢z�"¯$´�¢z!Y¡z "��¥H��6H �n!Y¡z©M´*�"¥Ä«; " "#�¬��"­3/;©MÂ5£�©M �¾�© "

� 25/ 9���7 0 MN6WOQP 2M�� OQP V' �B ? V'W6�7 � X MN ) OQP � )�[ 2 ,-) ? MN6WOQP 4 ) 6�7 �

U=�P¡M¢z�n£�¢z¥.¢b/9 " "©�¤ �"©M#�#�¢$£�©ÚÝ (�ßÔ'�����¡z�"¥H©$º�ªz ���¢r¯$ "©$Ã�¢z "��¢ / 7 *����¤´zº�¢$¡z´*�n£�Á�¢$¡b "!�º���´*�"­-"\25/ 7 9�� 7 7 ¤0!z¢Y�nº���´*©$Á�¡z�MÃ�#�©�«; " "#�¬��"��� 25/ 9���7 '¡z�&¢z!Y¡zª

� 25/ 7 9���7�� � 25/ 7 9�� 7 7�� � 25/ 9�� 7 7 �U=£�� ,$¡z�n¥´�!z¢Y�nº���´*��¶¨¡z�MÃ�#�¢&���zº�¾� "��´*�����zº� �Án¡zªz!�Á !�º�¢Y�* "­ ° ��¢ "!�º���´*��Á�"

Page 181: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������� ������������������������������������ ��!#" "%$�����& ']��'� �� /�� � O ����� G 9

2 � �� /�� � O ��� 9 / 7 7 0 G 92 � �� � � � O � � 9�� 7 7 � G 9/ 7 � G 9�� 7 � G �-;��«=«=¢$£�¢z "¬��"£� �Á � 25/ 9���7 ���-4 ) 6 ���zº� �Ã��"¥\"

� � 25/ 9���7� 4 ) 6 0 R [ 2 � ? 'W6 ? Z�[ MN� OQP 4 � 6\[ ' � 7�[ 2 ? Z�[]'�)S7 ? � ) ��L¥H©z¡z£��"¬"¢

6 7 089999:4 PWP � � � 4 PS6 � � � 4 P � � � � 4 P M� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4 ) P � � � 4 ) 6 � � � 4 ) � � � � 4 ) M� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4 M P � � � 4 M 6 � � � 4 M � � � � 4 M8M

; <<<<=

´-*Ó¤S��¶b!Y¡z£���#�¢��nº�Á|º�­Æ¦��J¿�Fñ' Ï "�"¯ 4 ) 6 G� � ) 0 ? R []Z�[ '�)�[ 2 � ? 'W6 ? Z�[ M�� OQP 4 � 6\[ ' � 7�b�"¯ 4 ) � G� � ) 0 ? R []Z�[ '�)�[ 2 � ? ' � ? Z [ M�� OQP 4 � � [ ' � 7 �. ¡z!$­���©®�nº�Á�º�­Æ¦���¶Ú�"©M£�� Ç Fñ' Ï"È9�"£�� 4 ) 6� G '�4 ) � G ���zº�¾� ��b´*�0¤���zº� �Án¡zªz!�Á® "!�º���´*��¢�"

'W6 ? ' � 0 Z [ MN� OQP 254 � � ? 4 � 6�7�[]' � � 2� A 7

H ��£� "Â5��¶ !Y¡z�n£��� "�='n�nº�Á®º�­Æ¦���¶b�"©M£�� 2 ;<9>=�7 �"¯4 ) 6 0 G� � ) ` ? R []Z�[ '�)�[ 2 � ? 'W6 ? Z�[ MN� OQP 4 � 6 []' � 7 �. ¡z!$­���©�´®#�©$Ã�¢z!Y¡z´�¢ � ) ´*�;¦��"£�©*¢z¥¨ "©M��¦��zº�ªzÅ�¢M¢Æ¯$ "©$Ã�¢z "��¢Æ��� *S"V� ) 0 �����6�� ? R []Z []'�)�[ 2 � ? 'W6 ? Z�[ MN� OQP 4 � 6\[ ' � 7�� �

Page 182: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

']��� ��������� ����� � &+��. ¦��n¯$ "©$Ã��"¥�� ) 0 V� ) 2SR []Z�[ '�)>7�X �Û�b���zº� �Ã��"¥� "!�º���´*��¢

� ) 0 �����6�� 'W6YX(Z�[ MN� OQP 4 � 6 []' � � � 2� R 71�6 T ����^ � [ �!

,�!�º���´*��Á T 3Y' T (|!$�*��¢$£�¾�©z¡M¢Yº�ªz ��r¥H�*¾� ��r¡z£�©M#n¡z��´*©z¡zª®!�º�¢Y�* "­ ° �"¥��¦�£�©M¯$�n¥\"9�"£��§�"£��" �Án¡z�"�§£�¢zÅ�¢z "��Á���¡z�n¥J'H "!Y¡z©M "©M´zº��"´*©z¡zªL��º��E �¢$¡!$!$�Jº�#� ��¡ *Ó¤SÂ5�® �Ã�©M!Y¡z "�"#�©®#�F{¤S¥� ´*�;¦��"£�©*¢$¡z!�Á� �Ã�©M!Y¡z "�"#�!Æ "©M�"¥.¢z "ª*¤ÅÆ�"¥Û¯$ "©$Ã�¢z "��¢z¥�� )  "©���©M " ��n¥ÛÅÆ©MÂf¢n'�#���¡z�n£���¶Ä�"£�� ,$¡z�n¥���zº� �Ã�©*¢$¡ ���´*��¢|¯$ "©$Ã�¢z "��¢ 'W6 '� "©M��¦��zº�¢M¢|¦�º��"¯$#���¢�#r!$£�¢Y�� �¢z¥� L����!Y¡z�zº�¦�¬� �6Ü=© ,$¡z��¶P����¢M¢��n!$ ���´*©M �£�¢z©$º��"¯$��´*©M " "��¶&©M´M¡z�n£�©M¥H��´*©M£��"©M �¡.)ñ¾�©$��¤

 ��nÂ5� )Ä©$º�Â5�n£���¡z¥H©�6 H £�©M´* �¢z "��¢E��©M " ��nÂ5��©$º�Â5�n£���¡z¥H©×!E©$º�Â5�n£���¡z¥H�n¥���zº� ��nÂ5����¢$£�¢M¦��n£�©  "© ¯$©$��©$Ã�©$¿  �¢M¦��zº�ªzÅÆ��¿ £�©M¯$¥.¢$£� ��n!Y¡M¢z¶ ��©$º�� �¢z¯$ "©$Ã���¡M¢Yº�ªz "�;¢Æ��¡z#�º��� �¢z "��Á���¡�����¡z�"¥H©$º�ªz ��nÂ5�r£�¢zÅ�¢z "��Á"6

�"©*¦�º��"¬�©P3� M � ��� � �� � � �� ��� �� ��� ��� ��� ����� ���������� � � � � � � �! � � �� �� ���! "�"�# �%$&� '�'�# �%$&�� � �# � � � � � �! � � �� �� ���! �('�# )($&� ��*�# �($&�� � �# � � � � � �! � � �� �� ���! +�+�# *($&� +�"�# ($&�� + �# � � � � � � �! � � �� �� ���! +� � ��)�# +($&� ����# ($&�+ + �# � � � � � � �! � � �� �� ���! +� � +���# �($&� +���# "($&�" + �# � � � � � � �!+� �� "� �! � �!�� ���('&� ���('&�Õ=¯�¡z©*¦�º��"¬��¨¥H�*¾� ��Ư$©M¥.¢$¡z��¡zªn'$Ã�¡z�Æ�"£���¦�º���¾|¢z " "��¶®©$º�Â5�n£���¡z¥L£�¢*¤

Å�¢z "��Áb¯$©$��©$Ã��b��©*¢$¡�´*���zº� �¢��"£���¢z¥�º�¢z¥� "­ ¡z�MÃ� ��n!Y¡zª& "©M¶���¢z " "�J¿P£�¢*¤Å�¢z "�"¶ÄÇ ��¡z#�º��� �¢z "��¢���¡®����¡z�"¥H©$º�ªz ��nÂ5�&��¡®)�' �*%M1Æ���À3Y' )nÈÔ6�U=£��1,$¡z�n¥2! "¥.¢z "ªzÅ�¢z "��¢z¥ ¯$ "©$Ã�¢z "��Á Z �|�"£��| �¢z´*��!$��#��n¥ £�©M¯z¦�£��n!z¢;¯$ "©$Ã��"¥H�n!Y¡M¢z¶¡z�MÃ� ��n!Y¡zª|£�¢zÅ�¢z "��Á&´*�n¯$£�©M!Y¡z©*¢$¡n6

,.-0/2143657/486365

9 ä7:7;!<�=?>�@BADCMäEGFIHJHJK?L >DM NOAD<PKD>PQR<�@DSBTVU?WDL <�X @V>PYB<�@VYZCVH�[]\^H`_a<�SV>`\ CV>b_ HJNc\dH&efX \�E{îCD\ \ Whg%iPiG[7[7[Oä [j>�k&[jH&;!SVNcCVH&WMä @V>�\ lPWD<PKD>�;!<�@DSMä CD\ _aL�ä

ïeä _�mPn êVoDpñæñídq�ä åHä X ê n oYæñé$ésr"æut�æ�vñìPw?ryxYæ�z.æñé$êV{}|èë n v�xYæ�t m oDpèésr7~�� m w m çzä�� � ä � Zjm�� ë m î9��P�P� ä

Page 183: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ Âûïóñê 7, 2006ÓÄÊ 519.6, 539.2�ÀÇÍÎÑÒÍÀß ÑÕÅÌÀ ÄËß ÌÎÄÅËÈ�ÎÂÀÍÈßÒÄÑ-ÑÏÅÊÒ�À ÄÅ�ÈÄ�È�ÎÂÀÍÈß ÌÅÒÀËËÎÂÑ Ó×ÅÒÎÌ ÒÅÏËÎÏÎ�ËÎÙÅÍÈß È ÑÆÀÒÈßÍ.È. �ÎÄ×ÅÍÊÎÂÀÌîäåëèðóåòñÿ êèíåòèêà âûäåëåíèÿ âîäîðîäà èç ïîðîø-êà ãèäðèäà ìåòàëëà ñ ó÷åòîì äèíàìèêè ìåæ�àçîâîãîïåðåõîäà, ñæàòèÿ ÷àñòèö ïîðîøêà ãèäðèäà, äåñîðáöèîí-íûõ ïðîöåññîâ íà ïîâåðõíîñòè è òåïëîïîãëîùåíèÿ íàãðàíèöå ðàçäåëà �àç. Ïðåäñòàâëåíà ðàçíîñòíàÿ ñõåìàäëÿ êðàåâîé çàäà÷è ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè ïðèìå-íèòåëüíî ê ýêñïåðèìåíòàëüíîìó ìåòîäó òåðìîäåñîðá-öèîííîé ñïåêòðîìåòðèè (ÒÄÑ). Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ [1℄ ïðåäñòàâëåíà äè��óçèîííàÿ ìîäåëü ñ ó÷åòîì òåïëîïî-ãëîùåíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà �àç è ý��åêòà ñæàòèÿ. Äàííàÿïóáëèêàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ýòîé ðàáîòû.  ñòàòüå ðàñ-ñìàòðèâàåòñÿ ÷èñëåííûé ìåòîä (ïîñòðîåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû)ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è ñ íåëèíåéíûìè äè-íàìè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè è ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè.Ñîîòâåòñòâóþùàÿ áèáëèîãðà�èÿ èìååòñÿ â [2�7℄. Ìîäåëü ïðåä-ñòàâëåíà ïðèìåíèòåëüíî ê ýêñïåðèìåíòàëüíîìó ìåòîäó òåðìîäå-ñîðáöèîííîé ñïåêòðîìåòðèè (ÒÄÑ). Îáðàçåö ïîðîøêîîáðàçíîãîãèäðèäà ìåòàëëà ïîìåùàþò â êàìåðó ñ ïîñëåäóþùèì ïîñòîÿííûìâàêóóìèðîâàíèåì è îòíîñèòåëüíî ìåäëåííûì íàãðåâîì. Ïî ðåãè-ñòðèðóåìîìó ñ ïîìîùüþ ìàññ-ñïåêòðîìåòðà äåñîðáöèîííîìó ïî-òîêó âîäîðîäà èç îáðàçöà ñóäÿò î òåõ èëè èíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ Í.È. �îä÷åíêîâà, 2006

Page 184: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

184 Í.È. �îä÷åíêîâàåãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ èññëåäóåìûì ìàòåðèàëîì. �àññìîòðèì âû-ñîêîòåìïåðàòóðíûé ïèê ïîòîêà, êîãäà äè��óçèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíèìèç ëèìèòèðóþùèõ �àêòîðîâ.2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß È ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈßÏðè ðàñïàäå ðàññìàòðèâàåìîãî ìîäåëüíîãî ãèäðèäà ïðîèñõî-äèò ñóùåñòâåííîå óâåëè÷åíèå ïëîòíîñòè (óìåíüøåíèå îáúåìà).Ýòî ñâÿçàíî ñ ïåðåñòðîéêîé ðåøåòêè. Äëÿ íåêîòîðûõ ãèäðèäîâý��åêò äîñòèãàåò íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ ïðîöåíòîâ. Ïóñòü � êî-ý��èöèåíò ñæàòèÿ: â ïðîöåññå ðàçëîæåíèÿ ãèäðèäà îáúåì ñ Vóìåíüøàåòñÿ äî çíà÷åíèÿ V (0 < < 1, = onst, T 2 [T�; T+℄).�àçìåðû ÷àñòèö ñ÷èòàåì óæå äîñòàòî÷íî ìàëûìè, ÷òîáû âîçíè-êàþùèå íàïðÿæåíèÿ íå ïðèâîäèëè ê äàëüíåéøåìó èçìåëü÷åíèþ.Áóäåì ñòðåìèòüñÿ ó÷åñòü ý��åêò ìèíèìàëüíûìè ìàòåìàòè÷åñêè-ìè ñðåäñòâàìè. Îáîçíà÷èì L(t) � ðàäèóñ ñæèìàþùåéñÿ ñ�åðè-÷åñêîé ÷àñòèöû ïîðîøêà ãèäðèäà, �(t) � ðàäèóñ ñæèìàþùåãîñÿãèäðèäíîãî ÿäðà. Óìåíüøåíèå L(t) èíèöèèðóåòñÿ ¾ïðîïàâøèì¿îáúåìîì â ðåçóëüòàòå ïåðåñòðîéêè ðåøåòêè íà ãðàíèöå ðàçäå-ëà �àç. Ñîêðàùàÿ ìíîæèòåëü 4�=3, èìååì ñâÿçü � è L â �îðìå(1 � )[�30 � �3℄ = L30 � L3. Çäåñü L0 = L(0), �0 = �(0), íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè t = 0 ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëó âñïëåñêà äåñîðáöèè.×òîáû ñóùåñòâåííî íå óñëîæíÿòü ìîäåëü, ïîëàãàåì, ÷òî âíåø-íÿÿ êîðêà êàê-áû ¾îñåäàåò â öåëîì¿. Ïóñòü (t; r) � êîíöåíòðà-öèÿ àòîìàðíîãî âîäîðîäà, ðàñòâîðåííîãî â êîðêå ìåòàëëà (â ��àçå) òîëùèíû (L � �) â ìîìåíò âðåìåíè t; Q � êîíöåíòðàöèÿâîäîðîäà â ãèäðèäå (� �àçå); b(T ) � êîý��èöèåíò äåñîðáöèè;D(T ) � êîý��èöèåíò äè��óçèèè; � � êèíåòè÷åñêàÿ êîíñòàí-òà (� � 1:46 � 1021 1= m2 � s �Torr); p(t) � äàâëåíèå ìîëåêóëÿðíîãîâîäîðîäà â êàìåðå; s � êîý��èöèåíò ïðèëèïàíèÿ âîäîðîäà ê ïî-âåðõíîñòè (äèññîöèàöèè ÷àñòè ìîëåêóë H2 íà àòîìû). Íàãðåâ íàïîâåðõíîñòè îáû÷íî ëèíåéíûé: TL(t) � T (t; L) = vt+T0. Ñ÷èòàåì,÷òî ê íà÷àëüíîìó ìîìåíòó âðåìåíè (t = 0 ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëóïèêà ÒÄÑ-ñïåêòðà) ðàñòâîðåííûé â ãèäðèäå âîäîðîä ïîêèíóë îá-ðàçåö è Q = rit� = onst ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîé êîíöåíòðàöèåé. ïðîöåññå äàëüíåéøåãî íàãðåâà ïðîèñõîäèò ðàñïàä � �àçû èñîîòâåòñòâóþùàÿ àêòèâèçàöèÿ äåñîðáöèè. Ïëîòíîñòü äåñîðáöè-îííîãî ïîòîêà ìîäåëèðóåì êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòüþ îò êîí-öåíòðàöèè àòîìîâ â ïðèïîâåðõíîñòíîì ñëîå (âàðèàíò îáúåìíîé

Page 185: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�àçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÒÄÑ-ñïåêòðà 185äåñîðáöèè): J(t) = b(T ) 2(t; L). Çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ îò òåìïå-ðàòóðû ñ÷èòàåì àððåíèóñîâñêîé. Íàïðèìåð, äëÿ êîý��èöèåíòàäåñîðáöèè b(T ) = b0 expf�Eb=[RT ℄g; T 2 [T�; T+℄; ãäå Eb � ýíåð-ãèÿ àêòèâàöèè, b0 = onst, R = onst. Äàâëåíèå ìîëåêóëÿðíîãî âî-äîðîäà â êàìåðå èíèöèèðóåò ïëîòíîñòü ïîòîêà �s(T )p(t) àòîìîâH íà ïîâåðõíîñòü (â ïðèïîâåðõíîñòíûé îáúåì). Äåãèäðèðîâàíèåïðåäïîëàãàåò �sp < b 2L, L � (t; L). Ëèøü ÷àñòü äåñîðáèðîâàâøå-ãîñÿ âîäîðîäà âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî â ðåçóëüòàòå îòêà÷êè H2.Ìîäåëü áóäåì èçëàãàòü â îäíî÷àñòè÷íîì ïðèáëèæåíèè. Äëÿìîäåëèðîâàíèÿ ïîðîøêà èñïîëüçîâàëîñü äèñêðåòíîå íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïî ðàäèóñàì. Ýòî, â íåêîòîðîì ñìûñëå,¾êîìïåíñèðóåò¿ ïîãðåøíîñòü ñ�åðè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè. Ïðè÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè èñïîëüçîâàëîñü 10-15 çíà÷åíèé L0.3. ÝÔÔÅÊÒ ÎÁÚÅÌÍÎ�Î ÑÆÀÒÈßÎáå ãðàíèöû ïîäâèæíû: � = �(t), L = L(t), (1 � )[�30 � �3℄ =L30 � L3. Ïëîòíîñòü ïîòîêà àòîìîâ âîäîðîäà (ïî íàïðàâëåíèþ r0âäîëü ðàäèóñà, jr0j = 1) ìîäåëèðóåì âûðàæåíèåìj(t; r) = �D(T )� �r + (t; r)v(t; r);ãäå v(t; r)� ¾âñòðå÷íàÿ ñêîðîñòü ñðåäû¿ (v < 0). Óðàâíåíèå äè�-�óçèè ñ ó÷åòîì ñ�åðè÷åñêîé ñèììåòðèè ïðèìåò âèä:� �t = 1r2 ��r�r2�D(T )� �r � (t; r)v(t; r)��:Óòî÷íèì âûðàæåíèå äëÿ v(t; r).  ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ìûñ-ëåííî âûäåëèì øàð V (r), r > �, è îïðåäåëèì ñêîðîñòü èçìåíå-íèÿ åãî îáúåìà â ïðîöåññå ñæàòèÿ. Îáîçíà÷èâ ðàäèóñ ÷åðåç R(t)(R(t0) = r), ïîëó÷èì_V (r) = ddt ���t0V �R(t)� = 4�r2 _R(t0): óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ (íàïðÿæåíèÿ íåêðèòè÷íû, íåò ðàñ-òðåñêèâàíèÿ) äîëæíî áûòü _V (r) = _V (L), ò. å. r2 _R = L2 _L. Ïðîïà-äàþùèé îáúåì êîìïåíñèðóåòñÿ âíåøíèìè ñëîÿìè. Ïîýòîìó ñêî-ðîñòü äâèæåíèÿ ñðåäû âäîëü ðàäèóñà ïðåäñòàâèì â �îðìåv(t; r) = L2 _L=r2 = (1� )�2 _�=r2; r 2 [�; L℄:

Page 186: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

186 Í.È. �îä÷åíêîâàÎòäåëüíî îáîñíóåì v(t; �) = (1 � ) _� : ýòî èìåííî òà ÷àñòü ñêî-ðîñòè _� äâèæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà �àç, êîòîðàÿ èíèöèèðóåòñÿñæàòèåì.Îáîçíà÷èì ÷åðåç S(r) ïëîùàäü ñ�åðû ðàäèóñà r, TL(t) �T (t; L(t)). Äè��åðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ñîîòíîøåíèå ìàòåðèàëü-íîãî áàëàíñà:QV (�) + 4�Z L(t)�(t) r2 (t; r) dr + Z t0 S(L) b(TL) 2(�; L) d� = onst;Q�2 _�+ Z L� r2 t(t; r) dr + (t; L)L2 _L� (t; �)�2 _�+ b(TL) 2(t; L)L2 = 0;�Q� (t; �)��2 _�� �2D(T [t; �℄)� �r ���� + b(TL) 2LL2 + L2D(TL)� �r ���L = 0:Ïåðâûå äâà ñëàãàåìûõ îòíîñÿòñÿ ê ïðîöåññàì íà ãðàíèöå ðàçäåëà�àç r = �, îñòàëüíûå � íà ïîâåðõíîñòè r = L. Âñëåäñòâèå áàëàíñàïîòîêîâ íà âíåøíåé ãðàíèöå b(TL) 2(t; L) = �D(TL) r(t; L) (íåòíàêîïëåíèÿ H íà ïîâåðõíîñòè) ïðèõîäèì ê óñëîâèþ Ñòå�àíà�Q� (t; �)� _�(t) = D(T [t; �℄)� �r ����:Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà �àç ìîæíî âûâåñòè èíåçàâèñèìî èç áàëàíñàQÆV � (t; �) ÆV = �S(�)D(T [t; �℄) r(t; �)�t+ o(�t); ÆV = ��V:Òîãäà óæå ãðàíè÷íîå óñëîâèå íåëèíåéíîå òðåòüåãî ðîäà îêàæåòñÿñëåäñòâèåì. 4. ÌÎÄÅËÜ ÒÅÏËÎÏÎ�ËÎÙÅÍÈß êîíòåêñòå ìåòîäà ÒÄÑ ïðîãðåâ ÷àñòèö ãèäðèäà çíà÷èòåëü-íî áûñòðåå äè��óçèè. Ïîýòîìó ðàçóìíî èñêàòü ðàñïðåäåëåíèåòåìïåðàòóðû â ðàñòóùåé êîðêå ìåòàëëà ñ ðàñòâîðåííûì äè�-�óíäèðóþùèì âîäîðîäîì â �îðìå êâàçèñòàöèîíàðà T (t; r) =AÆ(t) + BÆ(t)=r, r 2 [�; L℄. Ñêîðîñòü íàãðåâà ìàëà: ðàñïðåäåëåíèåòåìïåðàòóðû íå ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ðàâíîìåðíîãî, èìååòñÿ îò-íîñèòåëüíî íåáîëüøîå ïîíèæåíèå T ïðè r = � ïî ñðàâíåíèþ ñr = L. Ïîýòîìó BÆ(t) < 0 (�óíêöèÿ T (t; r) âûïóêëà ââåðõ).�àññìîòðèì íà÷àëüíûé âàðèàíò ó÷åòà ýíäîòåðìè÷íîñòè ðàñ-ïàäà ãèäðèäà. Ïîëàãàåì, ÷òî â ÷àñòèöå ïîðîøêà çà âðåìÿ ðàñïàäà

Page 187: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�àçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÒÄÑ-ñïåêòðà 187ãèäðèä íå óñïåâàåò ñóùåñòâåííî èçìåíèòü ñâîþ òåìïåðàòóðó âîòëè÷èå îò îêðóæàþùåé êîðêè ìåòàëëà. Íà ìàëîì ïðîìåæóò-êå âðåìåíè [t; t +�t℄ îáðàçóåòñÿ øàðîâîé ñëîé ðàñòâîðà îáúåìàÆV = ��3 � (� + ��)3�4�=3, �� < 0, �� = �(t + �t) � �(t) � _�(t)�t.Êîëè÷åñòâî ïîãëîùåííîãî òåïëà �ÆV; ïðîïîðöèîíàëüíîå ýòîìóîáúåìó, ðàâíî âåëè÷èíå P4��2�t ñ òî÷íî òüþ äî o(�t). Çäåñüîáîçíà÷èëè P = ��rT = ��BÆ=�2 � ïëîòíîñòü òåïëîâîãî ïîòî-êà. Ïðèðàâíèâàÿ äâà âûðàæåíèÿ è äåëÿ íà �t ! 0, îïðåäåëÿåìêîý��èöèåíò BÆ: BÆ(t) = { _�(t)�2(t), { = �=�.  ïðåäåëàõ ïèêàÒÄÑ-ñïåêòðà âåëè÷èíó {, õàðàêòåðèçóþùóþ òåïëîïðîâîäÿùèåñâîéñòâà ìåòàëëà è ýíåðãåòèêó ðàñïàäà, ñ÷èòàåì ïîëîæèòåëüíîéêîíñòàíòîé. Êîý��èöèåíò AÆ(t) îïðåäåëÿåòñÿ êîíòðîëèðóåìîéòåìïåðàòóðîé TL(t) íà ïîâåðõíîñòè. Èòàê, ãèïåðáîëè÷åñêîå ïîr ðàñïðåäåëåíèå T (t; r) íåñêîëüêî óìåíüøàåòñÿ ïðè r ! � + 0ïî ñðàâíåíèþ ñ T (t; L) èç-çà ýíäîòåðìè÷íîñòè ðàñïàäà, à ÿäðîïðîãðåòî ïðàêòè÷åñêè ðàâíîìåðíî. Èç-çà áîëüøîãî ðàçëè÷èÿ âòåïëîïðîâîäÿùåé ñïîñîáíîñòè (íàïðèìåð, ãèäðèä � ñîëåïîäîá-íûé) èìååòñÿ ðàçðûâ òåìïåðàòóðû íà ãðàíèöå ðàçäåëà �àç. Ïðè�(t) ! 0 èìååì BÆ(t) ! 0 è ïðîöåññ îñòàòî÷íîé äåãàçàöèè íà÷è-íàåòñÿ è ïðîòåêàåò ïðè ðàâíîìåðíîì ïðîãðåâå ÷àñòèöû.5. ËÎÊÀËÜÍÎÅ �ÀÂÍÎÂÅÑÈÅ È ÍÀ×ÀËÜÍÛÅ ÄÀÍÍÛÅ ðàâíîâåñíîé ñèòóàöèè êîíöåíòðàöèÿ àòîìîâ H â ìåòàëëåóñòàíàâëèâàåòñÿ íà óðîâíå � = �Q < Q. Ïðè âûñîêîé òåìïåðà-òóðå ãèäðèä ðàñïàäàåòñÿ äîñòàòî÷íî èíòåíñèâíî è â óñëîâèÿõäè��óçèîííîãî áàðüåðà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íà ãðàíèöå ðàçäåëà�àç èìååò ìåñòî ëîêàëüíîå ðàâíîâåñèå (t; �) = � .Óðàâíåíèþ äè��óçèè t = D(t)( rr+2 r=r) óäîâëåòâîðÿåò íåçà-âèñÿùàÿ îò âðåìåíè �óíêöèÿ '(r) = A + B=r. Ïðèìåì åå çà íà-÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (0; r) â ñëîå r 2 [�0; L0℄: äî íà÷àëà èíòåí-ñèâíîãî ðàñïàäà ãèäðèäà (t = 0) â ðåçóëüòàòå îáúåìíîé äåñîðáöèèïðîèñõîäèò ìåäëåííûé ðîñò íà÷àëüíîé êîðêè ìåòàëëà ñ ðàâíî-ìåðíûì ïðîãðåâîì. Òàêèì îáðàçîì, êîãäà ãðàíèöà íà íà÷àëüíîìýòàïå äâèæåòñÿ î÷åíü ìåäëåííî, âèä ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñòâîðåí-íîãî âîäîðîäà (ãèïåðáîëè÷åñêèé êâàçèñòàöèîíàð) ïî÷òè íå áóäåòìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì. Îáîçíà÷èì (0; L0) = 0, òîãäà: '(�0) = � ,

Page 188: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

188 Í.È. �îä÷åíêîâà'(L0) = 0 < � )'(r) = A+ Br = L0 0 � � �0L0 � �0 + L0�0 � � � 0L0 � �0 � 1r :Ïàðàìåòð 0 íàõîäèì èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðèt = 0: b(T0) 20 = �D(T0)�'�r ���L0 = D(T0) � � � 0L0 � �0 � �0L0 :Ýòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî 0, êîðíè âåùåñòâåííû èðàçíûõ çíàêîâ, òàê ÷òî ïðèïîâåðõíîñòíàÿ êîíöåíòðàöèÿ îïðåäå-ëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Îòìåòèì, ÷òî íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå '(r)â òîíêîé êîðêå ìåòàëëà ïðàêòè÷åñêè íå âëèÿåò íà ìîäåëüíûéÒÄÑ-ïèê, ïîñêîëüêó ïî÷òè âåñü âîäîðîä ñîñðåäîòî÷åí â ãèäðèä-íîì ÿäðå. 6. Ê�ÀÅÂÀß ÇÀÄÀ×À ÒÄÑ�ÄÅ�ÈÄ�È�ÎÂÀÍÈßÊîìïàêòíî ïðåäñòàâèì ìîäåëü: 0 � (0; L0), �(0) = �0,� �t = 1r2 ��r�r2hD�T [t; r℄�� �r � vi �; t 2 (0; t�); r 2 ��(t); L(t)�; (0; r) = A+ Br = L0 0 � � �0L0 � �0 + L0�0 � � � 0L0 � �0 � 1r ; r 2 (�0; L0);v(t; r) = (1� ) �2 _�r2 = L2 _Lr2 ; �Q� (t; �)� _�(t) = D�T [t; �℄�� �r ����(t);D(TL)� �r ���L(t) = �b(TL) 2(t; L); �t; �(t)� = � < Q; TL(t) � T (t; L);T (t; r) = AÆ(t) +BÆ(t) r�1; r 2 ��(t); L(t)�; (1� )��30 � �3� = L30 � L3;AÆ(t) +BÆ(t)L�1(t) = TL(t); BÆ(t) = {�2(t) _�(t); TL(t) = T0 + vt:Âåëè÷èíû Q, � , {, ñ÷èòàåì ïîñòîÿííûìè â ïðåäåëàõ ÒÄÑ-ïèêàT 2 [T�; T+℄, êîý��èöèåíòû äè��óçèè è äåñîðáöèè çàâèñÿò îòòåìïåðàòóðû ïî çàêîíó Àððåíèóñà: D(T ) = D0 expf�ED=[RT ℄g,b(T ) = b0 expf�Eb=[RT ℄g.Ïîñëå òîãî êàê ãèäðèäíîå ÿäðî èñ÷åçíåò (�(t�) = 0), ïåðåõîäèìê çàäà÷å äåãàçàöèè áåç ïîäâèæíûõ ãðàíèö (r 2 [0; L�℄, L� = L(t�))

Page 189: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�àçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÒÄÑ-ñïåêòðà 189ñ óñëîâèåì ñèììåòðèè r(t; 0) = 0 è ðàâíîìåðíûì ïðîãðåâîì ìå-òàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö T (t; r) = TL(t) � T (t):� �t = D(t)��2 �r2 + 2r � � �r�; t 2 (t�; t�); r 2 (0; L�); '(r) = (t�; r);D(t)� �r ���L� = �b(t) 2(t; L�); � �r ���r=0 = 0; D(t) � D(T (t)); b(t) � b(T (t)):Ìîìåíò t� îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì J(t�) = b(t�) 2(t�; L�) � 0.7. Ï�ÅÎÁ�ÀÇÎÂÀÍÈÅ Ê�ÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×ÈÂâåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: (t; r) $ (t; x), r = �(t) + x[L(t) ��(t)℄, u(t; x) = (t; r(t; x)), w(t; x) = v(t; r(t; x)). Ñóòü çàìåíû ñîñòîèòâ òîì, ÷òîáû ïåðåâåñòè ïîäâèæíóþ îáëàñòü �(t) 6 r 6 L(t) âíåïîäâèæíóþ 0 6 x 6 1. Ýòà çàìåíà íåîáõîäèìà äëÿ àëãîðèòìà÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîçíèêàþò òðóäíîñòè ñïîñòðîåíèåì ñåòêè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé.Êðàåâàÿ çàäà÷à ÒÄÑ-äåãèäðèðîâàíèÿ ïîñëå çàìåíû:�u�t = 1(L� �)2 ��x �D(T )�u�x �+ f(t; x) � �u�x; t 2 (0; t�); x 2 (0; 1); (1)f(t; x) �h _� (1� x) + _Lx+ 2�+ x(L� �) �D(T )� w(t; x)i� 1L� � ;w(t; x) � v(t; r(t; x)) = (1� ) � �2 _�(�+ x(L� �))2 = L2 _L(�+ x(L� �))2 ;u(0; x) = L0u0 � �u�0L0 � �0 + L0�0 � �u� u0L0 � �0 � 1�0 + x(L0 � �0) ;u0 � u(0; 1); �u = � ; (1� )��30 � �3� = L30 � L3; (2)�Q� u(t; 0)� _�(t) = �D(T )L� � � �u�x����x=0; �(0) = �0; u(t; 0) = �u < Q; (3)�D(T )L� � �u�x����x=1 = �b(TL)u2(t; 1); TL(t) � T (t; L(t)) = T0 + vt; (4)T (t; x) = AÆ +BÆ (�+ x(L� �))�1; AÆ +BÆL�1 = TL ; BÆ = {�2 _�:

Page 190: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

190 Í.È. �îä÷åíêîâàÔîðìàëüíî ìîæíî çàáûòü î �èçè÷åñêîì ñìûñëå �(t) êàê ãðàíè-öû ðàçäåëà �àç, à L(t) êàê ðàäèóñà ÷àñòèöû, è ðàññìàòðèâàòüèõ êàê �óíêöèîíàëüíûå ïàðàìåòðû, ïîä÷èíåííûå óñëîâèÿì (3)è (2). Ïîëó÷èëàñü êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ äè��óçèè (1) (ñêîý��èöèåíòîì, çàâèñÿùèì îò ïàðàìåòðîâ). Ïîëó÷åííàÿ êðàåâàÿçàäà÷à äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêà, íî îíà â íåïîäâèæíîé îáëàñòè è ååìîæíî ðåøàòü, ïîëüçóÿñü îáû÷íûìè ìåòîäàìè.8. ÏÎÑÒ�ÎÅÍÈÅ ÍÅßÂÍÎÉ �ÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛÂâåäåì ñåòêó xi = ih, i = 0; 1; : : : ; N , tn = n� , ãäå h = 1=N � øàãïî ðàäèóñó, � � øàã ïî âðåìåíè. Ââåäåì ñåòî÷íûå àïïðîêñèìà-öèè Uni � u(tn; xi), Ln � L(tn), �n � �(tn), _�n � _�(tn), _Ln � _L(tn),ani � D(tn; xi � h=2). Èç íà÷àëüíûõ äàííûõ U0i = u(0; xi). Äëÿ àï-ïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (1) ñ ïîðÿäêîì O(h2 + �) â óçëå (xi; tn)èñïîëüçóåì ñòàíäàðòíûé ÷åòûðåõòî÷å÷íûé øàáëîí (xi�1; tn+1),(xi; tn), (xi; tn+1):Un+1i � Uni� =an+1i+1 (Un+1i+1 � Un+1i )� an+1i (Un+1i � Un+1i�1 )h2(Ln+1 � �n+1)2 ++Kn+1i � Un+1i+1 � Un+1i�12h(Ln+1 � �n+1) ;Kn+1i � _�n+1(1� xi) + _Ln+1 xi + 2an+1i�n+1 + xi(Ln+1 � �n+1) � wn+1i :Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà (Ln+1 � �n+1)2h2, îáîçíà÷èìsn+1 = (Ln+1 � �n+1)2h2=� è ïðèâåäåì ïîäîáíûå ñëàãàåìûå:biUn+1i+1 � iUn+1i + aiUn+1i�1 = �sn+1Uni ;bi � an+1i+1 + h2Kn+1i (Ln+1 � �n+1); i � an+1i + an+1i+1 + sn+1;ai � an+1i � h2Kn+1i (Ln+1 � �n+1):Ñèñòåìà ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè: Un+1i = �n+1i+1 Un+1i+1 + �n+1i+1 ,i = 1; : : : ; N � 1, n > 1: Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè âûïîëíåíû (h << 1):j ij > jaij + jbij = an+1i + an+1i+1 , sn+1 > 0. �ðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò

Page 191: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�àçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÒÄÑ-ñïåêòðà 191âèäUn+10 = �Q; D(Tn+1L ) � 3Un+1N � 4Un+1N�1 + Un+1N�22h(Ln+1 � �n+1) = �b(Tn+1L )(Un+1N )2:Ïðîãîíî÷íûå êîý��èöèåíòû äëÿ i = 2; : : : ; N � 1 îïðåäåëÿþòñÿ�îðìóëàìè�n+1i+1 = an+1i+1 + h2Kn+1i (Ln+1 � �n+1)sn+1 + an+1i + an+1i+1 � han+1i � h2Kn+1i (Ln+1 � �n+1)i�n+1i ;�n+1i+1 = sn+1Uni + han+1i � h2Kn+1i (Ln+1 � �n+1)i�n+1isn+1 + an+1i + an+1i+1 � han+1i � h2Kn+1i (Ln+1 � �n+1)i�n+1i :�àññìîòðèì ëåâóþ ãðàíèöó ïðè i = 1. Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèåsn+1(Un+11 � Un1 ) = han+12 + h2Kn+11 (Ln+1 � �n+1)iUn+12 �� (an+11 + an+12 )Un+11 + han+11 � h2Kn+11 (Ln+1 � �n+1)iUn+10çíà÷åíèå Un+10 = �Q, ïîëó÷èì ïåðâûå ïðîãîíî÷íûå êîý��èöèåí-òû �n+12 = an+12 + h2Kn+11 (Ln+1 � �n+1)an+11 + an+12 + sn+1 ;�n+12 = sn+1Un1 + han+11 � h2Kn+11 (Ln+1 � �n+1)i�Qan+11 + an+12 + sn+1 :Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ �n+12 è �n+12 . Äàëåå íàõîäèì îñòàâøèåñÿ ïðî-ãîíî÷íûå êîý��èöèåíòû �n+1i è �n+1i , i = 3; : : : ; N . Äëÿ íàõîæäå-íèÿ Un+1N èñïîëüçóåì ãðàíè÷íîå óñëîâèåD(Tn+1L )3Un+1N � 4Un+1N�1 + Un+1N�22h(Ln+1 � �n+1) = �b(Tn+1L )(Un+1N )2:Ïîäñòàâèì ñâÿçè Un+1N�2 = �n+1N�1Un+1N�1 + �n+1N�1, Un+1N�1 = �n+1N Un+1N +�n+1N . Ïîëîæèì A � 3� 4�n+1N + �n+1N�1�n+1N , B � �n+1N�1�n+1N + �n+1N�1 �4�n+1N . �ðàíè÷íîå óñëîâèå ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé ïåðåïèøåòñÿ â�îðìå2h b(Tn+1L )(Ln+1 � �n+1)D�1(Tn+1L )(Un+1N )2 +AUn+1N +B = 0:

Page 192: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

192 Í.È. �îä÷åíêîâàÝòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî Un+1N . Âûáèðàåòñÿ ïîëî-æèòåëüíûé êîðåíü. Çíà÷åíèå �óíêöèîíàëüíîãî ïàðàìåòðà �n+1 ��(tn+1) íàõîäèì èç ðàçëîæåíèÿ �n+1 â îêðåñòíîñòè �n ïî �îðìó-ëå Òåéëîðà, ó÷èòûâàÿ òîëüêî ëèíåéíîå ñëàãàåìîå. Îñòàëüíûìèñëàãàåìûìè ïðåíåáðåãàåì:�n+1 � �n + � _�n � �n + �D(T (tn; �n))f�3Un0 + 4Un1 � Un2 g2h(Q� �u)(Ln � �n) :Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Ln+1 íàõîäèì èç ñîîòíîøåíèÿ (1 � )��30 ��3� = L30 � L3 ïðè óæå èçâåñòíîì �n+1.8.1. Äè��óçèîííàÿ äåãàçàöèÿ. �èäðèäíîãî ÿäðà íåò �(t�) = 0.Ýòî çàäà÷à äåãàçàöèè áåç ïîäâèæíûõ ãðàíèö (r 2 [0; L�℄, L� =L(t�)) ñ óñëîâèåì ñèììåòðèè r(t; 0) = 0 è ðàâíîìåðíûì ïðîãðå-âîì ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö T (t; r) = TL(t) � T (t):� �t = D(t)��2 �r2 + 2r � � �r�; t 2 (t�; t�); r 2 (0; L�); '(r) = (t�; r);D(t)� �r ���L� = �b(t) 2(t; L�); � �r ���r=0 = 0; D(t) � D(T (t)); b(t) � b(T (t)):Êîý��èöèåíòû äëÿ i = 1; : : : ; N � 1 óïðîùàþòñÿ ñëåäóþùèì îá-ðàçîì�n+1i+1 = 1 + h=xisn+1 + 2� �n+1i [1� h=xi℄ ; �n+1i+1 = [1� h=xi℄�n+1i + sn+1Unisn+1 + 2� �n+1i [1� h=xi℄ :Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ïåðâûå ïðîãîíî÷íûå êîý��èöèåíòû, ïîëü-çóåìñÿ óñëîâèåì ñèììåòðèè â öåíòðå øàðà:� �r (t; 0) = 0) 2rD(t)� �r = 2rD(t)�� �r (t; r) � � �r (t; 0)� � 2D(t)�2 (t; 0)�r2 :Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå äè��óçèè ïðè r ! +0 ïåðåïèøåòñÿ ââèäå � �t = 3D(t)�2 �r2 : ïåðåìåííûõ (t; x) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (r = xL�, u(t; x) = (t; r(x))): �u�t = 3D(t)L2� � �2u�x2 :

Page 193: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�àçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÒÄÑ-ñïåêòðà 193�àçíîñòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ óðàâíåíèÿ äè��óçèèUn+1i � Uni� = 3D(tn+1)L2� � Un+1i+1 � 2Un+1i + Un+1i�1h2 :Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà L2�h2, sn+1 = h2L2�(3�D(tn+1))�1,è ïðèâåäåì ïîäîáíûå ñëàãàåìûå:Un+1i+1 � (2 + sn+1)Un+1i + Un+1i�1 = �sn+1Uni :�ðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä�u�x ���x=0 = 0) �3Un+10 + 4Un+11 � Un+122h = 0;D(tn+1)3Un+1N � 4Un+1N�1 + Un+1N�22hL� = �b(tn+1)(Un+1N )2:�àññìîòðèì ëåâóþ ãðàíèöó ïðè i = 1. Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèåUn+12 � (2 + sn+1)Un+11 + Un+10 = �sn+1Un1ñîîòíîøåíèå (�3Un+10 +4Un+11 �Un+12 )=2h = 0 èëè Un+12 = �3Un+10 +4Un+11 , ïîëó÷àåì ïåðâûå ïðîãîíî÷íûå êîý��èöèåíòû�n+11 = 1� sn+12 ; �n+11 = sn+12 Un1 :Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ �n+11 è �n+11 . Äàëåå íàõîäèì îñòàâøèåñÿ ïðî-ãîíî÷íûå êîý��èöèåíòû �n+1i è �n+1i , i = 2; : : : ; N . Äëÿ íàõîæäå-íèÿ Un+1N èñïîëüçóåì ãðàíè÷íîå óñëîâèåD(tn+1)3Un+1N � 4Un+1N�1 + Un+1N�22hL� = �b(tn+1)(Un+1N )2:Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ Un+1N ñîâïàäàåò ñ ïðèâåäåííûì âûøå.9. ÀË�Î�ÈÒÌ ×ÈÑËÅÍÍÎ�Î �ÅØÅÍÈß�àññìàòðèâàåì êðàåâóþ çàäà÷ó ÒÄÑ-äåãèäðèðîâàíèÿ èç ï. 7 âïåðåìåííûõ (t; x).1. Îïðåäåëÿåì íà÷àëüíûå äàííûå (x) � u(0; x). Äëÿ ýòîãî íà-õîäèì çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè u0 = u(0; 1), èñïîëüçóÿ ïðè t = 0ãðàíè÷íîå óñëîâèåD(TL)L� � �u�x ���x=1 = �b(TL)u2(t; 1); TL(t) = T0 + vt;

Page 194: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

194 Í.È. �îä÷åíêîâàè íà÷àëüíîå ãèïåðáîëè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ( (0; r) = A+B=r) (x) � u(0; x) = L0u0 � �u�0L0 � �0 + L0�0(�u� u0)(L0 � �0)[�0 + x(L0 � �0)℄ ; �u = � < Q:Ïîëó÷àåòñÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ñ ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì u0:u20 + D(T0)�0b(T0)L0(L0 � �0) u0 � D(T0)�0�ub(T0)L0(L0 � �0) = 0:2. Âû÷èñëÿåì íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðàíèöû _�0 = _�(0)èç óñëîâèÿ Ñòå�àíà�Q� �u� _�0 = D(T (0; 0))L0 � �0 0(0); 0(0) = �L0(�u� u0)�0 :Çäåñü êîý��èöèåò äè��óçèè ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé �óíêöèåé îò_�0. Íàïîìíèì, ÷òî òåìïåðàòóðà T (t; r) = AÆ(t)+BÆ(t)=r â ïåðåìåí-íûõ (t; x) èìååò âûðàæåíèåT (t; x) = TL(t)+{�2 _�(L��)(1�x)[L(�+x(L��))℄�1; TL(t) = T0+vt:Ñëåäîâàòåëüíî, T (0; 0) = T0 + { _�0�0(L0 � �0)=L0 � f0( _�0). Ñ ó÷åòîìàððåíèóñîâñêîé çàâèñèìîñòè D(T ) äëÿ _�0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå_�0 = � L0(�u� u0)(Q� �u)(L0 � �0)�0 D0 exp��ED=[Rf0( _�0)℄:Ýòî çàäà÷à î íåïîäâèæíîé òî÷êå ( _�0 = F0( _�0)).  �èçè÷åñêè ðå-àëüíîì äèàïàçîíå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (ï. 10) îíà ý��åêòèâíî ðå-øàåòñÿ ìåòîäîì ïðîñòîé èòåðàöèè.3. Âû÷èñëÿåì �1 = �0+ � _�0 è çíà÷åíèå L1 � L(�) èç (1� )��30��31� = L30 � L31. Íà îòðåçêå r 2 [�1; L1℄ îïðåäåëÿåì òåìïåðàòóðóT (�; r), èñïîëüçóÿ â âûðàæåíèè BÆ(�) = { _�1�21 âìåñòî íåèçâåñòíî-ãî ïîêà _�1 íà÷àëüíîå çíà÷åíèå _�0.  ïåðåìåííûõ (t; x) ïîëàãàåìT (�; x) = TL(�) + {�21 _�0(L1 � �1)(1� x)L1[�1 + x(L1 � �1)℄ ; x 2 [0; 1℄:4. Íåÿâíûì ìåòîäîì íà ñëîå t = � ðåøàåì äè��óçèîííóþçàäà÷ó.5. Çíàÿ ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ãðàäèåíòà êîíöåíòðàöèè ~ r � r(�; �1), ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðàíèöû (óñëîâèåÑòå�àíà) [Q � � ℄ _�1 = D(T (�; �1))~ r âûðàæåíèå òåìïåðàòóðûT (�; �1) ÷åðåç ïåðåìåííóþ _�1 â ñèëó ñîîòíîøåíèéAÆ(�) +BÆ(�)=L(�) = TL(�); BÆ(�) = { _�1�21:

Page 195: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�àçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÒÄÑ-ñïåêòðà 195 ïåðåìåííûõ (t; x) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ _�1:[Q� �u℄ _�1 = D(f1( _�1))L1 � �1 � ~ux; ~ux � �u�x ���x=0;f1( _�1) � TL(�) + {�1 _�1(L1 � �1)L�11 . Çàäà÷ó _�1 = F1( _�1) ðåøàåìïðîñòûìè èòåðàöèÿìè, _�0 � íà÷àëüíîå çíà÷åíèå (� << 1).6. Âîçâðàùàåìñÿ ê ïóíêòó 3, ãäå ìû âûíóæäåíû áûëè èñ-ïîëüçîâàòü âìåñòî _�1 çíà÷åíèå _�0. Òåïåðü óæå â BÆ(�) = { _�1�21ïîäñòàâëÿåì òåêóùåå ïðèáëèæåíèå _�1 è ïåðåõîäèì ê ïóíêòó 4.Òàêèõ èòåðàöèé öåëåñîîáðàçíî ñäåëàòü íåñêîëüêî. Äëÿ áîëåå ãðó-áûõ ðàñ÷åòîâ ýòîò ïóíêò àëãîðèòìà ìîæíî îïóñòèòü.7. Ïåðåõîäèì íà ñëåäóþùèé âðåìåííîé ñëîé t = 2� è äåé-ñòâóåì àíàëîãè÷íî 3�6: �2 = �1 + � _�1 è ò. ä. Êðèòåðèåì îñòàíîâêèñëóæèò �(t�) � 0 (� < L0=10).8. Ïåðåõîäèì ê ýòàïó äåãàçàöèè ìåòàëëà ñ ðàñòâîðåííûì H .10. ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÅ ÝÊÑÏÅ�ÈÌÅÍÒÛÁóäåì îðèåíòèðîâàòüñÿ íà ìîùíóþ âàêóóìíóþ ñèñòåìó, ïðå-íåáðåãàÿ âîçâðàòîì íà ïîâåðõíîñòü äåñîðáèðîâàâøåãîñÿ âîäîðî-äà (�sp � 0). Íà ðèñóíêàõ, èëëþñòðèðóþùèõ âëèÿíèå ðàçëè÷-íûõ êèíåòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, èçîáðàæåíû ãðà�èêè ïëîòíîñòèäåñîðáöèè J(t) = b(T (t)) 2(t; L) ïðè ëèíåéíîì íàãðåâå. Çíà÷åíèÿïàðàìåòðîâ ñîîòâåòñòâóþò óáûâàíèþ ìàêñèìóìà. Îñòàëüíûå ïà-ðàìåòðû, îáùèå äëÿ âñåõ ãðà�èêîâ, áåðóòñÿ èç òàáëèöû:b0 = 7 � 10�10 m4=s Eb = 145KJ Q = 4 � 1022 m�3 _T = 0:3K/sD0 = 8 � 10�3 m2=s ED = 50KJ L0 = 5 � 10�3 m � = 0:15T (0) = 400K = 0:75 � = � �Q { = 105Êðóæêîì îòìå÷àåòñÿ ìîìåíò îêîí÷àíèÿ ðàñïàäà ãèäðèäà. �àñïðå-äåëåíèå ÷àñòèö ïî ðàäèóñàì íîðìàëüíîå: ñðåäíèé ðàäèóñ ÷àñòè-öû �L = 5 � 10�3 m, � = 10�3 m. Ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèèèñïîëüçîâàëñÿ äèñêðåòíûé íàáîð èç 10 ðàäèóñîâ.Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåí ãðà�èê çàâèñèìîñòè J îò òåêóùåé òåì-ïåðàòóðû T = TL(t) (TL(t) $ t) è ìàñøòàáèðîâàííûå êðèâûåL � maxJ=[1:5maxL ℄, � � maxJ=[2max � ℄. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíû ãðà-�èêè J(T ) (Eb = 150). Èçìåíåíèÿ ïî óáûâàíèþ ìàêñèìóìà:L0 = Lmax = 8 � 10�3; ñ ðàñïðåäåëåíèåì ÷àñòèö ïîðîøêà ïî ðàäèó-ñàì; L0 = 5 � 10�3; L0 = Lmin = 2 � 10�3. �èñ. 3 ïîêàçûâàåò, ÷òî Eb

Page 196: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

196 Í.È. �îä÷åíêîâàñóùåñòâåííî âëèÿåò íà äèíàìèêó ïîòîêà, ìåíÿåòñÿ âèä êðèâîé.Âàðèàöèè: Eb = 170; 150; 140. �èñ. 4 îòðàæàåò âëèÿíèå ýíåðãèè àê-òèâàöèè êîý��èöèåíòà ðàñïàäà ãèäðèäà Ek (k0 = 5 � 10�5). Âàðèà-öèè: Ek = 5; 10; 15. ×åì ìåäëåííåå äè��óçèÿ (ðèñ. 5, 6, { = 106),òåì íèæå è áîëåå ñìåùåí âïðàâî ãðà�èê. �èñ. 7 èëëþñòðèðóåòâëèÿíèå ñêîðîñòè íàãðåâà. �èñ. 8 îòðàæàåò çàâèñèìîñòü ãðà�èêàïëîòíîñòè äåñîðáöèîííîãî ïîòîêà îò êîý��èöèåíòà ñæàòèÿ.Òàêèì îáðàçîì, âàðèàöèè ïàðàìåòðîâ íàõîäÿòñÿ â ñîîòâåò-ñòâèè ñ �èçè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè è ìîäåëü ìîæåò áûòü èñ-ïîëüçîâàíà äëÿ èäåíòè�èêàöèè êèíåòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ äåãèä-ðèðîâàíèÿ êîíêðåòíûõ ìàòåðèàëîâ.400 500 6000

0.4

0.8

1.2

1.6

2x 1017

T, C

J

L ρ

�èñ. 1. �ðà�èêè J , L, �. 400 500 6000

1

2

3x 1017

T, C

JL

max = 8⋅ 10−3

J for Lmean

L = 5⋅ 10−3

Lmin

= 2⋅ 10−3

�èñ. 2. �àñïðåä-å ïî ðàäèóñàì.400 500 6000

1

2

3

x 1017

T, C

J

Eb =

170150140

�èñ. 3. Âëèÿíèå ïàðàìåòðà Eb. 400 600 8000

4

8

12

16x 1016

T, C

JE

k =

51015

�èñ. 4. Âëèÿíèå ïàðàìåòðà Ek.

Page 197: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

�àçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÒÄÑ-ñïåêòðà 197

400 500 6000

1

2

x 1017

T, C

J

D0 =

11⋅ 10−3 8 ⋅ 10−3 4 ⋅ 10−3

�èñ. 5. Âëèÿíèå ïàðàìåòðà D0. 400 600 8000

0.6

1.2

1.8

x 1017

T, C

J

ED

= 506070

�èñ. 6. Âëèÿíèå ïàðàìåòðà ED .400 500 6000

0.6

1.2

1.8

x 1017

T, C

JdT

L−− = dt

0.30.20.1

�èñ. 7. Âëèÿíèå ñêîðîñòèíàãðåâà. 400 500 6000

0.6

1.2

1.8

x 1017

T, C

J

γ = 0.70.80.95

�èñ. 8. Âëèÿíèå êîý��èöèåíòà .Ëèòåðàòóðà1. Çàèêà Þ.Â., �îä÷åíêîâà Í.È. Ìîäåëèðîâàíèå ÒÄÑ-ñïåêòðà äåãèäðèðîâàíèÿ ñó÷åòîì ñæàòèÿ è òåïëîïîãëîùåíèÿ // Îáîçðåíèå ïðèêëàäíîé è ïðîìûøëåí-íîé ìàòåìàòèêè, 2005, ò. 12, âûï. 4, ñ. 957�960.2. Lufrano J., Sofronis P., Birnbaum H.K. Elastoplasti ally a omodated hydrideformation and embrittlement // Journal of the Me hani s and Physi s of Solids,1998, v. 46, pp. 1497�1520.3. �àáèñ È.Å. Ìåòîä êîíöåíòðàöèîííûõ èìïóëüñîâ äëÿ èññëåäîâàíèÿ òðàíñïîðòàâîäîðîäà â òâåðäûõ òåëàõ // Æóðíàë òåõíè÷åñêîé �èçèêè, 1999, � 1, . 99�103.4. Castro F. J., Meyer G. Thermal desorption spe tros opy (TDS) method forhydrogen desorption hara terization (I): theoreti al aspe ts // Journal of Alloysand Compounds, 2002, v. 330�332, pp. 59�63.

Page 198: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

198 Í.È. �îä÷åíêîâà5. Gabis I., Voit A., Evard E., Zaika Yu., Chernov I., Yartys V. Kineti s of HydrogenDesorption from Powders of Hydrides of Metals // Journal of Alloys andCompounds, 2005, v. 404�406, pp. 312�316.6. Zaika Yu. V., Chernov I. A. Nonlinear dynami al boundary-value problemof hydrogen thermal desorption // International Journal of Mathemati s andMathemati al S ien es, 2003, � 23, pp. 1447-1463.7. Çàèêà Þ.Â., ×åðíîâ È.À. Êðàåâàÿ çàäà÷à ñ äèíàìè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëî-âèÿìè è äâèæóùåéñÿ ãðàíèöåé // Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, 2004, ò. 16,� 4, ñ. 3�16.

Page 199: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

������������ ���������������������� �"!$#&%('*),+-+-.

/�02143�576 8 9-:(%('�3�5;%(8 6(%-%

4<>=@?BA&��C<ED2�����?GFC�H<E�I<E ��J�?LKC���MN<E�C�I<EOP?Q���RDSA&?LKC�I<E T�H<E ��HA&?Q�HKC?4�L?LKC��U�VCA&���������L?BA&&W

XZY\[�Y�]B^�_`_ba�^ ced�fbXZY ghY\]Qi*j�a�i\k�i\cl�m7nporq"m7sut�vQwbmpx�suy"zQx({"t�v|w`{"}(spnp~,m|�2{"��q-���,�(q(v$�7y(sut"{(�Ly(spnut"���w`{Eq"spnu�-q"n�v|w`{*�"l�m�y"�,}(sut"��m|�(o7{(w\v$y"z7t"��s��,�(q(v$�7y(sut"{(�L�,}�v|npo7�t"{(~,m|��{"��q-����l�q"m|�rs�x�sut(mL}"{(n�y(sut"t(m7s�wbmpx�suy"{(q"m|�;v$t"{(s�x(y(�2��v$�q(v|wbsporq"m|�"���(m�y"�,}(sut"t"�����(mhx v$t"t"��w�npo$v|o7{(npo7{(~-{��(m���spnu�"�-�|�y"{(~-{2��v|q"suy"{"{*�

5-8 g>c*^(j�^ k�a�^�>�|� ���@�|�"!$�;���,�e!$�,�-�"� � �"!$�|�,�,¡e�|¢e�¤£7�r���r¥e�E�(�-�$¡e¦ ¥ �|¢ ¦�§I£7�&57+E¡e�|���e�-!�¨

¥ �|�,¢ �-©�¡e�7!$�"!$�|# ¦��>)��e�,£7� 8r1L�,# ¦e���-ª-�e�,£|�"�Z«|�|�B� � �-ª,¡e�7�������r¬2�|�Bª-���,­B� �$¨® �|¢e�"¯�°��±� � ���e¡*�,�u�,�7�Z�,�|�-� �|�,¦ #(�;²(¦ �|� �-�-�-©Q� �7�e³"�7��#L� � ® �|¢ ¦ ´C'r��¦e���|¢ ¢ �¦e!|!u¡e���*�-�7�µ�*¦ ¢e�-��¦ ¥ �7!$# �(´¶¦ �|� �E�*�-�"³�¡e¦ ·b8*�¸¦ �|� �L�(¥e�-!$�,�-�-�|�2· �|¢ �,��¹º�|�,¨!$�;���,�e!$�,�-�(»�'(#(�-�,�-� �-�B� �|�|�,¡e¦ � �-�|�C�(� �-�-�|¢ ­C¢e�;¡e�-�|�-�C¦�¦ �|� �-#±¹º� � ���*� � ¦ ¢ ¦�¨���,�,�$¡e­(»�'-#(�-�,�-� ��©E�-#�¡*�r�*���"�,�|�>¥e�-!$�,­�!$�-�-�|©h� � ¦ ª-��¡e¦¤�L�e�,£|�-¦ �,¦ ��¡e�7!$¢ �-©�-�,�e�-!u¡e¦b8

)�8�¼ ^ei\½ ^�_ba�¾\i�¿�a�À"½ei\cedbÁ�ÂQi*j�^(Ã�ĵib_b½"dbÅ Ã�a�>�"!$�,­ZÆ�ǺÈ�É�²&�-ª-Êb�7�Ë£7�,�|�-�,�-�-�-#&�����"���|¢ �H�-� �7���|¢ ¦@È�8\�>� ���*� � ¦ ¢ ¦e���;¨

�,�$¡e­I¦e���|�|�&�-�-£7���r¬E¢ �"!$�,­H� � �-¦ £|�-�7�*¦ �,­��,� ¦Ì�-¦(���H� � �7�*�(# · ¦ ¦bÍ�# � �(�p¡e��©¡e�7!,'*� ¦�¡e�"���,�,�|� ¦e�;¡e�¶¦I· �$¡ ¡e´�¡e�-£|¢ �;²Zª-�����;¬E¢e�;§�� � �7�*�(# · ¦�§b8�Î\�,# ¦e�Ë�-ª,¨�e�,£|�"��'��-¢µ�*�$¡e¦ �&�*�-ª-���"�,�7���-��!$��� ­-�Z¢e�I�,� ¦ ¥e�-!$�,¦bÍ�Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�'�Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�ÉC¦Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É�'*�u�*��Ï`ǺÈ�É�'eÑ�ǺÈ�É�²¤�|�|�h�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦�§b8

�>� ¦ ª-��¡e­e'(� �r¡e�(¥e�,�7���;§�¦ �|� �-#(�"���E���"���|¢ �E�-� �7���|¢ ¦ZÈ�' ¦e���|�|�E�-¦(�Ô�ǺÈ�ÉÖÕØ×(ÇÚÙ7Û$Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�Ù$Ý7Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�Ù$Þ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É�É$Ç�ÒBÓ@ß$à(ǺÈ�É�É�Ó

Óâá,Û�Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ó±árÝ|Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ó±árÞ,Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�Épã(Ç�Ò�Ó@ßbǺÈ�É�É�ä

åæèç�é;ê�é;ë�ì�í$í$îrì�ï$ð7ñrç�é ò�é;ë�ó�ô;îró�õró�ïrñ,ö�÷�÷�ø

Page 200: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ������� ������������������� ���� ������� ��� ��u�*�QßbǺÈ�É�²E¢e�;¡e�-�B¢e�L�*�-ª"�,�,¡e�|¢ ¢ �(´ !$�,�-¦e���"!$�,­e'(ß$à(ǺÈ�É�²E¢e�;¡e�-�B¢e�C� � ¦ ª-��¡e­e'Ù"! ²�· �|¢ ��� � �7���;¬E¦C���*¦ ¢ ¦ · �Ì�|�-�,�-�-�-©�� � �7�*�(# · ¦ ¦2� �Q�-¦(���-��';á ! ²�£7�,�,�e�,�,�¢e�2� � �-¦ £|�-�7��!$�,�-�2���*¦ ¢ ¦ · � � � �7�*�(# · ¦ ¦H� �h�-¦(���-� ¹$#�Õ¶Ò-ä�%�ä�&"»�8

�>� ¦e���7��'�¥ �,�&�-�,¢ � ® �|¢ ¦ �¤�-ª-Êb�7���H£7�,�|�-�,�-�-�-#±¢e� ® �,�|�EÈ�Ü('CÈL#µ�-ª-Ê`¨�7���E¢e� ® �,�|�QÈ�'(�e�,�-¢ �C�-�,¢ � ® �|¢ ¦ ´ £7�,�,�e�,�r'(#(�-�,�-� ���Q� � ® ¡e¦¤¢e�C£7�,�|�-�,�-�-# �¡e�7!|�µ¢e� ® �,�|��È�Ü)'CÈE#¸£7�,�,�e�,�|�-� ¢e� ® �,�|�&È�8��>� ¦¸«|�,�"�G!$¥ ¦ �|�,�7��'�¥ �,�� � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡e­I�-�|���,�|�+*�ǺÈ�ÉL� � �-· �|¢ �,�-�&!$�-�-�|©±� � ¦ ª-��¡e¦µ¢e���e�,£|�-¦ �,¦ �� � �-¦ £|�-�7��!$�,�"� '(�,�-�u���

Æ�ǺÈ\Ü,'CÈ�ÉÆ�ǺÈ�É Õ á,ÛpÆ�ǺÈ�É\Ü-*�ǺÈ�É�Ô�ǺÈ�É

á,ÛpÆ�ǺÈ�É 'CÈ�./ �,# �;���2� �r¡e�(¥ ¦e�±�*¦ ¢e�-��¦ # ���e�,£|�-¦ �,¦�§Z�-ª-Êb�7���-�2£7�,�|�-�,�-�-�-#

Æ10 ǺÈ�É�Õ *�ǺÈ�Éá,Û ×(ÇÚÙ7Û�Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ü�Ù$Ý7Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�Ù$Þ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É�É$Ç�ÒBÓ@ß$à(ǺÈ�É�É�Ó

Ó�á,Û�Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ó±árÝ|Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ó±árÞ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�Épã(Ç�Ò�Ó@ßbǺÈ�É�É�ä�Æ�Ç32"É�Õ�Æeà .4>�|� �-#4£7�,¦ ¢ �,�|� �7!$�-�"�,¢4�����,#�!$¦e��¦ £7�,· ¦ ¦G!$�-�-�|©4� �|¢ �|�,ª-�$¡e­-¢ �"!$�,¦ ¢e�

� � �"���$¬E�(�,#(�65 2 ä87:9 8�;��(¢ # · ¦ �-¢e�;¡��-��¦ �|� � ® �C¦ �|� �-#-�2¦e���|�|�E�-¦(�

<7Û�Õ>=-?à Ç�Ò�Ó@*�ǺÈ�É�É�Ô�ǺÈ�Éá,Û$Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�árÝ|Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ü�árÞ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü-*�ǺÈ�É�Ô�ǺÈ�É .

�>� ¦ ª-��¡e­e'7� �r¡e�(¥e�,�7���;§C�|�"!$�;���,�e!$�,�-�"�H�L���"���|¢ �Q�-� �7���|¢ ¦2È�';¦e���|�|�>�-¦(�A ǺÈ�É�ÕËß$à(ǺÈ�É$ÇÚÙ7Û|Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�Ù$Ý7Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�Ù$Þ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É�ÉuÜÜBßbǺÈ�Ép×(ÇÚÙ7Û$Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ü�Ù$Ý|Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ü�Ù$Þ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É�É$Ç�ÒBÓ@ß$à"ǺÈ�É�É�ÓÓ�á,Û�Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ó±árÝ|Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ó±árÞ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�Épã�ܵß"BºÆ�ǺÈ�É�ÓDC Æ�ǺÈ�É�ä

�u�*�>ß"B\²¤��¡*�,�|�h£7�C¡e�7!,'�C¸²(£7�,�,�e�,�,� ¢e�C¡e�7!$¢ �-�Q³"�-£$§ ©e!$�,�-�e8E(�"!$�;���,�e!$�,�-�&�e�,�e�;¡ ¡e�$¡e­-¢ �@!�� � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡e�7�¶�*�r¡ ¬E¢ �I�-���*�$¡ § �,­�*�|¢ ­-�|¦C¢e���e�,£|�-¦ �,¦ ��¡e�7!$¢ �-�|��³"�-£$§ ©e!$�,�"� '|� �"!$�,­Q�-¢ �����,�|�B¥e�-!$�,­>!$�-�-�|©�� � ¦�¨ª-��¡e¦GF�ǺÈ�É A ǺÈ�É�8(�>� ¦ ¥ �7�I�-#�¡*�r�*�µ�*�-�"³2¦ �|� �-#(�-���*�r¡ ¬E¢ ��!$�-�-�,�-�|�-!$�,�-�-�"�,�,­�*� �(�Q�*� �(�|�-' �2¦e���|¢ ¢ �2�*�r¡ ¬E¢ �h�-��� �r¡e¢�§ �-!u§H!$�-�-�,¢ � ® �|¢ ¦ �

*�ǺÈ�É�Ô�ǺÈ�Éá,Û Õ F�ǺÈ�É A ǺÈ�ÉC .

/ �,# �;���2�-���e�,£|¦e�,*�ǺÈ�É�Õ F�ǺÈ�É A ǺÈ�É�á,ÛC Ô�ǺÈ�É 8

Page 201: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� ��� ������� � ��� ����������� ��� ������ ������ � �������������� ������>� ¦e���7��'�¥ �,�±�|�"!$�;���,�e!$�,�-�I�|�,#�¬2��£7�,¦ ¢ �,�|� �7!$�-�"�,¢ �I�µ���,#�!$¦e��¦ £7�,· ¦ ¦

!$�-�-�|©�� �|¢ �|�,ª-�$¡e­-¢ �"!$�,¦b8;Î\�,# ¦e�&�-ª-�e�,£|�"��'|� �r¡e�(¥e�,�7���>�(¢ # · ¦ �-¢e�;¡C�-��¦ �|� ��¨® �2�|�"!$�;���,�e!$�,�"�C�-¦(���

<$ÝBÕ>=-?à Ç�Ò�Ó F�ǺÈ�É�É A ǺÈ�ÉC Æ�ǺÈ�É\ÜDF�ǺÈ�É A ǺÈ�É Õ������� . �(¥ �|�,�"��!$�-�-�,¢ � ® �|¢ ¦�§±�e¡ § *�ǺÈ�ÉC� �|� �|� ¦ ® �7�!�>�(¢ # · ¦ ´S�-��¦ �|� � ® �

� � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡ §�#-�,#bÍ<7Û�Õ#" ?à C Ô�ǺÈ�É�Ó F�ǺÈ�É�á,Û A ǺÈ�ÉC ÇÚá,Û�Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ü�árÝ|Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�árÞ-Ç�Ò�Ó�Ï`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É�É�ÜDF�ǺÈ�É�á,Û A ǺÈ�É<7Û�Õ�������>ä¦H�(�e�,�-¢ �|¢ ¦ �B�*¦ ¢e�-��¦ # ¦H¦e���|�|�h�-¦(��Í

Æ10 ǺÈ�É�Õ *�ǺÈ�Éá,Û Ô�ǺÈ�É�Õ F�ǺÈ�ÉC A ǺÈ�É�äHÆ�Ç32"É�ÕËÆeà .

�>� ¦e���7��'�¥ �,��¢e�;¡e�-�C¢e�¤� � ¦ ª-��¡e­�ß$à��>¦ #�!$¦ � �-�"�,¢b' �,�-�u���¤�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦�§�|�"!$�;���,�e!$�,�"��¨�«|�,�EßbǺÈ�É�¦ F�ǺÈ�É�'��2�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦�§H� � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡ §H²HÏ`ǺÈ�É�¦Ñ�ǺÈ�É�8 $

�-!B¦ ¢ �,�|� �7!$�-�|�h�-� �,¦e���;¡e­-¢ �-�>� �$« ® �¤� � ® �|¢ ¦ �-'e�2¦e���|¢ ¢ �2²

Ǻß&%-ǺÈ�É�ä8F'%-ǺÈ�É�äpÏ(%-ǺÈ�É�äuÑ)%,ǺÈ�É�É�' �|�,# ¦ �L¥ �,�* <7Û,Ǻß&%,ä8F'%,äpÏ(%räuÑ)%|É,+ <7Û,Ǻß&%,ä8F'%;äpÏ�äuÑ É�ä.-bÏBä Ñ�ä<$Ý"Ǻß&%,ä8F'%;äpÏ(%;äuÑ)%|É,+ <$Ý"Çºß ä8F�äpÏ(%;äuÑ)%$É�ä,-�ß>ä�F.0�¡ §�� � ® �|¢ ¦�§�¦e!$� �r¡e­-£|�-�7�Z� � ¦ ¢ · ¦ �2���,#�!$¦e�������B�>�-¢ �,�"§ �|¦ ¢e� 8/`�0�>¦ #�¨

!$¦ � �-�7� �(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ �Z¦ �|� �-#-�˹º� � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡ §*»�8�Îb�-�u���@E��-��¦�¡e­;�,�-¢ ¦e�,¢�e¡ §H· �|¢ �,�e��¹º�|�"!$�;���,�e!$�,�"�"»�¦e���|�|�h�-¦(�

ÔhÝBÕ Ç�Ò�Ó F�ǺÈ�É�É A ǺÈ�ÉC Æ�ǺÈ�É\ÜDF�ǺÈ�É A ǺÈ�É Ü21eÝ FC A ǺÈ�É�.3�� ® �;§H!$¦e!$�,�7��� 45 687 ÔhÝ7 F Õ 2

7 ÔhÝ7 ß Õ 2� �r¡e�(¥ ¦e�Ì�-� �,¦e���;¡e­-¢ ���>�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦�§H!u¡e���*�(´�9C�|�|�2�-¦(���

ß % ǺÈ�É�Õ ß$à�:�Ù�ܵß"B`ÓDCÓ�Ç�Ò�Ó@ß$àrÉ;:�Ù�Ü�á,Û$Ï`ǺÈ�ÉbÜ�árÝ|Ñ�ǺÈ�É\Ü�árÞ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�É ä

�u�*�<:�Ù�Õ¸Ù7Û$Ï`ǺÈ�É\Ü�Ù$Ý|Ñ�ǺÈ�ÉbÜ�Ù$Þ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�É�'F % ǺÈ�É�Õ Ò1eÝ-ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ó Ò .

Page 202: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

��� � ������� ������������������� ���� ������� ��� �/B�e�,�-¢ �|¢ ¦ �B�e¡ § 1eÝ>� �r¡e�(¥e�,�7�Ì!$�-�p¡*�-!$¢ �2� � ¦ ¢ · ¦ � �Z���,#�!$¦e�������

1 0Ý Õ Ó 7 ÔhÝ7 Æ Õ Ó�1eÝ FC 7 A7 Æ .

�>�|¢ �,��£7�,¦ ¢ �,�|� �7!$�-�"�,¢H�¤�(�-�$¡e¦ ¥ �|¢ ¦ ¦��-���e�,ª-�-�,# ¦Z¡e�7!|�h�ZÏZ�e�,£�¹º�Z¢e�-!Ï¸Õ %-»�'�� �-«|�,�"�����"!u¡e�-�-¦ �Z�,�e�,¢e!$�-�|�e!|�;¡e­-¢ �"!$�,¦µ�e¡ §�!$�-� �"§�¬2�|¢ ¢ �-© � �|� �$¨���|¢ ¢ �-©H¦e���|�|�h�-¦(� 1eÝ"Ç$7QÉ�Õ��¦&� � ¦&�-��� �r¡e¢ �|¢ ¦ ¦����(2 '*�,�r¬2�*�7!$�,�-���;Ç Ï(Æ�Ç32"É�ÓµÆ�Ç$7QÉ�É�Õ 2¤�-��� �r¡e¢�§ �|�-!u§� � ¦HÆ�Ç$7QÉ�Õ Ï(Æ�Ç32"É>¹º£7�,# � �|��¡e�|¢ ¢ ��©H#(�-¢ �|·*»�8

�>�7��!$�|�,�,¡ §�§L¢e�,©(�*�|¢ ¢ �-��ß&%-ǺÈ�Éb� �r¡e�(¥ ¦e��'7¥ �,�Q� � ¦ ª-��¡e­B�|�"!$�;���,�e!$�,�"��¢ �"¨¡e�|�"�;§ A ǺÈ�É�Õ>2 8eÎ\�,# ¦e���-ª-�e�,£|�"��'�� �r¡e�(¥ ¦e��' ¥ �,�¤Æ 0 ǺÈ�É�Õ(2 ' �r8 �-8*Æ�ǺÈ�É�Õ Æeà-'¥ �,�Q� � �-�,¦ �-�-� �|¥ ¦ �B� �"!$�|�,�,¡e�|¢ ¢ �-©L£7�r���r¥ �-8r�>�-«|�,�"���L����£7�0�>¦ #�!$¦ � �-�7�Z� 9C�¦hßh#-�,#h�e�,�e�-���|�,�h£7�r���r¥ ¦b8,Îb�-�u���>�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ ���|�"!$�;���,�e!$�,�"�B�,�r¡e­-#(��²�F�ǺÈ�É�8 ¢ �-�"�C� � ® �,�7���(�e�,�-¢ �|¢ ¦ �

7 ÔhÝ7 F Õ 2

¦H� �r¡e�(¥ ¦e���-� �,¦e���;¡e­-¢ ���L�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦�§H!u¡e���*�(´�9C�|�|�2�-¦(���F'%Û ÇºÈ�É Õ C

Ǻß�ß$àBÓ@ß$à�Ó@ßeÉ;:�Ù�ܵßbÇÚá,Û|ÏLÜ�árÝ|ÑeÜ�árÞ-Ç�Ò�ÓµÏ2 É�É�Ó@ß"BeÜ,C Ü

Ü � Ç)1eÝ$Æ�C Ç�Ǻß2ܵß$à�Ó@ß�ß$à;É;:�Ù�Ó@ßbÇÚá,Û$Ï�Ü�árÝ|Ñ ÜÌárÞ,Ç�Ò�ÓµÏC É�Ébܵß"B ÉÆ 1eÝ"Ç�Ǻß�ß$àQÓ@ß$à�Ó@ßeÉ;:�Ù�ܵßbÇÚá,Û$Ï�Ü�árÝ|ÑeÜ�árÞ,Ç�Ò�ÓµÏC É�É�Ó@ß"B*Ü,C¶É ä

F'%Ý ÇºÈ�É Õ CǺß�ß$àBÓ@ß$à�Ó@ßeÉ;:�Ù�ܵßbÇÚá,Û|ÏLÜ�árÝ|ÑeÜ�árÞ-Ç�Ò�ÓµÏ2 É�É�Ó@ß"BeÜ,C Ó

Ó � Ç)1eÝ$Æ�C Ç�Ǻß2ܵß$à�Ó@ß�ß$à;É;:�Ù�Ó@ßbÇÚá,Û$Ï�Ü�árÝ|Ñ ÜÌárÞ,Ç�Ò�ÓµÏC É�Ébܵß"B ÉÆ 1eÝ"Ç�Ǻß�ß$àQÓ@ß$à�Ó@ßeÉ;:�Ù�ܵßbÇÚá,Û$Ï�Ü�árÝ|ÑeÜ�árÞ,Ç�Ò�ÓµÏC É�É�Ó@ß"B*Ü,C¶É ./`�0�>¦ #�!$¦ � �-�7�±�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ �Q· �|¢ �,�e� 8�E��-��¦�¡e­;�,�-¢ ¦e�,¢�¦ �|� �-#-�C¦e���|�|�h�-¦(�

Ô¤Û Õ C Ô�ǺÈ�É�Ó F�ǺÈ�É�á,Û A ǺÈ�ÉC ÇÚá,Û$Ï`ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É�Ü�árÝ|Ñ�ǺÈ�ÉÐÆ�ǺÈ�É\Ü�árÞ-Ç�Ò�ÓµÏ`ǺÈ�É�Ó±Ñ�ǺÈ�É�ÉÐÆ�ǺÈ�É�É�ÜDF�ǺÈ�É�á,Û A ǺÈ�É ÜÜ 1�Û FC A ǺÈ�É�.3�� ® �;§H!$¦e!$�,�7��� 7 Ô¤Û7 Ï Õ 27 Ô¤Û7 Ñ Õ 2

� �r¡e�(¥ ¦e�I�*�-�Q�e�,� �Ë�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ ©h²�Ç Ï(%Û ÇºÈ�É�äuÑ)%Û ÇºÈ�É�É�¦IÇ Ï(%Ý ÇºÈ�É�äuÑ)%Ý ÇºÈ�É�É�8��>� ¦ �-���*�7��7�*¢ �¤¦ £L¢ ¦�³`'��r8 #b8e�-���e�;¬2�|¢ ¦�§¤�e¡ §Z�-�,�-� �-©Z�e�,� � !u¡e¦ ® #(�"��ª-�r¡e­ ® ¦ �-8

Page 203: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� ��� ������� � ��� ����������� ��� ������ ������ � �������������� �����

Ï %Û ÇºÈ�É�Õ Ç�Ò�Ó@ßeÉ$Ç�Ò�Ó@ß$à;É�á,Û;ÇÚÙ$Þ�Ó±Ù$Ý7É F�Ç C Ó@ß"B É\ÜDFbßbÇ C Ó@ß"B É�á,Û;ÇÚárÞ�Ó±árÝ7ÉÇ C Ç�Ò�Ó@ß$à;É$Ç�Ò�Ó@ßeÉ�Ó±á,Û�FbßeÉ$ÇÚÙ7Û-ÇÚárÝ�Ó±árÞ7É�Ó±Ù$Ý"ÇÚá,Û�Ó±árÞ7É\Ü�Ù$Þ-ÇÚá,Û�Ó±árÝ|É�É Ü

Ü ÇÚÙ$Þ7árÝ�Ó±árÞ|Ù$Ý7É$Ç$Fbß á,Û�ÓDC Ç�Ò�Ó@ßeÉ$Ç�Ò�Ó@ß$à;É�ÉÇ C Ç�Ò�Ó@ß$à;É$Ç�Ò�Ó@ßeÉ�Ó±á,Û�FbßeÉ$ÇÚÙ7Û,ÇÚárÝ�Ó±árÞ7É�Ó±Ù$Ý-ÇÚá,Û�Ó±árÞ7É\Ü�Ù$Þ-ÇÚá,Û�Ó±árÝ7É�É ä

Ñ)%Û ÇºÈ�É�Õ Ç�Ò�Ó@ßeÉ$Ç�Ò�Ó@ß$à;É�á,Û;ÇÚÙ7Û�Ó±Ù$Þ7É F�Ç C Ó@ß"B ÉbÜDFbßbÇ C Ó@ß"B É�á,Û;ÇÚá,Û�Ó±árÞ7ÉÇ C Ç�Ò�Ó@ß$àrÉ$Ç�Ò�Ó@ßeÉ�Ó±á,Û�FbßeÉ$ÇÚÙ7Û-ÇÚárÝ�Ó±árÞ7É�Ó±Ù$Ý-ÇÚá,Û�Ó±árÞ7ÉbÜ�Ù$Þ"ÇÚá,Û�Ó±árÝ7É�É Ü

Ü ÇÚÙ7Û$árÞ�Ó±á,Û�Ù$Þ7É$Ç$Fbß á,Û�ÓDC Ç�Ò�Ó@ßeÉ$Ç�Ò�Ó@ß$à;É�ÉÇ C Ç�Ò�Ó@ß$à;É$Ç�Ò�Ó@ßeÉ�Ó±á,Û�FbßeÉ$ÇÚÙ7Û,ÇÚárÝ�Ó±árÞ7É�Ó±Ù$Ý-ÇÚá,Û�Ó±árÞ7É\Ü�Ù$Þ-ÇÚá,Û�Ó±árÝ7É�É ./B�e�,�-¢ �|¢ ¦ �B�e¡ § 1�ÛB� �r¡e�(¥e�,�7�Ì!$�-�p¡*�-!$¢ �C� � ¦ ¢ · ¦ � �H���,#�!$¦e�������

1 0 Û Õ¶Ó 7 Ô¤Û7 Æ Õ¶Ó�1�Û FC 7 A7 Æ ä 1�Û;Ç$7QÉ�Õ 2:.

02�;¡e�|��� �7��!$�|�,�,¡ § �7�Z¢e�,©(�*�|¢ ¢ �����-� �,¦e���;¡e­-¢ �����(� �e�,�,¡e�|¢ ¦�§L���-���e�;¬2�$¨¢ ¦�§Z�e¡ § F %Û ÇºÈ�É�¦ F %Ý ÇºÈ�É�¦�¢e�;³"�7�*¦e�Ì�-���e�;¬2�|¢ ¦�§¤�e¡ §�«|�,¦�³H�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ ©b'e¢ �!$�7�*�|�"¬�� 9C¦ �¤ÏI¦�Ñ�8b/B� �e�,�,¡e�|¢ ¦ ©±ª-�;�*�|���*�"� '`�-ª-�-£|¢e�r¥ ¦e�¸¦�³@�|�,#�¬2�F'%Û ÇºÈ�ɦ F'%Ý ÇºÈ�É�8�02�;¡e�|�H� �7��!$�|�,�,¡ § �7�4¢e�,©(�*�|¢ ¢ ���&!$�,�e�,�,�|�|¦ ¦Ë���-���e�;¬2�|¢ ¦�§��e¡ §Ç Ï %Û ÇºÈ�É�äuÑ %Û ÇºÈ�É�É�¦ÌÇ Ï %Ý ÇºÈ�É�äuÑ %Ý ÇºÈ�É�É�8�� ¦ �,�-�|��� �r¡e�(¥ ¦e� ¥ �|�,��� �C�-¦(���h�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ ©�-ª-�-¦�³L¦ �|� �-#(�-�e'r�B¦e���|¢ ¢ �h5r» F'%Û ÇºÈ�É�' Ç Ï(%ÛuÛ ÇºÈ�É�äuÑ)%ÛuÛ ÇºÈ�É�É�'-)-» F'%Ý ÇºÈ�É�' Ç Ï(%Ý�Û ÇºÈ�É�äuÑ)%Ý�Û ÇºÈ�É�É�':"» F'%Û ÇºÈ�É�' Ç Ï(%Û�Ý ÇºÈ�É�äuÑ)%Û�Ý ÇºÈ�É�É�'��(» F'%Ý ÇºÈ�É�' Ç Ï(%ÝuÝ ÇºÈ�É�äuÑ)%ÝuÝ ÇºÈ�É�É�8,�>�r¡e�(¥ �|¢ ¢ �����-���e�;¬2�|¢ ¦�§!u¡e�r¬E¢ �L'�� �-«|�,�"���¤£��*�7!$­h¢ �L� � ¦ �-�7�e§ �-!u§b8

: 8�� a�Å Ã�^ k�k�i\^IÂQi*j�^(Ã�a�½ei\ced\k�a�^°��7�*�$¡e¦ � �-�"�,¢ ¦ ��� � �-�-���*�|¢ �E�e¡ §±!u¡e���*�(´�9C¦�³&£|¢e�r¥ �|¢ ¦ © ¹º� �r¡e�(¥ �|¢ ¢ ��³

� �C���,¢ ¢ ��� !$�|�,�,¦e!$�,¦ # ¦�� ��3��7!$� �(ª,¡e¦ #(�L1L�,� �$¡e¦�§*»�ÍÙ7Û�Õ�����. ���äÙ$ÝBÕ(%�%� 2�. Ò���ä Ù$ÞBÕ &� ����. %���äá,Û�Õ��� ���. Ò��ä árÝBÕ(%�%���2�. �%�ä árÞBÕ & %����. ���äß$à>Õ 2�. %�ä ß�Õ 2�. %��ä ß"B\Õ & %�. 2��äC Õ����. ����ä Æ�Ç32"É�Õ��������2�2�äSÆ�Ç�Ò�2"É�Õ¶Ò���2�2�2�2�2�2:.

�>� ¦ �-���*�7�¶� � ¦e���|���e¡ §Ì� �|� �-�-©Ì�,� �-© # ¦Ì�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ ©b8�1L�,#Ì�-¦(�*¢ �@¦ £�-¦(���2�(� �e�,�,¡e�|¢ ¦ ©b'��-¢ ¦Z¢ �L£7�,�-¦e!u§ �2�-� 1�Û;ǺÈ�É�8e�>�-«|�,�"���¤� � ® �,�7� !$¦e!$�,�7����Í45 6 Æ 0 ǺÈ�É�Õ F�ǺÈ�ÉC A ǺÈ�É�äHÆ�Ç$7QÉ�Õ¶Ò���2�2�2�2�2�2�ä1 0Ý ÇºÈ�É�Õ Ó�1eÝ-ǺÈ�É F�ǺÈ�ÉC 7 A ǺÈ�É7 Æ ä�1eÝ-Ç$7QÉ�Õ�� .�>� ¦H«|�,�"���e�,�e�-���|�,� ���-� � ���*�$¡ § �|�-!u§H¦ £>�"!u¡e�-�-¦�§b'(¥ �,�EÆ�Ç32"É�Õ��������2�2 8

Page 204: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

����� ���������� � �������������� ������������������

/ � �,¦e���;¡e­-¢ �-��£|¢e�r¥ �|¢ ¦ ��Æ %,ǺÈ�Éb� � ¦ �-���*�|¢ �B¢e��� ¦e!,8 5-8 5B¹º�-ª-Êb�7�H£7�,�|�-�,�-�-�-#�-�-£|�e�-!$�|�,�|�L�C)>�e�,£7�"»�8

$�>� ¦e!,8*5-8 )Q� � ¦ �-���*�|¢ �Ë£|¢e�r¥ �|¢ ¦�§E!$� ���*¢ �|©¤· �|¢ ��£7�

��:E!$��� ­,§±¹ :�Ù�%,ǺÈ�É�Õ¸Ù7Û$Ï(%,ǺÈ�É\Ü�Ù$Ý|Ñ)%,ǺÈ�É\Ü�Ù$Þ-Ç�Ò�ÓµÏ(%,ǺÈ�É�Ó±Ñ)%,ǺÈ�É�É�»�8

8e+06

1e+07

1.2e+07

1.4e+07

1.6e+07

0 2 4 6 8 103�¦e!,8b5-8 5-8(/�¢e�r¥ �|¢ ¦�§ZÆ % ǺÈ�É 1907.7358

1907.73585

1907.7359

1907.73595

1907.736

1907.73605

1907.7361

2 4 6 8 103�¦e!,8\5-8 )�8�/�¢e�r¥ �|¢ ¦�§�:�Ù�%,ǺÈ�É$�Z� ¦e!,8�)�8 5h¦�)�8 )�� � ¦ �-���*�|¢ � �-� �,¦e���;¡e­-¢ ���E£|¢e�r¥ �|¢ ¦�§µÏI¦µÑ�8b� ���,¢�¨

¢ �"�G� � ¦e���|� �µ��� � �r¡e�(¥ ¦�¡e¦b'�¥ �,� � � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡e´N¢ �|�-ª,³"�7�*¦e��� ��2! !$��� ­,§Z¦e!$� �r¡e­-£|�-�"�,�,­2#-�,#H# � �(�p¡e��©Z¡e�7!Q¦ 2! 4�-�|���,�"�,�,­2¢e�h· �$¡ ¡e´�¡e�-£|¢ �,¨ª-�����;¬E¢ �(´¸� � �7�*�(# · ¦ ´C8"�>� ¦E«|�,�"�±� ¦�¡e�"���,�,�|� ¦e�;¡e��¢ ��� � �-¦ £|�-�7�e§ �-!u§h�-�,¨�-ª09C�-8

0.5818928

0.58189282

0.58189284

0.58189286

0.58189288

2 4 6 8 103�¦e!,8*)�8 5-8(/�¢e�r¥ �|¢ ¦�§HÏ(%,ǺÈ�É –1

–0.5

0

0.5

1

2 4 6 8 10

3�¦e!,8*)�8 )�8(/�¢e�r¥ �|¢ ¦�§HÑ % ǺÈ�É

Page 205: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

� ������� ��������� � ������������� ������ ������ �� ����� ��� ��� �����$��� ¦e!,8�: 8 5I¦ : 8 )µ� � ¦ �-���*�|¢ � � � �-· �|¢ �,� � � ¦ ª-��¡e�|© �|�"!$�;���,�e!$�,�"�µ¦

� � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡ §b'`#(�-�,�-� ���C¢ �|�-ª,³"�7�*¦e���E¢e�,� �e�,�,¡ § �,­�¢e�¤�e�,£|�-¦ �,¦ �C� � �,¨¦ £|�-�7��!$�,�"� ';�e¡ §Z�|�"!$�;���,�e!$�,�"�Q²h«|�,�ZÒ��� ¤'��>�e¡ §�� � ���*� � ¦ ¢ ¦e���,�,�$¡ §�²&�! ¤8

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0 2 4 6 8 103�¦e!,8e: 8 5-8(/�¢e�r¥ �|¢ ¦�§ F'%,ǺÈ�É 0.36882034

0.368820345

0.36882035

0.368820355

0.36882036

0.368820365

2 4 6 8 103�¦e!,8*: 8 )�8�/�¢e�r¥ �|¢ ¦�§ * %-ǺÈ�É��������� ����! � �

"$#�%�&(')&+*-,�# .�/10 '3254+*�6�# 7�#98�:�;5&+<>= ?@;�AB;�?CA�ABD�4+*E&+F = G�4IH�&+<J4KF L�4(AB* :�#�M1?$&(254+<>= ?@N5*O4('3'P.�Q�4PRS�AB*ET.U"WV(X(Y�#

Y�#�Z�&+= F &+0 &\[�# .K]1&+<>&+0 &+= ;�4+;_^�# N# .K^`5`�')`5;�4+;a7�#I/1;bF L�4c&+;5&+0 :5')= 'dABef4(g5`5= 0 = h5*E= &i&+;�2h5&+*OH�&+= ;5= ;�H�= ;�&je = ')L�4+* :�H�&+<J4jk(kl/1D5F = <>&+0-mnAB;5F *OAB0�,L�4(AB* :o&+;�2�p�?CAB;�AB<>= ?KM-;5&+0 :5')= 'P.;# Y�."WV(X+q5.�D#�qBV(rBs5t+u(q5#

r�#�vw&+xP&+0 ACGJ[�# [�# .(^U4+F F = 4PG�&�M�# QJ#+Mye = ')L�4+* :zH�&+<J4�<JA�254+0�R-= F LK&(H54J2�= ')F *E= h5`5F{4(2zD�ABD5`50 &+F = AB;|*O4('34+* G�4(2KF{4+*E*E= F{AB* :z&+D5D5*OAB&(?$LIk(kK6�&+<J4�,L�4(AB* :z&+;�2KM-D5D50 = ?$&+F = AB;�'P.BG9#�V�.�Y+u(uBr�.BD#�qBtBs5}(Y�#

~5#�vw&+xP&+0 ACG�[�# [�# .$^U4+F F = 4PG�&1M�# QJ#PM�e = ')L�4+* :�H�&+<J41<JA�254+0�R-= F LJ<>= H�*E&+F = AB;|(*O4('34+* G�4(2>F{4+*E*E= F{AB* :&+D5D5*OAB&(?$LIk(k@6�&+<J4�,L�4(AB* :z&+;�2KM-D5D50 = ?$&+F = AB;�'P.BG9#U"3u5.�Y+u(u(~5.BD#5V(}Bs�"3uBX�#

q5#��w�(�$�C���(�K��# ��# .����+�+�C���+�(�J��# �>#����z�(���9�(�l�$�C���C�5�>�����5�+�+���+�9���K���(�5�+���������+�lk(kK��������$���+�9�������5�9���5�C���9�(�j�z�����B���n�����+�9�9�(�j���+�+�+���+�C�9����.B��V�.B�(�n�U# Y�.�Y+u(uBY�.� B#BY(V(rBs5r+uBt�#

t�#��w�(�$�C���(�K��# ��# .5���+�+�C���+�(����# �>#5�5�+�(�9�(�B�( $���@���I� ¡C���l�z�$�C���C���C¢I�(¢��5�+�9�d�(�����5£>�+¤J�¥ �+�w $���C���¦k(k@�w�+�+�+���+�C���5�( $���������(���C�5�9���(�(�+�9����.��+�B�§"WX�.���q5.�Y+u(uBt�.� B#�}(rBs5V+u5#

}�#�¨ �+�C���� P���I��# ��# .�©��+�9�5�+�(���z�># ��# .�ªn�+���9�9�>«�# ��#B¬��(�B�5���@�9­3�#��l�� $���(��.�"WV(V(X�#X�#�¨ �(�9�C����­3�9�l® # ª1# .5¯��C�5�$���� $���9�°��# ±9# .5±��+�������C�5���5�C���# ��# .��w� ¥ �+�9���z«�# ²z#��w�+�+�+���+�C���5�( $���C�@�+�(�B�5���K�(���C�9���C�5³C�9��¢z�����B�9�( C C�(�5#5��# |��1�C������.U"WV(}(t�#

V�#����(�����(�9�(�´��# ��#>¨ �(�(�n�J�+�9���\¡+µ1µ1�+���C�9�(�9�� $�C�¶���( C�(���C�5³+�C�(�(�+�9���9#J¨ �+�C�����$�+�B�(�5 $��.Y+u(u(~5#

Page 206: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Òðóäû ÈÏÌÈ ÊàðÍÖ �ÀÍ Âûïóñê 7, 2006ÓÄÊ 512.544.43Ï�ÈÌÅÍÅÍÈÅ ÏÀ�ÀËËÅËÜÍÛÕ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ ÄËß�ÅØÅÍÈß ÍÅÊÎÒÎ�ÛÕ ÇÀÄÀ× ÌÅÕÀÍÈÊÈ ÒÂÅ�ÄÎ�ÎÄÅÔÎ�ÌÈ�ÓÅÌÎ�Î ÒÅËÀÌ.Ï. ÙÅ�ÁÀÊ ðàáîòå ïðåäñòàâëåí ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ïàðàëëåëüíûõâû÷èñëåíèé äëÿ ðåøåíèÿ îäíîé èç çàäà÷ ìåõàíèêè òâåðäîãîäå�îðìèðóåìîãî òåëà. �å÷ü èäåò î çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ óñè-ëèé è ïåðåìåùåíèé â ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå, ñîñòîÿùåé èçíàáîðà àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë, æåñòêèõ ñòåðæíåé è ïîäàò-ëèâûõ îäíîñòîðîííèõ ñâÿçåé.Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ çàäà÷è ïðèâîäÿò ê çàäà÷åêâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ðåøàòü êîòîðóþ ïðåäëà-ãàåòñÿ ìåòîäîì Âóë�à. Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ íà êëà-ñòåðå � íàèáîëåå äîñòóïíîì ñóïåðêîìïüþòåðå. íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàñ÷åò ìåõàíè÷åñêîé ñè-ñòåìû àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë, æåñòêèõ ñòåðæíåé è ïîäàòëèâûõîäíîñòîðîííèõ ñâÿçåé íà ïàðàëëåëüíîì êîìïüþòåðå. �àññìàòðè-âàåìàÿ çàäà÷à íàõîäèòñÿ íà ñòûêå äâóõ àêòóàëüíûõ íàïðàâëåíèéðàçíûõ îáëàñòåé çíàíèé: ìåõàíèêè òâåðäîãî äå�îðìèðóåìîãî òå-ëà è èí�îðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé. Äëÿ ïåðâîé àêòóëüíûì íà-ïðàâëåíèåì ÿâëÿåòñÿ ðàñ÷åò ñèñòåì ñ îäíîñòîðîííèìè ñâÿçÿìè,êîòîðûé â ïîñëåäíåå âðåìÿ âûçûâàåò âñå áîëüøèé íàó÷íûé èïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ. Ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ, ñ äðóãîé ñòî-ðîíû, ÿâëÿþòñÿ ñåãîäíÿ îäíèì èç ïðèîðèòåòíûõ íàïðàâëåíèé èñ-ñëåäîâàíèé îáëàñòè èí�îðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé â ñâÿçè ñ íà-÷àëîì ìàññîâîãî ïðîèçâîäñòâà ìíîãîÿäåðíûõ ïðîöåññîðîâ.Îäíîñòîðîííåé ñâÿçüþ íàçûâàþò òàêîé îáúåêò, êîòîðûé ìî-æåò âîñïðèíèìàòü óñèëèÿ òîëüêî îäíîãî çíàêà. Ïðèìåðîì òàêîé Ì.Ï. Ùåðáàê, 2006

Page 207: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ 207ñâÿçè ìîæåò ñëóæèòü îáû÷íàÿ íèòü: îíà ñîïðîòèâëÿåòñÿ ðàñòÿ-æåíèþ, íî íå ïðåïÿòñòâóåò ñáëèæåíèþ ñâîèõ êîíöîâ. Ïðî òàêóþñâÿçü ãîâîðÿò, ÷òî îíà ðàáîòàåò òîëüêî íà ðàñòÿæåíèå.Ó÷åò îäíîñòîðîííèõ ñâÿçåé ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íåðàâåíñòââ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Åñëè ïðèíÿòüïðàâèëî çíàêîâ äëÿ ïåðåìåùåíèÿ ïî íàïðàâëåíèþ îäíîñòîðîí-íåé ñâÿçè Z è óñèëèÿ â íåé X òàêèì, ÷òî X > 0; Z > 0; òî óñëîâèÿðàáîòû â ñâÿçè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:X > 0; Z > 0; XZ = 0: (1)Ïðèìåíåíèå îäíîãî èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ñòðîèòåëüíîé ìåõà-íèêè (ìåòîäà ñèë) ê ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå äàåòñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: N = sX + S;Z = aX � s>�+A;X > 0; Z > 0;N > 0; � > 0; (2)X � Z = 0 N �� = 0: (3)Çäåñü âåêòîðû X , N èìåþò ñìûñë óñèëèé â ñâÿçÿõ ðàññìàòðèâà-åìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, à â âåêòîðàõ Z è � çàïèñàíû ïåðå-ìåùåíèÿ, ñîïðÿæåííûå ïî ðàáîòå ñ X è N ñîîòâåòñòâåííî.Óðàâíåíèÿ (2) è (3) ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿìè Êóíà-Òàêêåðà (íåîá-õîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ)äëÿ ñëåäóþùåé êâàäðàòè÷íîé çàäà÷è:minf 12 XaX +AX j N = sX + S; N > 0; X > 0 g: (4)Ìàòðèöà a â ïðîãðàììå (4) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ïîëîæè-òåëüíî îïðåäåëåííîé, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ ýòîéçàäà÷è ëþáîé ìåòîä êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïðåäïî-÷òåíèå, îäíàêî, áûëî îòäàíî ìåòîäó Âóë�à. Âî ïåðâûõ, � ýòî òî÷-íûé ìåòîä, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ïðèéòè ê öåëè çà êîíå÷íîå ÷èñëîøàãîâ. Âî-âòîðûõ, îí èñïîëüçóåò óäîáíóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñõå-ìó ñèìïëåêñíîãî ìåòîäà.

Page 208: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

208 Ì.Ï. ÙåðáàêÌåòîä Âóë�à ñîñòîèò èç òðåõ ýòàïîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõâûïîëíÿåòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâûé îáúåì âû÷èñëåíèé. Íà ïåð-âûõ äâóõ ýòàïàõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîèñê áàçèñíîãî ðåøåíèÿ, à íàïîñëåäíåì � ñîáñòâåííî ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïðè ýòîì âåçäå ïðè-ìåíÿåòñÿ àëãîðèòì ñèìïëåêñ ìåòîäà ñ ó÷åòîì äîïîëíèòåëüíîãîïðàâèëà âûáîðà âåäóùåãî ýëåìåíòà, êîòîðîå ãîâîðèò î òîì, ÷òîîáå âåëè÷èíû ïàðû XiZi íå ìîãóò áûòü áàçèñíûìè îäíîâðåìåí-íî.Åñëè äëÿ ðåøàåìîé ñèñòåìû ìîæíî áûëî áû óêàçàòü áàçèñíîåðåøåíèå çàðàíåå, òî ýòî ïîçâîëèëî áû ñîêðàòèòü òðåáóåìûé îáú-åì âû÷èñëåíèé â íåñêîëüêî ðàç.  ðàáîòå [1℄ ïîêàçàíà òàêàÿ âîç-ìîæíîñòü äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ. Äëÿ ýòîãî îñóùåñòâëÿ-åòñÿ ïåðåõîä ê äâîéñòâåííîé çàäà÷å: â êà÷åñòâå �óíêöèè öåëèâûáèðàåòñÿ ïàðàìåòð p âíåøíåé íàãðóçêè íà êîíñòðóêöèþ. Åñëèâ èñõîäíîé çàäà÷å òðåáîâàëîñü îòûñêàòü ìèíèìóì ýíåðãåòè÷å-ñêîé �óíöèè ïðè êîñâåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåòð p (p 6 1),òî òåïåðü ñòàâèòñÿ çàäà÷à íà ìàêñèìóì p ïðè êîñâåííûõ îãðàíè-÷åíèÿõ íà ýíåðãåòè÷åñêèõ �óíêöèÿõ:maxfp j � = p� � p > 0; p > 0g: (5) ñòàòüå [2℄ ïîëó÷åíû óñëîâèÿ Êóíà-Òàêêåðà äëÿ ýòîé ïðîãðàììû:N = sX + pS� + S0;Z = aX � s>�+ pA� +A0;X > 0; Z > 0;N > 0; � > 0;X � Z = 0 N �� = 0: (6)Âåêòîðû A0 è S0, ñîäåðæàùèå âåëè÷èíû íà÷àëüíûõ óñè-ëèé è ïåðåìåùåíèé â îäíîñòîðîííèõ ñâÿçÿõ, áëàãîäàðÿ âûáðàí-íîìó ïðàâèëó çíàêîâ, âñåãäà íåîòðèöàòåëüíû. Òàêèì îáðàçîì,ñèìïëåêñ-òàáëèöà, çàïèñàííàÿ äëÿ ïðîãðàììû (5), âñåãäà ðåàëè-çóåò áàçèñíîå ðåøåíèå: ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ p,X íè îäíî èç óñëîâèé Êóíà-Òàêêåðà (6) íå îêàçûâàåòñÿ íàðóøåí-íûì.�àçìåð ñèìïëåêñíîé òàáëèöû, íàä êîòîðîé ïðîèçâîäÿòñÿ âû-÷èñëåíèÿ � (2 + n+ l)� (2 + n+ l), ãäå n è l � äëèíû âåêòîðîâ Z

Page 209: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ 209è N ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà m = n + l ðàâíà ÷èñëóîäíîñòîðîííèõ ñâÿçåé â ñèñòåìå.Àëãîðèòì íå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü çàðàíåå òðåáóåìûé îáúåìâû÷èñëåíèé, ò. ê. ýòî çàâèñèò íå òîëüêî îò ðàçìåðà, íî åùå èîò ñîäåðæàíèÿ ñèìïëåêñíîé òàáëèöû. Îäíàêî ïðàêòèêà ðàñ÷åòîâìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷ ïîêàçàëà, ÷òî îáû÷íî äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøå-íèÿ òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü îêîëî m øàãîâ (îïåðàöèé èñêëþ÷åíèÿ�àóññà-Æîðäàíà). Èç ýòîãî ñëåäóåò îöåíêà ñëîæíîñòè âñåãî àë-ãîðèòìà O(m3). Ïðè òàêîé òðóäîåìêîñòè âðåìåííûå çàòðàòû íàâû÷èñëåíèÿ çàìåòíû óæå ïðè m = 1000 äàæå ïðè èñïîëüçîâàíèèñîâðåìåííûõ ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðîâ. Òàê, íà êîìïüþòåðå ñïðîöåññîðîì Intel Celeron 2100 ïîèñê ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ m = 1000çàíÿë 8 ñåêóíä, à çàäà÷è ñ m = 2000 � óæå 55. Ïðè ýòîì íààëãîðèòì Âóë�à ïðèõîäèëîñü áîëåå 95% îò îáùåãî îáúåìà âû-÷èñëåíèé.Ïîäîáíûå ïîêàçàòåëè íåïðèåìëåìû â ñëó÷àÿõ, êîãäà òðåáó-åòñÿ âûïîëíèòü ñåðèþ ðàñ÷åòîâ, íàïðèìåð, ïðè àíàëèçå äâèæó-ùåéñÿ ñèñòåìû. Îñîáåííî òðåáîâàòåëüíûìè ê ñêîðîñòè âû÷èñëå-íèé ÿâëÿþòñÿ ïðèëîæåíèÿ, âûïîëíÿþùèå ñèìóëÿöèþ äâèæåíèÿìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè. Äëÿ òàêèõïðîãðàìì íåîáõîäèìî ïðåäóñìîòðåòü ñïîñîáû óâåëè÷åíèÿ ïðî-èçâîäèòåëüíîñòè, ïðè÷åì ñòåïåíü óâåëè÷åíèÿ äîëæíà áûòü, ïîâîçìîæíîñòè, êîí�èãóðèðóåìîé.Ïîäîáíóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïðèáåãíóâ ê ïàðàëëåëüíûìâû÷èñëåíèÿì, ðåàëèçóåìûõ íà ìàñøòàáèðóåìûõ ñóïåðêîìïüþ-òåðàõ. Áûëî ðåøåíî ðàçðàáàòûâàòü àëãîðèòì äëÿ êëàñòåðîâ �íàèáîëåå äîñòóïíîãî òèïà ñóïåðêîìïüþòåðîâ, êîòîðûé îòíîñèò-ñÿ ê êëàññó ïàðàëëåëüíûõ êîìïüþòåðîâ ñ ðàñïðåäåëåííîé ïà-ìÿòüþ. Ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì ó÷èòûâàåò ãëàâíûå îñîáåííîñòèïðîãðàìì äëÿ ïîäîáíûõ êîìïüþòåðîâ, òàêèå êàê:� äàííûå çàäà÷è ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïî âû÷èñëèòåëüíûì óçëàì;� êàæäûé óçåë ïðîèçâîäèò âû÷èñëåíèÿ òîëüêî ñ ëîêàëüíûìèäàííûìè;� îáìåí äàííûìè ìåæäó óçëàìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ëî-êàëüíóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñåòü ïîñðåäñòâîì ïðîãðàììíîãîèíòåð�åéñà MPI.

Page 210: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

210 Ì.Ï. ÙåðáàêÏåðâîå îçíà÷àåò, ÷òî âñå äàííûå çàäà÷è ïî âîçìîæíîñòè ðàâíî-ìåðíî ðàñïðåäåëÿþòñÿ ìåæäó óçëàìè êëàñòåðà. Êàæäûé èç íèõïîëó÷àåò òîëüêî ÷àñòü çàäà÷è � òàêóþ, ÷òîáû ñ íåé ìîæíî áûëîâûïîëíèòü ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé îáúåì âû÷èñëåíèé áåç îá-ðàùåíèÿ ê äàííûì äðóãèõ óçëîâ. Ýòî òðåáîâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì,÷òî îáðàùåíèå ê óäàëåííûì äàííûì íàïðÿìóþ íåâîçìîæíî, òàêêàê âû÷èñëèòåëüíûé óçåë êëàñòåðà íå èìååò ïðÿìîãî äîñòóïà êëîêàëüíîé ïàìÿòè äðóãîãî óçëà. Îáìåí äàííûìè îñóùåñòâëÿåòñÿêîñâåííî, ïîñðåäñòâîì ïîñûëêè è ïðèåìà ñîîáùåíèé ÷åðåç ëî-êàëüíóþ ñåòü. îáû÷íîì àëãîðèòìå Âóë�à á�îëüøàÿ ÷àñòü âû÷èñëèòåëüíîéìîùíîñòè ïðèõîäèòñÿ íà ìíîãîêðàòíóþ îïåðàöèþ èñêëþ÷åíèÿ�àóññà-Æîðäàíà íàä ñèìïëåêñíîé òàáëèöåé. Îñòàâøóþñÿ ÷àñòüçàíèìàåò ïðîöåäóðà âûáîðà âåäóùèõ ýëåìåíòîâ.  ñòàòüå [3℄ áûëïîëó÷åí ïàðàëëåëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé âûïîëíÿåò äâå ýòèïðîöåäóðû è îòâå÷àåò òðåáîâàíèÿì, ïðèâåäåííûì âûøå.Äëÿ âûÿâëåíèÿ ïàððàëåëëèçìà â ñóùåñòâóþùåì àëãîðèòìåÂóë�à áûëà ïðèìåíåíà îäíà èç ìåòîäèê, ïðåäëîæåííûõ Â. Â. Âî-åâîäèíûì [4℄. Èí�îðìàöèîííûé ãðà� (ãðà�, ïîêàçûâàþùèé ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü èí�îðìàöèîííûõ ñâÿçåé) îäíîãî èòåðàöèîííî-ãî øàãà àëãîðèòìà ñîâìåùàëñÿ ñ ðàçíûìè âàðèàíòàìè ñõåì ðàñ-ïðåäåëåííîãî õðàíåíèÿ äàííûõ. Ñðåäè ìíîæåñòâà âàðèàíòîâ áûëâûáðàí ñïîñîá õðàíåíèÿ ïî áëîêàì-ñòîëáöàì. Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíàâûáðàííàÿ ñõåìà.

�èñ. 1 èíäåêñíûõ îáîçíà÷åíèÿõ àëãîðèòì ìîæåò áûòü çàïèñàí ñëå-

Page 211: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ 211äóþùèì îáðàçîì:akj = �akj=akl; j = mp�1; mp�1 + 1; : : : ; l � 1; l + 1; : : : ; mp;ail = ail=akl; i = 1; 2; : : : ; k � 1; k + 1; : : : ; naij = aij + ail � akj ; i = 1; 2; : : : ; k � 1; k + 1; : : : ; n;j = mp�1; mp�1 + 1; : : : ; l � 1; l + 1; : : : ; mp;akl = 1=akl: (8)Åñëè l > mp�1 èëè l 6 mp, òîakj = �akj=akl; j = mp�1; mp�1 + 1; : : : ; mp;ail = ail=akl; i = 1; 2; : : : ; k � 1; k + 1; : : : ; naij = aij + ail � akj ; i = 1; 2; : : : ; k � 1; k + 1; : : : ; n;j = mp�1; mp�1 + 1; : : : ; mp;akl = 1=akl: (9)Èç ðèñ. 1 è èç ïðèâåäåííîãî àëãîðèòìà âèäíî, ÷òî íà êàæäîìøàãå ìåòîäà Âóë�à íà ëþáîì âû÷èñëèòåëüíîì óçëå èñïîëüçóåòñÿòîëüêî îäèí íåëîêàëüíûé ýëåìåíò � ñòîëáåö ail (ýòîò ýëåìåíòëîêàëåí òîëüêî äëÿ îäíîãî óçëà p, äëÿ êîòîðîãî mp�1 6 l 6 mp).Òàê êàê äàííûå, òðåáóåìûå âñåìè óçëàìè, îäèíàêîâû, îíè ïåðå-äàþòñÿ çà îäèí ðàç, øèðîêîâåùàòåëüíî ïåðåä íà÷àëîì âû÷èñëè-òåëüíîãî øàãà.Ïðîöåäóðà ïàðàëëåëüíîãî ïîèñêà âåäóùåãî ýëåìåíòà ïîñòðî-åíà íà òåõ æå ðàññóæäåíèÿõ, ÷òî è ïðåäûäóùàÿ îïåðàöèÿ. �ëàâ-íîå îòëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çäåñü ðîëü ñòîëáöà ail âû-ïîëíÿåò ñòîëáåö ai1, ò. å. ñòîëáåö ñ íåëîêàëüíûìè äàííûìè èç-âåñòåí çàðàíåå. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññûëàòü ñòîëáåö ail îäíîêðàòíîäî íà÷àëà âû÷èñëåíèé.  ïðîöåññå âû÷èñëåíèé íà âñåõ óçëàõ íàäíèì âûïîëíÿþòñÿ îäèíàêîâûå îïåðàöèè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ëþáîéïðîöåññ ïîñòîÿííî èìååò ëîêàëüíûé äîñòóï ê òåêóùèì çíà÷åíè-ÿì âåêòîðà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Òàêèì îáðàçîì óäàåòñÿ èçáåæàòüìåæóçëîâûõ êîììóíèêàöèé, ñâÿçàííûõ ñ ïåðåñûëêîé ìàññèâà ail.

Page 212: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

212 Ì.Ï. Ùåðáàê

�èñ. 2

Page 213: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ 213Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà áëîê-ñõåìà ïàðàëëåëüíîé ÷àñòè ïðî-ãðàììû. Îíà íà÷èíàåòñÿ ñ âûçîâà �óíêöèè MPI_INIT, êîòî-ðàÿ èíèöèàëèçèðóåò êîììóíèêàöèîííóþ ñðåäó. Ïîñëå åå âûçî-âà êàæäûé ïðîöåññ êëàñòåðà ïîëó÷àåò óíèêàëüíûé íîìåð-àäðåñ,êîòîðûé â òåðìèíîãèè MPI íàçûâàåòñÿ íîìåðîì ïðîöåññà. Ñðà-çó ïîñëå èíèöèàëèçàöèè êîììóíèêàöèîííîé ñðåäû ïðîèñõîäèòâåòâëåíèå ïðîãðàììû: ïðîãðàììà ãëàâíîãî ïðîöåññà (óçëà) ñ íî-ìåðîì 0 äâèæåòñÿ ïî ëåâîé âåòâè àëãîðèòìà (ñì. ðèñ. 2), à ïðî-ãðàììû îñòàëüíûõ � ïî ïðàâîé. Ïåðåäà÷à ñîîáùåíèé ïðîèñõîäèòâ îñíîâíîì ìåæäó ïðàâîé è ëåâîé âåòâÿìè àëãîðèòìà. Íà áëîê-ñõåìå ìåæóçëîâîé îáìåí äàííûìè ïîêàçàí ïóíêòèðíûìè ëèíèÿ-ìè. Íàä êàæäîé èç íèõ ïðèâåäåíî èìÿ MPI-�óíêöèè, ñ ïîìîùüþêîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ýòîò îáìåí.Îïèñàííûé âûøå àëãîðèòì áûë ðåàëèçîâàí â ïðîãðàììå ðàñ-÷åòà ñèñòåì àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë è ïîäàòëèâûõ îäíîñòîðîííèõñâÿçåé.  ñòàòüå [3℄ îïèñàí ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò ñ ýòîé ðåàëè-çàöèåé, ïî ðåçóëüòàòàì êîòîðîãî áûëè ïîñòðîåíû ãðà�èêè ïðî-èçâîäèòåëüíîñòè è ìàñøòàáèðóåìîñòè âû÷èñëèòåëüíîé ñèñòåìû.Âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèëèñü íà êëàñòåðå, ñîçäàííîì íà áàçåîäíîãî èç êîìïüþòåðíûõ êëàññîâ Ïåòðîçàâîäñêîãî óíèâåðñèòåòà.Êëàñòåð ñîñòîèò èç 6 êîìïüþòåðîâ, êîòîðûå èìåþò ñëåäóþùóþêîí�èãóðàöèþ: ïðîöåññîð � Intel Celeron 2100, îïåðàòèâíàÿ ïà-ìÿòü � 256 Mb (DDR), ñåòåâîé àäàïòåð � Fast Ethernet 100 Mbit,ÎÑ � Linux Mandrake 10.0, áèáëèîòåêè MPI � MPICH 1.2.5, òîïî-ëîãèÿ ñåòè � çâåçäà.

�èñ. 3

Page 214: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

214 Ì.Ï. Ùåðáàê êà÷åñòâå òåñòîâîé çàäà÷è áûëà âçÿòà çàäà÷à ñòðîèòåëüíîéìåõàíèêè, â êîòîðîé òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü óñèëèÿ â îäíîñòîðîí-íèõ ñâÿçÿõ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Îíà ñîñòîèò èç äâóõ àáñîëþò-íî æåñòêèõ òåë, êîòîðûå ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé îäíîñòîðîí-íèìè ïîäàòëèâûìè ñâÿçÿìè, ðàáîòàþùèìè òîëüêî íà ðàñòÿæå-íèå. Ñâÿçè óñòàíàâëèâàþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì, à êîëè÷åñòâîèõ ïðîèçâîëüíî. Âñåãî áûëî ñãåíåðèðîâàíî 9 ðàñ÷åòíûõ ñõåì ñðàçíûì ÷èñëîì ñâÿçåé. Âñå òåñòîâûå ñèñòåìû áûëè ðàñ÷èòàíû â÷åòûðåõ êîí�èãóðàöèÿõ êëàñòåðà: 1 ðàáîòàþùèé óçåë, 2, 4 è 6óçëîâ. êàæäîì ýêñïåðèìåíòå èçìåðÿëîñü âðåìÿ, çàòðà÷åííîå íà âû-÷èñëåíèÿ. Ïî ýòèì äàííûì áûëè ïîñòðîåíû ãðà�èêè ïðîèçâîäè-òåëüíîñòè è ìàñøòàáèðóåìîñòè.Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü îäíîóçëîâîé óñòàíîâêè, äîñòèãíóâ íàñû-ùåíèÿ ïðè n > 1000, êîëåáàëàñü îêîëî îòìåòêè 430 MFLOPS.Ïðè ýòîì òåîðåòè÷åñêàÿ ïèêîâàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ïðîöåññî-ðà, óñòàíîâëåííîãî âî âñåõ óçëàõ (Intel Celeron 2100), ðàâíà 2100MFLOPS. �åàëüíàÿ ñêîðîñòü âû÷èñëåíèé, òàêèì îáðàçîì, íà îä-íîì ïðîöåññîðå ñîñòàâèëà âñåãî ëèøü 20,4% îò òåîðåòè÷åñêîé.Ïîäîáíûé ïîêàçàòåëü ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëüíûì äëÿ íåîïòè-ìèçèðîâàííîãî êîäà, îïåðèðóþùåãî ñ áîëüøèìè ìàññèâàìè âå-ùåñòâåííûõ ÷èñåë. Äëÿ ñðàâíåíèÿ, â òåñòå LAPACK, ñîáðàííîìñ íåîïòèìèçèðîâàííîé referen e-âåðñèåé áèáëèîòåêè íèçêîóðîâ-íåâûõ �óíêöèé BLAS, ðåàëüíàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü îäíîãî ïðî-öåññîðà â íåêîòîðûõ ðàñ÷åòàõ íèæå ïèêîâîé â 3 ðàçà. Ñ ïîìîùüþîïòèìèçàöèè, ó÷èòûâàþùåé àðõèòåêòóðó âñåãî âû÷èñëèòåëüíîãîóçëà, ñòðîåíèå åãî ïðîöåññîðà, ðàçìåðû êýøåé è ò. ï., ðåàëüíóþñêîðîñòü óäàåòñÿ äîâåñòè äî 80� 100% îò òåîðåòè÷åñêîé.�èñ. 4

Page 215: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ 215Âòîðûì ïîñëå ïðîèçâîäèòåëüíîñòè âàæíûì ïîêàçàòåëåì ý�-�åêòèâíîñòè êëàñòåðíûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ìàñøòàáèðóåìîñòü.Ýòà õàðàêòåðèñòèêà ïîêàçûâàåò ñïîñîáíîñòü êëàñòåðà íàðàùè-âàòü ñâîþ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü â îäíîé è òîé æå çàäà÷å ñ ïîäêëþ-÷åíèåì ê âû÷èñëåíèÿì íîâûõ óçëîâ. Îáû÷íî ìàñøòàáèðóåìîñòüïðåäñòàâëÿþò â âèäå ãðà�èêà çàâèñèìîñòè ïðîèçâîäèòåëüíîñòèîò ðàçìåðà êëàñòåðà (êîëè÷åñòâà óçëîâ). �ÿäîì ñ ýòîé êðèâîé âòåõ æå îñÿõ ñòðîÿò ãðà�èê ñóììû ïðîèçâîäèòåëüíîñòåé óçëîâêëàñòåðà, êîòîðûé ñ÷èòàåòñÿ ëèíèåé èäåàëüíîé ìàñøòàáèðóåìî-ñòè.�åçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ òåñòîâ ïîêàçûâàþò ïðåèìóùåñòâàèñïîëüçîâàíèÿ ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé è ãîâîðÿò î òîì, ÷òîïðåäëîæåííûé ïàðàëëåëüíûé àëãîðèòì ìîæåò áûòü ý��åêòèâíîïðèìåíåí äëÿ ðåøåíèÿ áîëüøèõ çàäà÷. Åãî ðåàëèçàöèÿ ïîêàçàëàõîðîøóþ ìàñøòàáèðóåìîñòü íà îáîðóäîâàíèè, íå ïðåäíàçíà÷åí-íîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ êëàñòåðîâ, ÷òî óêàçûâàåò íà âûñîêèå ¾ïà-ðàëëåëüíûå¿ êà÷åñòâà àëãîðèòìà. Ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííîé àï-ïàðàòíîé áàçû ïîçâîäèò èñïîëüçîâàòü ýòè êà÷åñòâà â ïîëíîé ìå-ðå è ñäåëàåò âîçìîæíûì ïðèìåíåíèå ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìàäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ î÷åíü áîëüøîé ðàçìåðíîñòüþ.Ëèòåðàòóðà1. Ïåðåëüìóòåð À. Â. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿäëÿ ñèñòåì ñ îäíîñòîðîííèìè ñâÿçÿìè // Èññëåäîâàíèÿ ïî òåîðèè ñîîðóæå-íèé. Âûï. XIX. Ì.: Ñòðîéèçäàò, 1972, ñ. 138�147.2. �îëüäøòåéí Þ. Á., Ùåðáàê Ì. Ï. �àçðåøàþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû æåñò-êèõ òåë è ïîäàòëèâûõ ñâÿçåé // �óêîïèñü äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 02.04.2003, 587-Â2003.3. Ùåðáàê Ì. Ï. Ïàðàëëåëüíûé àëãîðèòì ìåòîäà Âóë�à äëÿ ñóïåðêîìïüþòåðîâêëàñòåðíîé àðõèòåêòóðû // �óêîïèñü äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 17.12.2005, 1609-Â2005.4. Âîåâîäèí Â. Â., Âîåâîäèí Âë. Â. Ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ. ÑÏá.: ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2002.

Page 216: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

ABSTRACTS

Section I. METHODS OF MATHEMATICAL MODELLING

AbakumovY.G., BaninM.V. On sets of convergences guaranteed

by test type theorems.

The sets in the space C[a, b] on which the sequence of some

linear operator classes is convergent on the test set implies that the

sequence is convergent on the whole set. It is stated that these sets

do not increase with the preservation of convergences. The general

scheme for the sequence of linear functionals in the Banach space is

considered.

IvanovA.P., Ostov Yu.Ya. Duality and principle of expansion in the

problem of dynamics of flight.

The paper considers the problem of maximizing kinetic energy in

the end point of the path of a flying object. The solution method is

construction of sub-optimal control.

PopovV.V. Modelling of heat-mass transfer processes in hydride

accumulator of hydrogen.

The one-dimensional model of heat-mass transfer processes in

hydride accumulator of hydrogen is considered. The model coefficients

depend on temperature and concentration. The chemical reactions of

hydrogenation and dehydrogenation are taken into account.

PopovV.V., Semin P.A. Implementation and use of modelling

problems of hydrogen interaction with solids in special software.

The practical aspects of implementation and use of various models

of hydrogen interaction with solids in special software are considered.

Stafeev S.V. On the parameter identifiability of a factor analysis

model with correlated residuals and correlated factors.

A factor analysis model with correlated residuals and correlated

factors is considered. Conditions of local parameter identifiability are

obtained and the class of models satisfying these conditions is found.

TararinV.M., Cheplyukova I.A. On the action of a random s�

mapping of a finite Boolean lattice.

Page 217: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

217

s�mapping of a finite Boolean lattice L is the upper endomorphismϕ of lattice Ln such that from h(x) 6 1 follows h(ϕ(x)) = h(x). Inthe paper we consider the action of a random s�mapping of a finiteBoolean lattice with a length n as n →∞.

FalkoA.A. A best-choice game with the possibility of an applicantrefusing an offer and with redistribution of probabilities.

A full-information best-choice game is considered. The optimalstrategies in case of the possibility of an applicant refusing an offerand the redistribution of probabilities are obtained.

KhvorostyanskayaE.V. On emergence of the giant ϕ�primitiveideal of a random automorphism ϕ of a finite Boolen lattice.

We consider the set An,N of all automorphisms ϕ of a Boolenlattice with a length n such that the number of all ϕ� primitive idealsis equal to N . We specify the uniform distribution on An,N . It isproved that the giant ϕ�primitive ideal of a random automorphismϕ ∈ An,N can occur only if n, N →∞ so that N/ lnn → 0.

Chernov I.A. Convergence of the lattice approximations of thesolution to the boundary-value problem with nonlinear boundarycondition and moving bound.

In the paper we consider the Stefan-type boundary-value problemwith moving bound and nonlinear boundary condition. It appearsas a model of hydriding under constant conditions. We present thenumerical method; it provides lattice approximations of

√h precision,

h is for the lattice step. We prove that these approximations convergeto a weak continuous solution to the PDE; this solution also satisfiesthe boundary conditions. The moving bound belongs to C1. So we canalso claim the existence of a weak solution to the considered problem.

Section II. COMPUTER SCIENCEBorodinaA.V., Morozov E.V. Overflow probability estimation with

accelerated regeneration simulation in the queue M/M/1.This paper is devoted to a modification of speed-up method

Splitting. This approach allows to use the regenerative simulationtechnics to construct the confidence interval for the overflow probability.

Page 218: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

218

KiselevaN.S. On an "Internet" type, random graph model.Random graphs, where vertex degrees are independent random

variables are considered. The distribution of the vertex degrees followsthe P{D = d} = d−τ/ζ(τ) law, where D is the random variabledenoting the vertex degree, ζ(τ) =

∑∞d=1 d−τ is Riemann zeta

function, d = 1, 2, . . ., τ ∈ (2, 3) (finite mean and infinite variance).Such graphs can be used as models for Internet topology. Limittheorems for the extreme terms of the variation series formed fromthe nondecreasing sequence of the vertex degrees and for the sum ofthe node degrees when N →∞ are proved.

KukinV.D. A composite evolutionary algorithm for solving theweighted Steiner tree problem.

A composite evolutionary algorithm for solving the weightedSteiner tree problem is suggested. Main results of testing thealgorithm are reported.

LazutinaA.A. On the problem of optimal control of three parallelstacks in bounded space.

The paper considers issues related to building mathematicalmodels and optimal algorithms of consecutive and connected threeparallel stacks control in a single-level memory. These models wereconstructed as random walks.

PechnikovA.A. The problem of rational allocation of links in acontrolled and localized Internet-resource system.

The problem of rational allocation of cross-links to Internet-resource within a some localized system is considered. Each participantis obliged to make a certain number of links to other participants toincrease their importance so that the final values of the importancediffered from the value averaged for all participants of the system aslittle as possible (a case of a "social" decision).

RodchenkovaN.I. A differences scheme for modelling the TDS-spectrum of dehydriding of metals with heat absorption and a sizereduction effect.

In the paper we consider the problem with moving bounds thatmodels the kinetics of hydrogen desorption from hydrides of metals.Phase change, size reduction, desorption processes on the surface, andheat absorption on the phase bound are taken into consideration. Thedifferences scheme for the corresponding boundary-value problem

Page 219: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

219

with moving bounds is presented for the experimental method ofthermal desorption spectrometry (TDS). The results of numericalmodeling are presented.

RettievaA.N.,RodionovA.V. The model of dynamic game of forestresources management problem is constructed.

The equilibrium controls of the participants are received. Thenumerical modeling for parameters is carried out according tostatistics on Karelia.

ShcherbakM.P. Parallel computing in application to analysis ofsome problems in mechanics.

One problem of mechanics is solved in this paper by means ofparallel computing. More precisely, in this paper one can find adescription of the analysis of a mechanical system composed of rigidbodies and unilateral constrains. This analysis is performed with thehelp of parallel computing.

Defining relations of this problem related to the quadratic prog-ramming problem, that is solved by Vulf method. Parallel calculationsare executed on the cluster which is the most available type of scalableparallel computer.

Page 220: Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. Выпуск 7

Н а у ч н о е и з д а н и е

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Выпуск 7

Печатается по решению Ученого совета института прикладных математических исследований

Карельского научного центра РАН

Оригинал-макет подготовлен Е.Н. Спектор

Изд. лиц. № 00041 от 30.08.99. Подписано в печать 05.10.06. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Times». Печать офсетная.

Уч.-изд. л. 13,5. Усл. печ. л. 12,8. Тираж 150 экз. Изд. № 66. Заказ 607.

Карельский научный центр РАН 185003, Петрозаводск, пр. А. Невского, 50

Редакционно-издательский отдел