第８課 エディントン近似

平成１７年１２月１２日

授業の内容は下の HPに掲載されます。

http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

今回のキーワード

エディントン近似　 Eddington 　 Approximation

θτλ

τλ ＝０

μdI(μ,x)/dx ＝ I(μ,x)κ(x) － ε(x)

Iλ (μ,τλ=0)

Iλ (μ,τλ)

全ての物理量ＡがＸ軸に垂直な平面内で一定と仮定する。　Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａ（Ｘ）

（１）　ーＸ軸方向（上向き）の輻射強度 Ｉ に対する方程式は、ｄＩ / ｄｘ＝ κ Ｉ－ ε（２）　Ｘ軸に角度 θ を成す直線 (μ ＝ cosθ) に沿って、輻射方程式を考える。

直線に沿っての長さを ｔ とすると、ｄＩ / ｄｔ＝ κ Ｉ－ ε ｄ ｌ となる。

ｄｔ と Ｘ軸に沿っての深さｄＸとの関係は、ｄ t ＝ｄｘ／ μ なので、書き直して

８．１．平面近似

Ｘ

ＹＺ

例（１）：形式解μdI(μ,x)/dx ＝ I(μ,x)κ(x) － ε(x) 　：以下 Ｉ λ 、 κλ 等を Ｉ、 κ と省略する

　ｄ τ ＝ κ ｄＸ　とおいて、　 μdI / dτ ＝ I － S 　

　　　 dτ は光線に沿っての光学的深さでなく、Ｘ軸に沿っての光学的深さ、に注意。光学的深さ＝ τ の点で、Ｘ軸に対し角度 θ の輻射 I(τ,μ) は下のように

与えられる。

μ>0 ： I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[ － (t － τ)/μ]dt/μ

= 　 eτ/μ∫∞τS(t,λ)e － t/μdt/μ

μ<0 ： I(τ,μ)= －∫ τ0S(t,λ)exp[ (τ － t)/μ]dt/μ

= － eτ/μ∫τ0 S(t,λ) e － t/μdt /μ

=∫τ0 S(t,λ) e － (τ － t) / ( － μ) dt / ( － μ)

ｔ＝０

τ

ｔ

μ>0

μ<0

表面から角度 θ で出る輻射Ｉの解は下のように与えられる。

I(τ=0 、 μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp( － τ/μ) dτ

上式を見るとＳを Source Function と呼ぶことが納得される。

S(τλ) ＝Ｓ＝一定（０ <τ<τo ）のスラブ表面での Ｉ (τ=0 , μ) を計算すると、

I(τ=0 , μ) = 　 (1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ

　　　　　　　＝　 S[1 － exp ( － τo /μ) ]

τo

I(τ=0 , μ)θ

S(τ）

表面からの輻射強度

自己吸収のあるスラブの表面輝度

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 30 60 90θ °（ ）

Ⅰ/Ｓ

τ 0.1ｏ＝ τ 0.5ｏ＝ τ 1ｏ＝ τ 2ｏ＝

S(τ)= a + bτ

I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt

　　　　　　＝ (1/μ)∫∞0( ａ＋ｂ t)exp( ‐t/μ) dt

　 ＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞

0 t exp(‐t /μ) dt]

＝ a+ bμ= S(τ=μ) 　　　　（ μ ＞０）

I(τ=0 ,μ<0) = 0 （ μ ＜０）

例（２）：線形解の表面輝度とフラックス

θ

　 τ＝１

　 τ ＝ μ ＝ｃｏｓ θ

　 τ＝０下図で光線に沿った τ ＝１に注意

フラックス

　　Ｆ λ ＝∫ μIλ(μ,τ=0) ｄ Ω ＝ 2π∫ １0μ( aλ+ bλμ)dμ= ２ π(aλ/2 + bλ/3)

　 　　　　 Source Function 　 Sλ (τ)=aλ+bλτ 　だったから、

Ｆ λ ＝ π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3) 　である。

　温度Ｔの黒体表面からのフラックスが π Ｂ λ(T), ここにＢ λ( Ｔ ) は輻射強度、

　だったことを考えると、線形大気では、 τλ ＝２ / ３の深さの所を見て

　いると言える。

　 τλ ＝１

　 τλ ＝ μ ＝ｃｏｓθ

　 τλ ＝０　０

　ａ

　ａ＋ｂ 　ａ＋ｂ

μ

　Ｉ（ τ＝０）

　 1/３　２ /３　１

　 S(τ＝２/３ )

モーメント方程式をどこかでむりやり閉じる必要。

　　　エディントン近似　　　

エディントン近似が正確に成り立つ例

（ i) 完全等方輻射 I(Ω)=Io の場合

J=Io, Ｋ＝ (1/2)∫1-1Ioμ2dμ=Io/3 =J/ 3

８．２． エディントン近似 （ Eddington approximation ）

× ∫dΩ/4π 　　　：

× ∫μdΩ/4π 　：　

　　　 μdI/dτ ＝ I － S 　　（平面近似）

　　　　　モーメント方程式 SJ

ddH

この系列は μ2 　 μ3 　と上げても閉じない。式の数＜変数の数

H

ddK

JK31

Jλ=(1/2)∫1-1I dμ=(1/2)∫1

-1(Io+I1μ)dμ=Io(λ)

Hλ=(1/2)∫1-1Iμdμ=(1/2)∫1

-1(Io+I1μ)μdμ ＝ (1/3)I1(λ)

Kλ=(1/2)∫1-1Iμ2dμ=(1/2)∫1

-1(Io+I1μ)μ2dμ=(1/3)Io(λ)

θ

(ii) 　 I(τ,λ,μ)=Io(λ)+I1(λ)μ

(iii) 　 I(τ,λ,μ)= I+ (λ) μ>0

　 = I‐(λ) μ<0J=(I+ + I‐)/2

H=[I+ /2 – I‐/2]/2=(I+ – I‐)/4

K=[I+ /3+ I‐ /3]/2=J/3

I+

I‐

４Ｈ

（１）

（２）

８．３．恒星大気のエディントンモデル

SJ

ddH

H

ddK

仮定 : （ a ）∫ Jλκλdλ ＝∫ ελdλ ：輻射平衡 ( Radiative Equilibrium)

　　　　　この仮定は（１）を

JSJ

dxdH

とすると分かるように、Ｈ＝一定　を意味する

dJ

dxdH

dx

dHdd

dxdH

で定義される κR ＝ Rosseland mean pacity を使うと

仮定（ b ） Jλ(x) ＝ Bλ(T(x)) ：ＬＴＥ

　　（ c ） Kλ(x)=(1/3)Jλ(x) 　　 ：エディントン近似

ddTTdB

ddTTdB

R

11

H

dxdK

1（２）から、　

∫Hλ ｄ λ ＝Ｈ , 　 ∫ Kλ ｄ λ ＝ K とする。

（１）から仮定（ａ）によって、

　　　　　　　　　Ｈ ( ｘ ) ＝Ｈｏ　　　　　　　（３）　

ddxdKd

dxdBd

dxdJd

dxdK

R

1131

311

HodxdK

R

1

（４）

　　 H(τR)=Ho ＝一定

　　 K(τR)=τR Ｈ o+ C

　　 J(τR) ＝ S(τR)=B(τR)=3(HoτR+C) ＝ (σ/π)T4 (τR)

したがって、線形近似Ｓ＝ａ＋ｂ τ の結果が適用できる。

　　　　　　ａ＝３Ｃ　　ｂ＝３Ｈｏ　である。

Ho は、総フラックスで与えられた一定値。

Ｃは、 τ ＝０（表面）でフラックスＦが 4πH であるという条件から定める。

平均光学深さ τR を τR=∫ρ(x)κR(x)dx と定義すると、

Ｓ＝ 3 Ｃ＋３ Hoτ を線形大気（Ｓ＝ａ＋ｂ τ ）の結果に当てはめると、

　　フラックスＦ＝ π Ｓ (τ ＝２ / ３ ) ＝ π( ３Ｃ＋２Ｈ o)

モーメントの定義から、Ｆ＝ 4π Ｈであるから、

　　 π( ３Ｃ＋２Ｈ o) ＝ 4π Ｈ o

　　Ｃ＝２Ｈ o/ ３

結局、 H(τ)=Ho ＝一定

　　　 K(τ)=τ Ｈ o+ ２Ｈ o/ ３＝Ｈ o (τ+ ２ / ３ )

　　 J(τ) ＝ S(τ)=B(τ)=3Ho (τ+ ２ / ３ ) ＝ (σ/π)T4 (τ)

となる。　

ここまでの結果は、エディントン近似モデルの　 (iii) 　 I(τ)= I+ (τ) 　 μ>0

　 = I‐ (τ) 　 μ<0

でも考えられる。

　 H(τ)=Ho ＝一定＝ (I+ – I‐)/4

　　 K(τ)=τ Ｈ o+ C ＝ (I+ + I‐)/ ６　を解いて、

　　 I+ (τ) ＝２Ｈ (τ) ＋３ K(τ)= ２ Ho ＋３ (τ Ｈ o+ C)

　　 I‐(τ) ＝３ (τ Ｈ o+ C) － ２ Ho

仮定 ： 表面 τ ＝０で、Ｉ＝ Io (μ ＞０ )

＝ 0 (μ ＜０ )

とすると、Ｃ＝ ( ２ / ３ ) Ｈ o , Io=4Ho

　　 H(τ)=Ho ＝一定

　　 K(τ)=τ Ｈ o+ ( ２ / ３ ) Ｈ o ＝Ｈ o (τ+ ２ / ３ )

で、前ページと同じになる。

τ ＝０ Io

4Ho

4Ho

4Ho

エディントン近似モデル (iii)

エディントンモデルに入るパラメターはＨｏだけである。 パラメターＨｏを温度で表現する為、Ｆ＝ 4π Ｈｏ ＝ σ Ｔ e ４　で有効温度　Ｔｅ　

を導入する。すると、

　　　 Ｈｏ＝ σ Ｔ e ４／４ π

　　 J(τ) ＝ S(τ)=B(τ)=( ３ σ Ｔ e ４／４ π) (τ+2/3) ＝ (σ/π)T4 (τ)

　　 T(τ)4 =(3 /4)Te4 (τ+2/3)

表面 (τ ＝０ ) 温度 To はＴｅよりやや低く、　

　　　　 To4 = (1/2)Te4 、 (To=0.84Te)

また、　 T(τ=2/3) ＝Ｔｅ　

ここにも、 τ=2/3 　が現れている。

0 2/3 1 2 3

τ

0 2/3 1 2 3

τ

２HH

４H３H

H

K

JT/Te

０ .５

１

１ .５

Ｊ，Ｈ，Ｋの τ による変化 温度Ｔの τ による変化

８．４．線形大気からの放射Sλ(τλ)= aλ + bλτλ の場合、

恒星表面からの輻射強度 I(μ,τλ=0) は、

Ｉ (μ,τλ=0)=(1/μ)∫∞0Sλ(τλ)exp( -τλ/μ) dτλ

　　　　　　 = aλ+ bλμ

フラックスＦ λ は、

Ｆ λ ＝ ２ π∫ １０ μ Ｉ λ(μ,τλ=0) dμ

　　＝ ２ π ∫ １０ μ(aλ+ bλμ)dμ

　　＝ π[aλ+bλ(2/3) ]

＝ πSλ(τλ ＝ 2/3)

θ

τ＝０

Ｓ λ (τλ=cosθ)τλ ＝ cosθ

Ｉ (μ,τλ=0)

平均光学深さ τR=∫ρ(x)κR(x)dx を使うと、 τλ= τR (τλ/τR ） =2/3 の時

RRR 3

232

32

結局、Ｆ λ ＝ π Ｂ λ ( Ｔ ) 　

　　　　　　ただし、

その時、ＬＴＥを仮定すると、 Sλ ＝Ｂ λ 　なので

λ

κλ

κ Ｒ

λ

Ｆλ

Ｂ λ （Ｔｅ）

κλ ＝ κ Ｒ Ｆ λ ＝ π Ｂ λ [Te]

κλ < κ Ｒ Ｆ λ ＝ π Ｂ λ [T>Te]

κλ > κ Ｒ Ｆ λ ＝ π Ｂ λ [T<Te]

κλ が小さいと深い所を見るのでＦ λ は大きくなる。

RRTBF32

412141

32

434

eTReTRT

ここに、

41

121

ReTT

太陽　　　　　　　　　地球

λ

Ｆ（ λ）

F

σ Ｔｇ４　

地表

可視 赤外

８．５．温室効果地球表面の温度は基本的には、

　　　太陽輻射による熱流入（主に可視域）＝地表からの熱放射（主に赤外域）

で決まる。

この時の熱平衡の式は、地表温度＝Ｔｇとおくと、

　　　Ｆ（太陽）＝ σ Ｔｇ４　である。

太陽　　　　　　　　　地球

λ

Ｆ（ λ）

Fo

2(1- A)・Fo

(1- A)・Fo

大気　　　Ta

地表　　　Tg

可視 赤外

（１）単層モデル地球表面は赤外で不透明な（ τ＞１）大気に覆われている。

すると輻射の収支は前図から下図のように修正される。

　　Ｔａ＝大気温度、　Ｔｇ＝地表温度、　Ａ＝可視光反射率　である。

A・Fo

(1- A)・Fo

　　　　 To=太陽有効温度＝５７８０Ｋ、　Ｒｏ＝太陽半径、　　Ｄ＝１ＡＵ＝２１５Ｒｏ

　　　　 Fo=σTo4(Ro/D)2 ：　太陽から地上に向かう総フラックス（真上からとして）

　　 σTa4 ＝大気から上方向、宇宙空間への赤外放射＝下方向、地表への赤外放　　　　　　

　　 σTg4 ＝ 地表から大気への赤外放射 なので、

Fo=σTa4 ＋ＡＦ o 　　：大気の上での輻射収支

　Ｆ o ＋ σTa4 ＝ σTg4 ＋ＡＦ o 　　：大気と地表の間での輻射収支

単層モデルの仮定　１）大気は一様な温度Ｔａを持つ。　　　２）太陽光は可視、地上からは赤外のみ放射

　３）大気は可視で透明、赤外は不透明で黒体　　　４）可視太陽光の地表反射率＝Ａ

大気

Fo=σTa4 ＋ＡＦo 　　

　Ｆ o ＋ σTa4 ＝ σTg4 ＋ＡＦ o 　　

太陽

大地

Fo　

Fo　

AFo　

AFo　

σTa4

σTa4

σTg4

　　

太陽表面でのフラックス＝ σTo ４、　太陽半径＝ Ro 、　地球太陽距離＝ D

とおくと、

Fo=σTo ４（ Ro/D) ２　　であるから、上の式に代入すると、

Ｔａ＝ To(Ro/D)1/2 (1-A) 1/4 , 　Ｔｇ＝２ 1/4 Ｔａ

　　Ａ　　　　０．１　　　　０．３　　　　　０．５　　　　　０．７　　　　０．８　　　０．８５　　０．９

　　Ｔａ　　　３８４　　　　３６０　　　 　　３３１　 　２９２　　　　２６４　　　２４５　　　２２２

　　Ｔｇ　　　４５５　　　　４２８　　　　　３９４　　　　　３４７　　　　３１３　　　２９２　　　２６３

　（１－ A) Ｆ o ＝σTa4 　

σTg4 ＝２ σTa4 　

このように、大気が毛布の役をするので地上温度は大気の 1割以上高温

となる。

単層モデルでの Tg と Ta との関係が、エディントン大気での Te と Toとの関係と同じであるのは面白い。

Fo=太陽の可視フラックス

AFo=反射。

(1-A)Fo=地表で吸収。エディントン近似では、大気温度は大気表面から地表にかけて上昇し、ロスランド平均光学深さ τ Ｒ＝ 2/3

での温度Ｔ２ /3 が単層モデルの大気温度 Ta と等しい。

Ｔ２ /3 ＝ Ta ＝ To(Ro/D)1/2 (1-A) 1/4

大気表面

　　 τ ＝０

地表面

τ ＝ τ Ｇ

τ＝ 2/3

－

大気は赤外では不透明で、温度勾配を持つ。平面大気中を地表から

大気表面へ向け F = (1-A)Fo の赤外フラックスが流れると考える。

（２）エディントン大気モデル

可視 赤外

地球大気の特異性は、後に示すように大気の上端から地表までのロスランド平均光学的深さ τR

G が 2/3 より小さいことである。このため大気温度が Te まで達することは起こらない。

そこで、通常のエディントン大気モデルを次のように変更する。

１：　地表までの大気温度分布はエディントン大気モデルを採用

　　　　　大気上端温度＝ To 　　　　　　　地表温度＝ TG 　　とすると、

RTT

2314

04

２：　地表までの光学的深さ τλG は波長による。

　　　 τλG＞２ / ３　ならば　 Fλ は τλ ＝２ / ３、すなわち τR= （２ / ３）

（ τRG/τλ

G ）

　　　　　　　の深さを見る。その深さでの温度 T は、

G

GR

G

GR

R TTTT

1

32

231

32

231 4

04

04

04

τλG＜２ / ３　だと　地表（ T=TG ）が直接見えてしまう。

G

RG TT 2314

04

GGRR

G

G

GRG

TBTBF

TBTBF

　　　 　 　の時

　　　　 　 　の時

32

132

32 4

1

0

大気上端

地表

　32

G 　

32

G

　32

　になる筈の場所32

GTG

To

(μ )波長 logτ λG

1 - 1.271.5 - 0.18

2 - 0.722.5 0.915

3 0.3693.5 - 1

4 - 1.544.5 1.078

5 0.2055.5 1.734

6 3.0996.5 2.842

7 2.4217.5 1.242

8 0.3588.5 - 0.44

9 - 0.74

大気から地表までの光学的厚み τλG

(μ )波長 logτ λG

9.5 2.54710 0.105

10.5 - 1.2811 - 1.33

11.5 - 1.1612 - 1.03

12.5 - 0.7413 - 0.4

13.5 0.35814 1.242

14.5 2.71615 3.684

15.5 2.63216 1.284

16.5 1.03217 0.821

17.5 0.737

(μ )波長 logτ λG

18 0.69518.5 0.695

19 0.73719.5 0.863

20 0.94720.5 1.074

21 1.15821.5 1.284

22 1.45322.5 1.579

23 1.66323.5 1.832

24 1.95824.5 2.084

25 2.211

大気吸収を取り扱い易くするために前々ページのグラフから、

吸収＝水蒸気連続吸収＋水蒸気バンド吸収 +炭酸ガスバンド吸収

と考え、以下のように近似する。

)()()()()()(

10)(CO

10)(CO

10)(CO

10)(

10)(

10)(

654321

]5.15)([35.026

]15)([5.28.35

]5.9)([2.37.24

]6)([9.033

]5.2)([12

)(24.041

2

2

2

2

2

　

２

２

２

　

　 　　 　 　 　 　大気全吸収

　 　ｍバンド吸収１６

　 　ｍバンド吸収１５

　 　ｍバンド吸収１０

　ｍバンド吸収水蒸気６

　 　　 　水蒸気近赤外吸収

＝　 　　 　 　水蒸気連続吸収

G

m

m

m

m

m

m

次ページの上図は前と同じ大気の光学的深さの測定値で、下図は上の近似式をグラフにしたものである。バンドの形等細かいところでの違いはあるが、今後はこの近似式で話を進める。

大気吸収の近似式

τ λ大気上端から地上までの光学的深さ （ ）

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25λ μ（ ｍ）

log

τλ（

）

τ λ 1 CO CO大気光学的深さ （ ） モデル ： ２標準 モデル２： ２倍

- 2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25λ

log

τ

CO2標準 CO2*1.5

H2O

H2OCO2

CO2

ロスランド平均の定義は、

大気の κλ は温度 T の関数であるが、温度依存を無視すると、大気表面から地表までの平均光学深さ τR ＝∫ κR ρ ｄｘ は上と同じ形、

ddTTdB

ddTTdB

R

11

ddTTdB

ddTTdB

R

11

1exp

15

2

kTch

chB

)()(

14388KTmkT

chX

TXXXch

dTdB

25

2

1expexp

なので

で計算できる。

とおき、

となる。

ロスランド平均光学的深さ　τR

簡単に前頁の積分を、下式のような和で置き換え、 T= ２８０ K て計算すると、

359.0

1expexp

1expexp1

1

25

25

R

i i

ii

i i

ii

i

R

TXXX

TXXX

　 　 　 　 　 　

大気上端の温度として（ちょっと高いが） To=260K を採用する。　すると、

K6.289260359.0231

41

GT

m/m/1

)K(m3.14388exp

1m

10742.3 25

8

W

T

TBF

GG

G

GRG

TT

TT

　 　 　の時

　 　 　の時

32

132 4

1

0

大気輻射スペクトル

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25λ μ（ ｍ）

F λ

W/（ｍ

２/μｍ」

CO 正常 TG黒体（ ） To)黒体（

吸収の強い波長帯では T=To （大気上端）の黒体輻射

吸収の弱い波長帯では T=TG(地表 ) の黒体輻射

　問題８　２００５年１２月１２日　　　　　提出 2005年 1２月１９日８ A

魔法瓶の外壁は室温 To= ３００ K 、内壁は中のお湯の温度 Ti= ３７０ K に保たれている。

簡単のため外壁と内壁は黒体、その間は真空と考える。

（１）　内壁から外壁に流れる１ｍ２当たりの熱流の大きさ W0 を求めよ。

（２）　内壁と外壁の間に黒体の膜を１枚張る。この時の熱流W1 を W0 で表せ。

（３）　膜が N枚ではどうか？

Ti To

．．．

T１

TNT２

WN

８ B 　　　 To ＝２６０ K 一定として、大気中 CO が２倍になると、地表温度は何度にな

　　　　るか？　その時、 Fλ が増加する波長と減少する波長が生じる理由を述べよ。