ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی
DESCRIPTION
ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی. استاد راهنما: دکتر مجتبی آقایی. گردآورندگان: طاهره رفیعی زهرا منتظری مژگان خاتمی. آ پولونیوس. آپولونيوسِ پِرگايي (262ـ190ق‌م ،( ریاضیدان و ستاره شناس یونانی که مقاطع مخروطی و حرکات سیاره‌ای از زمینه‌های موردتوجه او بودند . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
پولونیوسآپرگايي ) و ،)ق‌م190ـ262آپولونيوس ریاضیدان
و مخروطی مقاطع که شناسیونانی ستارهبودند او موردتوجه زمینه‌های از سیاره‌ای .حرکات
اسالمي منابع در وي بلينوس نام صورت به بيشترابولونيوس، صورتهاي به نيز بليناسو يا
ابلونيوسآمده ، افولونيوس ابولوس، ابلينس،را . معاصرانشاو ( است مهندسبزرگ)
لقب. اسالمي دانشمندان از برخي مي‌ناميدندداده‌اند وي به ساعت .نجار نوعی تکمیل به او
یکسطح روی آن ساعتی خطوط که آفتابیپرداخت مخروطی هم بودند شده .کشیده
این و کرد کار مخروطی مقاطع هندسه زمینه در ویهمان . اواز نمود شناسان اختر به زیادی کمک هندسه
و تازه نتایج به اما نمود استفاده یونانی برهانهاییافت دست مخروطی مقاطع هندسه درمورد .جالبی
نوع در كه است مخروطات كتاب وي اثر مشهورترينبه وي زمان علمي اثر مهم‌ترين و خود مي‌رفته شمار
. مقاطع مبحث وي است بوده استفاده مورد قرنها تادر كه را گذشته مخروطي هندسه‌دانان پژوهشهاي
اصطالحات و كرد تكميل بود، ( ( Parabola ناقصمانده) شلجمي ، سهمی و( Hyperbola يا بيضي( (Ellips هذلولي
. ساخت دانشمخروطات وارد را
سده‌هاي در آپولونيوس اثار از مهمي بخششده ترجمه عربي زبان به هجري نخستين
به است، چيزي ترجمه‌ها اين از نه اكنون ولي . عنوان آنها يوناني اصل از نه است مانده جاي
: رساله است چنين آثار اين از قسمتي عربيفي رساله النسبه، علي السطوح قطع في
المماسه الدوائر في رساله المحدوده، .النسبه
به راجع مطالعه برای مرجع ازخطوط اغلب آپولونیوس . اوبیضی مثال برای کرد می استفاده مخروطی مقاطعخط قطرویک درطول فاصله گیری اندازه وسیله به را
شود می برقطررسم عمود که دربیضی مماس. کرد می مطالعه
؟ شبیه بسیار آپولونیوس گیری اندازه سیستم . آن با مهم تفاوت چندین اما کند می کار
وجوددارد:: اول
ندارد زاویه همیشه آپولونیوس مرجع خطوط. مایلند گاهی
: دوم از . تنها او کرد نمی استفاده منفی اعداد از آپولونیوس
کند . حرکت مرجع خطوط طول در توانست می راه یک: عمده تفاوت
وسپس کرد می رسم را منحنی همیشه ابتدا آپولونیوسممکن ما امروزه اما کرد می اضافه آن به را خطوط
هذلولی یا سپسسهمی و کشیده را ؟ محورهای استسهمی ی معادله به نیاز کار این برای اما کنیم رسم را
. داریم هذلولی یامی بنابراین کرد نمی استفاده جبر از آپولونیوس
. کرد می مطالعه رسم بدون هندسه مورد در بایست
نظریۀXمقاطع‌مخروطی‌آپولونیوس
قاعده
یک‌سطح‌مخروطی‌دو‌پارچه‌از‌خطوط‌مستقیمی‌که‌بر‌نقاط‌محیط‌یک‌دایره،به‌نام‌قاعده،و‌نقطۀXثابتی‌غیر‌واقع‌بر‌صفحۀXقاعده‌می‌گذرند،تشکیل‌می‌شود.
هر‌یک‌از‌خطوط‌مستقیم‌را،یک‌مولد‌سطح،نقطۀXثابت‌را‌رأس‌آن،
و‌خط‌مستقیمی‌مار‌بر‌رأس‌و‌مرکز‌قاعده‌را‌محور‌می‌نامند.
یک‌مخروط‌جسمی‌است‌که‌توسط‌بخشی‌از‌‌‌‌‌‌سطح‌مخروطی‌دو‌پارچه‌که‌بین‌رأس‌و‌قاعده
قرار‌دارد،محصور‌می‌شود.
مولد
رأس
محور
Xاقلیدس‌و‌ارشمیدس‌هر‌دو‌پیش‌از‌آپولونیوس‌دربارۀمقاطع‌مخروطی‌چیز‌نوشتند،اما‌در‌بحثهای‌آنان‌از‌مقاطع‌مخروطی،مخروط‌همان‌به‌اصطالح‌مخروط‌قائم‌بود‌که‌در‌آن،محور‌بر‌دایره‌قاعده‌عمود‌است.سپس‌این‌مخروط‌قائم‌به‌وسیلۀXصفحه‌ای‌عمود‌بر‌یک‌مولد‌قطع‌داده‌می‌شد،و‌به‌این‌ترتیب‌یک‌مقطع‌مستوی‌به‌دست‌می‌آمد،و‌نوع‌مقطع‌به‌زاویۀXرأس
مخروط‌بستگی‌داشت.بنابراین‌در‌دنیای‌باستان،مقاطع‌مخروطی‌اشکال‌مسطحه‌بودند،در‌حالی‌که‌ما
به‌مرزهای‌این‌اشکال‌مسطحه‌نظر‌داریم‌و‌مقاطع‌مخروطی‌را‌منحنی‌تلقی‌می‌کنیم .
آپولونیوس‌این‌روش‌تولید‌مقاطع‌مخروطی‌را‌با‌در‌نظرXگرفتن‌مقاطع‌مسطحه‌ای‌از‌یک‌مخروط‌دو‌‌پارچۀ
دلخواه‌که‌محور‌آن‌ممکن‌است‌نسبت‌به‌قاعده‌مایل‌باشد،تعمیم‌داد‌و‌نشان‌داد‌که‌به‌این‌ترتیب‌صرف‌نظر‌از‌دایره،تنها‌سه‌سطح‌مخروطی‌شناخته‌شده
می‌توانند‌به‌وجود‌آیند.آپولونیوس‌در‌شروع‌کتاب‌مقطع‌مخروطی‌اش،
از‌این‌حقیقت‌استفاده‌کرد‌که‌این‌شکلها‌مقطعهای‌یک‌مخروطند‌و‌منظور‌او‌تنها‌آن‌بود‌که
خواص‌مقدماتی‌این‌مقاطع‌را،که‌آنها‌را»عالئم«نامیده،اثبات‌کند.
قاعده
مولد
رأس
محور
نظریۀXمقاطع‌مخروطی‌آپولونیوس
بنابر‌گفتۀXآپولونیوس،یک‌سهمی‌مقطع‌مشترک‌یک‌مخروط‌و‌یک‌صفحه‌است
وقتی‌که‌صفحه‌با‌یکی‌از‌مولدهای‌مخروط‌موازی‌باشد.
و‌هذلولی‌هر‌یک‌از‌دو‌مقطع‌مشترکی‌است‌که‌وقتی‌صفحه‌با‌هر‌دو‌قسمت‌مخروط‌دو‌پارچه
تالقی‌می‌کند،تشکیل‌می‌شود.در‌هر‌یک‌از‌دو‌مقطع‌مخروطی،
خطی‌که‌دو‌نقطه‌بر‌مرز‌را‌به‌هم‌وصل‌می‌کند،وتر‌نامیده‌می‌شود.
A
U
V
Y F
Z E
B
آپولونیوس‌نشان‌داد‌که‌اواسط‌همۀXوترهای‌موازی‌با‌وتری‌ثابت،بر‌خط‌مستقیمی‌واقعند‌و‌اگر‌این‌خط
قطع‌کند،Aمستقیم‌مرز‌را‌در‌‌با‌همۀXوترها‌موازی‌است.A مماس‌در
این‌خط‌مستقیم،قطر‌مقطع‌و‌محل‌تالقی‌یک‌قطر‌با‌مرز،رأس‌مقطع‌مخروطی‌نامیده‌می‌شود.
نیم‌وترهایی‌که‌در‌یک‌طرف‌قطر‌قرار‌دارند،عرضهای‌این‌قطر‌نامیده‌می‌شوند.
وقتی‌عرضها‌بر‌این‌قطر‌عمود‌باشند،چنین‌قطری‌منحصر‌به‌فرد‌است
و‌محور‌نامیده‌می‌شود.
A
U
V
Y F
Z E
Bx
،در‌شکل‌روبروEF،یکی‌از‌قطرهاستYZ وUV باEFموازی‌اند.
AB.قطر‌مار‌بر‌اواسط‌این‌قطرهاستXYیکی‌از‌این‌عرضها‌برای‌قطرAB،و‌خطCD.محور‌است
C D
A
U
V
Y F
Z E
BD
x
موازی‌اند.CDدر‌مورد‌سهمی‌قطرها‌همه‌با‌محور نقطه‌ای‌دلخواه‌برXقطری‌مفروض،ABفرض‌کنید
ABوXYعرض‌در X.باشند‌‌پاره‌خط‌ثابتی‌مانندAB آپولونیوس‌نشان‌داد‌که‌با‌قطر
pمتناظر‌است‌به‌طوری‌که‌ضلع‌دیگر‌مستطیلی‌که‌‌‌مساوی‌و‌یکی‌از‌اضالع‌آن‌باXY با‌مربعی‌به‌ضلع
AX،برابر‌است‌‌پارامتر)ضلع‌قائم(pیکی‌است‌پاره‌خطpدقیقا‌با
نام‌دارد.ABمتعلق‌به‌قطر،XY= yوAX=xاگر‌قرار‌دهیم
آنگاه‌عالمت‌آپولونیوس‌به‌‌در‌می‌آید.p.x=y2صورت‌معادلۀXنوین
Cx
y
عالئم‌سهمی
در‌اینجا‌منحنی‌دارای‌یک‌مرکز‌است‌که‌همان‌نقطه‌واقع‌بر‌محور‌است‌که‌در‌وسط‌خط‌واصل‌بین‌رأسهای‌دو
مقطع‌قرار‌دارد.هر‌خط‌مار‌بر‌این‌مرکز،یک‌قطر‌است‌و‌مرکز‌آن،بخشی‌از‌یک‌قطر‌را‌که‌بین‌دو‌شاخۀXمقطع‌قرار‌دارد،نصف
می‌کند.
دو‌سر‌بخشی‌از‌یک‌قطر’cوcفرض‌کنید‌بین‌دو‌شاخه‌منحنی‌باشند،
که‌ضلع‌مایل‌نامیده‌می‌شود.’a=CCو
C’
Ca
عالئم‌هذلولی
C’
P E
C
xY
ap
pپاره‌خطی‌مانندaآپولونیوس‌ثابت‌کردکه،متناظر‌با‌با‌خصوصیت‌زیر‌موجود‌است:
مستطیلی‌به‌ضلعCXکه‌با‌مربعی‌به‌ضلعXYیکی،بیشتر‌خواهدpاز‌عرضها‌برابر‌باشد،ضلع‌دیگرش‌از
بود.بعالوه،مستطیلی‌که‌اضالع‌آن‌زیادتی‌این‌ضلع‌ازpو
CXاست)مستطیل‌آبی‌رنگ(با‌مستطیلی‌که‌اضالع‌‌‌هستند،متشابه‌است.pو aآن
،ضلع‌دیگر،sبنابراین،a : CX=p :sدر‌تناسب
صدق‌می‌کند.s=(p/a).CXیعنی
C’
P E
C
x Y
برای‌اینکه‌بفهمیم‌معنی‌هندسی‌عالمت‌هذلولی‌‌پارامترCPسر‌قطر‌و’Cچیست،فرض‌کنید‌که
باشد.Eرا‌درC’PخطXدرCXهمچنین‌فرض‌کنید‌که‌عمود‌بر
قطع‌کند.دراینصورت،عالمت‌آپولونیوس‌ایجاب‌می‌کند‌که
باشد.2(xy)برابرXEوCXمستطیل‌به‌اضالع
،XY=yوCX=xباز،اگر‌قرار‌دهیم‌‌عالمت‌به‌صورتY2=(p+s)x=px+(p/a)x2
در‌می‌آید،که‌معادلۀXنوینی‌برای‌هذلولی‌است.
x
موارد‌عمدۀXکاربرد‌مقاطع‌مخروطی)به‌جز اسالم‌‌دایره(هم‌در‌دنیای‌یونان‌و‌هم‌در‌دنیای
در‌ترسیمهای‌هندسی،نظریۀXساعتهای‌آفتابی،و‌آینه‌هایی‌بود‌که‌نور‌را‌برای‌سوزانیدن‌در‌نقxطه
ای‌متمرکز‌می‌کردند.استفاده‌از‌بیضی‌در‌نجوم‌برای‌طرحریزی
مسیرهای‌سیارات‌در‌اوایل‌سدۀXهفدهم‌میالدی‌به‌وسیلۀXکپلر‌معمول‌شد.
کاربردهای‌مقاطع‌مخروطی
آن‌شروعBG و‌قطرABDGارشمیدس‌کار‌را‌با‌مربعمی‌کند.
B A
D G
رسم‌هفت‌ضلعی‌توسط‌ارشمیدس
می‌چرخاند.Dو‌سپس‌ستاره‌ای‌را‌حولBAو‌امتدادضلعAG،ضلعBGبه‌طوری‌که‌ستاره‌قطر‌قطع‌کند.z،وT ،Eرا‌به‌ترتیب‌در‌نقاط
∆(DTG)برابر‌مساحت∆(AEZ)و‌به‌طوری‌که‌مساحت‌باشد.
B A
D G
Z
E
T
رسم‌هفت‌ضلعی‌توسط‌ارشمیدس
رسم‌می‌کند.AGرا‌به‌موازاتKTLسرانجام،را‌طوری‌تقسیم‌می‌کنند‌که‌سه‌پاره‌خطBZپاره‌خطAوKسپس‌ثابت‌می‌کند‌که
BK ،KAوAZ.بتوانند‌مثلثی‌تشکیل‌دهند‌و‌به‌طوری‌که
BA .BK =ZA2 وKZ .KA = KB2 .
B
D
T
LG
K A Z
E
رسم‌هفت‌ضلعی‌توسط‌ارشمیدس
را‌طوری‌تشکیل‌دهیدکه:∆) KHA)بنابراین،KH=KB وAH=AZ
Xو‌دایرۀBHZرا‌برB ، H ، Z.رسم‌کنید‌‌ارشxمیدسxثابت‌میxکند‌که
BH.دایره‌استxیک‌هفتم‌محیط
B
D
T
LG
K A Z
E
H
رسم‌هفت‌ضلعی‌توسط‌ارشمیدس
این‌ترسیم‌همان‌قدر‌که‌مسئله‌حل‌می‌کند،همان‌قدر‌هم‌مسئله‌ایجاد‌می‌کند.در‌حال‌چرخش‌تصور‌کنیم‌به‌طوری‌که‌از‌نقاطD البته‌اگر‌ستاره‌ای‌را‌حول
عبور‌می‌کند،GوAبین‌‌می‌تواند‌به‌اندازۀXدلخواهی‌کوچک‌شود. ∆)AEZ(حرکت‌می‌کند،Aوقتی‌به‌طرف
∆)DTG(در‌حالی‌که‌به‌یک‌چهارم‌مربع‌میل‌می‌کند.
B
D
T
LG
K AZ
E
H
نزدیکتر‌میG از‌سوی‌دیگر،وقتی‌ستاره‌به ∆)DTG(به‌اندازۀXدلخواهی‌بزرگ‌و ∆)AEZ(شود،
به‌اندازۀXدلخواهی‌کوچک‌می‌شود.
B
D
T
LG
K AZ
E
H
بنابراین،در‌یک‌وضعیت‌بینابینی،دو‌مثلث‌برابر‌خواهند‌بود‌و‌لذا‌روش‌ارشمیدس،بیشتر‌یک‌برهان‌وجودی‌است،تا‌یک‌ترسیم.بنابراین،
1200مسئله‌به‌عنوان‌مسئله‌ای‌که‌در‌حدود‌سال‌بصورت‌ترسیمی‌حل‌نشده،باقی‌ماند.
ابوسهل‌به‌مسئلۀXترسیم‌هفت‌ضلعی‌منتظمی‌که‌با‌عالقه‌و‌تجربۀXاو‌در‌مقاطع‌مخروطی‌سازگاری‌داشت،توجه‌کرد‌و‌مالحظه‌نمود‌که‌جوابی‌در
مقاطع‌مخروطی‌برای‌آن‌وجود‌دارد.روش‌او‌ملهم‌از‌برهان‌ارشمیدس‌بود،و‌وقتی‌از‌ترسیم‌هفت‌ضلعی‌به‌عنوان‌مسئله‌ای‌یاد‌می‌کند‌که‌هیچ
هندسه‌دانی‌پیش‌از‌او،»حتی‌ارشمیدس«قادر‌به‌حل‌آن‌نبوده،بدون‌تردید‌اشارۀXاو‌عمال‌به‌مسئله
ترسیمی‌است‌که‌روش‌ارشمیدس‌آن‌را‌ایجاب‌می.کند
تحلیل‌ابوسهل
روش‌ابوسهل‌آن‌است‌که‌ابتدا‌مسئله‌را‌تحلیل‌کند،یعنی‌فرض‌کند‌که‌هفت‌ضلعی‌ترسیم‌شده‌و‌در
جهت‌عکس،با‌استفاده‌از‌سلسله‌استنتاجهایی‌که‌با‌حفظ‌درستی‌قابل‌معکوس‌شدن‌هستند،استدالل
نماید.او‌نشان‌می‌دهد‌که‌چگونه‌هر‌ترسیم‌خاصی‌را‌که‌در
محدودۀXهیچ‌نظریه‌ای‌نمی‌گنجد،می‌توان‌در‌نظریۀXمقاطع‌مخروطی‌داخل‌کرد.چنین‌عملی‌درXیک‌کاسه‌کردن‌روشهای‌ریاضی‌متفاوت،جوهرۀ
اصلی‌پیشرفتهای‌ریاضی‌است.
تحلیل‌ابوسهل
Xفرض‌کنید‌که‌در‌دایرۀABGقادر‌به‌ترسیم‌‌‌یک‌هفت‌ضلعی‌منتظم‌شده‌باشیم.BGضلع
.AB=2BGو
،3BG=ABGپس‌کمان
یک‌هفتم‌کل‌محیط‌است،BGو‌چونADG=4BG.
G
B
A
D
اولین‌تحویل:از‌هفت‌ضلعی‌به‌مثلث
اصول‌اقلیدس،Ⅳمقالۀ33Xبنابر‌قضیه‌‌روی‌محیط‌متناسب‌با‌کمانهای ∆)ABG(زوایای
در‌حالیB=4Aمتقابل‌به‌آنهاست،و‌بنابراین.در‌نتیجه،ترسیم‌اصلی‌به‌مسئلۀG=2AXکه
4:2:1ترسیم‌مثلثی‌که‌زوایایش‌به‌نسبت‌باشد‌تحویل‌می‌شود.
G
B
A
D
اولین‌تحویل:از‌هفت‌ضلعی‌به‌مثلث
مثلثی‌باشد‌بطوری‌کهABGفرض‌کنیدB=2G=4A.
ودایره‌ای‌بهABو‌شعاعBودایره‌ای‌به‌مرکزGمرکز‌راBGرسم‌میکنیم.AGو‌شعاع
از‌دو‌طرف‌امتداد‌دهید‌به‌طوری‌که‌دایره‌ها‌را‌از
دو‌طرف‌قطع‌کند.را‌کامل‌کنید.AEDمثلث
E B G D
A
دومین‌تحویل:از‌مثلث‌به‌تقسیم‌پاره‌خط
A2هدف‌اساسی‌برهان‌این‌است‌که‌نشان‌دهیم=Dتا‌اینکه‌دو‌مثلثABG وDBA.متشابه‌باشند
E G DB
A
2
دومین‌تحویل:از‌مثلث‌به‌تقسیم‌پاره‌خط
1A1 =Gسپس‌باید‌نشان‌دهیم‌که‌‌متشابه‌باشند.GEAو AEBتا‌اینکه‌مثلثهای
بعد‌از‌انجام‌این‌کار،با‌توجه‌به‌تشابه‌اول،DB/BA=AB/BG،و
GE/AE=AE/BEباتوجه‌به‌تشابه‌دوم،
E G DB
A
21
1
دومین‌تحویل:از‌مثلث‌به‌تقسیم‌پاره‌خط
BA2=DB.BGو EA2=GE.EBبنابراین‌نتیجه‌می‌شود‌که، AB=BEولی‌چون E=BAE=G
BE2=DB.BGو‌اولی‌به‌صورت
.BA=BEدر‌می‌آید‌زیرا
E G DB
A
21
1
دومین‌تحویل:از‌مثلث‌به‌تقسیم‌پاره‌خط
،BAE=Gو A=Dبنابراین‌به‌محض‌اینکه‌نشان‌دهیمنشان‌داده‌ایم‌که‌ترسیم‌هفت‌ضلعی‌منتظم،
استB ،Gدر‌دو‌نقطۀEB Xمستلزم‌پاره‌خطی‌مانند‌به‌طوری‌که
)1 (GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2
E G DB
A
1
1 2
2
دومین‌تحویل:از‌مثلث‌به‌تقسیم‌پاره‌خط
زایۀXخارجیAGBاما‌در‌مورد‌زوایا،توجه‌کنید‌که‌‌است،AGDمثلث‌متساوی‌الساقین
،به‌طوری‌کهAG=GDکه‌در‌آنBGA=DAG+D=2D
E G DB
A
*
دومین‌تحویل:از‌مثلث‌به‌تقسیم‌پاره‌خط
.A=D،بنابراینBGA=2Aاما‌می‌دانیم‌که‌‌زاویۀXخارجیBدر‌مورد‌زاویۀXدیگر،مالحظه‌کنید‌که
است،ABEمثلث‌متساوی‌الساقین،B=2Gدرحالی‌که‌در‌همان‌حال،B=2BAEبنابراین
. BAE=Gبنابراین
E G DB
A
1
1*
2
2
دومین‌تحویل:از‌مثلث‌به‌تقسیم‌پاره‌خط
تقسیم‌شدهB ، G پاره‌خطی‌باشد‌که‌درEDفرض‌کنید‌است.
به‌طوری‌که)1 (GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2
باال‌صادق‌باشند.)2(و )1(E B G
D
سومین‌تحویل:از‌پاره‌خط‌منقسم‌به‌مقاطع‌مخروطی
ABZرا‌برEDعمود‌کنید‌باAB=BGوBZ=GD،را‌کامل‌کنید.BZTEو‌سپس‌مستطیل
،ZA.AB=DB.BG=BE2دراینصورت،BE=TZوAB=BGو‌چون
ZA.BG=TZ2می‌توانیم‌بنویسیمAبر‌یک‌سهمی‌به‌رأسTکه‌حاکی‌از‌این‌است‌که
قرار‌دارد.BGو‌پارامتر
T Z
E B G
A
D
سومین‌تحویل:از‌پاره‌خط‌منقسم‌به‌مقاطع‌مخروطی
؛اماGE.EB=GD2) 1(از‌سوی‌دیگر،بنابرGD=BZ=ETلذا،GE.EB=ET2بنابراینTبر‌هذلولی
و‌ضلع‌مورب‌و‌پارامترBای‌واقع‌است‌که‌رأس‌آن‌‌اند.BGآن‌هر‌دو‌مساوی‌پاره‌خط
T Z
E B G
A
D
سومین‌تحویل:از‌پاره‌خط‌منقسم‌به‌مقاطع‌مخروطی
تحلیل‌ما،اینک‌ما‌را‌به‌دو‌مقطع‌مخروطی‌رهنمون‌شده‌است-یک‌سهمی‌و‌یک‌هذلولی-که‌هر‌دو‌با
،نقطۀXتالقی‌اینTمعین‌شده‌اند.B ،GدرEDتقسیم‌‌را‌معین‌میTZ وETدو‌مقطع‌مخروطی،طولهای
Xکند،و‌این‌دو‌دوپاره‌خط‌باقیماندۀGD=ETوEB=TZدرEBGD را‌به‌وجود‌می‌آورند‌با‌این‌ویژگی‌که‌خط
B وGصادق)2(و )1(تقسیم‌شده‌است‌بطوریکه‌‌باشند.
T Z
E B G
A
D
سومین‌تحویل:از‌پاره‌خط‌منقسم‌به‌مقاطع‌مخروطی
،ضلع‌هفت‌ضلعی‌کهBGبنابراین‌با‌مفروض‌بودن،EBGDمی‌خواهیم‌بسازیم،می‌توان‌پاره‌خط
سرانجام‌هفت‌ضلعی‌را‌بسازیم.،و∆)ABG(سپس‌‌‌‌البته‌به‌محض‌اینکه‌هفت‌ضلعی‌در‌یک‌دایره‌ترسیم
شد،می‌توان‌بنابر‌تشابه‌آن‌را‌در‌‌‌هر‌دایرۀXدیگر‌ترسیم‌کرد.
T Z
E B G
A
D
سومین‌تحویل:از‌پاره‌خط‌منقسم‌به‌مقاطع‌مخروطی
ترسیم‌نه‌ضلعی‌منتظم‌حالت‌خاصی‌از‌تثلیث‌زاویه‌است، است.اما3/ 1200 =9/ 3600زیرا‌زاویۀXمرکزی‌یک‌نه‌ضلعی
زاویۀXمرکزی‌مقابل‌به‌یک‌ضلع‌مثلث‌متساوی‌االضالع1200محاط‌در‌دایره‌است،لذا‌نه‌ضلعی‌منتظم‌را‌در‌یک‌دایره
می‌توان‌با‌تثلیث‌این‌زاویه‌ترسیم‌کرد.این‌مطلب‌بر‌یونانیان‌باستان‌معلوم‌بود،و‌پاپوس‌اسکندرانی
سه‌روش‌برای‌تثلیث‌زاویه‌می‌دهد‌که‌در‌همۀXآنها‌از‌مقاطع‌مخروطی‌استفاده‌می‌شود.ظاهرا‌تنها‌روش
باستانی‌را‌که‌به‌دانشمندان‌مسلمان‌منتقل‌شده،
می‌توان‌در‌آثار‌ثابت‌بن‌قره‌و‌حامی‌و‌همکار‌او‌احمدبن‌شاکر‌یافت.
ترسیم‌گرایشی‌نه‌ضلعی‌منتظم
در‌یک‌ترسیم‌گرایشی،دو‌منحنی،معموال‌خطوط‌راست‌یا‌کمانهایی‌از‌دایره،
XنقطۀPغیر‌واقع‌بر‌این‌منحنیها‌‌‌به‌ما‌داده‌می‌شود.ABو‌نیز‌پاره‌خط‌راست
A B
C
D
p
ترسیم‌گرایشی‌نه‌ضلعی‌منتظم
است.CD=ABمسئله‌عبارت‌از‌ترسیم‌پاره‌خط‌راست‌‌گرایشPبه‌سمت‌نقطۀCDXبه‌طوری‌که‌مورب
Xداشته‌باشد،یعنی،وقتی‌امتداد‌دهیم‌از‌نقطۀPبگذرد.
A B
C
D
p
ترسیم‌گرایشی‌نه‌ضلعی‌منتظم
در‌این‌بخش‌توجه‌خود‌را‌به‌اثری‌از‌ابراهیم‌بن‌بستان،دربارۀXرسم‌مقاطع‌مخروطی‌معطوف
خواهیم‌کرد.این‌اثر‌شامل‌بحث‌دقیقی‌از‌نحوۀXرسم‌سهمی‌و‌بیضی،و‌نیز‌سه‌روش‌دربارۀXرسم‌هذلولی،
همراه‌با‌براهین‌آنهاست.شاید‌ارائۀXاینهمه‌روشXبرای‌هذلولی‌به‌آن‌سبب‌بوده‌که‌هذلولی‌مورد‌عالقۀ
ابزارسازان‌بوده‌است.از‌این‌اثر‌دو‌نمونه‌انتخاب‌خواهیم‌کرد،یکی‌که‌به‌ترسیم‌سهمی‌می‌پردازد،که
برای‌ترسیم‌آینه‌های‌محرق‌مورد‌نیاز‌است،و‌دیگری‌یکی‌از‌سه‌روش‌رسم‌هذلولی‌را‌می‌دهد.
ترسیم‌مقاطع‌مخروطی
روش‌ابراهیم‌چنین‌است:را‌جدا‌کنید.ABپاره‌خط‌ثابتAGروی‌خط1..2BEرا‌عمود‌برAB.رسم‌کنید،و...را‌به‌تعداد‌دلخواهH ،D ،ZنقاطBGاینک‌بر3.
انتخاب‌کنید.را‌رسم،وAH،نیمدایره‌به‌قطرHبا‌شروع‌از4.
قطع‌کند.Tآن‌را‌درBEفرض‌کنید‌که‌عمود
A B H G
E
T
D Z
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌سهمی
رسم‌کنید.ABخطی‌به‌موازاتTاز.5رسم‌کنید.BEخطی‌به‌موازاتHاز.6
قطع‌کنند.Kفرض‌کنید‌این‌خطها‌یکدیگر‌را‌در‌‌رسم،و‌فرض‌کنید‌کهADسپس‌نیمدایره‌ای‌به‌قطر .7
قطع‌کند.Iرا‌درBEاین‌نیمدایره
A B H D Z G
E
kTI
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌سهمی
BEوAGبه‌ترتیب‌به‌موازاتDوIخطوطی‌از.8Lرسم،و‌فرض‌کنید‌که‌این‌دو‌خط‌یکدیگر‌را‌در
قطع‌کنند.9.Xهمین‌عمل‌ترسیم‌را‌در‌مورد‌نقاط‌باقی‌ماندۀ
Z.انجام‌دهید‌تا‌نقاط‌متناظر‌را‌بدست‌آورید...،،...روی‌سهمی‌به‌رأسB ،K،L،Mدر‌این‌صورت‌نقاط
Bمحور،BGو‌پارامتر،AB.قرار‌دارند،’KH=HK،...انتخاب‌شوند‌به‌طوری‌که’K’،L’،Mاگر
LD=DL’،MZ=ZM’،...،در‌اینصورت‌آنها‌هم‌روی‌سهمی‌قرار‌دارند.
A B
TI
kL
M
H D Z G
E
K’L’
M’
استABنیمدایره‌ای‌که‌قطر‌آن‌پاره‌خط‌ثابت1.رسم‌کنید.
.2ABرا‌از‌سمتB.امتداد‌دهید.3Xاین‌نیمدایره‌ابتدا‌از‌نقطۀXنیمۀxبرBنقاط،G،D،H...،
را‌اختیار‌کنید.
A B
HD
G
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌هذلولی
را‌بر،...GZ،DT،HIبر‌هر‌یک‌از‌این‌نقاط‌مماسهای‌نیمدایره‌رسم‌کنید.
فرض‌کنید‌این‌مماسها‌امتداد‌قطر‌را‌به‌ترتیب‌درZ،T،I.قطع‌کنند...،
را‌به‌طوری‌که‌زاویۀZK،TL،IM...،Xخطهای‌راست‌متوازی‌‌تشکیل‌دهند،از‌این‌نقاط‌رسمABدلخواهی‌با‌خط
کنید.
A B T Z
HD
G
I
ML K
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌هذلولی
،پاره‌خطهایABبر‌روی‌این‌خطها‌و‌در‌یک‌طرفZK=GZ،TL=DT،IM=HIرا‌جدا‌کنید.دراینصورت...،
،...بر‌هذلولی‌واقعند.K،L،Mنقاط
A B T Z
HD
G
I
ML
k
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌هذلولی
مماسهایی‌بر‌یک،...GZ،DT،HIدر‌واقع‌چون‌خطوطXسوم‌اصول‌اقلیدس36دایره‌اند،از‌قضیۀXمقالۀ،...GZ2=ZB.ZA ،DT2=TB.TA،HI2=IB.IAنتیجه‌می‌شود‌که
،KZ2 =ZB.ZA،و‌غیره،نتیجه‌می‌شود‌کهKZ=ZBو‌چونLT2=TB.TAوMI2=IB.IA.
A B T Z
HD
G
I
ML
k
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌هذلولی
KZ2 =ZB.ZA ،LT2=TB.TAوMI2=IB.IA.بنابر‌عالمت‌هذلولی‌که‌پیشتر‌داده‌شد،این‌رابطه‌ها
...روی‌هذلولی‌ای،B،K،L،Mحاکی‌از‌آن‌هستند‌که‌‌قطر‌آن‌است،کلیۀXعرضهای‌آنABقرار‌دارند‌که
با‌قطر‌می‌سازند‌وKZGزاویه‌های‌مساوی‌با‌‌هستند.ABپارامتر‌و‌اضالع‌مایل‌آن‌هر‌دو‌برابر
A B T Z
HD
G
I
ML
k
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌هذلولی
در‌اینجا‌نیز،بقیۀXیک‌شاخۀXهذلولی‌را‌می‌توان،...به‌اندازه‌هایKZ،LT،MIصرفا‌با‌امتداد‌دادن‌‌رسم،...’K’،L’،Mتا‌نقاطABGبرابر‌و‌در‌آن‌سوی
کرد.
A B T Z
HD
G
I
ML
k
M’ L’ K’
ابراهیم‌بن‌بستان‌و‌هذلولی
جنبه‌از‌تمدن‌اسالمی‌که‌همواره‌بیگانگان‌را‌تحت‌تأثیر‌قرار‌داده،طرحهای‌بدیعی‌است‌که‌روی‌چوب،کاشی،
یا‌موزائیک‌ایجاد‌شده‌و‌به‌وفور‌در‌سرتاسر‌عالم‌اسالمی‌به‌چشم‌می‌خورد.مثال‌کاشیکاریهای‌منظم‌و‌استثنایی‌صفحه‌که‌در‌الحمرای‌گرانادا‌در‌اسپانیا‌دیده
می‌شود.تحسین‌جهانیان‌را‌برانگیخته‌است.مثال‌در‌ترجمۀXعربی‌هشتمین‌مقالۀXمجموعۀXریاضیXپاپوس‌اسکندرانی‌بخش‌بسیار‌جالب‌توجهی‌دربارۀ
ترسیمهای‌هندسی‌وجود‌دارد‌که‌تنها‌با‌استفاده‌ستاره‌و‌پرگاری‌با‌فرجۀXثابت‌که‌گاهی»پرگار‌زنگ‌زده«
نامیده‌می‌شود،امکان‌پذیرند.
بعد‌اسالمی:هندسه‌با‌پرگار
برABی‌پاره‌خطAترسیم‌عمودی‌از‌انتهای‌این‌پاره‌خط،بدون‌آنکه‌این‌پاره‌خط‌فراتر
امتداد‌داده‌شود.Aاز
را‌بوسیلۀXپرگار‌جداACپاره‌خطABروی‌طرز‌عمل.CوAکنید،و‌با‌همان‌فرجه،دایره‌هایی‌به‌مرکزهای
را‌ازCDقطع‌کنند.Dرسم‌کنید‌تا‌یکدیگر‌را‌در.در‌اینED=DCامتداد‌دهید‌به‌طوری‌کهEتاDطرف‌‌قائمه‌است.CAEصورت
X1مسئلۀ
A BC
D
E
می‌گذرد،E،A،Cمرکز‌دایره‌ای‌که‌از‌برهان.XنقطۀDاست‌زیراDC=DA=DEبنابراین.EC
زاویهEACقطری‌از‌این‌دایره‌است‌و‌در‌نتیجه‌ای‌محاط‌در‌یک‌نیمدایره‌و‌بنابراین‌قائمه
است.
A BC
D
E
تقسیم‌پاره‌خطی‌به‌چند‌جزء‌برابر.
بهABفرض‌کنید‌که‌مطلوب‌پاره‌خط‌طرز‌عمل.باشند.در‌هر‌یک‌از‌دو‌سرAG=GD=DBاجزای‌برابر
را‌در‌دو‌جهت‌مخالفBZوAEپاره‌خط‌عمودهایAH=HE=BT=TZاخراج‌و‌بر‌روی‌آنها‌پاره‌خطهای‌برابر
وZرا‌بهHرا‌جدا‌کنید.به‌وسیلۀXپاره‌خطهای‌راستیEرا‌بهTوصل‌کنید‌کهABرا‌به‌ترتیب‌درGوDقطع
.AG=GD=DBکنند.دراینصورت
X2مسئلۀ
AB
H
E
G D
T
Z
دو‌مثلث‌قائم‌الزاویه‌اند‌و‌زاویهBTDوAHG .برهان(آنها‌با‌همTوH)و‌بنابراین‌زوایایDوGهای
.بنابراین‌این‌مثلثها‌مساوی‌اندHA=BTبرابرند.بعالوه،ایجاب‌میEDوHG.همچنین‌توازیAG=BDو‌در‌نتیجه
متشابه‌باشند،و‌بنابراینAEDوAHGکند‌که‌مثلثهایDG/GA=EH/HA،اما.EH=HAو‌در‌نتیجهDG=GA.
AB
H
E
G D
T
Z
.ABGنصف‌کردن‌زاویۀeمفروض‌این‌روش‌اقلیدسی)اصول،مقالۀXاول،طرز‌عمل.
Xمتضمن‌جدا‌کردن‌پاره‌خطهای‌برابر9قضیۀ)AB،AGبر‌دو‌ضلع‌زاویه،ترسیم‌متساوی‌االضالعی‌روی،BGو‌سپس‌وصل‌کردن،A،Dاست‌تا‌زاویه‌را‌نصف
کند.بنابر‌صورت‌دیگری‌از‌این‌مسئله،منسوب‌به‌‌متساوی‌الساقین‌است‌باBGDابوالوفا،مثلث
BD=DG=ABو‌این‌طول‌مشترک‌برابر‌با‌گشادگی‌ثابت،پرگار‌است.
X3مسئلۀ
AG
B D
ترسیم‌مربعی‌در‌دایرۀeمفروض.را‌رسمASGدایره‌را‌پیدا‌و‌قطرSمرکز‌طرز‌عمل.
کنید.دهانۀXپرگار‌را‌به‌اندازۀXشعاع‌باز‌کنید‌وTHوZEرا‌جدا‌کنید‌و‌خطوطGH،وAZ،AE،GTکمانهای
قطع‌می‌کنند،رسم‌کنید،KوIرا‌که‌قطر‌را‌در‌‌را‌رسم‌نمایید.MوSو‌سپس‌قطر‌مار‌بر
فرض‌کنید‌که‌این‌قطرها‌‌با‌دایره‌برخورد‌کند.BوDدر‌نقاط
مربع‌خواهد‌بود.ADGBدراینصورت
X4مسئلۀ
GA
BHE
SI K
T
M
Z D
را‌نصف‌میZEکمانGA،قطرZA=AEچون‌برهان.،وتر‌این‌کمان،عمود‌است.ZEبرGAکند‌و‌بنابراینZIKوTKIعمود‌است،و‌لذاTHبرGAبه‌همین‌نحو،
وترهای‌کمانهای‌مساوی‌اند،ZEوTHقائمه‌اند.چون‌‌‌وTKلذا‌باهم‌برابرند‌و‌در‌نتیجه‌نصفهای‌آنها،یعنی
ZIبا‌هم‌برابرند‌و‌چون‌موازی‌نیز‌هستند،شکلTKIZدر‌آنTIوZKمستطیل‌است.بنابراین‌قطرهای
برابرند‌و‌یکدیگر‌را‌نصف‌می‌کنند،،MI=MKو‌در‌نتیجه
GAمتساوی‌الساقین‌است.∆(MKI)یعنی
BHE
SI K
T
M
Z D
THوZEچون‌وترهای‌مساوی،KS=SIاز‌مرکز‌دایره‌هم‌فاصله‌اند،،MKIو‌لذا‌مثلث‌متساوی‌الساقین
را‌نصف‌می‌کندKIضلعMSخط‌و‌لذا‌بر‌این‌ضلع‌عمود‌است.
عمودGAبر‌قطرDBبنابراین‌قطر‌‌مربع‌است.ZDGBو
GA
BHE
SI K
T
M
Z D
از‌توجهبا‌تشکر استاد
محترم‌و‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌دانشجویان‌عزیز