از برهان های قضیه ی اولدر کتاب ابوریحان بیرونی

استخراج االوتار گردآورندگ :ان

مجتبي غفوري

علي فتحي

مهدي اميني

مهدي سربازوطن

8408933

8416953

8417083

8413933

استاد دکتر آقاييمحترم :

87بهار

8413343امیتیس روشنطراحی و انیمیشن:

ابوریحان بیرونی

ابوریحان بیرونی

ذیحج///ه • س///وم در احم///د محم///دبن ابوريح///ان ب/س//یار /973س//پتامبر4)/362 ش//د. متو/ل//د خ//و/ارزم ( //در

و/ /اب/و /منص/ور آغ/از/ ک/رد را/ ب/ود/ ک/ه/ تحص/ی/ل عل/م خ/ر/دس/ا/ل/ ا/و /همت/ پ/رور/ش/ ب/ه/ خ/و/ار/زمی/ ب/ز/رگ م/نج/م /وریاض/ی/دان

س/ا/لگی ب/ا/ ا/س/تفا/ده/ /ا/ز/ ی/ک ح/لق/ه/ م/درج/ 17گ/ماش/ت./ /در/ س/ن /ک/ه/ /ج/ز /نی/م/ /درج/ه/ ر/ا/ نش/ان نم/ی/ داد/ ار/تف/ا/ع نص/ف/ ال/نه/ا/ری )نیم/روزی(/ خورش/ی/د را/ در /ک/ا/ث ان/دازه/ گ/رفت وا/ز /روی آ/ن

عرض آن شهر را بدست آورد.جم/ادی االول خس/وفی را رص/د ک/رد وپیش 11 اب/و ریح/ان در •

از ان ب/ا اب/و/ الو/ف/ائ ب/و/ز ج/ا/نی ق/رار گ/ذاش/ته ب/و/د ک/ه/ او ن/یز ب/غ/داد رص/د کن/د .وی /از ر/وی اختالف ه/م/ان خس/وف را/ از اخ/تالف تو/انس/ت آ/م/د بد/س/ت می ب/دین/ طری/ق/ ک/ه زم/انی ط/ول ج/غ/رافی/ای /دو/ ش/هر ر/ا ح/س/ا/ب کن/د/. وی د/ر /کت/اب /تحدی/د ا/ن/دازه/ گ/یر/ی ط/ول/ ی/ک د/ر/ج/ه /از/ ق/وس/ ن/ص/ف /الن/ه/ار را/ش/رح

ه.ق/ دو خس/وف را از/ گرگان رصد کرد.393می د/هد.در/

آثار ابوریحان بیرونی

کتب ورس/االتی ک/ه از اب/و ریح/ان ب/ه ج/ا مان/ده عبارتن/د از:•در آث/ار الباقی/ه)االثارالباقی/ه من الق/رون الخالی/ه( روز ک/ه ب/ارزترین •

فص/ل /اول موض/وع ا/س/ت واح/د /گاه/ش/ماری ت/رین و/اسا/س/ی اس/ت/.بیرو/نی در ب/ا/ره مزای/ای مب/د/ا ه/ای مخ/تل/ف ت/ق/ویم بحث می ک/ن/د. طل/و/ع ی/ا/ غ/روب)ک/ه ب/ر م/بن/ای /اف/ق /ان/د/(.نیم/روز ونیمش/ب )ک/ه ب/ر پای/ه نص/ف/ الن/هارن/د(/ ودس/تگاهه/ایی /را /ک/ه از/ ه/ر /ی/ک اس/تفاده می کنن/د/ ن/ام م/ی ب/رد. بع/د ان/واع مخ/تل/ف/ س/ا/ل را تعری/ف می کن/د س/ال/ شم/س/ی قم/ری/ یولی/ا/نی و/ای/رانی و/مفه/و/م کبیس/ه را/در ک/ار می آو/رد /ودر فص/ل س/و/م ب/ه تع/ری/ف تار/یخه/ای مختل/ف وش/ب در

آنها/ می پرد/ازد.قرت الزیج/ات کت/اب م/رجعی ک/ه اس/تفاده کنن/ده ب/ا کم/ک ان می •

تو/انس/ت هم/ه مس/ای/ل نج/ومی /زم/ان خ/ود را /ح/ل ک/ن/د ودر ان تاکی/د دلی/ل وب/دین ن/ظ/ری م/ب/احث اس/ت /ت/ا ب/ر/ محاس/بات علمی/ بیش/ت/ر قواع/د ش/امل کت/اب/ مب/ا/حث /این ا/س/ت. می اس/ال/ ش/ب/یه /زیجه/ای تق/ویم نگ/ا/ری.طو/ل روز.تع/یی/ن خد/اون/د نگا/راحک/امی س/ال و م/اه و وم//اه خ/ورش//ید/ واقعی ومک//ا/ن م/توس//ط وس//اعت.مکان رو/ز و/س/یارات. س/اع/ت روز. ع/رض جغ/رافی/ا/یی محل.خس/وف وکس/وف.

وشرا/یط رو/یت بر/ای ماه و/ سیارات اس/ت.

آثار ابوریحان بیرونیقانون)الق/انون المس/عودی( از کت/اب ک/ه در می/ان آث/ار نج/ومی بازمان/ده •

از هم/ه ج/ا/معتر اس/ت ج/د/اول/ ع/ددی بس/یار/ی راک/ه منجم/ان ب/ی/رونی و/احک/ا م/ی/ان ق/رون/ وس/طی /ب/رای ح/ل/ مس/ا/یل م/تع/ارف خ/ود الزم داس/ته ان/د ب/ه/ تفص/ی/ل ش/ا/مل اس/ت /ام/ا د/ر آن بیش از/ زیجه/ای معم/ولی ب/ه گ/ز/ارش/ رص/دی/ ورو/ش بدس/ت/ آور/دن رواب/ط توج/ه ش/ده ا/س/ت . کت/اب

به /یازده/ مق/اله وهر/ مقاله به ا/بواب وفصولی تقسیم شده است.کت/اب الص/یدنت فی طب( ب/یرونی حقیقت را فق/ط در نوش/ته 0ممرها•

ه/ا/ وگفت/ه ه/ا نم/ی جس/ت /بلک/ه می/ل ش/د/یدی ب/ه تح/قی/ق مس/تقیم در پ/دی/دهها/ی ط/بیع/ی دا/ش/ت واین ک/ار/ را در /س/خت ت/رین ش/رایط انج/ام می /داد. وای/ن می/ل او ب/ا قر/یح/ه ا/ی در س/اخ/تن آالت واب/زار وتمای/ل ب/ه دقت در مش/اهد/ات هم/ر/اه ب/ود/. ب/ه دلی/ل/ عالق/ه ای ک/ه /ب/ه دقت داش/ت ون/یز /چ/ون/ می ترس/ید ک/ه در جری/ان مح/اس/بات/ دقت /الزم را از دس/ت بده/د/ ونت/ای/ج ح/اص/ل از رص/د را/ ب/ه /نت/ایج حاص/ل از/ محاس/بات ت/رجیح می

داد.التفهیم)التفهیم الوای/ل ص/ناعت التنجیم(کت/ابی اس/ت در س/ی در علم •

احک/ا/م نج/وم ک/ه بی/ش از /نیم /آن ب/ه مق/دمات موض/و/ع اص/لی اختص/اص دا/رد. کت/اب/ هم ب/ه فارس/ی/ م/و ج/ود اس/ت/ وهم ب/ه/ ع/ربی ک/ه ظ/اهرا ه/ر دو ص/ورت/ ان/ را ا/ب/و ریح/ا/ن خ/ود ف/ر/اهم/ ک/رده /اس/ت ودر مجم/وع پنج

ف/صل دارد.

آثار ابوریحان بیرونی

اسطرالب)کتاب فی استجاب الوجوه الممکنت فی •صفحت االسطرالب (

الجماهر)الجماهر فی معرفت الجواهر(•سدس)حکایت االلت المسمات السدس الفخر(•تحدید)تحدید نهایات االماکن لتصحیح مسافات •

المساکنچگالیها )مقالت فی النسب التی بین الفلزات •

والجواهر فی الحجم(سایه ها)افراد المقال فی امر الظالل(•وتر ها )استخراج االوتار فی الدایرت(•پانجلی•ماللهند•

D

B

AC

E

AB>BC که است ABC کمانی کمان اوأل

کمان ABC است نقطه D وسط ثانیأ

است ثالثأDEبرAB عمود

فرض

AE=EB+BC: حکم

B

C

A

D H

EZ

کرده کمان DBجدا با مساوی DH را کمان دایره روی

میکنیم رسم HA را

کنیم می با EBجدا مساوی خط EZ را EA پاره روی سپس

میکنیم رسم DZ,DA را

DB=DZ: داریم

کمان BCاست کمانHA برابر

HDA+DAB=DBAپسHDA+DAB=DZB

مثلث خارجی زاویهAZD

ZDA=HDA

DHAوDZAمتساویند مثلث اماAH=BC و AZ=AHZE=EB دو

AZ+ZE=EB+BC

DZB=ZAD+ZDA

DAB=ZAD

^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^^ ^

^ ^

A

D H

C

B

میکنیم کمان BC جدا با مساوی دایره روی Z کمانAH را

E

میکنیم مساوی AH جدا روی AE را AZ را خط پاره

داریم

DH=DBکمان

HAD=DAZ پس

DAZ و DAH متساویند مثلث دو HD=ZD بنابراین

است الساقین مثلث BDZ متساوی قاعده BZ است وچونBD=DZ پس وارتفاعDE منصف

AZ+ZE=EB+BC بنابراین

A

D

C

EBZ

AD=DC

A=Z=C^ ^ ^

DBZ=DAB+ADB

DBC=DBZ

^ ^ ^

^ ^ ^

^ ^ZB=BC

ZB+BE=EA CB+BE=EA

AD=DZ

DBC=DAB+ADBDBC=AD/2 +AC/2 DBC=DBC/2+AC/2=DB/2+ACB/2^^

مثلث خارجی زاویهADB

DBZ=DBC

A

D

C

EBZ

DZB=DCB

کنیم می رسم خطهای DA وDB وDCو DZ وZC . را کنیم وپاره می جدا AE با مساوی داده EZ را امتداد AB را

AZ منصف DEعمود DA=DZ

ABC وسط کمان D AD=DC ^ ^

*الساقین مثلثDZC متساوی

*BCZ=BZC

^ ^ الساقین BZ=BC مثلثBZCمتساوی

ZB+BE=EA BC+BE=AE

DAB=DZB

DCB=DAB

^ ^

^ ^

A

D

C

EBZ با مساوی EZ را آن روی داده امتداد AB را

DA,DC,DB,DZ خطهای وپاره کنیم می AE جدامیکنیم . رارسم

دایره نیم کمان DBCاز و ازدایره است DC وتریکمان در محاط . DBCکه زاویه بنابراین است کوچکتر

میباشد منفرجه DBC .است

DBZمنفرجه زاویهDBA حاده

دیگر طرف DZB=DAB=DCB از

DZ=DA=DC زاویه Zاست بنابراینDC / DB = DZ / DBو DBZوDBC زاویه Cمساوی مثلث دردو پس

. دیگرشان زوایای پس باشند می DBCوDBZمنفرجه زاویه دو از یک هر این بر وعالوه هستند متناسب دیگر دوزاویه واضالعنتیجه ودر متساویند مثلث دو پس است مشترک انها BD در وچون متشابهند مثلث دو پس است متساوی نظیر به نظیر

BZ=BC

BC+BE=AE

و* نداشته اثبات در کاربردی زوایا بودن منفرجه و حاده نظر به

است شده آورده کالم در امانت رعایت برای U .صرفا

A

D

ZB

H

کنیم می DAجدا با DHرامساوی آن روی داده امتداد وترAD راABرا سپس . کنیم می رسم ایی DH دایره شعاع Dوبه مرکز وبه

ZC و کند Zقطع نقطه در را دایره این تا دهیم می امتدادداریم . کنیم می رسم وDC:را

ADC=ABC کمان یک به روبرو و محاطی

ADC=2AZC است محاطی ودیگری مرکزی یکیکمان یک به روبرو و

ABC=2AZC: پس

^ ^

^ ^

^ ^

داریم اماABC=AZC+ZCB :(ZBC) :پس

BZC=ZCB

ZB=BC و است الساقین مثلث BZCمتساوی پس

ZB+BE=BC+BEبنابراین

DعمودDEبروتر واز است ACH نقطهD مرکز دایره نیم در امایعنی پس Eوسط AZ:است است آمده AZ فرود

ZB+BE=ZE=EA

*

**و*** EA=BC+BE

C

E

A

C

D

ZB

کنیم می با BC جدا BZ رامساوی آن روی داده امتداد وترAB راداریم کنیم می وZCوDC : رارسم

BZC=BCZ^ ^

است الساقین مثلثBCZمتساوی

ABC=2BCZ=2BZC خارجی زاویه^ ^ ^

ADC=ABC کمان یک به روبرو و محاطی

پسADC=2BZC

DA شعاع Dوبه مرکز به که دایرهایی بنابراینAD=DC . زیرا گذرد CوZ می نقاط از شود رسم

E

BZC وزاویه است مرکزی زاویه دایره این وزاویهADC درپس . است آن یعنیAZC: نصف

AD=DZ

AE=EZ پس ADEوZDEمتساویند الزاویه قائم مثلث دو بنابراینAE=BC+BE پس ZE=ZB+BE=BC+BEوچون

^ ^

^ ^

C

D

B

AH

Z

کنیم می AED رسم دایره AD نیم قطر بهمساوی آن DHرا روی و دهیم می امتداد وAD را

ACH دایره قطر AHنیم وبه میکنیم باDA جدادایره نیم تا دهیم می امتداد ABرا و کنیم می رسم را

میکنیم رسم و ZHوZC را کند Z قطع در را

: داریمAD/DH=AE/EZ

AE=EZ پس است چونAD باDH مساوی

ABC=ADC

ADC=2AZC BCZ=BZC BC=BZ

داریم چون پسZE=ZB+BE=AE و

BC+BE=AE

E

A

C

B

D H

E T AB موازات به کمان ABC خطی D وسط نقطه ازنقطه واز کند H قطع نقطه در را دایره تا کنیم می رسم

T درنقطه تا AB را کنیم می موازات DE رسم به H خطیکند .قطع:داریم

BD=AH

AD=DC

DH=BC DH=ET=BC

AT=BE

AT+TE=EB+BC

D کمان ABCوسطاست،بنابراین:

DH موازیAH است:

بنابراین:

A

C

B

D

E H

Z

عمود کرده کمان DBجدا با مساوی کمانAZ راآوریم می بر AB. فرود ZH را

کنیم می رسم DBو DZ. را

ZHA=DEB^ ^

ZAB=DBA^ ^

BDE=AZH

ZH=DE EH=DZ

EH=BC پس DZ=BC دیگر چون ازطرف

آنجا از وAH+HE=EB+BC

AB

C

D

E

H

Z

EBEZ

DZBAZH

DBZDZB,DBZAHZ

AZAHAZHAHZ

AZHDHCDHCAHD

CBHABA||CH

BCAZAZAH,BCAH

BCEBZEAZ

AB

C

D

E HZ

BCAZ,EBEZ

DCAD,BCAH,BCAZ:IF

CA

ΔDCB

ΔDAH

DHDB

DZDH,DBDZ

DHZDZH

DHZDHBDBH

DBHDZH

BCEBZEAZ

! ممکن غیر

AB

C

D

E H

Z

M

T

K

EDHTAH

ΔAHT

ΔDHE

EMZKZKME RECTANGULR

BCEM

BEAMZEKM

BCBEMEAM

CBKZ

AB

C

D

E

Z

ΔCZD

ΔAEDCA,DCAD

AECZ,DEDZ

ΔBDE

ΔBDZDZDE

EBZB

BCEBCZ

BCEBAE

A

B

C

D

E

Z

DABDCB,BCAZ,DCAD

ΔBDC

ΔZDA

DBDZ

BCAZ,EZBE

BCBEAEZEAZ

AB

C

D

E H

Z

EBEH,DBDZ

DHEDBA,DABZAD

180ABDAZD

180DHEAZD

DHAAZD

AHAZΔ

AHDΔ

AZD

BCAHBCAZ

BCBEAEHEBE

AB

C

D

E Z

H

EBEZ Δ

DZEΔ

DBE,DCAD

DZDB

BADBCD

ZADZDADBZZADZDADZB

ZDAZADDBZ

2

BDZAD,

2

DADBZ

2

BD

2

DAZDA

2

HAZDA,

2

BCZDADCAD

ZDABDCCBHA

BCAZΔ

ADZΔ

CDB

BCEBZEAZ

خارجی زاویه

B

C

D

E

Z

H

T

M K

LS

A

DZ||TKL

90DEKLKEDLT,LTAZDC

EKLD

MBAM,SDLSHMS||DZ

BCLDKEEB,AKMKEM,

BCEBKEAK

DHTقطر,Hمرکز

B

C

D

E

T

KA

CKBT,BCBK

TCKT

BKTBTKABT

BTCBCTDBC

DBCABT

180CBTDBCTBKABT,

DKDCCKDBT

DKDADCDA,

BKEBAE

BCEBAE

زاویه خارجیزاویه خارجی

A

B

C

D

EZ

H DZDBEBEZ

DZEDBHDBA

2

DA

2

CDBDBH

DCBDAB,DZADBC

BCAZΔ

CDB Δ

ADZ

BCEBZEAZEBZE

های . DZEو DBHزاویه پس برابرند: برابرند مکملهایشان

AB

C

D

E Z

BDCADZ

ΔCDB

ΔADZDCAD,CA

BDDZ,BCAZ

EBZE

BCEBAEAZ

87بهار