Аналитическая геометрия

на плоскости

Определение: Линией на плоскости называется множество точек, обладающих некоторыми свойствами.

Определение: Уравнением линии (кривой) на плоскости ОХУ называется уравнение, которому удовлетворяют координаты Х и У каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точки, не лежащий на этой линии.

Определение: т.М(х; у) передвигается по линии, х и у меняются, удовлетворяя уравнению линии, поэтому координаты т.М называется текущими координатами точки линии.

Определение: Линия называется линией или кривой n-ого порядка, если она определяется уравнением n-ой степени относительно текущих прямоугольных координат

Общее уравнение прямой.

;

.

0)()( 00 yyBxxA

0 CByAx

Каноническое уравнение прямой.

n

yy

m

xx 00

Уравнение прямой « в отрезках»

1b

y

a

x

Параметрические уравнения прямой.

t Є (-∞; + ∞)

n

yy

m

xx 00

=t

ntyy

mtxx

0

0

Уравнение прямой, проходящие через две заданные точки.

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

bKxY

Угол между двумя прямыми:

tg μ = 21

12

1 kk

kk

Условия параллельности и перпендикулярности.

А)

L1 || L2 ,

L1 L2 ,

1* 21 KK

21 KK

2

1

2

1

B

B

A

A

В)

1n 2n|| ; ||1L 2L

Г)

L 1 L2; 1n 2n

02121 BBAA

Точка пересечения двух прямыхL1: A1x + B1y + D1 =0 ,

L2: A2x + B2y + D2 =0,

L1 Ω L2 = M(x0; y0)

A1x0 + B1y0 + D1=0 (x0; y0) есть решение системы

A2x0 + B2y0 + D2= 0

Взаимное расположения двух прямых.

Если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение Если прямые параллельны, то система не имеет решения; Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном

направлении:

у – у0= к (х – х0)

Уравнение пучка прямых.

Если k дано, то уравнение

определяет одну прямую, если – меняется,

то уравнение , определяет пучок прямых, проходящих

через точку .

)( 00 xxkyy

)( 00 xxkyy k

);( 111 yxM

Расстояние от точки до прямой:

L: Ах + В у + D =0;

22

11

BA

DByAxd

22 BAn

);( 111 yxM

Кривые II порядка.

Определение: Кривая называется кривой второго порядка, если она определена уравнением

022 FEyDxCyBxyAx

Определение: Кривая второго порядка

называется эллипсом ,если коэффициенты А и С с одинаковыми знаками, т.е. А·С>0.

022 FEyDxCyBxyAx

0)()( 20

20 yyCxxA

1)

Δ>0, действительный эллипс

Пусть А и С, иначе ·( -1).

при х0= у0=0

Bb

Aa

;1

2

2

2

2

b

y

a

x

Каноническое уравнение эллипса; полуоси эллипса.

Частный случай а = в, ( А=С) получаем окружность

( х – х0) 2 + ( у – у0)

2=r2

2)Δ= 0, то выраженный эллипс, т.е. О (0;0) .

3)Δ<0, кривая не имеет действительных точек, мнимым фокусом.

Определение:

Кривая второго порядка

называется кривой гиперболического типа, если А· С<0 (разные знаки)

)( 00 xxkyy

Пусть А>0 С<0.1)Δ>0, гипербола с каноническим уравнением

12

2

2

2

b

y

a

x

Aa

- действительная полуось

Cb

- мнимая полуось

2) Δ<0, гипербола, сопряженная к гиперболе

3)Δ=0, пара пересекающихся прямых, вырожденная гипербола.

Определение:

Кривая второго порядка называется нецентральной, если она или не имеет центра симметрии, или же

имеет бесконечно много центров симметрии.

Определение:

Кривая

называется параболой.О΄ - вершина параболы, р– параметр параболы.

);( 00 yx

)(2)( 02

0 xxpyy