广义相对论课堂三几何物理（继续）

2011.9.16

课程安排• 上交作业：第一次！每周五课前；• 复习内容：特征参数、球面几何• 新内容：球面几何（续）、几何与坐标、

测量、时空图• 学习要求：测地线偏离决定曲率的直观几

何分析、球面三角面积公式、线元与度规• 作业：主页周六上午更新；

交作业• 每周五课前• 整个学期允许最多 2 次迟交——有正当理

由 • 否则扣分• 最好散张纸、不要厚本子

参考书补充

• 梁灿彬——应用数学专业（包括数学物理）——质量过硬！

• 李淑娴 翻译 MTW 台湾出版• General Relativity Without Calculus: A Concise

Introduction to the Geometry of Relativity 电子书

• 公理化《 GR in a nutshell 》

教与学——策略——复习

• 艾宾浩斯记忆曲线—— Buzan 复习曲线• ——2个 pdf页面• 螺旋式“上升”，由浅入深（ Hartle 优点）• 定性定量；直观几何抽象代数；归纳

演绎；数学与物理剥离学习；理论与实验• 讲课 2-3 次、作业 1-2 、测试 1

回顾：特征参数 GM/RC^2

• 无量纲• 能量比值：牛顿 / 相对论性• 相对论性 vs 牛顿：加强• Martin J. Rees 科普《

Just Six Numbers: The Deep Forces That Shape The Universe (May 8, 2001) 》星系团 /h Mpc ， 30 个星系10^14/h 太阳质量（千亿颗 10^11 ）第五个数10^-5

• 补充习题 3.6

Martin Rees

• 理论宇宙学家、天体物理学家• 理论预言 1966 年视超光速 pp.61

Box4.3 、 CMB 偏振• Dennis Sciama—Dirac—Fowler—Chandra• Role model—— 文献如数家珍 --Alan Guth

思路总结

• spacetime tells mass how to move and mass tells spacetime how to curve

----John A. Wheeler

弯曲时空 = 引力场——引力的度规理论： GR

• 弯曲时空 3+1 维• 1 维，内禀无曲率• 2 维，最简单球面

模式：从欧式到非欧几何

欧式几何 球面几何 GBL 空间五大公设 嵌入 不能嵌入定义推论

完备性

测地线间隔（偏移）变化曲率两条测地线 正 positive

curvaturea<0

平直 flatV=const.a=0

负 negative

a>0（初始）相交射线 = 间隔从 0 增大

不相交平行= 间隔从某个有限值

相交封闭、有限空间

球面：初始平行• 局域平面上平行• 赤道开始，两经圈切矢量• 第 20 章

球面——比较平面几何• 点——南北极点 = 对极点（共轭）、赤道圈上• 直线 = 大圆弧——经度圈、赤道圈• 距离 =短大圆弧• 角 =长度比• 平行—— no• 三角——二角形• 圆 circle—— 内禀、周径比• 技巧：无量纲化，半径 = 单位长度

车轭——颈脖处• 共轭——球面的直径• 习题 6.12 、 8.2——二阶变分• 分析力学主要用的数学工具是泛函变分分析（变

分法、路径积分），入门讲的最好的是以下几本数学方法书——电子书时：Michio Masujima,Applied mathematical methods in theoretical physicsHassani Sadri, Mathematical Methods For Students of Physics and Related Fields, Springer 2009 2nd EditionRiley Hobson 2002 Mathematical Methods For Physics

球面三角

球面三角面积公式——推导• 对极点，共轭二角形、共轭三角形• 二面角 A+B+C向外 =半个球面（ ABA’B’右半） + 三角形重复一次 + 对顶三角形A’B’C’

球面三角面积公式推论• 1 、多边形• 2 、全等 4+1种

（ SSS 、 SAS 、 AAS 、 ASA ， AAA3）

• 3 、不全等而相似——不再有• 4 、大小：内角和、面积减小或半径增大—— Gauss 测量实验

• 5 、地图变形 vs 理想地图投影 2方面—— a、保证直线， b 、保角 /形变换

黎曼几何• Hartle 土豆面• MTW 船——由测量决定、精度！• 局域平面—— Gauss

• 3+ ——Riemann

微分几何• 点集拓扑• 微分拓扑——流形• 仿射几何• 黎曼几何• MTW part III

• 事实上，微积分基础，例如 Jacobi 变换

线元——距离决定几何，坐标系是次要的！

• 平面，微分，勾股定理• 球面• 1 、几何完全由一个函数——线元——决定，线

元给出 2 个相邻点距离。• 2 、沿着路径 paths 的距离 = （黎曼）线积分• 3 、直线 = 最短程线（路径）• 4 、一个弧 arc所张角 =弧长 /弧到弧心（弧所在圆的圆心）距离

• 5 、面积和体积 = 面元和体元的多重积分 7.6

球面几何 djvu42

几何与坐标• 几何是本质——（坐标变换）不变性！—— Klein 变换几何、变分原理

• 坐标是人为引入，为了理论计算——对比实验测量结果——模式

• 例： Pi= 周径比

坐标• Orthogonal 正交 =independent vs skew 斜

交• Coordinate grids (latticework)• coordinates• origin

What is the single most important thing you have learned about thus and so?

• ----John Wheeler, • Few questions focus the mind so clearly. • ----《 BLACK HOLES AND TIME WARPS 》

Wheeler's first moral principle

• "Never make a calculation until you know the answer".• Make an estimate before every calculation, try a simple physical argument

(symmetry! invariance! conservation!) before every derivation, guess the answer to every paradox and puzzle. Courage: No one else needs to know what the guess is. Therefore make it quickly, by instinct. A right guess reinforces this instinct. A wrong guess brings the refreshment of surprise. In either case life as a spacetime expert, however long, is more fun! 出自E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics, W.H. Freeman and Company, New York, 1992, Second edition, p.20

• 更一般表述Wheeler's First Moral Principle: "Know the answer before you begin the problem".

• 最开始只能裸猜，慢慢能形成物理感觉，频繁总结修正调动培养，最后形成直觉。 Einstein就是将这个做到极致。实验物理学家同样需要。这也是好教师和好教材的重要地方之一：将最重要最常用的简单例子讲透彻，能培养对复杂问题的洞察力。

Wheeler's first moral principle

• "Never make a calculation until you know the answer".

• "Know the answer before you begin the problem".

• 直觉• 方向最重要

课堂讨论• 不清楚立即打断或问清• 反应要快—— 2秒• 发言大声• 发言前报（系别、）姓名，如：我是（近

代物理系）章一超

Einstein火车思想实验• 你认为测量是如何进行的？

由测量决定• 非欧几何是可能的物理空间（ 3 维位形空

间）• 牛顿第一定律• 同时相对性• Heisenberg原子频率 vs 电子轨迹

时空图• 坐标图——区分 x-y 坐标图！！！• 技术、工具；表达、阐述、澄清• Feynman 图 <——John Archibald Wheeler• 热学——相图• c=1 附录 A必读！• ict MTW Box 2.1 ； 习题解答 5.11

学习目标• 1 、测地线偏离决定曲率的直观几何分析——中学生能听懂

• 2 、球面三角面积公式及其推论• 3 、线元与度规• 4 、几何与坐标——一体两面