{ задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка - приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка - уравнение погони – примеры }

Теорема

Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь вид F(x,y,y’,y’’) = 0 или y’’ = f(x,y,y’). Общим решением уравнения является функция y = (x, C1,

C2), существенно зависящая от двух произвольных постоянных и обращающая данноеуравнение в тождество при любых значениях этих постоянных. Частное решение получается при закреплении постоянных С1, С2 . ),,(

dxdy

yxfdx

yd2

2

Задача отыскания решения дифференциального уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x0 ) = y0, y’(x0) = y’0 называется задачей Коши.

Если функция f - правая часть дифференциального уравнения d2y/dx2 = f(x,y,dy/dx) непрерывна в некоторой замкнутой трехмерной области D: oxyy’ и имеет в этой области ограниченные частные производную дf/дy, дf/дy’, то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Геометрически это означает, что через каждую точку M0 (x0,y0, y’0 )области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой

существования и единственности решения дифференциального уравнения

P0 (x0,y0)

D

x

y

o

),,(dxdy

yxfdx

yd2

2

00 yxy )(

)( xy 00 yx )(

),,( 21 CCxy

))(

),(,()(

dxxd

xxfdx

xd2

2

Y’M0 (x0,y0, y’0 )

00 dxdy

xdxdy

00 yx )(

@@ Решить дифференциальное уравнение второго порядка, при заданных начальных условиях

dxdy

x1

dx

yd2

2

11y )(

vx1

dxdv

vdxdy

Решение

xdx

vdv

2

2

11 C2x

CyxCdxdy

1C21

C11y 21 )( M(1,1)

x

y

o

11xdx

dy

xCv 1

1C11y 1 )(

21

C

1C

2

1

21x

y2

f ’y = 0

0xD :f ’y’ = 1/x

C2 = tg = 1

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y’,y’’)=0..Этим уравнением для каждой точки M(x,y) определяется связь между координатами точки, через которую проходит интегральная кривая, производной функции dy/dx - угловым коэффициент касательной к интегральной кривой, и, через вторую производную, кривизной кривой k.

y = (x)y’ = d/dx

k1

R

2

2

32 2

d ydx

k

dy1

dx

k1

R

Метод понижения порядка

)x(fdx

yd2

2

Тип I 1Cdx)x(fdxdy

21 CxCdx)dx)x(f(y

)y(fdx

yd2

2

Тип II )y(fdxdy

2dxdxdy

d2

1

2

Cdy)y(f2dxdy

1Cdy)y(f2dxdy

2

1

CxCdy)y(f2

dy

Метод понижения порядка

),(

)(

yxfy

yfyТип III

dxdu

y uy ,

),(

)(

uxfdxdu

ufdxdu

м.ф. xy

0xy

yyfy

)(

,)(

),(

Тип IV u

dydu

dxdy

dydu

dxdu

y uy ,

),(/),(~),,(~ uy uuydydu

uyudydu

@@ Решить дифференциальное уравнение

y2

2

e2dx

yd

Решение

2)0(y,0)0(y

dxdy

e4dx

yddxdy

2 y2

2

dye4)dxdy

(d y2 1y2 Ce4)

dxdy

(

ye2dxdy

0C1

dx2e

dyy 2

2y

Cx2e2

2C2

x1e 2y

2x1

1lny

Если точка A движется вдоль заданной кривой, а точка P преследует её, причем вектор направления движения точки P всегда направлен на точку A , и скорости движения точек постоянны, то траектория точки P называется кривой погони. Такая задача впервые была решена французским математиком Pierre Bouguer в 1732 году, впоследствии задачи такого класса исследовались английским математиком Boole.

Определить траекторию преследования цели ракетой, если цель движется вдоль прямой, а скорости цели и ракеты равны между собой.

P

A

Уравнение кривой погони выводится при условии, что вектор касательной к траектории в точке P всегда параллелен линии, соединяющей A и P

Пусть точка A движется вдоль оси y, тогда уравнение её движения:

Уравнение движения точки P в параметрической форме :

PP 1t

t

'

'

P

P

PA

PA1t 'P

AA

1t

PA

PPA '

ty

0xt )(A

)(),( tyx PP

1dtdy

dtdx

22

1

dtdydtdx

yt

x0

ytx

122

)(

Последнее уравнение может быть переписано в следующем виде

222

ytxdtdx

xdtdy

yt )()(

01dtdy

ytdtdy

dtdx

tyx21dtdx

x2

22

2

)()(

0dtdy

ytdtdy

dtdx

ytx2dtdx

x2

22

2

)()(

0ytdxdy

xdtdx

dtdy

dxdy

/

0dtdx

ytdtdy

x0dtdx

ytdtdy

x2

)()(

0dxdy

1dx

ydx 0dxy1y

dxdy

x2

2

22

ttvdxy1 2

Последнее уравнение допускает понижение порядка

dxdy

u 0u1dxdu

x 2 2u1dxdu

x

x

dx

u1

du

2

x

dx

u1

du

2 2

222

22

22 uxuC8xC16u1 xC4 u1u

xC8

1xC2

xC81xC16

u2

22

222

dx

xC81

xC2dy2

2

2

221 C8

xxCCy

ln

2

221 C8

xxCCy

ln

Начальные условия: в момент времени t = 0 точка P находится в точке плоскости M0 и имеет скорость V = 1

После подстановки этих величин в общее решение получаем частное решение

0

0

0

00

xy

xdxdy

xxy

)(

000000 ry3ryry41

y ln220

2

000

yxr xx

,

P

A

A

B

C

D