Историја броја Историја броја

ππдр Ђура Паунићдр Ђура Паунић

Департман за математику и Департман за математику и информатику, ПМФ Нови Садинформатику, ПМФ Нови Сад

5. децембар 2009.

Историја бројаИсторија броја ππ Шта је Шта је ππ ? ?

Број који повезујеБрој који повезује површину круга и квадрат површину круга и квадрат

полупречника.полупречника. обим круга и пречник.обим круга и пречник.

Како да израчунамоКако да израчунамо ππ ?? ГеомГеомeeтријскитријски АналитичкиАналитички

КојеКоје ππ има особине?има особине?

Историја бројаИсторија броја ππ ππ у Старом Египту у Старом Египту

ππ у Месопотамији у Месопотамији

ππ у Старој Грчкој у Старој Грчкој

ππ код Кинеза, Арапа и Индуса код Кинеза, Арапа и Индуса

ππ у Европи у средњем веку у Европи у средњем веку

ππ у Старом Египтуу Старом Египту

Површина округле њиве једнака је

површини квадрата чија је страница

8/9 пречника круга.

(Површина шрафираногосмоугла је 7/9 = 63/81 ≈

64/81)Тада је ((8/9)d)2 = (64/81)d 2 ≈ π(d/2)2

па је π ≈ 256/81 ≈ 3.16...

ππ у Месопотамијиу Месопотамији

У Месопотамији нема броја ππ. Површина круга израчунава се тако да се

обим квадрира и помножи константом да се добије површина круга.

(Израчунава се површине пресека снопа ако се зна

дужина ужета потребног да се он повеже)Тада је (2rπ) 2c = r 2π

па је константа за кругc =1/(4π) ≈ 1/12. То је еквивалентно π ≈ 3

ππ у Старој Грчкоју Старој Грчкој

У Старој Грчкој Архимед први успешно

израчунава број ππ.

Aрхимед прво доказује да се исти број користи

за израчунавање и површине и обима круга. Тада је површина круга r2π,

а обим круга је 2rπ.

ππ у Старој Грчкоју Старој Грчкој

Обим круга Архимед израчунава тако даизрачунава обиме

уписаних и описаних правилних полигона.

У првом кораку израчунава обиме уписаног и описаног шестоугла,

а затим удваја број страница.

Користи полигоне са 6, 12, 24, 48 и 96 страница.

ππ у Старој Грчкоју Старој Грчкој

После компликованог рачуна у коме сеобими уписних полигона Un заокружују на

мање, а обими описаних полигона On заокружују на

вишеАрхимед добија:

U96 : 2r > 6336 : 2017 1/2 > 3 10/71

O96 : 2r < 14688 : 4673 1/2 < 3 1/7,

па је

3 10/71 < π < 3 1/7

ππ у Старој Грчкоју Старој Грчкој

Обим круга је више од три пута већи од пречника, при том је вишак

мањи од једне седмине, а већи од десет седамдесетпрвих делова

пречника. Дакле, π је приближно22/7 или 31/7.

150 година после Архимеда Птоломеј проналази

π ≈ 3; 8, 30 = 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 ≈ 3.141666...

ππ код Кинезакод Кинеза

Кинези користе Архимедов поступак за израчунавање броја ππ :

• У III веку Лиу Хуи израчунава ππ ≈ 3.14159, тачно на 5 децимала.

• У V веку Цу Чунг-Чих израчунава3.1415926 < ππ < 3.1415927

и изводи "нетачну вредност" 22/7 и "тачну вредност" 355/113 ≈ 3.14159292...

ππ код Арапакод Арапа

Почетком XV века ал-Каши у "Расправи о кругу" пише:

""Архимед је доказао да је обим круга већи од троструког пречника за мање од једне седмине, а више од десет седмадесетпрвих његових делова. Разлика међу тим разломцима је 1/497. Зато је у кругу пречника 497 фарсаха обим круга је непознат у границама једног фарсаха, а у великом кругу који се налази на Земљиној кугли та неодеђеност је у границама 5 фарсаха."

Арапи користе Архимедов поступак за израчунавање броја ππ..

ππ код Арапакод Арапа

Арапи користе Архимедов поступак

за израчунавање броја ππ..

Затим ал-Каши закључује да је грешка при израчунавању обима Васионе 100000 фарсаха, па ако

жели да израчуна обим Васионе са прецизношћу од дебљине коњске

длаке треба да израчуна

ππ на 17 децимала.

ππ код Индусакод Индуса

Индуси не израчунавају број ππнего користе грчке вредности.

У XV веку Мадава проналази

φ = tgφ − (1/3)tg3φ + (1/5)tg5φ −+...

за φ = π/4ππ/4/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ... .

ππ у средњовековној Европиу средњовековној ЕвропиУ XV веку Никола Кузански проналази

φφ ≈ 3 sin φφ/(2 + cos φφ).

Из сличности ∆PQS ~ ∆TAS следи TA : AS = PQ : QS

φ : 3 = sin φ : (2 + cos φ)

ππ у средњовековној Европиу средњовековној Европи

1596. је Лудолф из Келна, учитељ мачевања у Лајдену (Холандија),

Архимедовим поступком израчунао πна 20 децимала, а касније је наставио

да рачуна тако да је израчунао 35 децимала броја π

која су 1611. уклесани нањеговом надргобном споменику у

цркви св. Петра у Лајдену.

Због тога се π често назива Лудолфов број,што није много оправдано.

ππ у Европиу ЕвропиУ 1621 Вилеброрд Снел (око 1591 - 1626)

нумерички проналази да је у конструкцији Кузанског

АТ < φφ па је 3 sin φφ/(2 + cos φφ) < φφ.

φφ = 3αα и из сличности плавог и наранџастог троугла је sin α : cos α = AT' : (AO + OS') = AT' : (1 + 2 cos α)

φφ < AT' тада је φ < tg α + 2 sin α

ππ у Европиу Европипа Вилеброрд Снел добија да је

3 sin φφ/(2 + cos φφ) < φφ < tg(φφ/3) + 2 sin(φφ/3).

Из ове неједнакости за

φφ = 30° = π/6 добија се 3.1402... < π < 3.1417...Са дванаестоуглом Снел добија боље границе него Архимед са полигоном од 96 страница.

Кристијан Хајгенс (1629 - 1695) у раду "Проналасци о величини круга"

из 1654. године доказује све Снелове резултате и даје нека побољшања

ππ и редови и редови

1672 Лајбниц, Грегори, Њутн поново откривају

φ = tgφ − (1/3)tg3φ + (1/5)tg5φ −+...или

arctg x = x − x3/3 + x5/5 −+...

за φ = π/4 или x = 1ππ/4/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ... .

ππ и редови и редови

1706 Џон Мечин открива згодну формулу за

израчунавањеππ/4/4 = 4 arctg 1/5 − arctg 1/239.

овом формулом је пешке израчунато

највише 527 тачне децимале (Шенкс је 1874 израчунао 707, али је само 527

било тачно, што је установљено касније).

arctg x = x − x3/3 + x5/5 −+...

ππ и редови и редови

1736 Ојлер доказује да јеππ22/6/6 = 1 + 1/22 + 1/32 + ... + 1/п2

+ ...,а нешто касније проналази формулу

eπi = −1 или eπi + 1 = 0,

која се сматра најлепшом математичком формулом, јер

повезујесве најзначајније математичке

константе.

Аритметичка природаАритметичка природа π π

Ојлерова формула eπi = −1 омогућила је да Ф. Линдеман 1882.

године докаже да је π трансцендентан број.

То значи да не постоји једначинаan x

n + an - 1 x n - 1 + ... + a1 x + a0 = 0са целим коефицијентима чије је

решење π.

Квадратура кругаКвадратура круга

Из трансцендентости броја Из трансцендентости броја ππследи да је следи да је квадратура круга немогућа.квадратура круга немогућа.

Ако се неки број може конструисати лењиром и Ако се неки број може конструисати лењиром и шестаром тада се он може израчунати помоћу шестаром тада се он може израчунати помоћу низа линеарних и квадратних једначина. Низ низа линеарних и квадратних једначина. Низ једначина може да се сведе на једну једачину једначина може да се сведе на једну једачину вишег степена па сваки број који може да се вишег степена па сваки број који може да се

конструише решење је неке једначине довољно конструише решење је неке једначине довољно високог степена са целим коефицијентима.високог степена са целим коефицијентима.

ππ није решење ни једне једначине са није решење ни једне једначине са

целим коефицијентима па целим коефицијентима па ππ не може да се не може да се конструише.конструише.

Приближна конструкција заПриближна конструкција за ππ

OR = 2r, RA = r, OE = OA, OP = 3r, PF = PE = (3+√5)r

добија се да је π = PQ = 3(3+√5)/5 ≈ 3.14164...r.

Ово је Џонстонова конструкција (из 1939)

Вијетове апроксимације π

ππ и редови и редовиПостоји много формула за аркус

тангенс.

Гаус је пронашаоππ/4/4 = 12 arctg 1/18 + 8 arctg 1/57 − 5

arctg 1/239.

Штермер је пронашаоππ/4/4 = 6 arctg 1/8 + 2 arctg 1/57 + arctg

1/239.

Ове формуле су се користиле

1961 за израчунавање 100000 децимала ππ1974 за израчунавање 1000000 децимала ππ

ππ и редови и редови

1914 Рамануџан проналази ред

1/1/ππ = 2√2 Σn=0((4n)!(1103 +26390n))/(44n (n!)4994n+2).∞ __

сваки нови сабирак поправља збир за 8 децимала.

Сриниваса Рамануџан (1887 - 1920) је био генијални индијски самоуки математичар.

ππ и редови и редовиОсмдесетих Григорије Чудновски

проналази

1/1/ππ = 12 Σn=0 (−1)n((6n)! (13591409 + 545140134n))/((3n)! (n!)36403203n+3/2).

∞

Сваки нови сабиракпоправља збир за 15 децимала, па се и на малим рачунарима лако израчунава π

Браћа Григорије (седи) и Давид Чудновски су руски емигрантииз Украјине који живе у Њујорку

Најкраћи програм заНајкраћи програм за ππ

/* Израчунавање π на 32372 децимале. *//* Величина програма: 152 знака *//* by Ch. Haenel, after Dik T. Winter, CWI Amsterdam */

unsigned a=1e4,b,c=113316,d,e,f[113316],g,h,i;main(){for(;b=c,c-=14;i=printf("%04d",e+d/a),e=d%a)while(g=--b*2)d=h*b+a*(i?f[b]:a/5),h=d/--g,f[b]=d-g*h;}

Хвала вам наХвала вам напажњи и стрпљењупажњи и стрпљењу