Проблема учёта закона сохранения энергии-импульса при расчёте сечений неупругого рассеяния

адронов.

Одесский Национальный Политехнический Университет.Кафедра теоретической и экспериментальной ядерной физики.

В.Д. Русов, И.В. Шарф, А.В. Тихонов, М.А. Делиергиев, Н.А. Подолян, Г.О. Сохранный, К.В. Яткин

План:• Трудности теоретического расчёта сечений

неупругого рассеяния.• Как мы предлагаем преодолевать эти

трудности.• Уменьшение виртуальностей как механизм

роста сечений неупругого рассеяния с возрастанием энергии.

• Роль интерференции в процессах неупругого рассеяния.

• Обсуждение и выводы: Основные отличия предлагаемого подхода от существующих.

Трудности теоретического расчёта сечений неупругого рассеяния.Типичный процесс неупругого рассеяния:

• Сталкиваются два потока частиц с четырехимпульсами иВ результате образуются:• Первичные частицы (с другими четырехимпульсами и )• n вторичных частиц с четырехимпульсами

Сечение такого процесса:

где:

Трудности при расчете интеграла (1) связаны с его многомерностью. Этот интеграл не удается расщепить в произведение интегралов меньшей размерности из - за того, что амплитуда рассеяния не представляется, вообще - говоря произведением функций от отдельных переменных интегрирования. Кроме того интегрирование затрудняет наличие δ - функции Дирака, выражающей закон сохранения энергии - импульса. Вследствие наличия этой δ - функции пределы интегрирования по каждой переменной зависят от значений остальных переменных. Поэтому интеграл не расщепляется не только из-за подынтегрального выражения но и из-за сложности области интегрирования.

Из этих уравнений четыре аргумента функции можно выразить через остальные аргументы. Далее эти выражения нужно подставить в выражение для амплитуды рассеяния и для полученной таким образом функции решать задачу уже на обычный экстремум. Такое выражение для амплитуды рассеяния мы получим если в общем выражении (1) для сечения

Т.к. речь идет об условном максимуме функции , то её аргументы нельзя считать независимыми. На них нужно наложить четыре условия, выражающие закон сохранения энергии – импульса.

Квадрат модуля амплитуды рассеяния может быть представлен в виде:

Однако интегрирование может быть существенно упрощено если окажется что квадрат модуля амплитуды неупругого рассеяния имеет условный максимум при условии что переменные, от которых зависит амплитуда рассеяния, подчинены законам сохранения компонент энергии - импульса. В этом случае для расчета интеграла можно применить известный метод Лапласа. Если максимум будет достаточно “острым ”, то основной вклад в интеграл внесет малая окрестность точки максимума проблема сложности области интегрирования из-за наличия законов сохранения будет решена.

Раскладывая показатель экспоненты в ряд Тейлора в окрестности точки условного максимума и ограничиваясь квадратичными по переменным интегрирования слагаемыми получим интеграл гауссовского типа, который, как известно может быть рассчитан при любом числе измерений.

мы выполним интегрирование по выбранным четырем переменным с учетом дельта –функции Дирака. Таким образом в предлагаемом подходе осуществляется учет закона сохранения энергии - импульса !!!

•Мультипериферичеких (гребенки):

В рамках теории возмущений выражение для амплитуды рассеяния может быть задано путем рассмотрения некоторой последовательности фейнмановских диаграмм.

В частности, нам удалось установить наличие точки условного максимума, а следовтельно и возможность применения метода Лапласа для следующих типов диаграмм:

•Диаграмм с петлями при нулевой массе виртуальных частиц:

•«Древесных» диаграмм:

Диаграмм с четырехугольными скалярными петлями:

Во всех рассмотренных случаях с точностью до несущественного постоянного множителя амплитуды рассеяния являются действительными и положительными величинами. Поэтому можно было решать задачу на экстремум не для квадрата модуля, а для самой амплитуды.

При этом для представления амплитуды рассеяния использовалась система центра масс исходных частиц, по отношению к которой выделялись продольные и поперечные компоненты импульсов частиц в конечном состоянии:

Продемонстрировать наличие максимума можно таким образом. Т.к. в конечном состоянии мы имеем n+2 частицы, то амплитуда рассеяния в произвольной системе отсчета зависит от 3n+6 компонентов импульсов этих частиц.

n+2

Из закона сохранения энергии – импульса, мы можем четыре компоненты выразить через остальные 3n+2.

В качестве независимых переменных мы выбирали:

• n быстрот вторичных частиц, которые будем обозначать:

• n компонент поперечных импульсов вторичных частиц вдоль оси OX вторичных частиц, которые будем обозначать:

• n компонент поперечных импульсов вторичных частиц вдоль оси OY вторичных частиц, которые будем обозначать:

•И еще две величины

Таким образом, каждая из независимых переменных, от которой зависит амплитуда рассеяния получила свой номер.

Если обозначить значения переменных, при которых амплитуда рассеяния достигает максимума как (эти значения удается найти как численно так и аналитически), то можно рассмотреть функции вида:

Характерный вид таких функций, получаемый путем численного расчета представлен на рисунке и иллюстрирует наличие точки максимума

Точка максимума для всех приведенных типов диаграмм обладает рядом важных свойств. Приведем их кратко.

(2)

Достаточно очевидным, но в то же время важным свойством является то, что

максимум достигается при значениях поперечных компонент импульсов всех частиц в конечном состоянии, равных нулю. Это очевидно т.к. в плоскости поперечных импульсов не имеется никакого выделенного направления. Это свойство удается доказать аналитически, так и проверить численно.

Важность этого свойства состоит в том, что при рассмотрении процессов неупругого рассеяния обычно пренебрегают вкладами от продольных компонент импульсов в виртуальности, полагая:

см. например, Э.А. Кураев, Л.Н. Липатов, В.С. Фадин Мультиреджевские процессы в теории Янга – Миллса ЖЭТФ т.71, 1976, вып.9, стр. 840 – 855 (см. в частности формулу (21) на стр.844).

То что в точке максимума поперечные компоненты импульса равны нулю, делает такое приближение невозможным:

Учет вкладов приводит к ряду результатов, отличающихся от общеизвестных.

А именно, рассчитанные по значениям в точке максимума импульсов частиц в конечном состоянии виртуальности уменьшаются по абсолютной величине с возрастанием энергии .

Все величины обезразмерены на массу вторичной частицы m.

Результаты численного расчета абсолютных величин виртуальностей в точке макссимума для случая n/2=10.

Аналитическое решение задачи на экстремум для случая простейшей мультипериферической гребенки приводит к оценке:

Из этого выражения видно, что при не малых множественностях вторичных частиц n, даже при условии в достаточно большом интервале энергий

(3)

А это означает что при не слишком малых n, как видно из выражения (2), величина

Т.к., то видно что убывание показателя экспоненты с ростом

числа частиц n, является более резким, чем рост с возрастанием .

не является малой, и тем более пренебрежимо малой по сравнению с квадратом поперечного импульса.

Кроме того, если соотношение (2) переписать в виде

(3),

то видно что все виртуальности уменьшаются с ростом энергии . Это обстоятельство важно всвязи с тем что парциальное сечение неупругого рассеяния с образованием n вторичных частиц пропорционально квадрату модуля амплитуды рассеяния в точке максимума. Действительно, в окрестности точки максимума, амплитуду рассеяния можно представить в виде:

Поэтому значение амплитуды в точке максимума войдет множи- телем в выражение для парциального сечения рассеяния. Учитывая, что:

Приходим к выводу, что уменьшение виртуальностей является механизмом роста сечений с энергией.

(4)

Этот механизм не учитывается в существующих подходах вследствие упомянутого выше сведения виртуальностей к квадратам поперечных импульсов.То, что гауссовское приближение (4) для амплитуды рассеяния является приемлемым, можно продемонстрировать следующим образом. Введем обозначение

Таким образом, у нас есть «истинная» амплитуда рассеяния , запи-сываемая по правилам фейнмановской диаграммной техники и ее гауссовское приближе-ние . Мы можем наряду с функциями (2)

ввести аналогичные функции

Сравнение этих функций для , приведено на следующем слайде для разных выборов значений a и b. Желтым цветом показана функция полученная по «истинной» амплитуде, а синим – по ее гауссовскому приближению.

Из приведенного рисунка видно, что в области в которой амплитуда рассеяния велика и которая вносит максимальный вклад в интеграл эти функции практически неотличимы друг от друга. Заметные отличия появляются в тех областях, где обе функции малы по сравнению с их значениями в окрестности точки максимума.

Это дает возможность применить к расчету парциальных сечений метод Лапласа.

При расчете сечений неупругого рассеяния возникает еще одна проблема, которая проявляется в методе Лапласа и игнорируется при существующих подходах к расчетам характеристик неупругих процессов – проблема учета интерференционных вкладов в сечения.

Эти вклады появляются вследствие того, что амплитуда неупругого процесса представляется в виде (рис. А, суммирование проводится по всем перестановкам индексов у четырехимпульсов вторичных частиц). Поэтому парциальное сечение представляется так как показано на рис. Б.

Рис. А Рис. Б