第七讲 散射

一、散射截面散射过程：

Z

θ

ds

 

靶粒子的处在位置称为散射中心。

散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。

弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。

方向准直的均匀单能粒子由远处沿 z 轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。

入射粒子流密度 N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。

散射截面：

设单位时间内散射到（，）方向面积元 ds 上（立体角 d 内）的粒子数为 dn ，显然

dr

dsdn

2

dn N

综合之，则有： dn Nd

或 （ 1 ） Ndqdn ),(

比例系数 q( ， ) 的性质：q( ， ) 与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及

入射粒子的动能有关，是，的函数。q( ， ) 具有面积的量纲

2][ LNd

dnq

故称 q( ， ) 为微分散射截面，简称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积 q( ， ) ，则单位时间内通过此

截面 q( ， ) 的粒子数恰好散射到 ( ， ) 方向的单位立体角内。 （ 2 ）

d

dnNq ),(

总散射截面：

（ 3 ）

ddqdqQ sin),(),(0

2

0

[ 注 ]由（ 2 ）式知，由于 N 、 可通过实验测定，故而求得 。

量子力学的任务是从理论上计算出 ，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。

d

dn),( q

),( q

二、散射振幅现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，

在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心 A 为坐标原点，散射粒子体系的定态 schrödinger 方程

（ 4 ）

令

ErU )(2

22

)(2

)(2

222 rUrV

Ek

方程（ 4 ）改写为

（ 5 ）0)]([ 22 rVk

由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为 。因此，在计算时 ，仅需考虑 处的散射粒子的行为，即仅需考虑

处的散射体系的波函数。设 时， ，方程（ 5 ）变为

r),( q

0)( rVr

rr

（ 6 ）

令 （ 7 ）

022 k

r

将（ 6 ）式写成

0ˆ

2

22

2

2

r

Lk

r

在 的情形下，此方程简化为 （ 8 ）

r

022

2

kr

此方程类似一维波动方程，我们知道：对于一维势垒或势阱的散射情况

ikxikxk BeAex

ikxk cex

式中 为入射波或透射波， 为散射波，波只沿一方向散射。对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在 处的粒子的波函数应

为入射波和散射波之和。方程（ 8 ）有两个特解

ikxe ikxe

r

ikrefr ),(),,( ikrefr ),(),,(

因此，

r

efr

ikr

),(),,(2

r

efr

ikr

),(),,(2

代表由散射中心向外传播的球面散射波， 代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。

在 处，散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即2

2

r ikze1

2

（ 9 ）

为方便起见，取入射平面波 的系数 A=1 ，这表明 ，入射粒子束单位体积中的粒子数为 1 。

入射波几率密度（即入射粒子流密度）

r

efAerr

ikrikz ),()(

ikxe 1|| 21

（ 10 ）

散射波的几率流密度

)(22

*1

*11

1*1

*1

1

ikiki

zz

iJ z

Nk

（ 11 ）

单位时间内，在沿 方向 d 立体角内出现的粒子数为

（ 12 ）

比较（ 1 ）式与（ 12 ），得到

22

2*2

*2

2 |),(|2

frrr

iJ r

),(

Ndfdsr

fdsJdn r2

22 |),(||),(|

（ 13 ）2|),(|),( fq

由此可知，若知道了 ，即可求得 ， 称为散射振幅，所以，对于给定能量的入射粒子，速率 给定，于是入射粒子流密度 N= 给定，只要知道了散射振幅 ，也就能求出微分散射截面， 的具体形式通过求 schrödinger方程（ 5 ）的解并要求在 时具有渐近形式（ 9 ）而得出。

下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。

),( f),( q

),( fv v

),( f

),( f

r

三、分波法 讨论粒子在中心力场中的散射。粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程

（ 3-1 ）

)(rU

0)]([ 22 rVk

取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴 z ，显然与无关，按照 §3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（ 3-1 ）的特解为

由于现在与无关 (m=0) ，所以，方程（ 1 ）的特解可写成

),()( lml YrR

)(cos)( ll PrR

方程（ 3-1 ）的通解为所有特解的线性迭加 （ 3-2 ）

lll PrRr )(cos)(),(

Rl(r) 为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， 称为第 l 个分波，通常称 l=0,1,2,3… 的分波分别为 s, p, d, f… 分波

（ 3-2 ）代入（ 3-1 ），得径向方程

)(cos)( ll PrR

（ 3-3 ）

令 ，代入上方程

0)()1(

)(1

222

2

rRr

llrVk

dr

dRr

dr

d

r ll

r

rUrR l

l

)()(

（ 3-4 ）

考虑方程（ 3-4 ）在 情况下的极限解，令 方程（ 3-4 ）的极限形式

0)()1(

)(2

22

2

rUr

llrVk

dr

Udl

l

r r

由此求得： （ 3-5 ）

0)()( 2

2

2

rUkdr

rUdl

l

)sin()( lll krArU

l

ll lkr

kr

ArrR

2

1sin)(

为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数

将（ 3-5 ）代入（ 3-2 ），得到方程（ 3-1 ）在 情形下通解的渐近形式

llll

lAkA

2,

r

（ 3-6 ）

另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数

)(cos2

1sin),(

0

ll

ll Plkr

kr

Arr

)(cos][2

)2

1()

2

1(

0

l

lkrilkri

l

l Peeikr

A ll

（ 3-7 ）

将平面波 按球面波展开 （ 3-8 ）

式中 jl(kr) 是球贝塞尔函数

r

eferr

ikrikz )(),(

ikze

0

cos )(cos)()12(l

lllikrikz Pkrjilee

（ 3-9 ）

利用（ 3-8 ），（ 3-9 ），可将（ 3-7 ）写成

lkrkr

rkrJkr

krjl

l 2

1sin

1)(

2)(

2

1

][2

1 )2

1()

2

1( lkrilkri

eeikr

)(cos][2

)12()(),(

0

)2

1()

2

1(

Ll

lkrilkrilikr

Peeikr

il

r

efrr

（ 3-10 ）

（ 3-6 ）和（ 3-10 ）两式右边应相等，即

)(cos][2

)2

1()

2

1(

0

l

lkrilkri

l

l Peeikr

A ll

cos][2

)12()(

)2

1()

2

1(

0L

lkrilkri

l

likr

Peeikr

il

r

ef

分别比较等式两边 和 前边的系数，即得

（ 3-11 ）

（ 3-12 ）

ikre ikre

)(cos)12()(2)(cos 2

1

0

)2

1(

0

l

lil

ll

li

ll PeilikfPeA

l

)(cos)12()(cos 2

1

0

)2

1(

0

l

lil

ll

li

ll PeilPeA

l

用 乘以（ 12 ）式，再对从 积分，并利用 Legradrer多项式的正交性

可以得到

)(coslP 0

llll ldPP

12

2sin)(cos)(cos

0

lil

li

l eileAl 2

1)

2

1(

)12(

)2

1(

)12()12(l

lliil

l eleilA

即 （ 3-13 ）

将此结果代入（ 3-11 ）式)(cos)12()(2)(cos)12(

0

2

0

l

ll

i

l

PlikfPel l

)(cos)1()12(2

1)( 2

1

l

i

l

Pelik

f l

（ 3-14 ）

可见，求散射振幅 f() 的问题归结为求 ，求 l 的具体值关键是解径向波函数R(r) 的方程（ 3-3 ）

)(cos)()12(2

1

1

l

iii

l

Peeelik

lll

)(cossin)12(1

0

ll

i

l

Pelk

l

l

l 的物理意义：

由（ 3-8 ），（ 3-9 ）知， 是入射平面波的第 个分波的位相；由

（ 3-6 ）知， 是散射波第 l 个分波的位相。所以， l 是入射波经

散射后第 l 个分波的位相移动（相移）。

lkr

2

1l

llkr

2

1

微分散射截面

（ 3-15 ）

总散射截面

2

1

2 sin)(cos)12(1

|)(|)(

l

li

llePl

kfq

dqdqQ sin)(2)(

dPPellk llll

i

l l

ll sin)(cos)(cossinsin)12)(12(2

0

)(

0 02

lllli

l l lell

kll

12

2sinsin)12)(12(

2 )(

0 02

ll

lk

2

02

sin)12(4

即 （ 3-16 ）

式中 （ 3-17 ）

是第 l 个分波的散射截面

0l

lQQ

ll lk

Q 22

sin)12(4

由上述看们看出：求散射振幅 f() 的问题归结为求相移 l ，而 l 的获得，需要根据 U(r) 的具体情况解径向方程（ 3-3 ）求 Rl(r) ，然后取其渐近解，并写为

即可得到第 l 个分波的相移，由于每个分波都将产生相移 l ，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法

lrl

lkr

krrR

2sin

1)(

光学定理 （证明见后）)0(Im4

fk

Q

分波法的适用范围：分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以 a 为半径的球表示这个范围，则 r>a 时，散射效果就可以忽略不计了，由于入射波的第 l 个分波的径

向函数 jl(kr) 的第一极大值位于 附近，当 r 较大时， l愈大， k

lr 0)(

0 rl krj

0k

lr愈快，如果 jl(kr) 的第一极大值位于 ，即 l>ka 时，在 r≤a 内， jl(kr) 的值

很小。亦即第 l 个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第 l 个分波 之前的各分波必须考虑，所以，我们把分波法适用的条件写成 ，而的分波不必考虑， ka愈小，则需计算的项数愈小，当 ka<<1 时， l~0 ，这时仅需 计算一个相移 0 即足够了，而 ka足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射， l>ka 的分波散射截面可以略去。

kal kal

说明：已知 U(r) 时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道 U(r) 的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。

思考题：什么是分波法分波法是说入射平面波 eikz 按球面波展开

)(cos)()12(0

cos ll

l

l

ikrikz Pkrjilee

展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移 l 。而 l 的获得需根据 U(r) 的具体形式解径向方程

0)()1()(22)(1

2222

2

rRr

llrUE

dr

rdRr

dr

d

r

求出 Rl(r) ，然后取其渐近解，并写成

即可得到第 l 个分波的相移，由于每个分波都将产生相移 l ，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。

lr

l lkrkr

rR 2

1sin

1)(

分波法应用举例

ar

arUrU

0)( 0

ex. 球方势阱和球方势垒的低能散射。

粒子的势能

U0 是势阱或势垒的深度或高度，设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。

Solve: 粒子的径向方程

（ 1 ）

其中

E 为粒子的能量， U(r) 为粒子在靶粒子中心力场中的势能。对于球方势阱 U0<0

0)()1(

)()(1

222

2

rRr

llrVk

dr

rdRr

dr

d

r ll

222 )(2

)(,2

rU

rVE

k

（ 2 ）

ar

arkU

rUrV

0

||2)(2

)(202

0

2

因粒子波长 ，所以仅需讨论 s 波的散射

（ l=0 ），据此及（ 2 ）式，可将方程（ 1 ）写成

（ 3 ）

（ 4 ）

11

kaak

ak

h

arrRkdr

rdRr

dr

d

r

0)()(1

0202

2

arrRkdr

rdRr

dr

d

r

0)()(1

0202

2

其中

令 ，则（ 3 ），（ 4 ）可写成

20

22 kkk

r

rurR

)()( 0

0

（ 5 ） （ 6 ）

0)()(

02

20

2

rukdr

rud

0)()(

02

20

2

rukdr

rud

其解为 arrkAru )sin()( 00

arkrBru )sin()( 00

（ 7 ）

（ 8 ）

于是

arrkr

ArR )sin()( 00

arkrr

BrR )sin()( 00 （ 10 ）

（ 9 ）

因 在 r=0 处有限，必须有 所以

在 r=a 处， 及 连续，因此， 及 在 r=a 处连续

由（ 7 ），（ 8 ）式得

r

rurR

)()( 0

0 0)0(0 u 00

)(0 rRdr

rdR )(0 )(0 rudr

rdu )(0

由此求得相移

（ 11 ）

总散射截面

aktgk

katgk

1

)(1

0

kaaktgk

karctg

0

（ 12 ）02

20 sin4 k

QQQl

l

kaaktgk

karctg

k2

2sin

4

在粒子能量很低 的情况下， 。利用 x<<1 时， arctgx x ，有

（ 13 ）

（ 14 ）

对于球方势垒 。

)0( k 0kk

110

00

ak

atgkkakaaktg

k

k

2

0

022020

2

214

4sin

4

ak

atgka

kkQ

00 U

这时，用 ik0 代替以上讨论中的 k0 ，在粒子能量很低 的情况下，（ 1

3 ）变为 （ 15 ）

（ 14 ）写为

)0( k

1

0

00 ak

athkka

（ 16 ） 当 时 ，由于

代入（ 16 ）式，得

2

0

02 14

ak

athkaQ

0U 0k

100

00

0

akak

akak

ee

eeathk

24 aQ

低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为 a 的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为 a 的硬球

的最大截面面积 ，它是量子力学计算的结果的 。)( 2a

4

1

四、玻恩近似

分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能 可看作是微扰，体系的哈密顿算符为

)(rU

HHH ˆˆˆ0

其中， 是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归

一化的动量本征函数

，粒子与散射力场的相互作用能。

2

ˆˆ2

0

pH

rkik

eL

2

3

波矢量，p

k

)(ˆ rUH

这里，采用箱归一化意味着体积 L3 内只有一个粒子。于是，入射粒子流密度

单位时间内，散射到 方向立体角 内的粒子数

3 LN

),( d

dLqNdqdn 3),(),( （ 1 ）

另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为 的初态

跃迁到动量 的末态 ，即

对于弹性散射，动能守恒

k

)(rk

k

)(rk

)(rk

kkk ||||

)(rk

单位时间内，粒子从初态 跃迁到动量大小为 ，方向为 的立体角 内所有末态上的几率，即跃迁几率

（ 2 ）

跃迁距阵元

)(rk

kp ),( d

dmH kk )(2 2

（ 3 ） 为动量大小为 ，方向角为 的末态数目（态密度）

drrUH kkkk )()(*

derUL rkki )(3 )(

)(m k ),(

（ 4 ）kL

m

3

2)(

将（ 3 ）、（ 4 ）代入（ 2 ）式，得出

（ 5 ）

此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角 d 内的粒子数

dderUk

L rkki2

)(32

3 )(4

（ 6 ）

比较（ 1 ），（ 6 ）式，并注意到 ，立即可得

dderUk

Ldn rkki2

)(32

3 )(4

kv

（ 7 ）

式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅 有一负号。引入矢量

2)(

42

2

)(4

),( derUq rkki

),( f

θ

k

kkK

k

kkK

2sin2

kK

其中是散射角， 是散射引起动量的变化，于是K

derUderU rKirkki

)()( )( （ 8 ）

取 的方向为球坐标的极轴方向， 为方位角，则可简化积分

（ 9 ）因而

K

,

2

00 0

cos2 sin)()( ddedrrrUderU iKrrKi

0

)sin()(4

drKrrrUK

（ 10 ）2

042

2

)sin()(4

),(

drKrrrUK

q

此式即为玻恩近似表达式，若势能 U(r)已知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出 U(r) 的具体形式后，如何计算积分 。下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。

0sin)( KrdrrrU

2

sin

)sin(

4)sin(

)(

2)sin(

)(

020

2200

3

4

00

22200

2

2

2222

drr

Kr

r

UKa

KdrKre

r

eU

a

KedrKrreeU

ka

aKdrKrreeU

rU

arar

a

K

rara

arar

玻恩近似法应用举例：

玻恩近似法的适用范围：

玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，它与分波法（适用于低能散射）相互补充，作为解决散射问题的两种主要近似方法。

ex.1 计算高速带电粒子 ，被中性原子内部的屏蔽库仑场 所散射的散射截面。

eZ ar

s er

eZZrU

2

)(

Solve ：高速带电粒子属高能粒子，故2

042

2

)sin()(4

)(

drKrrrUK

q

2

042

422

)sin(4

2

drKreK

eZZa

rs

（ 1 ）

2

22

42

422

14

2

aK

K

K

eZZ s

222

4

4

422

)1(

42

Ka

aeZZ s

其中 （ 2 ）当入射粒子的能量很大，散射角 较大时 （ 3 ）

所以上式可近似写成

2sin2

kK

12

sin2

kKa

（ 4 ）2

sin16

14

)(

4)(

444

422

4

4

4

422 22

k

eZZ

Ka

aeZZq ss

2csc

44

42

42 2

seZZ

此式称为 Rutherford 散射公式。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射（不考虑屏蔽作用）得出。这说明式（ 3 ）是经典力学方法可以适用的条件。式（ 4 ）表明要求散射角比较大，能量比较大，这时散射要在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，因而核外电子不起屏蔽作用。当角很小时，条件（ 3 ）不能满足， Rutherford公式不能成立，此时需用（ 1 ）式。

ex.1.

粒子受到势能为 的场的散射，求 s 分波的微分散射截面。2)(

r

arU

[ 解 ] 为一般起见，先考虑 l 分波的相移，再取特殊情况 s 分波的相移。根据边界条件 （ 1 ）

解径向 Rl(r)满足的径向方程

l

lrl lkr

kr

AkrR

2

1sin)(

令

0)()1()(22

)(1

2222

2

rRr

llrUErR

dr

dr

dr

d

r

2022 2

,2

a

VE

k

0)()1(1

22022

2

rRr

ll

r

VkR

dr

dr

dr

d

r

（ 2 ）

又令

所以（ 2 ）式可以写成

0)())1((2)( 022

2

22 rRVllrkR

dr

drrR

dr

dr

)(1

)(1

)(

ukrukr

rRkr

（ 3 ）

令

于是（ 3 ）式又可写成

0)(2

1)()( 0

22

2

22

uVl

d

duu

d

d

0

22

2

1Vl

（ 4 ）

上式是阶贝塞尔方程，其解为 因此

0)(}{)()( 222

22

uu

d

du

d

d

)(J

Jkr

rR1

)(

但当 时 ，所以在 r=0 附近

0r )(krJ

)(1

~)( krJkr

rR

r

42

1cos

2)(

kr

krkrJ

242

1sin

2

krkr

42

1sin

2

krkr

由

（ 5 ）

比较（ 1 ）式和（ 5 ）式，则有

42

1sin

2)(

krkr

rRr

)(24

ll

2

1)12(

4 l

0

2

2

1

2)12(

4Vll

2

22

2

1

2)12(

4 a

ll

令

将 值代入微分散射截面的表达式

2

811

40 0

al

02

02

sin)(cos)12(1

)( li

ll

lePlk

q

立即可得到 s 分波的微分散射截面

2

0020 sin)(cos1

)( 0 iePk

q

02

2sin

1 k

2

811

4sin

1 22

a

k

s 分波散射截面

dqQl )(0

2

811

4sin

4 22

a

k

ex.2. 慢速粒子受到势能为 的场的散射，

若 ， ，求散射截面。

ar

arUrU

当当

0)( 0

0UE 00 U

[ 解 ] 由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑 s 分波。由径向波函数 R(r) 所满足的径向方程

0)()1()(221

2222

2

rRr

llrUER

dr

dr

dr

d

r

当 l=0 时 （ 1 ）

令 （ 2 ）

0)()(221

222

2

rRrUE

Rdr

dr

dr

d

r

r

rurR

)()(

（ 3 ）

将 代入以上方程

并令 （ 4 ）

0)())((2)(

22

2

ruruEdr

rud

ar

arUrU

0)( 0

202

22 )(2

,2

EU

kE

k

（ 5 ） （ 6 ）

arrukdr

rud 0)(

)( 22

2

arrukdr

rud 0)(

)( 22

2

areBeAru rkrk )(

arkrCru )sin()( 0

areBeArr

rurR rkrk )(

1)()(

arkrr

C

r

rurR )sin(

)()( 0

当 应有限，则要求

)(0 rRr

0 BA

arrkshr

Aee

r

ArR rkrk

)()(

在 r=a 处， R(r) 和 为连续dr

rdR )(

两式相除，得

akAshkaC )sin( 0

akchkAkakC )cos( 0

(7)

总散射截面

akthk

kkatg

)( 0

akthk

karctgka0

02

20 sin4 k

QQ

akthk

karctgka

k2

2sin

4

讨论：当粒子的能量 时， 0UE 020

20 2)(2

kUEU

k

1k

k

athkk

kkaakth

k

kka 0

00

1

0

0

ak

athkka

如果粒子能量很低 k→0 的情况下

110

00

ak

athkka

2020

220

4sin

4 kk

QQ

2

0

02 14

ak

athka

如果 时， ，于是有

0U 0k

100

00

0

akak

akak

ee

eeathk

24 aQ

2aQ

在这种情况下，总散射截面等于半径为 a 的球面面积。

它与经典情况不同，在经典情况下，

ex.3. 只考虑 s 分波，求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面4)(

r

arU

［解］根据边界条件

（１）

解径向方程：

l

lrl lkr

kr

AkrR

2

1sin)(

令　　　　

则上方程简写为：

0)()1()(22

)(1

2222

2

rRr

llrUErR

dr

dr

dr

d

r ll

22 2

E

k

40

422

12)(2)(

r

V

r

arUrV

令　 代入上方程，有

0)()1(

)(1

24022

2

rRr

ll

r

VkrR

dr

dr

dr

d

r ll

)(1

)(

ll urRkr

0)(2

1)()(2

202

2

22

lll ul

r

V

d

du

d

ud

只考虑 s 分波， l=0 ，由于 ， ，以上方程在 时的渐近形式为

020

r

Vr

0)(2

1)()(2

22

22

lll ud

du

d

ud

r

此为 阶贝塞尔方程，其解为由于， ， 所以有限解为于是

2

1)(

2

1

J

0

)(2

1 J )(2

1 J　　　　　　　　　　　　　　　　　　

)(1

)(2

10 krJkr

rRr

422

1cos

2

krkrr

krkr

sin2

比较（ 1 ）和（ 2 ）两式，并注意取（ 1 ）式中的 l等于 0 ，则00

0sin4

02

20 k

Q

ex.4. 用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面

22

0)( raeUrU

[ 解 ] 根据微分散射截面公式

于是将 代入上式积分

2

042

2

sin)(4

),(

RrdrrrUK

q

22

0)( raeUrU

00 0 sinsin)(

22

KrdrreUKrdrrrU ra

Krdrea

KUKre

a

U rara cos2

sin2 02

002

0 2222

2

2

422

0

2

1

2a

K

eaa

KU

2

2

430

4a

K

ea

KU

2

2

246

220

4),( a

K

ea

Uq

2sin2

kK

}2sin2

exp{4

),(2

22

46

220

a

k

a

Uq

)cos1(exp4 2

2

46

220

a

k

a

U

dqQ ),(

dda

ke

a

Ua

k

sincosexp4 2

22

0046

220 2

2

 

02

2

244

220

2

cosexp2

2

2

a

ke

ka

Ua

k

2

2

2

2

2

2

244

220

2

2a

k

a

k

a

k

eeeka

U

2

2

224

20

22

2

a

kshe

a

Ua

k

ex.5. 用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的微分

散射截面，式中 。

ar

arb

r

r

zerU

s

当

当

0

)(

2

2

2

sze

ab

[ 解 ] KrdrrrU sin)(0

Krdrb

rze

a

s sin0

22

KrdrrKb

Krb

rze

K

aas

00

22 cos

2cos

1

aass Krdr

bKKrr

bKKa

b

azeze

K 0202

222 sin

2sin

2cos

1

)cos1(2

sin2

cos1

32

222 Ka

bKKa

bK

aKa

b

azeze

K ss

Ka

Kb

aKa

bKb

aze

bKze

K ss sin2

cos2212

22

22

2

042

2

sin)(4

),(

KrdrrrUK

q

2

2

22

22

44

2

sin2

cos224

KaKb

aKa

bKb

aze

bKze

K ss

ex.6. 设 ，求反射系数 axeVxV /0 1)(

solve ： （ 1 ）

令

)()()()(

2 2

22

xExxVdx

xd

ax

e

则 （ 2 ）

（ 3 ）

1

11 0

0

VVV

d

d

ad

de

adx

d

d

d

dx

d a

x 11

（ 4 ）

将（ 2 ） ~ （ 4 ）代入方程（ 1 ），则有

d

d

d

d

adx

d

d

d

d

d

dx

d2

2

22

2 1

)()()1(

2 222

20

2

22

ak

aV

d

d

d

d

22 2

E

k

（ 5 ）

其中

x当 时，方程（ 1 ）的渐近形式

)(22

2

xkdx

d

此方程有平面波解令 （ 6 ）当 时， ， 超于常数

ikaikxex ~)(

)()( ikax 0 )(

（ 7 ）

1 ikaika ika

d

d

d

d

21

2

2

2

2

)1(2 ikaikaika ikaikad

dika

d

d

d

d

利用这些关系式，方程（ 5 ）可写成 （ 8 ）0)1)(21()1( 22

02

2

ak

d

dika

d

d

其中

将（ 8 ）写成

)(22 0122

100 EVkKkVk

（ 9 ）

再令

0)()1)(21()1( 22212

2

akk

d

dika

d

d

akkiakkiikac )(,)(),21( 11

显然 于是，方程（ 9 ）变为

（ 10 ）

方程（ 10 ）为超几何方程，其满足 （即 ）， 有限的解为

c 1

0)(])1([)1(2

2

d

dc

d

d

0 x )(

（ 11 ）

!2)1(

)1()1(

!11);,,()(

2

ccccF

!3)2)(1(

)2)(1()2)(1( 3ccc

满足 即 ， 有限的解为 )( x )(

1

;1,1,)()()(

)()()( c

c

c

（ 12 ）

1

;1,1,)()()(

)()(c

c

c

当 ，即 时

x

akkiakkiika cce )(2

)(1

11)(

xikxikkai ecece 1121

2

)()(

)()(1

c

cc

)()(

)()(2

c

cc

反射系数： （ 13 ）

利用

2

2

2

1

2

2

)()()(

)()()(

c

c

c

cR

xxxxx sin)1()(),()( **

akkic )(1 1

akkic )(1 1 aki 12

])[()()()()()( **2 ccc

])(1[])(1[])([])([ 1111 akkiakkiakkiakki

我们可得：

])(sin[])(sin[ 11

akkiakki

21

2

])([

akksh

])[()()()()()( **2 ccc

])(1[])(1[])([])([ 1111 akkiakkiakkiakki

])(sin[])(sin[ 11

akkiakki

21

2

]])[([

akksh

1)2()2(

)2()2(

)2(

)2(

)(

)(

11

112

1

2

1

2

2

akiaki

akiaki

aki

aki

将上述结果代入（ 13 ）式，得

])[(

])[(

12

12

akksh

akkshR