算 法 案 例

( 第一课时 )

解： 2 1 8 2 4 用公有质因数 2 除， 3 9 1 2 用公有质因数 3 除， 3 4 3 和 4 互质不除了。 得： 18 和 24 最大公约数是： 2×3 ＝ 6

想一想，如何求 8251 与 6105 的最大公约数？

例 1 、求 18 与 24 的最大公约数：

短除法

点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，此算法是欧几

里得在公元前 300 左右首先提 出的，因而，又叫欧几里得 算法．

辗转相除法（欧几里得算法）

观察用辗转相除法求 8251 和 6105 的最大公约数的过程

第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146

结论： 8251 和 6105 的公约数就是 6105 和 2146 的公约数，求 8251和 6105 的最大公约数，只要求出 6105 和 2146 的公约数就可以了。

第二步 对 6105 和 2146 重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理 6105 和 2146 的最大公约数也是 2146 和 1813 的最大公约数。

完整的过程

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4+0

例 2 用辗转相除法求 319 和 261 的最大公约数

319=261×1+58

261=58×4+29

58=29×2

显然 37 是 148 和 37 的最大公约数，也就是 8251 和6105 的最大公约数

显然 29 是 58 和 261 的最大公约数，也就是 261 和 319 的最大公约数

思考 1 ：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？

S1 ：用大数除以小数

S2 ：除数变成被除数，余数变成除数

S3 ：重复 S1 ，直到余数为0

例 3 、下面是求 115 与 276 的最大公约数的程序，把程序补充完整。 ( 学案 T6)

a=115b=276DO r=_____________________ a=b b=rLOOP UNTIL ___________________PRINT aEND

思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？

程序： 程序框图：

开始

是

结束

输入 a ， b

r=a mod b

a ＝ b

b ＝ r

r ＝ 0

输出 a

否

INPUT “a ， b” ；a ， b

DO

r=a mod b a=b b=rLOOP UNTIL r=0PRINT aEND

思考 : 你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？

写出程序框图和程序。

《九章算术 ——》 更相减损术

算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用 2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。

例 4 、用更相减损术求 120与 75 的最大公约数；

试着写出它的算法框图。（学案 T4 ）解：由于 75 不是偶数，把 120 和 75 以大数减小数，并辗转相减。

所以， 120 和 75 的最大公约数等于 15 。

120-75=45

   75-45=30

45-30=15

30-15=15

更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤，这实际也是一个循环结构

程序：INPUT “a,b”;a,bi=0WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0 a=a/2 b=b/2 i=i+1 WEND DOIF b>a THENt=aa=bb=tEND IFa=a-bLOOP UNTIL a=bPRINT a*2^iEND

开始

输入： a,b

输出： a×2i

结束

a=b?

a=a/2,b=b/2是

a=a-b

t=a,a=b,b=t

b>a?

a MOD 2=0 且 b MOD 2=0?

是

否

否

否

是

i=0

i=i+1

知识拓展 问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？ 分析：可以先求出其中两个数的最大公约数，

用这两个数的最大公约数再与第三个数求最大公约数，所得结果就是这三个数的最大公约数。

例 5 ，求 46 ， 115 ， 276 的最大公约数 ( 学案T5)

辗转相除法与更相减损术的区别：

小 结

（ 1 ）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（ 2 ）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。