Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором

простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры.

Линией на плоскости называют геометрическое место точек M(x;y), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0, (1)

где F(x,y) – многочлен степени n. Поверхностью называют геометрическое место точек M(x;y;z),

координаты которых удовлетворяют уравнениюF(x,y,z) = 0, (2)

где F(x,y,z) – многочлен степени n. Линией в пространстве называют пересечение двух

поверхностей.Уравнения (1) и (2) называют общими уравнениями линии

на плоскости и поверхности соответственно. Степень многочлена F(x,y) ( F(x,y,z) ) называют порядком линии (поверхности).

§ Прямая на плоскости 1. Общее уравнение прямой на плоскости и его

исследование

ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору },{ BAN

N 0M

0r r M O

ВЫВОДЫ:1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В

общем случае она задается уравнением Ax+By+C = 0, где A,B,C – числа.

2) Коэффициенты A и B не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного прямой.

Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором этой прямой.

Уравнения 0, Nrr 0 и 0)()( 00 yyBxxA называют уравнением прямой, проходящей через точку

),( 000 yxM перпендикулярно вектору },{ BAN (в векторной и координатной форме соответственно).

Уравнения 0, CNr и 0 CByAx называют общим уравнением прямой на плоскости (в векторной и координатной форме соответственно).

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты A,B и C

отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным.

1) Пусть общее уравнение прямой – полное. Тогда его можно записать в виде )5(1

b

y

a

x

y

B(0; b)

A(a; 0) x

С геометрической точки зрения a и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение (5) называют уравнением прямой в отрезках.

2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B – ненулевые, а C = 0, т.е. уравнение прямой имеет вид

Ax+By = 0. Такая прямая проходит через начало координат O(0;0).

y

O(0; 0) x

3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A или B – нулевой, а C 0, т.е. уравнение прямой имеет вид

Ax+C = 0 или By+C = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = a и y = b .

y

A(a; 0) x

y

B(0; b)

x

4) Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из коэффициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax = 0 или By = 0.

Эти уравнения можно записать в виде x = 0 (уравнения координатной оси Oy) и y = 0 (уравнения координатной оси Ox).

Замечание. Пусть прямая ℓ не проходит через O(0;0).

2) n}cos,{cos – орт вектора 0OP. 3) 0OPp – расстояние от начала координат до прямой

y

0P

Ox

Тогда уравнение ℓ можно записать в видеcosα·x + cosβ·y + C = 0,

где C = – p (доказать самим).Этот частный случай общего уравнения прямой называется

нормальным уравнением прямой.

Обозначим:1) P0(x0;y0) – основание перпендикуляра, опущенного на ℓ из начала координат,

2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости

1) Параметрические уравнения прямой ЗАДАЧА 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку

M0(x0;y0), параллельно вектору };{ nm

0M 0r r M O

Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Уравнение 0rr t и систему уравнений

.,

0

0

ntyymtxx

называют параметрическими уравнениями прямой (в векторной и координатной форме соответственно).

2) Каноническое уравнение прямой на плоскости

Пусть в задаче 2 вектор не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. 0m и 0n).

Уравнение m

xx0n

yy0 называют каноническим

уравнением прямой на плоскости.

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки – частный случай канонического уравнения прямой.

Пусть прямая проходит через две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) .

1M

2M

Уравнение 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

называют уравнением прямой,

проходящей через две точки ),( 111 yxM и ),( 222 yxM .

4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox. Тогда она

пересекается с Ox, образуя при этом две пары вертикальных углов. y y

x x

Угол , отсчитываемый от оси Ox к прямой ℓ против часовой стрелки, называют углом наклона прямой ℓ к оси Ox.

Число k = tg (если оно существует, т.е. если прямая ℓ не параллельна оси Oy) называют угловым коэффициентом прямой.

Для прямой, параллельной оси Ox, угол наклона прямой к оси Ox считают равным нулю. Следовательно, угловой коэффициент такой прямой k = tg0 = 0.

Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox и Oy и проходит через точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) (где x1 < x2). Найдем угловой

коэффициент этой прямой.

y y

2M 1M

1M K P 2M

x x

Получили: ktg12

12

xx

yy

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки перепишем в

виде: 112

121 xx

xx

yyyy

Уравнение y – y1 = k·(x – x1) – это уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1,y1) и имеющей угловой

коэффициент k.

Перепишем это уравнение в виде y = kx + b (где b = y1 – kx1).

Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. С геометрической точки зрения b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.

Замечание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом было получено в предположении, что прямая не параллельна оси Ox и Oy. Для прямой, параллельной Ox общее уравнение можно рассматривать как уравнение с угловым коэффициентом. Действительно, уравнение такой прямой

y = b или y = 0·x + b,

где k = 0 – угловой коэффициент прямой.

3. Взаимное расположение прямых на плоскости

На плоскости две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться.

Пусть уравнения прямых ℓ1 и ℓ2 имеют вид: ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0 или y = k1x + b1 ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0 или y = k2x + b2

1) Пусть прямые параллельны:

1N 1 2 2N

1 2 x 1 2

Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих текущих координатах пропорциональны, т.е.

2

1

2

1

B

B

A

A

или их угловые коэффициенты равны, т.е.

k1 = k2 .

2) Пусть прямые пересекаются

1 2N 1N 1 1 1 2 2

22

22

21

21

21212,1

)()()()(

),(cos

BABA

BBAA

21

21

NN

NN

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

0),( 2121 BBAA21 NN

критерий перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями.

2 1

1 2 1 x


12

122,1 1

tgkk

kk

1

21

kk

критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые коэффициенты k1 и k2.

4. Расстояние от точки до прямой

ЗАДАЧА 3. Пусть прямая ℓ задана общим уравнением Ax + By + C = 0 ,

M0(x0;y0) – точка, не принадлежащая прямой ℓ. Найти расстояние от точки M0 до прямой ℓ .

N

1M

0M

d

22

00),(

BA

CByAxd

N

MMN 01

§ Плоскость1. Общее уравнение плоскости и его исследование

ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору },,{ CBAN

N

0r rO

0M M

Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости.

ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем

случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа.

2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

Уравнения 0, Nrr 0 (1*) и 0)()()( 000 zzCyyBxxA (1) называют уравнением плоскости, проходящей через точку

),,( 0000 zyxM перпендикулярно вектору },,{ CBAN (в векторной и координатной форме соответственно).

У р а в н е н и я 0, DNr (2 * ) и 0 DCzByAx (2 ) н а з ы в а ю т о б щ и м у р а в н е н и е м п л о с к о с т и (в в е к т о р н о й и к о о р д и н а т н о й ф о р м е с о о т в е т с т в е н н о ) .

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным.

1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде )3(1

c

z

b

y

a

x

С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках. z

),0,0( cC

)0,,0( bB y

x )0,0,( aA

2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C – ненулевые, а D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

Ax+By +Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0).

z

1

O y 2 x

ℓ1: By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz)

ℓ2: Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy)

а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b соответственно и параллельна оси Oz;

3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A, B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскости один из следующих трех видов:

а) Ax+By+D = 0 б) Ax+Cz+D = 0 в) By+Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде а) 1b

y

a

x б) 1

c

z

a

x в) 1

c

z

b

y

z

b y

a x

б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c соответственно и параллельна оси Oy;

в) плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c соответственно и параллельна оси Ox. z z c c

y b y

a x x

Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты.

4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0.

Эти уравнения можно записать соответственно в виде:

а) 1a

x б) 1

b

y в) 1

c

z

а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz);

a

z

x

y

б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz);

в) плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy).

z

x

yb

c

z

x

y

Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих координат.

5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один из коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид:

а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0. Плоскость проходит через начало координат и ось

отсутствующей координаты

x

y

z

x x

z z

y y

6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид

а) Ax = 0 или б) By = 0 или в) Cz = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде:

а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz; б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz,

в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.

Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0).

2) n }cos,cos,{cos – орт вектора 0OP. 3) 0OPp – расстояние от начала координат до

Тогда уравнение λ можно записать в видеcosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0,

где D = – p (доказать самим).Этот частный случай общего уравнения плоскости называется

нормальным уравнением плоскости.

Обозначим:1) P0(x0;y0;z0) – основание перпендикуляра, опущенного на λ из начала координат,

O

n

0P

2. Другие формы записи уравнения плоскости

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам

ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно неколлинеарным векторам

};;{ 1111 pnm и };;{ 2222 pnm

Другие формы записи:Уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно вектору (см. уравнение (1) и (1*));Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (2));Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно

двум неколлинеарным векторам;Уравнение плоскости, проходящей через три точки;

1 2

0M M

0r r O

Уравнения 0,, 21 0rr (4*)

и 0

222

111

000

pnmpnm

zzyyxx (4)

называют уравнениями плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам (в векторной и координатной форме соответственно).

2)Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой – частный случай уравнения (4)

Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.

2M M 3M 1M

У р а в н е н и я 0,, 13121 rrrrrr ( 5 * )

и 0

131313

121212

111

zzyyxxzzyyxx

zzyyxx ( 5 )

н а з ы в а ю т у р а в н е н и я м и п л о с к о с т и , п р о х о д я щ е й ч е р е з т р и т о ч к и ),,( 1111 zyxM , ),,( 2222 zyxM и ),,( 3333 zyxM ( в в е к т о р н о й и к о о р д и н а т н о й ф о р м е с о о т в е т с т в е н н о ) .

3. Взаимное расположение плоскостей

В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться.

Пусть уравнения плоскостей λ1 и λ2 имеют вид: λ1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 λ2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Тогда: };;{1111 CBAN – нормаль к 1; };;{ 2222 CBAN – нормаль к 2;

1) Пусть плоскости параллельны:

1N

2N1

2

Получаем, что плоскости λ1 и λ2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

2) Пусть плоскости пересекаются

2

1

1

1

11N

2N

2

1

22

22

22

21

21

21

2121212,1

)()()()()()(

),(cos

CBACBA

CCBBAA

21

21

NN

NN


Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е.

0),(

cos 2,1

21

21

NN

NN

0),( 212121 CCBBAA21 NN

критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями.

9021

0coscos 21

4. Расстояние от точки до плоскости

ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 ,

M0(x0;y0;z0) – точка, не принадлежащая плоскости λ . Найти расстояние от точки M0 до плоскости λ .

222

000),(

CBA

DCzByAxd

N

MMN 01

0M N

1M

d

§ Прямая в пространстве1. Уравнения прямой в пространстве

Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения

любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ . Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

.0

,0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA (1)

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.

ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору

};;{ pnmВектор, параллельный прямой в пространстве, называют

направляющим вектором этой прямой.

z

0M 0r r M O y x

называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

Уравнение 0rrt, (2*)

и систему уравнений

.,,

0

0

0

ptzzntyymtxx (2)

Пусть в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. 0m, 0n и 0p).

Уравнения m

xx0n

yy0p

zz0 (3)

называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.

Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

1M

2M

Уравнения 12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

(4)

называют уравнениями прямой, проходящей через две точки ),,( 1111 zyxM и ),,( 2222 zyxM .

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:

.0

,0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA (1)

Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.

а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).б) Направляющий вектор ],[ 21 NNгде };;{111CBA1N и };;{222CBA2N – нормальные

векторы к плоскостям 1 и 2, уравнения которых входят в общие уравнения прямой.

1N

1

3. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться.Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:

1: 1

1

1

1

1

1

p

zz

n

yy

m

xx

, 2:

2

2

2

2

2

2

p

zz

n

yy

m

xx

.

1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны: 1 1

2 2Получаем: прямые параллельны их направляющие векторы };;{ 1111 pnm и };;{ 2222 pnm

коллинеарные, т.е. выполняется условие:

2

1

2

1

2

1

p

p

n

n

m

m . (6)

2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:

1M

2M

1

2

1

2

Получили: прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются они не

параллельны и для них выполняется условие 0,, 21 21MM , (7*) или, в координатной форме,

0

222

111

212121

pnmpnmzzyyxx

. (7)

3) Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7)

((7*)), то прямые скрещиваются.

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам:

1) параллельные прямые расстояние между прямыми

(т.е. расстояние от точки до прямой)?2) пересекающиеся прямые а) угол между прямыми?

б) точка пересечения прямых?3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми?

б) расстояние между прямыми?Пусть даны две прямые:

1:1

1

m

xx

1

1

n

yy

1

1

p

zz и 2 :

2

2

m

xx

2

2

n

yy

2

2

p

zz .

};;{ iiii pnm – направляющий вектор прямой i,

),,( iiii zyxM i ( 2,1i ).

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и проекцией

прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1 .

1

2

1

2

21

2Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Получаем:

22

22

22

21

21

21

212121

21

212,1

),(cos

pnmpnm

ppnnmm

где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть дана прямая m

xx 0:

n

yy 0

p

zz 0 и ),,( 1111 zyxM –

точка, не принадлежащая этой прямой.

Обозначим: };;{pnm – направляющий вектор прямой ,

0M

1M

d

Получаем:

10MM,d .

),,(0000zyxM – точка на прямой , d – расстояние от точки 1M до .

ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые:

1:1

1

m

xx

1

1

n

yy

1

1

p

zz и 2:

2

2

m

xx

2

2

n

yy

2

2

p

zz.

П о л у ч а е м :

222

222

CBA

DCzByAxd

};;{iiiipnm – направляющий вектор i,

где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ ,M2(x2; y2; z2) – любая точка на прямой ℓ2 .

11

2

21M

2M

d d

),,(iiiizyxMi

1

21

2

1M

2M

d

21

21

21

21

,

,,

,2

1

,,6

133

2121 MMMM

осн

пир

S

Vd

Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M2. Следовательно:

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.

Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений

Пусть даны две пересекающиеся прямые

1:1

1

m

xx

1

1

n

yy

1

1

p

zz и 2:

2

2

m

xx

2

2

n

yy

2

2

p

zz.

,

,

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

p

zz

n

yy

m

xxp

zz

n

yy

m

xx

или

.,,,,,

22

22

22

11

11

11

pzznyymxxptzzntyymtxx

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Пусть : 0DCzByAx и m

xx0:

n

yy0p

zz0.

Тогда };;{ CBAN – нормальный вектор плоскости, };;{ pnm – направляющий вектор прямой.

а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то

N

N

N

0,N (10) или в координатной форме

0 CpBnAm . (11)

Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

б)Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости

N

В этом случае N т.е. p

C

n

B

m

A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ .

Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.

N

0M

1

Следовательно,

sin cos

N

N,

Аналитическая геометрия

Documents