Лобанов Алексей Иванович

Основы вычислительной математики

Лекция 1

8 сентября 2009 года

Становление – конец XIX века

Карл Рунге Алексей Николаевич Крылов

Основные задачи

Физические модели – дифференциальные уравнения

Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений или систем

Пример простой математической модели Общая схема функционирования ССК (М.А.Пантелеев, Ф.И.Атауллаханов)

Пример простой математической модели Система в частных производных без учета

конвективных потоков

2

1 10

Dt

2

2 20

1 1Dt C

Проблемы

Непрерывная задача – дискретная задача

Качество приближения

АППРОКСИМАЦИЯ

Проблемы

Действительное число (бесконечная десятичная дробь) – операции с конечной длиной мантиссы

Ошибки округления

УСТОЙЧИВОСТЬ

Проблемы

Корректность постановки – непрерывная зависимость от начальных данных

ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ

10 11

100 1001 1101

u v

u v

10 11,01

100 1001 1101

u v

u v

Погрешности

Пусть u и u* — точное и приближенное значение некоторой величины соответственно. Тогда абсолютной погрешностью приближения u* называется величина ∆, удовлетворяющая неравенству

* .u u

Погрешности

Относительной погрешностью называется величина

удовлетворяющая неравенству

Обычно используется запись

( *),u

*( *).

*

u uu

u

*(1 ( *)).u u u

Погрешности

Машинный эпсилон

машинным ε называют наибольшее из чисел, для которых в рамках используемой системы вычислений выполнено 1 + ε = 1

1. Задача численного дифференцированияПусть задана таблица значений xi. В дальнейшем

совокупность точек на отрезке, котором проводятся вычисления, иногда будут называться сеткой, каждое значение xi — узлом сетки. Пусть сетка равномерная, и расстояние между узлами равно — шагу сетки. Пусть узлы сетки пронумерованы в

порядке возрастания

,jx a jh 0, , .j N

1. Задача численного дифференцированияПроизводная

Конечная разность

0

( ) ( )( ) lim ,

x

f x x f xf x

x

( ) ( )( ) .j jj

f x h f xf x

h

(1)

1. Задача численного дифференцирования Погрешность формулы (1)

Пусть f – проекция на сетку дважды непрерывно дифференцированной функции, тогда

2( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( )

2

f x h f x hf x hf x f f х

h h

( ) O ( ),f x h

1. Задача численного дифференцированияПолная погрешность

[ , ] 1

[ , ]

2

2

max ( )max ( ) ( ) ( ),x x h

x x h

hf

f O h O hh

1. Задача численного дифференцированияОптимальный шаг дифференцирования

max ( ) ,k f x2 max ( ) .M f x

2

2

2,

M hkerr

h

222

20,

M k

h

0,derr

dh

opt2

2 .k

hM

1. Задача численного дифференцированияФормула второго порядка

0

( ) ( )( ) lim .

2x

f x x f x xf x

x

( ) ( )( ) .

2j j

j

f x h f x hf x

h

(2)

1. Задача численного дифференцированияОптимальный шаг для формулы второго

порядка (2)

3,

max ( ) ,x a b

M f x

2

3

3,

M h kerr

h

0,derr

dh 3

2

2

60,

M h k

h

3opt3

3.

kh

M

1. Задача численного дифференцированияВычисление второй

производной

2

( ) 2 ( ) ( )( ) .j j jj

f x h f x f x hf x

h

1. Задача численного дифференцированияМетод неопределенных коэффициентов

Введем на рассматриваемом отрезке шаблон из нескольких точек

1( ) ( ),

m

j jk

klh

f x f x kh

1. Задача численного дифференцированияРаскладываем в ряд Тейлора в

окрестности x

2

2

11( ) ( ) ( ) ( )k k k k

m

j j j jk l h

f x kh f x f x fh

khk x

2 ( 1)3

6( ) ( )

!n

nn

j k j kf x fhk

hn

xk

1. Задача численного дифференцированияСистема линейных уравнений метода

неопределенных коэффициентов

0,k 1,kk 2

0,2k

k … 0,

!

n

kk

n

Система

1. Задача численного дифференцирования

1

222 2

3

3 3 34

1 1 1 01 1

1 0

01

l l m

l l m

l l m

1. Задача численного дифференцирования Определитель данной матрицы —

детерминант Вандермонда. Из курса линейной алгебры известно, что он не равен нулю. Тогда существует единственный набор коэффициентов α, который позволяет найти на шаблоне из (1 + l + m) точек значение первой производной с точностью ( ).l mO h

1. Задача численного дифференцированияДля нахождения второй производной

можно использовать ту же самую формулу с небольшой модификацией

2

1( ) ( ),

m

j k jk lh

f x f x kh

1. Задача численного дифференцированияСистема уравнений

1

222 2

3

3 3 34

1 1 1 01 0

1 2

01

l l m

l l m

l l m

1. Задача численного дифференцированиядоказано следующее утверждение. На

сеточном шаблоне, включающем в себя N + 1 точку, с помощью метода неопределенных коэффициентов всегда можно построить единственную формулу для вычисления производной порядка p (от 1 до N включительно) с точностью не хуже, чем

.

1( )N pO h