Комплексные числа

Комплексным числом называется

число вида

где x и y – вещественные числа.

,iyxz

iyxz называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Число x называется действительной частью,

y–мнимой частью комплексного числа z.

Это записывают следующим образом:

,Re zx .Im zy

• Если , то число называют

чисто мнимым.

• Если , то получается

вещественное число.

• Два комплексных числа

и называются

сопряженными. iyx z

iyxz

0x z

0y ixz 0

Два комплексных числа и

равны друг другу, если

и ; комплексное число z считается

равным нулю, если x=y=0.

111 iyxz 222 iyxz 21 xx

21 yy

Всякое комплексное число можно

изобразить точкой на плоскости, т.к.

каждому z соответствует

упорядоченная пара вещественных

чисел (x;y).

Модуль комплексного числа

Число называется модулем

комплексного числа и

обозначается .

22 yx

ziyxz

Тригонометрическая форма комплексного числа.

sinisinrz

22 yxr

x

yarctg

Показательная форма комплексного числа

22 yxr

ierz

x

yarctg

Действия над комплексными числами

iyyxxzz 212121

iyyxxzz 212121

Действия над комплексными числами

iyxyxyyxx

yyiyixxiyxx

iyxiyxzz

12212121

21

2

212121

221121

Действия над комплексными числами

2222

2211

22

11

2

1

iyxiyx

iyxiyx

iyx

iyx

z

z

2

22

2

122121212

22

2

212

212121

yx

yxyxiyyxx

yx

yyiyixxiyxx

Действия над комплексными числами

2121

212121

iii errererzz

21

2

1

2

1

2

1

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z

212121

22211121

sincos

sincossincos

irr

irirzz

2121

2

1

222

111

2

1

sincos

sincos

sincos

ir

r

ir

ir

z

z

Формулы Муавра

ninrz nn sin cos

n

kπsini

n

kπcosrz nn 22

1,...,2 ,1 ,0 nk