آموزش ساختمان داده ها - بخش اول

ساختمان داده ها

faradars.org/fvds9402

:مدرسفرشید شیرافکن

دانشگاه تهران دانشجوی دکتری (بیو انفورماتیک: دکتری( )کامپیوتر نرم افزار: کارشناسی و کارشناسی ارشد )


1

فرادرس

FaraDars.org



سرفصل

(اجراییپیچیدگی)اجراییمرتبه1.

بازگشتیتوابع2.

آرایه3.

پشتهوصف4.

پیوندیلیست5.

درخت6.

گراف7.

سازیمرتب8.

سازیدرهم9.

2

فرادرس

FaraDars.org


faradars.org/fvds9402منابعکرمن•هورویتز•دکتر قدسی•لیپ شوتز•شیرافکن•

3

فرادرس

FaraDars.org



اندازه nی یک الگوریتم، تابعی است که مدت زمان اجرای استفاده شده توسط الگوریتم را بر حسب تعداد داده های ورودپیچیدگی . می گیرد

پیچیدگی اجرایی

4

namenotation

constantO(1)

linearO(n)

logarithmicO(logn)

quadraticO(n^2)

polynomialO(n^c)

exponentialO(c^n)

factorialO(n!)

فرادرس

FaraDars.org



مرتبه اجرایی توابع چند جمله ای

:در صورتی که داشته باشیم

:مثال

5

)()(...)( 21 mmm nOnfcnnnnnf

)(435)( 22 nOnnnf

)()!()2()()lg()()(lg)1( 2 nn nOnOOnOnnOnOnOO

nn lglog2

فرادرس

FaraDars.org



نمادهای پیچیدگی اجرایی

بزرگاویتوابعازایمجموعهبهg(n)،O(g(n))مفروضپیچیدگیتابعبرای:یعنیعبارت:داریمهمهبرایبطوریکهدارند،وجودوcثابتهایآنهابرایکهدارداشاره

بزرگامگاازایمجموعهبه،g(n)مفروضپیچیدگیتابعبرای:یعنیعبارت

:داریمهمهبرایبطوریکهدارند،وجودوcثابتهایآنهابرایکهدارداشارهتوابع

تتاو:یعنیعبارت

6

،

)()( ngOnf

)()( ncgnf 0nn 0n

))(()( ngnf

)()( ncgnf

))(( ng

0n0nn

)()( ngnf )()( ngOnf )()( ngnf

فرادرس

FaraDars.org



مثال

: نشان دهید

7

)(10 22 nOnn

1010210 222 nnnnnn

22 10 cnnn

22 210 nnn فرادرس

FaraDars.org



مثال

: نشان دهید

:حل

:یعنی

8

)(2

)1( 2nOnn

22

)1( 2nnn

2

2

)1(cn

nn

2

1,00 cn

022

)1( 2

nnnn

فرادرس

FaraDars.org



مثال

9

فرادرس

FaraDars.org



مثال

: نشان دهید

:حل

: یعنی

10

2

2

1n

nn

22

4

1

22n

nn

2

2

1cn

nn

4

1,20 cn

2422

22

nnnn

فرادرس

FaraDars.org



مثال

:نشان دهید که :جواب

:بنابراین در مثال های قبل دیدیم که و

11

،

2

2

1n

nn

2

2

1nO

nn

2

2

1n

nn

2

2

1n

nn

فرادرس

FaraDars.org



خواص توابع رشد

:بازتابی(1

.تراگذاری(2

:تتابرایمثال

:داردتقارنخاصیتتتا(3

4)Oدارندترانهادهتقارنخاصیت:

12

،

))(()())(()( nfngngnf

))(()())(()(

))(()(nhnf

nhng

ngnf

))(()())(()( nfngngOnf

))(()()),(()()),(()( nfnfnfnfnfOnf

فرادرس

FaraDars.org



ifپیچیدگی دستور

:کنیدتوجهزیرifدستوربهif(cond)

block1

else

block2

:بااستبرابرحالتبدتریندراجرازمان

Max( time(block1) , time(block2) )

13

،

فرادرس

FaraDars.org



مرتبه اجرایی حلقه های ساده

(a<=b):زیر را در نظر بگیریدforحلقه

: تکرار تعداد

.این مقدار اعشاری بود، حد باالی آن را در نظر بگیریداگر

.است(sequence of statement)، توالی از دستورها sاز منظور

14

for (i=a ; i<=b ; i=i+k ) s;

k

ab 1

for (i=b ; i>=a ; i=i-k ) s;فرادرس

FaraDars.org



مثال

.تعداد تکرار دستور داخل حلقه را مشخص کنید

: جواب

:تعداد تکرار

o(n): مرتبه اجرایی

15

for ( i=1 ; i<=n ; i=i+1 ) s;

nn

1

11

فرادرس

FaraDars.org



مثال

.تعداد تکرار دستور داخل حلقه را مشخص کنید

: جواب



16

for ( i=3 ; i<=n ; i=i+2 ) s;

122

13

nn

فرادرس

FaraDars.org



مثال.تعداد تکرار دستور داخل حلقه را مشخص کنید

: جواب



17

for ( i=9 ; i<3n+4 ; i=i+5 ) s;

15

3

5

943

nn

فرادرس

FaraDars.org



مرتبه ثابت

.را مشخص کنیدx=x+1مرتبه اجرایی دستور

: جواب

18

i=n;while(i>1){

i=i % 2;x=x+1;

}

)1(O

فرادرس

FaraDars.org



مرتبه لگاریتمی

: حلقه زیر را در نظر بگیرید

: تعداد تکرار

.اگر این مقدار صحیح نبود، حد باالی آن را در نظر بگیرید

19

for ( i=a ; i<=b ; i=i*k ) s;

1loglog a

k

b

k

for ( i=b ; i>=a ; i=i/k ) s;فرادرس

FaraDars.org



مثال

.تعداد تکرار را مشخص کنید

:جواب

20

for ( i=1 ; i<=8 ; i=i*2 ) s;

41loglog 1

2

8

2

فرادرس

FaraDars.org



مثال


:جواب

21

for ( i=27 ; i<=n ; i=i*3 ) s;

)(log2log1loglog 33

27

33

nnn O

فرادرس

FaraDars.org



مثال


:جواب

22

for ( i=n ; i>=16 ; i=i/4 ) s;

)(log1log1loglog 44

16

44

nnn O

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب

:می توان نوشت

: بنابراین تعداد تکرار برابر است با

23

for ( i=n ; i>=1; i=i - i/3 )s;

1log1loglog 2/3

1

2/32/3 nn

for ( i=n ; i>=1; i= i / (3/2) )

s;2

33

2 iii

فرادرس

FaraDars.org



حلقه های تودرتو


: حل

n: تعداد تکرار هر حلقه

: sتعداد تکرار دستور

24

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )for ( j=1 ; j<=n ; j++)

s;

2n

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب

25

for ( i=2 ; i<=n ; i=i+4 )for ( j=n ; j>3 ; j=j-2 )

s;

)(2

3

4

12 2nOnn

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب

26

for ( i=1 ; i<=n ; i=i*2 )for ( j=1 ; j<=n ; j++ )

s;

)lg()1(lg nnOnn

فرادرس

FaraDars.org



حلقه های پشت سرهم


: جواب

یا

27

for ( i=1 ; i<=n ; i++) {s;

}for ( j=1 ; j<=m ; j++) {

s; }

)( mnO

)),(max( mnO

فرادرس

FaraDars.org



ترکیب حلقه های تودر تو و پشت سرهم


: جواب

28

for ( i=1 ; i<=n ; i++) {for ( j=1 ; j<=n ; j++) {

s;}

}for ( k=1 ; j<=n ; k++) {

s; }

)()),(max( 22 nOnnO

فرادرس

FaraDars.org



وابسته حلقه های تودرتو


: جواب

:مجموع تعداد تکرار

: روش دوم

29

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )for ( j=1 ; j<=i ; j++ )

s;

i 1 2 3 … n

تعداد تکرار 1 2 3 000 n

)(2

)1(...321 2nO

nnn

2

)1(1

11 1

nni

n

i

n

i

i

j

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب


30

for ( i=1 ; i<=n ; i=i*2 )for ( j=1 ; j<=i ; j++ )

s;

i 1 2 4 … n

تعداد تکرار 1 2 4 000 n

)(1212212

122...222...421 lg

1lglog210 2 nOnn n

nn

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب

تکرارکلتعدادشود،میتکرارمرتبهnاولحلقهچون.شودمیتکرارمرتبه(2n-1)داخلیحلقهدوکهدیدیمقبلمثالدر:بااستبرابر

31

for ( k=1 ; k<=n ; k++ )for ( i=1 ; i<=n ; i=i*2 )

for ( j=1 ; j<=i ; j++ )s;

)()12( 2nOnn

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب


32

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )for ( j=1 ; j<=n ; j=j+i )

s;

i 1 2 3 … n

تعداد تکرار n n/2 n/3 000 1

)lg(ln)1

...3

1

2

11(1...

32nnOnn

nn

nnn

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب


33

for ( i=1 ; i<=n ; i=i*3 )for ( j=i ; j<=n ; j++ )

s;

i 1 3 9 … n

تعداد تکرار n-1+1 n-3+1 n-9+1 000 n-n+1

)lg(2

13)1)(1(log)...931()1)(1(log 33 nnO

nnnn nn

2

13

13

133...333...931

1loglog210

3

3

n

n

n

n

فرادرس

FaraDars.org



مثال


: جواب


34

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )for ( j=1 ; j<=log(i) ; j++ )

s;

i 1 2 … n

تعداد تکرار log(1) log(2) 000 log(n)

)!log()...21log()log(...)2log()1log( nnn

)lg()!log( nnn

فرادرس

FaraDars.org



تغییر مقدار نهایی شمارنده


: جواب


35

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )for ( j=1 ; j<=n ; j++)

{ s;n=n-1; }

i 1 2 3 …

تعداد تکرار n/2 n/4 n/8 000

)(2/11

2/1...)

8

1

4

1

2

1(...

842nOnnn

nnn

فرادرس

FaraDars.org



پیچیدگی در حالت فراخوانی تابع

.باشد، پیچیدگی را مشخص کنیدO(k)برابر f(k)با فرض اینکه پیچیدگی زمانی تابع : مثال

: جواب

: مثال

:جواب

36

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )f(n);

)( 2nOnn

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )f(i);

)(2

)1(...21)(...)2()1( 2nO

nnnnfff

فرادرس

FaraDars.org



مسئله خرس قطبی

یکیروزهراو.استکردهذخیرهغاریدررا(nتا،1،2هایاندازهبهدقیقا)گوشتقطعهnقطبیخرس،سردزمستانیکدربود،وجزاگر.خوردمیکامالراآنبود،فردیعددگوشتیاندازهاگر.کندمیانتخابتصادفیصورتبهراهاگوشتقطعهایناز

سخرنباشد،موجودگوشتیاگر.دهدمیقرارغاردرمجددارادیگرنصفوخوردمیراآننصفیککند،مینصفدقیقاراآنبود؟خواهدچگونهعمرخرسازباقیماندهروزهایبزرگ،خیلیهایnبرایالگوریتم،اینبا.میردمی:حل

برای.شودمیتمامهاگوشتروز7ازبعدبخوردکهترتیبیهربا.باشندمی4و3و2و1برابرگوشتهایقطعه،n=4فرضباn=82مسئلهاینجواب.است15جوابn-1است.

:دومروش

37

)(2

2

11

1...)

4

1

2

11(...

42nOnnn

nnn

فرادرس

FaraDars.org



تابع

(رکوچکتیا)یکبرابرحاصلشود،گرفتهلگاریتمnازاگرکهدفعاتیتعدادبااستبرابرتابعاینخروجی.استکندبسیارتابعاینرشدبنابراین.شدخواهد

38

،

n*lg

24lg* 124

465536lg

316lg

*

*

12416

1241665536

فرادرس

FaraDars.org



امگای کوچک وتعریف نماد اوی کوچک

f(n)= oعبارت (g(n)) برقرار است در صورتی که:

:برقرار است در صورتی که f(n)= (g(n))عبارت

: رابطه برقرار است: مثال

39

،

02

1lim

2/lim

3

2

nn

n

nn

)(2

32

non

0)(

)(lim

ng

nf

n

)(

)(lim

ng

nf

n

فرادرس

FaraDars.org



تمرین

.تعداد تکرار و مرتبه اجرایی را در هر یک از حلقه های زیر مشخص کنید

40

for ( i=1 ; i<=n; i++ )for ( j=i ; j<=n ; j=j*3 )

s;

for ( i=1 ; i<=n ; i++ )for ( j=1 ; j<=i ; j++)for ( k=1; k<=j ; k++)

s;

for ( i=1 ; i<n/2 ; i++ )for( j=n/2 ; j<n ; j++)

for( k=0 ; k<i+j ; k++)s;

for ( t=1 ; t<=n-1 ; t++ ) {for( i=1 ; i<n-t ; i++) {

j=i+t;for( k=i ; k<=j-1 ; k++)

s;} }

فرادرس

FaraDars.org



تمرین

: نشان دهید که

.کندمیحلزمانواحدیکدرمرتبهازالگوریتمیبارا8اندازهبهمسئلهیککامپیوتری:تمرینکرد؟خواهدحلزمانواحدیکدررامسئلههمانازایاندازهچهشود،برابر64کامپیوترسرعتاگر

41

،

)2( nn ne

)(lg2 2lg2n

n)1(lg

1

nn ))(lg(lglg ** nn

)()(lg* nOnn

nn 2log lg4

)(4 2lg nn )2(3 32 nn

O

)2( no

فرادرس

FaraDars.org



42

این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« مجموعه فرادرس های ساختمان داده ها»

.تهیه شده است

.نماییدلینک زیر مراجعه برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به


فرادرس

FaraDars.org


آموزش ساختمان داده ها - بخش اول

Education