مشتق - ویکیپدیا

حساب دیفرانسيل وانتگرال

قضيه اساسی حسابانحد

تابع پيوستهقضيه مقدار ميانگين

حساب دیفرانسيل

مشتقتغيير متغير

مشتق ضمنیقضيه تيلور

)en(کميتهای وابسته

:)en(قواعد مشتقگيری

)en(قاعده توانی

قاعده ضرب

)en(قاعده خارج قسمت

قاعده زنجيری

حساب انتگرال

انتگرال

فهرستهای انتگرالها

انتگرال مجازی

قواعد انتگرالگيری:

انتگرالگيری جزء به جزء

Disk integration)en(

Shell integration)en(

انتگرالگيری با

)en(جانشانی

جانشانی مثلثاتی

کسر جزئی در

)en(انتگرالها

)en(مرتبه انتگرالگيری

حساب برداری

مشتقاز ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

است که نرخآناليز ریاضی، بخش اول حساب دیفرانسيلایده اصلی مشتق

، ازانتگراللحظهای (یا نقطهای) تغييرات تابع را نشان میدهد. مشتق نيز، نظير

مسئلهای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی

شدهاست.

ميالدی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضیدان فرانسوی،١٧مفهوم مشتق تا اوائل قرن

به تعيين اکسترممهای چند تابع خاص دست بزند، تنظيم نشده بود.پيير دو فرما

فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مينيمم دارد، باید

افقی باشد. از اینرو دیده میشود که مسئله تعيين نقاط اکسترمم تابع، به حل

مسئله دیگر، یعنی یافتن مماسهای افقی مربوط میشود. تالش برای حل این

مسئله کلیتر بود که فرما را به کشف برخی از ایدههای مقدماتی مفهوم

مشتق هدایت کرد.

در نگاه نخست اینطور به نظر میرسيد که بين مسئله یافتن مساحت سطح زیر

یک نمودار و موضوع تعيين خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطهای وجود

ندارد، اما اولين کسی که دریافت این دو مفهوم به ظاهر دور از هم در واقع ارتباط

آیزاک) معلم Isaac Barrow: انگليسی(به آیزاک بارونسبتا نزدیکی با هم دارند

بودهاست.نيوتون

ميالدی توسط١۶۶۶اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستين بار در سال

، مستقل ازگوتفرید الیبنيتسنيوتون و به فاصله چند سال بعد از او، توسط

یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامه کار خود، باز هم به طور مستقل،

را عرضه کردند که اساس آن برحساب انتگرالبخش دوم آناليز ریاضی یعنی

عمل انتگرالگيری قرار دارد.

و با دیدگاه فيزیکی به بررسی مشتقسينماتيکنيوتون از شيوه استدالل

پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظهای استفاده میکرد. اما الیب

نيتس با دیگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویه مماس در

استفاده میکرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانهای رامنحنیها

برای نشان دادن مشتق به کار میبردند.

،آگوستين لویی کوشیدر دوران بعد به حساب دیفرانسيل و انتگرالپيشرفت

مشتق - ويکیپديا http://fa.wikipedia.org/wiki/مشتق

1 of 21 8/13/2013 12:20 AM

گرادیاندیورژانس

کرلعملگر الپالسقضيه گرادیانقضيه گرین

قضيه استوکسقضيه دیورژانس

حساب چندمتغيره

حساب ماتریسهامشتق پارهایانتگرال چندگانهانتگرال خطی

انتگرال سطحیانتگرال حجمیماتریس ژاکوبی

(بهلوپيتالو یوهان، مربوط میشود. ژاکوبو برادران برنولی، یعنی برنارد ریمان

)، دانشمند فرانسوی، درGuillaume Francois Antoine L'Hopital: فرانسوی

را با نام «آناليزآناليز ریاضینخستين کتاب درسی مربوط به ١۶٩۶سال

بینهایت کوچکها برای بررسی منحنیها» منتشر کرد که در واقع خالصهای از

) به عنوان معلمJohann Bernoulli: آلمانی(به یوهان برنولیدرسهایی بود که

برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعده رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نيز

مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولیقاعده هوپيتالآمده که به

بودهاست.

محتویات

مشتق تابع١تعریف مشتق١.١

نمادهای مشتق٢مشتقهای یک طرفه٣مشتقپذیری۴

موارد مشتقناپذیری١.۴دامنه تابع مشتق۵مشتق تابع نسبت به تابع۶مشتق توابع پارامتری٧مشتق تابع مرکب٨مشتق توابع زوج و فرد٩

پادمشتق١٠مشتق جزئی١١مشتق ضمنی١٢مشتق جهتدار١٣مشتق تابع برداری١۴مشتق کل١۵مشتق تابع معکوس١۶مشتق مراتب باالتر١٧

ام چند تابع مهمnمشتق ١٧.١قاعده الیبنيتس١٧.٢

قضيه رول١٨قضيه الگرانژ١٩قضيه کوشی٢٠کاربرد مشتق٢١

خط مماس و قائم٢١.١آهنگ تغيير٢١.٢

آهنگ تغيير متوسط٢١.٢.١آهنگ تغيير لحظهای٢١.٢.٢

کميتهای وابسته٢١.٣زاویه بين دو تابع۴.٢١

زاویه بين خط و منحنی١.۴.٢١زاویه بين دو منحنی٢.۴.٢١


2 of 21 8/13/2013 12:20 AM

نقاط بحرانی۵.٢١تشخيص یکنوایی تابع۶.٢١آزمونهای مشتق٢١.٧

آزمون مشتق اول٢١.٧.١آزمون مشتق دوم٢١.٧.٢

جهت تقعر و نقطه عطف٢١.٨نقطه عطف٢١.٨.١

قاعده هوپيتال٢١.٩بهينهسازی٢١.١٠

قواعد مشتقگيری٢٢توابع جبری٢٢.١توابع مثلثاتی٢٢.٢توابع معکوس مثلثاتی٢٢.٣توابع نمایی و لگاریتمی۴.٢٢

جستارهای وابسته٢٣منابع٢۴پيوند به بيرون٢۵

مشتق تابع

نقطه دیگری از این نمودار باشد،و نقطهای از نمودار تابع اگر

و شيب خط قاطع عبارت است از:آنگاه

به سمت صفر ميلثابت نگه داشته شود و ناميده میشود. اگر در کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی

بستگی داشته باشد به مقداری ميل میکند که به آناگر فقط به در کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی

مودارشيب خط مماس گفته میشود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویه خط مماس ن

را بدست میدهد:در تابع

تعریف مشتق

وجود داشتهتعریف شدهاست، اگر که در همسایگی نقطه برای تابع

در نقطه نمایش داده و آن را مشتق تابع یکتا را با حدمشتقپذیر است. این در باشد،

مینامند.


3 of 21 8/13/2013 12:20 AM

ميزان تغييرات تابع

که شيب آن برابرخط قاطع نمودار تابع است.در مقدار خارج قسمت تفاضلی

به سمت صفر، شيب خطبا ميل کردن قاطع به مقدار شيب خط مماس در نقطه

ميل میکند.

که شيب آندر خط مماس نمودار تابع است.برابر مقدار مشتق تابع در

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغييرات مقدار تابع است

زمانی که تغييرات مربوط به متغير مستقل به سمت صفر ميل

میکند.

تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصلبه با تبدیل

میشود:

نمادهای مشتق

الیبنيتس، نيوتون، الگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانهای

را برای نمایش مشتق بکار میبردند؛ اما در ميان پيشگامان اوليه

آناليز ریاضی، الیبنيتس بيش از هر کس دیگری به اهميت عالمات

مناسب پی برده بود. او عالمات را با حوصله زیادی آزمایش میکرد

و با سایر ریاضیدانان مکاتبات بسياری داشت و از این طریق

معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آنها مطرح میساخت.

پيشرفت حساب دیفرانسيل و انتگرال و گسترش ریاضيات نوین تا

حدود زیادی بواسطه عالمتهای پيشرفتهای است که بسياری از

آنها توسط الیبنيتس ابداع شدهاند.

عملگر تفاضلیميالدی با استفاده از ١۶٧۵الیبنيتس در سال

نوشت ورا به شکل خارج قسمت تفاضلی

را معرفی کرد که به صورتنماد در برای مشتق تابع

نيز نوشته میشود. این نماد که نمایش دیفرانسيلی

مشتق ناميده میشود، برای نمایش مشتق مراتب باالتر به شکل

نوشته میشود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق

در میآید.به صورت

استفاده میکرد. نمادهای نقطهدار نيوتون درو برای مشتق دوم از نيوتون برای نشان دادن مشتق اول از

بکار میروند.شتابو سرعتبرخی مسائل فيزیکی مانند


4 of 21 8/13/2013 12:20 AM

تابع جدیدی است که بانيز میتوان نشان داد. این نماد بر آن تأکيد دارد که را با مشتق تابع

واقع برو نموده میشود. مختصات با بدست آمدهاست و مقدارش در مشتقگيری از تابع

بکار میرود کهنيز برای نمایش به هم مربوط میشوند، و عالمت با معادله نمودار

موردژوزف لویی الگرانژميالدی توسط ١٧٧٠نوشته میشود. این نماد در سال به صورت مقدارش در

(مشتق سوم)،(مشتق دوم)، (مشتق اول)، استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب باالتر را به صورت

ام) نشان میدهد.(مشتق (مشتق چهارم) ...

مورد استفادهلئونارد اویلرمعرفی شد و توسط لویيس آربوگاستميالدی نماد دیگری توسط ١٨٠٠در سال

است و اینعملگر دیفرانسيلییک نشان میدهد. عالمت را به شکل قرار گرفت. این نماد مشتق

بدست آمدهاست. مشتق مراتب باالتر بهتابع جدیدی است که با مشتقگيری از فکر را القا میکند که

نوشته میشود.به صورت و مقدار آن در صورت

مشتقهای یک طرفه

تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتقدر فاصله اگر تابع مشتق راست:

میباشد:راست تابع در

تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق چپدر فاصله اگر تابع مشتق چپ:

میباشد:تابع در

مشتقپذیری

مشتقپذیر است هرگاه در این نقطه پيوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر ودر تابع

مساوی یک عدد حقيقی معين باشد.

مشتقپذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کاملدر تابع تعبير هندسی مشتقپذیری:

ها بر منحنی رسم کرد.yمماس و غير موازی با محور

مشتقپذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پيوسته نيز هست.در نقطه اگر تابع


5 of 21 8/13/2013 12:20 AM

عبارتولی عکس قضيه فوق صحيح نمیباشد یعنی ممکن است تابع پيوسته باشد اما مشتقپذیر نباشد؛ به

در شرط الزم برای مشتقپذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع دیگر، پيوستگی تابع در

مشتقپذیر نيست.ناپيوسته باشد، آنگاه در

موارد مشتقناپذیری

مشتقپذیر نيست:مواردی که تابع در نقطه مفروض

تابع در نقاط ناپيوسته مشتقناپذیر است و از دید هندسی نمیتوان در این نقاط مماسنقاط ناپيوسته:بر منحنی رسم کرد.

.١

تابع در نقاط پيوستهای که مشتق چپ و راست در آنها دو عدد حقيقی نابرابر، یا یکینقاط زاویهدار:یعدد و دیگری بینهایت باشد، مشتقپذیر نيست. از دید هندسی، در این نقاط دو نيممماس بر منحن

رسم میشود که با هم زاویه میسازند.

.٢

تابع در نقاط پيوستهای که مشتق چپ و راست در آنها بینهایتهای همعالمتنقاط عطف قائم:هاyباشد مشتقناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط میتوان یک خط کامل مماس به موازات محور د.رسم کرد. نقطه عطف قائم تنها نقطهای است که تابع در آن مشتقپذیر نيست ولی مماس کامل دار

.٣

تابع در نقاط پيوستهای که مشتق چپ و راست در آنها بینهایتهای غير همعالمتنقاط بازگشت:ها رسمyباشد مشتقناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط میتوان یک نيممماس، به موازات محور

کرد.

.۴

رتابع در نقاطی که پيوستهاند ولی مشتق در آنها به سمت عدد مشخصی ميل نمیکند نيز مشتقناپذیاست. از دید هندسی، در این نقاط نمیتوان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.

.۵

دامنه تابع مشتق

برای تابع منظور از دامنه تابع مشتق مجموعه نقاطی است که تابع در آنها مشتقپذیر است. به طور کلی

داریم:

در آن تعریف نشده است مجموعه نقاطی که

مشتق تابع نسبت به تابع

بدست آوریم، کافی است مشتق اینرا نسبت به تابع دیگری مانند هرگاه بخواهيم مشتق یک تابع مانند

توابع را نسبت به متغيرشان محاسبه نموده و سپس بر هم تقسيم کنيم.

مشتق توابع پارامتری


6 of 21 8/13/2013 12:20 AM

از رابطهنسبت به هستند را توابع پارامتری مینامند. در این حالت، مشتق توابع که به فرم

زیر قابل محاسبه است:

مشتق تابع مرکب

قاعده زنجيرینوشتار اصلی:

مشتقپذیر است و داریم:نيز در مشتقپذیر باشد، آنگاه تابع در و تابع در نقطه اگر تابع

، مشتق نسبت به باشد، برای بدست آوردن مشتق تابعی از و تابعی از به بيان دیگر، هرگاه

ضرب میکنيم.نسبت به را در مشتق نسبت به

داریم:و ،همچنين به شکل دیگری برای توابع

مشتق توابع زوج و فرد

مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است.

موجود باشند آنگاه خواهيم داشت:و موجود نباشد ولی تابعی زوج و اگر


7 of 21 8/13/2013 12:20 AM

موجود باشند آنگاه خواهيم داشت:و موجود نباشد ولی تابعی فرد و اگر

پادمشتق

و با ضابطه:با دامنه باشد، آنگاه تابع شامل نقطه تابعی پيوسته در بازه اگر

داریم:مشتقپذیر است و برای هر روی ناميده میشود. تابع تابع اوليه یا پادمشتق تابع

از رابطه زیر بدست میآید:آنگاه مشتق تابع اگر

مشتق جزئی

مشتق جزئینوشتار اصلی:

نسبت به یکی از متغيرها بامشتق جزئی، پارهای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغيره

نمایش میدهند که «دل»،با ثابت در نظر گرفتن سایر متغيرها گفته میشود. مشتق جزئی را به جای

به صورت زیر نوشتهنسبت به «در» و یا «پارتيال» خوانده میشود. برای مثال، مشتق جزئی تابع

میشود:


8 of 21 8/13/2013 12:20 AM

درنسبت به به طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغيره

است:

مشتق ضمنی

مشتق ضمنینوشتار اصلی:

قرار میگيرد.، رابطه ضمنی آن بصورت در مقابل رابطه صریح تابع به شکل کلی

برای محاسبه مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:

مشتق میگيریم و بادر این روش، از طرفين رابطه نسبت به استفاده از قاعده زنجيری:وحساب کنيم آنگاه را بدست میآوریم. (اگر بخواهيم مشتق را نسبت به فاکتورگيری،

خواهد بود)در این روش از رابطه زیر استفاده میشود:استفاده از مشتق جزئی:

مشتق جهتدار

مشتق جهتدارنوشتار اصلی:

را در امتداد محورهای مختصات به دست میدهد در حاليکهميزان تغييرات مشتق جزئی تابع

را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب میکند. اگر مشتق جهتدار، سویی یا جهتی، ميزان تغييرات

باشد، مشتقبرداری شامل نقطه تعریف شده باشد و در همسایگی نقطه

به صورت زیر محاسبه میشود:در جهتدار


9 of 21 8/13/2013 12:20 AM

و است یعنی اگر تا فاصه عالمتدار باشد و باید متعلق به که در آن نقطه

در نظر گرفته میشود.و در غير این صورت همجهت باشند

مشتق تابع برداری

مشتق تابع بردارینوشتار اصلی:

با فرض اینکه مؤلفههای سمت راست بامعنی باشند، به صورتمشتق تابع برداری

زیر تعریف میشود:

پيوسته وبر بازه پيوسته و مشتقپذیر است، هرگاه تک تک مؤلفههای بر بازه تابع

اری نيزمشتقپذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسياری از قضيای مشتق توابع حقيقی برای توابع برد

صادقاند.

وبرای محاسبه مشتق یک تابع برداری، میتوان آن را برحسب مؤلفههای قائم خود، به صورت

وجود داشته باشندو نوشت و از هر کدام به طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر

به صورت زیر نوشته میشود:مشتق تابع برداری

مشتق کل

مشتق کلنوشتار اصلی:

دردر یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی باشد، آنگاه مشتق جهتدار به تابعی از هرگاه

باشد، دیگر مشتق جهتدار نمیتواند به تنهایی، تصویر کاملی ازآن نقطه و جهت است. اما هرگاه

تابع در تمامرفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسيل کل نيز ناميده میشود با در نظر گرفتن رفتار

جهتها میتواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.

، متغيرهای دیگر ثابت در نظرنسبت به متغير برخالف مشتق جزئی، در محاسبه مشتق کل تابع

بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف میشود:گرفته نمیشوند بلکه به


10 of 21 8/13/2013 12:20 AM

مقایسۀ شيب خط مماس بر منحنیودر نقاط متناظر و توابع

نيز گفته میشود. این عملگرعملگر دیفرانسيلیبا مفهومی مشابه، به یک حساب دیفرانسيلمشتق کل در

به صورت زیر محاسبه میکند:دیفرانسيلی، مشتق کل تابع را نسبت

مشتق تابع معکوس

پيوسته و یک به یک بوده و در همسایگی نقطه اگر تابع

مشتقپذیردر نقطه موجود و غير صفر باشد، آنگاه تابع

است و داریم:

در نقطه شيب خط مماس بر منحنی تعبير هندسی:

.در نقطه برابر است با عکس شيب خط مماس بر منحنی

متناظر هستند)و (نقاط

از قضيه مشتق تابع معکوس، روابط زیر را نيز خواهيم داشت:

مشتق مراتب باالتر

مشتقپذیر باشد. بهخود ممکن است در نقطهای مثل مشتقپذیر باشد تابع روی بازه اگر تابع

در موجود باشد، میگویيم مشتق مرتبه دوم تابع عبارتی اگر

نمایش میدهيم.موجود است و آن را با


11 of 21 8/13/2013 12:20 AM

ق اولمشتق مراتب باالتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست میآید. بطوریکه با مشتق گرفتن از مشت

کلیتابع به مشتق دوم آن میرسيم و به همين ترتيب مشتق مراتب باالتر نيز تعریف میشوند. به صورت

داریم:

ام چند تابع مهمnمشتق

اعداد ثابت هستند:و که ام چند تابع مهم نسبت به مشتق

قاعده الیبنيتس

باشند،دارای مشتقهای متوالی تا مرتبه روی بازه و قاعده الیبنيتس بيان میکند که اگر دو تابع

است و داریم:نيز روی این بازه دارای مشتقهای متوالی تا مرتبه آنگاه حاصلضرب

قضيه رول

قضيه رولنوشتار اصلی:

درباشد آنگاه حداقل یک نقطه مشتقپذیر و پيوسته، روی بازه روی اگر تابع


12 of 21 8/13/2013 12:20 AM

با خاصيت فوق منحصر به فرد نيست و باید یک نقطهاست. عدد وجود دارد که در آن بازه

باشد.درونی بازه

یطدر قضيه رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آنها خطوط افقی است، یعنی قضيه رول شرانقاط

وجود مماس افقی را برآورد میکند.

آنگاه حداقل یک نقطه اکسترممپيوسته باشد و روی اگر تابع نتيجه قضيه رول:

وجود دارد.نسبی در بازه

با استفاده از قضيه رول میتوان گفت که بيناگر فرض کنيم حالت خاص قضيه رول:

حداقل یک ریشه دارد.مشتق تابع یعنی هر دو ریشه تابع مشتقپذیر

قضيه الگرانژ

قضيه مقدار ميانگيننوشتار اصلی:

پيوسته و روی بازه روی قضيه الگرانژ یا مقدار ميانگين مشتق بيان میکند که هرگاه تابع

وجود دارد که در آن:در بازه مشتقپذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطه

حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی درقضيه بيان میکند که در بازه تعبير هندسی:آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.

بازه زمانی باشد، قضيه فوقاگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگيریم و بازه تعبير فيزیکی:وجود دارد که سرعت لحظهای با سرعت متوسط برابرمیگوید، حداقل یک لحظه در بازه

میشود.

با خط واصل نقاط دو سر منحنی (طوسی) موازی است.خط مماس بر منحنی (صورتی) در نقطۀ

قضيه کوشی

قضيه کوشینوشتار اصلی:


13 of 21 8/13/2013 12:20 AM

خط مماس (سبز) و خط قائم (آبی)واقع بر منحنیدر نقطه

خط مماس بر منحنی از نقطهخارج از منحنی

روی بازه و قضيه کوشی که صورت تعميم یافته قضيه الگرانژ است، بيان میکند که هرگاه توابع

وجود دارد که در آن:در بازه مشتقپذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطه پيوسته و روی بازه

کاربرد مشتق

خط مماس و قائم

مماس یامشتق به ازای مختصات نقطه تماس برابر است با ضریب زاویه خط مماس. پس برای تعيين شيب خط

قائم بر منحنی و تعيين معادله آنها میتوان از مشتق استفاده کرد.

واقع بر منحنی:معادله خط مماس در نقطه

واقع بر منحنی:معادله خط قائم در نقطه

معادله خط مماس بر منحنی از نقطهای خارج از منحنی: اگر بخواهيم از

مماسی بر منحنی رسم کنيم، نقطه تماس رانقطه

روی منحنی قرار گرفتهدر نظر میگيریم، چون نقطه

را قرار میدهيم تا شيباز منحنی مشتق میگيریم و مختصات

معادله بدست آید.

روی خط مماس قرار دارد، در معادله فوق قرار داده تا یک معادله یک مجهولیدر نهایت چون نقطه


14 of 21 8/13/2013 12:20 AM

مؤلفههای عمودی و افقی سرعت،هر یک به زمان نيز بستگی دارند.

بدست آید.بر حسب

آهنگ تغيير

نسبت تغييرات دو کميت را آهنگ تغيير یکی نسبت به دیگری میگویند.

آهنگ تغيير متوسط

عبارت است از:در فاصله آهنگ متوسط تغييرات

عبارت است از:نسبت به متغير آهنگ متوسط تغييرات

آهنگ تغيير لحظهای

گویند.نسبت به را آهنگ آنی (لحظهای) تغيير نسبت به تغييرات تغييرات اگر

کميتهای وابسته

در برخی موارد دو کميت (متغير)، عالوه بر اینکه به هم مربوطاند، هر دو

به متغير سومی که معموال زمان است، بستگی دارند. در این موارد

آهنگ تغيير این دو کميت، نسبت به کميت سوم در نظر گرفته میشود.

به عنوان مثال، حد تغييرات مسافت پيموده شده به تغييرات زمانی را

سرعت لحظهای گویند:


15 of 21 8/13/2013 12:20 AM

زاویۀ بين خط و منحنی در نقطۀ تالقی زاویۀ بين دو منحنی با ضریب زاویههایدر نقطۀ تالقیو

زاویه بين دو تابع

زاویه بين خط و منحنی

با خط. برایزاویه بين یک خط و منحنی عبارت است از زاویه بين مماس رسم شده بر منحنی در نقطه تقاطع

تعيين زاویه بين خط و منحنی به ترتيب زیر عمل میکنيم:

خط را با منحنی قطع داده و مختصات نقطه تقاطع را بدست میآوریم. .١از منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه خط مماس بر منحنی را در نقطه تقاطع مییابيم. .٢

زاویه بين خط مماس و منحنی را بدست میآوریم.با کمک رابطه .٣

زاویه بين دو منحنی

ابيم. سپس از دوبرای یافتن زاویه بين دو منحنی، ابتدا آنها را با هم تالقی داده و طول نقطه تالقی را میی

قرار میدهيم تامنحنی مشتق گرفته و ضریب زاویههای بدست آمده را در رابطه

زاویه بين دو منحنی بدست آید.

نقاط بحرانی

نقطه بحرانی (ریاضيات)نوشتار اصلی:

موجود نباشد. ابتدا و انتهای بازه،یا گویند هرگاه تابع نقطه بحرانیرا نقطه


16 of 21 8/13/2013 12:20 AM

محسوبریشههای مشتق، نقاط بازگشتی، زاویهدار، ناپيوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع

میشوند.

درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازهتعریف شده باشد و نقطه روی در ضمن، اگر تابع

نيز هست، در صورتيکه یکنقطه بحرانی است. هر نقطه اکسترمم نسبی نقطه بحرانی باشد، آنگاه

نقطه بحرانی ممکن است نقطه اکسترمم نسبی نباشد.

مطلق ابتدا نقاط بحرانی را درو پيوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر روی بازه اگر تابع

را نيز بدست میآوریم و باو بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار میدهيم سپس

یا د مقایسه اعداد بدست آمده، اگر کمترین یا بيشترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاق

مطلق را مشخص میکنيم.یا مطلق است. در غير این صورت

وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپيوسته باشد، میبایست اگر در بازه فوق نقطهای مثل

را بررسی کرد.یا را نيز بدست آورد و مانند موارد باال وجود و

تشخيص یکنوایی تابع

آنگاهصعودی اکيد است و اگر روی آنگاه اگر ، برای هر در تابع پيوسته

ممکن است صعودی غير اکيد یا صعودی اکيدباشد، تابع نزولی اکيد است. ولی اگر روی

ممکن است نزولی غير اکيد یا نزولی اکيد باشد.باشد، تابع باشد و اگر

ریشههای مشتق را بدست میآوریم، اگر ریشههایدر این حالت برای تشخيص اکيد یا غير اکيد بودن تابع

يد است.مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غير اکيد است و در غير این حالت صعودی اک

بهپيوسته نباشد، دامنه تابع را به فاصلههایی که تابع در آنها پيوسته است، تقسيم میکنيم واگر تابع

د انتهاییکمک مشتق وضعيت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص میکنيم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا ح

هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازه بعد (یا حد ابتدایی بازه بعد) مقایسه میکنيم.

آزمونهای مشتق

آزمون مشتق اول

پيوسته و به جز احتماال در روی و است و نقطه بحرانی تابع با فرض اینکه

مشتقپذیر باشد:

ماکزیمم نسبی دارد.در منفی باشد، آنگاه مثبت و روی روی اگر .١مينيمم نسبی دارد.در مثبت باشد، آنگاه منفی و روی روی اگر .٢اکسترمم ندارد.در همعالمت باشد، آنگاه و روی اگر .٣


17 of 21 8/13/2013 12:20 AM

عطف با مماس مایل عطف با مماس افقی عطف با مماس قائم

آزمون مشتق دوم

موجود باشد:و نقطه بحرانی تابع فرض کنيد

نسبی است.دارای در باشد آنگاه اگر .١نسبی است.دارای در باشد آنگاه اگر .٢باشد آزمون بینتيجه است.اگر .٣

جهت تقعر و نقطه عطف

باشد، تقعر آن به سمت باالست. در این حالت منحنی باالی هر خطی که بر آناگر نمودار تابعی به صورت

موجود و همواره مثبتروی بازه صعودی اکيد باشد و یا مماس شود، قرار میگيرد. به عبارت دیگر اگر

روی این بازه رو به باالست.باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار

باشد، تقعر آن به سمت پایين است. در این حالت منحنی پایين هر خطی که براگر نمودار تابعی به صورت

موجود و هموارهروی بازه نزولی اکيد باشد و یا آن مماس شود، قرار میگيرد. به عبارت دیگر اگر

روی این بازه رو به پایين است.منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار

نقطه عطف

را نقطه عطف گویند. در بررسیتغيير کند و مماس نيز داشته باشد، آنگاه در نقطه اگر جهت تقعر نمودار

نقطه عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:

پيوسته باشد.در .١فقط یک مماس داشته باشد. (مایل، افقی یا قائم)در .٢

تغيير کند.در جهت تقعر .٣

در آنها وجود ندارد یا برابر صفر است راپس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که

را قبل و بعد از این نقاط و نيز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنيم.تعيين و عالمت


18 of 21 8/13/2013 12:20 AM

قاعده هوپيتال

قاعده هوپيتالنوشتار اصلی:

مشتقپذیردر و در حد استفاده میشود بطوریکه اگر و از قاعده هوپيتال برای رفع ابهام

آنگاه:باشند و

میتوان استفادهاز راست مشتق داشته باشد از قاعده هوپيتال برای وقتی در و اگر

.کرد و به همين ترتيب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای

بهينهسازی

بهينهسازی (ریاضيات)نوشتار اصلی:

مم وبسياری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضيات مطرح میشوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزی

ی برای یافتنمينيممی هستند که یک تابع مشتقپذیر میتواند در دامنه خاص اختيار کند و مشتق ابزار مناسب

این مقادیر است.

ن یابرای حل مسائل بهينهسازی الزم است ابتدا کميتهایی مانند حجم، مساحت، فاصله و... که بيشتری

له حاصل بيشکمترین مقدار آن مورد نياز است، به صورت تابعی از متغيرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معاد

لهای با یک متغيراز یک متغير داشت با استفاده از فرضيات مسأله و ارتباط متغيرها با هم، معادله را به معاد

م مطلق تابع رامستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مينيم

مشخص کرد.

قواعد مشتقگيری

است.عدد نپرمتغير و ،،،،اعداد ثابت، و ،در روابط زیر

توابع جبری

(قاعده توان)(قاعده

حاصلضرب)

(قاعده ضریب ثابت)(قاعده مجموع)

(قاعده خارجقسمت)


19 of 21 8/13/2013 12:20 AM

توابع مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی

توابع نمایی و لگاریتمی

جستارهای وابسته

تابعحساب دیفرانسيل و انتگرال

حد (ریاضی)پيوستگی

انتگرال گيری

منابع


20 of 21 8/13/2013 12:20 AM

ISBN. ١٣٨٩. وزارت علوم و آموزش عالی، تمرینها و مسائل آناليز ریاضیباریس پاولوویچ دميدوویچ. 978-964-00-0282-7.

. مرکز نشر دانشگاهی،حساب دیفرانسيل و انتگرال و هندسه تحليلیجورج توماس و راس فينی. ١٣٧٠ .ISBN 978-964-01-0536-8.

ISBN. ١٣٧٨. انتشارات علمی و فنی، حساب دیفرانسيل و انتگرال و هندسه تحليلیریچارد سيلورمن. 964-6215-06-8.

.ISBN 964-01-0007-2. ١٣٧۵. مرکز نشر دانشگاهی، حساب دیفرانسيل و انتگرالتام اپوستل. .ISBN 964-385-301-2. ١٣٨٣. انتشارات مدرسه، تاریخ ریاضياتپرویز شهریاری.

. مؤسسه انتشارات دانشگاهحساب دیفرانسل و انتگرال و جبر خطیویلفرد کاپالن و دونالد جی لویيس. .١٣۶٩تهران،

پيوند به بيرون

در این لينک موجودماشين مشتقگير برای نمونه معادله http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of++x%5E3+-13%2F12%281(است.

%2F%283x-x%5E3%29()WIMS (http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.enحسابگر توابع

محاسبه برخط مشتق توابع؛ این نرمافزار، شامل تمرینهای تعاملی نيز هست.)http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=derivace(دستيار ریاضی روی وب

محاسبه برخط مشتق توابع؛ شامل توضيح مراحل محاسبه.)http://www.bluffton.edu/~nesterd/java/derivs.html(تمرین مشتقگيری از توابع تصادفی

»oldid=10351760=مشتق&http://fa.wikipedia.org/w/index.php?titleبرگرفته از «حساب دیفرانسيلتوابع و نگاشتهاآناليز ریاضیمشتق: ردهها

عملگرهای خطی در حساب دیفرانسيل و انتگرال

تغيير یافتهاست.١٨:٢٣ساعت ٢٠١٣مه ٣٠این صفحه آخرینبار در در دسترس است؛ برای جزئياتCreative Commons Attribution/Share-Alikeمجوز همه نوشتهها تحت

را بخوانيد.شرایط استفادهبيشتر است.بنياد ویکیمدیاویکیپدیا® عالمتی تجاری متعلق به سازمان غيرانتفاعی


21 of 21 8/13/2013 12:20 AM

مشتق - ویکیپدیا

Documents