Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΩΝ
DESCRIPTION
Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΩΝTRANSCRIPT
-
-
-
THOMAS TAYLOR
1995
-
: The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans
5-7, 104 33 . 5221744, 5227678, FAX: 01-5226581
ISBN 960-268-060-1
: :
-
, . . , , , , .
, , . , , .
, . , , , , , .
, , . , , , - -
-
- , .
, . (1758-1835) , , . , , , , , , , , .., , .
, , . , .
1995
-
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 7
I.
. .....65 II.
....................................................................... 67 III.
70
IV. 73 V. .
74 VI.
77 VII.
79 VIII.
83 IX. ............... 83 . 84 XI.
, ................. 85
XII. ,
-
, 86
XIII. 89
XIV. , 92
XV. 95
XVI. 97
XVII. , 98
XVIII. , , . 100
XIX. 103
XX. , , 107
XXI. 109
XXII. 113
119
I.
123 II.
. ....... 125
III. 128
IV. , . 131
-
1
V. , . , 133
VI. , 137
VII. , 138
VIII. , . . 139
IX. . 141
. . - - 142
XI. 143 XII. 145 XIII.
, 146 XIV.
148 XV.
- 149
XVI. . 151
XVII. 152
XVIII. . 154
-
XIX. , , 155
XX. . 158
XXI. , , ....... 160
XXII. ........163
XXIII. 165
XXIV. . . ............ 166
XXV. 170
XXVI. , 173
XXVII. 175
XXVIII. . 177
XXIX. , 181
XXX. 183
XXXI. 185
-
XXXII. , 186
XXIII. 188 XXXIV.
191 XXXV.
193 XXXVI.
196 XXXVII.
198 XXXVIII.
199 XXXIX.
( . XV, ), 201
XL. 209
XLI. 218
228
I. 233
II. 237
III. 242 IV. 247 V. 251 VI. 254 VII. 262 VIII. 266 IX. 269
-
. 272 XI. 274 XII. 277 XIII. 280 XIV.
283 XV. ,
285 XVI. .292 XVII. ,
305 XVIII.
309 312 323
-
, ' , .
(, , 5.)
. , . , , , , . , - , 800 .
, - - .
15
-
570 580 .. . , , , . .
, . .
, , . -- , '. , .
, , . , 9 . , . , .
, , ,
16
-
- . , . , . .
, . , . . , .
, 518 .. , . . . , . . , -
17
-
.
, . . , , .
, . ' , , . , , . , , . , , , . . , . , . 75 80 .
18
-
, . . , , .
, . , , .
, - - , .
. . . , , . , . , , , , .
. -
19
-
, , , . , . , , . - :
, , . . . , . . , , .
20
-
- - . , , . , , , , ,
10 , , (1 + 2 + 3 + 4 = 10). , .., , . , , .
. , , . .
.
21
-
. , . , . , - 1 , 2, 3, 4- . . , 1, 2, 3, 4. , , . , , . .
, . , , , . , . , . .
, , . ,
22
-
, , , , . .
, , . , , .
23
-
, ,
,
, .
,
.
-
, , ( ) , , , , ( ).
, , . 7, 525.
-
, , 1. , . .
, , , . , , , . . , . , , , , , , .
27
-
, . , ' , , , . , - - , , , .., , . , , , , , - , , , 2.
, 10 , , 13, 14 15, , , , , (... ), , .
28
-
, , , , , 3, , , .
, , . , . 4, , (Des Cartes) 5 .
, , , , . .
. , , , , ;
29
-
. , , . , . , ; , ; , , , .
; , . , ; , . .
, . .
, , -
30
-
, , ; ; , , ; .
, , ' ; , . , , ; ; , 6, , , , . .
31
-
, ( ) 7, .
, . , . ' , , ; . , , . , - , . , , , , , ; 8
, , , , . , .
32
-
, ( ), , - , . ( ) , , , , . , - , , , . , , , . , .
, , , , - , , , , , , .
33
-
9 . ( ) . , , , . . , , , , . , . , , 1 0.
, , , , , . . , . , ( )
34
-
. , .
, , . , , . , , . , . , , , ; , , . , . , , , . .
. ,
35
-
, , . . . , , . 11, , . , . , , , , - , . , . , , , . , , , , , , , , .
( )
36
-
; , , , , , , , ; , 12 , . , , , . , , , , , . , . . , 1 3 .
, , , , ,
37
-
. , , . , , , , .
, , . , , , , , . , , , - , . , . , , , , , .
. : , . , , . -
* (...).
38
-
, . , , . , , , , . , - , . . , , . . , , . , , . , , , ;
, . , , , .
39
-
, , , , , , . , , , . , , , . , . , , , , . , , .
, , , , , . , , , . , . , , , , -
40
-
, . , . , . , . , , . . .
, , , , , . , 1 4 , , , , , . , ( ) , , 1 5, . , , ,
41
-
. , . - - , . ( ) , , . , . , . , , . , . , , . , . , , , , .
, -
42
-
. 1 6 : , . . , . , , . , . . 1 7 . , , , , , . , , . . , . : . , , , . , , . , , . ,
43
-
. , , , .
, , , .
, , , , . , , . , , , , , , . , 1 8 . , (William Day) (William George Meredith), , . ,
44
-
. , , , , . o , , .
, , , , , 1 9. . , , , .
. . , . , .
, , ,
45
-
. , .
, , , , , , , . , , , , .
, , , . , . , , . , ; ; , , , , .
, . -
46
-
, , . , , , , .
, , . . . , ; , , ; , . , , , . , - , , , , . , ,
47
-
. , , , . , , . , , , - .
, , , . , , , . , , . , , , . , , 2 0.
, , , . , , - , . , . , , -
48
-
, , . , . , , . , , , - , , , .
, , , . , , . , , . , , , - , , . , -
49
-
, 2 1 .
, , . , , , .
, , , : : , , . ; ' , , , , . , , . , , , . , , , , , . , 2 2 , , , ( .. .), , , -
50
-
, , , 2 3. , . : , ; : , , , . , , . . , , , . , 24. , , ; : - . : , , , ( ) , , , , , , . . , , , . , . , ,
51
-
. , , , - , - ' , , . , , . , , , , , , , , , . , , , . , , , . , , .
: , , .
52
-
: , , , , , , , , , , , , . , . , , ( ), . , , - , , , . , , , , . , , , , .
53
-
1. , : ' , ' , , (, , .4) : , . . , .
2. , , , , . , , 7.
3. , , , , . ( , , , , .) -
54
-
, , . , - - . , .
4. (Newton) .
5. , . (Halley), , . ( ) : Methodus haec cum algebra speciosa facilitate contendit, evidentia vero et demonstrationum elegan-tia earn longe superare videtur: ut abunde constabit, si quis con-ferat hanc Apollonii doctrinam de Sectione Rationis cum ejus-dem Problematis Analysi Algebraica, quam exhibuit clarissimus Wallisius, torn. 2 Operum Math. cap. 54, p. 220 : . , , , . 54, . 220. : Verum perpendendum est, aliud esse problema aliqualiter resolutum dare, quod modis varus plerum-que fieri potest, aliud methodo elegantissima ipsum efficere: analysi brevissima et simul perspicua; synthesi concinna, et minima operosa- :
55
-
, , , , .
6. . 7.
. (Locke) -. , .
8. , , , 13 : , , . , , , ' . , . . , , , , . , , , , . , , , , . . ,
56
-
, , . . , , , . , . , , , . , ; , : . , . , . , , . : , .
57
-
9. : 1, 2, 4, 8, 3, 9, 27. , 2 .
10. , , : Ad quod attinet quantitates continuas, omnino adsentior Proclo; etsi oratio fluit ipsi torrentis instar, ripas inun-dans, et caeca dubitationum vada gurgitesque occultans, dum mens plena majestatis tantarum rerum, luctatur in angustiis linguae, et conclusio nunquam sibi ipsi verborum copia satis-faciens, propositionum simplicitatem excedit. : , , , , , . : (1571-1630) .
11. , , I, . 118 462. , , . 7, 71, 83 108, . . 83 , , , .
12. 2 , .
13. 9 : , , , , , -
58
-
, ; , , . , , . . ( ), . . , ; . ; . ; . ; . , , , , . ' . ; . ; .... , , , , , , -
59
-
, , ' . ; , , . . , , , . . , . . . , , . . , . . , , , , , , 729 , ; : , 3 9. 3 , - . 9 3, 3 1. 9 , 3 . , , .
60
-
3 , , 9 , 3, 9, 27. 27 , 3 . , 27 729, , 6 3 6 . , , , 729 .
14. , , .
15. . 16. , . 18. 17. ( ),
, . , , . . : , . . , , . , . , . , No XV XVI THE PAMPHLETTEER.
18. Si vis beatus esse, cogita hoc primum contemnere et contemni. 19.
, . , , . , . -
61
-
, , . , , , - - , . , . , , . 468, , , . , . 3, : , . . , , . , , , , , . ,
20. , 10, . 598.
21. , , , , ,
62
-
, , (), . . , . .
22. . , .
23. , .
24. , , :
, ' .
63
-
I
.
, . , . , - , . , , . , , , . , , , . , . . ,
65
-
, ; . , , , , . , ; , .
, ' . . , 1 . . . 4 3. 3 2. . , . , . , , , , . , . . -
66
-
. . , . , , .
II
.
2 . . , , , , . . , . , , , . .
, , . , - .
67
-
, , . 3. ' . , . , , ' , , ' , . , , (. ) . ' , .
4 , , , . , , , . , () , . , . , , , . , 6 3 3, 4 2, 5 1. , , , - .
68
-
. ( ) , - , , . , , , , 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 4 2 4 2 . . , , ' , . , , 5.
, , , . , . . , , . , , , . , , , .
69
-
III
.
. , . , . . : - , . . , , , , . , 8 4 4, , . , . , , , 6. , , , 7 - , , . , , .
70
-
, , , : , , , . , , , . , 10 5 5, , , 3 7. , , . , , 10. , 5 5, 3 7, 8. , , , , 8 4 4, , 8 5 3, , . , . , . , . , 7 3 4, 5 2, . . , , . , . , . , -
71
-
, - , .
, . . , , . , . , , , , . , , . , , , , , . . . , . , . , , . , , , . , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2 1 , 3 2 9, 4 3 , 5 4 , 6 5 . , , ,
72
-
. . , , , 1 0 .
IV
.
- , - , , . , 5 6 4, . , , 10, 5. 6 4, 3 7. 5. , 3 7, 5 8 2. , . , . , , .
73
-
V
. .
, . , , . , . , .
, . , 64 32, 16, 16 8, 8 4, 4 2 2 1, .
. , . .
: , , . , : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 ' . .
74
-
, , , . , , , 1 128. , , . , , 8 16, . 8 128 16 . , . 32 128 4 . , , 64 128 2 - 128 128, 1 128. , , , . : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, , 8, 64. . , 8, . 4 64 16 . , 32 64 2 . 1 64 64 64. , , .
, .
75
-
3, 1 2 3, 4 1. , , 1, 2 4 7, 8 1. 1 + 2+4+8=15 , 1 16 . , - 2 . , 1 1.
, 1 2 , .
, , " , . 128, 8 16, 128, 1 x 128. , , , . 4 x 32 1 x 128. , , . 64, , 8, 1 x 64. , , , , , 4 x 1 6 = 64. , 32 -
76
-
2, 1 64, .
VI
.
, . . , , . 6, 10, 14, 18, 22 . .
. , - . , , , . , 18 9, , , . 18, , 6, . , , 18, , 3, . , , 2, . . .
77
-
2, . 2, . , , 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. , 2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38. , , , .
, 4 . , , , 2 2, .
, , , , 1 3 . , , , . , , . , , . , , 2, 6, 10, 6 10 + 2. , . ,
78
-
2, 6, 10, 14, 6+10 2+14, .
VII
.
. . , , . 24 28. , , . , . , .
, . , , . , , , . , -
79
-
, , , . 24 , . 6, 12, 4 2. . 8, 3 1 - 8 , 3 1 . , , , .
, . , , . , 4, :
80
3 5 7 9 11 13 15 17 19 .. 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ..
, 3 4, , 3 8, , 3 16, -
-
, , , , - , , , . , ' , . 3 x 4 = 12, 5 x 4 = 20, 7 x 4 = 28, . , 3 8 = 24, 5 8 = 40, 7x 8 = 56. , , , .
, . , , , , . , , , , . , , . 3, . 5, . 7, .
81
3 5 7 9 ..
4 8 16 32 ..
-
12 24 48 96 20 40 80 160
28 56 112 224 36 72 144 288
, , 12, 20 28, 12 + 28 = 40. 20 + 36=56, 28. . 12 + 36=48 = 20 + 28. 24 + 72=96=40 + 56 . , , , . , , , - 12 x 48 = 576 = 24 x 24. , 24 x 96 = 2304 = 48 x 48. , . 12x96= 1152 = 24x48. , . . , , .
82
-
VIII
.
. , , . - , - . , , , .
IX
.
- . 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. , , , , , , . , 3 , , 3, . , 5 , . . , -
83
-
, . , 1 4. , , , . , . , , . , , .
.
, , . . , . , . 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39. , . 9 , 1 15 , 1 . . 9 , 3 15 ,
84
-
5, , 3. 21 , 7, , 3 (). , , . , , 9 3, 15 3 5, 21 3 7 . , , . , ' .
XI
,
.
, , , - - , - . 9 25, , . .
85
-
9 25 25 9. , , , , , 9 25 .
XII
,
, .
, , , , , . 3 , : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49. , , 3 . , 3 , 9. , 9 , 15. , 15, , 3 21. ' 3, ,
86
-
, . 5, , , , 5, , 7, 9, 11, 13, 15, 5 3 15 3. , , , 17, 19, 21, 23, 5 25. , , , 5 35, . .
, , . , , . , 7, , 21 3 21, , 35 7 . , , 49, 7 , . . , . , . , -
87
-
, , , , , , . ' . , , . , 3 , . , . , . , 5, , 4 . , 7, , , 6 . , , 8 . . . , , . , , , , . , 3 9 3, 15 5 21 7, 27 9, . 5 15 3, 25 5, 35 7, 45 9, . ,
88
-
, , , , , . , . , , - , , .
- , , - . , , ( ). , 3 9 5 25. . 5 25 7 49 . , , .
XIII
.
, , . , -
89
-
. , , , . , , . , . , , 9 29, . , 20. 11. 9 2. 2 9 7. 7 2 5. , 5 2 3. , 2 3 1. , 1 2, , 9 29. , , .
, 21 9, . , 21 9, 12. 9 12, 3. 3 9, 6 , 3, 3. , 3 . , , 3.
, , .
90
-
XIV
, .
. . . . , , , . 12 24 . , 12 6 4 3 2 1. 16, . , 24 12- 8 6 4 3 2 1 36. , . , , , . , 8 14. 8 4, 2 1 7, . , 14 7, 2 1 10, . , -
92
-
, , , , , , , , , . , , , , , .
- - . , , , . 6 28. 6 3 2 1, . , 28 14 4 7 2 1 28.
, , , . , , 3 - 6- , 12 - 6- . 2 - 6- , 18 - - . . . ,
93
-
3, 6, 12, 6 3 12 3 6, 6 12. , 28 14 56, .
, , , . , , . , . , , , , . , . , , . . . , . , , . , , .
94
-
XV
.
, 1 10, 6 10 100, 28 100 1000 , 496 - 1000 10000 8.128. , 6 8 1 5 .
. . , . , , . , , . , . , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 1 2, 3, 3 , 2 6. 28, , : 1, 2 4 7, ,
95
-
4, , 28. , 6 28, . , , 1, 2, 4 8, 15. , , , . , 16, 15, 31, . , 16, , 496, 28. , , , . , , , , . , , .
:
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
-
-
-
1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191
1 6 28 * 496 * 8128 * * * * 33550336
-
, .
XVI
.
, , , . , . , , , . . , . , , . , , . , . , , , , .
97
-
, , , , . , , , . , . , -, , -.
XVII
, .
, , . , , .
, . , . , 2 - 3 4 , .
. , , . , -
98
-
, , , - , - ' . .
1 6 - , . , . ' . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. , 2, , . 4, , 2. 6, , 3. , 8, 4. ' .
, . 3 , , 2. 1 2 , 3 . , 6 4 5 2. 9 7 8 3. ' .
3 . 1, 2 3 4, 1. , 5, 6 7, 8 -
99
-
, 2. 8, 9, 10 11, 12 3. ' . , . , , , , . .
. , . . , 2, 6 8, 8, 12, 10 . . , .
XVIII
, , ..
, -. , , , , , .
100
-
' , ' . ' . , , , , . , , .
, . 1 7 3 2. , :
. , 3 2, 6 4, 9 6, , . 3 2 1, 2. 6 4 4, 2. 9 6 6, 3. .
, - . : ,
101
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-
. 4, 3. , . . - :
1 2 3 4 5 6 7 8 4 8 12 16 20 24 28 32 3 6 9 12 15 18 21 24
, , . 4 3 3, 1. 8 6 , 2. ' . 3, 6, 9, 12 .. 4, 8, 12, 16 .. , .
. . . . . , . , 4
102
-
3, , 4 3. 8 6, , , 7 6 8. , 12 9 , , 10 11. , , ' .
XIX
.
, 10. , , . , . , , .
, , 1 10, 4 20, , . , , 2 1. 2,
103
-
, .
4 2. 3, 6 3. 4, 8 4. . , 9 30, , , . . 2, 3 1. 4, 6 2. 6, 9 3. -
104
-
. , 16 40, , . , 3, 4 . 6, 8 2, 9, 12 3. . , .
, , , . , 4, 2. 4, , . , 3 2, 6 4, 9 6, 12 8, . . . 1, 3 2. 2. 3 . , 4 3, 8 6, 12 9, .. .
, . . , , . , 2 4, 3 -
105
-
9, 4 16 . , . . , 2 6 4 2 1 2 2 1 1. 6 2 3 . , 6 12 9 12 3 4, 6 2 3. . , .
, , . 2 + 6 4 x 2 16. 6 + 12 9 x 2 36. .
. , 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, , 4 1 2, 9. , 4 + 9 6, 25. , 9 16, 12 x 2, 49. . , . 9, 25, 49, .. 16, 36, 64 .. .
106
-
, , 1 100 , 10 10. , 1 100, , 10 x 10. . , , .
XX
, ,
.
, , , , . , , , , , . . , . , . , , , , . , ,
107
-
. . -. , , , . , , , -, , , , - ' .
. 3 . 5. , , , , . :
108
3 4 5 6 7 8 9 10 5 7 9 11 13 15 17 19
, 5 3 , , 5 3 , 2. 7 4, , 7 4 . , .
' . , . , 3 5, 6 10 . , . ' , .
-
, 7 4 , . - , .
' , , 9 5, 4. , . , . , () . , , . , , . , . , . , -. , . ' .
XXI
.
. , . - , -
109
-
. , , . . , , - , , , , , . , . , , . , . , - . , , , , , . . , - , . . 5 2, 5 2 , , 1. - 9 4. - 11 5.
, , , 2, ' 5 - , , , :
110
-
2 , 5, 5, :
111
3, 3, 7, 7, - , ;
, 1, 2, 3, 4, .., 4, 9 9, , :
, 2, , 7 7, :
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2 4 6 8 10 12 5 10 15 20 25 30
3 6 9 12 15 18 21 7 14 21 28 35 42 49
4 8 12 16 20 24 9 18 27 36 45 54
2 4 6 8 10 12 14 7 14 21 28 35 42 49
-
3 10 10, :
3 6 9 12 15 18 21 10 20 30 40 50 60 70
XIX, . - - . , , . , , . , , . , ' , . , , , , - .
, , , , , . , , , , - , , . , , . , , , - . , -
112
-
, , - . 8, 3, . 16 6, 8 8, 3 3. , , . , , , , .
XXII
.
, . , . , . . , . , , . , , ,
113
-
. , , , , , . , . , , : , , , . , , . , , . . , . , , , , .
. , , , . , . , . . ' . , 1, 1, 1. , 1. , 2. , -
114
-
, , 4. , , :
1 1 1 1 2 4
. , 1. , 1 2, 3. , , 9. :
1 2 4 1 3 9
. , , . , , 1. , 4. , , 16, :
1 3 9 1 4 16
.
, , , , , .. , , :
4 2 1
, 4, , 6.
115
-
, , 9, 3, 1. , 9. , 12. , , 16.
116
, , 9.
(...
' , .
, , :
' , .
, , , . , . , . :
9 3 1 9 12 16
16 4 1 16 20 25
4 4
2 6
1 9
-
9 6 4 ,
9. , 15. , :
9 6 4 9 15 25
. , ,
. - :
16 12 9 ,
16. , 28. , , , 49. , , .
16 12 9 16 28 49
, , , :
25 20 16 25 45 81
. , . . :
4 6 9
117
-
, , 4, , to 10. , , , 25:
4 6 9 4 10 25
. ,
, , :
9 12 16 9 21 49
, . , 9, 15, 25, - 9, 24, 64. 16, 28, 49, , 16, 44, 121. . , .
118
-
1. () = . () -= . () = .
2. , . 11.
3. 7 .
4. , , . 23.
5. , , , , . -, , , ., , . , ( ). - . , , . , , . , .
119
-
6. :
, (...).
7. (...).
8. 6 4, .
9. : . 3/2 1+. : . 4/3 1+1/3. : . 5/4 1+1/4. . . Lidell-R. Scott. (...).
10. , , . 29, ..
11. , , , , .. , , 1. , 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, , , 2, 6, 18, 54, 162, 486, .. 2+6 = 8, 9 1. 2 + 6+18 = 26, 27 1. 2 + 6+18+54=80, 81 1. . , . ,
120
-
, . .
12. , . , a fortiori , , ..
13. , , , , . , 10 , . , , , , .
14. , .
15. 6 8. .
16. . = ( . Lidell, R. Scott) (...).
17. , 1, 2, 3, 4, 5 .. , .., , .. .
121
-
1
.
, . . , , , . . . . , , . , . , , . , , , , , -, , .
123
-
, . . : . . , , , . , .
, 8, 32, 128. , 32, 8. 24. 8 24 . 128, 8, , 24, 72. 8, 24, 72 .
, . , , 8. 16. 72, , to 8, , 16 32, 32. 8, 16, 32 .
, . , 8. 16 8 8. 32, 8, , 8, 8. , 8, 8, 8.
124
-
. , .
II
.
, , , , . , - 1. , . , . . : , , , , .
, , , , , ' .
125
-
. , , , 2, , 3. 2 3, . 3, , , . 4 . . 6 6, , 9 . , , 4 6 6 9. 9, , . 8. . 12 , 12 18 18 27. 27 . , :
1 2 3 8 16 32 3 6 12 24 48
9 18 36 72 27 54 105
81 162 243
, , . 9 4 4 1. , 27 8 8 1. . , .
, . , 3 , -
126
-
, 4, , , . , 9, 12. 12, , 16, . 27 , , 36, 48 48 , 64 64 , . , :
1 3 9 27 81 243 4 12 36 108 324
16 48 144 432 64 192 576
256 768 1024
, . .
1 4 16 64 256 1024 5 20 80 320 1280
25 100 400 1600 125 500 2000
625 2500 3125
, , , , - ..
127
-
. , , , . , , . , , ' . , . , , , . , ' .
.
, , , . . 3 2 4 3 4 2.
III
128
-
, . , , , , . 4 6 3, , 3 , 6 .
129
, , .
, , , , . 12 6 18 12 6.
, , 6 18,
9 , 6 18 18 6.
-
, . , , , , , .
, .
, .
,
.
130
-
IV
, , ..
. , . . , , , , , , . , , , , , . , , .
, , , . , , . . . , 6, 6, 6, ,
131
-
, , , 6 6. , , . , . , . , , , . , , . , , , , , . , . . , , . ' , , . , , , , , , , , . , , , . , , . , -
132
-
, , .
, , . , . , . . 2 , :
11. 111. 1111. 11111.
V
, . .
, .
, 3. . , , , , , , , .
3, . .
133
-
. , , , , .., , , . :
, , , :
, - , . , , .
. . , , . 3 - , , .
134
-
6 . 10, 4. 15, 5 ' , :
, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, .. , . 1+2=3 , . 1 + 2 + 3 = 6 . 1 + 2 + 3 + 4 = 10 , . , , . , 3 , 2 1 . , 6 3 , . .
, . 1 3
135
-
, 6 10, , . , 15 21 , 28 36 . .
, - - ' . , , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. , , , 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45. , 1 2, 3 6. 2 3, 10 15. , 3 4, 21 28 .
. , , , , , :
136
, , .
-
VI
, .
, , , . . :
. , , 1 . , , 4, 2 . , 9, , 3 . .
, , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .., 1 . 1 + 3=4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3+5+7 = 16, . , .
, -
137
-
, . , 1, 1. , 4, 1 3, , 2. 9, , 3. .
VII
, .
, , - . . , 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70. . . , 1 , 1 . 5 , 2 . , 12, 3 . 22, 4. , :
138
-
O , , . , , :
. , , . , , , . . , 4, 1, 5. , 9, 3, 12. .
VIII
, .
, ..
. -
139
-
. , 2, . , , 3. , 4. , . 1, 5, 9, 13, 17, 21, .., , , 1, 6, 15, 28, 45, 66, ..
, , 5 , , :
1, 6, 11, 16, 21
, 1, 7, 18, 34, 55. , ,
, , , , . . , 1, .
140
-
IX
-
. .
, . , . , 4 1 3, . , 9 3 6, . 16 6 10 25 10 15. . . 5 4 1. , 12 9 6. 22 16 6. 35, 25 10. .
, , . 6 5 , 1. , 15 12 3. , 28 22 6. .
. - 7 6 1.
141
-
18 15 3. - 34 28 6. . .
, , , , , . 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, , . 6 9, 9 12, 12 15, 15 18, , 3. , 10 16, 16 22, 22 28, 28 34, , 6. , . .
.
- - .
. , -
142
-
. , , , , .
, , , . . - , , , :
, , , .
XI
.
, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. ,
143
-
. , , .
, . 3 1, , 4. 6, . 10, 20. .
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220
. , , , .
, , .
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385
144
-
. ' , . , ' , , , , , , .., .
XII
.
, . , , , -. , 16 9 4, , , , , , , . , , . , , , .., . , , . , 16 9 4, . , , .
145
-
XIII
, .
, . , , , , . , 1, 4, 9, 16, 25, .., , . , . 4 2 . 4 2, 8. . 9 3 27. 16 4 64. . , , . , ,
146
, .
-
.
, . . , , , , , .
, , , , . 2, 5, , . , Gradati, . , . -, - , , , , . , , , , .
147
-
148
XIV
.
, , . , . , , , , . , , , , , , :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 x 1 , 2 x 3 , 3 x 4 , 4 x 5 , .., 2, 6, 12, 20, .., , .
, . , 3 x 7 , 3 x 5 .., , , , . , , , . , . , -
-
. , . , .
, - , . , , . , , , , .
XV
.
, . , , , , , , , . , -
149
-
, . 1 2 1, . 2, :
1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12 14
, . , , , , , , . . , , . , . 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7=16, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, . . , 2, . 2+4=6 , 6 3 2. , 2+4 + 6=12, 12 4 3. .
150
-
XVI
- . .
, . , , ( laterculus). 3 x 3 x 2 = 18 4 x 4 x 2 = 32, . . , 4 x 4 x 9 = 1 4 4 . , , . .
, , 5 6. 5 x 5 = 25, 5 5. 25 x 5 = 125. 5, 5. , ' . 2 6. , , . , ,
151
-
, , . , , . .
XVII
.
. , , . , , , , . , . , , . , , -
152
-
. , , , . , , , , , .
, , .., , , . , , , , . ' , -. , 6 2 3, 12 4 3. , 3 x 5 3 x 6 4 x 7 . , , , . , , .
153
-
XVIII
.
.
, , - , . - , . , , , , . , , . , . . , . , . , , - . , , . . , ,
154
-
, . , , , . , , , , . , , . .
XIX
, , .
, , , . . , , :
1 4 9 16 25 36 49 2 6 12 20 30 42 56
155
-
, , , , . , . , . , , , . ' , . , , 1, 2. 3, 4. , , 1. , , , , , .., , . , . ' . . . - , .
, , .
, . , , , . , .
156
-
, .
, 2 , . 1+4=5 , 5 2 x 2 9. , 4 + 9=13 13 2 x 6 25. . - , - , . , 2 6 4. 16. , , 12 + 6 = 18 9, 36. , 12 + 20 = 32, 16, 64 .
, -
157
-
, , . 1+4 2, 9, 3. 25, 4 + 9 6, 5. , 49, 9, 16 12, 7. .
, , . , 16, 2, 6 9, 6. , 64, 12, 20 16, 8. .
XX
.
.
. , , . , 1, , 2, , 3. 2 4, , 6. , 4 6 10
158
-
. , , :
,
, . 4 2, 6, 2 4, 2. 6 2 . , 3 9 3 12 6, . . , , - , . , , , . , 6-2, 2 + 2 4.
' , . , , , , , . , , , . ,
159
-
, .
XXI
,
, .
, , , , , , . , : 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30. 1, , 2 . , , , . 2 1 , 4 2 2. , 4 2, , 6 4 . , . 4 2 2, 6 4. , , , . , 4 6, 6 9, , 6 4 2 9 6 3. , , , , ,
160
-
, . , , , :
, . 2 1 4 2. 6 4 9 6. 12 9 16 12. . 1 2 1, 2 4 2. 4 6 2,
, , - , -, :
-
6 9 3. 9 12 3, 12 16 4. . , . 4 2 6 4. 9 6 12 9. 16 12 20 16. , , , . , , . , 4 2 6. 9 6 12. 16 12 20. . , 2 1 4, 6 4 9, 12 9 16 .
, , , ' . 1 2 1, 2 4 2. , , 1 2 , , . 1 1 , 2. , 2 2 , 4. , 2 4 6, 3 6 9. , ' . . 2 4, 6. 3 6 9. , 3 9 12, 4 12 16 , ' ,
162
-
, . . . . . . .
, , , ' . 2 4, 2, 4 6. . 2 , , . , . , 6 9 9 12 3. , , . , . .
XXII
.
, , , , , -
163
-
. , .., . , , .. :
, . , 4 9 3, 16 81 5 64 729 7. . , ( ) 4 64, , , , .. .
, , , , , . -
164
-
, : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . , 1 , , 3 5, , , 8. , , 7, 9, 11, 27 . , 13, 15, 17, 19 , , , 64. .
XXIII
.
. , , , , . , , 3 . , , , . , , . . 4, 2, 1. 4 2, 2 1 , .
. ,
165
-
8, 4, 2, 1, 8 4, 4 2, 2 1 , . 16, 8, 4, 2, 1 32, 16, 8, 4, 2, 1, ' . , , , . , , , . 1, 2, 4, 8, 2 1, 8 4, , 1 2, 4 8. , 4 1, 8 2.
XXIV
.
.
, , , . , . , . , -
166
-
, . , , . , ( ) .
. , , . , . , . , . ; ' , , , . , . , , , . , . .
, , , . , -
167
-
, . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, , . , , , . , , . , . , 1, 2, 3 , . 2 1, 3 2 . .
, , . , , 2, 1,3,5, 2. 3 1 5 3. , 4 , . , . , , , , .
, 1, 2, 3, 1+3 = 4 = 2 x 2 . , . 1, 2, 3, 4, 1+4 = 2 + 3.
, . , , . , , 3, 5, 7 3 x 7 = 21
168
-
5 x 5 = 2 5 . 21 25 4, 3 5, 5 7, 2 x 2 . , , , . , 12, 10, 4, 2, 12x2 = 24 10x4 = 40 24 40 16, 12 10, 2, 10 2, 8, 2 x 8 = 16. 12 4, 8, 4 2, 2.
, , ' . 1, 2, 3, , 2 1, , , 3 2, . . , 12, 10, 8, 6, 8 6 12 10. 12 10 , 8 6 . , , . , , , . .
169
-
XXV
.
. , , , . . 1, 2, 4, 8, 16, 32, .., 1, 3, 9, 27, 81, .., , . 2, 4, 8, 2:4 = 4:8, 8:4=4:2. 2, 4, 8, 16, 2:4 = 8:16, 16:8 = 4:2. .
, . , , - , . , , :
170
-
. , . 2 1, 1. 4 2, 2. 8 4, 4. . , . 3 1 2, 1. 9 3 6, 3. 27 9 18, 9. . , . 4 1 3, 1. 16 4 12, 4. 64 16 48, 16. . , , , .., .
, , . , 2, 4, 8, , 2 x 8 = 4 x 4 = 16.
171
-
. , 16, 8, 4, 2, 1, , 16 x 1 4. , 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 64 1 = 8 8. , , 2, 4, 8, 16 2 x 16 = 4 8 32. . 2, 4, 8, 16, 32, 64, : 2 x 64 = 128 = 4 32 = 8 16.
. 2, 4, 8, 16, 32, 64, . 3, 9, 27, 81, 243, 729, . .
, , , :
, , , , . , . , ,
172
-
4 .
XXVI
, .
, , . . , . , . , , . , , , . , , 4 9. . 6, 6 4 9 6. , , 6. 4 2, 9 3, 6. , . . , 8 27, , 12
173
-
18. 12 8 18 27 .
. , . , . 8 27. 3 2 3 x 2 x 2 = 12, 3 x 3 x 2 = 18, . 27 64. 4 3 4 x 3 x 3 = 36, 4 x 4 x 3 = 48. . , . 12, 8 27, 8 27, 2 x 2 x 3 = 12. 18, , 27 8, 3 x 3 2 = 18.
, 5. , , 6. , 7, , , 8. . , 9.
174
-
, 1 0 . , , 1 1 . , , , .
XXVII
.
, . , , . 3, 4, 6 2, 3, 6, 6 3, 6 4, 2, 4 3, 1. 6 2, 6 3, 3, 3 2, 1. , .
. . , . , 3, 4, 6, 4 3, , 6 4, .
175
-
, 1:2 1:3. , , . , - - .
, , . , . 2, 3, 4, 3 2, , 1, 4 , . 3 2 2, 4 4. 3 2 1, 2, 4 1, 4. . , , , . 2, 3, 6, 3 2 2, 6 3, 6. , , , , . -
176
-
, . , 4, 6, 9, 6 4 , 9 6 . . , . 3, 4, 6, 3 + 6 = 9 9 x 4 = 36, 3 x 6 . , 2, 3, 6, 2 + 6 = 8 8 x 3 = 24, 2 x 6 = 12.
. 6 + 3 4 x 2 , 6 + 2 3 x 2 . , , . 3 x 6 = 18, 16, 4, 2. 2 6 4 4 3. 2 x 6 9, 3, 3. 3 6 3 3 2.
XXVIII
. .
, , . -
177
-
, . , , , , . , . , .
, . , , , , 4 3, . . ,
3, 4, 6 2, 3, 6. , 6 3,
2. , , , . 6 3 3 6 2 4 4 3 .
, . 6 4, 3 2. . , , , -
178
-
, 6 3. , , . 2, 3, 6, 3 2 6 3 . , , , . , 3 2 1 6 3 3. , 3, 4, 6, 6 , 2. , , 1. , , , , , . 3, 4, 6, 4 1, . 2, 3, 6, 6 2 . 4 1. 4 1 .
, , . , , , , , . , , . 12 , , . , 6, 8, 12, . 12 6, 12 8
179
-
8 6. , 8 , 6 , . , 1 2 . , , . 12+6=18 18 x 18 = 144. 144 12 x 6 = 72.
. , , 8 6, . 12 8, , , . , , 12 6. , , . 8 6 2 6 2. , , 8 8 6, 8 2. , .
180
-
XXIX
,
.
, , , , , . , , , . , , , . , 10 40, . , 25, 10, 25, 40 . , 10 40 20, , 10 20, 20 40. , 16 10 40, , 10 40, 16 10, 6, 40 16, 24.
181
-
, 5 45, 25 , 15 9 .
. , 2. . 10 + 40=50 50:2=25. , . 2 , . 40 10 30. 2, 15, 10, 25, 10 40. . , 10 40 = 400 400 20. , 20 10 40. , 2, . , 40 10 . , , 2, , 20, 20 10. 20 . , , , . . 40 10 30, 30 x 10 = 300 300 40+10 = 50 6 6 + 10=16, 10 40.
182
-
XXX
.
, . , . , . , . . , , , 3, 4, 6. , , , , . , 3, 5, 6. , 6 3, 5 3, 2, 6 5, 1. . , , , , . . 5 x 6 = 30, 3 x 5 = 15. -
183
-
, , .
. , , - , 2, 4, 5. , 4 2, 4 2, 2, 5 4, 1. , , , , , 8, 4, 2. 8 4 4 2, 8-4 4-2. , , . , . 2, 4, 5, 5 x 4 = 20 20 5 x 2 .
, , , , .. 1, 4, 6. 4 1, 3, 6 4, 2. 6:4 = 3:2. , , .
184
-
XXXI
.
, . , . , , . . , , , , 6, 8, 9. 9 6 3. , 8 6, 2, 3 .
, , , 6, 7, 9. 9 6 3, , 9 7, 2, .
, , , , 4, 6, 7. 6 4 -
185
-
. 2. 7 4 3, 2 .
, , , , 3, 5, 8. 5, , 3 . , 5, 8 5, 3, 1 3.
XXXII
,
.
, - - - . , - - . , , . , , , , , , , , , . , , , . , , .
186
-
6, 8, 9, 12. , 6 1 x 2 x 3 , 12 2 x 2 x 3 , 8 1 x 2 x 4 9 1 x 3 x 3 . . , 12 8 9 6, 12:8 = 9:6. . , 12 9 9 6, 3 . , . , 12 8 8 6. 12 6 12 8, 4, 8 6, 2. . 8 6 9 12 . 6 9 8 12 . , 12 6 . 8 9 , . , . 1 4 , .
, , , , , 5, 15, 25, 45. . 5, 15 45, 5:15 = 15:45 -
187
-
5, 25 45, 25 to 5 45 25. 40, 25, 16, 10. 40, 16 10 , 40 10 40 16 16 10. 40, 25 10 , 40 25 25 10. , 80, 40, 32, 20, . 80, 40, 20 80, 32 20 . .
XXXIII
.
. 284 220 , , , . , , , . . , , .
188
-
, (Ozanam), , . 15, : 220 284 , 220 - , 1 + 2+4+71 + 142 = 220. , 284 , 1 + 2 + 4 + 5 + 10+11 + 22+44+55 + 110 = 284.
, 2, , 1 , 6, , 12, - , 72, , 5, 11 71. 5 11 55 4, 2, 220 . , 284, 71, 4, 2 .
, 2, , , , 8. , 24, , 48, 1152, - , , 23, 47, 1151. 23, 47, 1081 16, 8, 17296, . , 18416, , 1151 16, 8.
, 2, 8,
190
-
64 .
64, , 9363584 9437056. 191, 383 73727.
XXXIV
15.
, ( ) ( ), , , . . , , , . , , , , , . , 1 6 .
, , . , , , , . , 1 2 1.
191
-
, , . , , . , 2, 4. 3, 9. 9 1 2.
3 2, 5 . , , 7 . 25, 7 49. 49, , , 25. , 7, 12. 7 5, 17, 289, 144, 1. , , 1 1 . 1 7. 1 , 1 . , , , , , , , . , . :
1
1
2
1
192
-
. 29 12 17. . 41 17 12x2, 99 41 2 9 x 2 , 41+58 = 99.
.
, . , , .
1+2 + 3 + 4 + 5, .., , , . 4 , 3 + 2 = 5 5 x 4 = 20, 10, .
1+2 + 4 + 8+16 + 32, .., ,
XXXV
193
2 3 8 9 5 7 50 49
12 17 288 289 29 41 1682 1681 70 99 9800 9801
169 239 57122 57121
-
. 1+2 + 1 2. 1 + 2 + 4 + 1 4. .
1 + 3 + 9 + 27+81, .., . , 3, 9, 1 + 3, 4, 1. 9, 27, 1 + 3 + 9, 13, 1. .
1+4 + 16 + 64 + 256, .., .
1+5 + 25 + 125 + 625, .., .
1 + 2 + 4 + 8 + 16, .., , . , 2 2 1 1 + 2. 4 4 3 1 + 2+4, .
1 + 3+9 + 27 + 81, .., 2 , . 3-1=2, 2:2=1, 1 + 3 = 4 . 9-1 = 8 8: 2=4 4 + 9 = 13 = 1 + 3 + 9, ..
1 + 4 + 16+64+256, .., 3 , .
1 + 5 + 25 + 125 + 625, .., 4 , .
194
-
, .
, .
, , , , . 8-1 = 7 7 + 8 = 15, . , , 2, , , . , , 3, 4, 5, 6, .
.., ' 2, , . , ,
105
:
-
, , . , 3. , 4 .
196
, 3, , 4, , 5, , 6 .
XXXVI
.
27 35, 39 55, 65 77, 51 91, 95 119, 69
-
133, 115 187, 87 247. 27 = 3 x 9 1, 3, 9, 13 35 = 5 x 7 1, 5, 7, 13.
39 = 3 x 13 1, 3, 13, 17. 1, 5, 11, 55 = 5 x 11.
65 = 13 5 1, 5, 13. 77 1, 7, 11 19,
51 = 17 3 1, 3, 17 21. 91 = 13 7 1, 7, 13 21. .
, 12, 16, 18, 20, 24, 26, 28, 32, 4, 2. 4, 2, 2 4. , 4, 2, 2, 4, 2, 2, 4, ' .
. , . , . , () , , -
197
-
. , , , . , , . 12 144, , , 80 104. 106.
, , . , , . , , , , , , , .
XXXVII
.
: 12, 20, 24, 28, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92,
198
-
96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228, 232, 236, 240, 244, 248, 252, 260, ..
' 8 4. 12 20 8, 20 24 24 28 4. , 28 36 8, 36 40, 40 44, 44 48, 48 52, 52 56, 56 60 4. , 60 68 8, 68 72 4, , 124 132, 8.
, 12 20 8, 20 36 16, 36 68 32, 68 132 64, , .
, 8, , , 8. 36 + 24 = 60, 68. , 68 + 56 = 124, 132. 132 + 120= 252. . ' .
XXXVIII
.
2, 4, 8, 16, 32, 64, ..,
199
-
1. , 2 1 4 2 1, 3 8 4, 2, 1, 7 16 8, 4, 2, 1, 15. .
3, 9, 2, 7, 81, 243 .., 1 . , 3 1 3 2 1. 9 3 9 , 8, 1. , 27 13, 9, 3, 1, 1. 243 121, 81, 27, 9, 3, 1, 1. .
5, 25, 125, 625 .., 1 . 7, 1 . 9, 1.
, , 1 .
. . . .
6....
. . . .
....
. . . .
-
8, 10, 14, 22, 38, 7, 8, 10, 14, 22 9, 15, 33, 87, 249, 4, 9, 15, 33, 87. , 134, 262, 70, 134. 262, , . 249.
XXXIX
( . XV, ),
.
1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, .. , 1+6 + 28+120 + 496, .., .
6, 28, 496, 8128, 130816, 2096128, 33550336, 536854528, .., , 28, 6, 2, 4, 16, 64, 256, ., :
201
, 3 2, 5 2, 9,
-
13, 17, 21, 25, 29, . , , 4 .
6 + 28+496+8128+130816, .. ,
, 1, 6, 28, 496, 8128, .., 1, 3, 7, 31, 127, 511, 2047, 8191, .. , 1 + 2 + 4 + 24 + 96 + 384, .. 1 = 1, 1 + 2=3, 1+2 + 4=7, 1 + 2+4+24=31 . , , 1, 2, 4, .
, 24 96, 96 384, 384
1536 . , ,
4 3, . 3 1 x 4 = 124 124 + 3 = 127. , 2 7 x 4 = 508 508 + 3 = 511. , 511 x4 = 2044 2044+3 = 2047. .
2 , 1, . 2 + 1 = 3, 6. 2 + 4+1=7, 28. 2+4 + 8+16 + 1=31, 496. .
202
-
203
' - 1 + 3 + 7 + 31 + 127, ..
2 , , , , 6 + 8 + 496 + 8128 + 130816 + 2096128, .., , , .
, , . .
3, 2 1, 6. 3 , 2 1 6. , 14, 7, 4, 2 1 28. , 496 , 465 2 . 496 248, 248 2, 496 4. , 124, 248, 2, 496 8. 62, 124, 2, 496 16. , 496 2, 4, 8, 16, 1 465, 496. , 8001 2 . 8128 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1 8001, -
-
8128. .
-
, . : 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128. , . , :
16 ,
. , (Ruffus) , .
6 8. , 6 8, .
297
-
, , . 2 , 6 8. , 1 + 8 + 32 + 512+8192, ..,
. 8, 32, 512, .., 4, 16, 256, . 6 + 28 + 496 + 8128 + 130816, .., , . 12, 6, 16- 56, 28, 64 - 992, 496, 1024, 32 16256, 8128, 16384, 128 216632, 130816, 262144, 512. . . , , .
, 2 28 6, 28, 496, 8128, 130816, .., , 2, 3, 7, 31, 127, 511, .., . , 3 2, 3 1, 4 2,
208
-
16, 31, , 496, 6, 28, 496, 8128, .. , 2 4 4 , 6 2, 64, 127, 8128, 6, 28, 496, 8128, .. .
6, 28, 496, 8128, 130816, .., , : 16 . 3, 7, 31, 127, 511, .., 6, 28, 496, .. , 28 16 - 448 448 12 x 4, 48, 496. , 496 x 16 = 7936, 7936 + (12 x 16) = 8128. .
, 1, 6, 15, 28, 45, 66, .. ' ,
XL
.
, , 9363584 943705618.
209
-
, , 8, , 2 , . , 64 8, 512. , 1535, 3071 4718591. 4827120640 4831837184, , 2 , , . , 512 8, 4096. 12287, 24575 301989887. 2473599180800 2473901154304. 2 , , . , 4096 8 32768. , 98303, 196607 19327352831. 1266618067910656 1266637395132416.
, 32768 8, 262144. , 786431, 1572863 1236950581247. 648517109391294464 648518346340827136.
, 9363584 9437056. 2 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..,
210
-
, . : 4681792, 2340896, 1170448, 585224, 292612, 146306, 73153. , 191 383 9363584, , . 9363584 191, 49024 383 24448. , 2 . 49024 2 , 24512, 12256, 6128, 3064, 1532, 766, 383. , 24448 12224, 6112, 3056, 1528, 764, 382 191. :
4681792 2340896 1170448 585224 292612 146306 73153 49024 24448 24512 12256 6128 3064 1532 766 383
12224 6112 3056 1528 764 382 191
211
9436801
-
2 , , 1 + 2+4 + 8+16 + 32+64+128= 255, 9437056, .
, 9437056 2 , :
255, , 9363584, .
2 . . , , .
, 3, 6 18, , , . 3 6 . , , . 18 6 3.
, . 1 1000 , 284 20.000 ,
212
-
18416 .
, , . , 284 220 1
1 17296 18416
1 1
9437056 9363584
1 1
. . , . 4827120640 4831837184, , 4 8. 2473599180800 2473901154304, 2473 . 1266618067910656 1266637395132416, . , 64851710939294464 648518346340827136. , 170005188316757680455680 1700051933833071941 38624, . , . .
, .
213
-
:
5 11 71 23 47 1151
191 383 73727 1535 3071 4718591
12287 24575 301989887 98303 196607 19327352831
, (2x5 ) + l = 11, (2 x 23) + 1=47, (2 x 91) +1 = 383, (2 x 1535) + 1 = 3071, (2 x 12287) + 1 = 24575 (2 x 98303) + 1 = 196607. , , .
, 4 3, . , 11x4 = 44, 44 + 3=47, . 23 x 8 = 184, 184 + 7 = 191, (47 8) + 7 = 383 , (191 x 8)+ 7 = 1535, (383 x 8)+7=3071, (1535 x8) + 7 = 12287, (3071 x 8) + 7 = 24575, (12287x8) + 7 = 98303, (24575 x 8) + 7=196607.
, (47 x 4) + 3 = 191, (383 x 4) + 3 = 1535, (3071 x 4) + 3 = 12287 (24575 x 4) + 3 = 98303.
, =16 15 =64
63 =64 63 =64, 63. ' , 64 63 .
, , , , , . =23 + 191 + 1535 + 12287, ..
214
-
, , . , 5 x 11 = 55, 71-55 = 16. 16 = 5 + 11. , 23 x 47=1081 1151-1081 = 70 = 23 + 47. , 191 x383 = 73153 73727-73153 = 574=191 + 383. . , , . , , . ( , -
, 17296 18416, , 128, 1024, 8192, . .
, , , 2 .
215
-
' , 4831837184 4827120640, :
2 .
2473901154304 2473599180800:
216
-
.
, , .
217
-
. , .
XLI
.
, . .
: , , , , . . , , . , , 1 9.
, , , , .
218
-
, , , , , , . , , , 2 0 , , , . , , , .
, . , , . , , . , , , , , . , . , -
219
-
, .
, . , , . . ,
, , , , , , , , ( ), , . , . , , - , , - ,
220
-
, .
, , .
, , , , , . , , , . , , . , - , , , , . . , . , , .
, ,
221
-
27, 18, 12, 8, . , .
, . 95. 25 - 4 3, - 70, 40 30, . 95 25 70, . 5 , 100x 100= 10000 10000 x 100=1000000. , , . , , 10 x 10 x 100 1000 x 10 x 100. . 21, 12 , 8 12, 8, 6 . , , 10000 1000000 .
222
-
( ) . 100 10, , 1000 10 100, .
, 1000000 , , , , : 1000000 ( 10000), . , . XXXIV , . , . , , , , . , 3 9, 4, 3 4. , , . , 10000 . 7 25. 989.
10000 989 , , ,
223
-
, , , 2 3. 300 77 , . , , 2700 27, 3. , , 10000, :
989 , 300 77 3, 2.700.
, .
: . - . . , , , , . . ,
224
-
, , . . , , , , . . , , , . , , , , , , .
, :
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
2 1, . 6 4 12 9 . , , , .
2 1 1, 6 4 2, 12 9 3, . .
225
-
, , , , 3. 4.
- . , 6 2 4, 4 1 3, 4 3 . , 12 6 9 4 5, 6 5 . .
, 4, . 4 4 16, 4 9 36, 4 16 64, . , , , 12 2 6, 72 6 12, . 6 4, 24 2 2.
:
1 3