γραφικη επιλυση συστηματοσ
TRANSCRIPT
![Page 2: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/2.jpg)
Γραμμική εξίσωση Γραμμική ονομάζεται μία εξίσωση αν είναι της μορφής αx+βy=γ.(α≠0 ή β ≠0)
Η γραφική παράσταση της είναι μία ευθεία γραμμή.
Ειδικές περιπτώσεις:ψ=κ (οριζοντια), χ=κ (κατακόρυφη)
x
y΄
y
x΄αx
+βy=γ
ΘΥΜΑΜΑΙ…
![Page 3: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/3.jpg)
Κατασκευή ευθείας 3x-2y=5
1. Κατασκευάζουμε τον
πίνακα τιμών.
2. Η εξίσωση είναι γραμμική,
άρα αρκούν δύο σημεία.
3.Τοποθετούμε τα σημεία
στο καρτεσιανό επίπεδο.
4. Ενώνουμε και
5. Προεκτείνουμε.
x
y΄
y
x΄
3x-2
y=5
1,1
xy
1-1
32
2,3
![Page 4: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/4.jpg)
Γραμμικό σύστημαΓραμμικό σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους ονομάζεται κάθε πρόταση της μορφής:
α1χ + β1ψ = γ1
α2χ + β2ψ = γ2
Η διαδικασία για την εύρεση των λύσεων ονομάζεται επίλυση του συστήματος
Κάθε ζεύγος (χ , ψ) που επαληθεύει και τις δυο εξισώσεις ονομάζεται λύση του συστήματος.
![Page 5: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/5.jpg)
Τρόποι επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος
Υπάρχουν δυο τρόποι:1. Γραφική επίλυση.2. Αλγεβρική επίλυση.
![Page 6: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/6.jpg)
1. Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ
Κατά την διαδικασία της γραφικής επίλυσης ενός συστήματος θεωρούμε κάθε εξίσωση του συστήματος σαν μια ευθεία και άρα η λύση του συστήματος προκύπτει από την σχετική θέση των δυο ευθειών.
![Page 7: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/7.jpg)
Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο;
x
y΄
y
x΄
Μπορούν
να τέμνονται
ΘΥΜΑΜΑΙ…
![Page 8: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/8.jpg)
Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο;
x
y΄
y
x΄
Μπορούν να είναι
παράλληλες
![Page 9: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/9.jpg)
Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο;
x
y΄
y
x΄
Μπορούν
να ταυτίζονται
![Page 10: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/10.jpg)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Ας το δούμε και αλλιώς….
Ανοίξτε το αρχειο συστημα ευθειων.ggb
x
y
x΄
y΄
![Page 11: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/11.jpg)
Σε ένα σύστημα τι έχουμε;
Οι ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο.
Μοναδική λύση του συστήματος το
σημείο τομής των ευθειών
x
y΄
y
x΄ x
y
y
x
Οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό
σημείο.
Το σύστημα δεν έχει καμμία λύση
Είναι αδύνατο
x
y
y
x
Έχουν άπειρα κοινά σημεία
Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
Είναι αόριστο
![Page 12: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/12.jpg)
Πως γίνεται στο χαρτί….
1.Κατασκευάζουμε τους πίνακες τιμών
2. Τοποθετούμε τα σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο
3. Βρίσκουμε τις ευθείες και
4. Υπολογίζουμε το σημείο τομής.
x
y
x΄
y΄
1,3
![Page 13: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/13.jpg)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2
Εφαρμογή…
Να λύσετε στο φύλλο εργασίας το σύστημα:
χ + 2ψ = 5
2χ - ψ = 3
![Page 14: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/14.jpg)
Πως γίνεται με το geogebra….
Ας δούμε την γραφική επίλυση του συστήματος χ + 2ψ = 5
2χ - ψ = 3 Ανοίξτε το αρχείο: συστημα ευθειων.ggb
και ρυθμίστε κατάλληλα τους συντελεστές ώστε να λύσετε το σύστημα.
![Page 15: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/15.jpg)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3
α) Δίνεται το σύστημα:
χ – ψ = 1
2χ – ψ = 5 και τα σημεία (3 , 1), (2 ,4), (3 ,2) , (4,3)
Ποια από τα παραπάνω σημεία επαληθεύουν τις εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε2 και ποια δεν τις επαληθεύουν.
Ποια είναι η λύση του συστήματος;
(Συμπληρώστε τις απαντήσεις σας στο φύλλο εργασίας)
![Page 16: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/16.jpg)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 (συνέχεια)
β) Άνοιξε το αρχείο: συστημα ευθειων.ggb
και ρυθμίστε τους μεταβολεις στις τιμές:
α1=1 , β1=-1, γ1=1 και α2=2, β2=-1, γ2=5
Ποια είναι η λύση του συστήματος που πρόεκυψε;
![Page 17: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/17.jpg)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4α) Με την βοήθεια του λογισμικού κατασκευάστε
το σύστημα: χ-3ψ = -2 2χ+5ψ=7 Τότε η λύση του είναι (….. , ……)
β) Ομοίως να κατασκευάστε και να λύσετε τα συστήματα:
ι) -3χ+ψ = 1 ιι) 2χ-ψ = 3 6χ-2ψ = 0 -4χ+ψ = -6Ποια είναι τα συμπεράσματα σας από την
διαδικασία που ακολουθήσατε
![Page 18: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/18.jpg)
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 (συνέχεια)
γ) Κατασκευάστε συστήματα στα οποία
γ1 = 0 και γ2 = 0 ενώ στους άλλους συντελεστές δώστε όποιες τιμές θέλετε. (ομογενές σύστημα)
Ποιες παρατηρήσεις έχετε να κάνετε για την λύση του συστήματος?
![Page 19: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/19.jpg)
Ομογενές Σύστημα
Ομογενές λέγεται το σύστημα όταν οι σταθεροί όροι είναι ίσοι με το 0.
Τότε το σύστημα έχει: Μοναδική λύση το Ο(0,0) ή Άπειρες λύσεις
Δεν μπορεί να είναι αδύνατο
Παράδειγμα ομογενούς 2x2:
3x + 5y = 0– 4 x + 2y =0
![Page 20: γραφικη επιλυση συστηματοσ](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022032620/55c82774bb61ebca378b45c3/html5/thumbnails/20.jpg)
Στο επόμενο μάθημα θα γνωρίσουμε την αλγεβρική λύση…
ΤΕΛΟΣ