Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη ...

ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΗΤΑΛΑΣ • ΘΑΝΑΣΗΣ ΔΡΟΥΓΑΣ • ΞΕΝΟΦΩΝ ΓΕΡΜΑΝΟΣ ΣΠΥΡΟΣ ΠΑΤΣΗΣ • ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΧΑΔΟΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΑΥΡΙΔΗ

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τις υπογραφές των συγγραφέων

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α΄ Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γιάννης Μήταλας 6932-719048 [email protected] Θανάσης Δρούγας 6972-058936 [email protected] Ξενοφών Γερμανός 6974-436849 [email protected] Σπύρος Πάτσης 6944-053937 Spιrοspαtsι[email protected] Χρυσοβαλάντης Χάδος 6973-003425 [email protected]

Πτυχιούχοι του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αιγαίου ISBN: 978-618-81496-4-9 © Copyright: EKΔΟΣΕΙΣ ΜΑΥΡΙΔΗ

Ε Κ ΔΟ Σ Ε Ι Σ ΜΑ Υ Ρ Ι Δ Η

2310-810.715

[email protected]

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ;

1.2. Έννοια της πιθανότητας ..................................................................................... 5

2.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ......................................................................... 21

2.2. Διάταξη πραγματικών αριθμών .......................................................................... 23

2.3. Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών. ................................................................ 31

2.4. Ρίζες πραγματικών αριθμών ............................................................................... 38

3.1. Εξισώσεις πρώτου βαθμού ................................................................................. 46

3.3. Εξισώσεις δεύτερου βαθμού .............................................................................. 51

4.1. Ανισώσεις πρώτου βαθμού ................................................................................ 97

4.2. Ανισώσεις δεύτερου βαθμού .............................................................................. 122

5.2. Αριθμητική πρόοδος .......................................................................................... 164

5.3. Γεωμετρική πρόοδος .......................................................................................... 188

6.1. Η έννοια της συνάρτησης ................................................................................... 201

6.2. Γραφική παράσταση συνάρτησης ...................................................................... 226

6.3. Η συνάρτηση f x αx β .............................................................................. 248

Πίνακας αντιστοίχισης ασκήσεων Τράπεζας Θεμάτων με τις ασκήσεις του βιβλίου ....................................................................................... 269

1.2. Η έννοια της πιθανότητας 5

1.2. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Άσκηση 1 2ο Θέμα - 497

Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δύο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και 2 γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόματά τους.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Μονάδες 10

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α: Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης. Β: Να διαγωνίστηκε η Ζωή. Γ: Να μη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο Δημήτρης. Μονάδες 15

Λύση

α) Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος κατα-σκευάζουμε το διπλανό δενδροδιάγραμμα.

Συνεπώς, ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι

Ω ΔΕ,ΔΖ,ΚΕ,ΚΖ,ΜΕ,ΜΖ .

β) Για τα δοθέντα ενδεχόμενα έχουμε

Α ΚΕ,ΚΖ,ΜΕ,ΜΖ με Ν(Α) 4 2

Ρ(Α)Ν(Ω) 6 3

Β ΔΖ,ΚΖ,ΜΖ με Ν(Β) 3 1

Ρ(Β)Ν(Ω) 6 2

και Γ ΜΕ,ΜΖ με Ν(Γ) 2 1

Ρ(Γ)Ν(Ω) 6 3

.

ΕΔ

Ζ

ΕΚ

Ζ

ΕΜ

Ζ

6 Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α΄ Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων


Ένα λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 200 είναι μαθητές της Α΄

τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής

της Γ΄ τάξης είναι 20%. Να βρείτε:

α) Το πλήθος των μαθητών της Γ΄ τάξης Μονάδες 10

β) Το πλήθος των μαθητών της Β΄ τάξης Μονάδες 5

γ) Την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι της Β΄ τάξης. Μονάδες 10

Λύση

α) Έστω Ω το σύνολο των μαθητών του Λυκείου και Α, Β, Γ τα σύνολα των μαθη-τών της Α΄, Β΄, Γ΄ τάξης αντίστοιχα. Έχουμε

Ν Γ Ν Γ20 1 1Ρ Γ

100 Ν Ω 5 400 5

1Ν Γ 400 Ν Γ 80.

5

Δηλαδή, το πλήθος των μαθητών της Γ΄ τάξης είναι 80.

β) Το Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 200 είναι της Α΄ τάξης και οι 80 είναι της Γ΄ τάξης. Επομένως, το πλήθος των μαθητών της Β΄ τάξης είναι

Ν Β Ν Ω Ν Α Ν Γ

400 200 80 120.

γ) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

Ν Β 120 3Ρ Β .

Ν Ω 400 10



Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 25% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 30% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 15% των μαθητών συμ-μετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα:

Α: «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» και

Β: «ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου»,

α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i) ii) iii) B A iv)

Μονάδες 12

β) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων

i) ο μαθητής που επιλέχθηκε συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαί-ρου.

ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. Μονάδες 13

Λύση

α) i) : «Ο μαθητής συμμετέχει σε μία τουλάχιστον από τις δυο ομάδες»

ii) : «Ο μαθητής συμμετέχει και στις δυο ομάδες»

iii) : «Ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και δε συμμετέχει στη θεατρική ομάδα»

iv) : «Ο μαθητής δεν συμμετέχει στη θεατρική ομάδα»

β) Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε

P(A) 25% 0,25 P(B) 30% 0,3 και P 15% 0,15 .

Συνεπώς για τα ζητούμενα έχουμε

i) P B A P(B) P B A 0,3 0,15 0,15 15%

ii) P A B 1 P A B 1 P A P B P A B

1 0,25 0,3 0,15 1 0,4 0,6 60%



Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ Κ: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΚΟΚΚΙΝΗ Π: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ.

α) Χρησιμοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδεχόμενα:

i) Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη, ii) Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη.

Μονάδες 13

β) Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχό-μενα του ερωτήματος (α).

Μονάδες 12

Λύση α) i) A ii) Κ Π .

β) Έχουμε

N(A) 5 1 6 1 5P A 1 P A 1 1 1

N(Ω) 30 6 6 6 6

και Ν(Κ Π) 16 8

P(Κ Π)Ν(Ω) 30 15

.


Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες

3 5 1P Α , P Α Β και P Β

4 8 4

α) Να υπολογίσετε την P A B . Μονάδες 9

β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο: «Α ή Β».

Μονάδες 7

ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παραπάνω ενδεχομένου.

Μονάδες 9


Λύση

α) Έχουμε

5 3 1P A B P A P A B P A B P A B

8 4 8 .

β) i) Το ενδεχόμενο «Α ή Β» πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α,B .

Συμβολίζεται με Α B και με διάγραμμα Venn παριστάνεται στο διπλανό σχήμα.

ii) Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε

3 1 1 7P A B P A P B P A B P A B

4 4 8 8 .


Δίνεται ο πίνακας:

1 2 3

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω πίνακα.

Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων.

Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος Μονάδες 7

Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιος του 3 Μονάδες 9

Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιος του 3 Μονάδες 9

Λύση

Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από εννέα αριθμούς και είναι ο

Ω 11,12,13,21,22,23,31,32,33 .

A B

Ω


Οι διψήφιοι άρτιοι αριθμοί του Ω είναι οι 12,22 και 32 . Επομένως,

A 12,22,32 και

N A 3 1P A

N Ω 9 3 .

Από τα στοιχεία του συνόλου Α μόνο ο 12 διαιρείται με το 3. Άρα, B 12 και

N B 1P B

N Ω 9 .

Οι αριθμοί του Ω που είναι πολλαπλάσια του 3 είναι οι 12,21,33 ενώ οι άρτιοι

είναι οι 12,22,32 . Επομένως, Γ 12,21,22,32,33 και

Ν Γ 5P Γ

Ν Ω 9 .

( Άσκηση 7 2ο Θέμα - 1506

Δίνεται το σύνολο Ω 1,2,3,4,5,6 και τα υποσύνολά του

Α 1,2,4,5 και Β 2,4,6 .

α) Nα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn, με βασικό σύνολο το Ω, τα σύνολα Α και Β.

Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β , Α Β , Α και Β . Μονάδες 13

β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A. Μονάδες 4 ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα A και Β. Μονάδες 4 iii) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα A, B.

Μονάδες 4

Λύση α) Έχουμε

Α Β 1,2,4,5,6

Α Β 2,4

Α΄ 3,6

και Β΄ 1,3,5

ΒΑ

Ω

1 2

3

45 6


β) i) Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι

Ν Α 2 1P Α

Ν Ω 6 3

.

ii) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β είναι

Ν Α Β 2 1P Α Β

Ν Ω 6 3

.

iii) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι

Ν Α Β 5P Α Β

Ν Ω 6

.


Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% μαθαίνει πιάνο, το 40% μαθαίνει κιθάρα, ενώ το 10% των σπουδαστών μαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα. Επιλέγουμε τυχαία ένα σπουδαστή του Ωδείου.

Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει πιάνο Β: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει κιθάρα Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου: α) Ο σπουδαστής αυτός να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω

όργανα. Μονάδες 12

β) Ο σπουδαστής αυτός να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα.

Μονάδες 13

Λύση

α) Από τα δεδομένα έχουμε

P A 50%, P B 40% και P A B 10%

Oπότε, με βάση τον προσθετικό νόμο έχουμε

P A B P A P B P A B 50% 40% 10% 80%

β) Το ενδεχόμενο ο σπουδαστής να μη μαθαίνει κανένα από τα όργανα είναι το

A B και ισχύει

P A B 1 P A B 1 80% 20%.



Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το 20% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α : ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο Μ: ο κάτοικος να έχει μηχανάκι. α) Nα εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i) Α Μ ii) Μ Α iii) M΄ Μονάδες 9

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε: i) Να μην έχει μηχανάκι.

Μονάδες 7

ii) Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. Μονάδες 9

Λύση

Έχουμε

70 40P Α 0,7 P Μ 0,4

100 100

και

20P Α Μ 0,2

100 .

α) i) Α Μ : «Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α, Μ»

ii) M A : «Πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Μ»

iii) M : «Δεν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Μ»

β) i) Είναι

P Μ 1 P Μ 1 0,4 0,6 .

ii) Είναι

P Α Μ 1 P Α Μ

και

P Α M P Α P Μ P Α Μ 0,7 0,4 0,2 0,9 .

Άρα

P Α Μ 1 0,9 0,1 .



Από τους 180 μαθητές ενός λυκείου, 20 μαθητές συμμετέχουν στη θεατρική

ομάδα, 30 μαθητές συμμετέχουν στην ομάδα στίβου, ενώ 10 μαθητές συμμε-

τέχουν και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή του λυκείου.

Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα

Β: ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου

α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i) Α Β ii) Β Α iii) A΄ Μονάδες 9

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε:

i) Nα μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. Μονάδες 9

ii) Nα συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου. Μονάδες 7

Λύση

α) i) A B : «Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α,Β»

ii) B A : «Πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Β»

iii) A : «Δεν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α»

β) i) Έχουμε

P Α Β 1 P Α Β

και

20 30 10 40 2P Α Β P Α P Β P Α Β

180 180 180 180 9 .

Άρα,

2 7P Α Μ 1

9 9

.

ii) Έχουμε

30 10 20 1P B A P B P A B

180 180 180 9 .



Σε ένα τμήμα της Α΄ Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρα-κολουθεί Γαλλικά είναι 0.8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δυο γλώσσες είναι 0.9.

α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των

δυο γλωσσών; Μονάδες 9

ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δυο γλώσσες;

Μονάδες 9

β) Αν 14 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος;

Μονάδες 7

Λύση

α) i) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α: «ο μαθητής παρακολουθεί Αγγλικά»

Γ: «ο μαθητής παρακολουθεί Γαλλικά»

Οπότε, το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι το Γ και το ενδεχόμενο να παρακολουθεί μια τουλάχιστον από τις δυο γλώσσες είναι το Α Γ . Από την υπόθεση ισχύουν

P(Γ ) 0.8 , P(A) 4P(Γ) και P(A Γ) 0.9 .

Έχουμε λοιπόν

P(Γ ) 0.8 1 P(Γ) 0.8 P(Γ) 0.2 και P(A) 4 0.2 0.8

Η πιθανότητα ο μαθητής που επιλέγουμε να παρακολουθεί μαθήματα και των δυο γλωσσών είναι P(A Γ) . Από τον προσθετικό νόμο των πιθανο-

τήτων έχουμε

P(A Γ) P(A) P(Γ) P(A Γ) 0.9 0.2 0.8 P(A Γ)

P(A Γ) 0.1.

ii) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να παρακολουθεί μόνο μια από τις δυο γλώσσες είναι (Α Γ) (Γ Α) . Τα ενδεχόμενα Α Γ και Γ Α είναι ασυμβίβα-

στα. Άρα, με βάση τον απλό προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε


P (Α Γ) (Γ Α) P(Α Γ) P(Γ Α)

P(Α) P(Γ Α) P(Γ) P(Γ Α)

P(Α) P(Γ) 2P(Γ Α)

0.8 0.2 2 0.1 0.8.

β) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να παρακολουθεί μόνο Αγγλικά είναι το Α Γ και ισχύει N(Α Γ) 14 . Έχουμε

N(A Γ) N(A Γ)P(Α Γ) P(Α) P(Α Γ)

Ν(Ω) Ν(Ω)

140.8 0.1 Ν(Ω) 20.

Ν(Ω)


Η εξέταση σε ένα διαγωνισμό μαθηματικών περιλάμβανε δυο θέματα τα οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δυο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δυο θέματα. Στο διαγωνισμό εξετάστηκαν 100 μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60 μαθητές. Στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και τα δυο θέματα απάντησαν σωστά 30 μαθητές. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα.

Μονάδες 13

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) Να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα. ii) Να βαθμολογηθεί με άριστα. iii) Να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα. iv) Να πέρασε την εξέταση.

Μονάδες 12

Λύση

α) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα

Α: «ο μαθητής απάντησε σωστά στο πρώτο θέμα»

Β: «ο μαθητής απάντησε σωστά στο δεύτερο θέμα»

Οπότε,

: «ο μαθητής απάντησε σωστά και στα δυο θέματα».

Α Β

Ω

A B


β) i) N(A) 60

P(A)N(Ω) 100

, N(Β) 50

P(Β)N(Ω) 100

, N(A Β) 30

P(A Β)N(Ω) 100

.

Η πιθανότητα ο μαθητής να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα είναι 50 30 20

P(Β Α) P(Β) P(Β Α)100 100 100

ii) Ο μαθητής θα βαθμολογηθεί με άριστα όταν απαντήσει σωστά και στα δυο θέματα. Δηλαδή, η ζητούμενη πιθανότητα είναι

30P(A Β)

100 .

iii) Η πιθανότητα ο μαθητής να μην απάντησε σωστά σε κανένα ερώτημα είναι

P (Α Β) 1 P(Α Β) 1 P(A) P(B) P(Α Β)

60 50 30 201

100 100 100 100

iv) Η πιθανότητα ο μαθητής να πέρασε την εξέταση, δηλαδή να απάντησε σωστά σε ένα τουλάχιστον από τα δυο θέματα είναι

60 50 30 80

P(Α Β) P(A) P(B) P(Α Β)100 100 100 100

.


Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 13 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και 2 από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από αυτά τα άτομα.

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχτηκε:

i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. Μονάδες 6

ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. Μονάδες 6

β) Να υπολογίσετε τη πιθανότητα το άτομο που επιλέχτηκε να είναι γυναί-κα και να παίζει σκάκι.

Μονάδες 13

Λύση

α) i) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα

Α: «το άτομο είναι άντρας»

Β: «το άτομο παίζει σκάκι»


Οπότε,

: «το άτομο είναι άντρας ή παίζει σκάκι»

ii) Έχουμε

: «το άτομο δεν είναι άντρας

και παίζει σκάκι».

Είναι .

β) Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου

A Β Β Α.

Έχουμε

P(A Β) P(Β Α) P(Β) P(Β Α)

N B Ν Β Α 4 2 4 6 4 2 1.

N Ω Ν Ω 7 13 7 13 20 20 20 10


Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν με ένα αυτοκίνητο και μετά από την κατάθεση διαφόρων μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της πινακίδας του αυτοκίνητου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το 2. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο του 4 ή 7.

α) Με χρήση δενδρογράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών αριθμών της πινακίδας του αυτοκίνητου.

Μονάδες 13 β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 7. Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 6 ή 8. Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9. Μονάδες 12

Λύση α)

A

Ω

B

A

Ω

B

2ος αριθμός 1ος αριθμός 3ος αριθμός 4ος αριθμός

4

7

4

7

4

7

2

2

2

2

2

2

2

6

8

9


Οπότε, το ζητούμενο σύνολο είναι

Ω 2642,2672,2842,2872,2942,2972.

β) Έχουμε

Α 2672,2872,2972 και N(A) 3 1

P(Α)N(Ω) 6 2

Β 2642,2672,2842,2872 και N(Β) 4 2

P(Β)N(Ω) 6 3

Γ 2642,2672 και N(Γ) 2 1

P(Γ)N(Ω) 6 3

.


Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός λυκείου της χώρας προέκυψε ότι το 80% των μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι στο σπίτι το πρωί. Επιλέγουμε έναν μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: ο μαθητής πίνει γάλα

Β: ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι

Αν από το σύνολο των μαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι

α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα:

i) ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι

ii) ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι.

iii) ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα. Μονάδες 12

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του (α) ερωτήματος.

Μονάδες 13

Λύση

α) Τα ζητούμενα ενδεχόμενα είναι:

i) (A B) ii) A B iii) A B .


β) Οι πιθανότητες των ενδεχομένων του προηγουμένου ερωτήματος είναι:

• 80 20P (A B) 1 P(A B) 1

100 100

• P(A B) P(A) P(B) P(A B)

P(A B)60 45 80 25

P(A) P(B) P(A B)100 100 100 100

• 60 25 35

P(A B) P(A) P(A B)100 100 100

.


Μια ημέρα στο τμήμα 1A ενός λυκείου, το 1

4 των μαθητών δεν έχει

διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το 1

3 των μαθητών έχει

διαβάσει και τα δυο αυτά μαθήματα. Η καθηγήτρια των μαθηματικών επιλεγεί τυχαία ένα μαθητή για να τον εξετάσει. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:

Α: Ο μαθητής έχει διαβάσει Άλγεβρα

Γ: Ο μαθητής έχει διαβάσει Γεωμετρία

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος.

Μονάδες 9

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:

i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δυο μαθήματα

ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα.

Μονάδες 8

γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί μαθητές έχουν διαβάσει γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής:

i) να έχει διαβάσει γεωμετρία.

ii) να έχει διαβάσει άλγεβρα.

Μονάδες 8



A Γ : «Ο μαθητής έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δυο μαθήματα»

Οπότε

A Γ : «Ο μαθητής δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία»

Επίσης,

A Γ : «Ο μαθητής έχει διαβάσει και τα δυο αυτά μαθήματα»

β) i) Έχουμε

1 1 3P A Γ 1 P A Γ P A Γ

4 4 4

ii) Έχουμε

A Γ Γ A : «Ο μαθητής έχει διαβάσει μόνο ένα από τα δυο μαθήματα»

Τα ενδεχόμενα Α Γ και Γ Α είναι ασυμβίβα-

στα. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι

P A Γ Γ A P A Γ P Γ A

P A P A Γ P Γ P Γ A

P A P Γ P A Γ P Γ A

3 1 5P Α Γ P Α Γ .

4 3 12

γ) i) Η πιθανότητα ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία είναι 1P Γ

2 .

ii) Έχουμε

3 1 1 7P Γ A P Γ P A P Γ A P A P A

4 2 3 12 .

Α Γ

Ω

A Γ

A

Ω

Γ

Α Γ

Α Γ

Ω

A Γ Γ Α

2.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους 21

2.1. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ


Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β 0 και δ γ ώστε να

ισχύουν:

α β

4β

και

γ 1

δ γ 4

.

α) Να αποδείξετε ότι α 3β και δ 5γ . Μονάδες 10

β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης

αγ βγ

Πβδ βγ

Μονάδες 15

Λύση

α) Από τις δοθείσες σχέσεις έχουμε

α β

4 α β 4β α 3ββ

και

γ 14γ δ γ δ 5γ

δ γ 4

.

β) Έχουμε

γ α β γ 3β βαγ βγ 4βγΠ 1

βδ βγ β δ γ β 5γ γ 4βγ

α)

.


Έστω x,y πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει

4x 5y2

x 4y

.

α) Να αποδείξετε ότι y 2x . Μονάδες 12

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2 22x 3y xy

Axy

Μονάδες 13


Λύση

α) Έχουμε

4x 5y2

x 4y

.

Οπότε,

4x 5y 2 x 4y 4x 5y 2x 8y

8y 5y 4x 2x 3y 6x y 2x.

β) Αξιοποιώντας τη σχέση y 2x που αποδείξαμε στο ερώτημα α) έχουμε

222 2 2 2 2 2

2 2

2x 3 2x x 2x2x 3y xy 2x 12x 2x 16xA 8

xy x 2x 2x 2x

.


Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, με α ≠ β για τους οποίους ισχύει:

2

2

α 1 α

ββ 1

α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι. Μονάδες 13

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 822 3

2 25

α βΚ

α (αβ)

Μονάδες 12


2

2

α 1 α

ββ 1

2 2α 1 β β 1 α 2 2α β β β α α

2 2α β β β α α 0 αβ α β α β 0 α β αβ 1 0 .

Και επειδή ισχύει α β α β 0 , συμπεραίνουμε ότι αβ 1 0 αβ 1 .

Δηλαδή, οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι.

β)

822 3 22 3 8 22 24 22 241 1

25 2 25 25 2 25 25 23 252

α β α β α β α β 1 1Κ α β

α βα α β α β α βα αβ

11,

αβ

αφού από το ερώτημα α) βρήκαμε ότι αβ 1 .

Άλγεβρα Α λυκείου τράπεζα θεμάτων ,εκδόσεις μαυρίδη ...

Education