ابدأ من هنا للمبتدئين بالقدرات من منتديات يزيد...

J[

قسم القدرات العامة–إبدأ من هنا مع منتديات يزيد التعليمية

www.yzeeed.com/vb التعليميةيف منتديات يزيد القدرات ورئيسة متديات قياسإعداد ملكة sweet١٠٠

وتنسيق وتجميعإعداد Sweet١٠٠٠

منتديات قياس في رئيسة يزيد التعليمية منتديات

vb/com.yzeeed.www

-عمل حصري -

J[



)..(تناسب طردي )..(

في كثير من المواقف الحياتية تالحظ أن هناك عالقة بين

في زيادة في إحدى الكميتين يتبعها الزيادةكميتين وتالحظ أيضاً أن في إحدى الكميتين النقصانالكمية األخرى بالنسبة نفسها ، أو

. في الكمية األخرى بالنسبة نفسها نقصانيتبعها -:العالقة هي

-:مثل سرعة السيارة والمسافة المقطوعة في وحدة الزمن سرعة السيارة بنسبة معينة فإن المسافة المقطوعة زادتفإنه إذا

.نسمي التناسب الناتج تناسباً طردياً . بنفس النسبة تزداد

٨١ ريال ، فإذا اشترى أقالماً ودفع ٤٥ أقالم بــ ٥اشترى حمد ) : ١( مثال ل فإن عدد األقالم التي أشتراها ؟ريا

-:الحل أقالم ٥ ريال ٤٥ ريال س أقالم٨١ ) أقالم ٥زاد عدد الرياالت إذاً الزم عدد األقالم أكثر من (

نوع التناسب طردي ٥ × ٨١ = ٤٥× س أقالم ٩= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

٥ × ٨١ ٤٥

بأ

د جـ ب× جـ = د × إذاً أ

J[



قدماً إذا ٣,٧٥ أقدام وطول ظله في لحظة ما ٥طول سعيد ) : ٢( مثال

جد طول ظل . قدماً ٢٠للطيور مبني على ارتفاع كان عند سعيد بيت بيت الطيور في اللحظة التي قاس سعيد طول ظله فيها ؟

-:الحل الطول األصلي طول الظل

قدما٣,٧٥ً أقدام ٥ قدماً س قدما٢٠ً ) نوع التناسب طردي – زاد الطول األصلي زاد طول الظل كلما( ٣,٧٥ × ٢٠= س × ٥

قدما١٥ً= ـــــــــــــــــــــــــــــــ = س

كم تقطع في . ساعة ٢,٥ كم في ٢٠٠ تقطع سيارة مساف ) : ٣( مثال ذا سارت بالسرعة نفسها ؟ ساعات إ٦

-:الحل كم٢٠٠ ساعة ٢,٥ ساعات س كم٦ )نوع التناسب طردي /زاد عدد الساعات أكيد راح نقطع مسافة أطول( ٢٠٠ × ٦= س × ٢,٥ كم٤٨٠= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

كم جهاز باع . ريال ٦٠٠٠از حاسوب بمبلغ جه٢٠يبيع تاجر ) : ٤( مثال

ريال ؟١٠٥٠٠إذا قبض -:الحل جهاز٢٠ ريال ٦٠٠٠ ريال س جهاز١٠٥٠٠

نوع - جهاز ٢٠زاد عدد الرياالت إذاً الزم عدد األجهزة أكثر من ( )تناسب طردي

٣.٧٥ × ٢٠ ٥

٢,٥ ٢٠٠ × ٦

J[



٢٠ × ١٠٥٠٠٠= س × ٦٠٠٠ جهاز ٣٥= ـــــــــــــــــــــــــــــــ ــــ= س

١٥فكم يبلغ ثمن . ريال ١٢ دفاتر يساوي ١٠إذا كان ثمن ) : ٥( مثال

دفتراً من النوع نفسه ؟ -:الحل

ريال١٢ دفاتر ١٠ دفتر س ريال١٥ )لتناسب طردي نوع ا–كلما زاد عدد الدفاتر زاد الثمن ( ١٢ × ١٥= س × ١٠

ريال١٨= ــــــــــــــــــــــــــــــ = س

متراً بجانب عمود كهرباء إذا كان ١,٨يقف رجل طوله ) : ٦( مثال وطول ظل العمود على األرض ١,٢طول ظل الرجل على األرض يساوي

فكم يبلغ ارتفاع العمود ؟. متراً ٩,٦يساوي -:الحل

األصلي طول الظل الطول مترا١,٢ً متر ١,٨

مترا٩,٦ًس متر إذاً

٩,٦ × ١,٨ = ١,٢× س مترا١٤,٤ً= ـــــــــــــــــــــــــــــــ = س

صفحات من كتاب النخبة في ١٠يستطيع سامي قراءة ) : ٧( مثال

٦ دقيقة ففي كم دقيقة سيتمكن من قراءة ١٥الرياضيات خالل صفحات من هذا الكتاب بنفس السرعة ؟

-:الحل

٦٠٠٠ ٢٠ × ١٠٥٠٠

١٠ ١٢ × ١٥

١.٢ ٩.٦ × ١.٨

J[



عدد الصفحات الزمن١٥ ١٠ س٦

إذاً دقائق ٩= ـــــــــــــــــــــــــ ــ= س

فكم تكون . ريال ١٢٠ صناديق تفاح ٥إذا كانت تكلفة ) : ٨( مثال

صناديق من التفاح ؟٧تكلفة -:الحل

ريال١٢٠ صناديق ٥ صناديق س ريال٧

إذاً ريال١٦٨= ــــ ــــــــــــــــــــــــ= تكلفة الصناديق

كتاب في اليوم ١٠٠٠ عامل ١٥في أحد المطابع يطبع ) : ٩( مثال

فكم كتاب يتم طبعه . عامل ١٢الواحد فإذا نقص عدد العمال إلى في اليوم ؟

-:الحل كتاب١٠٠٠ عامل ١٥ عامل س كتاب١٢ إذاً

كتاب٨٠٠= ــــــــــــــــــــ ــــــــــ= س

١٥ × ٦ ١٠

١٢٠ × ٧ ٥

١٠٠٠٠ × ١٢ ١٥

J[



٣فكم رياالً ثمن . ريال ٧٢٠ حقائب ٩إذا كان ثمن ) : ١٠( مثال

حقائب ؟ -:الحل

ريال٧٢٠ حقائب ٩ حقائب س ريال٣

إذاً ريال٢٤٠= ــــــــــــــــــــــــــــــ = س

٧٢٠ × ٣

٩

J[



)..(تناسب العكسي ال)..(

في كثير من المواقف الحياتية تالحظ أن هناك عالقة بين في نقصان في إحدى الكيتين يتبعها الزيادةكميتين وتالحظ أيضاً أن

في إحدى الكميتين النقصانالكمية األخرى بالنسبة نفسها ، أو . في الكمية األخرى بالنسبة نفسها زيادةيتبعها

-: العالقة هي

-:مثل سرعة السيارة والزمن الالزم لقطع مسافة معينة سرعة السيارة بنسبة معينة فإن الزمن الالزم لقطع زادتفإنه إذا

.نسمي التناسب الناتج تناسباً عكسياً . بالنسبة نفسها ينقصالمسافة

كم عامالً يستطيعون . أيام ٣ عامالً مشروعاً خالل ٥٦ينهي ) : ١( مثال اء المشروع في يومين ؟إنه

-:الحل أيام ٣ عامل ٥٦

يوم٢س عامل ) نوع التناسب عكسي –قللت عدد األيام الزم أزود عدد العمال ( إذاً

٣ × ٥٦ = ٢× س عامال٨٤ً= ــــــــــــــــــــــــــ = س

-:معنى النسبة المئوية وتكتب على الصورة ١٠٠تسمى نسبة مئوية ، ألن حدها الثاني ١؛ ٠؛&٠؛ % النسبة

) في المائة ٧٥: وتقرأ % ( ٧٥ ٠,٧٥= ١؛ ٠؛&٠؛ % % = ٧٥إن وعلى ذلك ف

اكتب كالً من النسبة المئوية اآلتية على صوره عدد كسري ؟ ) : ١( مثال

%١٥) أ ( ٢؛ ٠؛ #= ١؛ ٠؛!٠؛ % % = ١٥: الحل

%٢٥) ب ( ٤؛ != ١؛ ٠؛@٠؛ % % = ٢٥: الحل

حول كالً من الكسور العادية اآلتية إلى نسبة مئوية ؟ ) : ٢( مثال ٥؛$ ) أ (

%٨٠= ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الحل

٢؛!٥؛# ) ب (

%٥٢= ــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ :الحل

:حول كالً من الكسور العشرية إلى نسبة مئوية ) : ٣( مثال ٠,٠٣) أ (

% ٣= ١؛ ٠؛ ٠؛# = ــــــ ـــــــــــــــــــــــــــ = ٠,٠٣: الحل ٠,٥٤) ب (

%٥٤= ١؛ ٠؛%٠؛$ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٠,٥٤: الحل

:حول كالً من النسب المئوية إلى كسر عشري ) : ٤( مثال %٤٥) أ (

٠,٤٥= ١؛ ٠؛$٠؛% % = ٤٥: الحل %٦,٥) ب (

٠,٠٦٥= ـــــــــ % = ٦,٥: الحل

١٠٠× ٥؛ $١٠٠

٨٠ ١٠٠

٥٢ ١٠٠ ١٠٠

١٠٠× ٢؛!٥؛#

١٠٠ ١٠٠ × ٠.٠٣

١٠٠ ١٠٠ × ٠.٥٤

٦.٥ ١٠٠

٣ × ٥٦ ٢

ب أ

د جـ د × جـ = ب × إذاً أ

J[



ما عدد . اً لحفر بئر لجمع الماء يوم١٢ عمال ١٠يحتاج ) : ٢( مثال عامالً لحفر البئر نفسه ؟١٥األيام التي يحتاجها

-:الحل يوم١٢ عمال ١٠ عامل س يوم١٥ ) تناسب عكسي –زدنا في عدد العمال إذاً أنقلل في عدد األيام ( إذاً

١٠ × ١٢ = ١٥× س أيام٨= ــــــــــــــــــــــــــ ــ= س

لعلف في مزرعة للدواجن تكفي إذا كانت كمية ا ) : ٣( مثال ٣٠٠٠وإذا زاد عدد الدجاج في المزرعة إلى . يوماً ٦٠دجاجة لمدة ١٠٠٠

دجاجة بعد كم يوم تنفذ كمية العلف الموجودة في المزرعة ؟ -:الحل يوما٦٠ً دجاجة ١٠٠٠ دجاجة س يوما٣٠٠٠ً

) تناسب عكسي –زاد عدد الدجاج تنفذ كمية العلف بوقت أسرع ( إذاً

٦٠ × ١٠٠٠ = ٣٠٠٠× س يوم٢٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــ = س

فكم . ساعة ١٨ صنابير متشابهة بركة ماء في ٤تمأل ) : ٤( مثال

نبوراً نحتاج لملئها في ساعتين ؟ص -:الحل

ساعة ١٨ صنابير ٤ ساعة٢س صنبوراً

) تناسب عكسي -قللنا عدد الساعات إذاً نزود عدد الصنابير (

١٠ × ١٢ ١٥

٦٠ × ١٠٠٠ ٣٠٠٠

J[



إذاً ١٨ × ٤ = ٢× س صنبورا٣٦ً= ـــــــــــــــــــــــــــــــ = س

أحد أيام الجمعة مبلغاً من المال وزع أحد المحسنين في ) : ٥( مثال وفي يوم جمعة . ريال ٣٠فكان نصيب الواحد منهم . محتاجاً ٢٤على

كم نصيب كل منهم ؟. محتاجاً ١٨آخر وزع المبلغ نفسه على -:الحل

ريال٣٠ محتاجاً ٢٤ س ريال محتاج ١٨ ) تناسب عكسي –نصيب المحتاج سيزداد ألن عددهم قل ( إذاً ٣٠ × ٢٤= س × ١٨

ريال٤٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

ما عدد . ساعة ٢٤ عامالً جني محصول معين في ١٨يستطيع ) : ٦( مثال ساعات ؟٨فسه في العمال الذين يستطيعون جني المحصول ن

-:الحل ساعة٢٤ عامل ١٨

ساعات٨س عامل ) تناسب عكسي –قللنا عدد الساعات الزم نزود عدد العمال ( إذاً

٢٤ × ١٨ = ٨× س عامل ٥٤= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

١٨ × ٤ ٢

٣٠ × ٢٤ ١٨

٢٤ × ١٨ ٨

J[



يوم فكم يلزم عدد ٣٠مل سجادة يدوية عمال لع٦أخذ ) : ٧( مثال يوم ؟٢٠من العمال لعمل نفس السجادة في

-:الحل عدد العمال عدد األيام

٣٠ ٦ ٢٠س

)اسب عكسي تن–قللنا عدد األيام إذاً نزود عدد العمال ( إذاً

٣٠ × ٦ = ٢٠× س عمال٩= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

يوم فإذا زاد عدد ٣٥ عامل عمالً محدداً خالل ٤٠ينجز ) : ٨( مثال

فكم عدد األيام التي يمكن إنهاء العمل نفسه ١٠العمال بمقدار فيها ؟ -:الحل

يوم٣٥ عامل ٤٠ عامل س يوم٥٠ ) تناسب عكسي -زاد عدد العمال يقل عدد األيام ( إذاً ٣٥ × ٤٠= س × ٥٠

يوم٢٨= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

٣٠ × ٦ ٢٠

٣٥ × ٤٠ ٥٠

J[



ساعة ، عندما ٤٥قطع قطار مسافة بين مدينتين في ) : ٩( مثال فكم يجب أن يكون سرعة . لساعة كم في ا١٠٠كانت سرعته

؟ ساعة٣٠خر ليقطع المسافة نفسها في قطار آ -:الحل

تناسب –كلما زادت السرعة قل الزمن وكلما قلت السرعة زاد الزمن ( )عكسي

إذاً كم١٠٠ ساعة ٤٥ ساعة س كم ٣٠ إذاً

ساعة / كم ١٥٠= ـــــــــــــــــــــــــــ ــــــ= س

مشاركاً خزان الماء في ٥٠ في معسكر صيفي يستهلك ) :١٠( مثال آخرين فكم يوماً سيدوم هذا ١٠ يوماً ، فإذا زاد عدد المشاركين ١٢

الخزان ؟ -:الحل

يوما١٢ً مشاركاً ٥٠ س يوم مشاركاً ٦٠ نوع –إذا زاد عدد المشاركين ستقل أيام استهالك الماء في الخزان (

)التناسب عكسي س × ٦٠ = ١٢ × ٥٠

أيام١٠= ــــــــــــــــــــــــــــــ = س

١٠٠ × ٤٥ ٣٠

١٢ × ٥٠ ٦٠

J[



)..(عدد المستطيالت )..(

عدد المستطيالت الناشئة من تقسيم مستطيل إلى مستطيالت صغيرة يعطى -:بالقانون التالي

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= عدد المستطيالت

:حيث

م عدد الصفوف ، ن عدد األعمدة

-:كم عدد المستطيالت في الشكل اآلتي ) : ١( مثال

-: ) ١( الحل ٣= عدد الصفوف = م ٦= عدد األعمدة = ن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الت عدد المستطي

١٢٦= ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = عدد المستطيالت

- ) :٢( الحل

)١+ ن ( ن × ) ١+ م ( م ٤

)١+ ن ( ن × ) ١+ م ( م ٤

١ + ٦ ( ٦× ) ١ + ٣ ( ٣( ٤

٧ × ٦ × ٤ × ٣ ٤

J[



-:كم عدد المستطيالت في الشكل األتي ) : ٢( مثال

- ) :١( الحل ٢= م = عدد الصفوف ٤= ن = عدد األعمدة

٣٠= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= عدد المستطيالت

- ) :٢( الحل

-:كم عدد المستطيالت في الشكل األتي ) : ٣( مثال

- ) :١( الحل ٢= لصفوف عدد ا= م ٣= عدد األعمدة = ن

١٨= ـــــــــــــــــــــــــــــــ = عدد المستطيالت

- ) :٢( الحل

)..(عدد المربعات )..(

-:قاعدة

-:عدد المربعات الناشئة من تقسيم مربع طول ضلعه ن يعطى بالقانون التالي

١ + ٤ ( ٤× ) ١ + ٢ ( ٢( ٤

٥ × ٤ × ٣ × ٢ ٤

٤ × ٣ × ٣ × ٢ ٤

ن

J[



، ن... ، ٣ ، ٢ ، ١= حيث ر ٢ر ج

-:كم عدد المربعات في الشكل اآلتي ) : ١( مثال -:الحل

٢)١ + (٢)٢ + (٢)٣= (عدد المربعات ١ + ٤ + ٩= عدد المربعات مربع١٤= عدد المربعات

-:كم عدد المربعات في الشكل اآلتي ) : ٢( مثال -:الحل

٢)١ + (٢)٢ + (٢)٣ + (٢)٤= (عدد المربعات ١ + ٤ + ٩ + ١٦= عدد المربعات مربع٣٠= عدد المربعات

-:كم عدد المربعات في الشكل اآلتي ) : ٣( مثال -:الحل

٢)١ + (٢)٢ + (٢)٣ + (٢)٤ + (٢)٥= (عدد المربعات ١ + ٤ + ٩ + ١٦ + ٢٥= عدد المربعات مربع٥٥= عدد المربعات

)..(أفكار إضافية )..(

-:ت في الشكل األتي كم عدد المربعا ) : ٤( مثال

١=ر

J[



-:الحل أكمل الشكل هكذا

وأحسب عدد المربعات ، هكذا ٣٠ = ٢)١ + (٢)٢ + (٢)٣ + (٢)٤= (عدد المربعات

هكذا٤ منه )أطرح ( سحب ثم أ

إذاً مربع ٢٦ = ٤ – ٣٠= عدد المربعات

-:كم عدد المربعات في الشكل اآلتي ) : ٥( مثال

-:الحل

J[



أكمل الشكل هكذا

وأحسب عدد المربعات هكذا مربع١٤ = ٢)١ + (٢)٢ + (٢)٣= (عدد المربعات

هكذا ٢منه ) أطرح ( ثم أسحب ٣منه ) أطرح ( ثم أسحب

إذاً مربعات ٩ = ٢ – ٣ – ١٤= عدد المربعات

بعات متماثلة ، فكم عدد المستطيالت مر٩كون من المربع أدناه يت ) : ٦( مثال التي يمكن تشكيلها داخله ؟) غير مربعات ( المختلفة

J[



-:الحل ٣٦ = ـــــــــــــــــــــــــــــ =ـ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ) = والمربعات (عدد المستطيالت

١٤ = ٢)١( + ٢)٢ + (٢)٣= (عدد المربعات

إذاً مستطيل ٢٢ = ١٤ – ٣٦) = غير المربعات (عدد المستطيالت

)..(عدد المثلثات )..( -:إذا كان ن عدد زوجي فإن عدد المثلثات

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نجـ

-:إذا كان ن عدد فردي فإن عدد المثلثات

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نجـ

-:بشكل عام مهما تكون قيمة ن زوجية أم فردية فإن عدد المثلثات

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نجـ

ما هو عدد المثلثات في هذا المثلث المتطابق األضالع ؟ ) : ١( مثال -:الحل

عدد فردي إذا٣ً= ن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نجـ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٣جـ

مثلث١٣= ـــــــــــــ = ٣جـ

٤ × ٣ × ٤ × ٣ ) ١ + ٣ ( ٣× ) ١ + ٣( × ٣ ٤ ٤

ن٢ + ٢ ن٥ + ٣ ن٢٨

١ + ن٢ + ٢ ن٥ + ٣ ن٢٨

ن ) ١ - + ( ١ – ن٤ + ٢ ن١٠ + ٣ ن٤١٦

١ - ن٢ + ٢ ن٥ + ٣ ن٢٨

٨ ١ -) ٣( ٢ + ٢)٣( ٥ + ٣)٣( ٢

٨ ١٠٤

J[



بق األضالع ؟ما هو عدد المثلثات في هذا المثلث المتطا ) : ٢( مثال -:الحل

عدد زوجي إذا٤ً= ن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٤جـ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٤جـ

مثلث ٢٧= ـــــــــــ = ٤جـ

األضالع ؟ما هو عدد المثلثات في هذا المثلث المتطابق ) : ٣( مثال -: ) ١( الحل

عدد فردي إذا٥ً= ن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نجـ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٥جـ

مثلث٤٨= ـــــــــــــــ = ٥ جـ

- ) :٢( الحل

ن٢ + ٢ ن٥ + ٣ ن٢٨

٤( ٢ + ٢)٤( ٥ + ٣)٤( ٢( ٨

٢١٦ ٨

ن ) ١ - + ( ١ – ن٤ + ٢ن ١٠ + ٣ ن٤١٦

١٦ ٥ ) ١ - + ( ١ –) ٥( ٤ + ٢)٥( ١٠ + ٣)٥( ٤

١٦ ٧٦٨

١ - ن٢ + ٢ ن٥ + ٣ ن٢

J[



ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٥جـ

مثلث ٤٨= ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٥جـ

)..(الكسور واألعداد العشرية )..(

-:تبسيط الكسور ) ١( لتبسيط الكسر ألبسط صورة قم بتحليل ثم حذف العوامل المشتركة للبسط

.والمقام بسط ـــــــــ ألبسط صورة : مثال -:الحل ـــــــــــ= ـــــــــــــــــــ = ـــــــــ

-:جمع وطرح الكسور ) ٢(

ام المشترك ثم قم بجمع أو طرح لجمع أو طرح الكسور قم أوالً بإيجاد المق .البسط

ــــــــــ+ أوجد ناتج ـــــــــ : مثال -:الحل ــــــــــ= ـــــــــ + ـــــــــ = ــــــــ + ــــــــ

-:ضرب الكسور ) ٣(

لضرب الكسور نضرب البسط مع البسط و المقام مع المقام ـــــــــ× ـ أوجد ناتج ــــــــ: مثال -:الحل ــــــــــ= ـــــــــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــ

-:قسمة الكسور ) ٤(

لقسمة الكسور نحول القسمة إلى ضرب وذلك بقلب الكسر الثاني ثم ضرب .الكسرين

ــــــــــ÷ جد ناتج ــــــــــ أو: مثال -:الحل ـــــــــــ= ـــــــــ × ــــــــــ = ـــــــ ــ÷ ـــــــــ

٨

٨ ١ -) ٥( ٢ + ٢)٥( ٥ + ٣)٥( ٢

٨ ٣٨٤

٢٨ ٣٦

٢٨ ٩ × ٤ ٣٦

٧ ٧ × ٤ ٩

١٠ ١٥ ٣ ٢

١٥ ٢

١٠ ٣

٣٠ ٣٠ ٣٠ ١٣ ٩ ٤

٥ ٣ ٨ ٤

٣ ٤

٥ ٨

٥ ×٣ ٨ × ٤

١٥ ٣٢

٣ ٤

٥ ٨

٣ ٤

٥ ٨

٣ ٥ ٤

٢٤ ٨ ٢٠

J[



-:تحويل األعداد الكسرية إلى كسور و العكس ) ٥( لتحويل العدد الكسري إلى كسر

نضرب العدد الكلي بالمقام ثم نضيفه إلى البسط و الناتج سيكون بسط جديد .مع نفس المقام

إلى كسر٧حول العدد الكسري ـــــــ : مثال -:الحل

ــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــ = ٧ـــــــ

لتحويل الكسر إلى عدد كسرينقسم البسط على المقام وناتج خارج القسمة هو العدد الكلي وباقي القسمة

.يكون البسط الجديد مع نفس المقام حول الكسر ـــــــــــــ إلى عدد كسري: مثال -:الحل

٢١ـــــــــ = ــــــــــــ ــ

، فما العدد ؟٤٨من عدد ما يساوي % ٤إذا كان ) : ١( مثال -:الحل

س= نفرض العدد إذاً ٤٨= س × % ٤

٤٨= س × ــــــــ ١٠٠بضرب المعادلة في

١٠٠ × ٤٨= س ٤ ٤بالقسمة على

١٢٠٠= ــــــــــــــــــــــــ = س

١ ٣

٣ ١

٣ ٢٢ ١ + ٧ × ٣

٣

١٠٨ ٥

١٠٨ ٥ ٥

٣

٤ ١٠٠

١٠٠ × ٤٨ ٤

J[



من % ٥فإن . رياالً ٢٠من ثمن كتاب يساوي % ٢٥ا كان إذ ) : ٢( مثال ثمنه يساوي ؟

-:الحل ٢٠= ثمن كتاب × % ٢٥

٢٠= ثمن كتاب × ـــــــــ ١٠٠بضرب المعادلة في

١٠٠ × ٢٠= ثمن كتاب ٢٥ ٢٥بالقسمة على

ريال٨٠= ــــــــــــــــــــــــــ = ثمن كتاب من ثمن الكتاب ؟ % ٥المطلوب

رياالت ٤ = ٨٠× ـــــــــــ = ٨٠× % ٥

؟٠,٠٢من العدد % ٥ما قيمة ) : ٣( مثال -:الحل

ـــــــــــ= ــــــــــــــ = ـــــــــــ × ـــــــــــ = ٠,٠٢× ـــــــــــ = ٠,٠٢× % ٥

ــــــــــ ، فإن قيمة س تساوي ؟ % = ١٢ت إذا كان ) : ٤( مثال -:الحل ــــــــــ= ــــــــــ

الوسطين حاصل ضرب= حاصل ضرب الطرفين ٣ × ١٠٠= س × ١٢

٢٥ ١٠٠

١٠٠ × ٢٠ ٢٥

١٠٠ ٥

٥ ١٠٠

٥ ١٠٠

٢ ١٠٠

١٠ ١٠٠٠٠

١ ١٠٠٠

س ٣

٣ ١٢ س ١٠٠

٣ × ١٠٠

J[



٢٥= ــــــــــــــــــــــــــ = س

فما قيمة ص ؟٤٠من ص تساوي % إذا كانت قيمة س ) : ٥( مثال -:الحل

٤٠= ص × % س ٤٠= ص × ــــــ ـــــ

١٠٠بالضرب في ١٠٠ × ٤٠= ص × س

بالقسمة على س ـــــــــــــــــــــ= ص

فما هو هذا . ١٢من العدد % ٢٥إذا كان ــــــــــ عدد يساوي ) : ٦( مثال العدد ؟

-:الحل س= نفرض العدد

١٢× % ٢٥= س × ــــــــــ

١٢× ـــــــ ـــ= س × ـــــــــ

ــــــــــــــــــــــ= ـــــــــ

١٢

س١٠٠

س ٤٠٠٠

١ ٣

١ ٣

١ ٢٥ ١٠٠ ٣

١٢ × ٢٥ ١٠٠

س٣

J[



٩= س ٣= ــــــــ

من ص فما هي نسبة العدد س إلى العدد % ١٠س تساوي % ٥ ) : ٧( مثال ص ؟

-:الحل ص % ١٠= س % ٥

ص× ــــــــــ = س × ــــــــ ص١٠= س ٥

إذاً ـــــــــ= ـــــــــ

٢= ـــــــــ

=١٠٠٠من % ــــــــــ ) : ٨( مثال -:الحل

١٠٠٠× ) ـــــــــ × ـــــــــ = ( ١٠٠٠× ) ١٠٠÷ ــــــــــ = ( ١٠٠٠× ـــــــــــــــــــ

٢,٥= ـــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــــ = ١٠٠٠× ـــــــــــ

ريال فكم ثمن هذا ١٥من ثمن كتاب هو % ١٥إذا كان ) : ٩( ثال م

الكتاب ؟

س٣

٥ ١٠٠

١٠ ١٠٠

١٠ ٥

س ص

س ص

٤؛ !١٠٠

١ ٤

١ ٤

١ ١٠٠

١ ٤٠٠

١٠٠٠ ٤٠٠

١٠ ٤

٥ ٢

١ ٤

J[



-:الحل ١٥= ثمن كتاب × % ١٥

١٥= ثمن كتاب × ـــــــــ ١٠٠بالضرب في

١٠٠ × ١٥= ثمن كتاب × ١٥ ١٥بالقسمة على

ريال١٠٠= ـــــــــــــــــــــــــــ = ثمن كتاب

فإن قيمة ص ؟١٠من ص تساوي % س إذا كانت ) : ١٠( مثال -:الحل

١٠= ص × % س ١٠= ص × ـــــــــ

١٠٠ × ١٠= ص × س ١٠٠٠= ص × س ـــــــــــ= ص

قاعدة النسبة المئوية

- ) :١( قاعدة النسبة المئوية = ـــــــــــــــــ

- ) :٢( قاعدة

%ج بعد الزيادة ، العدد األصلي ، نسبة الزيادة أ العدد النات

العدد األصلي× ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = العدد الناتج

١٥ ١٠٠

١٠٠ × ١٥ ١٥

س١٠٠

س ١٠٠٠

اجلزء الكل

أ + ١٠٠ أ

لعدد األصيل ا–العدد الناتج

J[



١٠٠× ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نسبة الزيادة

- ) :٣( قاعدة

% ة النقصان أ العدد الناتج بعد النقصان ، العدد األصلي ، نسب

العدد األصلي× ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = العدد الناتج

١٠٠× ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نسبة النقصان

- ) :٤( قاعدة

:ستخدام الجدول كيفية ا )أتبع األلوان من فضلك : همسة (

ريال١٦٤٠وثمن الشراء % ١٥ المكسبرض أن نف : ١ مثال إذاً

ثمن الشراء المكسب ثمن البيع ١١٥ % = ١٥ % + ١٠٠ = % ١٥ + % ١٠٠%

العدد األصيل

أ- ١٠٠١٠٠

العدد الناتج–العدد األصيل

العدد األصيل

المكسب أو الخسارة ينسبان دائماً لثمن الشراء و المصاريف )ثمن الشراء و المصاريف ( –ثمن البيع = المكسب

ثمن البيع –) ثمن الشراء و المصاريف = ( الخسارة

J[



صس ١٦٤٠ -:الحل

اليجاد المكسب أي اليجاد الــــ س؟ %١٥ × ١٦٤٠ % = ١٠٠× س

اليجاد ثمن البيع أي اليجاد الـــ ص ؟ %١١٥ × ١٦٤٠ % = ١٠٠× ص

ريال٣٠٠٠وثمن الشراء % ١٨ الخسارةنفرض أن : ٢مثال إذاً

ثمن البيع خسارةثمن الشراء ال ٨٢ % = ١٨ - % ١٠٠ = % ١٨ - % ١٠٠%

س ص ٣٠٠٠ -:الحل

أي اليجاد الــــ س؟خسارةاليجاد ال %١٨ × ٣٠٠٠ % = ١٠٠× س

اليجاد ثمن البيع أي اليجاد الـــ ص ؟ %٨٢ × ٣٠٠٠ % = ١٠٠× ص

-:أمثلة على النسبة المئوية ٦٠ طالب في الصف األول الثانوي نجح منها ٨٠مدرسة بها ) : ١( مثال

طالب فأوجد نسبة النجاح ؟ - ) :١( الحل

طالب٨٠= العدد الكلي = عدد الطالب طالب٦٠= لجزء ا= عدد الطالب الناجحين

إذاً النسبة المئوية = ــــــــــــ

ــــــــــــ= ــــــــــــ

١٠٠ × ٦٠ = ٨٠× س

اجلزء الكل

٦٠ ٨٠

س١٠٠

١٠٠ × ٦٠

J[



%٧٥= ــــــــــــــــــــــــ = س

- ) :٢( الحل ٨بالقسمة على % ١٠٠ طالب ٨٠ ٦ــــ بالضرب في ـــــــ طالب ـــ١٠

%٧٥ = ٦× ـــــــ ـــ طالب ـــــ٦٠

- ) :٣( الحل

عدد الطالب النجاح الرسوب س- ١٠٠س % ١٠٠ طالب٢٠ طالب ٦٠ طالب ٨٠ إذاً

٦٠× % ١٠٠ = ٨٠× س %٧٥= ـــــــــــــــــــــــــــــــ = س

طالب وكانت ٦٠ في الصف األول الثانوي عدد الناجحين ) :٢( مثال

فما عدد الطالب ؟ % ٧٥نسبة النجاح - ) :١( الحل

لنسبة المئوية ا= ـــــــــــــ

ــــــــــــ= ــــــــــــ

١٠٠ × ٦٠ = ٧٥× الكل طالب٨٠= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = الكل

- ) :٢( الحل

٨٠

١٠٠% ٨

١٠٠% ٦

- =

٦٠× % ١٠٠ ٨٠

اجلزء الكل ٧٥ اجلزء ١٠٠ الكل

١٠٠ × ٦٠ ٧٥

J[



)٣بالقسمة على ( طالب ٦٠ % ٧٥ )٤بالضرب في ( طالب ٢٠ % ٢٥ طالب٨٠ % ١٠٠

- ) :٣( الحل

عدد الطالب النجاح الرسوب٢٥ % ٧٥ % ١٠٠%

ص٦٠س إذاً

٦٠× % ١٠٠ % = ٧٥× س طالب٨٠= ـــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ= س

ريال٢٢٠٠٠اشترى محمد سيارة ثم باعها فكان ثمن البيع ) : ٣( مثال فما قيمة السعر الذي اشترى به السيارة ؟ % ١٠وكانت نسبة ربحه

- ) :١( الحل ١١٠ % = ١٠ % + ١٠٠%

ـــــــــــــــ= المئوية ــــــــــــــــ النسبة = ـــــــــــــــ

% ١٠٠ × ٢٢٠٠٠ % = ١١٠× س ريال٢٠٠٠٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

- ) :٢( الحل ١١٠ % = ١٠ % + ١٠٠% )١١بالقسمة على ( ريال ٢٢٠٠٠ % ١١٠

٦٠× % ١٠٠ ٧٥%

- =

اجلزء الكل

٢٢٠٠٠ س

١١٠% ١٠٠%

١٠٠ × ٢٢٠٠٠% ١١٠%

J[



)١٠بالضرب في ( ريال ٢٠٠٠ % ١٠ ريال٢٠٠٠٠ % ١٠٠

- ) :٣( الحل

ثمن الشراء الربح ثمن البيع١١٠ % ١٠ % ١٠٠%

٢٢٠٠٠ س إذاً

٢٢٠٠٠× % ١٠٠ % = ١١٠× س ريال٢٠٠٠٠= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

- ) :٤( الحل س= نفرض أن ثمن الشراء

٢٢٠٠٠) = ــــــــــ × س + ( س ٢٢٠٠٠= ــــــــــ + س

المقام لــ التخلص من١٠بالضرب في ٢٢٠٠٠= س + س ١٠ ٢٢٠٠٠= س ١١

١١بالقسمة على ـــــــــــــــــــ= س ريال٢٠٠٠٠= س

- ) :٥( الحل

٢٢٠٠٠× % ١٠٠ ١١٠%

س ١٠٠ ١٠١٠

٢٢٠٠٠ ١١

J[



%١٠جزء الربح ) + النسبة المئوية( أجزاء من العشرة ١٠المائة يوجد بها ١١= إذاً عدد األجزاء

)وهو الربح(قيمة الجزء الواحد وهذا يمثل ٢٠٠٠= تقسم ــــــــــــــــــــــــــــــــ

ريال٢٠٠٠٠ = ٢٠٠٠ – ٢٢٠٠٠= إذاً سعر السيارة

درجة في مادة اللغة العربية في الفصل ٧٥حصل عبد الرحمن على ) : ٤( مثال درجة في نفس المادة في الفصل ٨٤الدراسي األول من هذا العام ، وحصل على الدراسي الثاني ، فما نسبة تحسن درجته ؟

-: ) ١( الحل %١٠٠× ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نسبة التحسن

درجات٩ = ٧٥ – ٨٤= مقدار الزيادة

%١٢% = ــــــــــــــ % = ١٠٠× ـــــــــــــــ = إذاً نسبة التحسن

- ) :٢( الحل الفصل الثانيالفصل األول التحسن

س ص % ١٠٠٨٤ ٩ = ٧٥ – ٨٤ ٧٥ إذاً

٩× % ١٠٠ = ٧٥× س %١٢= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

، ماهو العدد الناتج ؟ % ٢٥ بمقدار ٤٠عدد عند زيادة ال ) : ٥( مثال - ) :١( الحل

العدد األصلي× ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = العدد الناتج

٢٢٠٠٠ ١١

ر الزيادة مقدا الدرجة األوىل

٩ ٧٥

٩٠٠ ٧٥

أ + ١٠٠١٠٠

٩× % ١٠٠ ٧٥

J[



٥٠ = ٤٠× ـــــــــــــــــــــــــــــــــ =

- ) :٢( الحل

الزيادة العدد الناتجالعدد األصلي ١٢٥ % ٢٥ % ١٠٠% س٤٠ إذاً %١٢٥ × ٤٠ % = ١٠٠× س ٥٠= ـــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ= س

- ) :٣( الحل ١٢٥ % = ٢٥ % + ١٠٠% )١٠٠بالقسمة على ( ٤٠ % ١٠٠ )١٢٥بالضرب في ( ٠,٤ % ١

٥٠ % ١٢٥

، فكم عدد السكان ؟٥٩٣٤٦يكون عدد السكان % ٥بعد زيادة ) : ٦( مثال - ) :١( حل ال

العدد األصلي × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = العدد الناتج

العدد األصلي× ) ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ( ٥٩٣٤٦

٥٦٥٢٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = العدد األصلي

- ) :٢( الحل يادة الزيادة بعد الزيادة قبل الز

١٠٥ % ٥ % ١٠٠% ٥٩٣٤٦س

إذاً ٥٩٣٤٦× % ١٠٠ % = ١٠٥× س

٢٥ + ١٠٠ ١٠٠

١٢٥ × ٤٠% ١٠٠%

أ + ١٠٠ أ

٥ + ١٠٠ ١٠٠

١٠٠ × ٥٩٣٤٦ ١٠٥

٥٩٣٤٦× % ١٠٠

J[



٥٦٥٢٠= ـــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــ= س

- ) :٣( الحل ١٠٥ % = ٥ % + ١٠٠% )١٠٥بالقسمة على ( ٥٩٣٤٦ % ١٠٥ % )١٠٠بالضرب في ( ـــــــــــــــــــــــ % ١

٥٦٥٢٦٠= ـــــــــــــــــــــــــــــ × % ١٠٠ % ١٠٠

- ) :٤( الحل ١٠٥ % = ٥ % + ١٠٠%

النسبة المئوية = ــــــــــــــ

ــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــ

٥٩٣٤٦× % ١٠٠ % = ١٠٥× س ٥٦٥٢٦٠= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

، ما هو العدد الناتج ؟ % ٢٥ بمقدار ٥٠عند نقصان العدد ) : ٧( مثال - ) :١( الحل

٣٧,٥ = ٥٠× ــــــــــــــــــــــــــــــ = العدد األصلي × ــــــــــــــــــــــــــــــ = العدد الناتج

- ) :٢( الحل قبل النقصان النقص بعد النقصان

٧٥ % ٢٥ % ١٠٠% س٥٠ إذاً %٧٥ × ٥٠ % = ١٠٠× س ٣٧,٥= ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

- ) :٣( الحل ٧٥ % = ٢٥ - % ١٠٠%

١٠٥%

١٠٥ ٥٩٣٤٦

٥٩٣٤٦ ١٠٥

اجلزء الكل

١٠٥% ١٠٠%

س ٥٦٥٢٦٠

٥٩٣٤٦× % ١٠٠ ١٠٥%

أ-١٠٠١٠٠

٢٥ -١٠٠ ١٠٠

٧٥ × ٥٠% ١٠٠%

اجلزء

J[



النسبة المئوية = ــــ ــــــــــــ

% ٧٥ × ٥٠% = ١٠٠× ـــــــــــــــــ س = ــــــــــــــــ

٣٧,٥= ــــــــــــــــــــــــــــــ س = س

- ) :٤( الحل )٤بالقسمة على ( ٥٠ % ١٠٠١٢,٥% ٢٥ إذاً

٣٧,٥ = ١٢,٥ – ٥٠= العدد الناتج

ريال إلى ٢٨٠٠انخفض الدخل األسبوعي ألحد المحالت التجارية من ) : ٨( مثال أوجد النسبة المئوية للنقص في الدخل ؟. ريال ٢٤٦٤

- ) :١( الحل ١٠٠× ــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= نسبة النقصان

%١٢ = ١٠٠× ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نسبة النقص

- ) :٢( الحل

قبل االنخفاض االنخفاض بعد االنخفاض صس % ١٠٠٢٤٦٤ ٣٣٦=٢٤٦٤-٢٨٠٠ ٢٨٠٠ إذاً ٣٣٦× % ١٠٠ = ٢٨٠٠× س %١٢= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

الكل٧٥% ١٠٠%

س٥٠

٧٥ × ٥٠% ١٠٠%

العدد الناتج–العدد األصيل العدد األصيل

٢٤٦٤ - ٢٨٠٠ ٢٨٠٠

٣٣٦× % ١٠٠ ٢٨٠٠

J[



- ) :٣( الحل ٢٨٠٠ % ١٠٠ ٢٤٦٤% س إذاً ع التناسب طردي نو

٢٤٦٤× % ١٠٠ = ٢٨٠٠× % س %٨٨= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

ومنها %١٢ % = ٨٨ - % ١٠٠= نسبة االنخفاض

عن ثمنه األصلي % ١٥اشترى عبد اهللا جهاز تلفزيون مخفضاً بنسبة ) : ٩( مثال كان الثمن األصلي للجهاز ؟فكم رياالً. رياالً ٣٥٧٠حيث دفع

- ) :١( الحل ) نسبة التخفيض – ١( × ) الثمن األصلي = ( الثمن بعد التخفيض

) ـــــــــــــــ - ١( × الثمن األصلي = ٣٥٧٠ الثمن األصلي× ) ٠,٨٥ = ( ٣٥٧٠ إذاً

ـــــــــــــــــــ = الثمن األصلي

ريال٤٢٠٠= ـــــــــــــــــــــ ــــــــــــــ= الثمن األصلي

- ) :٢( الحل قبل التخفيض التخفيض بعد التخفيض

٨٥% = ١٥ -% ١٠٠ % ١٥ % ١٠٠%

٢٤٦٤× % ١٠٠ ٢٨٠٠

١٠٠ ١٥

٣٥٧٠ ٠.٨٥ ١٠٠×٣٥٧٠

٨٥

J[



٣٥٧٠ س إذاً ٣٥٧٠× % ١٠٠ % = ٨٥× س ريال ٤٢٠٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

- ) :٣( الحل

)٨٥بالقسمة على ( ٣٥٧٠ % ٨٥ )١٠٠لضرب في با( ــــــــــــــــــ % ١

ريال٤٢٠٠= ـــــــــــــــــــــــ × ١٠٠ % ١٠٠

- ) :٤( الحل ٨٥ % = ١٥ - % ١٠٠%

النسبة المئوية = ـــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــ

ريال٤٢٠٠= ـــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــ= الكل من المبلغ الذي % ٨قام زيد بتسليم كامل دخل بقالة والده عدا ) : ١٠( مثال

رياالً ، فما المبلغ الذي سلمه لوالده ؟١٦٠فإذا كان مصروفه . يمثل مصروفه - ) :١( الحل

لغ الذي سلمه لوالدهالمبلغ األصلي مصروفه المب٩٢ % = ٨ - % ١٠٠ % ٨ % ١٠٠%

ص١٦٠س إذاً

%٩٢ × ١٦٠ % = ٨× ص رياال١٨٤٠ً= ـــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــ= ص

- ) :٢( الحل ٩٢ % = ٨ - % ١٠٠% )٨بالقسمة على ( ريال ١٦٠ % ٨ )٩٢بالضرب في ( ريال ٢٠ % ١

٣٥٧٠× % ١٠٠ ٨٥%

٨٥ ٣٥٧٠ ٣٥٧٠ ٨٥

اجلزء الكل

٨٥ ٣٥٧٠% %١٠٠ الكل

٣٥٧٠× % ١٠٠ ٨٥%

٩٢ × ١٦٠% ٨%

J[



ريال١٨٤٠ % ٩٢

- ) :٣( الحل ٩٢ % = ٨ - % ١٠٠%

النسبة المئوية = ــــــــــ ــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــــ= ــــــــــــــــــــــــــ

ريال٢٠٠٠= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س إذاً

ريال١٨٤٠ = ١٦٠ – ٢٠٠٠= المبلغ الذي سلمه لوالده

-:استخدام فكره الميراث في الحل ٨ : ٣سبيكة معدنية تتكون من الحديد والنحاس بنسبة ) : ١( مثال

جراماً ، فكم وزن النحاس فيها ٣٣٠وزناً ، فإذا كان وزن السبيكة بالجرامات ؟

-:الحل النحاس: الحديد

٨ : ٣ ١١ = ٨ + ٣= مجموع األجزاء

٢٤٠ = ٣٣٠× ) ــــــــ = ( وزن النحاس

خمسة صناديق من التفاح إذا علمت أن في كل لدى رجل ) : ٢( مثال فكم . صالحة لألكل والتفاح المتبقي فاسد ٨ تفاحة منها ١٢صندوق

عدد التفاح الفاسد في الصناديق الخمسة ؟ -:الحل

تفاحة ٦٠ = ١٢ × ٥= العدد الكلي للتفاح التفاح الفاسد: التفاح الصالح

٤ : ٨

املبلغ الكيل مرصوفه

٨% ١٠٠%

١٦٠ املبلغ الكيل

١٠٠ × ١٦٠% ٨%

٨ ١١

J[



١٢ = ٤ + ٨= األجزاء مجموع تفاحة٢٠ = ٦٠× ) ـــــــــ = ( عدد التفاح الفاسد

كيلو متر وقاموا بتخطيطه بحيث يكون ١٠٠طريق طوله ) : ٣( مثال إذا كانت تكلفت . متر ٢ متر والمسافة بين الخطين ٨كل خط طوله

ق فكم يكلف هذا الطري. تخطيط المتر الواحد تساوي نصف ريال من ريال للقيام بتخطيطه ؟

-:الحل نحول من كيلو متر إلى متر

متر١٠٠٠٠٠ = ١٠٠٠ × ١٠٠= إذاً طول الطريق المسافة بين الخطين: طول الخط

٢ : ٨ ١٠ = ٢ + ٨= مجموع األجزاء

متر٨٠٠٠٠ = ١٠٠٠٠٠× ) ــــــــــ = ( طول الخط ريال٤٠٠٠٠= ــــــــــ × ٨٠٠٠٠= يق لــ تخطيطه تكلفة الطر

مدرسة ثانوية للبنين قُسم طالبها إلى مجموعات بحيث ) : ٤( مثال

تحتوي كل مجموعة على طالب من القسم العلمي و القسم النظري فكم عدد . طالباً ٤٤٠ فإذا كان عدد طالب المدرسة ٥ : ٦بنسبة

طالب العلمي ؟ -:الحل

٤ ١٢

٨

٢ ١٠ ١

J[



القسم النظري: علمي القسم ال ٥ : ٦

١١ = ٥ + ٦= مجموع األجزاء طالب ٢٤٠ = ٤٤٠× ) ــــــــ = ( عدد طالب العلمي

فما قياس ٥ : ٣ : ١إذا كانت النسبة بين زوايا مثلث هي ) : ٥( مثال أصغر زواياه ؟

-:الحل الزاوية الثالثة : ية الزاوية الثان: الزاوية األولى

٥ : ٣ : ١ ٩ = ٥ + ٣ + ١= مجموع األجزاء

درجة ٢٠= ْ ١٨٠× ) ــــــــ = ( قياس أصغر زاوية

على ١ : ٧وزع أبو يوسف مبلغاً من المال على ابنتيه بنسبة ) : ٦( مثال ظوظة إذا علمنا أن التعيسة قد حصلت على كم من المال حصلت المح

دينار ؟٧٠٠ -:الحل

التعيسة : المحظوظة ١ : ٧

٨ = ١ + ٧= مجموع األجزاء دينار٧٠٠= المبلغ الكلي × ـــــــــــ = نصيب التعيسة دينار٥٦٠٠ = ٧٠٠ × ٨= المبلغ الكلي

إذاً

٦ ١١

١ ٩

١ ٨

٧

J[



دينار٤٩٠٠ = ٥٦٠٠× ــ ـــــــــ= نصيب المحظوظة

برميل يومياً ، فإذا كان ما ١٧٦٠٠ثالث آبار للبترول تنتج ) : ٧( مثال ٥؛# ما تنتجه البئر الثانية ، و ما تنتجه البئر الثالثة ٤؛# تنتجه البئر األولى

فكم أنتاج البئر الثالث ؟. ما تنتجه البئر األولى -:الحل

الثالث: ثاني ال: األول ٥× : ٤ : ٣ ٣ × ٣ : : ٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٠ : ١٥ : ٩ : : ١٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٩ : ٢٠ : ١٥ إذاً

٤٤ = ٩ + ٢٠ + ١٥= مجموع األجزاء برميل٣٦٠٠ = ١٧٦٠٠× ) ــــــــــ = ( أنتاج البئر الثالث

ريال بين ثالثة أشخاص ، بحيث تكون نسبة ٣٤٠٠قسم مبلغ ) : ٨( مثال

فما . ، ونصيب الثالث نصف نصيب األول ٥ : ٨نصيب األول إلى نصيب الثاني نصيب الثاني ؟

٨

٩ ٤٤

J[



-:الحل نصيب الثالث : نصيب الثاني : األول نصيب ٤ : ٥ : ٨

١٧ = ٤ + ٥ + ٨= مجموع األجزاء ريال٢٠٠= ـــــــــــــــــــــــ = قيمة الجزء

ريال١٠٠٠ = ٢٠٠ × ٥= نصيب الثاني

٤؛# الدرجة األولى راكباً ، فإذا كان عدد ركاب ٨٢٠قطار به ) : ٩( مثال عدد ركاب ٥؛$ عدد ركاب الدرجة الثانية ، وعدد ركاب الدرجة الثانية

فكم عدد ركاب الدرجة الثالثة ؟. الدرجة الثالثة -:الحل

الثالثة : الثانية : عدد ركاب الدرجة األولى ٣ × : ٤ : ٣

: ٤ × ٥ : ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١٢ : ٩ : : ٢٠ : ١٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٠ : ١٢ : ٩

٤١ = ٢٠ + ١٢ + ٩= مجموع األجزاء ٢٠= ـــــــــــــــ = قيمة الجزء

راكب٤٠٠ = ٢٠ × ٢٠= عدد ركاب الدرجة الثالثة

١٣ : ١٢ : ٥ قطعة أرض مثلثة الشكل النسبة بين أطوالها ) :١٠( مثال فأوجد أطوال أضالعها ؟. متراً ٤٢٠محيط قطعة األرض فإذا كان

٣٤٠٠ ١٧

٨٢٠ ٤١

J[



-:الحل ٣٠ = ١٣ + ١٢ + ٥= مجموع القيم

مترا١٤ً= ــــــــــــــــ = قيمة الجزء مترا١٨٢ً متراً ، ١٦٨ متراً ، ٧٠= أطوال أضالع قطعة األرض

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= مقياس الرسم

عاة تحويل الطولين إلى وحدة واحدة مع مرا

كيلو متراً ، فإذا كانت المسافة ٣٥المسافة بين بلدين ) : ١( مثال

أوجد مقياس الرسم الذي . سنتيمترات ٥بين البلدين على الخريطة رسمت به هذه الخريطة ؟

-:الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = مقياس الرسم

ــــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الرسم مقياس

٧٠٠٠٠٠ : ١= مقياس الرسم

فكم تبلغ . كيلو متراً ٢٥٦إذا كانت المسافة بين بلدين ) : ٢( مثال

هذه المسافة بالسنتيمترات على مصور جغرافي إذا كان مقياس الرسم ؟٤٠٠٠٠٠ : ١ -:حل ال

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= مقياس الرسم

مقياس الرسم× الطول الحقيقي = الطول في الرسم ـــــــــــــــــــ × ١٠٠ × ١٠٠٠ × ٢٥٦= الطول في الرسم سنتيمترا٦٤ً= الطول في الرسم

٤٢٠ ٣٠

ي الرسمالطول ف الطول الحقيقي

الطول في الرسم الطول الحقيقي

١٠٠ × ١٠٠٠ × ٣٥ ١ ٥

٧٠٠٠٠٠

الطول في الرسم الطول الحقيقي

١ ٤٠٠٠٠٠

J[



المسافة ، وكانت ٢٠٠٠٠٠ : ١رسمت خريطة بمقياس رسم ) : ٣( مثال أوجد المسافة . سم ٣,٦بين الميدان و الحديقة على هذه الخريطة

الحقيقة بينهما بالكيلو مترات ؟ -:الحل

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= مقياس الرسم إذاً

مقياس الرسم÷ الطول في الرسم = الطول الحقيقي

سم ٢٠٠٠٠٠ × ٣,٦= ــــــ ــــــــــــــــــــ ÷ ٣,٦= الطول الحقيقي

كيلو متر٧,٢= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الطول الحقيقي

)..(الضرب التبادلي )..(

إذا كانت ثالث قطط تستغرق ثالث دقائق في قتل ثالثة ) : ١( مثال فئران ، فكم دقيقة تستغرق مئة قطة في قتل مئة فأر ؟

-:الحل فئران دقائققطط

٣ ٣ ٣ س١٠٠ ١٠٠ إذاً ٣ × ١٠٠ × ٣= س × ٣ × ١٠٠ دقائق ٣= ــــــــــــــــــــــ ـــــــــ= س

الطول في الرسم الحقيقيالطول

١ ٢٠٠٠٠٠

٢٠٠٠٠٠ × ٣,٦ ١٠٠ × ١٠٠٠

٣ × ١٠٠ × ٣ ٣ × ١٠٠

J[



٣ ألواح خشبية إلى قطع متساوية في ٣يقطع ثالث عمال ) : ٢( مثال

ساعات ؟٤ عمال في ٩ يقطعها دقائق ، كم لوحاً -:الحل

نحول من ساعة إلى دقيقة دقيقة ٢٤٠ = ٦٠ × ٤

إذاً عمال ألواح دقائق

٣ ٣ ٣ ٢٤٠ س ٩

إذاً ٢٤٠ × ٣ × ٩ = ٣× س × ٣

لوحا٧٢٠ً= ـــ ـــــــــــــــــــــــــــــ= س

دقائق ، كم صندوقاً ٥ صناديق في ٥خمسة عمال ينتجون ) : ٣( مثال ساعات ؟١٠ عمال في ١٠ينتج -:الحل

نحول من ساعة إلى دقيقة دقيقة ٦٠٠ = ٦٠ × ١٠

ومنها عمال صناديق دقائق

٥ ٥ ٥ ٦٠٠ س ١٠

إذاً

٢٤٠ × ٣ × ٩ ٣ × ٣

J[



٦٠٠ × ٥ × ١٠ = ٥× س × ٥ صندوق١٢٠٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

٨ بقرات تنتج ٨ أيام ، ٤ علب حليب في ٤ بقرات تنتج ٤ ) : ٤( مثال

علب حليب في كم يوم ؟ -:الحل

بقرات حليب أيام ٤ ٤ ٤ س٨ ٨ إذاً ٤ × ٨ × ٤= س × ٤ × ٨

أيام ٤= ــــــــــــــــــــــــــــ = س

ساعات ، كم طباخ ٥ كيكه في ١٢ طباخون يصنعون ٤ ) : ٥( مثال ساعات ؟١٠ كيكه في ٦٠سنحتاج من أجل صناعة

-:الحل طباخ كيكه ساعة

٥ ١٢ ٤ ١٠ ٦٠ س

إذاً ٥ × ٦٠ × ٤ = ١٠ × ١٢× س ١٠= ـــــــــــــــــــــــــــــ = س

٦٠٠ × ٥ × ١٠ ٥ × ٥

٤ × ٨ × ٤ ٤ × ٨

٥ × ٦٠ × ٤ ١٠ × ١٢

J[



٤ أيام وكان ٦ لوحات في ٦ أوالد يمكنهم رسم ٦إذا كان ) : ٦( مثال أيام ، فكم عدد اللوحات التي ٤ لوحات في ٤فتيات يمكنهم رسم

فتاه ؟١٢ ولد و ١٢ يوماً بمساعدة ١٢يمكن رسمها في -:الحل

األوالد لوحات األيام ٦ ٦ ٦ ١٢ س ١٢ إذاً ١٢ × ٦ × ١٢ = ٦ ×س × ٦

لوحه٢٤= ـــــــــــــــــــــــــــــ = س -:وبالمثل

الفتيات لوحات األيام ٤ ٤ ٤ ١٢ س ١٢ إذاً ١٢ × ٤ × ١٢ = ٤× س × ٤

٣٦= ـــ ــــــــــــــــــــــــــ= س لوحه ٦٠= لوحه ٣٦+ لوحه ٢٤ومنها يوم ، إذا أردنا إنجاز ٢٥من العمل في % ٢٥ عامالً ينهون ٦٠ ) : ٧( مثال

يوم فكم عامالً يجب أن نضيف ؟٧٥العمل في -:الحل

عامل العمل يوم ٢٥ % ٢٥ ٦٠

٧٥% ١٠٠ س إذاً

٢٥× % ١٠٠ × ٦٠ = ٧٥× % ٢٥× س عامل٨٠= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = س

ومنها

١٢ × ٦ × ١٢ ٦ × ٦

١٢ × ٤ × ١٢ ٤ × ٤

٢٥× % ١٠٠ × ٦٠ ٧٥× % ٢٥

J[



عامل٢٠ = ٦٠ – ٨٠= يجب أن نضيف

يوم ، فكم يلزم من ٢٠جدار في ٣؛! عامل استطاعوا بناء ٦٠ ) : ٨( مثال يوم ؟٣٠العمال إلنهاء باقي الجدار في

-:الحل عدد العمال الجدار اليوم

٢٠ ٣؛! ٦٠

٣٠ ٣؛ @ س إذاً

٢٠× ٣؛@ × ٦٠ = ٣٠× ٣؛!× س لــ التخلص من المقامات٣بضرب المعادلة في

٢٠ × ٢ × ٦٠ = ٣٠× س ـــــــــــــــــــــــــــ= س ٨٠= س

يوم ٧٥تعاقد شخص مع مقاول على أن يبني له ملحق خالل ) : ٩( مثال يوماً رأى المقاول أن العمال لم ينجزوا ٢٥ عامالً ، بعد مرور ٦٠فأحضر المقاول

خالل الوقت سوا ربع الملحق ، فكم عامالً يجب زيادته إلنهاء بناء الملحق المتبقي ؟

-:الحل العمال االنجاز األيام

٢٥ ٤؛! ٦٠ ٥٠ ٤؛# ٦٠+ س إذاً ٥٠× ٤؛!× ) ٦٠+ س = ( ٢٥ × ٤؛# × ٦

٢٠ × ٢ × ٦٠ ٣٠

J[



لـــ التخلص من المقام٤بالضرب في )٦٠+ س ( ٥٠ = ٤٥٠٠

٥٠بالقسمة على ٦٠+ س = ٩٠

٦٠ – ٩٠= س ٣٠= س إذاً

عامل ٣٠يتطلب زيادة

ثالث أوالد يكتبون ثالث صفحات خالل ثالث دقائق فكم دقيقة ) : ١٠( مثال يستطيع ولد واحد أن يكتب صفحة واحدة إذا علمت إنهم متساوون في سرعة

الكتابة ؟ -:الحل

الصفحات عدد الدقائقعدد األوالد عدد ٣ ٣ ٣ س١ ١ إذاً ٣ × ١ × ٣= س × ٣ × ١

دقائق ٣= س

٨ يوماً وكان يسير بمعدل ١٢ كم في ٢٤٠قطع شخص مسافة ) : ١١( مثال ساعات ٦ساعات يومياً ، كم يوماً يحتاج لقطع المسافة نفسها إذا سار بمعدل

يومياً ؟ -:الحل

نوع التناسب عكسي وممكن الحل باستخدام فكرة الضرب التبادلي المسافة يوم ساعات

٨ ١٢ ٢٤٠ ٦ س ٢٤٠ إذاً ٦× س × ٢٤٠ = ٨ × ١٢ × ٢٤٠

٨ × ١٢ × ٢٤٠

J[



ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ= س

يوم١٦= س )..( المنوال – الوسيط –المتوسط الحسابي )..(

-:القوانين

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ= الوسط الحسابي لألعداد ) ١ -:الوسط الحسابي لعينة من األرقام تمثل متتابعة حسابية ) ٢

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= الوسط الحسابي :إيجاد مجموع القيم باستخدام الوسط الحسابي ) ٣

عدد القيم × الوسط الحسابي = مجموع القيم :لعدد الناقص باستخدام الوسط الحسابي إيجاد ا ) ٤

مجموع القيم المعطاة –) عدد القيم × الوسط الحسابي = ( العدد الناقص :الوسيط ) ٥

الوسيط هو القيمة المتوسطة في الترتيب بعد ترتيب القيم تصاعدياً أو .تنازلياً

:المنوال ) ٦

.المنوال هو القيمة األكثر شيوعاً

٦ × ٢٤٠

مجموع القيم عدد األعداد

أكبر عدد + أصغر عدد

٢

J[



٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١: أوجد الوسط الحسابي لألعداد اآلتية ) : ١ (مثال -:الحل

٣= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الوسط الحسابي

٣= ــــــ ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= الوسط الحسابي

فما قيمة س ؟٩ ، س يساوي ٨ ، ٧الوسط الحسابي لألعداد ) : ٢( مثال -:الحل

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= الوسط الحسابي ـــــــــــــــــــــــــــــ = ٩ س + ١٥ = ٢٧

١٥ – ٢٧= س ١٢= س

؟٥+ س ٦ ، ٣ – س ٨مقدارين ما هو الوسط الحسابي لل ) : ٣( مثال -:الحل

١+ س ٧= ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الوسط الحسابي

١٢ ، ٢ما هو الوسط الحسابي لألعداد الصحيحة الواقعة بين ) : ٤( مثال -:الحل

٧= ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ =الوسط الحسابي

بما أن المتتالية حسابية : حل آخر

٧= ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الوسط الحسابي

مجموع القيم عددها

٥ + ٤ + ٣ + ٢ + ١ ٥

أكبر قيمة+ أصغر قيمة ٢

٥ + ١ ٢

مجموع القيم س + ٨ + ٧ عددها

٣

٥+ س ٦ + ٣ – س ٨٢

٢+ س ١٤٢

)١+س٧(٢٢


١١+١٠+٩+٨+٧+٦+٥+٤+٣ ٧ ٧

٤٩

أكبر قيمة+ أصغر قيمة ٢ ٢

١١ + ٣

J[



)س٣-١(،)٥+س(،)٣+س٢(إذا كان المتوسط الحسابي للكميات ) : ٥( مثال ص ، ـــــــ ص ؟٥هو ص فما قيمة المتوسط الحسابي للعددين

-:الحل ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= متوسط الحسابي ال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ص

٥ = ٣× ـــــــــ = وبالمثل ــــــــ ص ١٥ = ٣ × ٥= ص ٥ ومنها ٣= ــــــــــ = ص

١٠= ــــــــــــــــــــــــــ = ص ، ـــــــ ص ٥إذاً المطلوب المتوسط الحسابي للعددين

أخذنا عاماً فإذا ٢٥ أشخاص يساوي ٥إذا كان متوسط أعمار ) : ٦( مثال فكم عمر الشخص الخامس ؟. عاماً ٢٧أحدهم صار المتوسط

-:الحل ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= أشخاص ٥متوسط أعمار

١٢٥ = ٥ × ٢٥= أشخاص ٥ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مجموع أعمار = ٢٥

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= أشخاص ٤متوسط أعمار

١٠٨ = ٤ × ٢٧= أشخاص ٤ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مجموع أعمار = ٢٧ إذاً

سنة ١٧ = ١٠٨ – ١٢٥= عمر الشخص الخامس

٥ ٣


) س٣-١) + (٥+س) + (٣+س٢(

٣

٣ ٩

٣ ٣ ٥ ٥

٥ ٢ ٣

٥ + ١٥

أشخاص ٥مجموع أعمار عددهم

أشخاص ٥مجموع أعمار ٥

أشخاص ٤مجموع أعمار عددهم

أشخاص ٤مجموع أعمار ٤

J[



فإن ١٠إذا كان الوسط الحسابي لخمس أعداد متتالية يساوي : )٧( مثال العدد األكبر يساوي ؟

-:الحل )٤+س(،)٣+س(،)٢+س(،)١+س(من جملة أعداد متتالية نفرض األعداد س،

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= المتوسط الحسابي

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٠

١٠+ س ٥ = ٥٠ ١٠ – ٥٠= س ٥ ٤٠= س ٥

١٢ = ٤ + ٨ = ٤+ س = إذاً العدد األكبر ٨= س

عندما استبدل أحد هذه ٢٠٥المتوسط الحسابي ألربع أعداد هو ) : ٨( مثال أوجد العدد الذي تم ٢٠٠ أصبح المتوسط الحسابي ٩٩األعداد بالعدد

استبداله ؟ -:الحل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= المتوسط الحسابي ألربع أعداد

٨٢٠ = ٤ × ٢٠٥ = ٤س+٣س+٢س+١ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س = ٢٠٥

٨٠٠ = ٤ ×٢٠٠ = ٤س+٣س+٢س +٩٩ـــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٢٠٠

٧٠١ = ٩٩ – ٨٠٠ = ٤س+٣س +٢س مجموع أربعة أعداد = مجموع ثالثة أعداد + العدد الذي تم استبداله ٨٢٠ = ٧٠١+ العدد الذي تم استبداله ٧٠١ – ٨٢٠= العدد الذي تم استبداله


٥ ٤+س+٣+س+٢+س+١+س+س

٤ ٤س + ٣س + ٢س + ١س

٤ ٤س + ٣س + ٢س + ١س

٤س + ٣س + ٢س + ٩٩٤

J[



١١٩= العدد الذي تم استبداله

٣٠= ب ٣+ أ ٥ ، ١٠= ب ٥+ أ ٣ ) : ٩( مثال -:الوسط الحسابي للعددين أ ، ب هو

-:الحل ١٠= ب ٥+ أ ٣ ٣٠= ب ٣+ أ ٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالجمع )٨بالقسمة على ( ٤٠= ب ٨+ أ ٨ ٥= ب + أ

٢,٥= ــــــ ـــــ= ــــــــــــــــــــــ = الوسط الحسابي للعددين أ ، ب

: فإن قيمة س هو ٨ هو ٥ ، ٩ ، ٤الوسط الحسابي لألعداد س ، ) : ١٠( مثال -:الحل

ــــــــــــــــــــــــــــــــ= الوسط الحسابي ٣٢ = ١٨+ س ٣٢ = ٥ + ٩ + ٤+ ــــــــــــــــــــــــــ س = ٨

١٤= س ١٨ – ٣٢= س

الوسط الحسابي بين الوسيط والمنوال لألعداد ) : ١١( مثال ٩٠،٦٠،٣٠،٢٠،٩٠،١٠،٥٠

-:الحل ٩٠ ، ٩٠ ، ٦٠ ، ٥٠ ، ٣٠ ، ٢٠ ، ١٠إليجاد الوسيط نرتب األعداد تصاعدياً

٥٠= ثم نأخذ الرقم اللي في المنتصف إذاً الوسيط ٩٠= الرقم األكثر تكراراً = المنوال

٧٠= ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الوسط الحسابي

ب+ أ ٢

٥ ٢


٥+٩+٤+س٤

المنوال + الوسيط ٢ ٢

٩٠ + ٥٠

J[



:هو ٢٠ ٢ ، ١٠ ٢الوسط الحسابي بين ) : ١٢( مثال -:الحل

١٩ ٢ + ٩ ٢= ــــــــــ ــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ= الوسط الحسابي

لديك أ ، ب ، جـ ، د أعداد مرتبه ترتيباً تصاعدياً إذا كان ) : ١٣( مثال ؟) د + أ ( فأحسب مجموع ٣= والوسيط ٤= المتوسط

-:الحل ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= المتوسط الحسابي

١٦= د + جـ + ب + أ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٤

:وبالمثل ـــــــــــــــــــــــــ= الوسيط

٦= جـ + ـــــــــــــــــــــــ ب = ٣

إذاً ١٦= د ) + جـ + ب + ( أ ١٦= د + ٦+ أ ٦ – ١٦= د + أ ١٠= د + أ

فات العشرة لألعداد ما هو الوسط الحسابي لمضاع ) : ١٤( مثال ١٩٠ إلى ١٠من

-:الحل ١٠٠= ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الوسط الحسابي

٢٠ ٢ + ١٠ ٢ ٢

١٩ ٢ + ٩ ٢(٢ ١٩ ٢ × ٢ + ٩ ٢ × ٢( ٢ ٢


د + جـ + ب + أ ٤

جـ + ب

جـ + ب ٢

٢

أكبر عدد + أصغر عدد ٢ ٢

١٩٠ + ١٠

J[



إذا كانت درجة الحرارة المسجلة في أحد أشهر السنة السابقة ) : ١٥( مثال ، ١٧ ، ١٧ ، ١٨ ، ١٩ ، ١٩ ، ١٨ ، ١٨ ، ١٨ ، ١٧ ، ١٧ ، ١٦ ، ١٦ ، ١٥ ، ١٤: كما يلي

٢٠ ، ٢٠ ، ٢٠ ، ١٩ ، ٢٠ ، ١٩ ، ١٨ ، ١٧ ، ١٨ ، ١٩ ، ١٩ ، ٢٠ ، ٢٠ ، ١٩ ، ١٨ ، ١٨ فما هو المنوال ؟

-:الحل ١٨= الرقم األكثر تكراراً = المنوال

موع ومج١٠ –إذا كان الوسط الحسابي لعشرة أعداد يساوي ) : ١٦( مثال

فما هو الوسط الحسابي لألعداد األربعة ١٠٠ستة أعداد منها يساوي الباقية؟

-:الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= الوسط الحسابي

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٠ -

١٠٠ - = ١٠س + ٩س + ٨س + ٧س + ٦س + ٥س + ٤س + ٣س + ٢س + ١س ١٠٠ - = ١٠س+٩س+٨س+٧س + ١٠٠ ٢٠٠ - = ١٠س + ٩س + ٨س + ٧س إذاً

٥٠ -= ـــــــــ ــــــــــــ= الوسط الحسابي لألعداد األربعة الباقية

)..(المضاعف المشترك األصغر )..(

١٠س+٩س+٨س+٧س+٦س+٥س+٤س+٣س+٢س+١س

١٠س+٩س+٨س+٧س+٦س+٥س+٤س+٣س+٢س+١س

٤

١٠

١٠

- ٢٠٠

J[



المضاعف المشترك األصغر بين عددين أو أكثر ، هو أصغر عدد )أ . م . م ( يقبل القسمة على هذه األعداد ويرمز له بالرمز

١٢ ، ٩ ، ٨ لألعداد المضاعف المشترك األصغرجد ) : ١( مثال -:الحل

٢ × ٢ × ٢ = ٨ ٣ × ٣ = ٩ ٣ × ٢ × ٢ = ١٢

٢ × ٢ × ٢ هو ٢أكبر تكرار للعامل ٣ × ٣ هو ٣أكبر تكرار للعامل

إذاً ٧٢ = ٣ × ٣ × ٢ × ٢ × ٢= المضاعف المشترك األصغر

٣٢ ، ٢٤ ، ١٨ لألعداد المضاعف المشترك األصغرجد ) : ٢( مثال -:الحل

٣ × ٣ × ٢ = ١٨ ٣ × ٢ × ٢ × ٢ = ٢٤ ٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ = ٣٢

٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ هو ٢أكبر تكرار للعامل ٣ × ٣ هو ٣أكبر تكرار للعامل

إذاً ٢٨٨ = ٣ × ٣ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢= المضاعف المشترك األصغر

٦٣ ، ٥٥ ، ٢٠جد المضاعف المشترك األصغر لألعداد ) : ٣( مثال

J[



-:الحل ٥ × ٢ × ٢ = ٢٠ ١١ × ٥ = ٥٥ ٧ × ٣ × ٣ = ٦٣

٢ × ٢ هو ٢ر تكرار للعامل أكب ٣ × ٣ هو ٣أكبر تكرار للعامل ٥ هو ٥أكبر تكرار للعامل ٧ هو ٧أكبر تكرار للعامل ١١ هو ١١أكبر تكرار للعامل

إذاً ١٣٨٦٠ = ١١ × ٧ × ٥ × ٣ × ٣ × ٢ × ٢= المضاعف المشترك األصغر

٤٠ ، ٥٥ ، ٣٥ ، ٢٠جد المضاعف المشترك األصغر لألعداد ) : ٤( مثال -:الحل

٥ × ٢ × ٢ = ٢٠ ٥ × ٧ = ٣٥ ١١ × ٥ = ٥٥ ٥ × ٢ × ٢ × ٢ = ٤٠

٢ × ٢ × ٢ هو ٢أكبر تكرار للعامل ٥ هو ٥أكبر تكرار للعامل ٧ هو ٧أكبر تكرار للعامل ١١ هو ١١أكبر تكرار للعامل

إذاً ٣٠٨٠ = ١١ × ٧ × ٥ × ٢ × ٢ × ٢= المضاعف المشترك األصغر

)..(مشترك األكبر القاسم ال)..( القاسم المشترك األكبر لعددين أو أكثر هو أكبر عدد تقبل هذه

أ. م . ق : األعداد القسمة عليه بدون باق ، ويرمز له اختصاراً بالرمز

J[



٤٥ ، ٢٧ ، ١٨جد القاسم المشترك األكبر لألعداد ) : ١( مثال -:الحل

١٨ ، ٩ ، ٦ ، ٣ ، ٢ ، ١ هي ١٨قواسم ٢٧ ، ٩ ، ٣ ، ١هي ٢٧قواسم ٤٥ ، ١٥ ، ٩ ، ٥ ، ٣ ، ١ هي ٤٥قواسم ومنها

٩ ، ٣ ، ١القواسم المشتركة هي إذاً

٩= القاسم المشترك األكبر

٢٨ ، ٢٤جد القاسم المشترك األكبر لألعداد ) : ٢( مثال -:الحل

٢٤ ، ١٢ ، ٨ ، ٦ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ هي ٢٤قواسم ٢٨ ، ١٤ ،٧ ، ٤ ، ٢ ، ١ هي ٢٨قواسم ومنها

٤ ، ٢ ، ١القواسم المشتركة هي ٤= أكبر قاسم مشترك

٤٨ ، ٣٦ ، ٢٠جد القاسم المشترك األكبر لألعداد ) : ٣( مثال -:الحل

J[



٥ × ٢ × ٢ = ٢٠ ٣ × ٣ × ٢ × ٢ = ٣٦ ٣ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ = ٤٨

٢العامل المشترك هو ٢ × ٢ هو ٢أصغر تكرار للعامل

إذاً ٤ = ٢ × ٢= سم المشترك األكبر القا

٢٤٠ ، ١٨٠جد القاسم المشترك األكبر لألعداد ) : ٤( مثال -:الحل ٥ × ٣ × ٣ × ٢ × ٢ = ١٨٠ ٥ × ٣ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ = ٢٤٠

٥ ، ٣ ، ٢: العوامل المشتركة هي ٢ × ٢ هو ٢أصغر تكرار للعامل ٣ هو ٣أصغر تكرار للعامل ٥ هو ٥أصغر تكرار للعامل

إذاً ٦٠ = ٥ × ٣ × ٢ × ٢= القاسم المشترك األكبر

)..(لترتيب العمليات بدون أقواس)..( -:نتبع الخطوات اآلتية

في البداية تجرى العمليات داخل األقواس: أوالً تجرى عمليات الضرب و القسمة من اليمين إلى اليسارثم : ثانياً

يمين إلى اليسارثم تجرى عمليات الجمع والطرح من ال : ثالثاً

٥ × ٤ – ٣ ÷ ١٢ + ٨ × ٥ ) : ١( مثال -:الحل

ثم عملية ) ٣ ÷ ١٢( ، ثم عملية قسمة ) ٨ × ٥( تجرى عملية ضرب )٥ × ٤( ضرب

J[



=٢٠ – ٤ + ٤٠ )٤ + ٤٠( تجرى عملية جمع

=٢٠ – ٤٤ ٤٤ من ٢٠تجرى عملية طرح

=٢٤

٤ × ٨ ÷ ٦٤ – ١٢٠ ) : ٢( مثال -:الحل

٨ ÷ ٦٤سم اق =٤ × ٨ – ١٢٠

٤ × ٨اضرب =٣٢ – ١٢٠ =٨٨

٤× ) ٨ ÷ ٦٤ ( – ١٢٠ ) : ٣( مثال -:الحل ٨ ÷ ٦٤اقسم

=٤ × ٨ – ١٢٠ ٤ × ٨اضرب

=٣٢ – ١٢٠ ١٢٠ من ٣٢اطرح

=٨٨

٤ × ٨÷ ) ٦٤ – ١٢٠ ) : ( ٤( مثال

J[



-:الحل ١٢٠ من ٦٤اطرح

=٤ × ٨ ÷ ٥٦ ٨ ÷ ٥٦اقسم

=٤ × ٧ ٤ × ٧اضرب

=٢٨

٥ × ٢٤ + ١٠÷ ) ٤٣ + ١٥٧ ) : ( ٥( مثال -:الحل

٤٣ + ١٥٧تجرى عملية جمع =٥ × ٢٤ + ١٠ ÷ ٢٠٠

٥ × ٢٤تجرى عملية الضرب =١٢٠ + ١٠ ÷ ٢٠٠

١٠ ÷ ٢٠٠تجرى عملية قسمة =١٢٠ + ٢٠

١٢٠ + ٢٠تجرى عملية جمع =١٤٠

)..( الزمن – السرعة –المسافة )..(

-:انين الحركة بالنسبة لجسم واحد قو الزمن× السرعة = المسافة

ـــــــــــــــــــــ= السرعة

ـــــــــــــــــــ= الزمن

-:حركة جسمين في اتجاهين متعاكسين

المسافة الزمن

المسافة السرعة

J[



ن× ) ٢ع + ١ع= ( ف

ــــــــــــــــــــ= ن ــــــــــ = ٢ع + ١ع

-:حركة جسمين في اتجاه واحد ن× ) ٢ ع- ١ع= ( ف

ـــــــــــــــــــ= ن

ـــــــــ = ٢ ع– ١ع

ميل بين مدينتين أ ، ب ١٥٠يحاول رجل أن يقطع بالدراجة مسافة ) : ١( مثال / ميل ٣ ميل بسرعة ١٥٠ساعة ويحاول رجل آخر قطع مسافة / ميل ٥بسرعة

كم ساعة من وصول األول يستطيع الثاني ساعة فإذا انطلقا معاً من أ إلى ب فبعد أن يلحق به في المدينة ب ؟

-:الحل ساعة ٣٠= ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = زمن األول

ساعة ٥٠= ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = زمن الثاني

ساعة ٢٠ = ٣٠ – ٥٠= الزمن المطلوب

٢ع + ١ع ف

ف ن

ف ٢ ع- ١ع

ف ن

المسافة


السرعة

١٥٠ ٥ ١٥٠ ٣

J[



تنطلق سيارتان من نقطة واحدة وفي نفس الوقت باالتجاه نفسه فإذا ) : ٢( مثال

/ كلم ٦٠ساعة وسرعة السيارة الثانية / كلم ٨٠كانت سرعة السيارة األولى ساعة فما المسافة بين السيارتين بعد ساعة من انطالقهما ؟

-:الحل ن× ) ٢ ع– ١ع= ( المسافة ١× ) ٦٠ – ٨٠= ( المسافة ١ × ٢٠= ة المساف

كلم٢٠= المسافة

انطلقت سيارتان من نقطة واحدة في نفس الوقت باتجاهين ) : ٣( مثال ساعة وسرعة السيارة / كلم ٥٠متعاكسين فإذا كانت سرعة السيارة األولى

كلم ؟٢٤٠ساعة بعد كم ساعة تصبح المسافة بينهما / كلم ٧٠الثانية -:الحل ـــــــــــــــــــــــــــــــ= الزمن

ساعة ٢= ـــــــــــــــــــــــ = الزمن

في نفس الوقت ) ب(إلى المدينة ) أ(انطلقت سيارتان من المدينة ) : ٤( مثال س والثانية بسرعة / كم ١٢٠فإذا كانت السيارة األولى تسير بسرعة

لماً بأن فكم دقيقة تكون فارق الزمن في الوصول بينهما ع. س /كم١٠٠ كم ؟٤٨٠المسافة بين المدينتين

-:الحل ـــــــــــــــــــــــ= الزمن

ساعات ٤= ـــــــــــــ = الزمن الذي استغرقته السيارة األولى في الوصول

ساعة ٤,٨= ـــــــــــــ = الزمن الذي استغرقته السيارة الثانية في الوصول

المسافة )٢ع + ١ع(

٢٤٠ ٥٠ + ٧٠


٤٨٠ ١٢٠

٤٨٠ ١٠٠

J[



ساعة ٠,٨ = ٤ – ٤,٨= الفرق

نحول من ساعة إلى دقيقة دقيقة ٦٠= الساعة

إذاً دقيقة ٤٨ = ٦٠× ـــــــــــ = ٦٠ × ٠,٨= الفرق

في نفس الوقت وباتجاهين ) أ ( انطلقت سيارتان من المدينة ) : ٤( مثال

س وسرعة السيارة الثانية / كم ٨٠متعاكسين فإذا كانت سرعة السيارة األولى كم ؟١٨٠، بعد كم ساعة تصبح المسافة بينهما س / كم ١٠٠

-:الحل ـــــــــــــــــــــــــــــ= الزمن

ساعة ١= ـــــــــــــــــــــــــــ = الزمن

ساعة نفس المسافة التي ١٥ما سرعة راكب دراجة يقطع في ) : ٥( مثال س ؟/ كلم ٥ ساعة عندما يسير بسرعة١٢يقطعها راكب دراجة آخر في

-:الحل كلم٦٠ = ١٢ × ٥= الزمن × السرعة = المسافة التي يقطعها راكب الدراجة اآلخر

س/ كلم ٤ = ١٥ ÷ ٦٠= الزمن ÷ المسافة = سرعة الراكب األول

تنطلق سيارتان في اتجاهين متعاكسين في نفس الوقت فإذا كانت ) : ٦( مثال فما . س / كلم ٧٥وسرعة السيارة الثانية س ، / كلم ٩٥سرعة السيارة األولى

بعد ساعة من انطالقهما ؟) بالكيلو متر(المسافة بين السيارتين -:الحل

الزمن× ) ٢ع + ١ع= ( المسافة بين السيارتين ١× ) ٧٥ + ٩٥= ( المسافة بين السيارتين ١ × ١٧٠= المسافة بين السيارتين كلم ١٧٠= المسافة بين السيارتين

٨ ١٠

المسافة )٢ع + ١ع(

١٠٠ + ٨٠ ١٨٠

J[



ساعة ذهاباً ثم تعود لتقطع المسافة / كم ١٢٠سيارة تسير بسرعة ) : ٧( مثال فما متوسط سرعة رحلة هذه السيارة . ساعة / كم ٨٠نفسها ولكن بسرعة

ذهاباً و إياباً ؟ -:الحل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= السرعة المتوسطة ذهاباً وإياباً

ساعة / كم٩٦= ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = السرعة المتوسطة ذهاباً وإياباً

ساعة كم عدد األمتار التي يقطعها / كلم٣٦جسم يتحرك بسرعة ) : ٨( مثال في الثانية ؟

-:الحل ١٠٠٠أحول من كم إلى متر بالضرب في

٦٠ × ٦٠ ساعة إلى ثانية بالضرب في وأحول من متر ١٠= ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = عدد األمتار في الثانية

ساعة / كم ١٠٠ كم بسرعة ١٠٠تقطع سيارة نصف طريق طوله ) : ٩( مثال

ساعة ، فكم دقيقة تستغرق لقطع / كم ٦٠وتقطع بقية الطريق بسرعة ريق كله ؟الط

-:الحل ـــــــــ ساعة = ـــــــــــ = ـــــــــــ = الزمن الذي تقطع فيه السيارة األولى نصف الطريق

ـــــــــــ ساعة = ــــــــــــ = ــــــــــــ = الزمن الذي تقطع فيه السيارة الثانية نصف الطريق

ـــــــــ= ــــــــــــــــــ = ــــــــــ + ــــــــــ = يق كله إذاً الزمن الالزم لقطع الطر

دقيقة ٨٠ = ٦٠× ــــــــــ = إذاً الزمن بالدقائق

ساعة / كم ٦٠يسوق مازن سيارته من المدينة إلى الكلية بسرعة ) : ١٠( مثال ذا ساعة إ/ كم ٤٠وعند العودة تكون فترة االزدحام يسوق سيارته بسرعة

كان أثناء عودته يتأخر ساعة كاملة عن ذهابه فإن عدد الكيلومترات التي سارها ؟

حاصل ضرب السرعتين × ٢ مجموع السرعتين

٨٠ × ١٢٠ × ٢ ٨٠ + ١٢٠

٨٠ × ١٢٠ × ٢ ٢٠٠

كلم ٣٦ ساعة

١٠٠٠ × ٣٦ ٦٠ ×٦٠

ف

ف ع

ع ٥٠

٥٠ ١٠٠

٦٠

١ ٢

٥ ٦

٥ ٦

١ ٢

١٠ + ٦ ١٢

١٦ ١٢

١٢ ١٦

J[



-:الحل نفرض المسافة بين البيت والكلية س كم

ــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــ = زمن الذهاب

ــــــــــــ= ــــــــــــــــــــــ = زمن العودة

)) لـــ التخلص من المقام ١٢٠بالضرب في (( ـــــــــــ =١ -ـــــــــــ

س٢ = ١٢٠ – س ٣ ١٢٠= س ٢ – س ٣

١٢٠= س إذاً

كم ٢٤٠ = ١٢٠ × ٢= س × ٢= المسافة التي سارها

ساعة / كم ٨٠ كم بسرعة ٢٤٠راكبا دراجة نارية األول يسوق ) : ١١( مثال ساعة فإن سرعة الدراجة للمسافة التي / كم ٦٠ كم بسرعة ١٢٠والثاني يسوق قطعاها هي ؟

-:الحل ساعات ٣= ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = الزمن الذي يستغرقة السائق األول

ساعة ٢= ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = الزمن الذي يستغرقة السائق الثاني

كم٣٦٠ = ١٢٠ + ٢٤٠= المسافة الكلية

ساعات ٥ = ٢ + ٣= الزمن الكلي

ساعة / كم ٧٢= ــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = السرعة

ساعة ليصل بعد ساعتين إذا / كم ١٢٠سائق سيارة يسير بسرعة ) : ١٢( مثال ساعات فإن سرعته كانت ؟٣وصل بعد

-:الحل كم ٢٤٠ = ٢× ١٢٠= الزمن × السرعة = المسافة


س ٦٠


س ٤٠

س س ٦٠ ٤٠


السرعة المسافة

٢٤٠ ٨٠

١٢٠ ٦٠


٣٦٠ ٥

J[



ساعة / كم ٨٠= ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = السرعة

ساعات ، وثم تعود لتقطع ٣ كم ذهاباً في ٢٠٠تقطع سيارة مسافة ) : ١٣( مثال

المسافة نفسها في ساعتين فما متوسط السرعة لرحلة هذه السيارة ذهاباً وإياباً ؟ -:الحل

ساعة / كم ٨٠= ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ ـــ= السرعة

١٥انطلق عادل صباحاً بدراجته الهوائية من بيته إلى عمله بسرعة ) : ١٤( مثال كيلو متر في الساعة ، وفي المساء عاد عادل من عمله إلى بيته ماشياً على

فإذا كانت المسافة من البيت إلى العمل . كيلو متر في الساعة ٣قدميه بسرعة سرعة عادل ذهاباً وإياباً ؟) معدل ( كيلو متر ، فما متوسط ١٥تساوي

-:الحل -:عندما انطلق بالدراجة

ساعة ١= ــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ١الزمن

-:عندما رجع ماشياً

ساعات ٥= ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ٢الزمن

ساعة / كم ٥= ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = السرعة المتوسطة

انطلقت سيارتان في نفس الوقت وبنفس االتجاه وكانت سرعة ) : ١٥( مثال

بعد كم ساعة . الساعة / كلم ١١٠ساعة ، وسرعة الثانية / كلم ١٠٠األولى كلم ؟٢٠تصبح المسافة بينهما

-:الحل حركة جسمين في اتجاه واحد

ساعة ٢= ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = الزمن


٢٤٠ ٣


٢٠٠ + ٢٠٠ ٢ + ٣

٤٠٠ ٥

المسافة

المسافة

السرعة

السرعة

١٥ ١٥

١٥ ٣

المسافة الكلية الزمن الكلي

١٥ + ١٥ ٥ + ١

٣٠ ٦

المسافة ١٠٠ - ١١٠ ١ ع– ٢ع

٢٠ ٢٠ ١٠

J[



قوانين السرعة المتوسطة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ) = ذهاباً وإياباً (السرعة المتوسطة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= السرعة المتوسطة

ــــــــــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــ

دقيقة ٢٠ دقيقة ويقطعها أبنه في ٣٠ م في ١٢٠٠يقطع رجل مسافة : )١( مثال دقائق من انطالق ٥فإذا أنطلق األب لقطع هذه المسافة وأنطلق االبن وراءه بعد

األب فعند نهاية أي متر يلحق االبن بأبيه ؟ -:الحل

قة الدقي/ متر ٤٠= ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = سرعة األب

الدقيقة / متر ٦٠= ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = سرعة االبن

متر٢٠٠ = ٥ × ٤٠= الزمن × السرعة = دقائق يقطع األب ٥خالل الزمن الذي يلتقيان فيه ن دقيقة بعد انطالق االبن

الزمن ن× سرعة االبن ) = الزمن ن × سرعة األب + ( ٢٠٠ ن٦٠= ن ٤٠ + ٢٠٠ ن٤٠ – ن ٦٠ = ٢٠٠ ن٢٠ = ٢٠٠

٢٠بالقسمة على دقائق ١٠= ن

متر ٦٠٠عندها قطع األب واالبن

ساعة وفي / كلم ٦٠يسير محمد من بيته للمدرسة بسيارته بسرعة ) : ٢( مثال فما متوسط سرعته في الذهاب و العودة ؟. ساعة / كلم ٤٠العودة يسير بسرعة

- ) :١( الحل

)باً ذهاباً وإيا(المسافة اإلجمالية )ذهاباً وإياباً (الزمن اإلجمالي


ع المتوسطة ع اإلياب ع الذهاب ١ ١ ٢

المسافة زمنال

١٢٠٠ ٣٠

المسافة زمنال

١٢٠٠ ٢٠

J[



ــــــــــــــــــــــــــــ= ــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــ + ـــــــــــ

))حاصل ضرب الوسطين = حاصل ضرب الطرفين (( ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ

٢ × ٢٤٠٠= ع المتوسطة × ١٠٠ ساعة / كم ٤٨= ع المتوسطة

- ) :٢( الحل

ساعة/كم ٤٨= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = السرعة المتوسطة

ساعات وفي ٧في قطار يسير من محطة معينة إلى محطة أخرى معينة ) : ٣( مثال

ساعات ، فكم ٥ساعة لقطع المسافة في / كم ١٢طريق العودة يزيد سرعته كانت المسافة التي قطعها ؟

-:الحل :في الذهاب

ساعات٧= س ، الزمن = نفرض السرعة س٧ = ٧× س = الزمن × السرعة = المسافة

:في العودة ساعات٥= ، الزمن ١٢+ س = نفرض السرعة

٦٠+ س ٥ = ٥× ) ١٢+ س = ( الزمن × السرعة = افة المس نالحظ أن المسافة ثابتة بين المحطتين

إذاً المسافة في العودة = المسافة في الذهاب

٦٠+ س ٥= س ٧ ٦٠= س ٥ – س ٧ ٦٠= س ٢

٣٠= س

ع المتوسطة ع إياباً ع ذهاباً٢ ١ ١

المتوسطةع١ ١ ٢

٤٠ ٦٠

ع المتوسطة١٠٠ ٢

٢٤٠٠


٤٠ × ٦٠ × ٢ ٤٠ + ٦٠

J[



ساعة / كم ٣٠= س = ومنها السرعة كم ٢١٠ = ٣٠ × ٧= س × ٧= الزمن × السرعة = لمعرفة المسافة

م إلى الجنوب ، وأخيرا٦ً م إلى الغرب ثم ٩ م شماالً ثم ١٠سار محمد ) : ٤( مثال

م إلى الشرق ، فكم المسافة بينه وبين نقطة االنطالق ؟٦ -:الحل

باستخدام نص نظرية فيثاغورث ٢) الوتر = (٢ ٤ + ٢ ٣ ٢) الوتر = (١٦ + ٩

٥ = ٢٥ذر ج= ومنها الوتر ٢) الوتر = (٢٥ :التوضيح من خالل الشكل

متر إلى مدينة الرياض ثم أكمل المسير ، ٢٠٠سافر عبد اهللا مسافة ) : ٥( مثال فكم مجموع المسافة التي قطعها ؟. فقطع مسافة ثالثة أضعاف األولى

-:الحل متر ٨٠٠ = ٦٠٠ + ٢٠٠ ) = ٢٠٠ ( ٣ + ٢٠٠= مجموع المسافة التي قطعها

انطلقت سيارتان باتجاه واحد من مكان واحد وفي اللحظة نفسها إلى ) : ٦( ال مث

/ كم ٤٥ساعة وسرعة الثانية / كم ٣٠مدينة المجمعة فكانت سرعة األولى ساعات ؟٣كم تكون المسافة بينهما بعد مضي . ساعة -:الحل

الزمن × ) ١ ع– ٢ع= ( المسافة ٣× ) ٣٠ – ٤٥= ( المسافة

٣ × ١٥= سافة الم كم ٤٥= المسافة

J[



كم ، انطلقت شاحنة من ٨٦٤تبلغ المسافة بين الجبيل وبريده ) : ٧( مثال ساعة متجهة نحو بريده وفي الوقت نفسه انطلقت / كم ٤٨الجبيل بسرعة

على أي بعد . ساعة متجهة نحو الجبيل / كم ٦٠شاحنة أخرى من بريده بسرعة تان ؟من الجبيل تلتقي الشاحن

-:الحل ٨= ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الزمن

كم ٣٨٤ = ٨ × ٤٨= البعد عن الجبيل

ساعة فوصل / كلم ٨٠ كلم بسرعة ٢٤٠قطع قطار مسافة ) : ٨( مثال بمقدار ساعة ، فما السرعة التي يجب أن يسير بها القطار متأخراً عن موعدة

ليصل في موعدة دون تأخير ؟ -:الحل ساعات ٣= ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = الزمن

ليقطع المسافة في ساعتين

س/ كم١٢٠= ــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = يجب أن يسير بسرعة

٦أنطلق محمد من قريته إلى القرية المجاورة ، راكباً حصانه بسرعة ) : ٩( مثال

٣ساعة وبعد ساعة ونصف ترجل من على حصانة وسار ماشياً بسرعة / كلم فما المسافة بين . ساعة فوصل القرية بعد ساعتين ونصف من المشي / كلم

القريتين ؟ -:الحل

كلم٩= ٢؛# × ٦= الزمن × السرعة = المسافة األولى كلم٧,٥= ٢؛% × ٣= الزمن × السرعة = المسافة الثانية

المسافة الثانية + المسافة األولى = المسافة الكلية ٧,٥ + ٩= المسافة الكلية كلم١٦,٥= المسافة الكلية

المسافة السرعة الكلية

ف ٦٠ + ٤٨ ٢ع + ١ع

٨٦٤


٢٤٠ ٨٠


٢٤٠ ٢

J[



٢؛% =ساعتين ونصف ، ٢؛# = ساعة ونصف :همسة

٢٤٠ كم وقد قطعها القطار في ٣٦٠حساء المسافة بين الرياض واإل ) : ١٠( مثال

ساعة ؟/ أوجد السرعة للقطار في كم . دقيقة -:الحل

ساعات ٤= ــــــــــــــ = دقيقة ٢٤٠ دقيقة إذاً ٦٠= الساعة

ساعة / كم ٩٠= ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = السرعة

ساعة واألخرى / كلم ١٠٠يارتان األولى بسرعة انطلقت س ) : ١١( مثال كلم ؟٢٠بعد كم ساعة يصبح الفارق بينهما . ساعة / كلم ١٢٠بسرعة

-:الحل بما ان حركة الجسمين في اتجاه واحد

إذاً ساعة ١= ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = الزمن

ك شخصان من مكان واحد باتجاهين متعاكسين فإذا سار تحر ) : ١٢( مثال

ساعة فإن المسافة بينهما / كلم ٥ساعة والثاني بسرعة / كلم ٦األول بسرعة :بعد ساعتين هي

-:الحل ن× ) ٢ع + ١ع= ( المسافة ٢× ) ٥ + ٦= ( المسافة ٢ × ١١= المسافة كلم ٢٢= المسافة

ساعة وفي اللحظة / كم ٦٠بسرعة ) أ(من المدينة انطلقت سيارة ) : ١٣( مثال

/ كم ٨٠باتجاه معاكس بسرعة ) ب(نفسها انطلقت سيارة أخرى من المدينة كم فإن السيارتان ١٤٠٠) = ب(و ) أ(ساعة فإذا كانت المسافة بين المدينتين

)أ(من ....... تلتقيان على بعد -:الحل

٢٤٠ ٦٠

٣٦٠ ٤


المسافة ٢ ع– ١ع

٢٠ ١٠٠ - ١٢٠

٢٠ ٢٠

١٤٠٠ المسافة

J[



ساعات ١٠= ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ= الزمن

)أ( ألن طلب على بعد من ٦٠= في السرعة ١٠= ومنها نضرب الزمن ٨٠= في السرعة ١٠= نضرب الزمن ) ب(لو طلب على بعد من

إذاً )أ( كم من ٦٠٠ = ٦٠ × ١٠= تلتقيان على بعد

تماماً إذا كانت سةسادرجل لديه موعد ويريد الوصول الساعة ال ) : ١٤( مثال ١٠ساعة فإنه سيصل قبل الموعد بـ ساعة وإذا كانت سرعته / كم ١٥سرعته

ما هي السرعة المناسبة للوصول . ساعة فإنه يصل بعد الموعد بـ ساعة / كم على الموعد ؟

-:الحل ن = نفرض الزمن

١ –ن = قبل الموعد بـــ ساعة ١+ ن = بعد الموعد بــ ساعة

ومنها :لمسافة قبل الموعد ا

١٥ – ن ١٥ ) = ١ –ن ( × ١٥= الزمن × السرعة = المسافة :المسافة بعد الموعد

١٠+ ن ١٠ ) = ١+ ن ( × ١٠= الزمن × السرعة = المسافة بما أن المسافة ثابتة

إذاً ١٠+ ن ١٠ = ١٥ – ن ١٥ ١٥ + ١٠= ن ١٠ – ن ١٥ ٢٥= ن ٥

٥= ن

٨٠ + ٦٠ ٢ع + ١ع

J[



إذاً ساعات ٥= الزمن

في المسافة إليجاد القيمة ٥= نعوض عن الزمن كم٦٠ = ١٥ – ٧٥ = ١٥ – ) ٥ × ١٥ = ( ١٥ – ن ١٥= المسافة

ساعة / كم ١٢= ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = السرعة المناسبة

مرات من سرعة محمد فإذا علمت إن خالد قطع ٤سرعة خالد أكبر ) : ١٥( مثال كم؟٢٠٠ ساعات ، كم من الوقت سيحتاج محمد لقطع ٥ كم خالل ١٠٠٠فة مسا

:الحل س = نفرض سرعة محمد

س٤= فإن سرعة خالد ومنها

ـــــــــــــــــــ= سرعة خالد

ــــــــــــــــ = س ٤ ١٠٠٠ = ٥× س ٤ ١٠٠٠= س ٢٠

ساعة / كم ٥٠= س إذاً

ساعة / كم ٥٠= س = سرعة محمد إليجاد الزمن الذي قطعة محمد

ــــــــــــــــــ= سرعة محمد


٦٠ ٥


١٠٠٠ ٥


J[



ـــــــــــــ = ٥٠

ــــــــــــــ= الزمن

ساعات ٤= الزمن

ساعة لمدة / كم ٤٥تحركت سيارة في خط مستقيم بسرعة ) : ١٦( مثال ساعة لمدة / كم ٧٠ساعتين ونصف ثم زادت من سرعتها فتحركت بسرعة

فما هي المسافة الكلية التي قطعتها السيارة ؟. ساعتين أخريين -:الحل

كم ١١٢,٥ = ٢,٥ × ٤٥= الزمن × السرعة = المسافة األولى كم ١٤٠ = ٢ × ٧٠= الزمن × السرعة = المسافة الثانية

كم ٢٥٢,٥ = ١٤٠ + ١١٢,٥= المسافة الكلية

ساعة ويقطع هذه المسافة / كم ٦٠ته بسرعة رجل يقود سيار ) : ١٧( مثال فما هي . ساعة / كم٥٠بزمن مقداره أقل بــ ساعة كاملة مما لو كانت سرعته

المسافة التي يقطعها الرجل ؟ -:الحل

ن= نفرض الزمن ن × ٦٠= ساعة المسافة / كم ٦٠عند السرعة )١+ ن ( × ٥٠= المسافة ساعة / كم ٥٠عند السرعة

إذاً )١+ ن ( ٥٠= ن ٦٠ ٥٠+ ن ٥٠= ن ٦٠

الزمن٢٠٠

٢٠٠ ٥٠

J[



٥٠= ن ٥٠ – ن ٦٠ ٥٠= ن ١٠ ٥= ن

ومنها الزمن × السرعة = المسافة ٥ × ٦٠= المسافة كم ٣٠٠= المسافة

م شرقاً ك٣ كم شماالً ثم ٦ كم غرباً ، ثم ٨قاد رجل سيارته ) : ١٨( مثال أوجد أقصر مسافة بين نقطة النهاية التي وصل لها الرجل . كم شماالً ٦، ثم

ونقطة البداية ؟ -:الحل

من نص نظرية فيثاغورث ومن خالل الشكل ٢ )٥ + ( ٢ ) ١٢ = ( ٢)أقصر مسافة ( ٢٥ + ١٤٤ = ٢)أقصر مسافة ( ١٦٩ = ٢)أقصر مسافة (

١٣= أقصر مسافة

١٠ث فإنه يصل بعد خروج القطار بــ / م ٨ عندما يسير طارق بسرعة ) :١٩( مثال ١٠ث فإنه يصل قبل خروج القطار بــ / م ١٠ثواني وعندما يسير طارق بسرعة

ما هو بعد طارق عن القطار ؟. ثواني -:الحل

ن = نفرض الزمن ١٠+ ن = ثواني الزمن ١٠بعد خروج القطار بــ ١٠ –ن = ثواني الزمن ١٠قبل خروج القطار بــ

إذاً الزمن × السرعة = المسافة

J[



)١٠+ ن ( × ٨= المسافة بعد خروج القطار )١٠ –ن ( × ١٠= المسافة قبل خروج القطار

علماً بأن المسافة ثابتة إذاً )١٠ –ن ( ١٠ ) = ١٠+ ن ( ٨ ١٠٠ – ن١٠ = ٨٠+ ن ٨ ن٨ – ن ١٠ = ١٠٠ + ٨٠ ن٢ = ١٨٠ ٩٠= ن

ومنها م٨٠٠ = ١٠٠ × ٨ ) = ١٠ + ٩٠( × ٨ ) = ١٠+ ن ( × ٨= المسافة -:حل أخر

س= نفرض إن المسافة بين طارق والقطار ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ= الثاني زمن الذهاب ، ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ= ب األول زمن الذها

ثانية ٢٠= الفرق بين الزمنين

ــــــــــ = ٢٠ -ــــــــــ لــــ التخلص من المقامات ٨٠بالضرب في

س٨ = ١٦٠٠ – س ١٠ ١٦٠٠= س ٨ – س ١٠ ١٦٠٠= س ٢

متر ٨٠٠= إذاً المسافة بين طارق والقطار ٨٠٠= س

الساعة في الثلث األول من رحلتها / كلم ٨٠٠رة بسرعة تطير طائ ) : ٢٠( مثال فما متوسط سرعتها لبقية الرحلة إذا كان متوسط سرعتها خالل الرحلة كاملة

الساعة ؟/ كلم ٧٠٠كان -:الحل

الساعة / كلم ٨٠٠في الثلث األول السرعة الساعة / كلم سفي الثلث الثاني السرعة الساعة / كلم سفي الثلث الثالث السرعة

المطلوب متوسط سرعتها لبقية الرحلة يعني في الثلث الثاني والثلث الثالث الساعة / كلم ٧٠٠= علماً بأن متوسط سرعة الرحلة

المسافة المسافة السرعة السرعة

س١٠ ٨

س

١٠ ٨ س س

J[



إذاً ــــــــــــــــــــــــــــــــ= المتوسط الحسابي

ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٧٠٠

س٢ + ٨٠٠ = ٣ × ٧٠٠ س٢ = ٨٠٠ – ٢١٠٠ س٢ = ١٣٠٠

٦٥٠= س إذاً

٦٥٠= ــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = متوسط سرعتها لبقية الرحلة


س + س + ٨٠٠٣

س + س ٢ ٢

١٣٠٠ ٦٥٠ + ٦٥٠ ٢

J[



)..(عمليات على الكسور )..(

عند جمع الكسور العشرية نلتزم بجمع األجزاء من النوع نفسه ، األجزاء ) ١( .الخ ، وهكذا بالنسبة لعملية الطرح ... م األجزاء من عشرة من مائة ث

قد نحتاج إلى إعادة التسمية عند جمع أو طرح الكسور في صورتها ) ٢( .العشرية ، ويتم ذلك كما في خوارزميتي جمع وطرح األعداد الطبيعية

-:أوجد ناتج كل مما يأتي ) : ١( مثال

= ١٠٥,٦ + ٣,٧٥) أ ( -:الحل

عشان نجعل العددين من نفس النوع ٦نضيف صفر عند الـــ ))جزء من مئة ((

١٠٩,٣٥ = ١٠٥,٦٠ + ٣,٧٥

=١٥,٤٩ – ٢٤,٢٠٥) ب ( -:الحل

عشان نجعل العددين من نفس ٤٩نضيف صفر عند الـــ ))جزء من ألف (( النوع ٨,٧١٥ = ١٥,٤٩٠ – ٢٤,٢٠٥

= ٠,٤ + ٧,٦٥) جـ (

-:الحل من نفس ين عشان نجعل العدد٤نضيف صفر عند الــ

))جزء من مئة (( النوع٨,٠٥ = ٠,٤٠ + ٧,٦٥

٣.٧٥ ١٠٥.٦٠

+

٢٤.٢٠٥ ١٥.٤٩٠

-

٧.٦٥ ٠.٤٠

+

J[



=٦,٨٧٢ – ١٠,٨٦) د ( -:الحل

من نفس ين عشان نجعل العدد٦نضيف صفر عند الــ ))جزء من ألف (( النوع٣,٩٨٨ = ٦,٨٧٢ – ١٠,٨٦٠

=٢,٦ + ٠,١٠٧) هـ (

-:الحل عشان نجعل العددين من نفس ٦فرين عند الــ نضيف ص

))جزء من ألف (( النوع ٢,٧٠٧ = ٢,٦٠٠ + ٠,١٠٧

=٠,٤ – ٢,٤٢) و (

-:الحل عشان نجعل العددين من نفس٤نضيف صفر عند الــ

))جزء من مئة (( النوع ٢,٠٢ = ٠,٤٠ – ٢,٤٢

=٨,٠٦ + ١٢ + ٦٣,١) ل (

-:الحل ٨٣,١٦ = ٠٨,٠٦ + ١٢,٠٠ + ٦٣,١٠

=٣٨ + ١٧,٥٤٢ – ٥٥,٠٧) ع (

-:الحل ٣٧,٥٢٨ = ١٧,٥٤٢ – ٥٥,٠٧٠ ٧٥,٥٢٨ = ٣٨,٠٠٠+ ٣٧,٥٢٨

١٠.٨٦٠ ٦.٨٧٢

-

٠.١٠٧ ٢.٦٠٠

+

٢.٤٢ ٠.٤٠

-

٦٣.١٠ ١٢.٠٠ ٠٨.٠٦

+

٥٥.٠٧٠ ١٧.٥٤٢

- ٣٧.٥٢٨ ٣٨.٠٠٠

+

+

J[



)..(تابع العمليات على الكسور )..(

إننا نحتاج إلى توحيد المقامات عند إجراء عمليتي الجمع والطرح على ) ١( لمقام المشترك مساوياً المضاعف الكسور في صورتها المعتادة ، ونأخذ ا

ثم نجري التعديالت الالزمة ) أ . م . م ( المشترك األصغر للمقامات األصلية ولكننا ال نحتاج هذا األمر عند إجراء عمليتي الضرب . على البسوط األصلية

.والقسمة نحتاج تحويل األعداد الكسرية إلى الصورة الكسرية عند إجراء عمليتي ) ٢(

ولكننا ال نحتاج إلى هذا األمر عند إجراء . ب و القسمة على الكسور الضر .عمليتي الجمع أو الطرح

تحول عملية القسمة على الكسور إلى عملية الضرب ، فخارج قسمة كسر ) ٣( .على آخر يساوي ناتج ضرب األول في مقلوب الثاني

-:أوجد ناتج كل مما يأتي ) : ١( مثال

=١٢ــــــــــ + ٢٧ـــــــ ـــ) أ (

-:الحل ١٢ هو ٣ ، ٤أ للعددين . م . م إذاً

=١٢ــــــــــ + ٢٧ ــــــــــ

٤٠ـــــــــــ = ٣٩ــــــــــ = ٣٩ــــــــــــــــ = ١٢ـــــــــــ + ٢٧ ــــــــــ

=٣٢ ــــــــــ - ٥٠) ب (

-:ل الح

٤٩ـــــــــــ = ٤٩+ ــــــــــ = ٤٩ + ١ = ٥٠ إذاً

١٧ـــــــــ = ١٧ــــــــــــــ = ٣٢ ــــــــــ - ٤٩ــــــــ

٣ ٤

٢ ٣

٣ ٣ ٤

٣ ٢× ٣×

٤× ٤×

٩ ١٢ ١٢ ١٢ ١٢ ١٢

٨ + ٩ ٨ ١٧ ٥

٧ ٧ ٧

٧

٧ ٥

٧ ٧ ٧ ٧ ٥ ٧ ٥ - ٧ ٢

J[



=٣ـــــــــ × ٨ــــــــ ) جـ (

-:الحل

٣٠= ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ = ــــــــــ × ــــــــــ

=٢ـــــــــــ ÷ ٧ــــــــ ) د (

-:الحل

٣ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــ × ــــــــــ = ـــــــــــ ÷ ــــــــــ

٧

٧

٧

٤ ٢ ٥

٥ ٢٥ ٤٢

٥ ٥ × ٥ ٧ × ٦

٧ ٧ ٢٤ ٣

٧ × ١ ١٥ ١٦ ٨ ×٣

٢ ٣٥ ١٥ ٣٥ ٢ ١٦

١ ١٦ ٣

٢

J[



)..(تابع العمليات على الكسور )..(

هل الفاصلة ، وهذا يعني عند ضرب الكسور في الصورة العشرية ، نتجا ) ١( الخ ، ثم نضع .. ١٠٠٠ أو ١٠٠ أو ١٠ضرب كل كسر في قوة من قوى العشرة

ع قسمة الناتج على ما سبق الضرب فيه من قوى مالفاصلة في الناتج بما يتفق .العشرة

في القسمة يحول المقسوم عليه إلى عدد صحيح من خالل ضربه في إحدى ) ٢( ء الشيء نفسه بالنسبة للمقسوم حتى نحافظ على السؤال قوى العدد عشرة وإجرا

) .خارج القسمة ال يتغير (

-:أوجد ناتج كل مما يأتي ) : ١( مثال =٧,٠٥ × ١٣,٢٥) أ (

-:الحل

٩٣,٤١٢٥= ـــــــــــــــــ = ـــــــــــ × ــــــــــــــ

ربعة أصفار في المقام نضع الفاصلة بعد أربعة أرقام ألن عندنا أ والقراءة من جهة اليمين

= ١٢ × ١٧,٠٤) ب (

-:الحل

٢٠٤,٤٨ = ـــــــــــــــ = ١٢× ــ ـــــــــ

نضع الفاصلة بعد رقمين ، القراءة من جهة اليمين

=٠,٠٩ × ٥٧٣) جـ ( -:الحل

٥١,٥٧ = ـــــــــــــ= ــــــــــ × ٥٧٣

نضع فاصلة بعد رقمين ، القراءة من جهة اليمين

٩٣٤١٢٥ ٧٠٥ ١٣٢٥ ١٠٠٠٠ ١٠٠ ١٠٠

١٣٢٥ ٧٠٥ ٦٦٢٥ ٠٠٠٠٠ ٩٢٧٥٠٠ ٩٣٤١٢٥

×

+

١٧٠٤ ١٠٠

٢٠٤٤٨ ١٠٠

١٧٠٤ ١٢

٣٤٠٨ ١٧٠٤٠ ٢٠٤٤٨

×

+

٥١٥٧ ١٠٠ ١٠٠

٩

٥٧٣ ٩

٥١٥٧

×

J[



=٩,٠٥ × ٠,٥٨١) د (

-:الحل

٥,٢٥٨٠٥= ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ × ــــــــــــ

أرقام ، القراءة من جهة اليمين ٥نضع الفاصلة بعد

-:أوجد ناتج كل مما يأتي ) : ٢( مثال = ٧,٣ ÷ ٦١,٣٢) أ (

-:الحل راح أحرك الفاصلة رقم واحد لــ جهة اليمين من المقسوم ورقم واحد من

-:عشان أجعل المقسوم عليه عدد صحيح ، كذا ! المقسوم عليه ، ليه ؟٨,٤ = ٧٣ ÷ ٦١٣,٢

= ٠,٦٨ ÷ ٤,٧٩٤) ب ( -:الحل

وم ورقمين من المقسوم راح أحرك الفاصلة رقمين لــ جهة اليمين من المقس -:عشان أجعل المقسوم عليه عدد صحيح ، هكذا ! علية ، ليه ؟

٧,٠٥ = ٦٨ ÷ ٤٧٩,٤

١٠٠٠ ١٠٠ ٩٠٥ ٥٨١

١٠٠٠٠٠ ٥٢٥٨٠٥

٥٨١ ٩٠٥ ٢٩٠٥ ٠٠٠٠٠ ٥٢٢٩٠٠ ٥٢٥٨٠٥

×

+

٧٣ ٦١٣.٢ ٥٨٤

٢٩٢ ٢٩٢ ٠٠٠

٠٠٨.٤

-

-

٤٧٩.٤ ٦٨

٠٠٧.٠٥

٤٧٦ ٣٤٠ ٣٤٠ ٠٠٠

إذا نزلت رقمين في خطوة وحدة إذاً الزم أحط صفر في الناتج

-

-

J[



=٠,٦٨ ÷ ٤٧٩,٤) جـ ( -:الحل ٦,٨ ÷ ٤٧٩٤=

حركنا الفاصلة رقم واحد إلى اليمين نالحظ المقسوم أصبح عدد صحيح ولكن

ما زال عدد عشري المقسوم عليه والمهم عندنا المقسوم عليه وليس المقسوم

!كيف نجعل المقسوم عليه عدد صحيح ؟٦٨ ÷ ٤٧٩٤٠ =

نالحظ حركنا الفاصلة رقم إلى جهة اليمين أصبح المقسوم عليه عدد صحيح

ووضعنا لــ المقسوم صفر إذاً

٧٠٥ = ٦٨ ÷ ٤٧٩٤٠

٤٧٦ ٤٧٩٤٠

٠٠٧٠٥ ٦٨

٣٤٠ ٣٤٠ ٠٠٠

J[



)..(تمارين مهمة )..(

فكم دلو . ٣ م٤ لملء حوض ماء سعته ٣ م٠,٠٠٤يستخدم دلو سعته : ) ١( مثال يتطلب ملء الحوض ؟

١٠٠٠٠) د ١٠٠٠) جـ ١٠٠) ب ١٠) أ ١٠٠٠) جـ ( : الحل

٤ = ١٠٠٠ × ٠,٠٠٤= دلو ألن ١٠٠٠نحتاج

فكم عدد الخاليا التي . تنقسم خلية إلى خليتين كل عشر دقائق ) : ٢( مثال ة واحدة خالل ثالثين دقيقة ؟تتولد من خلي

٨) د ٦) جـ ٤) ب ٢) أ ٨) د ( : الحل

دقائق صار عندنا خليتين ١٠لدينا خلية بعد خاليا٤ دقائق صار عندنا ١٠لدينا خليتين بعد

خاليا ٨ دقائق صار عندنا ١٠ خاليا بعد ٤لدينا

أمثال طول أخيه فوجد أن طوله ثالثة . قاس محمد طوله بالسم ) : ٣( مثال خالد، ما هو طول محمد علماً أن طول خالد عدد صحيح ؟

١٦٠) د ١٥٠) جـ ١٤٠) ب ١٣٠) أ ١٥٠) جـ ( : الحل ١٥٠ باقي بدون ٣ على القسمة يقبل الذي الوحيد العدد

١٥٠ = محمد إذاً طول ٥٠ = خالد األصغر أخيه طول

؟= س٢ ٢ ، فإن ٣= س ٢إذا كان ) : ٤( مثال

٣) د ٤) جـ ٦) ب ٩) أ ٩) أ ( : الحل

٩ = ٣ × ٣ = س ٢ × س ٢ = )س + س ( ٢ = )س ٢( ٢

؟= ص ٢+ س ٦ فإن ٥= ص + س ٣إذا كان ) : ٥( مثال ١٠) د ٨) جـ ٥) ب ٢) أ

١٠) د ( : الحل

J[



٢بالضرب في )٥= ص + س ٣( × ٢ ١٠= ص ٢+ س ٦

.......... ÷ ٧= ــــــــ ـــــــ ) : ٦( مثال

٤٠٠) د ٤٠) جـ ٢٥) ب ٠,٠٤) أ ٢٥) ب ( : الحل

٢٥ ÷ ٧= من المقام ومنها الناتج ١٠٠ من البسط مع ٤نختصر

عددان يتكون الواحد منهم من آحاد و عشرات وآحاد األول هو عشرات ) ٧( مثال فإن أحد هذين العددين . ١٨الثاني وبالعكس ، إذا كان الفرق بين العددين هو

-:هو ٦٩) د ٦٧) جـ ٦٤) ب ٤٥) أ

٦٤) ب ( : الحل ٩ - = ٥٤ – ٤٥= ألن ) أ ( راح أستبعد

١٨ = ٤٦ – ٦٤= ألن ) ب ( الحل ٩ - = ٧٦ – ٦٧= ألن ) جـ ( راح أستبعد ٢٧ - = ٩٦ – ٦٩= ألن ) د ( راح أستبعد

؟١٢٨ أي حد هو .... ، ٨ ، ٤ ، ٢: متتالية ) : ٨( مثال

٨) د ٧) جـ ٦) ب ٥) أ ٧) جـ ( : الحل

٢ = ١ ٢ ٤ = ٢ ٢ ٨ = ٣ ٢ ١٦ = ٤ ٢ ٣٢ = ٥ ٢ ٦٤ = ٦ ٢ ١٢٨ = ٧ ٢

٤ × ٧ ١٠٠

J[



، ١٦= ، إذا حذفنا رقم أصبح المتوسط ١٥= متوسط عشرة أرقام ) : ٩( مثال ؟= فإن الرقم المحذوف

٩) د ٦) جـ ٥) ب ١) أ ٦) جـ ( : الحل

١٥٠ = ١٥ × ١٠= أرقام ١٠مجموع ١٤٤ = ١٦ × ٩= أرقام ٩مجموع

٦ = ١٤٤ – ١٥٠= الرقم المحذوف

كم نسبته ؟. درجة ١٥٠٠ درجة من ١٢٠٠حصل طالب على ) : ١٠( مثال %٧٥) د %٧٠) جـ %٨٥) ب %٨٠) أ

%٨٠) أ ( : الحل ــــــــــــــ= ــــــــــــــــ

١٢٠٠× % ١٠٠ = ١٥٠٠× س %٨٠= س

من راتبه % ١٥ ريال لشراء كتب ، وهذا المبلغ يمثل ١٢٠٠أنفق أحمد ) : ١١( مثال

كم راتب أحمد ؟ ٨٥٠٠) د ٨٠٠٠) جـ ٧٥٠٠) ب ٧٠٠٠) أ ٨٠٠٠) جـ ( : الحل

ريال١٢٠٠ % ١٥ ٣بالقسمة على

ريال٤٠٠ % ٥ ٢٠ب في بالضر

ريال٨٠٠٠ % ١٠٠

كم قطعة تبقى ؟. طفل بالتساوي ١٢ قطعة حلوى على ٣٢وزعت ) : ١٢( مثال ١٧) د ١٥) جـ ١٠) ب ٨) أ

٨) أ ( : الحل قطعة حلوى ٢٤ = ٢ × ١٢= طفل نصيب كل طفل قطعتين من الحلوى ١٢

قطع ٨ = ٢٤ – ٣٢= الباقي

١٢٠٠ ١٥٠٠

%س ١٠٠%

J[



؟= ، س ٣٦٠من % ١٠= من س % ٢٠ ) : ١٣( مثال ٢٠٠) د ١٨٠) جـ ١٥٠) ب ١٣٠) أ

١٨٠) جـ ( : الحل ٣٦٠× ـــــــــ = س × ـــــــــ

٣٦٠ × ١٠= س × ٢٠ ٣٦ × ٥= س ١٨٠= س

سنوات يصبح عمر ١٠رجل عمره اآلن ثالثة أمثال عمر ابنة وبعد ) : ١٤( مثال آلن ؟كم عمر األب ا. سنة ٢٠االبن سنة٤٠) د سنة٣٥) جـ سنة٣٠) ب سنة٢٥) أ سنة ٣٠) ب ( : الحل

١٠= ومنها عمر االبن ٢٠ = ١٠+ عمر االبن سنة ٣٠ = ١٠ × ٣= عمر االبن × ٣= عمر األب

... ، ٣٠ ، ٢١ ، ١٢ ، ٣: الحد الخامس في المتتالية ) : ١٥( مثال

٥٩) د ٤٩) جـ ٣٩) ب ٢٩) أ ٣٩) ب ( : حل ال١٢ = ٩ + ٣ ٢١ = ٩ + ١٢ ٣٠ = ٩ + ٢١ ٣٩ = ٩ + ٣٠

: ؟ العدد هو ٣٢ من ثالثة أمثاله كان الناتج ٧عدد طرحنا ) : ١٦( مثال

١٤) د ١٣) جـ ٩) ب ٨) أ ١٣) جـ ( : الحل

٣٢ = ٧ – س ٣ ٣٩= س ٣

١٣= س

٢٠ ١٠٠ ١٠٠

١٠

J[



قة مضت ؟كم دقي. درجة ١٢٠تحرك عقرب الساعة ) : ١٧( مثال دقيقة٢٨٠) د دقيقة٢٦٠) جـ دقيقة٢٤٠) ب دقيقة٢٢٠) أ

دقيقة ٢٤٠) ب ( : الحل درجة أي ٣٠ دقيقة فإن عقرب الساعات يتحرك ٦٠إذا تحرك عقرب الدقائق

بمقدار النصف درجة أي ١٢٠ دقيقة فإن عقرب الساعات يتحرك ٢٤٠تحرك عقرب الدقائق إذاً

بمقدار النصف

جرام من الذهب والفضة ، وزن قطعة ١٣٠لدى بائع ذهب صندوق به ) : ١٨( ال مثما أكبر عدد من الذهب يمكن وضعه . جرام ٥ جرام ، وقطعة الفضة ٨الذهب

في الصندوق مع أقل عدد من الفضة ؟ ذهب١٥) أ

فضة٢و ذهب١٦) ب

فضة١و ذهب١٤) جـ فضة٣و

ذهب١٠) د فضة٥و

فضة ٢ ذهب و ١٥) أ (:الحل الفضة = الذهب ، ص = نفرض س

١٣٠ = ص ٥ + س ٨ بتجربة الخيارات

١٣٠ ) = ٢ ( ٥ ) + ١٥ ( ٨ ١٣٠ = ١٠ + ١٢٠ ٢ = الفضة من عدد أقل و ١٥ = الذهب من عدد أكبر إذاً

م٢ م و نقص طولها ٢لــو زاد عرضها . م ٤٨غرفة مستطيلة محيطها ) : ١٩( مثال

؟........ ت مربعة وأصبحت مساحتها ألصبح ١٨٨) د ١٦٦) جـ ١٤٤) ب ١٢٢) أ

١٤٤) ب ( : الحل ص = س ، العرض = نفرض الطول

بتجربة الخيارات ١٤٤= مساحة المربع ١٢ × ١٢= مساحة المربع )٢+ ص ) ( ٢ –س = ( مساحة المربع

١٠ = ومنها ص ١٢ = ٢+ ، ص ١٤= ومنها س ١٢ = ٢ –س ٤٨ = ٢٤ × ٢ ) = ١٠ + ١٤( × ٢) = العرض + الطول ( × ٢= محيط المستطيل

J[



= طويت لمستطيلين متساويين محيط الواحد . قطعت ورقة مربعة ) : ٢٠( مثال سم ، ما مساحة الورقة األصلية ؟١٢

٢ سم١٨) د ٢ سم١٦) جـ ٢ سم١٤) ب ٢ سم١٢) أ ٢ سم١٦) جـ ( : الحل س = ورقةال ضلع طول ســــــــ = العرض الطي بعد

)س ــــــــ + س( ٢ = المحيط س) ـــــــ (٢ = ١٢ ١٢ = س ٣

٤ =س ٢سم ١٦ = ٢ ٤ =األصلية الورقة مساحة

ريال ٥٠وكيساً للبضاعة ثمنه أقل بـــ . ريال ٧٤اشترى رجل ثيابه بــ ) : ٢١( مثال

كم دفع الرجل ؟. من ثمن ثيابه ٢٤) د ١٢٤) جـ ٩٨) ب ٨٨) أ

٩٨) ب ( : الحل ريال٢٤ = ٥٠ – ٧٤= ثمن كيس البضاعة

ريال٩٨ = ٢٤ + ٧٤= ثمن البضاعة + ثمن الثياب = دفع الرجل

؟ = ١ – س ٨ + ٢ س– ٣ س٢: فإن ١-= إذا كانت س ) : ٢٢( مثال ١٢ –) د ١٢) جـ ١٠ -) ب ١٠) أ

١٢ -) د ( : الحل ١٢ - = ١ – ٨ – ١ – ٢ - = ١ – ) ١ - ( ٨ + ٢ )١ - ( – ٣ )١ - ( ٢

........... ، ٩ ، ــــــــ ٧ ، ــــــــ ٥ ، ـــــــ ٣الحد الخامس في المتتالية ـــــــ ) : ٢٣( مثال

١١ ٦؛! ) أ

٩ ٥؛! ) د ١٠ ٩؛! ) جـ ١٣ ٧؛! ) ب

١١ ٦؛ !) أ : ( الحل

١ ١ ١ ١ ٥ ٤ ٣ ٢

١ ١ ٢ ٣ ٢

٢

J[



..... ، ١٣ ، ١١ ، ٩ ، ٧ ، ٥ ، ٣عداد فردية العدد الصحيح عبارة عن أنالحظ أن .... ، ٧، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢أعداد طبيعية متسلسلة وإن مقام الكسر عبارة عن

دقيقة لكل ٢٠ضبطت ساعة على الثامنة صباحاً لكنها تؤخر ) : ٢٤( مثال

مساءً ؟٨فكم يكون الوقت فيها إذا كان الوقت الفعلي . ساعة مساء ٦ً) د مساء٨ً) جـ مساء٤ً) ب صباحا٤ً) أ

مساء٤ً) أ ( : الحل ساعة ١٢= مساء ٨ الساعة إلى صباحا ٨ الساعة من

ساعة كل دقيقة ٢٠ تتأخر الحائطية الساعة دقيقه ٢٤٠ = ١٢ × ٢٠

ساعات ٤= ــــــــــ = مقدار التأخير إذاً

مساءً ٤= ساعات ٤ – مساءً ٨= الوقت فيها

؟= ـــــــــــــــــــــ فإن س = ــــــــــــــــــــ : إذا علمت أن ) : ٢٥( مثال

٤) د ٣) جـ ٢) ب ١) أ ١) أ ( : الحل

١+ س ٢= س + ٢ س– س ٢ = ١ – ٢ س = ١

من س ؟ % ٥٠ ، كم ٨= من س % ١٠إذا كان ) : ٢٦( مثال ٨٠) د ٦٠) جـ ٤٠) ب ٢٠) أ

٤٠) ب ( : الحل ٨٠= ومنها س ٨= س × ـــــــــ

٤٠ = ٨٠× ـــــــــ = ٨٠× % ٥٠

كم كوب . لتر ٠,٣وكوب الشاي سعته . لتر ٢,٢٥غالية ماء سعتها ) : ٢٧( مثال

ممتلئ يمكن إعداده ؟ ٨) د ٧) جـ ٦) ب ٥) أ

١ ١+ س ٢ س + ٢

١

١٠ ١٠٠

١٠٠ ٥٠

٢٤٠ ٦٠

J[



٧) جـ ( : الحل تالخيارا بتجربة

أكواب فقط٥ عدد األكواب الممتلئة ٢,٢٥ < ١,٥ = ٠,٣ × ٥ ألن ) أ ( أستبعد راح أكواب فقط٦ عدداألكواب الممتلئة ٢,٢٥ < ١,٨ = ٠,٣ × ٦ ألن ) ب ( أستبعد راح

٢,٢٥> ٢,٤ = ٠,٣ × ٨ألن ) د ( راح أستبعد ممتلئة يمكن إذاً أكبر عدد من األكواب ال ٢,٢٥ < ٢,١ = ٠,٣ × ٧ألن ) جـ ( الحل

أكواب ٧= إعدادها

؟= من س ، فإن س % ١٥ = ٦٠إذا كان ) : ٢٨( مثال ٤٥٠) د ٤٠٠) جـ ٣٥٠) ب ٣٠٠) أ

٤٠٠) جـ ( : الحل س× ـــــــــ = ٦٠

س × ١٥ = ٦٠٠٠ ٤٠٠= س

طالب في مدرسة في الصف األول الثانوي وكانت نسبة النجاح ٨٠ ) : ٢٩( مثال

فما عدد الناجحين ؟ % . ٧٥ طالب٦٠) د طالب٦٥) جـ طالب٧٥) ب طالب٨٠) أ طالب٦٠) د ( : الحل

طالب ٦٠ = ٨٠× ــــــــــ = ٨٠× % ٧٥= عدد الناجحين

٢١مقاعدها شاغرة وفي جدة ركب ٣؛! أقلعت طائرة من الرياض و ) : ٣٠( مثال

مقاعدها مستعملة ، فأي المعادالت التالية ٤؛# مسافراً دون أن ينزل أحد ، فأصبح

:تعبر عن ذك إذا اعتبرنا أن س هو عدد المقاعد في الطائرة س٤؛ # = س٣؛ ! + ۲١) أ س٤؛ # = ۲١ + س ٣؛ @) ب

س٣؛ ! = ۲١÷ ٤؛ #) جـ س ٩ = ۲٦١ + س ٨) د

س٤؛ # = ۲١ + س ٣؛@ ) ب : الحل

راكب ٢١+ مستعملة اعدها مق س٣؛@ إذاً مقاعدها شاغرة ٣؛!

١٥ ١٠٠

٧٥ ١٠٠

J[



-:مجموع ما يلي ) : ٣١( مثال : هو ] ) ٣٢ + ... + ٦ + ٤ + ٢ ( – ) ٣٣ + ... + ٥ + ٣ + ١ ( [

١٧) د ١) جـ ٣٢) ب ٣٣) أ ١٧) د ( : الحل

-:األعداد الفردية ١٧ = ١ + ١٦ ، ١٦ = ٢ ÷ ٣٢ ، ٣٢ = ١ – ٣٣

٢٨٩ = ] ٣٣ + ١ [ ؛!٢؛& = ١٧ جـ

-:داد الزوجية األع١٦ = ٢ ÷ ٣٢

٢٧٢ = ] ٣٢ + ٢ [ ؛!٢؛^ = ١٦جـ

إذاً ١٧ = ٢٧٢ – ٢٨٩= المجموع

) : ، س ١٢ ، ٨ ، ٦ ، ٥ ، ٣ ، ٢( أوجد س في المتتالية ) : ٣٢( مثال

١٥) د ١٤) جـ ١١) ب ١٠) أ ١١) ب ( : الحل

٢ ٣ ٥ = ٣ + ٢ ٦ = ٢ × ٣ ٨ = ٣ + ٥ ١٢ = ٢ × ٦ ١١ = ٣ + ٨ ٢٤ = ٢ × ١٢

س + ٤٢ + ١٥ + ٦ + ٣ + ٢: أوجد س في المتسلسلة التالية ) : ٣٣( مثال ١٢٣) د ١٢٥) جـ ١٢٢) ب ١٢٧) أ

١٢٣) د ( : الحل ٣ = صفر ٣ + ٢٦ = ١ ٣ + ٣

J[



١٥ = ٢ ٣ + ٦ ٤٢ = ٣ ٣ + ١٥ ١٢٣ = ٤ ٣ + ٤٢

-:أوجد ناتج ما يلي ) : ٣٤( مثال

) = : ٢؛ ٠؛ ٠؛ ٣؛ ! - ١( × ..... × ) ٥؛ ! - ١( × ) ٤؛ ! - ١( × ) ٣؛ ! - ١( × ) ٢؛ ! - ١( ٢؛ ٠؛ ٠؛ ٣؛! ) د ٢؛@٠؛(٠؛(٣؛ @ ) جـ ٢٠٠٢) ب ١) أ

٢؛ ٠؛ ٠؛ ٣؛!) د ( : الحل ٢؛@٠؛(٠؛(٣؛ @× ... × ٥؛ $ × ٤؛ # × ٣؛ @ × ٢؛ !

م ، فإذا كانت ٤ م ، ٢ م ، ٣م ، ٦أربع عجالت أنصاف أقطارها ) : ٣٥( مثال دورة في الدقيقة ، فما سرعة دوران العجلة ٦٠سرعة دوران العجلة األولى

األخيرة ؟ ٤٠) د ٩٠) جـ ٦٠) ب ٣٠) أ

٩٠) جـ ( : الحل عكسي هنا التناسب ألن

الدقيقة في الدورات عدد زادت العجلة قطر قل كلما س × ٤ = ٦٠ × ٦

٩٠ = س

= :٣٠ ٢ + ٣٠ ٢ + ٣٠ ٢+ ٣٠ ٢ ) : ٣٦( مثال ٣٠ ٨) د ١٢٠ ٢) جـ ٣٢ ٢) ب ٣٤ ٢) أ

٣٢ ٢) ب ( : الحل ٣٢ ٢= ٢ ٢ × ٣٠ ٢ = ٤ × ٣٠ ٢) = ١+ ١ + ١ + ١ ( ٣٠ ٢نسحب عامل مشترك

= : ، فإن س س ٢ = ٩٩ ٢ – ١٠٠ ٢ ) : ٣٧( مثال

١٠٠) د ٢) جـ ٩٩) ب ١) أ ٩٩) ب ( : الحل

س ٢ ) = ١ – ٢ ( ٩٩ ٢ س ٢ = ١ × ٩٩ ٢

٩٩= س

J[



، وإذا عكست مواقع الخانات ١٢أوجد عدداً من خانتين مجموعهما ) : ٣٨( مثال من قيمته ؟١٨فيه يفقد

٤٨) د ٧٥) جـ ٥٧) ب ٨٤) أ ٧٥) جـ ( : الحل

١٢ = ٧ + ٥ ١٨ = ٥٧ – ٧٥

:هي) س ، ص ( إن النقطة ك ، ف٣٢= إذا كانت مساحة المستطيل ) : ٣٩( مثال )٣ ، ٤) ( د )٥ ، ٨) ( جـ )٤ ، ١٣) ( ب )٨ ، ٤) ( أ )٤ ، ١٣) ( ب ( : الحل

٤= ، العرض ٨ = ٥ – ١٣= الطول ٣٢ = ٤ × ٨= العرض × الطول = المساحة

-:قارن بين ) : ٤٠( مثال

٢ ٢٧ + ٢ ٤٣) أ ٢ )٢٧ + ٤٣) ( ب

) ب ( <) أ ( : الحل ) ب ( عند فك

)٢ )٢٧ ) + ( ٢٧ × ٤٣ ( ٢ + ٢)٤٣ )٢٧ × ٤٣ × ٢ + ( ٢ )٢٧ + ( ٢ )٤٣(

)٢٧ × ٤٣ × ٢ + ( ] أ [ إذاً )أ ( أكبر من ) ب (

-: ص بالصورة التالية kإذا عرفّنا العملية س ) : ٤١( مثال ٢ k ٣أوجد ٤+ ص = ص kس

٧) د ٨) جـ ٥) ب ٦) أ ٦) أ ( :الحل

٣ k ٦ = ٤ + ٢ = ٢ )..(تابع العمليات على الكسور )..(

J[



إجراء العمليات األساسية على الكسور في صورتها المعتادة و العشرية عند ) ١(معاً ، يلزم تحويلها لتصبح جميعها في صورة واحدة ، المعتادة أو العشرية ونفضل

.في ذلك الطريق األسهل صورة المعتادة إلى الصورة العشرية بقسمة بسطة على يحول الكسر من ال ) ٢(

.مقامة قسمة مطولة اإللمام بالصورتين المعتادة و العشرية لعدد من الكسور يريح كثيراً في ) ٣(

إجراء العمليات األساسية على الكسور في صورتيها المعتادة و العشرية معاً ، هذه -:الكسور هي

٠,١٢٥= ـــــــــ ٠,٢٥= ـــــــــ ٠,٥= ـــــــــ

٠,٦٢٥= ــــــــــ ٠,٣٧٥= ـــــــــ ٠,٧٥= ـــــــــ

٠,٤= ـــــــــ٠,٢= ـــــــــ ٠,٨٧٥= ـــــــــ

٠,٨= ـــــــــ ٠,٦= ــــــــ

-:أوجد ناتج كل مما يأتي ) : ١( مثال = ٨ــــــــــ + ٤,٥) أ (

-: ) ١( الحل ١٣,٢٥ = ٨,٧٥ + ٤,٥٠ = ٨,٧٥ + ٤,٥

- ) :٢( الحل ١٣ــــــــــ = ١٢ــــــــــ = ٨ــــــــــ + ٤ــــــــــ = ٨ــــــــــ + ٤ــــــــ

=٩,٧٥ – ٢٥ــــــــــ ) ب (

١ ١ ١

١

٢

٢

٥

٥

٥

٥

٣ ٣ ٥

٣

٨

٨ ٨

٧

٤

٤

٤ ٨

٣ ٤

١ ١ ٢

٣ ٤ ٤ ٤ ٤ ٤

٢ ٣ ٥

٥ ٢

J[



- ) :١( الحل ١٥,٦٥ = ٩,٧٥ – ٢٥,٤٠ = ٩,٧٥ – ٢٥,٤

- ) :٢( الحل ٩ ــــــــــ - ٢٥ـــــــــ

٩ ـــــــــ - ٢٥ــــــ ـــ

١٥ـــــــــــ = ٩ ـــــــــ - ٢٤ـــــــــ

=٦,٤ × ١١ــــــــــ ) جـ (

- ) :١( الحل ٧٢,٨ = ٧٢,٨٠٠٠ = ٦,٤ × ١١,٣٧٥ - ) :٢( الحل ٦ــــــــــ × ١١ـــــــــ

٦ــــــــــ × ١١ـــــــــ

٧٢ـــــــــــ = ــــــــــــــ = ـــــــ ـــ× ــــــــــ

=٤ــــــــــ ÷ ٣٦,٤٥) د (

- ) :١( الحل ٨,١ = ٤٥ ÷ ٣٦٤,٥ = ٤,٥ ÷ ٣٦,٤٥ - ) :٢( الحل ٨,١٠= ـ ـــــــــــ= ــــــــــــــــــ = ـــــــ ×ــــــــــــ= ــــــــــ ÷ ــــــــــــ = ٤ــــــــــ ÷ ـــــــــــــ

)..(تطبيقات حياتية على الكسور )..(

أدخر محمد مبلغ من المال قيمته ص ريال ، اشترى بربعة كرة قدم ) : ١( مثال فكم تبقى معه من مدخراته ؟. وبثلثي الباقي بدله رياضية

-:الحل

٢ ٥

٣ ٤

٢٠ ١٥ ٨

٢٠

٢٠ ٢٠ ١٥ ٢٨

٢٠ ١٣

٣ ٨

٤ ٣ ١٠ ٨

٣ ٥ ٨

٢

٩١ ٥ ٨

٣٢ ٥ ٥

٣٦٤ ٤

٢ ١

١ ٣٦٤٥ ٣٦٤٥ ٢ ٢ ١٠٠ ١٠٠

٣٦٤٥ ٩ ٩ ١٠٠

٢ × ٤٠٥ ٢ ١٠٠ ١٠٠

٨١٠

:شرح

J[



ص ريال= قيمة المبلغ الذي أدخره ـــــــــ ص= اشترى بربع المبلغ كرة قدم

ــــــــــ ص = الباقي

= اشترى بدله رياضية الباقيوبثلثي ـــــــــــ ص = ــــــــــ ص × ــــــــــ

ــــــــــ ص = ـــــــــ ص -ـــــــــ ص = تبقى معه

-:أنفق موظف راتبه الشهري كاآلتي ) : ٢( مثال

ب إيجار للسكن ، و ـــــــــ الراتب للطعام والمالبس ، والباقي مصروفات ـــــــــ الرات فما النسبة المئوية للمصروفات األخرى ؟. أخرى -:الحل

من الكسر ـــــــــ نعتبر إن الراتب الشهري ــــــــــ :ويتم حل السؤال بالرسم كذا

٥ف المربعات للطعام والمالبس يعني مربعات إيجار للسكن ، نص١٠ مربعات من ٣ مربعات ، الباقي مربعين

إذاً ـــــــــ = مصروفات أخرى

ومنها النسبة المئوية = ـــــــــــ

ــــــــــ حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين= ــــــــــ

%٢٠= س ١٠٠ × ٢ = ١٠× س

لدى مزارع حديقة فواكه زرع ـــــــ مساحتها أشجار برتقال و ـــــــــ : ) ٣( مثال ما الكسر الذي . ما تبقى من مساحتها أشجار رمان و زرع بقية الحديقة أشجار موز يمثل مساحة األرض المزروعة موز من مساحة الحديقة كلها ؟

-:الحل نفرض مساحة الحديقة ـــــــــ

١ ٣ ٤

٤

ــــــــ ص ريال = ص ريال

ـــــــــ ص+ ـــــــــ ص + ــــــــ ص + ــــــــ ص =

٤ ٤

٤ ٤ ٤ ٤ ١ ١ ١ ١

٤ ٢ ٣

٣ ١ ٢

٣ ٤

١ ٤ ٢

١

١٠ ١ ٣

٢

٣ ١٠

١٠ ١٠

١٠ ٢

الجزء الكل

٢ ١٠٠ ١٠

س

١ ٤

٣ ٩

٤ ٤

J[



ـــــــــ+ ـــــــــ + ــــــــ + ـــــــــ = ــــــــــ : ظة مالح إذاً

ــــــــ = ـــــــــ إذاً الباقي من مساحة األرض = مساحة األرض المزروعة برتقال

ـــــــــ = ــــــــ × ــــــــ = مساحة األرض المزروعة رمان

ــــــــ األرض= ــــــــ + ــــــــ = ل و رمان مساحة األرض المزروعة برتقا

إذاً ـــــــــ األرض = ــــــــ - ١= مساحة األرض المزروعة موز

فما . يومه في الدراسة و ـــــــــ يومه في النوم ــــــــيقضي محمد ) : ٤( مثال

؟الكسر الذي يعبر عن الوقت الذي يقضيه في األعمال األخرى -:الحل

١٢ ) = ٣ × ٤( مربع ألن ١٢راح نرسم ـــــــــ = ـــــــ يومه في الدراسة

ــــــــــ = ـــــــ يومه في النوم

إذاً

ـــــــــ= الوقت الذي يقضيه في األعمال األخرى

ة محمود ــــــــــ صرف محمد ثلث ما لديه من نقود ثم أعطى صديق ) : ٥( مثال ما تبقى معه فأي كسر من الكسور التالية يمثل ما تبقى مع محمد ؟

-:الحل ــــــــــ= صرف محمد ـــــــــ ما لديه ، وتبقى مع محمد

٤ ٤ ٤ ٤ ٤ ٤

١ ١ ١ ١

٤ ١

٤ ٣

٣ ٩ ٤

١ ٣ ٤

٢ ٤ ٤ ١ ١ ١

١ ٢ ٢

١

١ ٤ ٣

١

١ ٤

٣ ١٢

١ ١٢ ٣

٤

٥ ١٢

٢ ٥

٣ ١

٣ ٢

٤ ٢ ٢ ٢

J[



ـــــــــــ= ــــــــــ × ــــــــــ = أعطى محمود ــــــــــ ما تبقى معه

) ـــــــــ + ـــــــــ ( – ١= الباقي مع محمد

ـــــــــ- ١= الباقي مع محمد

ـــــــــ= الباقي مع محمد

صرف عبد الرحمن ــــــــ ما لديه من نقود ثم أعطى أخيه طالل ــــــــ ) : ٦( مثال فأي كسر يمثل ما مع طالل ؟. ما تبقى معه

-:الحل ــــــــــ= ما لديه الباقي معه صرف عبد الرحمن ــــــــــ

ــــــــــ= ــــــــــ × ـــــــــــ = ـــــــــــ ما تبقى معه = أعطى طالل

استهلكت سيارة في اليوم األول ـــــــــ كمية الوقود في خزانها ثم ) : ٧( مثال

فما . ة الوقود المتبقية في هذا الخزان استهلكت في اليوم الثاني ــــــــــ كمي مقدار الكمية المتبقية من الوقود ؟

-:الحل ـــــــــــ= ـــــــــــ الباقي معه = استهلكت في اليوم األول

ـــــــــ= ـــــــــ × ــــــــ = ـــــــــ كمية الوقود المتبقية = استهلكت في اليوم الثاني

) ــــــــ + ــــــــ ( – ١= المقدار المتبقي

ـــــــــ = ـــــــــ = ـــــــــ - ١= المقدار المتبقي

رياالً ، أعطى ابنه األول ـــــــــ المبلغ ، ثم أعطى ابنه ٧٥٠لدى رجل ) : ٨( مثال بقى معه ؟فكم رياالً. الثاني ـــــــــ المبلغ المتبقي

-:الحل ريال٣٠٠= ـــــــــ × ٧٥٠= ما أخذه االبن األول

١٥ ٥ ٥ ٣

٤ ١٥

١ ٣

١٥ ٩

٥ ٢

٥ ٣ ٢

٤

٥ ٣ ٢

٥

٣ ٣ ٤ ٤ ٥

٩ ٣ ٢٠

١ ٤ ٣ ٥

٤ ٤ ٣ ١

٥ ٣

٤ ٣ ٣

٥ ٩ ٢٠

٩ ١ ٢٠ ٤

٢٠ ١٤

١٠ ٢٠ ٦ ٣

٢ ٥

٢ ١

٢ ٥

J[



ريال٤٥٠ = ٣٠٠ – ٧٥٠= المتبقي من المبلغ ريال٢٢٥= ـــــــــ × ٤٥٠= نصيب الولد الثاني

إذاً ريال٢٢٥ = ٥٢٥ – ٧٥٠ ) = ٢٢٥ + ٣٠٠ ( – ٧٥٠= الباقي

اختار األول ـــــــــ الجائزة ، والثاني ثلثها ، تقاسم ثالث شبان جائزة ) : ٩( مثال

فإن قيمة الجائزة ؟. ريال ١٢٠والثالث -:الحل

س= نفرض قيمة الجائزة س= نصيب الثالث + نصيب الثاني + نصيب األول

س = ١٢٠+ ــــــــ س + ـــــــــ س

لـــ التخلص من المقام ١٥نضرب المعادلة في س١٥ = ١٨٠٠+ س ٥+ س ٦ س١٥ = ١٨٠٠+ س ١١

س١١ – س ١٥ = ١٨٠٠ س٤ = ١٨٠٠

٤بالقسمة على ٤٥٠= س

في أحدى المدارس الثانوية وفي أحد األيام ــــــــــ من الطالب غائبون ) : ١٠( مثال

طالب ٧٠٤عدد الباقين . ، وخمس الحاضرين ذهبوا رحلة مدرسية فإن عدد طالب المدرسة ؟

-:الحل

من الطالب غائبون إذاً ــــــــــ من الطالب حاضرون ـــــــــ

ـــــــــ الحاضرون ذهبوا رحلة مدرسية إذاً ــــــــــ من الحاضرين لم يذهبوا وفضلوا البقاء

س= نفرض الحاضرين

٢ ١

٢ ٥

٢ ٣ ٥

١

١ ١٢

١٢ ١

١٢ ١١

١ ٥ ٥

٤

J[



إذاً ٨٨٠ =ــــــــــــــــــــــــ = س ٧٠٤= س × ـــــــــ إذاً

طالب٨٨٠ـــــــــــ

١١بالقسمة على

طالب ٨٠ـــــــــــ

ومنها طالب٩٦٠ = ٨٠ + ٨٨٠= عدد طالب المدرسة

ثم صرف في األسبوع . صرف حمد في األسبوع األول ــــــــــ الراتب ) : ١١( مثال

ما مقدار الجزء المتبقي من الراتب لديه ؟. ـــــــــ الباقي من الراتب الثاني من الشهر ـ -:الحل

٤ والمقام الثاني ٣ألن المقام األول ! ؟١٢ليه . جزء ١٢= نفرض أن راتب حمد ١٢ = ٤ × ٣ومنها

الراتب يعني نظلل أربعة مربعات ثلثصرف حمد في األسبوع األول

الباقي يعني نظلل مربعين فقط ربعسبوع الثاني ثم صرف في األ ــــــــــ= ــــــــــ = مقدار الجزء المتبقي

صرف أحمد ـــــــــ من ما لديه من نقود ، ثم أعطى ــــــــــ الباقي ألخته ) : ١٢( مثال

فأي كسر من . شيماء ، ثم قسم ما تبقى بين أخوية محمد و يوسف بالتساوي ور اآلتية يمثل ما ناله يوسف من النقود ؟الكس -:الحل

ـــــــــــ= أحمد ــــــــــ ، تبقى معه صرف

ـــــــــــ= ــــــــــ × ــــــــــ = ــــــــــ الباقي = أعطى ألخته شيماء

ـــــــــ= ـــــــــ -ـــــــــ = الباقي

٤ ٥

٥ × ٧٠٤ ٤

١١ ١٢

١٢ ١

١ ٣ ١ ٤

٦ ٢ ١٢

١

٢ ٥

١ ٣

٢ ٥

٣ ٥

٣ ١ ١

٣ ٣ ٥

١ ٥

١ ٣ ٥ ٥ ٥

٢

J[



إذاً

ــــــــــ= محمد نصيب

ـــــــــ= نصيب يوسف

استهلكت سيارة في اليوم األول ـــــــــ كمية الوقود في خزانها ثم ) : ١٣( مثال استهلكت في اليوم الثاني ــــــــــ كمية الوقود المتبقية في هذا الخزان ، فما

مقدار الجزء المتبقي من الوقود ؟ -:الحل ـــــــــــ= في اليوم األول ك استهل

ـــــــــــ كمية الوقود= المتبقي في الخزان بعد اليوم األول

ــــــــــ= ـــــــــ × ـــــــــ = ما أستهلك في اليوم الثاني إذاً

ـــــــــ) = ـــــــــ + ــــــــ ( – ١= المتبقي من الوقود

٢٠أرض زراعية ـــــــــ منها مزروع ذرة و ــــــــ منها مزروع شوفاناً والباقي ) : ١٤( مثال هكتاراً مزروعة حنطة ، فكم هكتاراً تبلغ مساحة هذا األرض ؟

-:الحل س= نفرض أن مساحة األرض

١

١

٥

٥

صرف أحمد

ب أخته شيماءنصي محمدنصيب

يوسفنصيب

٢ ١

٢ ٣

٢ ١

٣ ١ ١

٣ ٢ ٢

١ ٢

٣ ٢ ١ ١ ١

٦

استهلك في اليوم األول نصف كمية الوقود

استهلك في اليوم األول ٢ ــــــــ كمية الوقود المتبقية

٣

المتبقي في الخزان

٣ ١ ١

٤

J[



ومنها س = ٢٠+ ـــــــــ س + ـــــــــ س

ـــ التخلص من المقامات ل١٢نضرب المعادلة في

س١٢ = ٢٤٠+ س ٣+ س ٤ س١٢ = ٢٤٠+ س ٧

س٧ – س ١٢ = ٢٤٠ س٥ = ٢٤٠

٥بالقسمة على ٤٨= س إذاً

هكتار٤٨= مساحة األرض

صرف محمد ــــــــــ ما لديه من نقود ، ثم أعطى صديقة سعود ـــــــــ ما ) : ١٥( مثال لكسور التالية يمثل ما تبقى مع محمد ؟فأي كسر من ا. تبقى معه

ــــــــــ) ــــــــــ ، د ) ـــــــــ ، جـ ) ـــــــــ ، ب ) أ -:الحل ف محمد ــــــــ إذاً تبقى معه ــــــــــ من النقود صر

ـــــــــ من النقود ــ= ــــــــــ × ـــــــــ = ـــــــــــ ما تبقى معه = أعطى صديقة سعود

إذاً ــــــــــ= ــــــــــ -ـــــــــــ = تبقى مع محمد

!!!!نالحظ أن اإلجابة ليست من ضمن الخيارات ؟

) جـ ( ــــــــ إذاً اإلجابة = ولكن ـــــــــــ

مسائل متنوعة على التناسب

))الصنبور + قدرة العامل ((

) :١( ة قاعد

١ ١ ٤ ٣

٣ ٢ ١

٥

٤ ١٥

١ ٣

١٨ ٤٥

٢٧ ٤٥

٣ ٣ ٢ ١

٢ ٣

٢ ٢ ١٥ ٥ ٥

٤

١٥ ٤ ٢ ١٥ ٣

٦

١٥ ٣× ٦

×٤٥ ٣ ١٨

حاصل ضرب العددين

J[



ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= مدة إنجاز العمل كله

) :٢( قاعدة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ما ينجز خالل يوم أو ساعة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= مدة إنجاز العمل كله

) :٣ ( قاعدة

ـــــــــــــــ+ ــــــــــــــ = ــــــــــــ

))مدة انجاز العمل سوياً (( حيث ز زمن زمن الشخص األول بمفردة ١حيث ز زمن الشخص الثاني بمفردة ٢حيث ز

) :٤( قاعدة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= زمن التعبئة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= زمن التفريغ

١٠ صالح ساعات لحرث حقل والده بينما يستغرق ٨ سالميستغرق ) : ١( مثال فكم . ساعات لحرث الحقل نفسه ، إذا عمل االثنان معاً في حرث الحقل

يستغرقان من الوقت ؟ - ) :١( الحل

ساعة ٤ـــــــــ = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= الزمن

العددين مجموع

ما ينجز خالل يوم أو ساعة ١

١ ١ ١ ٢ ز ١ ز ز

حاصل ضرب العددين العددين مجموع

١٠ × ٨ ١٠ + ٨

٨٠ ١٨

٤ ٩

حاصل الضرب

حاصل الضرب

حاصل الجمع

حاصل الطرح

ضربهماحاصل العددين مجموع

J[



- ) :٢( الحل

ــــــــــ = ــــــــــ + ــــــــــ = ــــــــــــ + ــــــــــــ = ــــــــــــ

إذاً ساعة ٤ــــــــــ = ـــــــــــــ = ز

ساعة و كان الصنبور ٢بور األول يمأل الحوض في إذا كان الصن ) : ٢( مثال . ساعات ٦ ساعات و كان الصنبور الثالث يمأل الحوض في ٣الثاني يمأل الحوض في

الالزمة لملئ هذا الحوض عند فتح الصنابير) بالدقائق ( فما المدة الزمنية الثالثة معاً ؟

-:الحل عة واحدة الصنبور األول يمأل ـــــــــ الحوض في سا

الصنبور الثاني يمأل ــــــــــ الحوض في ساعة واحدة الصنبور الثالث يمأل ــــــــــ الحوض في ساعة واحدة بما أن الصنابير كلها مفتوحة معاً في نفس الوقت

١= ــــــــــ = ــــــــــ + ــــــــــ + ــــــــــ = مقدار الماء في الحوض في ساعة أي أن الحوض يمتأل بعد ساعة واحدة

دقيقة ٦٠ = ٦٠ × ١= نحول من ساعة إلى دقيقة

ساعات و عادل يدهن البيت في ٣يستطيع أحمد أن يدهن البيت في ) : ٣( مثال فكم ساعة يستغرقان في دهن البيت ؟. ساعتين ، إذا قاما بدهن البيت معاً

-: ) ١( الحل = ١,٢= ـــــــ = ـــــــــــــــ= ــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ل ساعة ما ينجز خال

) دقيقة ١٢ = ٦٠ × ٠,٢( ساعة و ١= من الساعة ٠,٢ ساعة و ١= ساعة ١,٢: همسة

- ) :٢( الحل أحمد يدهن في ساعة ـــــــــ الجدار

٢ ز ١ ز ز١ ١ ١ ١ ١

٨٠ ١٠ ٨ ١٨

١٨ ٨٠

٩ ٤

١ ١ ١

٦ ١ ١ ١ ٢ ٣ ٦ ٦

٢ ٣ ٦

عددين حاصل ضرب المجموع العددين

٢ × ٣ ٢ + ٣

٦ ٥

دقيقة ١٢ساعة و

١ ٣ ١

J[



ل يدهن في ساعة ـــــــــ الجدارعاد ــــــــــ من الجدار = ــــــــ+ ـــــــــ = في ساعة االثنان معاً

ومنها

ساعة ـــــــــ من الجدار١االثنان معاً في من الجداراالثنان معاً في س ساعة ــــــــــ

نوع التناسب طردي ـــــــــ × ١= ـــــــــ × س ــــــــــــــــــ = س ١,٢= س من الساعة ٠,٢ ساعة و ١= س ) دقيقة ٦٠ × ٠,٢( ساعة و ١= س دقيقة١٢ ساعة و ١= س

ساعة و تنهي شهد نفس العمل خالل ٤٠ينهي راشد عمل معين خالل ) : ٤( مثال ساعات ؟١٠إذا عمال معاً فكم سينهون من العمل خالل . ة ساع٦٠

-: ) ١( الحل ــــــــــ من العمل= ــــــــــ = ساعات سينهي راشد ما مقداره ١٠في خالل

ــــــــــ من العمل= ـــــــــــ = ساعات ستنهي شهد ما مقداره ١٠في خالل

إذاً ــــــــــ من العمل = ــــــــــ + ــــ ــــــ= معاً سينهيان

- ) :٢( الحل من العمل ــــــــــ= ـــــــــ + ـــــ ـــــ= إذا عمال معاً لمدة ساعة سينهون

ساعة ٢٤وبالتالي سينهون العمل كامالً في ومنها

ــــــــــ من العمل= ــــــــــ = ساعات ما مقداره ١٠سينهون في - ) :٣( الحل ساعة ٢٤= ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = الزمن

إذاً

١٠ ٤٠

١٠ ٦٠

١ ٦

٤ ١

٤ ٦ ١ ١

١٢ ٥

٢ ١ ١ ٦ ٢ ٣

٥

٥ ٦ ٦ ٦

٥ ٦ ٦

٦ ٦ × ١

٥

٦٠ ٤٠ ١ ١ ١

٢٤

١٠ ٢٤

٥ ١٢

حاصل ضرب العددين مجموع العددين

٦٠ × ٤٠ ٦٠ + ٤٠

١

J[



ساعة ينجز العمل بالكامل ــــــــــ٢٤في ساعات ينجز س من العمل١٠في

نوع التناسب طردي ــــــــــ من العمل = ـ ـــــــــ= س

أيام ، أنضم إليهم عامل رابع وأصبح قدرتهم ٣ عمال يبنون جدار في ٣ ) : ٥( مثال

ما هي قدرة العامل الرابع ؟. ار خالل يومين دإنهاء الج -:الحل

العمال الثالثة يبنون ــــــــــ جدار في اليوم اليوم العمال األربعة يبنون ـــــــــــ جدار في

إذاً ــــــــــ جدار في اليوم = ــــــــــ -ــــــــــ = العامل الرابع يبني

ساعات واآلخر ٦عامالن بمحل الدهان ، العامل األول يدهن المنزل في ) : ٦( مثال

ساعات ، عمال معاً لمدة ساعتين ثم ترك العامل األول ٨يدهن نفس المنزل في كم يستغرق العامل الثاني إلكمال العمل ؟. ه زميلة يعمل بمفرد

-:الحل العامل األول ينهي في ساعتين ـــــــــ من العمل أي ينهي ـــــــــ العامل الثاني ينهي في ساعتين ـــــــــ من العمل أي ينهي ـــــــــ

ـــــ من العمل ويتبقى ـــــــــــــــ= ــــــــــ + ــــــــــ = االثنان معاً في ساعتين ساعة ينهي ـــــــــ ١الثاني في

ففي كم ساعة ينهي ــــــــ

إذاً

ـــــــــ × ١= ـــــــــ × س

ــــــــــ= س ساعات و ــــــــ الساعة ٣= س

١ ١ ٣ ٢

٢ ٣ ١ ١ ١

٦

٢ ٢ ٦

١ ٣

٤ ٨ ١

١ ١ ٤ ٣

٧ ١٢ ١٢

٥ ١ ٨ ١٢

ــــــــــ ١ س ــــــــــ

٥ ١٢

٨ ١

١٢ ٥ ١ ٨

١٠ ١ ٣

٣ ١

١

١٠ ٢٤

٥ ١٢

٥

J[



دقيقة ٦٠× ساعات و ــــــــ ٣= س دقيقة٢٠ ساعات و ٣= س

يوم من العمل لبناء سور حول حديقة منزلية ١٥يحتاج عامالن إلى ) : ٧( مثال

أيام ثم توقف األول و أستمر الثاني في العمل بمفردة ٦فإذا عمال معاً لمدة فكم يوماً يحتاج العامل الثاني . يوماً أخر إلتمام بناء السور ٣٠فإنه يحتاج إلى

لبناء السور بمفردة ؟ -:الحل

أيام ينهون ـــــــــ من العمل ٦العامالن في يوم ينهي بمفرده ـــــــــ من العمل ٣٠العامل الثاني في

إذاً يوم ينهي ــــــــــــ من العمل٣٠في

في س يوم ينهي ــــــــــــ من العمل

طردينوع التناسب إذاً ـــــــــــ × ٣٠= ــــــــــ × س

ومنها يوم ٥٠= ــــــــــــــــــ = س

أيام ، وينجز عمر و محمد العمل نفسه ١٠ينجز عمر و زياد عمل في ) : ٨( مثال

إذا عمل الثالثة . يوم ١٥ يوم كما ينجز زياد و محمد العمل نفسه في ١٢في ز العمل ؟جميعاً ففي كم يوم ينج

-:الحل ــــــــــ + ــــــــــ = ــــــــــ

)زمن الشخص الثاني ( ٢، ز) زمن الشخص األول ( ١، ز) مدة انجاز العمل سوياً ( حيث ز ومنها

)عمر ( زمن الشخص األول بمفرده = ع )زياد ( زمن الشخص الثاني بمفرده = ز ) محمد (زمن الشخص الثالث بمفرده = م

٣

٦ ٩ ١٥

١٥

١٥

١٥ ١٥

١٥ ١٥ ١٥

١٥ × ٣٠

٩

٩

٩

٢ز ١ز ز١ ١ ١

J[



إذاً ــــــــــ= ـــــــــ + ــــــــــ ــــــــــ= ـــــــــ + ــــــــــ ــــــــــ= ـــــــــ + ــــــــــ

بجمع المعادالت ــــــــــ) = ــــــــــ + ــــــــــ+ ــــــــــ ( ٢

ومنها ــــــــــ= ـــ ـــــــ + ــــــــــ+ ــــــــــ

إذاً

أيام ٨يحتاجون

إذا فتحنا الصنبور األول : يمكن ملء حوض بالماء بثالث طرق أوالً ) : ٩( مثال وإذا فتحنا الصنبور الثاني فقط فإنه يمأله . ساعات ٣فقط فإنه يمأله خالل

كم . ساعات ٥ل وإذا فتحنا الصنبور الثالث فقط فإنه يمأله خال. ساعات ٤خالل ساعة تلزم لكي نمأل الحوض عند فتح الصنابير الثالثة معاً ؟

-:الحل الصنبور األول يمأل الحوض في ـــــــــ ساعة

الصنبور الثاني يمأل الحوض في ـــــــــ ساعة الصنبور الثالث يمأل الحوض في ـــــــــ ساعة

ـــــــــ من الحوض = ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ + ـــــــــ + ـــــ ـــ= الثالثة معاً في ساعة ومنها

من الحوض ــــــــــ ساعة ١ من الحوض ــــــــــس ساعة

إذاً ــــــــــ × ١= ـــــــــ × س ــــــــــ= س ساعة ١,٢٧= س

ساعات بينما أخوه ٣عصام تمكن من غسيل و تلميع سيارته في ) : ١٠( مثال

إذا عمال معاً كم من الوقت يلزمهم ؟. سعد تمكن من عمل ذلك في ساعتين -:الحل

١

١

١ ١

١

١ ١

١ ١

١ ١ ١ ١

١ ١ ١ ١

ع

ع

ع

ع

ز

ز

ز

ز

م

م

م

م

١٠

١٢

١٥

٤

٨

١

٣ ٤ ٥

١ ١ ١

١ ١ ١ ٦٠ ٥ ٤ ٣

٤٧ ١٢ + ١٥ + ٢٠ ٦٠

٦٠ ٤٧

٦٠ ٦٠

٦٠ ٦٠ ٦٠

٤٧

٤٧ ٦٠

J[



عصام يغسل ــــــــ السيارة في ساعة سعد يغسل ـــــــــ السيارة في ساعة

ــــــــــ السيارة في ساعة = ـــــــــ + ــــــــ ـ= االثنان معاً إذاً

ساعة ـــــــــ السيارة١في في س ساعة ـــــــــ السيارة

ومنها ـــــــــ × ١= ــــــــ × س ــــــــ = س ة ساعة و ــــــــ من الساع١= س دقيقة ) ٦٠× ــــــــ ( ساعة و ١= س دقيقة ١٢ ساعة و ١= س

ساعات ٤خزان ماء فارغ تصب فيه حنفيتان األولى تملؤه لوحدها في ) : ١١( مثال

ساعات ، فتحتا معاً علماً بأن يوجد بأسفله حنفية تفرغه في ٣و الثانية تملؤه في حنفيات الثالث مفتوحة ؟بعد كم ساعة يمتلئ الخزان و ال. ساعتين

-:الحل ــــــــ من = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــ -ـــــــــ + ـــــــــ = في الساعة الواحدة يكون في الخزان

الخزان ساعة ــــــــــ من الخزان١في

ــــــــــ من الخزان في س ساعة نوع التناسب طردي

ساعة ١٢يمتلئ الخزان في = ـــــــــ ومنها س × ١= ــــــــ × س

ساعات و الثانية تمأل الحوض ٦حنفيتان األولى تمأل الحوض في ) : ١٢( مثال ساعات فتحتا معاً فإن الحوض يمتلئ في ؟٣في

-:الحل واحدة تمأل الحنفيتان في الساعة ال

ــــــــ الحوض = ــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــ + ــــــــ ومنها

ساعة ــــــــ الحوض١في في س ساعة ـــــــــ الحوض

١ ٣ ١ ١ ٢

٣ ٢ ٥ ٦

٦ ٦ ٦ ٥

٦ ٦ ٥ ٦

٥ ٦

٥

٥ ١

١

٢ ٣ ٤ ٦ - ٤ + ٣ ١ ١ ١

١٢ ١ ١٢

١٢ ١ ١٢ ١٢

١٢ ١٢ ١ ١٢

٣ ٦ ١ ١

٦ ٢ + ١

٦ ١ ٣

٢

٢ ٢ ٢

١

J[



إذاً ـــــــــ × ١= ــــــــ × س ٢= س

لئ في ساعتين فإن الحوض يمت

إذا كان عدد عمال دهان يساوي س ، ويقومون بدهن ص منزالً في ع ) : ١٣( مثال يوم ، كم منزالً يستطيع خمسة عمال دهنه في يومين ؟ إذا كان يعملون بنفس

.السرعة -:الحل

ممكن حل السؤال باستخدام فكرة الضرب التبادلي ألننا تكلمنا هنا عن .ثالثة أشياء

العمال عدد المنازل عدد األيام عدد س ص ع

٢ كم منزالً ٥ ومنها

٢× ص × ٥= ع × كم منزالً × س ص١٠= كم منزالً × س ع

ــــــــــــــــ= كم منزالً

صنبور ماء يمأل خزاناً في ساعة ونصف ، وصنبوراً أخر يمأل ) : ١٤( مثال فكم ساعة يستغرق ملء الخزان إذا فتح . دقيقة ٤٥الخزان نفسه في الصنبوران معاً ؟

-:الحل دقيقة ٩٠= ساعة ونصف

إذاً ـــــــــ= ـــــــــ = ـــــــــــــــــــ = ـــــــــ + ـــــــــ = الصنبوران معاً

ومنها

٢ ١ ٢ ٢

ص١٠ س ع

١ ١ ٩٠ ٤٥ ٩٠

٢ + ١ ٩٠ ٣

٣٠ ١

١

J[



دقيقة ـــــــــ ١ س دقيقة ـــــــــ

نوع التناسب طردي ــــــــــ × ١= ــــــــــ × س دقيقة ٣٠= س

من دقيقة إلى ساعة نحول دقيقة ٣٠= س ــــــــــ ساعة = س

في ساعتين ، وحنفية ٣ م٢٤إذا كانت حنفية تمأل خزان سعته ) : ١٥( مثال

فإذا فتحت الحنفيتين معاً فكم . أخرى تمأل الخزان نفسه في أربع ساعات متراً مكعباً تمأل الحنفية األخرى من الخزان ؟

-:الحل لزمن الكلي لملء الخزان ا= ز

ـــــــــ= ــــــــ + ـــــــ = ـــــــ ومنها

ساعة ــــــــ الخزان١ س ساعة ـــــــــ الخزان

إذاً ــــــــ × ١= ــــــــ × س ـــــــــ= س

د فتح الحنفيتين ـــــــــ ساعة الزمن لملء الخزان عن في الساعة ٣ م٦= ــــــــــ = معدل الملء في الساعة للحنفية الثانية ٣ م٨= ـــــــــ × ٦= عندها تكون الحنفية األخرى قد مألت

ساعات ، وفي أسفل الخزان يوجد ٤صنبور ماء يمأل خزان في ) : ١٦( مثال

لو فتحنا الصنبور والفتحة معاً . ن كامالً في ساعة فتحة للتفريغ ، تفرغ الخزا فكم يحتاج الخزان من الوقت ليفرغ تماماً ؟) وكان الخزان ممتأل (

-:الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــ= زمن التفريغ

دقيقة ٨٠= ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = زمن التفريغ

٣٠ ٣٠ ٣٠

٣٠ ٣٠ ٣٠

١

١ ٢

٤ ٤ ٢ ز١ ١ ١ ٣

٤ ٤ ٤ ٣

٣ ٤ ٤

٤ ٤ ٣

٣ ٤

٢٤ ٤ ٤

٣

حاصل الضرب حاصل الطرح

٦٠ × ٢٤٠ ٦٠ - ٢٤٠

١٤٤٠٠ ١٨٠

J[



صنبوران للمياه األول يمأل الخزان في ساعة و الثاني يملؤه بعد ثلث ) : ١٧( مثال

فكم من الوقت يملئانه معاً إذا فتحا في آن واحد في الخزان ؟. ساعة -:الحل

ــــــــ= ــــــــ = ـــــــــــــــ = ـــــــــ + ـــــــــ إذاً ــــــــــ ساعة ١

س ساعة ــــــــــ دقيقة ١٥= ومنها س

عمال ينهون ٣ يوم في حين أن ١٤ خبراء عمل معين خالل ٤ ينهي ) :١٨( مثال خالل كم من الزمن ينهي الخبراء و العمال نفس . يوم ٣٥نفس العمل خالل

العمل لو عمال معاً ؟ -:الحل

يوم إذاً يستطيعون عمل ـــــــــ خالل اليوم ١٤براء يستغرقون خ٤ يوم إذاً يستطيعون عمل ـــــــــ خالل اليوم ٣٥ عمال يستغرقون ٣

ــــــــ= ــــــــ + ـــــــــ = وبالتالي الخبراء والعمال إنجاز عمل خالل يوم واحد مقداره ومنها

ــــــــ يوم ١

س يوم ــــــــ إذاً ــــــــ × ١= ــــــــ × س

أيام ١٠= س

أيام و يستطيع ابنه إنجاز نفس ٩رجل يستطيع إنجاز عمل خالل ) : ١٩( مثال أيام ترك االبن ٤ يوم إذا كان قد بدءا العمل معاً سوياً وبعد ١٦العمل خالل

كم عدد األيام التي يحتاجها األب إلنجاز ما بقي . وظل األب يعمل وحيداً العمل من العمل ؟

-:الحل %٢٥= ــــــــ = ـــــــــ = ما أنجزه االبن

االبن أنجز ربع مقدار عمل والده النسبة المئوية = ـــــــــــــ

٦٠ ٢٠ ٦٠ ٣ + ١ ١ ١

٦٠ ١ ٤

١٥

١٥ ١ ١٥ ١٥

١٤

١٤ ٣٥

١٠ ٣٥

١ ١

١ ١ ١

١ ١٠

١٠ ١٠

١٠ ١٠ ١٠

١

٤ ٤ ١٦

١

الجزء الكل

J[



ـــــــــ= ـــــــــ

٢,٢٥= ــــــــــــــــ = س

٦,٢٥ = ٤ + ٢,٢٥= في األربعة أيام عمل االبن مع األب

يوم ٢,٧٥ = ٦,٢٥ – ٩= عدد األيام التي يحتاجها األب إلنجاز العمل

ساعات انضم عامل رابع وأنجزوا ٣ عمال ينجزون بناء حائط بــ ٣ ) : ٢٠( مثال ؟الحائط بــ ساعتين بكم ساعة ينهي العامل الرابع الحائط لوحدة

-:الحل عمال ينجزون ــــــــــ بناء الحائط خالل ساعة٣

العامل الرابع ينجز ـــــــــ بناء الحائط خالل ساعة

أنجزوا معاً ـــــــــ بناء الحائط خالل ساعة

ــــــــــ= ــــــــــ + ومنها ـــــــــ

ــــــــــ= ـــــــــ -ـــــــــ = ـــــــــ

إذاً ساعات ٦= ن

)..(الساعة )..(

-:قاعدة ) )ـــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( الزاوية قياس

-:قاعدة

درجة ٣٦٠= ساعة ١ دقيقة ٦٠= علماً بأن الساعة

س٩

٢٥ ١٠٠

٢٥ × ٩ ١٠٠

٣ ١

ن١

١ ٢

٢ ١ ١ ١

ن

٣ ن

٣ ٢ ١ ١ ١ ١

٦

١١ ٢

J[



إذاً درجة ٣٦٠= دقيقة ٦٠

٦٠بالقسمة على درجات ٦= دقيقة ١

-:قاعدة درجة ٣٠ دقيقة فإن عقرب الساعات يتحرك ٦٠إذا تحرك عقرب الدقائق

إذا كانت الساعة التاسعة و خمس دقائق فما الزاوية التي يصنعها ) : ١( مثال

عقرب الساعات مع عقرب الدقائق ؟ -:الحل

) )ـــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( الزاوية ) )ــــــــ ( × ٥ ( – ) ٣٠ × ٩= ( الزاوية ٢٧,٥ – ٢٧٠= الزاوية ٢٤٢,٥= الزاوية

٢٤٢,٥= الزاوية الكبرى ١١٧,٥ = ٢٤٢,٥ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى

دقيقة فكم الزاوية التي يصنعها ؟٢٥إذا تحرك عقرب الدقائق ) : ٢( مثال -:الحل

-:قاعدة درجات٦= دقيقة ١

٢٥بالضرب في درجة ) ٢٥ × ٦ = ( دقيقة٢٥ درجة ١٥٠= دقيقة ٢٥

١٢٠إذا كانت الزاوية التي يصنعها عقرب الدقائق مع الرأسي تساوي ) : ٣( مثال

فكم دقيقة تحرك ؟. درجة -: ) ١( الحل

-:قاعدة درجات ٦= دقيقة ١

٦بالقسمة على

٢ ٢

١١ ١١

١

J[



درجة ١= ــــــ دقيقة ١٢٠بالضرب في

درجة ١٢٠= ة دقيق١٢٠× ـــــــ إذاً درجة ١٢٠ = دقيقة٢٠

- ) :٢( الحل درجات ٦= دقيقة ١

٢٠بالضرب في درجة ١٢٠ = دقيقة٢٠

إذا كانت الساعة الثانية و النصف فكم الزاوية الصغرى بين عقرب ) : ٤( مثال

الساعات وعقرب الدقائق ؟ -:الحل

لكي نبتعد عن اإلشارة السالبة ١٤ = ٢ + ١٢= أي عدد الساعات ٢= عدد الساعات ٣٠= عدد الدقائق

إذاً تعويض مباشر بالقانون

) )ــــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( الزاوية ) )ـــــــ ( × ٣٠ ( – ) ٣٠ × ١٤= ( الزاوية ١٦٥ - ٤٢٠= الزاوية ٢٥٥= الزاوية

ومنها درجة ٢٥٥= الزاوية الكبرى درجة١٠٥ = ٢٥٥ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى

إذا تحرك عقرب الساعات من الساعة الثالثة إلى الساعة الخامسة ) : ٥( مثال فكم الزاوية التي يتحركها عقرب الدقائق ؟. والنصف

-:الحل درجة ٣٦٠= من الساعة الثالثة إلى الساعة الرابعة

درجة ٣٦٠ =من الساعة الرابعة إلى الساعة الخامسة درجة ١٨٠= من الساعة الخامسة إلى الخامسة والنصف

ومنها درجة٩٠٠ = ١٨٠ + ٣٦٠ + ٣٦٠

٦

٦ ١

١١ ٢ ١١ ٢

J[



فكم ساعة . درجة ٧٥٠إذا تحرك عقرب الدقائق بزاوية مقدارها ) : ٦( مثال

يتحركها عقرب الساعات ؟ -:الحل

قاعدة درجة ٣٦٠= ساعة ١ درجة ٣٦٠= ساعة ١

ــــــــــــــــــــــــــــــ بالجمعـــــــــــــــ درجة ٧٢٠ = ساعة٢

درجة ٣٠ = ٧٢٠ – ٧٥٠= الباقي ! درجة تعادل كم دقيقة ؟٣٠ درجات ٦= دقيقة ١

٥بالضرب في درجة ٣٠ = دقائق٥

دقائق ٥ساعتين و = إذاً يتحرك عقرب الساعات

ضبطت حسب الوقت دقائق كل ساعة إذا٦ساعة حائط تقدم ) : ٧( مثال الصحيح عند الساعة التاسعة صباحاً فما الوقت الذي يشير إليه عقرب الساعة

مساء ؟٧ : ٣٠الخاطئة عندما يكون الوقت الصحيح - :حلال

ساعة ١٢= مساءً ٩ صباحاً إلى ٩من الساعة ساعات١٠ = ٧أنزل ساعتين تصبح الساعة )) دقائق ٦ة تتقدم كل ساع(( وعندنا معلومة في الـــ مثال

))يعني ساعة (( دقيقة ٦٠ = ١٠ × ٦إذاً دقائق ٣= والنصف ساعة

)) دقائق ٣ دقائق إذاً نصف ساعة تتقدم ٦ألن كل ساعة تتقدم (( إذاً

دقائق ٣ ساعة و ١تتقدم ٨ : ٣٣ = ١ : ٠٣ + ٧ : ٣٠= الوقت الذي يشير إليه عقرب الساعة

فكم قياس الزاوية التي . دقيقة ٢٠رب الدقائق إذا تحرك عق ) : ٨( مثال

يصنعها مع المحور الرأسي ؟

J[



-:الحل -:قاعدة

درجات٦= دقيقة ١ ٢٠بالضرب في

درجة ١٢٠= دقيقة ٢٠

١٤٠إذا كانت الزاوية التي يصنعها عقرب الدقائق مع المحور الرأسي ) : ٩( مثال فكم دقيقة تحرك ؟. درجة -:الحل


٦بالقسمة على درجة ١= ـــــــ دقيقة

١٤٠بالضرب في درجة ١٤٠= دقيقة ١٤٠× ــــــــ درجة ١٤٠= دقيقة ٢٣,٣٣

فما قياس الزاوية بين عقرب . دقيقة ٢٢ و ١٢إذا كانت الساعة ) : ١٠( مثال

الدقائق و عقرب الساعات ؟ -:الحل

) )ـــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات ( =قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٢٢ ( – ) ٣٠ × ١٢= ( قياس الزاوية درجة ٢٣٩ = ١٢١ – ٣٦٠= قياس الزاوية

درجة١٢١ = ٢٣٩ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى درجة ، ٢٣٩= الزاوية الكبرى فما هي الزاوية التي يصنعها . إذا كانت الساعة الواحدة و النصف ) : ١١( مثال

عقرب الساعات مع المحور الرأسي ؟ -:الحل

) )ــــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٣٠ ( – ) ٣٠ × ١٣= ( قياس الزاوية ١٦٥ – ٣٩٠= قياس الزاوية درجة ٢٢٥= قياس الزاوية درجة ٢٢٥= رى الزاوية الكب

١ ٦

٦ ١

١١ ١١

٢ ٢

١١ ٢ ١١ ٢

J[



درجة ١٣٥ = ٢٢٥ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى درجة ٤٥ = ١٣٥ – ١٨٠= الزاوية التي يصنعها عقرب الساعات مع المحور الرأسي

١٣ = ١ + ١٢= الساعة الواحدة : همسة

فما هي الزاوية بين عقرب . إذا كانت الساعة الواحدة و النصف ) : ١٢( مثال

قائق ؟الساعات و عقرب الد -:الحل

) )ــــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٣٠ ( – ) ٣٠ × ١٣= ( قياس الزاوية ١٦٥ – ٣٩٠= قياس الزاوية درجة ٢٢٥= قياس الزاوية

درجة ٢٢٥= الزاوية الكبرى درجة ١٣٥ = ٢٢٥ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى

الزاوية التي يتحركها عقرب الساعات إذا تحرك عقرب الدقائق ) : ١٣( مثال

دقيقة ؟٤٠ -:الحل


.أي بمقدار النصف إذاً

درجة ٢٠ = ٢ ÷ ٤٠= عقرب الساعات تحرك

يتحركها عقرب الدقائق عندما يتحرك عقرب عدد الدقائق التي ) : ١٤( مثال درجة ؟٤٠الساعات بزاوية


درجة ٣٠ دقيقة فإن عقرب الساعات يتحرك ٦٠إذا تحرك عقرب الدقائق أي عقرب الدقائق ضعف عقرب الساعات

إذاً دقيقة ٨٠ = ٢ × ٤٠= عقرب الدقائق تحرك

٢ ١١ ٢

١١

J[



فكم الزاوية بين عقرب الساعات . دقيقة ٢٦ و٢إذا كانت الساعة ) : ١٥( مثال

و عقرب الدقائق ؟ -:الحل

) )ــــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٢٦ ( – ) ٣٠ × ١٤= ( قياس الزاوية ١٤٣ – ٤٢٠= قياس الزاوية ٢٧٧= قياس الزاوية

رجة د٢٧٧= الزاوية الكبرى درجة ٨٣ = ٢٧٧ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى

فكم الزاوية التي يصنعها عقرب . والنصف ٤إذا كانت الساعة ) : ١٦( مثال

الساعات مع المحور الرأسي ؟ -:الحل

) )ــــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٣٠ ( – ) ٣٠ × ١٦= ( قياس الزاوية ١٦٥ - ٤٨٠= قياس الزاوية ٣١٥= قياس الزاوية

درجة ٤٥ = ٣١٥ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى

١٦الساعة = ٤ ؟ الساعة ١٦من وين جبت الـــ : همسة

فما هي الزاوية التي يصنعها . دقيقة ٢٥إذا كانت الساعة الثانية و ) : ١٧( مثال عقرب الدقائق مع الرأسي ؟

-:الحل ٢٥عقرب الدقائق على الــ

درجة ٣٠= إذاً الزاوية بين عقرب الدقائق و المحور الرأسي ألن درجات ٦= دقيقة ١

٥بالضرب في درجة ٣٠= دقائق ٥

١١ ١١

٢ ٢

١١ ٢

٢ ١١

J[



فأوجد قياس الزاوية بين عقرب . إذا كانت الساعة الرابعة إال ثلث ) : ١٨( مثال

الساعات وعقرب الدقائق ؟ -:الحل

دقيقة ٤٠ و ٣الساعة = الساعة الرابعة إال ثلث ) )ـــــــ ( × عقرب الدقائق ( – ) ٣٠× عقرب الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٤٠ ( – ) ٣٠ × ١٥= ( قياس الزاوية ٢٢٠ – ٤٥٠= قياس الزاوية درجة ٢٣٠= قياس الزاوية

درجة ٢٣٠= الزاوية الكبرى درجة ١٣٠ = ٢٣٠ – ٣٦٠= لصغرى الزاوية ا

فكم الزاوية التي يصنعها ؟. دقيقة ٢٤إذا تحرك عقرب الدقائق ) : ١٩( مثال -:الحل


٢٤بالضرب في درجة ١٤٤= دقيقة ٢٤

درجة فكم دقيقة تحرك ؟١٤٠إذا تحرك عقرب الدقائق زاوية ) : ٢٠( مثال -:الحل - :قاعدة

درجات ٦= دقيقة ١ ٦بالقسمة على

درجة ١= ــــــــ دقيقة ١٤٠بالضرب في

درجة ١٤٠= دقيقة ١٤٠× ــــــــ درجة ١٤٠= دقيقة ٢٣,٣٣

دقيقة فإن عقرب الساعات يتحرك ٢٨إذا تحرك عقرب الدقائق ) : ٢١( مثال

بزاوية ؟ -:الحل

٢ ١١ ٢ ١١

١ ٦

٦ ١

J[




.أي بمقدار النصف درجة ١٤ = ٢ ÷ ٢٨= عقرب الساعات

فكم قياس الزاوية بين . دقيقة ٣٦ و ١٢إذا كانت الساعة ) : ٢٢( مثال

العقربين ؟ -:الحل

) )ـــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٣٦ ( – ) ٣٠ × ١٢= ( زاوية قياس ال

١٩٨ – ٣٦٠= قياس الزاوية ١٦٢= قياس الزاوية

درجة ١٦٢= الزاوية الصغرى درجة ١٩٨ = ١٦٢ – ٣٦٠= الزاوية الكبرى

فكم . دقيقة ٦٠إذا كان عقرب الساعات يدور دوره واحدة كل ) : ٢٣( مثال

٨,٤٠ بعد العصر إلى الساعة ٤,٣٥ان عند الساعة دورة كاملة يصنعها إذا بدأ الدور بعد العشاء ؟

-:الحل دورات ٤إذاً عدد الدورات الكاملة

ساعة ؟٤٣ فكم ستكون بعد ٩ : ٤٥الساعة اآلن ) : ٢٤( مثال -:الحل

٩ : ٤٥تكون الساعة ) يومين ( ساعة ٤٨ بعد مرور ٩ : ٤٥الساعة اآلن إذاً

٤ : ٤٥ = ٥ – ٩ : ٤٥ة تكون الساعة ساع٤٣بعد مرور

ساعات ٥ = ٤٣ – ٤٨ ألن ٥من وين جبت الــــ : همسة

٨.٤٠ ٤.٣٥

١١ ٢ ١١ ٢

-

٩.٤٥ ٥.٠٠

J[



كم تكون الزاوية بين عقرب الساعات و عقرب الدقائق عندما ) : ٢٥( مثال تكون الساعة الثانية و الثلث ؟

-:الحل ) ) ـــ ـــــ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٢٠ ( – ) ٣٠ × ١٤= ( قياس الزاوية ١١٠ – ٤٢٠= قياس الزاوية درجة ٣١٠= قياس الزاوية

٣١٠= الزاوية الكبرى درجة ٥٠ = ٣١٠ – ٣٦٠= الزاوية الصغرى

احسب الزاوية بين عقرب . عندما تشير الساعة إلى التاسعة والثلث ) : ٢٦( مثال

قرب الدقائق ؟الساعات وع -:الحل

) ) ــــــــ ( × عدد الدقائق ( – ) ٣٠× عدد الساعات = ( قياس الزاوية ) )ــــــــ ( × ٢٠ ( – ) ٣٠ × ٩= ( قياس الزاوية ١١٠ – ٢٧٠= قياس الزاوية درجة ١٦٠= قياس الزاوية

درجة ١٦٠= الزاوية الصغرى درجة ٢٠٠ = ١٦٠ – ٣٦٠= الزاوية الكبرى

)..( احتماالت – توافيق – تباديل –مبدأ العد )..(

-:مبدأ العد ٢ طريقة ثم يتبعه إجراء معين يتم بـ م١إذا كان هناك إجراء معين يتم بــ م

. طريقة ٢م × ١مطريقة فإن اإلجراءين يتم بـ

-:االحتماالت ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= احتمال أي حدث منتظم

١١ ١١

٢ ٢

١١ ٢

٢ ١١

عدد عناصر الحدث عدد عناصر فراغ العينة

J[



-:التباديل

ـــــــــــــــــــــ = ر ل ن

-:التوافيق ــــــــــــــــــــــــــــــــــ=

-:مالحظة )ب ( ح × ) أ ( ح ) = ب طأ ( يقال للحدثان أ ، ب إنهما مستقالن إذا كان ح ) ١ )أ ( ح – ١) = أ َ ( ح ) ٢ )ب طأ ( ح –) ب ( ح ) + أ ( ح ) = ب ح أ ( ح ) ٣ في التباديل الترتيب مهم ) ٤ في التوافيق الترتيب غير مهم ) ٥

تضم قائمة الطعام ألحد المطاعم ثالثة أنواع من الشوربة ) : ١( مثال من وخمسة أنواع من اللحوم بكم طريقة يمكنك اختيار وجبة تتكون

الشوربة و اللحم ؟ -:الحل

طريقة ١٥ = ٥ × ٣= عدد الطرق

)! ر –ن ( !ن

)! ر –ن ( × ! ر ن !ن

ر

J[



كتب إنجليزية ٥ كتب عربية ، ٧يحوي أحد الرفوف في المكتبة ) : ٢( مثال بكم طريقة يستطيع أحد األشخاص اختيار ثالثة كتب . كتب فرنسية ٤،

أحدها بالعربية و الثاني باإلنجليزية والثالث بالفرنسية ؟ -:الحل

إمكانات الختيار كتاب باللغة العربية ٧توجد إمكانات الختيار كتاب باللغة اإلنجليزية ٥وتوجد إمكانات الختيار كتاب باللغة الفرنسية ٤وتوجد

إذاً طريقة ١٤٠ = ٤ × ٥ × ٧= عدد الطرق الممكنة الختيار الكتب الثالثة

دموا في آن واحد بكم طريقة يمكن لخمسة أشخاص أن يستخ ) : ٣( مثال

أجهزة ؟٨أجهزة الهاتف في دائرة تحتوي -:الحل

إمكانات ، وأمام ٨بما أن كل شخص سيستخدم جهازاً إذاً أمام الشخص األول إمكانات ، وأمام الشخص ٦ إمكانات ، وأمام الشخص الثالث ٧الشخص الثاني

.مكانات إ٤ إمكانات ، ويبقى في النهاية أمام الشخص الخامس ٥الرابع طريقة ٦٧٢٠ = ٤ × ٥ × ٦ × ٧ × ٨= إذاً عدد الطرق الممكنة

بكم طريقة يمكننا اختيار كتاب ومجلة وجريدة من بين ثالثة ) : ٤( مثال

كتب وثالث مجالت وثالث جرائد مختلفة األلوان ؟ - ) :١( الحل

٢٧ = ٣ × ٣ × ٣= عدد الطرق الممكنة

- ) :٢( الحل طريقة ٢٧ = ٣ × ٣ × ٣ = ١ ل ٣ × ١ ل ٣ × ١ ل ٣

كرات متماثلة إال من حيث اللون حيث ١٠وعاء يحتوي على ) : ٥( مثال فما . إذا سحبنا كرة عشوائية . كرات بيضاء ٣ كرات زرقاء و ٧يحتوي على

احتمال أن تكون زرقاء ؟ -:الحل

١٠= فضاء اإلمكانات ٧= = ونها أزرق عدد الطرق الممكنة الختيار كرة ل

عدد عناصر الحدث

٧ ١

J[



ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= احتمال ان تكون زرقاء

ــــــــ= احتمال ان تكون زرقاء

يحتوي صندوق على عدد من الكرات الصفراء والحمراء إذا سحبنا ) : ٦( مثال ء هو ـــــــــ ، فإذا علمت أن كرة عشوائياً من الصندوق فاحتمال أن تكون حمرا

فكم كرة صفراء في الصندوق ؟. كرة ٣٦عدد الكرات في الصندوق -: ) ١( الحل

عندنا معلومة مهمة معطاة احتمال أن تكون حمراء هو ـــــــــ كرة ٣٦علماً بأن عدد الكرات في الصندوق

إذاً ـــــــــــ= ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــ= احتمال أن تكون حمراء

٢٠= إذاً عدد الكرات الحمراء

١٦ = ٢٠ – ٣٦= إليجاد عدد الكرات الصفراء - ) :٢( الحل ٢٠= ـــــــــــــــــ = ـــــــــ س = ــــــــــ

١٦ = ٢٠ – ٣٦= اء ومنها عدد الكرات الصفر

أشخاص في مكان ما ، إذا صافح كل شخص منهماآلخر مرة ٦تقابل ) : ٧( مثال واحدة فقط ، فكم عدد المصافحات التي تمت ؟

-:الحل ١٥= ـــــــــــــــ = = عدد المصافحات

.ن كرة متماثلة إال من حيث اللو٥٠صندوق يحتوي على ) : ٨( مثال ـــــــــ كم عدد = إذا سحبنا كرة عشوائية فإن احتمال أن تكون صفراء

الكرات غير الصفراء في الصندوق ؟ -:الحل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= احتمال أن تكون صفراء ــــــــ= ـــــــــ

عدد عناصر فراغ العينة

٧ ١٠

٥ ٩

٩ ٥

عدد عناصر الحدث العينةعدد عناصر فراغ

٥ ٣٦ ٩

٢٠

عدد الكرات في = عدد عناصر فضاء العينة ٣٦= الصندوق

. يعني حصل اختصار ! ؟٩كيف صار لكي نعيد الرقم لــ أصله

وبالمثل للبسط ٤ في ٩نضرب

×٤ ×٤

٥ × ٦ ١ × ٢

٦ ٢

! ؟٢ليه ألن المصافحة دائماً بين شخصين

٥ ٣٦ ٩

٣٦ × ٥ س٩

٣ ١٠

عدد عناصر الحدث ٣ عدد عناصر فراغ العينة

١٠ س٥٠

J[



ومنها ١٥٠= س ١٠

))ات الصفراء عدد الكر (( ١٥= س إذاً

٣٥ = ١٥ – ٥٠= عدد الكرات الغير صفراء

كم كلمة مكونه من أربعة حروف مختلفة يمكن تكوينها ) : ٩( مثال أ ، ب ، جـ ، د ، هـ ، و: باستخدام الحروف

-: ) ١( الحل :حيث إن كل تبديل للحروف المعطاة يعطي كلمة

٤ ل ٦= عدد الكلمات الممكن تكوينها ٣٦٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ٤ ل ٦

- ) :٢( الحل ٣٦٠ = ٣ × ٤ × ٥ × ٦ = ٤ ل ٦= عدد الكلمات

شمعات ذات ألوان مختلفة في شمعدان ٨بكم طريقة يمكن وضع ) : ١٠( مثال

يتسع لثالث شمعات فقط ؟ -: ) ١( الحل

في كل مرة٣ شمعات مأخوذة ٨عدد تباديل = رق الممكنة عدد الط ٣٣٦= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ٣ ل ٨

- ) :٢( الحل ٣٣٦ = ٦ × ٧ × ٨= عدد الطرق الممكنة

بكم طريقة يمكن اختيار فريق كرة السلة المكون من خمسة ) : ١١( مثال طالب متميزين في لعبة كرة السلة ؟١٠ن العبين من بي

-:الحل حيث إن الترتيب غير مهم = عدد الطرق

٢٥٢= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =

)٤ – ٦!( ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ !٦!

٢!

)٣ – ٨!( ٥ × ٦ × ٧ × ٨ !٨!

٥!

١٠ ٥

)٥× ) ! ٥ – ١٠! ٥ × ٦ × ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ !١٠!

٥× ! ٥! ٦ × ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ ٥ ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥

١٠

J[



كتب مختلفة ؟٨ كتب من ٥عدد طرق اختيار ) : ١٢( مثال -:الحل

٥٦= ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ =

مل االختيار طالب بحيث يش١٠ طالب من بين ٤عدد طرق اختيار ) : ١٣( مثال

طالباً معيناً ؟ -:الحل

من جملة بحيث يشمل االختيار طالباً معيناً يعني هالطالب تم اختيار ه

٨٤= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ =

كرات حمراء ، إذا سحبنا ٣ كرات بيضاء و ٩صندوق يحتوي على ) : ١٤( مثال ي ما احتمال أن تكون بيضاء ؟كرة بشكل عشوائ

-:الحل ١٢ = ٣ + ٩= عدد فضاء اإلمكانات ٩= عدد الكرات البيضاء

٠,٧٥= ــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = احتمال أن تكون بيضاء

، زرقاء ، حمراء: صندوق يحتوي على أربع كرات مختلفة اللون ) : ١٥( مثال فإذا كانت أول : صفراء ، خضراء ، سحبنا الكرات األربع عشوائياً من الصندوق

كرة حمراء ، فما احتمال أن تسحب الكرة الزرقاء قبل الصفراء ؟ -:الحل

.نضع قائمة بالحلول المحتملة ، ولنرمز لكل كرة بأول حرف فيها :عاد الكرة الحمراء كالتالي فراغ العينة أللوان الكرات المتبقية بعد استب

خ ز ص ، ص خ ز ، ص ز خ ، خ ص ز ، ز خ ص ، ز ص خيوجد لدينا ثالث حاالت من الحاالت الست التي يكون فيها سحب الكرة الزرقاء

.قبل الصفراء ــــــــ= ــــــــ = إذاً احتمال سحب الكرة الزرقاء قبل الصفراء

)٥× ) ! ٥ – ٨! ٨!

٥× ! ٣! ٥ × ٦ × ٧ × ٨ !٨!

٥ !٥ × ١ × ٢ × ٣ ٨

: )عنده واسطة

٩ ٩ ٣!

)٣× ) ! ٣ – ٩!

عدد عناصر الحدث عدد عناصر فراغ العينة

٩ ١٢

٢ ٦ ١ ٣

J[



، ثم سحب كرة منه ٣٠ إلى ١ كرة مرقمة من ٣٠وضع في كيس ) : ١٦( مثال ؟٦ أو ٤فما احتمال أن تحمل هذه الكرة رقماً يقبل القسمة على . عشوائياً

-: ) ١( الحل ٣٠= } ٣٠ ، ٢٩، ... ، ٣ ، ٢ ، ١{ = فضاء اإلمكانات

٧= } ٢٨ ، ٢٤ ، ٢٠ ، ١٦ ، ١٢ ، ٨ ، ٤{ = ٤حادثة أن الرقم يقبل القسمة على = أ ٥= } ٣٠ ، ٢٤ ، ١٨ ، ١٢ ، ٦{ = ٦حادثة أن الرقم يقبل القسمة على = ب ٢= } ٢٤ ، ١٢{ = ب طأ ١٠ = ٢ – ٥ + ٧) = ب طأ ( –ب + أ = ب ح أ

إذاً ٦ أو ٤احتمال أن تحمل هذه الكرة رقماً يقبل القسمة على

) ب ح أ ( ح = )ب طأ ( ح –) ب ( ح ) + أ ( ح =

)ــــــــ ( –) ــــــــ ) + ( ـــــــ = ( ــــــــ= ــــــــ=

- ) :٢( الحل ٧ = ٤عدد مضاعفات الرقم ٥ = ٦عدد مضاعفات الرقم

١٢ = ٥ + ٧= عدد االحتماالت ٢٤ ، ١٢هناك احتماالن مكرران بسبب وجودهما معاً في مضاعفات العددين وهما

١٠ = ٢ – ) ٥ + ٧= ( تماالت وباستبعادهما يكون عدد االح ـــــــــ= هو ـــــــــ ٦ أو ٤إذاً احتمال أن يقبل رقن البطاقة القسمة على

٦ كرات متماثلة إال من حيث اللون فيه ١٠وعاء يحتوي على ) : ١٧( مثال ؟وائياً فما احتمال أن تكون حمراء إذا سحبنا كرة عش بيضاء٤و كرات حمراء

-:الحل ١٠= فضاء اإلمكانات

= كرات حمراء ٦عدد طرق سحب كرة حمراء عشوائياً من بين

٣٠ ٣٠ ٣٠ ٢ ٥ ٧

٣٠ ٣

١٠ ١

١٠ ١ ٣٠ ٣

٦

٦ ١

J[



٠,٦= ـــــــــ = احتمال أن تكون حمراء

صندوق يحتوي على تفاح وبرتقال إذا سحبنا من الصندوق حبة ) : ١٨( مثال التفاح في عشوائياً فاحتمال أن تكون تفاحة يساوي ــــــــ ، فإذا علمت بأن عدد

فكم برتقاله فيه ؟. تفاحة ١٢هذا الصندوق يساوي -: ) ١( الحل ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ال أن تكون تفاحة احتم ـــــــــ= ـــــــــ

عدد البرتقال والتفاح في الصندوق= عدد عناصر فراغ العينة = حيث س حاصل ضرب الوسطين = فين حاصل ضرب الطر

ــــــــــــــــ= س ١٨= س

ومنها برتقاالت ٦ = ١٨ – ٢٤= عدد البرتقال في الصندوق

- ) :٢( الحل ١٢= التفاح ثلثين الصندوق وعدده

٦البرتقال راح يكون الثلث الباقي وعدد

إذا سحبنا . كرة متماثلة إال من حيث اللون ٣٥صندوق يحتوي على ) : ١٩( مثال كم عدد الكرات غير . كرة عشوائياً فإن احتمال أن تكون حمراء يساوي ــــــــ

الحمراء بالصندوق ؟ -:الحل

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= احتمال أن تكون حمراء ــــــــــ= ــــــــــ

ندوق عدد الكرات الحمراء في الص= حيث س

حاصل ضرب الوسطين= حاصل ضرب الطرفين ـــــــــــــــ= س كره حمراء٢١= س إذاً

كرة ١٤ = ٢١ – ٣٥= عدد الكرات الغير حمراء في الصندوق

٢ ٣

٣ ٥

١٠

عدد عناصر الحدث ٢ عدد عناصر فراغ العينة

س ٣١٢

٣ × ١٢ ٢

عدد عناصر فراغ العينة عدد عناصر الحدث

٣ ٥

س٣٥

٣ × ٣٥ ٥

J[



وعلى الوجه ) أبو يزيد(عملة نقدية مرسوم على أحد وجوهها صورة ) : ٢٠( مثال رمينا هذه العملة النقدية ثالث ) يميةمنتديات يزيد التعل(الثاني مكتوب أسم

؟بالرميات الثالث ستظهر نفس الرسمهما هو االحتمال أن . مرات متتالية -:الحل

٨= عدد فضاء اإلمكانات ٢= عدد الرميات الثالث المتشابهة

ـــــــ= ــــــــ = احتمال أن بالرميات الثالث ستظهر نفس الرسمه

ن يكونوا الثالثة من نفس ما االحتمال ا. ديها ثالثة أبناء لشهد ) : ٢١( مثال الجنس ؟

-:الحل ٨= عدد فضاء اإلمكانات

٢= الوالدات ثالثه من نفس الجنس ـــــــــ= ـــــــــ = احتمال أن يكونوا الثالثة من نفس الجنس

ع مواد بكم طريقة يمكن لطالب أن يختار مادتين من بين تس ) : ٢٢( مثال

اختيارية مختلفة ؟ -:الحل

الترتيب غير مهم إذاً الحل باستخدام التوافيق

٣٦= ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ =

صمم حجر نرد بحيث تحمل ثالثة أوجه منه الرقم واحد ، واألوجه ) : ٢٣( مثال م ثالثة ، فإذا رمى هذا الحجر مرتين متتاليتين ، فإن الثالثة األخرى تحمل الرق

احتمال ظهور رقمين متشابهين في الرميتين يساوي ؟

-:الحل }٣ ، ٣ ، ٣ ، ١ ، ١ ، ١{ = للحجر المصمم ) فراغ العينة ( فضاء العينة

، ) ١ ، ١( { ) = فراغ العينة (عندما رمي الحجر المصمم مرتين فضاء العينة ) ٣ ، ٣( ، ) ١ ، ٣( ، ) ٣ ، ١ ( {

٤= عدد عناصر فضاء العينة } ) ٣ ، ٣( ، ) ١ ، ١( { = حادثة ظهور نفس الشيء في الرمتين

٤ ٨ ١ ٢

٢ ٤ ٨

١

٩ ٢

)٢× )! ٢ – ٩! ٩!

١ × ٢× ! ٧ ٧ × ٨ × ٩!

J[



٢= عدد عناصر الحادثة إذاً

ــــــــــ = ــــــــــ = احتمال ظهور رقمين متشابهين في الرميتين

تمال أن يكون كال الطفلين ولدين ؟أنجبت نوره طفلين ، اح ) : ٢٤( مثال -:الحل

}) بنت ، بنت ( ،)بنت ، ولد ( ،)ولد ، بنت ( ،)ولد ، ولد ( { =فضاء اإلمكانات }) ولد ، ولد({ = ظهور ولدين

ـــــــــ= احتمال ظهور ولدين

على أحدى جهات عملة نقدية مكتوب الرقم صفر وعلى ) : ٢٥( مثال مرات وجمعنا األرقام التي ٣ ، رمينا هذه العملة ١مكتوب الرقم الجهة األخرى

؟٢ما االحتمال أن يكون المجموع هو . حصلنا عليها -:الحل

، )١ ، ١ ، ٠( ، ) ٠ ، ١ ، ٠( ، ) ١ ، ٠ ، ٠( ، ) ٠ ، ٠ ، ٠( { = فضاء العينة )١ ،١ ، ١( ، )٠ ، ١ ، ١( ، )١ ، ٠ ، ١( ، ) ٠ ، ٠ ، ١ ( {

ــــــــــ = ٢احتمال أن يكون المجموع هو

٣ أحرف فقط وكل كلمة مكونه من ٥في لغة الفضاء يوجد ) : ٢٦( مثال ما هو عدد الكلمات في هذه اللغة ؟. أحرف مختلفة

-:الحل ، إذاً الترتيب مهم كل تبديل للحروف يعطي كلمة

كلمة٦٠ = ٣× ٤ × ٥= ٣ ل ٥= عدد الكلمات في هذه اللغة

أبواب فإذا خرج متفرج من أحد األبواب فإن ٧استاد له ) : ٢٧( مثال هو ؟٦احتمال خروجه من الباب رقم

-:الحل ١= عدد مرات الخروج

٧= فضاء العينة إذاً

٢ ٢ ٤

١

٤ ١

٣ ٨

١

J[



ـــــــــ = ٦احتمال خروج المتفرج من الباب رقم

% ٧ الكهربائية ، المصنع األول ينتج مصنعان لصناعة المفاتيح ) : ٢٨( مثال مفاتيح غير سليمة ، إذا كان % ١٠مفاتيح غير سليمة ، والمصنع الثاني ينتج

اختير . المصنع الثاني ينتج ثالثة أمثال ما ينتجه المصنع األول في أسبوع واحد فإن احتمال أن يكون المفتاح سليم هو ؟ . اًمفتاح عشوائي

-:الحل س= األول إنتاج المصنع

مفاتيح سليمة % ٩٣ مفاتيح تالفة % ٧

س٣= إنتاج المصنع الثاني مفاتيح سليمة % ٩٠ مفاتيح تالفة % ١٠

١٠٠= س = نفرض إن عدد المفاتيح في المصنع األول

٧= ، التالفة ٩٣= المفاتيح السليمة -:وبالمثل

٣٠٠= س ٣= نفرض إن عدد المفاتيح في المصنع الثاني ٣٠= ، التالفة ٢٧٠= المفاتيح السليمة

إذاً ٤٠٠ = ٣٠٠ + ١٠٠= عدد المفاتيح في المصنعين

٣٦٣ = ٢٧٠ + ٩٣= عدد المفاتيح السليمة في المصنعين = حادث أن يكون المفتاح سليم

ــــــــــ= يكون المفتاح سليم احتمال أن

نفس المقاس بعضها أزرق ، بعضها أخضر ، كره ملونه من٣٢إناء به ) : ٢٩( مثال

كم . ـــــــــ = فإن كان احتمال سحب كره زرقاء . بعضها أحمر والباقي لونه أصفر عدد الكرات الزرقاء في اإلناء ؟

-:الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= احتمال سحب كره زرقاء

٧

١

٣٦٣

٤٠٠ ٣٦٣

٨ ٣

عدد عناصر الحدث س ٣ عدد عناصر فراغ العينة

J[



ــــــــــ= ــــــــــ حاصل ضرب الوسطين= حاصل ضرب الطرفين

١٢= ــــــــــــــــــ = س كره ١٢= إذاً عدد الكرات الزرقاء

ولم . أعلن عن احتمال انعقاد امتحان خالل األسبوع الدراسي القادم ) : ٣٠( مثال

فما هو احتمال أن يقع االمتحان نهار األربعاء ؟. يعين اليوم بالتحديد - :الحل

٥= أيام الدراسة خمسة أيام في األسبوع = فضاء اإلمكانات ١= مره واحده في األسبوع = نهار األربعاء

ـــــــــ= احتمال أن يقع االمتحان نهار األربعاء

)..(األعمار )..(

تطبيقات حياتية على حل المعادلة من الدرجة األولى–الجمل الرياضية

٤ سنوات يساوي ثالثة أضعاف عمره منذ ٨كان عمر فهد بعد إذا ) : ١( مثال فما عمره اآلن ؟. سنوات -:الشرح

س= نفرض عمر فهد األن ٨+ س = سنوات ٨مره بعد ع ٤ -س = سنوات ٤مره منذ ع

-:الحل ) سنوات ٤عمره منذ ( ثالثة أضعاف= سنوات ٨عمره بعد

)٤ –س ( ٣ = ٨+ س ١٢ – س ٣ = ٨+ س س– س ٣ = ١٢ + ٨ س٢ = ٢٠

١٠= س سنوات ١٠= إذاً عمر فهد اآلن

٣٢ ٨

٣ × ٣٢ ٨

٥ ١

J[



. سنوات ٧ إذا كان عمر خالد يكبر عمر أخيه حسان اآلن بــ ) :٢( مثال

سنوات ؟٣فبكم سنة يكبره بعد -:الحل

يبقى فرق العمر ثابت مهما مرت األعوام سنوات ٧ بــ مر أخيه حسان سنوات عمر خالد يكبر ع٣اً بعد إذاً أيض

بعد عشر سنوات يصبح . أضعاف عمر ابنه ٣إذا كان عمر أحمد ) : ٣( مثال

سنه ، فما عمر أحمد اآلن ؟٢٠عمر االبن -:الحل

ص= س ، عمر ابنه = نفرض عمر أحمد ص٣= مر ابنه س ع أضعاف٣عمر أحمد : من جملة

ـــــــــ = إذاً عمر االبن ص ٢٠ = ١٠+ ــــــــ = سنة ٢٠ عمر ابنه يصبح بعد عشر سنوات

١٠ – ٢٠= ـــــــ ١٠= ـــــــ

٣بالضرب في ٣٠= س إذاً

سنه ٣٠عمر أحمد اآلن

٢٠وي ضعف عمره منذ سنوات يسا١٠مر خالد بعد إذا كان ع ) : ٤( مثال مر خالد اآلن ؟فما ع. سنة

-:الشرح س= ض عمر خالد نفر

١٠+ س = سنوات ١٠عمر خالد بعد ٢٠ -س = سنه ٢٠منذ

-:الحل سنه٢٠ عمره منذ ضعف= سنوات ١٠عمر خالد بعد

)٢٠ –س ( ٢ ) = ١٠+ س (

س٣

٣ س

س ٣ س٣

J[



٤٠ – س ٢ = ١٠+ س س– س ٢ = ٤٠ + ١٠ س = ٥٠ إذاً

سنة ٥٠= عمر خالد اآلن

عاماً فبكم عاماً يكبره بعد ٢٠ود بــ إذا كان خالد اآلن يكبر محم ) : ٥( مثال عشرة أعوام ؟

-:الحل ٢٠ عاماً فبعد عشرة أعوام أيضاً يكبره بــ ٢٠إذا كان خالد اآلن يكبر محمود بــ

.عاماً

وبعد . وات سن٩مر أخيها أحمد بمقدار عمر ليلى اآلن أكبر من ع ) : ٦( مثال مر كل منهما اآلن ؟أوجد ع. لى سنتين من اآلن يصبح عمر أحمد نصف عمر لي

-:الشرح س = مر أحمد اآلن نفرض ع

٩+ س = مر ليلى اآلن فيكون ع ٢+ س = مر أحمد بعد سنتين من اآلن ع

١١+ س = ٢ + ٩+ س = عمر ليلى بعد سنتين من اآلن -:الحل

عمر ليلى نصفمن جملة بعد سنتين من اآلن يصبح عمر أحمد )١١+ س ( ـــــــــ ) = ٢+ س (

لــ التخلص من المقام ٢بالضرب في ١١+ س ) = ٢+ س ( ٢ ١١+ س = ٤+ س ٢ ٤ – ١١= س – س ٢

٧= س إذاً

سنوات٧= س = عمر أحمد سنة ١٦ = ٩ + ٧ = ٩+ س = عمر ليلى

٢ ١

J[



عمر هبة اآلن ثالثة أمثال عمر أختها دينا ، وبعد أربع سنوات يصبح ) : ٧( مثال أوجد عمر كل منهما اآلن ؟. دينا نصف عمر هبة عمر

-:الشرح ص= اآلن مر أختها دينا س ، ع= اآلن مر هبة نفرض ع

٤+ س = مر هبة بعد أربع سنوات ع ٤+ ص = مر دينا بعد أربع سنوات ع

-:الحل مر أختها ديناعمر هبة اآلن ثالثة أمثال ع

ص٣= س مر هبة عنصفمر دينا بعد أربع سنوات يصبح ع

)٤ + س ( ـــــــــ = ٤ + ص لـــ التخلص من المقام٢بالضرب في

٤+ س ) = ٤+ ص ( ٢ ٤+ س = ٨+ ص ٢

: ص كذا ٣نعوض عن س بــــ ٤+ ص ٣ = ٨+ ص ٢ ص٢ – ص ٣ = ٤ – ٨ ص = ٤

إذاً سنوات٤= ص = عمر دينا سنة ١٢ = ٤ × ٣= ص ٣= س = عمر هبة

عمر ياسر اآلن ضعف عمر أخيه زياد ، إذا كان ربع عمر ياسر يزيد ) : ٨( مثال

؟ ياسرأوجد عمر . سنوات ٣على ثلث عمر زياد بمقدار -:الحل

ص= ، عمر زياد س= نفرض عمر ياسر ص٢= عمر ياسر ضعف عمر زياد س

٣= ــــــــ ص - ــــــــ س ٣ ثلث عمر زياد بمقدار يزيد علىربع عمر ياسر لـــ التخلص من المقام١٢بالضرب في

٣ × ١٢= ص ٤ – س ٣ ٣٦= ص ٤ – س ٣

٢ ١

١ ١ ٣ ٤

J[



ص كذا٢نعوض عن س بـــ ٣٦= ص ٤ –) ص٢ (٣ ٣٦= ص ٤ – ص ٦ ٣٦= ص ٢

١٨= ص إذاً

سنة ٣٦ = ١٨ × ٢= ص ٢= عمر ياسر

األب عمر واآلن بناال عمر أضعاف ٥ األب عمر كان سنوات عشر منذ ) : ٩( مثال ؟ األب عمر كم سنوات ٨ + بناال عمر ضعف -:الحل

ص= س ، عمر االبن = نفرض عمر األب ١٠ –ص = ، عمر االبن ١٠ –س = منذ عشر سنوات عمر األب

عمر االبن أضعاف٥ كان عمر األبمنذ عشر سنوات: من جملة )١٠ –ص ( ٥ = ١٠ –س

سنوات٨+ عمر االبن ضعفواآلن عمر األب : من جملة ٨+ ص ٢= س

-:نعوض المعادلة الثانية في األولى كذا )١٠ –ص ( ٥ = ١٠ –) ٨+ ص ٢( ٥٠ – ص ٥ = ٢ – ص ٢ ص٢ – ص ٥ = ٥٠ + ٢ - ص٣ = ٤٨

١٦= ص س = إليجاد عمر األب

سنة ٤٠ = ٨ + ٣٢ = ٨ ) + ١٦ ( ٢= س

عمر فهد اآلن هو ضعف عمر فيصل ، ولكن قبل ست سنوات كان ) : ١٠( مثال عمر فهد أربع أضعاف عمر فيصل ، فكم عمر فهد اآلن ؟

-:الحل ص= اآلن س ، عمر فيصل = اآلن نفرض عمر فهد

٦ -ص = ، عمر فيصل ٦ –س = سنوات عمر فهد قبل ست ر فيصل عمضعف عمر فهد اآلن هو :من جملة

J[



ص٢= س عمر فيصلأربع أضعاف قبل ست سنوات كان عمر فهد :من جملة

)٦ –ص ( ٤ = ٦ –س ٢٤ – ص ٤ = ٦ –س

: ص كذا ٢نعوض عن س بـــ ٢٤ – ص ٤ = ٦ – ص ٢ ص٢ – ص ٤ = ٢٤ + ٦ - ص٢ = ١٨

٩= ص إذاً

سنة ١٨ = ٩ × ٢= ص ٢= عمر فهد اآلن

سنة يصبح ٢٠وبعد . عمره اآلن ثالثة أضعاف عمر ابنه رجل ) : ١١( مثال كم عمر الرجل اآلن ؟. سنة ٣٥عمر االبن

-:الحل ص= س ، عمر ابنه = نفرض عمر الرجل اآلن

٢٠+ ص = ، عمر ابنه ٢٠+ س = سنة عمر الرجل ٢٠بعد عمر ابنهثالثة أضعاف رجل عمره اآلن :من جملة

ص٣= س سنة٣٥ يصبح عمر االبن سنة٢٠بعد :من جملة

٣٥ = ٢٠+ ص ٢٠ – ٣٥= ص سنة١٥= ص إذاً

سنة ٤٥ = ١٥ × ٣= ص ٣= عمر الرجل

أضعاف عمر خالد ، ٣ أضعاف عمر محمد ، وعمر محمد ٤عمر علي ) : ١٢( مثال ؟٣٢فكم عمر محمد إذا كان مجموع أعمارهم

-: ) ١( الحل ع= ص ، عمر خالد = س ، عمر محمد = لي نفرض عمر ع

عمر محمد أضعاف٤ عمر علي :من جملة

J[



ص٤= س عمر خالد أضعاف ٣ عمر محمد :من جملة

ع٣= ص ٣٢ مجموع أعمارهم :من جملة

٣٢= ع + ص + س -: راح نجعل المعادلة األخيرة بداللة ص كذا المطلوب عمر محمد ؟

٣٢= ـــــــــ + ص + ص ٤ ٣٢= ـــــــــ + ص ٥

لــ التخلص من المقام ٣بضرب المعادلة في ٣ × ٣٢= ص + ص ١٥ ٣ × ٣٢= ص ١٦

سنوات٦= ص

- ) :٢( الحل س= نفرض عمر خالد

س٣= عمر محمد س١٢= س ٣ × ٤= عمر علي

٣٢= مجموع األعمار ٣٢= س ١٢+ س ٣+ س ٣٢= س ١٦

٢= س إذاً

سنوات ٦ = ٢ × ٣= س ٣= عمر محمد

عمر بشرى اآلن ثالثة أضعاف عمر أخيها ناصر ولكن قبل خمس ) : ١٣( مثال سنوات كان عمرها خمسة أضعاف عمر ناصر فإن عمرها اآلن يساوي ؟

-: ) ١( الحل ٥ –س = س قبل خمس سنوات كان عمر ناصر = نفرض عمر ناصر

٥ – س ٣= قبل خمس سنوات عمر بشرى س ٣= نفرض عمر بشرى عمر ناصرخمسة أضعاف قبل خمس سنوات كان عمرها :من جملة

)٥ –س ( ٥ = ٥ – س ٣ ٢٥ – س ٥ = ٥ – س ٣

ص ٣ ص٣

J[



س٣ – س ٥ = ٢٥ + ٥ - س٢ = ٢٠

١٠= س إذاً

سنة ٣٠ = ١٠ × ٣= س ٣= عمر بشرى اآلن ) : ٢( الحل

ص= ناصر اآلن نفرض عمر أخيها س ،= اآلن نفرض عمر بشرى ٥ –ص = ، عمر أخيها ناصر ٥ –س = قبل خمس سنوات عمر بشرى

عمر أخيها ناصر ثالثة أضعاف عمر بشرى اآلن :من جملة ص٣= س

عمر ناصرخمسة أضعاف قبل خمس سنوات كان عمرها :من جملة )٥ –ص ( ٥ = ٥ –س ٢٥ – ص ٥ = ٥ –س

-: ص كذا ٣ نعوض عن س بـــ ٢٥ – ص ٥ = ٥ – ص ٣ ص٣ – ص ٥ = ٥ – ٢٥ ص٢ = ٢٠

١٠= ص إذاً

سنة ٣٠ = ١٠ × ٣= ص ٣= عمر بشرى اآلن

م عمر ماجد ثالثة أضعاف عمر أخته شهد وفي عام ١٩٩٠عام ) : ١٤( مثال م ؟٢٠٠٠كم يصبح عمر ماجد عام . م أصبح عمره ضعف عمر أخته ١٩٩٤

-:الحل س٣= س ، عمر ماجد = م عمر شهد ١٩٩٠نفرض عام

٤+ س ٣= ، عمر ماجد ٤+ س = عمر شهد ) بعد أربع سنوات( م ١٩٩٤عام عمر أختهضعف م أصبح عمره ١٩٩٤ عام :من جملة

)٤+ س ( ٢ = ٤+ س ٣ ٨+ س ٢ = ٤+ س ٣ ٤ – ٨= س ٢ – س ٣

٤= س سنة١٢ = ٤ × ٣= س ٣= م ١٩٩٠عمر ماجد عام

J[



سنة ٢٢ = ١٠ + ١٢= م ٢٠٠٠عمر ماجد عام

سنة فإن عمر ١٨ سنة والفرق بين عمريهما ٧٨عمر خالد وابنه ) : ١٥( مثال خالد؟ -:الحل

ص= س ، وعمر ابنه = نفرض عمر خالد ٧٨= ص + سنة س ٧٨نه عمر خالد واب:من جملة ١٨= ص – سنة س ١٨ الفرق بين عمريهما :من جملة

بجمع المعادلتين ٩٦= س ٢

٤٨= س إذاً

سنة ٤٨= عمر خالد سنوات يصبح ١٠عمر أب اآلن ثالثة أضعاف عمر أبنه وبعد ) : ١٦( مثال

مر االبن اآلن ؟ سنة فإن ع٢٠عمر االبن -:الحل

سنوات١٠ = ١٠ – ٢٠= عمر االبن اآلن سنة ٣٠ = ١٠ × ٣= عمر االبن أضعاف٣= عمر األب اآلن

سنة فإن عمر األب ١٨ سنة و الفرق بينهما ٧٨مجموع عمر أب وابنة ) : ١٧( مثال

بعد خمس سنوات يصبح ؟ -:الحل

ص= س ، وعمر ابنة = نفرض عمر األب ٧٨= ص + سنة س ٧٨ مجموع عمر أب وابنة :جملة من

١٨= ص – سنة س ١٨ الفرق بينهما :من جملة بجمع المعادلتين

٩٦= س ٢ ٤٨= س

سنة ٤٨= عمر األب اآلن سنة ٥٣ = ٥+ ٤٨= سنوات بعد خمسعمر األب

J[



خالد و عمر سعيد ثالثة أضعاف عمر خالد عمر محمد نصف عمر ) : ١٨( مثال فإن النسبة بين عمر محمد إلى عمر سعيد هي ؟

-:الحل نفرض عمر خالد س سنة

ـــــــــ س= عمر محمد س٣= عمر سعيد

إذاً ــــــــــ= ـــــــــ × ــــــــ س = س ٣÷ ـــــــــ س = ــــــــــــــــــــــــ

سنوات يصبح ٨ سنة ، بعد ٢٥الفرق بين عمر أبو وعمر ابنة اآلن ) : ١٩( مثال

فما عمر كالً منهما اآلن ؟. ــــــــ عمر األب مساوياً لـــــ ـــــــــ عمر االبن -:الحل

س= نفرض عمر األب اآلن ٢٥ –نفرض عمر االبن يكون س

٨+ س = سنوات ٨ عمر األب بعد ١٧ –س = ٨ + ٢٥ –س = سنوات ٨عد عمر االبن ب

سنوات يصبح ـــــــــ عمر األب مساوياً لــــ ـــــــــ عمر االبن٨ بعد :من جملة )١٧ –س ( ــــــــ ) = ٨+ س ( ــــــــ

لـــ التخلص من المقام١٤بالضرب في )١٧ –س ( ٧ ) = ٨+ س ( ٢ ١١٩ – س ٧ = ١٦+ س ٢ س٢ –س ٧ = ١١٩ + ١٦ س٥ = ١٣٥ سنة ٢٧= س

سنة ٢٧= عمر األب سنة ٢ = ٢٥ – ٢٧= عمر االبن

٩ سنة من اآلن كان عمر محمد ضعف عمر ماجد وبعد ١٨قبل ) : ٢٠( مثال

ما هو عمر كالً منهما اآلن ؟. سنوات من اآلن يصبح عمر محمد ـــــــــ عمر ماجد -:الحل

ص= ماجد س ، عمر= نفرض عمر محمد ١٨ –ص = سنة ١٨ ، عمر ماجد قبل ١٨ –س = سنة ١٨عمر محمد قبل

١ ٢

عمر محمد عمر سعيد

١ ٢

١ ٢

١ ١ ٦ س٣

١ ٢ ٧

١

٧ ٧

٢ ٢

١ ١ ١ ١

٥ ٤

J[



٩+ ص = سنوات ٩ ، عمر ماجد بعد ٩+ س = سنوات ٩عمر محمد بعد عمر ماجد ضعف سنة من اآلن كان عمر محمد ١٨ قبل :من جملة

)١٨ –ص ( ٢ = ١٨ –س ٣٦ – ص ٢ = ١٨ –س ))١المعادلة (( ١٨ - = ص ٢ –س

سنوات من اآلن يصبح عمر محمد ـــــــــ عمر ماجد ٩ وبعد :من جملة )٩+ ص ( ــــــــ = ٩+ س ٤٥+ ص ٥ = ٣٦+ س ٤ ))٢المعادلة (( ٩= ص ٥ – س ٤

ثم بجمع المعادلتين ٤ –في ) ١( بضرب المعادلة سنة ٢٧= ص

إليجاد قيمة س ) ١( عادلة نعوض عن ص في الم سنة ٣٦= س

سنة٢٧= سنة ، عمر ماجد ٣٦= إذاً عمر محمد )..(المتتاليات )..(

في المتتاليات يجب عمل مقارنه بين كل حد والحد الذي يليه مباشرة بــ أجراء

) قسمة – ضرب – جمع –طرح ( العمليات األربعة

؟... ، ... ، ... ، ٠,٠٩ ، ٠,٩ ، ٩: الية ما هو الحد السادس للمتو ) :١( مثال -:الشرح

.. تم أجراء عملية القسمة نالحظ هنا .. هكذا ١٠بقسمة كل حد على

١٠الحد الثاني عبارة عن قسمة الحد األول على ١٠الحد الثالث عبارة عن قسمة الحد الثاني على ١٠الحد الرابع عبارة عن قسمة الحد الثالث على

-:الحل ٩= الحد األول

٠,٩= ــــــــ = الحد الثاني

٠,٠٩= ـــــــــ = الحد الثالث

٥ ٥ ٤

٤

٩ ١٠

٠,٩ ١٠

٠,٠٩

J[



٠,٠٠٩= ــــــــــ = الحد الرابع

٠,٠٠٠٩= ـــــــــــــ = الحد الخامس

٠,٠٠٠٠٩= ـــــــــــــــ = الحد السادس

-:اد اآلتية ما العدد الذي يجب وضعه في فراغ تسلسل األعد ) : ٢( مثال ١٦ ، ١٥ ، ١٢ ، ١٣ ، ٨ ، ١١

-:الشرح ونالحظ ان المتتالية بقاعدتين كذا .. تم استخدام عملية الجمع

٢ كل مره أجمع ١٥ ، ١٣ ، ١١: القاعدة األولى ٤ كل مره أجمع ١٦ ، ١٢ ، ٨: القاعدة الثانية

-:الحل ٤+ ١٦(، ) ٢+ ١٥(، ) ٤+١٢(، ) ٢+١٣(، ) ٤+ ٨(، ) ٢+١١( ، ٨ ، ١١ ( ،... ٢٠ ، ١٧ ، ١٦ ، ١٥ ، ١٢ ، ١٣ ، ٨ ، ١١ ، ...

-:ما العدد الذي يجب وضعة في فراغ تسلسل األعداد اآلتية ) : ٣( مثال

٧ ، ١٧ ، ٩ ، ١٥ ، ١١ ، ١٣ ، ... -:الشرح

راح نستخدم هنا عملية الجمع والطرح ، نالحظ هنا عندنا قاعدتين ٢ كل مره أجمع ١٧ ، ١٥، ١٣: القاعدة األولى

٢ كل مره أطرح ٧ ، ٩ ، ١١: القاعدة الثانية -:الحل

٢ – ٧(، ) ٢+ ١٧(، ) ٢ – ٩(، ) ٢+ ١٥(، ) ٢ – ١١(، ) ٢+ ١٣( ، ١١ ، ١٣ ( ، )٢+ ١٩ ( ،.... ٥ ، ١٩ ، ٧ ، ١٧ ، ٩ ، ١٥ ، ١١ ، ١٣ ، ...

...، ٩ ، ١٣ ، ٥ ، ١١ ، ١ ، ٩: أكمل ) : ٤( مثال

-:الشرح عندنا قاعدتين .. راح نستخدم هنا عملية الجمع مرتين

١٠

١٠

١٠

٠,٠٠٩

٠,٠٠٠٩

J[



٢ كل مره أجمع ١٣ ، ١١ ، ٩: القاعدة األولى ٤ كل مره أجمع ٩ ، ٥ ، ١: القاعدة الثانية

-:الحل ٤+ ٩( ، ) ٢+ ١٣( ، ) ٤+ ٥( ، ) ٢+ ١١( ، ) ٤ + ١( ، ) ٢+ ٩( ، ١ ، ٩ ( ،... ١٣ ، ١٥ ، ٩ ، ١٣ ، ٥، ١١ ، ١ ، ٩ ، ...

الحد السادس هو .... ، ٧ــــــ ، ـ٥ ، ـــــــ ٣لية ـــــــ لديك المتتا ) : ٥( مثال -:الشرح

... ، ١١ ، ٩ ، ٧ ، ٥ ، ٣نالحظ العدد الصحيح عبارة عن أعداد فردية ... ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ونالحظ أن المقام متغير وبتسلسل معين ... ، ١ ، ١ ، ١ ، ١ونالحظ أن البسط عبارة عن عدد ثابت

-:الحل ... ، ١٣ ، ــــــــ ١١ ، ــــــــ ٩ ، ــــــــ ٧ ، ــــــــ ٥ ، ــــــــ ٣ــــــــ

إذاً

١٣ـــــــ = الحد السادس

. ).. ، ١٧ ، ٩ ، ٥ ، ٣( أوجد الحد الخامس في المتتابعة ) : ٦( مثال - ) :١( الحل

راح أستخدم فكرة األسس٣ ٥ = ١ )٢ + ( ٣ ٩ = ٢ )٢ + ( ٥ ١٧ = ٣ )٢ + ( ٩ ٣٣ = ٤ )٢ + ( ١٧

- ) :٢( الحل ٣ ٥ = ٢ + ٣ ٩ = ٤ + ٥ ١٧ = ٨ + ٩ ٣٣ = ١٦ + ١٧

١ ١ ١ ٤ ٣ ٢

١ ١ ١ ١ ١ ١ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢

١ ٧

J[



-:ما هو العدد الذي يجب وضعة في فراغ تسلسل األعداد التالية ) : ٧( مثال ٣١٢ ، ١٥٣ ، ٧٤ ، ٣٥ ، ١٦ ، ٧ ، ٣ ، ...

-:الحل -:راح أستخدم عمليتين هنا الضرب والجمع كذا

٣ )٧ = ١ ) + ٢ × ٣ )١٦ = ٢ ) + ٢ × ٧ )٣٥ = ٣ ) + ٢ × ١٦ )٧٤ = ٤ ) + ٢ × ٣٥ )١٥٣ = ٥ ) + ٢ × ٧٤ )٣١٢ = ٦ ) + ٢ × ١٥٣ )٦٣١ = ٧ ) + ٢ × ٣١٢

-:تسلسل األعداد التالية ما العدد الذي يجب وضعة في فراغ ) : ٨( مثال ٣٢٨ ، ٢٤٨ ، ١٦٨ ، ٨٨ ، ...

-:الحل ٨٠= لو طرحت كل عدد من العدد الذي يسبقه مباشرة نالحظ الناتج عدد ثابت

٨٨ = ٨٠ + ٨ ١٦٨ = ٨٠ + ٨٨ ٢٤٨ = ٨٠ + ١٦٨ ٣٢٨ = ٨٠ + ٢٤٨ ٤٠٨ = ٨٠ + ٣٢٨

-:عداد التالية ما هو العدد الذي يجب وضعة في فراغ تسلسل األ ) : ٩( مثال

٥١ ، ١٧ ، ١٥ ، ٥ ، ٣ ، ... -:الحل

٣ ) = ١ × ٢ + ( ١ ٥ = ٢ + ٣ ١٥ ) = ٥ × ٢ + ( ٥ ١٧ = ٢ + ١٥

J[



٥١ ) = ١٧ × ٢ + ( ١٧ ٥٣ = ٢ + ٥١

-:ما هو العدد الذي يجب وضعة في فراغ تسلسل األعداد التالية ) : ١٠( مثال

١٧ ، ٢٥٦ ، ١٦ ، ٢٢٥ ، ١٥ ، ... -:الحل

١٥ = ١ + ١٤ ٢٢٥ = ١٥ × ١٥ ١٦ = ١ + ١٥ ٢٥٦ = ١٦ × ١٦ ١٧ = ١ + ١٦ ٢٨٩ = ١٧ × ١٧ ١٨ = ١ + ١٧

-:ما هو الحد السادس في المتتابعة ) : ١١( مثال ٥٨ ، ٣٣ ، ١٧ ، ٨ ، ٤ ، ...

-:الحل ٤ = ٢ )١ + ( ٣ ٨= ٢ )٢ + ( ٤ ١٧ = ٢ )٣ + ( ٨ ٣٣= ٢ )٤ + ( ١٧ ٥٨ = ٢ )٥ + ( ٣٣ ٩٤ = ٢ )٦ + ( ٥٨

-:أكمل المتتابعة التالية ) : ١٢( مثال

٣٠ ، ٢١ ، ١٢ ، ٣ ، .... -:الحل

٣ ١٢ = ٩ + ٣ ٢١ = ٩ + ١٢ ٣٠ = ٩ + ٢١

J[



٣٩ = ٩ + ٣٠

... ) ، ٧ ، ٥ ، ٨ ، ٤ ، ٩ ، ٣: ( أكمل المتتابعة التالية ) : ١٣( مثال - :حلال٣ = ١ + ٢ ٩ = ١ – ١٠ ٤ = ١ + ٣ ٨ = ١ – ٩ ٥ = ١ + ٤ ٧ = ١ – ٨ ٦ =١ + ٥

... ، ٩ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ١: ما هو الحد الناقص في المتتابعة ) :١٤( مثال -:الحل

نالحظ أنها متتابعة األعداد الفردية ١٧ ، ١٥ ، ١٣ ، ١١ ، ٩ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ١ ، ...

-:األعداد التالية ما العددان اللذان يجب وضعهما في فراغ سلسلة ) : ١٥( مثال ١٠٤ ، ٣٦ ، ١٣ ، ٥ ، ٢ ، .... ، .... ،...

-:الحل ٥ = ١ – ٦ = ١ – ٢ ×٣ ١٣ = ٢ – ١٥ = ٢ – ٥ ×٣ ٣٦ = ٣ – ٣٩ = ٣ – ١٣ ×٣ ١٠٤ = ٤ – ١٠٨ = ٤ – ٣٦ ×٣ ٣٠٧ = ٥ – ٣١٢ = ٥ – ١٠٤ ×٣ ٩١٥ = ٦ – ٩٢١ = ٦ – ٣٠٧ ×٣

.... ) ، ١٦ ، ٩ ، ٤ ، ١: ( تتابعة التالية الحد الثامن في الم ) : ١٦( مثال -:الحل

J[



)١ = ٢ )١ )٤ = ٢ )٢ )٩ = ٢ )٣ )١٦ = ٢ )٤ )٢٥ = ٢ )٥ )٣٦ = ٢ )٦ )٤٩ = ٢ )٧ )٦٤ = ٢ )٨

.... ) ، ٢٧ ، ٢١ ، ١٥ ، ٩ ، ٣: ( أوجد الحد التالي ) : ١٧( مثال -:الحل

٣ ٩ = ٦ + ٣ ١٥ = ٦ + ٩ ٢١ = ٦ + ١٥ ٢٧ = ٦+ ٢١ ٣٣ = ٦ + ٢٧

... ) ، ٦٣ ، ٣١ ، ١٥ ، ٧ ، ٣: ( أكمل المتتالية اآلتية ) : ١٨( مثال -:الحل

٣ = ٢ + ١ ٧ = ٤ + ٣ ١٥ = ٨ + ٧ ٣١ = ١٦ + ١٥ ٦٣ = ٣٢ + ٣١ ١٢٧ = ٦٤ + ٦٣

... ) ، ١٨٠٦ ، ٤٢ ، ٦ ، ٢ ، ١: ( أكمل المتتابعة اآلتية ) : ١٩( مثال -:الحل

)٢ = ١+ ٢ )١ )٦ = ٢ + ٢ )٢ )٤٢ = ٦ + ٢ )٦

J[



)١٨٠٦ = ٤٢ + ٢ )٤٢ )٣٢٦٣٤٤٢ = ١٨٠٦ + ٢ )١٨٠٦

) ، س ٤٢ ، ١٥ ، ٦ ، ٣ ، ٢: ( أوجد س في المتسلسلة التالية ) : ٢٠( مثال -:الحل

٢ ٣ = ٠ )٣ + ( ٢ ٦ = ١ )٣ + ( ٣ ١٥ = ٢ )٣ + ( ٦ ٤٢ = ٣ )٣ + ( ١٥ ١٢٣ = ٤ )٣ + ( ٤٢

-:أوجد الرقم الناقص في المتتابعة التالية ) : ٢١( ل مثا٥٦ ، ٣٧ ، ٢٢ ، ١١ ، ...

-:الحل ١١ ٢٢ = ١١ + ١١ ٣٧ = ١٥ + ٢٢ ٥٦ = ١٩ + ٣٧ ٧٩ = ٢٣ + ٥٦

بين كل عدد وآخر أربعة ) ٢٣ ، ١٩ ، ١٥ ، ١١( حيث

-:أكمل السلسلة التالية بنفس التسلسل لألعداد ) : ٢٢ (مثال ٢١ ، ٢٠ ، ١٣ ، ١١ ،٥ ، ٢ ، .....

:الحل -:راح أقسم المتتابعة إلى قاعدتين كذا

١١ = ٩ + ٢ ١٣ = ٨ + ٥ ٢٠ = ٩ + ١١ ٢١ = ٨ + ١٣

J[



٢٩ = ٩ + ٢٠ ٢٩ = ٨ + ٢١

-:ما العدد الذي يجب وضعه في فراغ سلسلة األعداد اآلتية ) : ٢٣( مثال

١٦ ، ١٢ ، ٨ ، ٦ ، ٤ ، ٣ ، .... -:الحل

٣ ٤ ٦ = ٣ + ٣ ٨ = ٤ + ٤ ١٢ = ٦ + ٦ ١٦ = ٨ + ٨ ٢٤ = ١٢ + ١٢ ٣٢ = ١٦ + ١٦

-:أوجد الرقم الناقص في المتتابعة التالية ) : ٢٤( مثال -:الحل

)٩ = ٣ × ٣ ( ٩ يقابله ٣ )٢٥ = ٥ × ٥ ( ٢٥ يقابله ٥ )٦٤ = ٨ × ٨ ( ٦٤ يقابله ٨

إذاً ٦٤= ؟

-: في المتتابعة التالية أوجد الرقم الناقص ) : ٢٥( مثال -:الحل

٤٠ = ٣٨ + ٢ ٤٠ = ١٣ + ٢٧ ٤٠ = ٢٩ + ١١ ٤٠ = ٢٢ + ١٨ إذاً ٢٢= ؟

-:أوجد الرقم الناقص في المتتابعة التالية ) : ٢٦( مثال

J[



-:الحل ٣ ٧ ) = ٤ + ( ٣ ١٦ ) = ٥ + ٤ + ( ٧ ٣٥ ) = ١٠ + ٩ + ( ١٦ ٧٤ ) = ٢٠ + ١٩ + ( ٣٥ ١٥٣) = ٤٠ + ٣٩ + ( ٧٤ ٣١٢ ) = ٨٠ + ٧٩ + ( ١٥٣ ٦٣١ ) = ١٦٠ + ١٥٩ + ( ٣١٢ إذاً ٦٣١= ؟

-:أوجد الرقم الناقص في المتتابعة التالية ) : ٢٧( مثال -:الحل

٤ ٦ = ٢ + ٤ ١٠ = ٤ + ٦ ١٨ = ٨ + ١٠ ٣٤ = ١٦ + ١٨ ٦٦ = ٣٢ + ٣٤ إذاً ٦٦= ؟

-:عة التالية أوجد الرقم الناقص في المتتاب ) : ٢٨( مثال -:الحل

٥ ٩ = ٤ + ٥ ١٦ ) = ٣ + ٤ + ( ٩ ٢٩ ) = ٦ + ٧ + ( ١٦ ٥٤ ) = ١٢ + ١٣ + ( ٢٩

J[



١٠٣ ) = ٢٤ + ٢٥ + ( ٥٤ ٢٠٠ ) = ٤٨ + ٤٩ + ( ١٠٣ ٣٩٣ ) = ٩٦ + ٩٧ + ( ٢٠٠ إذاً ٣٩٣= ؟

)..( أو أصغر كسر كيفية إيجاد أكبر كسر)..(

-:طرق مقارنه الكسور ها إلى عددين عشريينتحويل ) ١ -:بطريقتين توحيد مقاماتها ويتم ذلك ) ٢ إيجاد المضاعف المشترك األصغر للمقامات) أ

الضرب التبادلي ) ب : )راح أركز على الضرب التبادلي

قارن بين الكسرين ـــــــ ، ـــــــ ) : ١( مثال -: ) ١( الحل

بتوحيد المقامات ــــــــ = ــــــ

ــــــــ= ــــــ

١٦ < ١٥المقامات موحده ، أقارن البسط بالبسط

إذاً ــــــــ< ــــــــ

- ) :٢( الحل

ــــــــ ــــــــ ٢ × ٨ ٥ × ٣ ١٦ ١٥ إذاً

ــــــــ< ـــــــ

٣ ٨

٢ ٥

٣ ٨

×٥ ×٤٠ ٥

١٥

٢ ٨× ٥

×٨ ٤٠ ١٦

٨ ٢ ٣

٥

٢ ٥

٣ ٨

>

٢ ٥

٣ ٨

J[



قارن بين الكسرين ـــــــــ ، ـــــــــ ) : ٢( مثال - ) :١( الحل

-:بتوحيد المقامات ـــــــــ= ـــــــ

ـــــــــ= ـــــــ

٤٨ > ٤٩المقامات موحده ، أقارن البسط بــ البسط

إذاً ـــــــ> ـــــــ

- ) :٢( الحل ـ ـــــــــــــــ

٦ × ٨ ٧ × ٧ ٤٨ > ٤٩ إذاً

ــــــــ> ـــــــ

أي الكسور التالية أكبر من ــــــــ ؟ ) : ٣( مثال ـــــــــ) ـــــــــ ب ) أ

ـــــــــ) ـــــــــ د ) جـ

-: ) ١( الحل أي ١٣ ونحن نريد أكبر من ١٣ = ٢٦ألن نصف المقام أي نصف الـــ ) أ ( راح أستبعد

أكبر من نصف المقام

٧ ٨

٦ ٧

٧ ٨

٦ ٧

×٧ ×٧

×٨ ×٨

٥٦

٥٦

٤٩

٤٨

٧ ٨ ٨

٦

٨ ٧

٧ ٦

٧ ٦ ٨ ٧

٢ ١

١٣ ٢٦

١٦ ٢٦

١٧ ٣٦

١ ٢٦

J[



١٨أقل من ) ١٧( و البسط ١٨ = ٣٦ألن نصف المقام أي نصف الــ ) جـ ( راح أستبعد ١٣من أقل ) ١( والبسط ١٣ = ٢٦ألن نصف المقام أي نصف الــ ) د ( راح أستبعد

١٣أكبر من ) ١٦( والبسط ١٣ = ٢٦ألن نصف المقام أي نصف الــ ) ب ( الحل

- ) :٢( الحل -:، راح أقارن كل كسر بالنصف كذا باستخدام فكره الضرب التبادلي

-:ألن ) أ ( راح أستبعد ــــــــ ــــــــ

١ × ٢٦ ٢ × ١٣ ٢٦ = ٢٦ إذاً

ــــــــ= ــــــــ

-:ألن ) جـ ( راح أستبعد ـــــــ ــــــــ

١ × ٣٦ ٢ × ١٧ ٣٦ < ٣٤

ــــــــ< ــــــــ

-:ألن ) د ( راح أستبعد ـــــــ ــــــــ

١ × ٢٦ ٢ × ١

٢٦ < ٢ ــــــــ< ـــــــ

-:ألن ) ب ( الحل

ـــــــ ــــــــ

١٣ ٢٦

١ ٢

١٣ ٢ ٢٦

١

١ ٢

١٧ ٣٦

١ ٢

١٧ ٣٦

١ ٢

١ ٢٦

٢ ٢٦ ١ ١

١ ٢

١٦ ٢٦

J[



١ × ٢٦ ٢ × ١٦ ٢٦ > ٣٢

ــــــــ> ـــــــ

-: أي الكسور اآلتية هو أكبر قيمة ) :٤( مثال ــــــــ) ب ( ـــــــ ) أ (

ــــــــ) د ( ــــــــ ) جـ ( - ) :١( الحل

أقارن كل كسرين ببعض والكسر األكبر راح أقارنه بالكسر جديد كذا )ب ( بــ ) أ ( راح أقارن

ـــــــ ـــــــ ٢ × ٥ ٢٠ × ١

١٠ > ٢٠ ) ))جـ ( اآلن راح أقارن الكسر األكبر الكسر ــــــــ بــ (( ـــــــ > ـــــــ

)جـ ( بـــ ) أ ( راح أقارن

ــــــــ ــــــــ ٣ × ٥ ٢٥ × ١

١٥ > ٢٥ ) ))د ( قارن الكسر األكبر الكسر ـــــــــ بـــ اآلن راح أ(( ــــــــ > ـــــــ

)د ( بــ ) أ ( راح أقارن

ـــــــ ــــــــ ٤ × ٥ ١٠٠ × ١ ٢٠ > ١٠٠

))إذاً الكسر ـــــــ أكبر قيمة (( ـــــــ > ـــــــ

١ ٢

١٦ ٢٦

١ ٥

٣ ٢٥

٤ ١٠٠

٢ ٢٠

١ ٥

٢ ٢٠

١ ٥

٢ ٢٠

١ ٥

٥ ١

٢٥ ٣

٥ ١

٢٥ ٣

١ ١٠٠ ٥

٤

١ ١ ١٠٠ ٥ ٥

٤

٥ ١

J[



قامات بتوحيد الم - ) :٢( الحل ــــــــــ= ـــــــــ ــــــــ= ـــــــــ

ـــــــــ ـــــــــ = ــــــــ

)..(تطبيقات جبرية منوعة )..(

أمثاله ؟ ، فكم يساوي ثالث ٨= إذا كان أربعة أمثال عدد ) : ١( مثال -:الحل

س= نفرض العدد س٤ = أربعة أمثال عدد

س٣= ثالث أمثاله ٨= إذا كان أربعة أمثال عدد :من جملة

٨= س ٤ ٤بالقسمة على

٢= س أوجد ثالث أمثاله ؟

٦ = ٢ × ٣= س ٣

فإن ٤٨فكان الناتج ) س × ٨( من حاصل ضرب ٨إذا طرحنا الرقم ) : ٢( مثال ؟= قيمة س

-:الحل ٤٨ = ٨ –) س × ٨( ٤٨ = ٨ – س ٨ ٨ + ٤٨= س ٨ ٥٦= س ٨

٨بالقسمة على ٧= س

عددان نسبيان الفرق بينهما ـــــــــ ، إذا كان العدد األصغر فيهما ) : ٣( مثال

يساوي ربع فإن العدد األكبر يساوي ؟ -:الحل

١ ٥

×٢٠ ×٢٠

٢٠ ١٠٠

٣ ٢٥

×٤ ×٤

١٢ ١٠٠

،

، ٤ ١٠٠

٢ ٢٠

×٥ ×٥

١٠ ١٠٠

..المقامات موحده راح أقارن البسط بالبسط .. أكبر بسط راح يكون أكبر كسر

١ ٢

١

J[



ــ معطاةـــــــ= س ، العدد األصغر = نفرض العدد األكبر الفرق بينهما ــــــــ:من جملة

ـــــــ= ــــــــ + ــــــــ = ـــــــــ س = ــــــــ -س

؟١٢ما العدد الذي إذا أضيف إلية مربعة كان الناتج ) : ٤( مثال -:الحل

٢س= س إذاً مربعة = نفرض العدد ومنها

١٢ = ٢س+ س ٠ = ١٢ – س +٢س ٠ ) = ٣ –س ) ( ٤+ س (

٤ -= س ٣= س

؟٥ ٣ما هو ثلث العدد ) : ٥( مثال -:الحل

٤ ٣ = ٣ × ٣ × ٣ × ٣ = ٣ × ٣ × ٣ × ٣ × ٣× ـــــــ = ٥ ٣× ـــــــ

فما . ٧ كان الناتج ٥إذا أضيف عدد إلى ضعفه وطرح من مجموعها ) : ٦( مثال هذا العدد ؟


س٢= ضعفه إذاً ٧ = ٥ – س ٢+ س ٧ = ٥ – س ٣ ٥ + ٧= س ٣ ١٢= س ٣

٣بالقسمة على ٤= س

١ ٤ ١ ١

٢ ٤ ٢ ٤ ٢

٣ ١ ١ ٤

١ ٣

١ ٣

J[



، والفرق بين ١٢عدد مكون من رقمين فإذا كان حاصل ضرب رقمية ) : ٧( مثال فما هذا العدد ؟ . ٣٧مكعبيهما

-:الحل ١٢نبحث عن عددين حاصل ضربهما . .ممكن الحل بالتجربة

١٢ = ١ × ١٢ ، ١٢ = ٤ × ٣ ، ١٢ = ٦ × ٢ )١٢ = ٢ × ٦ ( نبدأ بتجربة

٣٧= من جملة الفرق بين مكعبيهما ٦ ، ٢ إذاً راح أستبعد ٢٠٨ = ٨ – ٢١٦ = ٣ ٢ – ٣ ٦

)١٢ = ٣ × ٤( نبدأ بتجربة ٣٧= من جملة الفرق بين مكعبيهما

٣٧ = ٢٧ – ٦٤ = ٣ ٣ – ٣ ٤

فإن هذا العدد يساوي؟ . ١٠إذا كان ثلث عدد مضافاً إلى نصفه يساوي ) : ٨( مثال -:الحل

س= نفرض العدد ١٠= ـــــــ س + ـــــــ س

بتوحيد المقامات ١٠= ــــــــ س

ــــــــ × ١٠= س ١٢= س

٢٣وكان الناتج يساوي ) س × ٥( من حاصل الضرب ٢إذا طرح العدد ) : ٩( مثال

فإن قيمة س تساوي ؟ -:الحل

٢٣ = ٢ –) س × ٥( ٢ + ٢٣= س ٥ ٢٥= س ٥

٥بالقسمة على ٥= س

فما قيمة هذا العدد ؟ . ١٤٠ من عدد يساوي ٠,٧إذا كانت قيمة ) : ١٠( مثال -:الحل

١ ١ ٢ ٣

٥ ٦ ٦

٥

J[



س= نفرض العدد ١٤٠= س × ٠,٧

لـــ التخلص من المقام١٠لضرب في با١٤٠= س × ـــــــ ٧ بالقسمة على ١٤٠٠= س ٧

٢٠٠= س فإن العدد األكبر ١٠٥عددين متتالين هو مجموع أمثال ٥إذا كان ) : ١١( مثال هو ؟

-:الحل )١+ س ( س ، = نفرض العددين المتتالين

١٠٥ = ] ) ١+ س (+ س [ × ٥ ٥بالقسمة على

٢١ ) = ١+ س + ( س ٢١ = ١+ س ٢ ١ – ٢١= س ٢ ٢٠= س ٢

٢بالقسمة على ١٠= س إذاً

١٠= س = العدد األول ١١ = ١ + ١٠ = ١+ س = العدد الثاني

٨ما هو العدد الذي يتكون من رقمين بحيث حاصل ضرب رقمية ) : ١٢( مثال

؟٢٠ومجموع مربعيهما ١٨) د ( ٨١) جـ ( ٢٤) ب ( ٤٥) أ (

-:الحل ٨ = ٢ × ٤ ألن ٢٤بالتجربة الحل

٢٠ = ٤ + ١٦ = ٢ ٢ + ٢ ٤

على عدد ما ثم قسمنا الناتج على خمسة فكان الناتج ٧إذا جمعنا ) : ١٣( مثال فما هذا العدد ؟ . ٤عدد مطروح منه مساوياً لضعف ال

-:الحل نفرض العدد س

٧ ١٠

J[



س + ٧= على عدد ما ٧إذا جمعنا ـــــــــــــــــ= ثم قسمنا الناتج على خمسة

٤كان الناتج مساوياً لـــــ ضعف العدد مطروح منه ٤ – س ٢= ـــــــــــــــ

لـــ التخلص من المقام ٥بالضرب في ٢٠ –س ١٠= س + ٧ س– س ١٠ = ٢٠ + ٧ س٩ = ٢٧

٩بالقسمة على ٣= س

أضعاف العدد يساوي ؟٥ فإن ٠,٢ من عدد يساوي ٠,٣إذا كان قيمة ) : ١٤( مثال -:الحل

س= نفرض العدد ٠,٢= س × ٠,٣

ـــــــ= س × ـــــــ لـــ التخلص من المقامات١٠بالضرب في

٢= س ٣ ــــــــ= س :مطلوب ال ـــــــــ= ـــــــــ × ٥= س × ٥= أضعاف العدد ٥

فإن العددين هما ؟٣٠ والفرق بينهم ٥٠عددان مجموعهم ) : ١٥( مثال -:الحل

ص= س ، العدد الثاني = نفرض العدد األول ٥٠= ص + س ٣٠= ص –س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالجمع ٨٠= س ٢

٢لى بالقسمة ع ٤٠= س

إليجاد قيمة ص ) ٥٠= ص + س ( نعوض عن س في

س + ٧٥

س + ٧٥

٣ ١٠ ١٠

٢

٢ ٣

٢ ٣

١٠ ٣

J[



٥٠= ص + ٤٠ ٤٠ – ٥٠= ص ١٠= ص إذاً

١٠ ، ٤٠= العددين هما

فإن خمس أمثالة يساوي ؟٢٤ أمثاله ٨عدد ) : ١٦( مثال -:الحل

س= نفرض العدد ٢٤= س ٨

٣= س إذاً

١٥ = ٣ × ٥= س × ٥= خمسة أمثالة

: ، أكبر هذه األعداد هو ٣٣ مجموع ثالث أعداد فردية متتالية ) :١٧( مثال -:الحل

٤+ ، س ٢+ س ، س : نفرض األعداد ٣٣ ) = ٤+ س ) + ( ٢+ س + ( س ٣٣ = ٦+ س ٣ ٦ – ٣٣= س ٣ ٢٧= س ٣

٣بالقسمة على ٩= س

١٣ ، ١١ ، ٩: األعداد ١٣أكبرها

: وأكبر عدد فيها هو ٧٥وعها أقل من ثالثة أعداد متتالية مجم ) : ١٨( مثال

٢٧) د ( ٢٣) جـ ( ٢٥) ب ( ٢٤) أ ( -:الحل

٧٥< ) ٢+ س ) + ( ١+ س + ( س ٧٥ < ٣+ س ٣ ٣ – ٧٥< س ٣

J[



٧٢< س ٣ ٣بالقسمة على

٢٤< س ٢٥ ، ٢٤ ، ٢٣: األعداد

٢٥= د فيها يكون أكبر عد

ريال فإن نصف ثلث ما يملكه ؟٦٠خمس ما يملك راشد ) : ١٩( مثال -:الحل ٦٠= ما يملكه راشد × ــــــــ

لـــ التخلص من المقام٥بالضرب في إذاً

٥ × ٦٠= ما يملكه راشد ريال٣٠٠= ما يملكه راشد

ومنها ريال٥٠ = ٣٠٠× ـــــــــ × ــــ ـــــ= ما يملكه × ـــــــــ × ـــــــــ

أحداها خمسة فإن ٣٠٠حاصل ضرب ثالثة أعداد صحيحة موجبة ) : ٢٠( مثال

أقل مجموع للعددين اآلخرين هو ؟ -:الحل

٣٠٠= ع × ص × س ٣٠٠= ع × ص × ٥

٦٠= ع × ص -: إلى عوامله ٦٠تحليل العدد

٦١ = ١ + ٦٠= مجموعها ١ × ٦٠ ٣٢ = ٢ + ٣٠= ا مجموعه٢ × ٣٠ ٢٣ = ٣ + ٢٠= مجموعها ٣ × ٢٠ ١٩ = ٤ + ١٥= مجموعها ٤ × ١٥ ١٦ = ٦ + ١٠= مجموعها ٦ × ١٠ ١٧ = ٥ + ١٢= مجموعها ٥ × ١٢ إذاً

١٦أقل مجموع للعددين هو

١ ٥

١ ١ ١ ١ ٢ ٣ ٣ ٢

١٥ ٥

J[



يكافئ ـــــــــ لعدد س فإن قيمة س ؟٢٤إذا كان ــــــــ لعدد ) : ٢١( مثال -:الحل س × ــــــــ = ٢٤× ــــــــ

٧= س س × ـــــــ = ١٥

٣٠ و مجموعهما يزيد عن الفرق بينهما ٩٠٠عددان حاصل ضربهما ) : ٢٢( مثال

فإن أكبر هذين العددين هما ؟ -:الحل

ص= س ، العدد الثاني = نفرض العدد األول ٣٠الفرق بينهما بــ مجموعهما يزيد عن :من جملة

٣٠) = ص –س ( –) ص + س ( ٣٠= ص + س –ص + س ٣٠= ص ٢

١٥= ص ٩٠٠ عددان حاصل ضربهما :من جملة

٩٠٠= ص × س ٩٠٠ = ١٥× س ٦٠= س

فما مقدار نصف ثلث ما يملك عمر ؟. رياالت ٦ربع ما يملك عمر ) : ٢٣( مثال -:الحل رياالت٦= ما يملك عمر × ــــــــ إذاً

ريال٢٤= ما يملك عمر ومنها رياالت ٤ = ٢٤× ــــــــ × ـــــــــ

فإن ١٦ عن مجموع العدد و ٨ يقل ٧ –أربعة أمثال عدد مضاف إلية ) : ٢٤( مثال

العدد هو ؟ -:الحل

العدد سنفرض

٧ ٨

١٥ ٥ ٧ ٨

٧ ١٥

١ ٣ ٢ ١

٤ ١

J[



٨ – ١٦+ س ) = ٧ -+ ( س ٤ ٨+ س = ٧ – س ٤ ٨ + ٧= س – س ٤ ١٥= س ٣

٥= س

ما هو العدد الذي إذا ضرب في العدد الذي يليه كان حاصل ضرب ) : ٢٥( مثال ؟١٩+ حاصل جمع العددين = العددين

-:الحل ١+ س = س ، العدد الثاني = تفرض العدد األول

)١+ س ( × س = حاصل ضرب العددين من جملة ١٩ + ١+ س + س = ١٩+ حاصل جمع العددين من جملة

ذاًإ ٢٠+ س ٢ ) = ١+ س ( س ٠ = ٢٠ – س ٢ –س + ٢س ٠ = ٢٠ – س – ٢س ٠ ) = ٤+ س ) ( ٥ –س (

ومنها ٥= س ٤ -= س

لدينا ستة أعداد صحيحة متتالية فإذا كان مجموع الثالثة األولى ) : ٢٦( مثال فما مجموع الثالثة األخيرة منها ؟ ) . ٢٧( منها

-:الحل )٢+س(، ) ١+س (س ، = داد األولى نفرض الثالثة األع

٢٧ مجموع الثالثة األولى منها من جملة ٢٧) = ٢+ س ) + (١+ س + (س ٢٧ = ٣+ س ٣ ٢٤= س ٣

٨= س إذاً

١٠ ، ٩ ، ٨= الثالثة أعداد األولى

J[



١٣ ، ١٢ ، ١١= الثالثة أعداد األخيرة ٣٦ = ١٣ + ١٢ + ١١= مجموع الثالثة األخيرة

، وإذا ١٢ما العدد المكون من خانتين إذا جمعتها كان الناتج : ) ٢٧( مثال

من قيمته ؟١٨عكست موقعي خانتيه يفقد ٨٤) د ( ٧٥) جـ ( ٥٧) ب ( ٤٨) أ (

-:الحل بتجربة الخيارات

١٢ = ٥ + ٧= لو جمعنا خانتي العدد ١٨ = ٥٧ – ٧٥ = ١٨ موقعي الخانتين يفقد وإذا عكسنا

والفرق بين ٦عدد يتكون من رقمين حاصل ضرب رقمية يساوي ) : ٢٨( مثال

فما هو هذا العدد ؟٥مربعيهما يساوي ١٦) د ( ٢٣) جـ ( ٣١) ب ( ٦١) أ (

-:الحل بتجربة الخيارات

٦ = ٢ × ٣= صل ضرب الرقمين حا ٥ = ٤ – ٩ = ٢ ٢ – ٢ ٣= الفرق بين مربعيهما

وإذا طرح العدد األول من ٨ما العدد الذي إذا جمع عدداه أصبح ) : ٢٩( مثال

؟٢العدد الثاني يساوي ٦٤) د ( ٥٣) جـ ( ٣٥) ب ( ٤٦) أ (

-:الحل بتجربة الخيارات ٨ = ٥ + ٣ ٨جمع عدداه أصبح

٢ = ٥ + ٣- ٢طرح العدد األول من العدد الثاني يساوي

٧٢وكان الناتج يساوي ) ص × ٩( من حاصل الضرب ٩إذا طرح العدد ) : ٣٠( مثال فإن قيمة ص تساوي ؟

-:الحل ٧٢ = ٩ –) ص × ٩( ٩ + ٧٢= ص ٩

J[



٨١= ص ٩ ٩= ص

أضعاف هذا العدد ٦ فإن ٠,٢ من عدد يساوي ٠,٤إذا كانت قيمة ) : ٣١( مثال تساوي ؟

-:الحل ٠,٢= العدد × ٠,٤ ٢= العدد × ٤

ــــــــ= العدد إذاً ٣= ــــــــ × ٦= العدد × ٦

، فما العدد ١٢يساوي إذا كان ضعف مجموع ثالثة أعداد متتالية ) : ٣٢( مثال األكبر منها ؟

-:الحل )٢+ س ( ، ) ١+ س ( س ، = ثالثة أعداد متتالية

١٢ ضعف مجموع ثالثة أعداد متتالية يساوي من جملة ١٢ = ] ) ٢+ س ) + ( ١+ س + ( س [ × ٢ ١٢ = ] ٣+ س ٣ [ × ٢ ١٢ = ٦+ س ٦ ٦= س ٦

١= س ٣ ، ٢ ، ١: األعداد هي

٣= كبر العدد األ

فكان الناتج ٤ من عدد ما ، ثم قسمنا الباقي على ٥إذا طرحنا ) : ٣٣( مثال فما العدد ؟ . ١٣٦مساوياً لثُمن العدد


٥ –س = من عدد ما ٥إذا طرحنا

٢ ١

٢ ١

٥ -س

J[



ـــــــــــــــ = ٤ثم قسمنا الباقي على ١٧ = ١٣٦× ــــــــ = ١٣٦ثُمن العدد

اًإذ ١٣٦ كان الناتج مساوياً لثُمن العدد من جملة

١٧= ــــــــــــــ ٤ × ١٧ = ٥ –س ٦٨ = ٥ –س ٧٣= س ٥ + ٦٨= س

يمثل ثلثي عدد ما ، فما هذا العدد ؟١٦إذا كان العدد ) : ٣٤( مثال -:الحل ١٦= العدد × ــــــــ

لــ التخلص من المقام٣بالضرب في ٣ × ١٦= س ٢

ـــــــــــــــ= س ٢٤= س

في الكسر ـــــــــ ؟كم ربعاً ) : ٣٥( مثال -:الحل ربعا٩,٦ً= ــــــــ × ــــــــ = ــــــــ ÷ ــــــــ

أجزاء من الربع٦ أرباع و ٩أي

مقلوب أوجد مجموع٤ وحاصل ضربهما يساوي ١٢عددان مجموعهما ) : ٣٦( مثال

العددين ؟ -:الشرح

ص= س ، العدد الثاني = نفرض العدد األول ١٢= ص + س ١٢عددان مجموعهما

٤= ص × س ٤حاصل ضربهما ـــــــــ+ ـــــــــ :المطلوب

-:الحل ٣ =ــــــــ= ــــــــــــــــــــ

١ ٤ ٨

٥ -س ٤

٢ ٣

٣ × ١٦ ٢

١٢ ٥

٥ ١ ١٢

٤ ٤ ١

١٢ ٥

ص س ١ ١

ص+ س س ص

١٢ ٤

J[



)..(١تطبيقات من واقع الحياة )..(

...إلى صفحة ... لحساب عدد الصفحات التي يقرأها من كتاب من صفحة )١+ البداية –النهاية ( هكذا ١نطرح العددين ثم نضيف

..ويختلف الوضع لو كان بين

به الخامس طالب ، سعد كان ترتي٢٠٠في طابور الصباح عدد الطالب ) : ١( مثال والعشرون ومازن كان ترتيبه المئة وخمسة وعشرون فإن عدد األشخاص

المحصورة بين سعد ومازن ؟ -:الحل

١ – البداية –النهاية = عدد األشخاص المحصورين بين سعد ومازن =١ – ٢٥ – ١٢٥ =٩٩

ر الثامن إذا كان ترتيب زيد الثالث بين أثنى عشر متسابقاً وترتيب عم ) : ٢( مثال فكم يكون عدد المتسابقين بينهما ؟

-:الحل ٤ = ١ – ٣ – ٨= عدد المتسابقين بينهم

والصفحات ٦٣ إلى نهاية ٢١طلب أستاذ من تالميذه قراءة الصفحات من ) : ٣( مثال

فما مجموع الصفحات التي يجب على . من كتاب الكيمياء ١٦٥ إلى نهاية ١٠٩من التالميذ قراءتها ؟

-:حل ال صفحة ١٠٠ ) = ١ + ١٠٩ – ١٦٥ ) + ( ١ + ٢١ – ٦٣= ( مجموع الصفحات

J[



١٣ إلى الصفحة ٧ حدد مدرس مادة الرياضيات االختبار من الصفحة ) :٤( مثال ، كم عدد صفحات االختبار ؟٦٥ إلى الصفحة ٢١ومن الصفحة

-:الحل صفحة ٥٢ ) = ١ + ٢١ – ٦٥ ) + ( ١ + ٧ – ١٣= ( عدد صفحات االختبار

لدينا طابور من الشباب ، ترتيب خالد العاشر من بدايته والحادي عشر ) : ٥( مثال فكم عدد أفراد هذا الطابور ؟. من نهايته

-:الحل ٢٠ = ١ – ١٠ + ١١= عدد أفراد هذا الطابور

سئلة كم عدد األ . ٧٤ إلى ٢٥أجاب طالل في اختبار ما عن األسئلة من ) ٦( مثال

التي أجاب عنها ؟ -:الحل

٥٠ = ١ + ٢٥ – ٧٤= عدد األسئلة

كان ترتيب هيثم الواقف في صف من اليمين السابع ، ومن اليسار ) : ٧( مثال كم عدد الواقفين في الصف ؟. الثالث عشر

-:الحل ١٩ = ١ – ٧ + ١٣= عدد الواقفين في الصف

١١٢ إلى ٩٢ ومن ٧٤ إلى ٤٤بار ما عن األسئلة من أجاب محمد في اخت ) : ٨( مثال

كم عدد األسئلة التي أجاب عنها ؟ -:الحل

دائماً نطرح الرقم الكبير من الرقم الصغير و نضيف واحد ٥٢ = ٢١ + ٣١ ) = ١ + ٩٢ – ١١٢ ) + ( ١ + ٤٤ – ٧٤= ( عدد األسئلة التي أجاب عنها

لث عشر بدءاً من األول وكان عدد طالب ترتيب سعد في الفصل الثا ) : ٩( مثال

، فكم يكون ترتيبه من األخير ؟٣٤الفصل -:الحل

J[



٢٢ = ١ + ١٣ – ٣٤= يكون ترتيبه من األخير

)..(٢تطبيقات من واقع الحياة )..(

٦٠ تخصص رياضيات فقط ، ٤٠ طالباً منهم ١٣٠في إحدى الكليات : ) ١( مثال صص رياضيات وفيزياء معاً ، فكم عدد الطالب تخ١٠تخصص فيزياء فقط ،

الذين ليس لهم عالقة في الرياضيات أو الفيزياء ؟ -:الحل

٤٠رياضيات فقط ٦٠فيزياء فقط

١٠رياضيات و فيزياء فقط ١١٠ = ١٠ + ٦٠ + ٤٠= المجموع

٢٠ = ١١٠ – ١٣٠= الطالب الذين ليس لهم عالقة بالرياضيات أو الفيزياء

٢٢ و صحي طالب بالنشاط ال٤١ طالباً ، اشترك منهم ٧٨صف به ) : ٢( مثال فما عدد . طالب اشتركوا بالنشاطين الثقافي و الصحي ٩ و ثقافيبالنشاط ال

الطالب الذين لم يشتركوا بأي نشاط ؟ -:الحل

٥٤ = ٩ – ) ٢٢ + ٤١= ( عدد الطالب الذين اشتركوا في النشاطين ٢٤ = ٥٤ – ٧٨= شتركوا عدد الطالب الذين لم ي

٣٠ طالباً في إحدى مسابقات الرياضيات الدولية ، فإذا كان ٥٠اجتمع ) : ٣( مثال كم عدد . طالباً يتحدثون اللغة االنجليزية ٣٠طالباً يتحدثون اللغة العربية ، و

الذين يتحدثون اللغتين معاً ؟ -:الحل

١٠ = ٥٠ – ) ٣٠ + ٣٠= ( عدد الطالب الذين يتحدثون اللغتين معاً

J[



موظف تم تقسيمهم إلى مجموعتين ، األولى ١٥شركة يوجد بها ) : ٤( مثال موظفين ، كم عدد الموظفين الموجودين ٨ موظفين ، الثانية تحتوي ١٠تحتوي

في المجموعتين ؟ -:الحل

٣ = ١٥ – ) ٨ + ١٠= ( عدد الموظفين الموجودين في المجموعتين

)..(٣تطبيقات من واقع الحياة ( )..

٢٠٠ بعد ، ما أسم الشهر الذي نكون فيه ٢نحن اآلن في شهر ربيع ) : ١( مثال

شهر من اآلن ؟ ) :١( الحل ٨ والباقي ١٦= شهر ١٢ ÷ ٢٠٠

صفر= ربيع الثاني ١= جماد األول

٢= جماد الثاني ٣= رجب

٤= شعبان ٥= رمضان

٦= شوال ٧ = ذو القعدة

٨= ذو الحجة

-:بالتفصيل ) ٢( الحل ١= ربيع الثاني

J[



٢= جماد األول ٣= جماد الثاني

٤= رجب ٥= شعبان ٦= رمضان

٧= شوال ٨= ذو القعدة ٩= ذو الحجة

١٠= محرم ١١= صفر

١٢= ربيع األول ..إذاً تنتهي السنة في ربيع األول

األول نجده في ربيع١٢ وكل مضاعفات العدد ٨ والباقي ١٦ = ١٢ ÷ ٢٠٠

شهر١٩٢ = ١٦ × ١٢ومنها شهر١٩٢= ربيع األول

شهر١٩٣= ربيع الثاني شهر١٩٤= جماد األول

شهر١٩٥= جماد الثاني شهر١٩٦= رجب

شهر١٩٧= شعبان شهر١٩٨= رمضان

شهر١٩٩= شوال ٢٠٠= ذو القعدة شهر ٢٠٠بعد = ذو الحجة

يوماً ما هو هذا اليوم ؟٤٠ فبعد إذا كان اليوم السبت ) :٢( مثال - ) :١( الحل

أيام ٧= نعلم أن عدد أيام األسبوع إذاً ٥ والباقي ٣٥= أيام ٧ ÷ ٤٠

أيام بعد السبت فتكون النتيجة يوم الخميس ٥وبالتالي نبدأ بعد

J[



)صفر ( السبت )١( األحد

)٢( االثنين )٣( الثالثاء

) ٤( اء األربع )٥( الخميس

-:بالتفصيل ) ٢( الحل

١ :السبت ٢ :األحد

٣ :االثنين ٤: الثالثاء ٥: األربعاء

٦: الخميس ٧: الجمعة

في يوم الجمعة فقط٧مضاعفات العدد ٥ والباقي ٣٥ = ٧ ÷ ٤٠

٣٥: الجمعة ٣٦: السبت ٣٧: األحد

٣٨: االثنين ٣٩: الثالثاء

٤٠: عاء األرب يوم ٤٠بعد : الخميس

يوم سيكون ؟٦٠ فبعد. إذا كان اليوم األربعاء ) : ٣( مثال ) :١( الحل ٤ والباقي ٨= أيام ٧ ÷ ٦٠

٠= األربعاء ١= الخميس ٢= الجمعة ٣= السبت

J[



٤= األحد

-:بالتفصيل ) ٢( الحل ١= األربعاء

٢= الخميس ٣= الجمعة ٤= السبت ٥= د األح

٦= االثنين ٧= الثالثاء

في يوم الثالثاء ٧نهاية األسبوع عند يوم الثالثاء ، إذاً مضاعفات العدد أيام٤ والباقي ٨ = ٧ ÷ ٦٠ أيام ٤ = ٦٠ والباقي لــ ٥٦ = ٨ × ٧

٥٦= الثالثاء ٥٧= األربعاء

٥٨= الخميس ٥٩= الجمعة ٦٠= السبت يوم ٦٠بعد = األحد

شهراً من اآلن ؟٥٥٥ بعدنحن اآلن في شعبان فماذا يكون الشهر ) : ٤( مثال -:الحل ٣ والباقي ٤٦= شهر ١٢ ÷ ٥٥٥

٠= شعبان ١= رمضان

٢= شوال ٣= ذو القعدة

أي يوم ؟٤٠الــــ في اليومإذا كان اليوم السبت ) : ٥( مثال -: ) ١( الحل

٥ والباقي ٥= أيام ٧ ÷ ٤٠ ١= السبت

J[



٢= ألحد ا ٣= االثنين ٤= الثالثاء ٥= األربعاء

-:بالتفصيل ) ٢( الحل

١= السبت ٢= األحد

٣= االثنين ٤= الثالثاء ٥= األربعاء

٦= الخميس ٧= الجمعة

٤٠ للوصول لــ ٥والباقي ) ٣٥ = ٧ × ٥( في يوم الجمعة ٧مضاعفات العدد ٣٥= الجمعة ٣٦= السبت ٣٧= األحد

٣٨= ثنين اال ٣٩= الثالثاء ٤٠= األربعاء

أي شهر ؟٥٥٥ في الشهرنحن اآلن في شهر شعبان : ) ٦( مثال -: ) ١( الحل ٣ والباقي ٤٦= شهر ١٢ ÷ ٥٥٥

١= شعبان ٢= رمضان

٣= شوال

-:بالتفصيل ) ٢( الحل ١= شعبان ٢= رمضان

٣= شوال

J[



٤= ذو القعدة ٥= ذو الحجة

٦= محرم ٧= صفر

٨= ربيع األول ٩= ربيع الثاني ١٠= جماد األول

١١= جماد الثاني ١٢= رجب

٥٥٢ = ١٢ × ٤٦حيث ) ٣ والباقي ٤٦ = ١٢ ÷ ٥٥٥( في شهر رجب ١٢مضاعفات العدد شهر٥٥٢= رجب

شهر٥٥٣= شعبان شهر٥٥٤= رمضان

شهر٥٥٥= شوال

)..( ٥تطبيقات من واقع الحياة )..(

لديك حظيرة كلها بقر إال اثنتان وكلها ضأن إال اثنتان وكلها ) : ١( ل مثا فكم بقرة لديك في الحظيرة ؟. غنم إال اثنان

-:الحل س = نفرض عدد الحيوانات

٢ –س = عدد البقر = كلها بقر إال اثنتان : من جملة ٢ –س = عدد الضأن = كلها ضأن إال اثنتان : من جملة ٢ –س = عدد الغنم = ها غنم إال اثنان كل: من جملة

إذاً عدد الحيوانات في الحظيرة = عدد الغنم + عدد الضأن + عدد البقر

س ) = ٢ –س ) + ( ٢ –س ) + ( ٢ –س ( س = ٦ – س ٣ س٣ –س = ٦ - س٢ - = ٦ -

٣= س إذاً

١ = ٢ – ٣ = ٢ –س = عدد البقر

J[



١٠٠فكم كأس يمأل . ؤها كأسين ونصف إذا كانت قارورة يمل ) : ٢( مثال

قارورة ؟ -:الحل

كأس٢,٥ قارورة ١ ١٠٠بالضرب في

كأس ٢٥٠) = ١٠٠ × ٢,٥( قارورة ١٠٠

فما . صناديق ٣ صناديق في كل صندوق منها ٤صندوق بداخلة ) : ٣( مثال مجموع الصناديق ؟

-:الحل الرسم ثم بـ العد أسهل طريقة

صندوق ١٧= مجموع الصناديق

فما . سم ٧٢خمسة مربعات وضعت بجانب بعض بحيث أصبح محيطها ) : ٤( مثال طول ضلع المربع ؟

-:الحل ١٢= من خالل الشكل عدد األضالع

سم ٦ = ـــــــ= طول ضلع المربع

١٥ دوالرات تساوي ٤ علمت أن كل دوالراً إذا٢٠كم عدد الرياالت في ) : ٥( مثال رياالً ؟ -:الحل

رياالً ١٥= دوالرات ٤ ٥بالضرب في

رياالً ٧٥= دوالر ٢٠

فكم سيدفع . من الرياالت ) س( دفاتر بقيمة ٦يستطيع خالد شراء ) : ٦( مثال من الدفاتر بنفس الثمن ؟) هـ(لشراء -:الحل

س ريال= دفاتر ٦

٧٢ ١٢

J[



٦بالقسمة على ـــــــــ ريال= دفتر ١

بالضرب في هـ ـــــــــــــ ريال= هـ دفتر

شجرة في صفوف بحيث يكون عدد األشجار في كل صف ٧٢غرست ) : ٧( مثال

كم عدد األشجار في كل صف ؟. مساوياً لضعف عدد الصفوف -:الحل

عدد األشجار في كل صف مساوياً لضعف عدد الصفوف :من جملة عدد الصفوف ٢= جار عدد األش

٧٢وعندنا عددين ضعف بعض وحاصل ضربهم ٧٢ = ١٢ × ٦

إذاً ألن ضعف عدد الصفوف ١٢= عدد األشجار

مباراة كرة قدم ، فأحرز ١٥ ضربات جزاء في ١٠قام سعود بتسديد ) : ٨( مثال

أهدافاً بقدر نصف هذه الضربات ، فكم سيكون عدد أهداف سعود لو أزداد عدد مباراة واستمر معدل الحصول على ضربات الجزاء والتسديد ٢٤المباريات إلى هذه

واإلحراز ثابتاً لديه ؟ -:الحل

مباراة١٥ضربات ١٠ مباراة ٢٤س ضربة نوع التناسب طردي

٢٤ × ١٠ = ١٥× س ضربة ١٦= ـــــــــــــــــــ = س

هدافاً بقدر نصف هذه الضربات أحرز أ:من جملة ــــــــ عدد الضربات = عدد األهداف أهداف٨ = ١٦× ــــــــ = عدد األهداف

ساعة وفي / صفحة ٦٠ صفحة بسرعة ١٠٠يقرأ مروان في الصباح ) : ٩( مثال

ساعة فإن معدل ما يقرأ في الساعة / صفحة ٤٠ صفحة بسرعة ١٠٠الظهر يقرأ الواحدة ؟

س٦

س هـ٦

٢٤ × ١٠ ١٥

١ ١ ٢ ٢

J[



-:حل ال ـــــــــ= زمن القراءة في الصباح

ـــــــــ= ن القراءة في المساء زم ـــــــ= ــــــــ = ـــــــــ + ـــــــــ = الزمن الكلي للقراءة

صفحة ٢٠٠ = ١٠٠ + ١٠٠= مجموع الصفحات ٤٨= ـــــــــ × ٢٠٠= ـــــــــ ÷ ٢٠٠= ــــــ ـــــ= ــــــــــــــ ــــــــــــــــــــ= معدل الصفحات

دقيقة ؟٤٠ساعة فكم صفحة يقرأ في / صفحة ٤٥يقرأ سامي ) : ١٠( مثال -:الحل

دقيقة ٦٠ صفحة ٤٥ دقيقة ٤٠س صفحة

نوع التناسب طردي ٤٠ × ٤٥ = ٦٠× س صفحة ٣٠ = ـــــــــــــــــ= س

فإن ٨٣ ومعدل أول ثالث اختبارات ٨٥معدل سعد في خمس اختبارات ) : ١١ ( مثال

معدله في االختبارين الرابع والخامس ؟ - :شرح القانون

المتوسط الحسابي= كلمة معدل ـــــــــــــــــــــــــــــــ= المتوسط الحسابي

إذاً عددها× المتوسط الحسابي = مجموع القيم عددها× المعدل = مجموع القيم

-:الحل ٤٢٥ = ٨٥ × ٥= مجموع االختبارات الخمس ٢٤٩ = ٨٣ × ٣= مجموع االختبارات الثالث

١٧٦ = ٢٤٩ – ٤٢٥= مجموع االختبارين الرابع والخامس ٨٨= ـــــــــ = معدله في االختبارين الرابع والخامس

كم . لكريم خالل ــــــــ ساعة يتلو طالب خمسة أجزاء من القرآن ا ) : ١٢( مثال

ساعة يلزم لختم القرآن الكريم ؟ -:الحل

١٠٠ ١٠٠ ٦٠ ٤٠ ٦٠ ١٠٠ ١٠٠

٤٠ ١٠٠ ٢٤

٢٥ ٦

مجموع الصفحات الزمن الكلي

٢٠٠ ساعة/ صفحة ٢٥ ـــــــ٦

٢٥ ٦

٦ ٢٥

٦٠

١٧٦ ٢


٥ ٢

٥

٤٠ × ٤٥

J[



أجزاء ــــــــ ساعة ٥ جزء س ساعة ٣٠

تناسب طردي ـــــــــ × ٣٠ = ٥× س

٥بالقسمة على ساعة ١٥= ـــــــــــــــ = س

طابعاً من فئتي نصف ١٣٢دى أحمد من الطوابع إذا كان مجموع ما ل ) :١٣( مثال

وكان عدد طوابع فئة نصف الريال ضعف عدد طوابع فئة الريال . الريال والريال فما عدد الطوابع التي من فئة نصف الريال ؟

-:الحل ص= س ، وفئة الريال = نفرض عدد طوابع فئة نصف الريال

طابعاً من فئتي نصف الريال ١٣٢مجموع ما لدى أحمد من الطوابع :من جملة والريال

١٣٢= ص + س عدد طوابع فئة نصف الريال ضعف عدد طوابع فئة الريال:من جملة

٠= ص ٢ – ص ومنها س ٢= س إذاً ١٣٢= ص + س ٠= ص ٢ –س

بــ تغيير إشارة المعادلة الثانية ١٣٢= ص + س

٠= ص ٢+ س - ـــــــ بالجمعـــــــــــــــــــــــــــــــ

١٣٢= ص ٣ ٤٤= ص

ص ومنها٢= نعوض عن ص في المعادلة س ٨٨ ) = ٤٤ ( ٢= س إذاً

طابعاً ٨٨= عدد طوابع فئة النصف ريال طابعاً ٤٤= عدد طوابع فئة الريال

٢

٥ ٢

٥ × ٣٠ ٢ × ٥

J[



درجة في مادة اللغة العربية في الفصل الدراسي ٧٥حصل سعد على ) : ١٤( مثال درجة في نفس المادة في الفصل الدراسي ٨٤ام ، وحصل على األول من هذا الع

فما نسبة تحسن درجته ؟. الثاني -:الحل

درجات ٩ = ٧٥ – ٨٤= مقدار الزيادة النسبة المئوية = ــــــــــ ــــــــــ= ــــــــــ

١٠٠ × ٩ = ٧٥× س %١٢= ـــــــــــــــــ = س

أجزاء ٥ أجزاء ماءً و ٣ لتراً يتكون من ٤٠ سائل حجمها كمية من ) : ١٥( مثال

خالً ، إذا أردت تغيير تركيز الخليط لتصبح نسبة متساوية ، فكم لتراً من الماء يجب إضافته إلى الخليط األصلي ؟

-:الحل

خل : ماء ٥ : ٣

٨ = ٥ + ٣= مجموع األجزاء لترا١٥ً = ٤٠× ــــــــ = كمية الماء في الخليط لترا٢٥ً = ٤٠× ـ ـــــــ= كمية الخل في الخليط

لترات ماء ١٠ = ١٥ – ٢٥= لذلك يجب إضافة

قفزات تزيد ١٠دخل هيثم في مسابقة القفز الرياضي ، على أن يقفز ) : ١٦( مثال نقاط لكل قفزة ناجحة ، ونقطتان ٥كل واحدة منها على المتر ، على أن ينال

نقطة ، كم عدد ٤١رة ، وفي نهاية المسابقة جمع هيثم لكل قفزة خاس القفزات الخاسرة ؟

-:الحل ص= س ، القفزة الخاسرة = نفرض القفزة الناجحة

قفزات ١٠ على أن يقفز :من جملة ١٠= ص + س

نقاط لكل قفزة ناجحة ونقطتان لكل قفزة خاسرة ٥ على أن ينال :من جملة نقطة ٤١يثم وفي نهاية المسابقة جمع ه

الجزء الكل٩ ١٠٠ ٧٥

س

١٠٠ × ٩ ٧٥

٣ ٨ ٥ ٨

J[



٤١= ص ٢+ س ٥ إذاً ١٠= ص + س ٤١= ص ٢+ س ٥

-: كذا ٢ –بضرب المعادلة األولى في ٢٠ -= ص ٢ – س ٢ - ٤١= ص ٢+ س ٥

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالجمع ٢١= س ٣

٧= س )١٠= ص + س ( نعوض عن س في المعادلة

١٠= ص + ٧ ٣= ص

٣= ، عدد القفزات الخاسرة ٧= دد القفزات الناجحة إذاً ع دورة في نفس الوقت الذي تدور ٢٠مكينتان للطباعة تدور األولى ) : ١٧( مثال

فكم عدد الصفحات . صفحة ٣٢٠فإذا كانت األولى تطبع . دورة ١٤فيه الثانية التي تطبعها اآللة الثانية في نفس الوقت ؟

-:الحل صفحة ٣٢٠ دوره ٢٠

١٠بالقسمة على صفحة ٣٢ دورة ٢

٧بالضرب في صفحة ٢٢٤ دورة ١٤

شخصاً يرتدون ١٨ شخصاً وجد أن ٤٠في استبيان إحصائي مبسط شمل ) : ١٨( مثال

. و مشلحاً أشخاص ال يرتدون عقاالً أ٦إذا كان . شخصاً يرتدون مشلحاً ٢٤عقاالً و فكم عدد األشخاص الذين يرتدون عقاالً ومشلحاً معاً ؟

-:الحل عدد األشخاص الذين يرتدون عقاالً فقط : نفرض س عدد األشخاص الذين يرتدون مشلحاً فقط : نفرض ص عدد األشخاص الذين يرتدون عقاالً ومشلحاً معاً: نفرض ع

إذاً

J[



ع– ١٨= س ١٨= ع + س ع– ٢٤= ص ٢٤= ع + ص

ومنها ٤٠ = ٦+ ع + ص + س

٤٠ = ٦+ ع ) + ع – ٢٤) + ( ع – ١٨( ٤٠ = ٤٨+ ع - ٤٨ – ٤٠= ع - ٨ -= ع -

٨= ع

كيلو غرام ، تكلفة ٣٠خلط تاجر نوعين من العسل ليحصل على ) : ١٩( مثال ذا كانت تكلفة الكيلو غرام الواحد من رياالً فإ١٨الكيلو غرام الواحد منها

٢٠ رياالً وتكلفة الكيلو غرام الواحد من النوع الثاني هي ١٤النوع األول هي فكم كيلو غراماً يلزمه من النوع الثاني ليحصل على الكمية . رياالً

المخلوطة؟ -:الحل

رياال٥٤٠ً = ١٨ × ٣٠= التكلفة اإلجمالية للعسل المخلوط ص= س ، وزن النوع الثاني = لنوع األول نفرض وزن ا

كيلو غرام٣٠ خلط نوعين من العسل ليحصل على :من جملة ٣٠= ص + س

رياالً وتكلفة ١٤ تكلفة الكيلو غرام الواحد من النوع األول هي :من جملة رياالً ٢٠الكيلو غرام الواحد من النوع الثاني هي

٥٤٠= ص ٢٠+ س ١٤ اًبحل المعادلتين مع

٣٠= ص + س ٥٤٠= ص ٢٠+ س ١٤

٢٠ –بضرب المعادلة األولى في ٦٠٠ -= ص ٢٠ – س ٢٠ - ٥٤٠= ص ٢٠+ س ١٤

J[



ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالجمع ٦٠ -= س ٦ -

١٠= س -:نعوض عن س في المعادلة األولى لــ إيجاد قيمة ص كذا

٣٠= ص + س ٣٠ =ص + ١٠

٢٠= ص إذاً

كيلو غرام ١٠= كمية النوع األول كيلو غرام ٢٠= كمية النوع الثاني

لترات من البنزين في خزان الوقود لسيارة معينة نجد أن ٦عند وضع ) : ٢٠( مثال أوجد السعة اإلجمالية باللتر . المؤشر يتحرك من عالمة ــــــــ إلى عالمة ــــــــ

د هذه السيارة ؟لخزان وقو -:الحل

ـــــــــ= ـــــــــ -ـــــــــ = النسبة التي امتأل بها الخزان لتر ـــــــــ٦

س لتر ـــــــــ

نوع التناسب طردي

ـــــــــ × ٦= ـــــــــ × س

ــــــــــــــ= س

لتر١٦= س )..(٤تطبيقات من واقع الحياة .( ).

ريال وثمن ثوبين يساوي١٥٠إذا كان ثمن ثوب وغترتين يساوي ) ١( مثال

١ ٤

٥ ٨

٥ ٤ ٨

٣ ١ ٨

٨ ٣ ٨ ٨

٨ ٨ ٣ ٨

٨ × ٦ ٣

J[



فما ثمن الغتره الواحدة ؟. ريال ٢٠٠ -:الحل ريال١٥٠ = ة غتر٢ثمن + ثوب ١ ثمن

ريال٢٠٠= ثوب ٢ثمن إذاً

ريال١٠٠= ثوب ١ثمن ومنها ريال١٥٠= ة غتر٢ثمن + ريال ١٠٠

ريال١٠٠ – ريال ١٥٠ = ة غتر٢ثمن ريال٥٠ = ة غتر٢ثمن

ريال٢٥= الواحدة ةثمن الغتر

أقالم ٣ ريال ، واشترى محمد ١٧ أقالم ومقلمة بقيمة ٣اشترى أحمد ) : ٢( مثال ريال ، فما النسبة بين ثمن المقلمة ٣ ريال ، فإذا كان ثمن القلم ١٣ودفتر بقيمة

لدفتر ؟إلى ثمن ا -:الحل

٣= س = ع ، ثمن القلم = ص ، الدفتر = س ، المقلمة = نفرض القلم ريال١٧ أقالم ومقلمة بقيمة ٣ اشترى أحمد :من جملة

١٧= ص + س ٣ ١٧= ص ) + ٣ ( ٣

٩ – ١٧= ص ٨= ص

ريال١٣ أقالم ودفتر بقيمة ٣ اشترى محمد :من جملة ١٣= ع + س ٣ ١٣= ع ) + ٣ ( ٣

٩ – ١٣= ع ٤= ع

١ : ٢= باالختصار ٤ : ٨= نسبة ثمن المقلمة إلى ثمن الدفتر

ريال خارج المدينة ٤٤ هللة عبأ أحمد سيارته بـــ ٤٥سعة لتر البنزين ) : ٣( مثال هلله ١٠٠= ريال ١: همسة هللة فإنه دفع زيادة مبلغ وقدرة ؟٥٥وكان سعر اللتر في المحطة

J[



-:الحل لتر ٨٠ = ـــــــــــــــــــ= عدد اللترات التي عبأها

ريال٣٦= ــــــــــ × ٨٠= لتر من البنزين في المدينة ٨٠ثمن إذاً

رياالت٨ = ٣٦ – ٤٤= دفع زيادة

فما . ريال ١٠٠ ريال وثمن حذاءين ٢٥٠إذا كان ثمن حذاء وثوبين ) : ٤( مثال ثمن الثوب الواحد ؟

-:الحل ريال١٠٠= ثمن حذاءين

ريال٥٠= الحذاء الواحد ثمن ومنها

ريال٢٥٠= ثمن ثوبين + ثمن حذاء ريال٢٥٠= ثمن ثوبين + ريال ٥٠

ريال٢٠٠= ثمن ثوبين ريال١٠٠= ثمن الثوب الواحد

١٥٠ ارتفع سعر كيس األرز بشكل منتظم من ١١ إلى شهر ٣من شهر ) : ٥( مثال

؟٧األرز في شهر فكم كان سعر كيس . رياالت ٣١٠رياالً إلى -:الحل

ريال٢٠= ــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = مقدار ارتفاع كيس األرز شهرياً د ٤+ أ = ٥ح = ٧سعر كيس األرز في شهر ريال٢٣٠) = ٢٠ × ٤ + (١٥٠ = = ٧سعر كيس األرز في شهر

١٠لمين يساوي رياالً وثمن ق١٤إذا كان ثمن قلم ودفترين يساوي ) : ٦( مثال

رياالت ، فما ثمن الدفتر الواحد ؟ -:الحل

ريال٥= رياالت ، إذاً ثمن القلم الواحد ١٠= ثمن قلمين ريال١٤= ثمن دفترين + ثمن قلم

ريال١٤= ثمن دفترين + ريال ٥ ريال ٤,٥= رياالت إذاً ثمن الدفتر الواحد ٩= ثمن الدفترين

١٠٠ × ٤٤ ٤٥ ٥٥

١٠٠

١٥٠ - ٣١٠ ٣ - ١١

١٦٠ ٨

:همسة ٣شهر = ١ح ٤شهر = ٢ح ٥شهر = ٣ح ٦شهر = ٤ح ٧شهر = ٥ح

J[



رياالً ، فكم رياالً تبلغ تكلفة ٥٦٠ أثواب ٧كلفة إذا كانت ت ) : ٧( مثال ثوبين ؟

-:الحل ريال٥٦٠= أثواب ٧تكلفة

٧بالقسمة على ريال٨٠= تكلفة الثوب الواحد

٢بالضرب في ريال١٦٠= تكلفة الثوبين

جرائد ١٠ رياالً ، وثمن ٥٢ مجالت وأربع جرائد يبلغ ٥إذا كان ثمن ) : ٨( مثال فما ثمن المجلة الواحدة ؟. ياالً ر٣٠يبلغ -:الحل ريال٣٠= جرائد ١٠ثمن

١٠بالقسمة على رياالت٣= ثمن الجريدة الواحدة

ومنها ريال٥٢= جرائد ٤ثمن + مجالت ٥ثمن ريال٥٢ ) = ٣ × ٤+ ( مجالت ٥ثمن ١٢ – ٥٢= مجالت ٥ثمن ريال٤٠= مجالت ٥ثمن

٥بالقسمة على رياالت ٨= لواحدة ثمن المجلة ا

أآلت حاسبة ٩ ريال وسعر ٩٠= أآلت حاسبة وقلم ٣إذا كان سعر ) : ٩( مثال

ريال ، فأوجد سعر اآللة الواحدة ؟٢٤٠= وقلمين -:الحل

ص= س ، القلم = نفرض اآللة الحاسبة ٩٠= ص ١+ س ٣ ٢٤٠= ص ٢+ س ٩

٢ –بضرب المعادلة األولى في ١٨٠ -= ص ٢ – س ٦ - ٢٤٠= ص ٢+ س ٩

J[



بالجمعـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦٠= س ٣

ريال٢٠= إذاً سعر اآللة الواحدة ٢٠= س نعوض عن س في المعادلة األولى

٩٠= ص + س ٣ ٩٠= ص ) + ٢٠ ( ٣

٦٠ – ٩٠= ص ريال٣٠= إذاً سعر القلم الواحد ٣٠= ص

ما ثمن . رياالً ٢٤٠ أثواب و غترتين ٣ رياالً ، وثمن ٩٠ ثمن ثوب وغترة ) :١٠( مثال

كل من الثوب والغترة ؟ -:الحل

ص= س ، الغترة = نفرض الثوب ٩٠= ص ١+ س ١ ٢٤٠= ص ٢+ س ٣

٢ –بضرب المعادلة األولى في ١٨٠ -= ص ٢ – س ٢ - ٢٤٠= ص ٢+ س ٣

ـــــــــــــــــــ بالجمعــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦٠= س

نعوض عن س في المعادلة األولى ٩٠= ص + ٦٠

٦٠ – ٩٠= ص ٣٠= ص

ريال٣٠= ريال ، ثمن الغترة ٦٠= ثمن الثوب

رياالً والثانية سعرها أقل من ٧٥ حقيبتين األولى سعرها راشداشترى ) : ١١( مثال بتين ؟ي ثمناً للحقفكم رياالً دفع. رياالً ٥٠األولى بمبلغ

-:الحل ريال٧٥سعر الحقيبة األولى ريال٢٥ = ٥٠ – ٧٥= سعر الحقيبة الثانية

ريال١٠٠ = ٢٥ + ٧٥= ثمناً للحقيبتين راشددفع

J[



ريال وجوال ينقص عن قيمة القاموس بــ ٨٧٠اشترى محمد قاموس بــ ) : ١٢( مثال فكم مجموع المشتريات ؟. ريال ٣٠٠

-:الحل ريال٥٧٠ = ٣٠٠ – ٨٧٠= قيمة الجوال

ريال١٤٤٠ = ٥٧٠ + ٨٧٠= مجموع المشتريات

أثواب يساوي ؟٨فإن ثمن . رياالً ٢٤٠ أثواب ٣ثمن ) : ١٣( مثال -:الحل رياال٢٤٠ً= أثواب ٣ثمن

٣بالقسمة على ريال٨٠= ثمن الثوب الواحد

٨بالضرب في ريال ٦٤٠= أثواب ٨ثمن

إذا كان ثمن خمس برتقاالت يساوي ثمن موزتين وثمن موزتين ) : ١٤ ( مثال

يساوي ثمن ثالث تفاحات فإن ثمن عشر برتقاالت يساوي ثمن كم تفاحة ؟ -:الحل

ع= ص ، تفاح = س ، موز = نفرض البرتقال ص٢= س ٥ ع٣= ص ٢

-: كذا ٢بضرب المعادلة األولى والثانية في ص٤= س ١٠ ع٦= ص ٤

إذاً ع٦= س ١٠

تفاحات ٦ثمن = برتقاالت ١٠ثمن

تحليل مجموع مكعبين والفرق بينهما –تحليل الحدودية الثالثية تحليل الفرق بين مربعين –تحليل مربع كامل

المتراجحة- التحليل بأخذ العامل المشترك

-:نتذكر بعض المتطابقات األساسية

J[



-: مربع مجموع حدين )١( ٢ب + أ ب ٢ + ٢أ = ٢) ب + أ( -: مربع الفرق بين حدين )٢( ٢ب + أ ب ٢ – ٢أ = ٢) ب –أ (

-:مثال ٩+ س ٦ + ٢س = ٢ ٣+ س × ٣ × ٢ + ٢س = ٢ )٣+ س (

٣ب + ٢ أ ب ٣+ ب ٢ أ ٣ + ٣أ = ٣) ب + أ ) ( ٣( -:مثال

٨+ س ١٢ + ٢ س٦ + ٣س = ٨ + ٤× س ٣ + ٢ × ٢ س٣ + ٣س = ٣ )٢+ س (

٣ ب – ٢ أ ب ٣+ ب ٢ أ ٣ – ٣أ = ٣) ب –أ ) ( ٤( -:مثال

٨ – س ١٢ + ٢ س ٦ – ٣س = ٣ ) ٢ –س (

-: الفرق بين مربعين )٥( )ب + أ ) ( ب –أ = ( ٢ ب – ٢ أ

-:مثال )٥+ س ) ( ٥ –س = ( ٢٥ – ٢س

-: تحليل الفرق بين مكعبين )٦( )٢ب + أ ب + ٢أ ) ( ب –أ ( =٣ ب – ٣ أ

-:مثال ] ٤+ س ٢ + ٢ س [ ) ٢ –س = ( ٨ – ٣س

-: تحليل مجموع مكعبين )٧( )٢ب + أ ب – ٢أ ) ( ب + أ = ( ٣ب + ٣أ

-:مثال )٩+ س ٣ – ٢س ) ( ٣+ س = ( ٢٧ + ٣س

-:التحليل بأخذ العامل المشترك ) ٨( -:مثال

)٢+ س ( س = س ٢+ س ×س = س ٢ + ٢س

J[



-:مثال )٢+ س ٣ ( ٢ س٢= س × س × ٢ × ٢+ س × س × س × ٣ × ٢= ٢ س٤ + ٣ س٦

-:إذا كانت المعادلة تشتمل على ثالث حدود تتبع الخطوات اآلتية ) ٩( نستخرج عامل مشترك إن وجد ) أ ( ون العام نحل المعادلة بطريقة التحليل أو إكمال المربع أو القان) ب (

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= حيث القانون العام س

أ جـ ٤ – ٢ب= المميز ) جـ ( صفر > إذا كان المميز

نوع الجذرين جذران حقيقيان مختلفان صفر= إذا كان المميز

نوع الجذرين جذران حقيقيان متساويان صفر < ذا كان المميز إ

نوع الجذرين ال يوجد للمعادلة جذور حقيقة

-: تحليل الحدودية الثالثية )١٠( جـ إلى حاصل ضرب + ب س + ٢تتحلل الحدودية الثالثة التي على الصورة س

-:عاملين )ن + س ) ( م + س = ( جـ + ب س + ٢س

-:حيث ن× م = ن ، جـ + م = ب

-:مثال ٦+ س ٥ + ٢حلل الحدودية س

-:الحل -:بفرض أن

)ن + س ) ( م + س = ( ٦+ س ٥ + ٢س إذاً ٦= ن × ، م ٥= ن + م

إذاً ٦ وناتج ضربهما ٥م ، ن عددان مجموعهما

جـ أ ٤ – ٢ب _ ب - أ٢

J[



.وحيث أن ناتج ضرب العددين موجب فهما موجبان معاً أو سالبان معاً -:القطع موجبان وحيث إن مجموعهما موجب فهما ب

إذاً ٣= ، ن ٢= م

-:وتكون )٣+ س ) ( ٢+ س = ( ٦+ س ٥ + ٢س

-:مثال

١٠+ س ٧ – ٢ حلل الحدودية س -:الحل

)ن + س ) ( م + س = ( ١٠+ س ٧ – ٢س ن + م = ٧ -= معامل س

م ن = ١٠= الحد المطلق إذاً

م ، ن موجبان معاً أو سالبان معاً .وعهما سالب لذلك فهما سالبان معاً ولكن مجم

-: مجموع العاملين - :١٠عوامل العدد - ١١ - ) = ١٠ - ) + ( ١ - ( ١٠ - ، ١ - ٧ - ) = ٥ - ) + ( ٢ - ( ٥ - ، ٢

إذاً -: وتكون ٥ - ، ٢ –العددان هما

)٥ –س ) ( ٢ –س = ( ١٠+ س ٧ – ٢س

-:تكوين معادلة إذا علم جذريها ) ١١( -:المعادلة التي جذريها م ، ن هي

٠) = ن × م + ( س ) ن + م ( – ٢س

٤ ، ٣ كون المعادلة التي جذريها-:مثال -:الحل

٠ ) = ٤ × ٣+ ( س ) ٤ + ٣ ( – ٢س ٠ = ١٢+ س ٧ – ٢س

J[



-:تنقلب المتراجحة في الحاالت اآلتية ) ١٢( إذا ضربت طرفي المتراجحة في عدد سالب أو قسمت على سالب

-:مثال ٢ - < ٥ - ١ - × ٢ > ٥

إذا انقلبت طرفي المتراجحة -:مثال

٢؛ ! آ٥؛ ! نقلب الطرفين ٢ > ٥ إذا ربعنا أعداد سالبة

-:مثال ٤ > ٢٥ نربع الطرفين ٢ - < ٥ -

)..(وحداتال)..(

-:وحدات قياس الزمن ) ١(

شهر١٢= السنة أسابيع٤= الشهر يوم٣٠= الشهر

أيام٧= األسبوع ساعة ٢٤ =اليوم

دقيقة ٦٠= الساعة ثانية ٦٠= الدقيقة

J[



-:وحدات قياس الطول ) ٢( متر١٠٠٠= كيلو متر ١ دسم ١٠= متر ١ سم١٠٠= متر ١ سم١٠= دسم ١ ملم١٠= سم ١

-:وحدات قياس المساحة ) ٣( متر مربع١٠٠٠٠٠٠= كيلو متر مربع ١ دسم مربع١٠٠= متر مربع ١ سم مربع١٠٠٠٠= ع متر مرب١ سم مربع١٠٠= دسم مربع ١ ملم مربع١٠٠= سم مربع ١

-:وحدات قياس الحجم ) ٤( متر مكعب١٠٠٠ × ١٠٠٠ × ١٠٠٠= كيلو متر مكعب ١ دسم مكعب١٠٠٠= متر مكعب ١ سم مكعب١٠٠٠ × ١٠٠٠= متر مكعب ١ سم مكعب١٠٠٠= دسم مكعب ١ ملم مكعب١٠٠٠= سم مكعب ١

-:وحدات قياس الوزن ) ٥( كيلو غرام ١٠٠٠= طن ١ غرام١٠٠٠= كيلو غرام ١ غرام ٠,٠٠١= ملغم ١

J[



-:وحدة قياس حجم السائل ) ٦( لتر١٠٠٠= متر مكعب ١ دسم مكعب١= لتر ١

-:السنة الكبيسة ) ٧( يوم ويكون فيها ٣٦٦ وعدد أيامها ٤هي السنة التي تقبل القسمة على

. يوم ٢٩راير فب

-:السنة البسيطة ) ٨( يوم ويكون ٣٦٥ وعدد أيامها ٤هي السنة التي ال تقبل القسمة على

. يوم ٢٨فيها فبراير )..(قوانين األسس والجذور )..(

-:األسس

صفرآل حيث أ )ن + م ( أ = نأ × مأ ) ١( اوية في حالة الضرب أجمع األسس بشرط األساسات تكون متس

-:مثال ٩ ٥ = ٧ ٥ × ٢ ٥

صفرآل حيث أ ) ن –م (أ = ــــــــــ ) ٢( -:مثال ٤ ٥= )٣ – ٧( ٥= ــــــــ

صفرآل حيث أ م نأ = ن ) مأ ) ( ٣(

-:مثال )٦ ٥ = ٣ ) ٢ ٥

صفرآلــــــــــ حيث ب = م) ــــــــ ) ( ٤(

مأ نأ

٧ ٥ ٣ ٥

أ ب

مأ مب

J[



-:ثال م ــــــــــ = ٥) ــــــــ (

مب × مأ = م) ب × أ ) ( ٥( -:مثال

٥ص × ٥س = ٥) ص × س (

صفرآل بشرط أ ١ = صفرأ ) ٦( -:مثال

١ = صفر ٥

-: في المعادالت األسية -:مالحظة وى األسسإذا تساوت األساسات تتسا ) ١( إذا تساوت األسس تتساوى األساسات ) ٢(

٢ – ١٠س = ٢ – ٢ +م حل المعادلة س : مثال -:الحل

١٠س = ٢+ م س ١٠ = ٢+ م ٢ – ١٠= م ٨= م

-:الجذور

-:ال تجمع و ال تطرح إال الجذور المتشابهة ) ١(

٣ [ ١١ = ٣ [ ) ٤ + ۲ + ٥ ( = ٣ [ ٤ + ٣ [ ۲ + ٣ [ ٥ :مثال

ال يمكن جمعها = ۲ [ ٦ + ٣ [ ٥ ) ٢(

:ص::×:س [ =ص [ ×س [ ) ٣(

٢ ٣

٥ ٢ ٥ ٣

صفر مج حيث س ، ص

J[



٦ [ ١٥ = ٣ [ ٣ × ۲ [ ٥ :مثال

صفر ىصفر ، ص مج حيث س ــ =ص [ ÷س [ ) ٤(

:س [= س ) ٥(

٣؛@ حول إلى الصورة الجذرية س -:مثال : @:س [ # -:الحل

: @س [ % حول إلى الصورة األسية -:مثال

س -:الحل ٥؛@

)..(مالحظات على األعداد )..(

٢ على القسمة قابلية ) ١

زوجياً عدداً أو صفر آحاده كان إذا ٢ على القسمة ما عدد يقبل ٣ على القسمة قابلية ) ٢

٣ على القسمة يقبل أرقامه مجموع كان إذا ٣ على القسمة ما عدد يقبل ٤ على القسمة قابلية ) ٣

يقبل والعشرات اآلحاد من المكون العدد كان إذا ٤ على القسمة ما عدد يقبل ٤ على القسمة

٥ على القسمة قابلية ) ٤

)٥ أو ٠ ( آحاده كان إذا ٥ على القسمة ما عدد يقبل ٦ على القسمة قابلية ) ٥

س ص

ب ـــــ ب أ أ

J[



)معا ٣ و ٢ ( على القسمة يقبل كان إذا ٦ على القسمة ما عدد يقبل ٨ على القسمة قابلية ) ٦

كان إذا ٨ على القسمة ما عدد يقبل ٨ على القسمة يقبل ) المئات × ٤ + العشرات × ٢ + اآلحاد( ٩ على القسمة قابلية ) ٧

٩ على القسمة يقبل أرقامه مجموع كان إذا ٩ على القسمة ما عدد يقبل ١٠ على القسمة قابلية ) ٨

صفر آحاده كان إذا ١٠ على القسمة ما عدد يقبل ١١ على القسمة قابلية ) ٩

كان إذا ١١ على القسمة ما عدد يقبل القسمة يقبل أو ٠ ( الزوجية المنازل ومجموع الفردية المنازل مجموع بين الفرق )١١ على ١٢٩٦٨٤٥: مثال

١١= )١٢=٢+٦+٤ = الزوجية المراتب مجموع (-) ٢٣=١+٩+٨+٥= الفردية المراتب مجموع( الناتج وجمع متتاليتين منزلتين كل طرح يمكن أو ١١ على القسمة يقبل وهو ١١ ) = ٠ – ١ ) + ( ٢ – ٩ ) + ( ٦ – ٨ ) + ( ٤ – ٥(

)..(ابع مالحظات على األعداد ت)..(

- :٧قابلية القسمة على ....... ) ، ألوف ، مئات ، عشرات ، آحاد منازله ( مراتبه عدد كان مهما عدد أي

حـ ونسميه المتبقي العدد نأخذ ثم ب ونسميه اآلحاد نأخذ حـ ١٠ + ب: الشكل على يكتب مراتبه عدد كان مهما عدد أي

J[



حـ ١٠ + ب عدد أي حـ - ب × ٢ خذنأ

حـ - ب × ٢ نأخذ حـ - ب × ٢ نأخذ

األربع السابقة األعداد نجمع ------------------- ٧ على القسمة يقبل وهذا حـ ٧ + ب × ٧ لنجد القسمة يقبل المطلوب العدد فإن ٧ على القسمة يقبل ) حـ - ب × ٢ ( كان إذا إذن ٧ على

١٠٥: ) ١( مثال القسمة يقبل ١٠٥ فالعدد ٧ مضاعفات من وهو ٠ = حـ - ب × ٢ ، ١٠ = جـ ، ٥ = ب

٧ على ٨٧٥: ) ٢ ( مثال ٧ على القسمة يقبل ٧٧ = حـ - ب× ٢ و ٨٧ = حـ ، ٥= ب ألن ٧ على القسمة يقبل ٥٧٨٢: ) ٣ ( مثال : متتاليتين مرتين ذاتها القاعدة تطبق ٧ على مةسالق يقبل أي لإلشارة النظر دون الناتج العدد على القاعدة نطبق ٥٧٤ - = ٥٧٨ - ٤: األولى

|العدد| ٧ على القسمة يقبل ٥٧٨٢ إذن ٧ على القسمة يقبل وهو ٤٩ - = ٥٧ - ٨: الثانية

٧ على القسمة يقبل ٣٠٥٢٧ هل : )٤ ( مثال التتالي على القاعدة تطبق

٣٠٣٨ = ١٤ – ٣٠٥٢ ) ١ ٢٨٧ = ١٦ – ٣٠٣ ) ٢ ٧ العدد مضاعفات نم وهو ١٤ = ١٦ – ٢٨ ) ٣

)..( الجزء األول –الجبر )..(

=ع [ + ٢ فإن ع١٦= إذا كانت ع ) : ١( مثال -:الحل

)٢٦٠ = ٤ + ٢٥٦= ١٦ [ + ٢ )١٦

) =٥ ١٠ × ٥ ) + ( ٣ ١٠ × ٤ ) + ( ١٠ × ٣ ) : ( ٢( مثال -:الحل

٥٠٤٠٣٠ = ٥٠٠٠٠٠ + ٤٠٠٠ + ٣٠

J[



؟= صفر جذر مكرر عندما جـ = جـ + س ٦+ ٢للمعادلة س ) : ٣( مثال -:الحل

صفر= إذاً المميز ) جذر مكرر ( من كلمة صفر= أ جـ ٤ – ٢ب جـ = ، جـ ٦= ، ب ١= أ ٠= جـ × ١ × ٤ – ٢ )٦( ٠= جـ ٤ – ٣٦ ٣٦= جـ ٤

٩= جـ

=٣ س٦ × ٢ س٥ ) : ٤( مثال -:الحل

جمع األسسإذا األساسات متشابهة في حالة الضرب أ ٥ س٣٠ = )٣ + ٢( س٣٠ ) = ٣س × ٢س( × ) ٦ × ٥(

؟١٢ما العدد الذي إذا أضيف اليه مربعة كان الناتج ) : ٥( مثال -:الحل

٢س ، مربعة س= نفرض العدد ١٢ = ٢س+ س ٠ = ١٢ –س + ٢س ٠ ) = ٣ –س ) ( ٤+ س (

٣= ، س ٤ -= س ؟ = ـــــــــــــــــــــــ ) : ٦ (مثال -:الحل

)ص+ س ( =ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ

ـــــــــ فإن قيمة ص تساوي ؟= إذا كان ـــــــــــــــــــــــــ ) : ٧( مثال -:الحل

٣٢ × ٤ ) = ١+ ص ( ١٦ × ٢ ـــــــــــــــ ) = ١+ ص ( ٤ = ١ + ص

٢ ص– ٢س ص-س

٢ ص– ٢س ص-س ص-س

)ص+ س ) ( ص–س (

)١+ ص (٢١٦ ٤

٣٢

٣٢ × ٤ ١٦ × ٢

J[



١ – ٤= ص ٣= ص

= ٣- س٦ × ٢س ٢؛! ) : ٨( مثال -:الحل

ــــــــ = ١- س٣= )٣-٢( س٣= ٣-س × ٢س × ٦ × ٢؛!

؟٥٣ما هو ثلث العدد ) : ٩( مثال -:الحل

٤٣ = ٣ × ٣ × ٣ × ٣ × ٣× ـــــــ = ٥٣× ــــــ

-: فإن ٨+ س ٤ – ٢س > ٨ – س ٤ + ٢إذا كان س ) : ١٠( مثال -:الحل

٠ > ٨ – س ٤ + ٢ س– ٨ – س ٤+ ٢س ٠ > ١٦ – س ٨ ١٦> س ٨

٨بالقسمة على ٢> س

= ـــــــــــــــ ) : ١١ ( مثال

-:الحل

عامل مشترك من البسط٤٢نسحب ٤= ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ

ــــــــ فإن ص ؟= ــــ ص إذا كان ــــ ) : ١٢( مثال -:الحل

حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين ٢ × ٤= ص × ١ × ٥ ٨= ص ٥

١ـــــــــ = ـــــــــ = ص

١ ٣ ٣

١

٤٢ - ٥٢ ٤

١ – ٢ ( ٤٢( ٤

١ × ١٦ ١ ٤

٤ ٢ ٥

٨ ٥ ٥

٣

س ٣

J[



؟ = ١٧ × ٣١ × ١٢ × ٤٧٦ما خانة اآلحاد للعدد ) : ١٣( مثال -:الحل

٤ = إذاً اآلحاد ٨٤ = ٧ × ١ × ٢ × ٦خانة اآلحاد في حاصل ضرب

فإن قيمة س تساوي ؟١٨= ـــــــــ + ـــــــــ + إذا كان ـــــــــ ) : ١٤( مثال -:الحل

المقامات موحده إذاً أجمع البسط ١٨= ــــــــــــــــــــ

١٨= ـــــــــ ٦= س ١٨

ـــــــــ= ـــــــــ = س

٥+ س ٢) = س ( د ق القيمة العددية لكثيرة الحدو ) : ١٥( مثال : هي ٣ -= عندما س

-:الحل ٥+ س ٢) = س ( ق ١ - = ٥ + ٦ - = ٥ ) + ٣ - ( ٢ ) = ٣ -( ق

؟ = س فإن ١ <ــــــــ إذا كان ــــــــ ) : ١٦( مثال

٣) ب ( ٢) أ ( صفر) د ( ١) جـ (

-:الحل ١ > ١ –س ١ + ١> س ) ب ( الحل ٣= ا س ومنه٢> س

-: هي ٥ ، ٣المعادلة التي جذريها ) : ١٧( مثال -:الحل

٠ ) = ٥ –س ) ( ٣ –س ( ٠ = ١٥+ س ٣ – س ٥ – ٢س ٠ = ١٥+ س ٨ – ٢س

-: هو ٥ )١,٠٠٢ + ( ٢٣ + ٣أقرب عدد للمقدار ) : ١٨( مثال

٣ ٢ س س س ١

س ١ + ٢ + ٣ س٦

٦ ٣ ١٨

١

١ ١ -س

] : : : : : : : : :

J[



-:الحل ١ = ٥)١= ( بالتقريب ٥)١,٠٠٢(١: :+: ٢٣ [ + ٣: ٣ + ] ۲٤: ٥= :۲٥ [ بالتقريب = :۲٤ [٨ = ٥ + ٣

ــــــــــــــــــــــــأي اإلجابات التالية أقرب للكسر ـــــــ ) : ١٩( مثال ٧٥) ب ( ٢٥) أ ( ١٠٠) د ( ٥٠) جـ (

-:الحل ٩٨= بالتقريب ٩٨,٢٧ ٠,٥= بالتقريب ٠,٥٠٣ ٢= لتقريب با٢,٠١ إذاً

) أ : ( إذاً الحل ٢٥= بالتقريب ٢٤,٥= ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ

= فإن قيمة ن ٣ –ن ) ـــــــ ( ٣= إذا كان ـــــــــ ) : ٢٠( مثال -:الحل

-: كذا ٣نتخلص من العدد الصحيح ٣ –ن ) ـــــــ = ( ـ ـــــــــــــ

بما أن األساسات متساوية إذاً نساوي األسس ببعض ٣ –ن ) ـــــــ = ( ٥)ـــــــ (

٨= ومنها ن ٣ –ن = ٥

؟= فإن قيمة س ١ = ٥ –س ٢إذا كانت ) : ٢١( مثال -:الحل

١ = ٠٢بما أن إذاً ات متساوية إذاً نساوي األسس بــ بعضها نالحظ أن األساس٠٢ = ٥ –س ٢

٠ = ٥ –س ٥= س

٠,٥٠٣ × ٩٨,٢٧ ٢,٠١

٠,٥ × ٩٨ ٢

٥ × ٩٨ ١٠ × ٢

١ ٨١

١ ٣

٣ × ٨١ ١ ١

٣

٣ ٣ ١ ١

J[



؟= ـــــــــــــــــــــــــــــــ فإن قيمة س = إذا كان ــــــــــــــــ ) : ٢٢( مثال -:الحل

حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين ) س ٢ – ٩ ( ١٦ × ٤ ) = ٣ –س ( ٦٤

س٢ – ٩ = ٣ –س ٣ + ٩= س ٢+ س ١٢= س ٣

٤= س

صفر فإن = جـ + ب س + ٢ هما جذرا المعادلة س٤ ، ٣إذا كانت ) : ٢٣( مثال ؟= جـ + حاصل جمع ب

-:الحل ٠ ) = ٤ –س ) ( ٣ –س ( جذور المعادلة إذاً ٤ ، ٣بما أن

٠ = ١٢+ س ٣ – س ٤ – ٢س ٠= جـ + ب س + ٢ يكافئ س٠ = ١٢+ س ٧ – ٢س

١٢= ، جـ ٧ -= ا ب ومنه ٥ = ١٢ + ٧ -= جـ + إذاً ب

بدون باقٍ ؟٦أي األعداد التالية يقبل القسمة على ) : ٢٤( مثال

١٤٥٣) د ( ١٢١٦) جـ ( ١٢٥٤) ب ( ١٥٣٢) أ ( -:الحل

) معاً ٣ و ٢( بل القسمة على إذا كان يق٦يقبل عدد ما القسمة على ٢ غير موجود في جدول ضرب ٣ألن آحاده ) د ( راح أستبعد يوجد باقي٣ألن عند القسمة على ) أ ( ، ) جـ ( راح أستبعد

بدون باقي ٣ و ٢ يقبل القسمة على ١٢٥٤ألن ) ب ( الحل

؟ بدون باقٍ ٩أي األعداد التالية يقبل القسمة على ) : ٢٥( مثال ٣٣٢١) د ( ٦٣٢١) جـ ( ٥٣٢١) ب ( ٤٣٢١) أ (

-:الحل ٩ إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على ٩يقبل عدد ما القسمة على

٩ال يقبل القسمة على ) ١٠ = ٤ + ٣ + ٢ + ١( ألن مجموع أرقامه ) أ ( راح أستبعد

)س٢ – ٩ (١٦٦٤

٣ -س ٤

٦٤ = ١٦ × ٤ :همسة

J[



٩ال يقبل القسمة على ) ١١ = ٥ + ٣ + ٢ + ١( ألن مجموع أرقامه ) ب ( عد راح أستب ٩ال يقبل القسمة على ) ١٢ = ٦ + ٣ + ٢ + ١( ألن مجموع أرقامه ) جـ ( راح أستبعد

٩يقبل القسمة على ) ٩ = ٣ + ٣ + ٢ + ١( ألن مجموع أرقامه ) د ( الحل

؟= هو س ٢ –س ٢= ١٠ ٤ + ١٠ ٤حل المعادلة ) : ٢٦( مثال -:الحل

٢ –س ٢ ) = ١ + ١ ( ١٠ ٤ ٢ –س ٢ = ٢ × ١٠ ٤ ٢ –س ٢ = ٢ × ١٠ ) ٢ ٢( ٢ –س ٢ = ٢× ٢٠ ٢

إذا األساسات متساوية في حالة الضرب أجمع األسس ٢ –س ٢ = )١ + ٢٠( ٢

نالحظ هنا األساس يساوي األساس إذاً األس يساوي األس ٢ –س = ١ + ٢٠ س = ٢ + ٢١

٢٣= س

؟= :۲٠[ - :٤٥ [ + ٥ [ ٥ناتج المقدار ) : ٢٧( مثال -:الحل

٥ :× ٤ [ - : :٥ :× ٩ [ + ٥ [ ٥: : ٥ [ ٣ + ٥ [ ٥ - ۲ ] ٥ [ ٦ = ٥ [ ) ٢ – ٣ + ٥= ( ٥

؟ = ٤ ) ٣-( ناتج ) : ٢٨( مثال : الحل

)- ٨١ = ٣ - × ٣ - × ٣ -× ٣ - = ٤ ) ٣ ؟٤ ٣ –ناتج ) : ٢٩( مثال -:الحل

- ٨١ - ) = ٣ × ٣ × ٣ × ٣ ( - = ٤ ٣

؟٤٢أي األعداد التالية ال يعتبر قاسماً للعدد ) : ٣٠( مثال ٤) د ( ٧) جـ ( ٢١) ب ( ٦) أ (

J[



-:الحل اسم هو العدد الذي يقبل القسمة بدون باقٍالق

٧ = ٦ ÷ ٤٢ألن ) أ ( راح أستبعد ٢ = ٢١ ÷ ٤٢ألن ) ب ( راح أستبعد ٦ = ٧ ÷ ٤٢ألن ) جـ ( راح أستبعد

٢ والباقي ١٠ = ٤ ÷ ٤٢ألن ) د ( الحل

-: يساوي ٦ ، ٤المضاعف المشترك األصغر للعددين ) : ٣١( مثال ١٦) د ( ١٢) جـ ( ٢٤) ب ( ٢٠) أ (

-:الحل ٢ × ٢ = ٤ ٣ × ٢ = ٦

٢ × ٢ هو ٢أكبر تكرار للعامل ٣ هو ٣أكبر تكرار للعامل

إذاً ١٢) جـ : ( إذاً الحل ١٢ = ٣ × ٢ × ٢= المضاعف المشترك األصغر

؟ = ٠,٠٠٠١ – ١٠٠٠ناتج : ) ٣٢( مثال -:الحل ٩٩٩,٩٩٩٩ = ٠,٠٠٠١ – ١٠٠٠

؟= فإن ـــــــــ ٥= إذا كان ـــــــــ ) : ٣٣( مثال -:الحل

٥ × ٩= ن ١٥= ــــــــــــــــــــ = إذاً ــــــــــ

-: فما أقل قيمة عددية فيما يلي ٤> إذا كان ن ) : ٣٤( مثال

ــــــــــــــ) د ( ن ٤) جـ ( ــــــــــ ) ب ( ــــــــــــــ ) أ( -:الحل

ونعوض في الخيارات الموجودة ونحدد االختيار ٥= إذاً نفرض ن ٤> بما أن ن ..األقل قيمة

ـــــــــ = ــــــــــــ= ـــــــــــــ ) أ (

١٠٠٠,٠٠٠٠ ٠٠٠٠,٠٠٠١ ٩٩٩,٩٩٩٩

-

ن٣٩ ٩

ن

ن٣ ٥ × ٩ × ٣٩ ٩

١+ ن ن ١+ ن ٤

٤ ٤

١ + ٥ ١+ ن ٤ ٤ ٤

٦

J[



ــــــــ= ــــــــ ) ب (

٢٠ = ٥ × ٤= ن ٤) جـ (

ـــــــــ= ــــــــــــــ = ــــــــــــــ ) د (

بتوحيد المقامات ) د ( ، ) ب ( وأعمل مقارنه بين ) جـ ( ، ) أ ( راح أستبعد ـــــــــ = ــــــــــــــ = ـــــ ــــــــــ ، ـــ= ــــــــــــــ = ــــــــ

األقل قيمة ) د ( إذاً

يساوي ؟ :٦٤ [ # × :۲٧ [ #ناتج العملية ) : ٣٥( مثال -:الحل

# ] ۲٣ = :٣ :× :٣ :×٣ [ # = :٧ # ] ٦٤: = # ] ۲×: ۲: ×: ۲: ×: ۲: ×: ۲: ×: ۲: = ۲ × ۲ = ٤

ص= س إذا كان ) : ٣٦( مثال س ؟١٠ فما قيمة ٢٠= ص ٣+ س ٢

-:الحل ص = بما أن س

٢٠= ص ٣+ ص ٢إذاً ٤= ومنها ص ٢٠= ص ٥

٤= ص = إذاً س ٤٠ = ٤ × ١٠= س ١٠إذاً

؟٥= ، ص ٣= أوجد قيمة ـــــــــــــــــــــــ حيث س ) : ٣٧( مثال

-: ) ١( الحل

١٥= ــــــــ × ٨= ــــــــ ÷ ٨= ــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ

- ) :٢( الحل

٤ ٤ ٥ ن

٤ ٤ ٤ ٦ ١ + ٥ ١+ ن

٦× ٥ ٥ ٦× ٤ ٤

٣٠ ٤ ٢٤

٥× ٦ ٦ ٢٠ ٥× ٤

٣٠

ص+ س ١ ١ ص س ـــــــ+ ـــــــ

٥ + ٣ ٣ ٥ ـــــــ+ ـــــــ ـــــــ ١ ١

٨ ٨ ١٥

٨ ١٥

١٥ ٨

١٥ = ٥ × ٣= ص × س ص× س س+ ص ص+ س ص+ س

J[



= ـــــــــــــــــــ × ) ص+ س = (ـــــــــــــــــــ ÷ ) ص+ س = (ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ

أي من األعداد التالية غير نسبي ؟ ) : ٣٨ (مثال ـــــــ) د ( ۲ [ × :٣۲ [) جـ ( :٥٠ [) ب ( :١٦٩[) أ (

-:الحل ألن عند وضعة في أبسط صورة يكون ٥٠[العدد الغير نسبي هو

] ۲٥:×: ۲: = ٥ ] ۲

= ٥ [ ٥من المقدار % ٥ [ ) : ٣٩( مثال -:الحل

٠,٢٥= ــــــــــــ = ٥ [ ٥× ــــــــــ

؟= فإن س ٤ × س ٥ = ٩٩ ٥ – ١٠٠ ٥ ) : ٤٠( مثال -:الحل

١ ٥ × ٩٩ ٥ = ١٠٠ ٥: همسة ٩٩ ٥نسحب عامل مشترك

٤× س ٥ ) = ١ – ١ ٥ ( ٩٩ ٥ ٤ × س ٥ = ٤ × ٩٩ ٥ س ٥ = ٩٩ ٥

٩٩= س

)..( الجزء الثاني –الجبر )..(

ــــــــــــــــــــــــــبسط ــــــــــــ ) : ١( مثال

-:الحل نسحب عامل مشترك من البسط

س ص= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١٨ ٢

] ٥ ١٠٠ ١٠٠

٥ × ٥

ص× س ــــــــــــــــــ س+ ص ١ ١ ص س ـــــــ+ ـــــــ س+ ص ص× س

٣س ص+ ص ٣س ٢ص + ٢س

)٢ص + ٢س( س ص

٢ص + ٢س

J[



:٦٠ [ × :١٥ [ ) : ٢( مثال -:الحل

] ٣ [ × :٥:×:٣×:۲:×::۲:×:٥: ] ٣:×٣:×:۲:×:۲:×:٣٠ = ٥ × ٢ × ٣ = :٥:×:٥

١٠ ٤ × ٢ ٦٤ = ٢ ١٦ × س ٤إذا كان ) : ٣( مثال -:الحل

١٠)٢ ٢( × ٢)٦ ٢ = (٢)٤ ٢( × س)٢ ٢( ٢٠ ٢ × ١٢ ٢ = ٨ ٢ × س٢ ٢

في حالة الضرب إذا األساسات متساوية أجمع األسس ٣٢ ٢ = )٨+س٢( ٢

ألسس متساوية األساسات متساوية إذاً ا ٣٢ = ٨+ س ٢ ٨ – ٣٢= س ٢ ٢٤= س ٢

١٢= س

هو ٢٥٥أكبر عامل أولي للعدد ) : ٤( مثال -:الحل

١٧ ، ٣ ، ٥العوامل األولية هي ١٧أكبر عامل أولي هو العدد

من العدد أ يساوي ؟% س ÷ س ) : ٥( مثال -:الحل

) أ × % س ( ÷ س

ــــــــــ= ـــــــــــ × س = ـــ ـــــــــ÷ س

ب أي العبارات التالية تكافئ س ص = ص ٢ –أ ، س = ص ٢+ س ) : ٦( مثال

٥ ٢٥٥ ٣ ٥١ ١٧ ١٧ ١

التحليل

أس ١٠٠

١٠٠ أس

١٠٠ أ

٢ ب– ٢أ ٢ ب– ٢أ ب+ أ

J[



ــــــــــــــــــ) د ( ــــــــــــــــ ) جـ ( ـــــــــــــــ ) ب ( أ ب ) أ ( -:الحل

أ = ص ٢+ س ب= ص ٢ –س

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالجمع ب+ أ = س ٢

ـــــــــــــــ= س

-:وبالمثل أ = ص ٢+ س ب = ص ٢ –س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالطرح ب-أ = ص ٤

ــــــــــــــ= ص

إذاً ــــــــــــــــــ) = ـــــــــ ـــــ( × ) ـــــــــــــ = ( س ص

؟ = ٨ – س ٣ فإن ١٠ ) = ٧ – س ٣ ( ٥إذا كان ) : ٧( مثال -:الحل

٥ بالقسمة على ١٠ ) = ٧ – س ٣ ( ٥ للطرفين ١ – بإضافة ٢ = ٧ – س ٣ ١ – ٢ = ١ – ٧ – س ٣ ١ = ٨ – س ٣

= ١٠ ) ٨ ٧ × ٩ ٧ ) : ( ٨( مثال -:الحل

) ١٧٠ ٧ = ١٠ )١٧ ٧ = ( ١٠ ))٨+٩( ٧

يساوي :٣:١: :+ :س٥ [ فإن ٣١ = ١٣+ س ٥إذا كان ) : ٩( مثال

٨ ٤ ٢

ب+ أ ٢

٤ ب-أ

ب-أ ب+ أ ٨ ٤ ٢

٢ ب– ٢أ

J[



-:الحل للطرفين ٣١+ بإضافة

٣١ + ٣١ = ٣١ + ١٣+ س ٥ ٦٢ = ٣١ + ١٣+ س ٥ ١٣ – ٦٢ = ٣١+ س ٥ ٤٩ = ٣١+ س ٥

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين :٤٩ [ = :٣:١: :+ :س٥ [ ٧= :٣:١: :+ :س٥ [

: هو ۲[ ط ، –عدد األعداد الصحيحة المحصورة بين ) : ١٠( مثال -:الحل

-: هي ١,٤١ ، ٣,١٤ –أي بين }- ١ ، ٠ ، ١ - ، ٢ - ، ٣ {

خمسة أعداد

كان الناتج ـــــــــ) ــــ ــــ+ ــــــــ ( ما العدد الذي إذا ضربته في ) : ١١( مثال -:الحل

ــــــــ) = ـــــــــــــــ ( × س ٧ × ٢ ) = ٧ -( × س ٢ -= س

؟ = ٢أ+ فإن ـــــــــ ١٠٠ = ٢) أ + ـــــــ ) : ( ١٢( مثال -:الحل

١٠٠ = ٢أ+ أ × ـــــــ × ٢+ ـــــــ

٢ – ١٠٠ = ٢أ+ ـــــــ

٩٨ = ٢أ+ ـــــــ

٢ ٤ ٥

-٧ ٣ ١٠

١٥ - ٨ ١٠ ٢٠

٧

أ١

٢أ١

١ أ ٢أ

١

٢أ

٢أ

١

١

J[



؟٨ – فإن س ١١ = ٤ –س ) : ١٣( مثال -:الحل

١١ = ٤ –س للطرفين ٤ –بإضافة

٤ – ١١ = ٤ – ٤ –س ٧ = ٨ –س

ـــــــ × ) ـــــــ +ـــــــ ( ما العدد الذي إذا قسم على ) : ١٤( مثال

ــــــــ-كان الناتج -:الحل

ـــــــ-= ـــــــ × ــــــــــــــ ÷ س

ـــــــ-= ــــــــ × ــــــــ ÷ س

ــــــــ-= ـــــــ ÷ س

ــــــــ- = ٣× س

ــــــــ -= س

فإن قيمة أ تساوي ٣ –أ ٢ = ١٢ ٦٤ ) : ١٥( مثال -:الحل

٣ –أ ٢ = ١٢)٦ ٢( ٣ –أ ٢ = ٧٢ ٢

األساسات متساوية إذاً األس يساوي األس ٣ –أ = ٧٢ ٣ + ٧٢= أ ٧٥= أ

٢ ٥ ١ ٣ ٧ ٦ ٣

٢

٥ + ٢ ٦

٢ ٧

٦ ٧

٢ ٣

٣ ٢

٧ ٢

٣ ٣ ٢

١

٢

٢

٣

١

J[



يساوي = ٢ ب– ٢ فإن أ١٣= ب + ، أ ٧= ب –أ ) : ١٦( مثال -:الحل

٩١ = ١٣ × ٧) = ب + أ ) ( ب –أ ) = ( ٢ ب– ٢أ(

= فإن ـــــــ ٧= ب ٣ أ ، ٧ = ٣إذا كان ) : ١٧( مثال -:الحل

ــــــــ= ــــــــ ، ب = أ ـــــــ= ــــــــ × ــــــــ = ــــــــ ÷ ـــــــ ـ= ب ÷ أ

؟ = ٥+ س ٢ فإن ٩٨ = ٥ – س ٢ ) : ١٨( مثال -:الحل

للطرفين ١٠+ بإضافة ١٠ + ٩٨ = ١٠ + ٥ – س ٢ ١٠٨ = ٥+ س ٢

؟ = ٢ فإن س س ٢ = ١٢٨ ) : ١٩( مثال -:الحل

س ٢ = ٧ ٢ ٧= س ٤٩ = ٧ × ٧= س × س = ٢س

أي القيم التالية أقل من العدد أ ؟ :٠,٧٨[= إذا كان العدد أ ) : ٢٠( مثال أ ٢) د ( ـــــــــ ) جـ ( ٢أ ) ب ( ٥ [) أ (

-:الحل أقل من أ ٢أ

١< ألن أ

-:لعدد س فإن قيمة س هي يكافئ ــــــــ ٢٤إذا كان ــــــــ لعدد ) : ٢١( مثال -:الحل

أ ب

٣ ٣ ٧

٧

٧ ٧ ٣

٣ ٣ ٣ ٤٩ ٧ ٧

٩

١ أ

٥ ٨

١٥ ٧

١٥ ٥

J[



س× ــــــــ = ٢٤× ــــــــ

لــ التخلص من المقامات ٥٦بالضرب في س × ١٥ × ٨ = ٢٤ × ٥ × ٧

٧= ــــــــــــــــــــــــ = س

يساوي ؟٢+ س ٣ فإن ٣٢ = ٣ +س ٢إذا كان ) : ٢٢( مثال -:الحل

٥ ٢ = ٣+ س ٢ ٥ = ٣+ س ٣ – ٥= س ٢= س

ومنها ٨١ = ٤ ٣ = ٢ + ٢ ٣ = ٢ +س ٣

هو ٤ــــــــ + ٢مجموع العددين ــــــــ ) : ٢٣( مثال -:الحل ٧ــــــــ = ــــــــ = ــــــــــــــــ = ــــــــ + ــــــــ

ص تساوي × فإن س ٦٤ = ٢)ص + س ( ، ٣٦ = ٢ص + ٢س ) : ٢٤( مثال -:الحل

٦٤ = ٢)ص+ س ( ٦٤ = ٢ص+ س ص ٢ + ٢ س ٦٤= س ص ٢ + ٣٦ ٣٦ – ٦٤= س ص ٢ ٢٨= س ص ٢

١٤= س ص

فإن قيمة س ؟٣,٤٥٦ × ٧٨,٩= إذا كان ــــــــــــــــــــــــــــ ) : ٢٥( مثال -:الحل

١= ـ ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ= س

٧ ٨

٢٤ × ٥ × ٧ ١٥ × ٨

٢ ٣

٣ ٥

٨ ٥ ٣

٦٩ + ٤٠ ٢٣ ١٥ ١٥ ١٥

٤ ١٠٩

٣٤,٥٦ × ٧,٨٩ س

٣,٤٥٦ × ٧٨,٩ ٣٤٥٦ × ٧٨٩ ٣٤,٥٦ × ٧,٨٩

٣٤٥٦ × ٧٨٩

J[



البسط الفاصلة بعد أربعة أرقام وبالمثل للمقام إذاً ممكن نالحظ في

نحذف الفواصل

يساوي ؟٣٦+ س ١٢ + ٢ فإن س٩٩٤= إذا كان س ) : ٢٦( مثال -:الحل

١٠٠٠٠٠٠ = ٢ )١٠٠٠ = ( ٢ )٦ + ٩٩٤ = ( ٢ )٦+ س = ( ٣٦+ س ١٢ + ٢س

فإن ٢٩ = ٢ب + ٢، أ ٢١= ٢ ب– ٢إذا كان أ ، ب عددان موجبان أ ) : ٢٧( مثال حاصل ضرب أ ب يساوي

-:الحل ٢١= ٢ ب– ٢أ ٢٩ = ٢ب + ٢أ

ــــــــــــــــــــــــــــــ بالجمع ٥٠ = ٢ أ٢ ٢٥ = ٢أ اإلشارة السالبة مرفوضة ٥= أ

)٢٩ = ٢ب + ٢أ( نعوض عن أ في ٢٩ = ٢ب + ٢٥ اإلشارة السالبة مرفوضة ٤ = ٢ب ٢= ب

١٠ = ٢ × ٥= ب × ومنها أ ــــــــ فإن قيمة س تساوي = ــــــــ + إذا كان ــــــــ ) : ٢٨(مثال -:الحل ــــــــ= ــــــــ -ــــــــ ـــــــ= ــــــــ

٥ × ٦= س ٣ ٥ × ٢= س ١٠= س

٤ ٥ س س

١٠ ٣

٥ س س٣ ٤ ١٠

٥ س٣ ٦

J[



وحاصل ٧معادلة من الدرجة الثانية التي مجموع جذريها ) : ٢٩( مثال -: هي ١٢ضربهما

-:الحل صفر) = ن × م + ( س ) ن + م ( – ٢س صفر ) = ١٢+ ( س ) ٧ ( – ٢س

= :٥:+:٥:+:٥:+:٥:+٥ [ ) : ٣٠( مثال -:الحل

]۲٥= :٥

٠ = ٥+ س ٦ + ٢س: المعادلة ) : ٣١( مثال ٥ وحاصل ضربها ٦مجموع جذريها ) أ

٥ وحاصل ضربها ٦ –مجموع جذريها ) ب ٦ وحاصل ضربها ٥مجموع جذريها ) جـ ٦ وحاصل ضربها ٥ –مجموع جذريها ) د

-:الحل صفر) = حاصل ضربها + ( س ) مجموع جذريها ( – ٢س صفر ) = ٥+ ( س ) ٦ - ( – ٢س صفر = ٥+ س ٦ + ٢س إذاً

) ب : ( الحل

-: فإن ــــــــــــــــ هو ١١٨= ، ب ١١٧= عندما أ ) : ٣٢( مثال -:الحل

١ - = ١١٨ – ١١٧= ب –أ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ

؟= فإن قيمة المقدار ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٩٩٩٩= إذا كانت س ) : ٣٣( مثال -:الحل

٣٣٣٣= ــــــــــــ = ـــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ

٢ ب– ٢أ ب+ أ

)ب+ أ ) ( ب–أ ( ب+ أ

)٣-س ٦) (١+س ٢( س- ٣ س٤

)١ – ٢س٤(س )٣-س ٦) (١+س ٢(

)١+ س ٢) (١ – س ٢(س )١ – س ٢( × ٣× ) ١+س ٢(

س٣

٩٩٩٩ ٣

٣ ٢

J[



-: هي ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ فإن قيمة المقدار ــ= س ) : ٣٤( مثال -:الحل

ـــــ=ـــــــ × ٣ = ٣)ـــــــ (٣ = ٣ )١ -ـــــــ ( ٣ = ٣ )١ -ـــــــ × ٢ ( ٣ = ٣ )١ – س ٢ ( ٣

-: إجابة العملية التالية ) :٣٥( مثال ـــــــــ × ـــــــــ × ــــــــ × ــــــــ × ــــــــ

-:الحل

ــــــــ = ـــــــ× ـــــــ × ـــــــ × ـــــــ × ١

-:فإن العدد هو ٠,٣ــــــــ عدد نسبي يزيد عن ــــــــ العدد بمقدار ) : ٣٦( مثال -:الحل

ــــــــ= ـــــــــ س -ــــــــ س

ــــــــ= ــــــــــــــــــ س

ــــــــ= ــــــــ س

ــــــــ= ـــــــ ـــــــــ= س

فأي من القيم ٢ص = ٣إذا كان س ، ص عددين صحيحين بحيث س ) : ٣٧( مثال كون قيمة لـــ ص ؟التالية ال يمكن أن ي

١٦) د ( ٨) جـ ( ١) ب ( ١ -) أ ( -:الحل

٢ص = ٣س نأخذ الجذر التكعيبي للطرفين

:@:ص [ #= س ) ٨( ، ) ١( ، ) ١ -( إذاً يمكن أن نأخذ

١٦ولكن ال يمكن أن نأخذ ألن ص ي :۲٥٦[ # = :@:}:١٦{[ #= س

٣-)١ – س ٢( ٣

٢ ٣

٤ ٣

١ ٣

١ ٢٧

١ ٩

٥ ٥

٥ ١٠

١٥

٢٠

٢٥

٥

٥

٥

١

١

١

١

١ ٢

٣

٤

٥

١٢٠

٩

٨

٤ ٥

٩

٨ ٥

٤

٣ ١٠ ٣٦ - ٤٠

٤٥

٣ ١٠ ٤

٣ ١٠

٤٥ ٣ × ٤٥

١٠ × ٤

٢٧ ٨

J[



=١ ٩ + ٩ ١أحسب ) : ٣٨( مثال -:الحل

١ = ٩ ١ ٩ = ١ ٩

إذاً١٠ = ٩ + ١

كان بدون باقي وإذا قسمناه ٥ أو ٢ما العدد الذي إذا قسمناه على ) : ٣٩( مثال ؟٣ كان الباقي ٧على

١٤٣) د ( ٣٠) جـ ( ٨٠) ب ( ١٨) أ ( -:الحل

ألنه عدد زوجي ٢ تقبل القسمة على ٨٠ ألن آحادها صفر ٥ تقبل القسمة على ٨٠ ٣ والباقي ١١ = ٧ ÷ ٨٠

= ص٦ ١ + س٦ ١أوجد ) : ٤٠( مثال -:الحل

١ = س٦ ١ ١ = ص٦ ١

إذاً٢ = ١ + ١

)..(عامل مشترك )..(

ك حلل بإخراج العامل المشتر ) : ١( مثال ٢ س٤ + ٤ س ١٢+ ٣ س٨) = س ( د

-:الحل س × س × ١ × ٤+ س × س × س × س × ٣ × ٤+ س × س × س × ٢ × ٤) = س ( د )١+ س × س ٣+ س ٢( س × س × ٤) = س ( د )١ + ٢ س٣+ س ٢ ( ٢ س٤) = س ( د

حلل بإخراج العامل المشترك ) : ٢( مثال

J[



٠= ص ١٤+ س ٢ -:الحل

٠= ص × ٧ × ٢+ س × ١ × ٢ ٠) = ص ٧+ س ١ ( ٢

حلل بإخراج العامل المشترك ) : ٣( مثال ٤ أ ١٠ + ٣ أ ٥) = أ ( د

-:الحل أ× أ × أ × أ ×٢ × ٥+ أ × أ × أ × ١ × ٥) = س ( د ) أ ٢ + ١( أ × أ × أ × ٥) = س ( د ) أ ٢ + ١ ( ٣ أ ٥) = س ( د

العامل المشترك حلل بإخراج ) : ٤( مثال ٠= س ص ٨+ ص ٢ س١٦ + ٢ ص ٣ س٣٢

-:الحل ٠ = ص × س × ١ × ٨ + ص× س × س × ٢ × ٨+ ص × ص× س × س × س × ٤ × ٨ ٠ ) = ١+ س ٢+ ص × س × س ٤( س ص ٨ ٠ ) = ١+ س ٢+ ص ٢ س٤( س ص ٨

)..(قانون عدد الدورات )..(

-:القانون ــــــــــــــــــــــــ ـــــــــ=عدد الدورات

=عندما تدور عجلة سيارة دورة واحدة فإن المسافة التي تقطعها السيارة

ط نق ٢= طول محيط العجلة عدد الدورات × ط نق ٢ = وعند دورانها عدة دورات فإن المسافة

)للعجلة ( حيث نق : همسة

المسافة محيط العجلة

J[



فكم عدد دورات . متر ٠,٣٥إذا كان نصف قطر عجلة دراجة ) : ١( مثال متر ؟٢٢٠العجلة الالزمة لتقطع مسافة

-:الحل ٢,٢) = ـــــــــ ( × ) ٠,٣٥( × ٢= نق ط ٢= محيط الدائرة = محيط العجلة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــ= عدد الدورات

ـــــــــــــــ= عدد الدورات

دورة ١٠٠= عدد الدورات

متر إذا دارت ٠,٤٩أوجد المسافة التي تقطعها سيارة طول قطر عجلتها ) : ٢( مثال

دورة واحدة ؟ -:الحل

محيط العجلة × عدد الدورات = المسافة محيط الدائرة × ١= المسافة متر ١,٥٤= ـــــــــ × ) ـــــــــ( × ٢ × ١= نق ط ٢ × ١= المسافة

٠,٧ساعة ونصف قطر عجلة السيارة / كم ٤٤سيارة تمشي بسرعة ) : ٣( مثال كم عدد الدورات التي دارتها العجلة خالل ساعة واحدة ؟. متر

-:الحل متر٤٤٠٠٠ = ١ × ٤٤٠٠٠= الزمن × السرعة = المسافة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــ= عدد الدورات

دورة في الساعة ١٠٠٠٠= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = رات عدد الدو

المسافة محيط العجلة

٢,٢ ٢٢٠

٢٢ ٧

٠,٤٩ ٢

٢٢ ٧

محيط العجلة المسافة

٤٤٠٠٠

٢٢ ــــــــــ × ٠,٧ × ٢٧

J[



ما هو قطر عجلة أخرى . دورات ١٠ متر في ٣١,٤تقطع عجلة مسافة ) : ٤( مثال دورة ؟١٥تقطع المسافة نفسها في

-:الحل محيط العجلة × عدد الدورات = المسافة

نق ط٢ × ١٥ = ٣١,٤ ٣,١٤× ق ن × ٢ × ١٥ = ٣١,٤ ــــــــ= نق إذاً

ـــــــــ= ـــــــــ + ـــــــــ = نق + نق = القطر

م ، فإذا كانت سرعة ٤ م ، ٢ م ، ٣ م ، ٦أربع عجالت أنصاف أقطارها ) : ٥( مثال فما سرعة دوران العجلة األخيرة ؟. دورة في الدقيقة ٦٠دوران العجلة األولى

٤٠) د ( ٩٠) جـ ( ٦٠) ب ( ٣٠) أ ( -:الحل

)كلما قل قطر العجلة زادت عدد الدورات في الدقيقة ( ألن التناسب عكسي س × ٤ = ٦٠ × ٦

٩٠= ــــــــــ = س )..(تطبيقات من واقع الحياة )..(

٠,٠٦= لب الصابون والتي حجم كل منها إذا كان لديك عدد من ع ) : ١( مثال

فكم علبة يلزم . متر مكعب ٤٨متر مكعب ، وأردت تخزينها في مستودع سعته لمأل المستودع ؟

-:الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــ= عدد العلب

ـــــــــــ= عدد العلب

علبة صابون ٨٠٠= عدد العلب

)..(الحساب والجبر )..(

١

١ ١

٣

٣ ٣ ٣ ٢

٣٦٠ ٤

دعسعة المستو حجم العلبة

٤٨ ٠,٠٦

J[



-:تذكر أن • }... ، ٣ ، ٢ ، ١{ = األعداد الطبيعية ط }... ، ٣ ، ٢ ، ١ ، ٠{ = األعداد الكلية ك

}... ، ٢ - ، ١ - ، ٠ ، ١ ، ٢، ... { = األعداد الصحيحة ص } صفر آلص ، ب يــــــــ حيث أ ، ب { = األعداد النسبية ن

... ، ٧ [ ، ٥ [ ، ٣ [ة مثل الجذور المركب= َاألعداد غير النسبية ن َن ح ن = األعداد الحقيقة ح

-:األعداد الزوجية والفردية واألولية • ٢العدد الزوجي هو الذي أحادة يقبل القسمة على

...، ) ٣٢٥٦( ، ) ٣٢٤( ، ) ٢٠ ( :مثال ٢العدد الفردي هو الذي أحادة ال يقبل القسمة على

....، ) ٤١٦٧( ، ) ٨١٣( ، )١١ ( :مثال أي عدد يقبل القسمة على نفسه والواحد فقط يسمى عدد أولي

)الواحد ليس أولي : همسة ( } ... ، ١٣ ، ١١ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ٢ { :مثال -:قاعدة اإلشارات •

-:جمع وطرح األعداد الصحيحة ين ثم لكي نجمع عددين أحدهما موجب واآلخر سالب نتجاهل إشارتي العدد

.نوجد الفرق بينهما وبالتالي نلحق النتيجة بإشارة العدد األكبر ٣ - ) = ١٢ - + ( ٩ :مثال

١٢وجدنا الفرق وأخذنا إشارة .تبسيط عملية الطرح بتحويلها إلى عملية جمع

١ = ٤ + ٣ - ) = ٤ - ( – ٣ - :مثال -:ضرب وقسمة األعداد

رتين يكون الناتج عدد موجب وإذا اختلفت في الضرب والقسمة إذا اتفقت اإلشا .اإلشارتين يكون الناتج عدد سالب

-:مثال )- ٨ - ) = ٤( × ) ٢ )- ٢ ) = ٣ -( ÷ ) ٦

)..(شرح طريقة القسمة المطولة بالتفصيل )..(

؟؟؟؟؟؟؟ = ٤ ÷ ٨٥٣٢٥: مثال ٢ فيها ٤ أكبر من ٨ يصير ألن ٤ تقسيم ٨

أ ب

٤ ٨٥٣٢٥ ٢١٣٣١,٢٥

٨

×

-

J[



٨= ٤ × ٢ صفر = ٨ – ٨

٥أنزل الــــ ١ فيها ٤ أكبر من ٥ يصير ألن ٤ تقسيم ٥٤ = ٤ × ١ ١ = ٤ – ٥

٣أنزل الـــ ٣ فيها ٤ أكبر من ١٣ يصير ألن ٤ تقسيم ١٣١٢ = ٤ × ٣ ١ = ١٢ – ١٣

٢أنزل الـــ ٣ فيها ٤ أكبر من ١٢ يصير ألن ٤ تقسيم ١٢١٢ = ٤ × ٣ صفر = ١٢ – ١٢

٥أنزل الــــ ١ فيها ٤ أكبر من ٥ يصير ألن ٤ تقسيم ٥٤ = ٤ × ١ ١ = ٤ – ٥

ما عندي رقم عشان أنزلة ، أضع فاصله في الناتج وأنزل صفر من حقي أنزل صفر في كل خطوه ما دام وضعت فاصلة في الناتج

١٠صار الحين ٢ فيها ٤ أكبر من ١٠ يصير ألن ٤ تقسيم ١٠٨ = ٤ × ٢ ٢ = ٨ – ١٠

أنزل صفر ٥ فيها ٤ أكبر من ٢٠ يصير ألن ٤ تقسيم ٢٠٢٠ = ٤ × ٥ صفر = ٢٠ – ٢٠

؟؟؟؟؟؟؟ = ٣ ÷ ١٤٤٢١ ) : ٢( مثال ٣ أصغر من ١ ما يصير ألن ٣ تقسيم ١

أخذ رقمين مع بعض ٣ أكبر من ١٤ يصير ألن ٣ تقسيم ١٤

٥

٢٠

٤ ١٠

٥

٢٠ ٨

٤ ١٣ ١٢ ١٢ ١٢

٠٠

-

-

-

- -

-

١٤٤٢١ ٤٨٠٧

٣ ١٢

J[



١٢ = ٣ × ٤ ٢ = ١٢ – ١٤

٤أنزل الــــ ٣ أكبر من ٢٤ يصير ألن ٣ تقسيم ٢٤٢٤ = ٣ × ٨ ٠ = ٢٤ – ٢٤

٢أنزل الـــ ٣ أصغر من ٢ ما يصير ألن ٣ تقسيم ٢

١أنزل الـــ نزلت رقمين في خطوه واحده

إذاً الزم أحط صفر في الناتج

٢١ = ٣ × ٧ ٠ = ٢١ – ٢١

؟؟؟؟ = ١٦ ÷ ١٢٣٤ ) : ٣( مثال ١٦ أصغر من ١يصير ألن ما ١٦ تقسيم ١

أخذ رقمين مع بعض ١٦ أصغر من ١٢ ما يصير ألن ١٦ تقسيم ١٢

٢٤ ٢٤ ٢١ ٢١ ٠٠

١٢٣٤ ١١٢

٧٧,١٢٥ ١٦

J[



أخذ ثالثة أرقام مع بعض ١٦ أكبر من ١٢٣ يصير ألن ١٦ تقسيم ١٢٣

١٦ مع أحاد ١٢٣أخفي أحاد ٩ فيها ١ تقسيم ١٢ ١٢٣ ما يصير ألن أكبر من ١٤٤ = ١٦ × ٩ ١٢٣ ألن أكبر من ما يصير١٢٨ = ١٦ × ٨ ١٢٣ يصير ألن أصغر من ١١٢ = ١٦ × ٧

١١٢ = ١٦ × ٧إذاً ١١ = ١١٢ – ١٢٣

٤أنزل الـــ ١٦ يصير ألن أكبر من ١٦ تقسيم ١١٤

٩ فيها ١ تقسيم ١١ ومنها ١٦ مع أحاد ١١٤أخفي أحاد ما يصير ٨ وبالمثل ١١٤ أكبر من ١٤٤ = ١٦ × ٩ ما يصير ألن ٩ ١١٤ يصير ألن أصغر من ١١٢ = ١٦ × ٧

١١٢ = ١٦ × ٧إذاً ٢ = ١١٢ – ١١٤

)من حقي في كل خطوه أنزل صفر ( أحط فاصلة وأنزل صفر ١ فيها ١٦ أكبر من ٢٠ يصير ألن ١٦ تقسيم ٢٠١٦ = ١٦ × ١ ٤ = ١٦ – ٢٠

أنزل الـــ صفر ٢ فيها ١٦ أكبر من ٤٠ يصير ألن ١٦ تقسيم ٤٠٣٢ = ١٦ × ٢ ٨ = ٣٢ – ٤٠ زل الــــ صفرأن ٥ فيها ١٦ يصير ألن أكبر من ١٦ تقسيم ٨٠٨٠ = ١٦ × ٥ صفر = ٨٠ – ٨٠

)..(هندسة اإلحداثيات)..(

-:المسافة بين نقطتين ) ١( تساوي ) ٢ ، ص ٢س (، ) ١ ، ص ١س (المسافة بين نقطتين

١١٤ ١١٢ ٢٠ ١٦ ٤٠ ٣٢ ٨٠ ٨٠ ٠٠

J[



: : : :@: :}:٢ : :ص: :-:١ : :ص:{: :+:@ :}٢: : :س :-:١ : :س{ [

- :منتصف القطعة المستقيمة ) ٢( -:هي ) ٢ ، ص ٢س ( ، ) ١ ، ص ١ س( النقطة المنصفة بين النقطتين

)ـ ــــــــ ، ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(

-:إيجاد الميل باستخدام نقطتين ) ٣( -:هو ) ٢ ، ص ٢س ( ، ) ١، ص ١س ( ميل المستقيم المار بالنقطتين

ــــــــــــــــــــــــــــ= م

-:إيجاد الميل باستخدام معادلة المستقيم ) ٤( ب هو أ+ أ س = ميل المستقيم الذي معادلته ص

-:معادلة المستقيم المار بنقطتين ) ٥(

-:هي ) ٢ ، ص ٢س ( ، ) ١ ، ص ١س ( معادلة المستقيم المار بالنقطتين ـــــــــــــــــــــــــ= ــــــــ ـــــــــــــــ

)١ س –س ( الميل ) = ١ ص –ص (

عندما ال يلتقيان أبداً مهما امتدا يقال عن مستقيمين إنهما متوازيان ) ٦( ويالحظ أن المستقيمين المتوازيين يكون لهما نفس الميل

٢م = ١م : بمعنى أن

٩٠( إذا كانت الزاوية بينهما قائمة دانيقال عن مستقيمين إنهما متعام ) ٧( ويالحظ أن المستقيمين المتعامدين يكون ميل أحدهما مساوياً لمقلوب ) درجة

.ميل اآلخر مع عكس اإلشارة ــــــــ = ٢ـــــــــ أو م = ١م: أي أن

-:أو ١ - = ٢م × ١م

هـ ظا= م الميل بمعلومية زاوية ) ٨(

١ ص –ص ١ س -س

١ ص – ٢ص ١ س – ٢س

١ ص – ٢ص ١ س – ٢س

٢ص + ١ص ٢س + ١س ٢ ٢

- ١ ٢م

- ١ ١م

هـ

J[



-:مالحظة ) ٩( صفر= معادلة محور السينات هي ص صفر= معادلة محور الصادات هي س

صفر= ميل محور السينات غير معروف = ميل محور الصادات

؟| أ ب | فأحسب ) ٣ ، ١( ، ب ) ٧ ، ٢ -( إذا كانت أ ) : ١( مثال -:الحل

: : : :@: :}:٢ : :ص: :-:١ : :ص:{: :+:@ :}٢: : :س :-:١ : :س{ [= | أ ب | ٣ = ٢ ، ص ١ = ٢ ، س ٧ = ١ ، ص ٢ - = ١س : :@:}:٣:-:٧:{: +:@:}:١:-:۲:-{ [= | أ ب | : :@:}:٤:{:+:@:}:٣-{ [= | أ ب | :١:٦::+:٩ [= | أ ب | :۲:٥ [= | أ ب | ٥= | أ ب |

فأوجد إحداثي النقطة )١٢ - ، ٥( ، ب ) ٦ ، ٧( إذا كانت أ ) : ٢( مثال

المنصفة للقطعة المستقيمة أ ب ؟ -:الحل

١٢ - = ٢ ، ص ٥ = ٢ ، س ٦= ١ ، ص ٧ = ١س )ـ ــــــــ ، ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ( = النقطة هي

)ــــــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــــ = ( النقطة هي

)ــــــــ ، ـــــــــ = ( ي النقطة ه

) ٣ - ، ٦= ( النقطة هي

)٤ - ، ١ -( ، ب ) ٢ ، ٢( أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين أ ) : ٣( مثال -:الحل

٤ -= ٢ ، ص ١ - = ٢ ، س ٢ = ١ ، ص ٢ = ١س

٢ ٢ ٢ص + ١ص ٢س + ١س

٢ ٢ ١٢ – ٦ ٥ + ٧

٢ ٢ ٦- ١٢

٦ - ٢ - ٤- ١ ص – ٢ص

J[



٢= ـــــــــ ـ= ـــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = ميل المستقيم

٤= ص ٢+ س ٣أوجد ميل المستقيم ) : ٤( مثال -:الحل

٤+ س ٣ -= ص ٢: نرتب المعادلة ١ لــ جعل معامل ص يساوي ٢بالقسمة على

٢+ ـــــــــ س = ص إذاً

ـــــــــ = الميل

)٤ - ، ١ -( ب ، ) ٢ ، ٢( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين أ ) : ٥( مثال -:الحل

٤ -= ٢ ، ص ١ -= ٢ ، س ٢ = ١ ، ص ٢ = ١س : معادلة المستقيم

ــــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــ

ـــــــــ= ــــــــــــــــ

٢= ــــــــــــــ

)٢ –س ( ٢ =٢ –ص ٤ – س ٢ = ٢ –ص ٢ – س ٢= ص

درجة مع محور السينات الموجب ٤٥ميل المستقيم الذي يصنع زاوية ) : ٦( مثال :يساوي -:الحل

ظا هـ= الميل

٣ - ٢ - ١- ١ س – ٢س

- ٣ ٢

- ٣ ٢

١ ص –ص ١ س –س

١ ص – ٢ ص ١ س – ٢ س

٢ -ص ٢ -س

- ٢ - ٤ - ٢ - ١

٢ -ص ٢ -س

- ٦ - ٣

٢ -ص ٢ -س

J[



٤٥ظا = الميل ١= الميل

:هو ) ٤ ، ٣( ، ) ٢ ، ١( ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين ) : ٧( مثال -:الحل

٤ = ٢ ، ص ٣ = ٢ ، س ٢ = ١ ، ص ١ =١س

١= ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = الميل

) ٧ ، ١( ، ) ٥ ، ٣( منتصف القطعة المستقيمة التي تمر بالنقطتين ) : ٨( مثال :يساوي -:الحل

٧ = ٢ ، ص ١ = ٢ ، س ٥ = ١ ، ص ٣ = ١س

)ــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــــــــ ـــــــــ= ( منتصف القطعة

)ــــــــــــــ ، ـــــــــــــ = ( منتصف القطعة

) ٦ ، ٢= ( منتصف القطعة

) ٧ ، ١( ، ) ٢ ، ١( طول القطعة المستقيمة التي تمر بالنقطتين ) : ٩( مثال :يساوي -:الحل

: : : :@: :}:٢ : :ص: :-:١ : :ص:{: :+:@ :}٢: : :س :-:١ : :س{ [= طول القطعة المستقيمة ٧ = ٢ ، ص ١= ٢ ، س ٢ = ١ ، ص ١= ١س

٥= :۲٥[= :@:}:٧:-:۲:{:+:@:}:١:-:١{[= طول القطعة المستقيمة

:صفر = وميلة ) ٠ ، ٠( معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ) : ١٠( مثال -:الحل

صفر= ومعادلته ص المستقيم هو محور السينات

١ ص – ٢ ص ١ س – ٢ س

٢ - ٤ ١ - ٣

٢ص + ١ص ٢س + ١س ٢ ٢

٧ + ٥ ١ + ٣ ٢ ٢

J[



:غير معروف= وميلة ) ٠ ، ٠( معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ) : ١١( مثال -:الحل

صفر= المستقيم هو محور الصادات ومعادلته س

كم طول القطعة المستقيمة التي تمر بالنقطتين ) : ١٢( مثال ؟ ) ٦ ، ٦( ، ) ٣ ، ٢(

-:الحل ٦ = ٢ ، ص ٦ = ٢، س ٣ = ١ ، ص ٢ = ١س

: : : :@: :}:٢ : :ص: :-:١ : :ص:{: :+:@ :}٢: : :س :-:١ : :س{ [= طول القطعة المستقيمة ٥= :٩:+:١٦ [ = : : :::@:}:٦:-:٣:{:+:@:}:٦:-۲{[= طول القطعة المستقيمة

ميل المستقيم العمودي على المستقيم المار بالنقطتين ) : ١٣( مثال

-:يساوي ) ١ ، ٠( ، ) ٠ ، ٣( -:الحل

١= ٢ ، ص ٠= ٢ ، س ٠ = ١ ، ص ٣ = ١س

ـــــــــــ-= ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = الميل

إذاً ٣= ــــــــــ = ميل العمودي

النقاط التالية ال ــــــــ فأي من = وميله ) ٥ ، ٥( مستقيم يمر بالنقطة ) : ١٤( مثال

-:تقع عليه )٠ ، ١ -) ( د ) ( ٧,٥ ، ٨) ( جـ ) ( ١٠ ، ١١) ( ب ) ( ٢ ، ٢,٥) (أ (

: الحل الميل آل ألن ــــــــــــــــــ)أ ( الحل

الميل = ألن ــــــــــــــــ ) ب ( راح أستبعد الميل = ــــــــــــــــــ ألن ــ) جـ ( راح أستبعد

الميل = ألن ــــــــــــــــــــــ ) د ( راح أستبعد

١ ص – ٢ ص ١ س – ٢ س

٠ - ١ ٣ - ٠

١ ٣

م- ١

٦ ٥

٢,٥ – ٥ ٢ – ٥

١٠ - ٥ ٧,٥ – ٥ ١١ - ٥

٨ – ٥

صفر– ٥١- (– ٥(

J[



فما هو ميل ) ٣ ، ٣( ، ب ) ٣ ، ٧( في الشكل المجاور إذا كانت أ ) : ١٥( مثال المستقيم أ ب ؟

-:الحل صفر= ــــــــــــــــــ = الميل

صفر = نات إذاً ميلة المستقيم يوازي محور السي: مالحظة

)..( المستقيمات والزوايا)..(

-:أنواع الزوايا ) ١( . درجة ٩٠هي زاوية قياسها أقل من : الزاوية الحادة - . درجة ٩٠هي زاوية قياسها : الزاوية القائمة - ١٨٠ درجة وأقل من ٩٠ر من هي زاوية قياسها أكب: ة المنفرجة الزاوي-

.درجة درجة ١٨٠هي زاوية قياسها : الزاوية المستقيمة -

-:الزوايا المتتامة ) ٢( . درجة ٩٠تكون الزاويتان متتامتين إذا كان مجموعهما

-:الزوايا المتكاملة ) ٣(

. درجة ١٨٠تكون الزاويتان متكاملتين إذا كان مجموعهما

-:المستقيمات المتقاطعة ) ٤( ) درجة ١٨٠= ل + أ ( ورة متكاملة أي الزوايا المتجا- )ل = ك ( أي ) تقابل بالرأس ( الزوايا الرأسية متساوية -

٣ - ٣ ٧ - ٣

J[



-:المستقيمات المتوازية والمستقيم القاطع لها ) ٥( المستقيم القاطع لمستقيمين متوازيين يكون أربع زوايا حادة - ب ، جـ ، ك ( نفرجة وأربع زوايا م. كلها متساوية ) أ ، د ، هـ ، ن (

.كلها متساوية ) ، ل أي زاوية حادة متكاملة مع أي زاوية منفرجة مثالً أ مع ك-

.متكاملتين

.قائمةالزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة ) ٦(

-:في المثلث الثالثيني الستيني ) ٧( درجة ٦٠ درجة ، ٣٠تين هو مثلث قائم الزاوية قياس زاويتيه الحاد- ــــــــــــــــــــــــ = ٣٠ طول الضلع المواجه للزاوية - ٣ [ × ــــــــــــــــــــــــ = ٦٠ طول الضلع المواجه للزاوية -

ــــــــ الزاوية المركزية المشتركة معها في = الزاوية المحيطية ) ٨( .قوس واحد

-:يم مستقيمين متوازيين فإن إذا قطع مستق ) ٩( )٢الزاوية = ١الزاوية . ( كل زاويتين متناظرتين متساويتين - )٤الزاوية = ٣الزاوية . ( كل زاويتين متبادلتين متساويتين - ١٨٠ كل زاويتين داخلتين وفي جهة واحدة من القاطع مجموعهم -

)٢الزاوية = ٣الزاوية . ( درجة

-:حقائق ) ١٠(

طول الوتر

طول الوتر

٢

٢

٢ ١

J[



. درجة ١٨٠= مجموع زوايا المثلث الداخلية - . درجة ٣٦٠= مجموع زوايا الشكل الرباعي - عدد األضالع= حيث ن ١٨٠× ) ٢ –ن = ( مجموع زوايا أي مضلع - ـــــــــــــــــــــــــــ= لحساب الزاوية في مضلع منتظم - .الث مجموع أي ضلعين في مثلث أكبر من الضلع الث-مجموع الزاويتين الداخلتين ما عدا = الزاوية الخارجة في مثلث -

.المجاور لها ) .أضالعه متساوية وزواياه متساوية( المضلع المنتظم -حيث ن عدد ) ٣ –ن = ( عدد األقطار الخارجة من إحدى رؤوس مضلع -

.األضالع ) ٣ –ن ( × ــــــــ = عدد األقطار في مضلع - ) ٢ –ن = ( عدد المثلثات الناتجة من تقسيم مضلع من رأس واحد -

.حيث ن عدد األضالع درجة ٣٦٠= مجموع الزوايا الخارجية للمثلث - = في الشكل الرباعي الدائري فيه كل زاويتين متقابلتين مجموعهما -

درجة ١٨٠

-:الزاوية المركزية في دائرة ) ١١( .اوية رأسها مركز الدائرة هي ز- كل زاوية مركزية تحد قوساً على الدائرة وكل قوس على الدائرة -

.محدود بزاوية مركزية -:الزاوية المحيطية في دائرة ) ١٢( . هي زاوية ضلعها وتران في الدائرة ورأسها يقع على محيط الدائرة -

١٨٠× ) ٢ –ن ( ن

ن٢

٢ + ١ = ٣ ^ ^ ^

٣٦٠ = ٥ + ٤ + ٣ ^ ^ ^

درجة ١٨٠= جـ + أ درجة ١٨٠= د + ب

^ ^ ^ ^

^ هي زاوية مركزية ١

J[



اوية المركزية قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الز- .المشتركة معها في القوس

:نظرية فيثاغورث ) ١٣(

في المثلث القائم الزاوية ٢|ب جـ | + ٢|أ ب | = ٢|أ جـ |

-:األعداد الشهيرة في نظرية فيثاغورث ، وهكذا ) ١٥ ، ١٢ ، ٩( ، ) ١٠ ، ٨ ، ٦( ، ) ٥ ، ٤ ، ٣( ، وهكذا ) ٣٩ ، ٣٦ ، ١٥( ، ) ٢٦ ، ٢٤ ، ١٠( ، )١٣ ، ١٢ ، ٥(

. في الشكل المجاور أوجد قيمة الزاوية أ ، ك ) : ١( مثال -:الحل

وعليه تكونان ) بالتقابل بالرأس ( رأسيتان ٦٠من الرسم الزاويتان ك ، :متساويتين وبالتالي

درجة ٦٠= الزاوية ك )ن متكاملتا( درجة ١٨٠= ومن الرسم مجموع الزاويتين ك ، أ

درجة ١٢٠ = ٦٠ – ١٨٠= الزاوية أ :وعليه في الشكل المجاور أوجد قيمة هـ ، ك ؟ ) : ٢( مثال -:الحل

بما أن الزاوية المعطاة زاوية حادة والزاوية هـ زاوية حادة درجة ٥٠= فإن الزاوية هـ

وبما أن الزاويتين هـ ، ك متكاملتان فإن

درجة ١٣٠ = ٥٠ – ١٨٠= هـ – ١٨٠= الزاوية ك

=في الشكل الموضح أمامك قيمة الزاوية س ) : ٣( مثال -:الحل

:من معلومة سابقة قياس الزاوية المركزية المشتركة معها نصفقياس الزاوية المحيطية يساوي

في القوس

^ هي زاوية محيطية ١

J[



درجة ٢٥= إذاً قياس الزاوية س

:في الشكل الموضح أمامك ) : ٤( مثال )زاويتان متكاملتان ( ١٥٠ = ٣٠ – ١٨٠= س زاوية )١( )زاوية متناظرة ( ٣٠= زاوية ص )٢( )بالتبادل مع س ( ١٥٠= زاوية ع )٣( )زاويتان داخليتان مع ع ( ٣٠ = ١٥٠ – ١٨٠= زاوية ل )٤( )بالتقابل بالرأس مع س ( ١٥٠= زاوية م )٥(

ك أوجد قيمة الزاوية س ؟في الشكل الموضح أمام ) : ٥( مثال :الحل

:من معلومة سابقة قائمةالزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة

درجة ١٨٠= ومعروف أن مجموع زوايا المثلث إذاً

درجة ٧٥ ) = ١٥ + ٩٠ ( – ١٨٠= الزاوية س

قياس الزاوية جـ ، في الشكل الموضح أمامك أوجد ) : ٦( مثال ؟قياس الزاوية د

-:من معلومة سابقة درجة١٨٠= في الشكل الرباعي الدائري فيه كل زاويتين متقابلتين مجموعهما

درجة ١٣٠ = ٥٠ – ١٨٠= قياس الزاوية جـ درجة ١٢٠ = ٦٠ – ١٨٠= قياس الزاوية د

=في الشكل الموضح أوجد قياس الزاوية س ) : ٧( مثال -:الحل

رجة د١٨٠= مجموع زوايا المثلث درجة ١٠٠ ) = ١٥ + ٦٥ ( – ١٨٠= قياس الزاوية س

J[



=في الشكل الموضح أمامك أوجد قياس الزاوية س ) : ٨( مثال -:الحل

:من معلومة سابقة درجة٣٦٠= مجموع زوايا الشكل الرباعي

درجة ١٤٠ ) = ٧٥ + ٦٥ + ٨٠ ( – ٣٦٠= قياس الزاوية س

؟= ل الثماني المنتظم مجموع زوايا الشك ) : ٩( مثال -:الحل

:من معلومة سابقة عدد األضالع= حيث ن ١٨٠× ) ٢ –ن = ( مجموع زوايا أي مضلع

٨= ن = عدد أضالع الشكل الثماني ١٨٠× ) ٢ – ٨= ( مجموع الزوايا ١٨٠ × ٦= مجموع الزوايا درجة ١٠٨٠= مجموع الزوايا

؟= قياس الزاوية س أوجد أمامك في الشكل الموضح ) : ١٠( مثال

قياس الزاوية أ ؟ -:الحل

)زاويتان متكاملتان ( درجة ١٥٠ = ٣٠ – ١٨٠= قياس الزاوية س )١٨٠= مجموع زوايا المثلث ( درجة ١٠٠) = ٣٠ + ٥٠ (– ١٨٠= قياس الزاوية أ

-:التحقق -:من معلومة سابقة

.ين الداخلتين ما عدا المجاور لها مجموع الزاويت= الزاوية الخارجة في مثلث الزاوية س= الزاوية ب + الزاوية أ

)١٥٠ ) = ٥٠ + ١٠٠

عدد األقطار الخارجة من أحد رؤوس مضلع سداسي منتظم يساوي؟ ) : ١١( مثال -:الحل

-:من معلومة سابقة .حيث ن عدد األضالع ) ٣ –ن = ( عدد األقطار الخارجة من إحدى رؤوس مضلع

٦= حيث ن ٣ = ٣ – ٦ ) = ٣ –ن = ( عدد األقطار الخارجة

J[



عدد أقطار المضلع السداسي المنتظم يساوي؟ ) : ١٢( مثال -:الحل

-:من معلومة سابقة عدد األضالع= حيث ن )٣ –ن ( × ــــــــ = عدد األقطار في مضلع

٦= ومنها ن ٩ ) = ٣ – ٦( × ــــــــ =عدد األقطار في المضلع السداسي المنتظم

سيم شكل سداسي منتظم من رأس عدد المثلثات الناتجة من تق ) : ١٣( مثال ؟واحد -:الحل

:من معلومة سابقة ) ٢ –ن = ( عدد المثلثات الناتجة من تقسيم مضلع من رأس واحد

٦ = حيث ن عدد األضالع ٤ = ٢ – ٦= عدد المثلثات

٥ : ٣ : ١ كانت النسبة بين زوايا مثلث هي إذا ) : ١٤( مثال فما قياس أصغر زواياه ؟ وما قياس أكبر زواياه ؟

-:الحل الزاوية الثالثة : الزاوية الثانية : الزاوية األولى

٥ : ٣ : ١ ٩ = ٥ + ٣ + ١= مجموع األجزاء درجة ٢٠ = ١٨٠× ــــــــــ = ولى قياس الزاوية األ

درجة ٦٠ = ١٨٠× ــــــــــ = قياس الزاوية الثانية درجة ١٠٠ = ١٨٠× ــــــــــ = قياس الزاوية الثالثة

ومنها درجة ١٠٠= درجة ، قياس أكبر زواياه ٢٠= قياس أصغر زواياه

ن= ، قياس الزاوية ب ٧٠= في المثلث أ ب جـ ، قياس الزاوية أ ) : ١٥( مثال

أوجد قياس الزاوية جـ ؟

ن٢

٦ ٢

٩

٩

٩

١

٣ ٥

J[



-:الحل درجة ١٨٠= مجموع زوايا المثلث

درجة ١٨٠= الزاوية جـ + الزاوية ب + الزاوية أ ١٨٠= الزاوية جـ + ن + ٧٠

ن– ٧٠ – ١٨٠= الزاوية جـ ن – ١١٠= الزاوية جـ

في الشكل المجاور ما قيمة س ؟ ) : ١٦( مثال

-:حل ال ألنهما متكاملتان متجاورتان ١٨٠= س + ١٢٠ ٦٠= ١٢٠ – ١٨٠= س

ص + س ٢ما قيمة : في الشكل المجاور ) : ١٧( مثال -:الحل

٣٠= ومنها س ٩٠= س ٣ ٤٥= ومنها ص ٩٠= ص ٢

درجة ١٠٥ = ٤٥ ) + ٣٠ ( ٢= ص + س ٢قيمة

؟= زاوية س في الشكل الواضح أمامك قيمة ال ) : ١٨( مثال -:الحل

قائم الزاوية بما أن المثلث المرسوم في نصف الدائرة درجة١٨٠= مجموع زوايا المثلث

درجة ٦٠ ) = ٣٠ + ٩٠ ( – ١٨٠= قياس الزاوية س

؟=في الشكل الموضح أمامك أوجد قيمة الزاوية س ) : ١٩( مثال -:الحل

ة المشتركة معها في القوس نصف الزاوية المركزي= الزاوية المحيطية درجة ٢٥= ـــــــــ = قياس الزاوية س

؟= في الشكل الموضح أمامك قيمة الزاوية س ) : ٢٠( مثال -:الحل

كل زاويتان متقابلتان في الشكل الرباعي الدائري متكاملتان ١٨٠ = ٦٠+ س

٥٠ ٢

J[



٦٠ – ١٨٠= س درجة ١٢٠= س

في الشكل السداسي المنتظم ؟قيمة أي زاوية ) : ٢١( مثال -:الحل

درجة ١٢٠= ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = لحساب الزاوية في مضلع منتظم

عدد األقطار الخارجة من أحد رؤوس ثماني منتظم هو ؟ ) : ٢٢( مثال -:الحل

عدد أضالع المضلع = حيث ن٥ = ٣ – ٨ = ٣ –ن = عدد األقطار

عدد األقطار في المضلع الثماني هو ؟ ) : ٢٣( مثال -:الحل

٢٠= ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = عدد أقطار المضلع

عدد أضالع المضلع = حيث ن

وسه إلى عدد المثلثات الناتجة من تقسيم مضلع ثماني من أحد رؤ ) : ٢٤( مثال مثلثات هو ؟

-:الحل ٨= عدد أضالع المضلع = حيث ن ٢ –ن = عدد المثلثات ٦ = ٢ – ٨= عدد المثلثات

ما هو قياس الزاوية أ في الشكل المقابل ؟ ) : ٢٥( مثال -:الحل

درجة ١٨٠= مجموع زوايا المثلث ١٨٠= س ٢+ س ٣+ س ٤ ١٨٠= س ٩

٢٠= س إذاً

درجة ٦٠ = ٢٠ × ٣= س ٣= قياس الزاوية أ

١٨٠× ) ٢ –ن ( ن

)١٨٠× ) ٢ – ٦ ٦

)٣ –ن ( ن ٢

٣ – ٨ ( ٨ ( ٢

J[



إذا كان الشكل المقابل معين ، أوجد قيمة س ؟ ) : ٢٦( مثال -:الحل

متطابقتان ) المعين ( كل زاويتان متقابلتان في الشكل الرباعي درجة ٣٦٠) = المعين ( مجموع زوايا الشكل الرباعي

٣٦٠= س ٤+ س ٤+ س ٦+ س ٦ ٣٦٠= س ٢٠

درجة ١٨= س

ــــــــ س = في الشكل المقابل قياس الزاوية هـ ) : ٢٧( مثال ؟= فإن قيمة الزاوية هـ

-:الحل ١٨٠= هـ + ١٥٠+ س ١٨٠= ـــــــــ + ١٥٠+ س

لــ التخلص من المقامات٢بضرب المعادلة في ٣٦٠= س + ٣٠٠+ س ٢ ٣٠٠ – ٣٦٠= س ٣ ٦٠= س ٣

٢٠= س ومنها

درجات١٠ = ٢٠× ـــــــ = هـ

عدد أقطار المضلع الخماسي ؟ ) : ٢٨( مثال -:الحل

٥= ـــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = عدد أقطار المضلع

-:د في الشكل التالي + ما مجموع الزوايا جـ ) : ٢٩( مثال -:الحل

درجة ٣٦٠= الرباعي مجموع زوايا الشكل ٣٦٠= د + جـ + ب + أ

٢ ١

س٢

١ ٢

٢ ٢ )٣ – ٥ ( ٥ )٣ –ن ( ن

^ ^

J[



٣٦٠) = د + جـ + ( ٨٠ + ٦٠ ١٤٠ – ٣٦٠= د + جـ ٢٢٠= د + جـ

أوجد قياس الزاوية س ؟ ) : ٣٠( مثال -:الحل

١٢٠ = ٢٤٠ – ٣٦٠= الزاوية المنفرجة نصف الزاوية المركزية = من معلومات سابقة الزاوية المحيطية

إذاً درجة ٦٠ = ١٢٠× ــــــــ = الزاوية س

من مساحة الدائرة فإن زاوية القطاع الدائري الغير % ٨٥إذا ظللنا ) : ٣١( مثال

مظلل هـ تساوي ؟ -:الحل

%١٥ % = ٨٥ - % ١٠٠= مساحة القطاع الدائري الغير مظلل درجة ٥٤= ــــــــــ × ٣٦٠= قياس الزاوية هـ

؟= ل أدناه قياس الزاوية س في الشك ) : ٣٢( مثال -:الحل

-:من معلومات سابقة درجة٣٦٠= مجموع زوايا الشكل الرباعي

٣٦٠ = ٩٠ + ٤٥ + ٣٠+ س ١٦٥ – ٣٦٠= س درجة ١٩٥= س

ما قياس الزاوية أ في المثلث أ ب جـ أدناه ؟ ) : ٣٣( مثال -:الحل

درجة ١٨٠= مجموع زوايا المثلث ١٨٠= س ٥+ س ٨+ س ٧

١٨٠= س ٢٠ ٩= س إذاً

٢ ١

١٥ ١٠٠

J[



درجة ٦٣ = ٩ × ٧= س ٧= قياس الزاوية أ

في الشكل أدناه ، المثلثان أ ب جـ ، د هـ و متطابقان ، ) : ٣٤( مثال ، فما قياس الزاوية س ؟| هـ و | = | ب جـ |

-:الحل درجة ٧٠= إذا كانت الزاوية هـ

درجة ٧٠= فإن الزاوية ب درجة ٣٠= ت الزاوية جـ وإذا كان

درجة ٣٠= فإن الزاوية و درجة ١٨٠= مجموع زوايا المثلث : ومن معلومات سابقة درجة ٨٠ ) = ٣٠ + ٧٠ ( – ١٨٠= إذاً قياس الزاوية س

-:ما هي قيمة ص في الشكل التالي ) : ٣٥( مثال -:الحل

)بالتقابل بالرأس ( س ٢الزاوية = الزاوية ص درجة ١٨٠= علومات سابقة زاوية المستقيم ومن م

١٨٠= س + ص + ٣٠ ١٨٠= س + س ٢ + ٣٠ ٣٠ – ١٨٠= س ٣ ١٥٠= س ٣

درجة ٥٠= س درجة ١٠٠ = ٥٠ × ٢= س ٢= قيمة ص إذاً

س ؟٣بناء على الشكل المجاور ما قيمة ) : ٣٦( مثال -:الحل

١٣٠ = ٥٠ – ١٨٠= س درجة ٣٩٠ = ١٣٠ × ٣= س ٣قيمة

ص ؟– س ٤في الشكل المجاور ، ما قيمة ) : ٣٧( مثال -:الحل

١٨= س ومنها ٩٠= س ٥ ٤٥= ص ومنها ٩٠= ص ٢

إذاً

J[



درجة ٢٧ = ٤٥ – ) ١٨ ( ٤= ص – س ٤

ما قيمة س في الشكل أدناه ؟ ) : ٣٨( مثال -:الحل

درجة ١٨٠= مجموع زوايا المثلث ١٨٠ = ٩٠+ س ٢+ س ٩٠= س ٣

٣٠= س

م في المستطيل أدناه ؟+ ل + ص + ما مجموع الزوايا س ) : ٣٩( مثال -:الحل

-:من المثلث القائم درجة ٩٠= قياس الزاوية م + قياس الزاوية ل

درجة ٩٠= قياس الزاوية ص + قياس الزاوية س إذاً

درجة ١٨٠= م + ل + ص + مجموع الزوايا س درجة ، ما ٧٠= ب د ، أ ب هـ ع في الشكل أدناه ، المستقيم أ ب ) : ٤٠( مثال

قياس الزاوية جـ ب د ؟ -:الحل

درجة٧٠= بما أن قياس الزاوية أ ب هـ درجة ٢٠ = ٧٠ – ٩٠= إذاً قياس الزاوية هـ ب د درجة ١٦٠ = ٢٠ – ١٨٠= إذاً قياس الزاوية جـ ب د

ل المقابل ما قيمة س ؟في الشك ) : ٤١( مثال -:الحل

-:من نص نظرية فيثاغورث مربع الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين اآلخرين

٢ )٨+ ( ٢ )٦ = ( ٢)س + س ٣( ٦٤ + ٣٦ = ٢) س ٤( ١٠٠ = ٢) س ٤(

^

J[



١٠= س ٤ ٢,٥= س

، أوجد قياس الزاوية س ؟| أ جـ | = | أ ب | مثلث فيه ) : ٤٢( مثال

-:لحل ا بما أن المثلث أ ب جـ متطابق الضلعين

درجة ٦٥= قياس الزاوية جـ = فإن قياس الزاوية ب درجة ١١٥ = ٦٥ – ١٨٠= إذاً قياس الزاوية س

في الشكل المقابل ، ما قيمة الزاوية س ؟ ) : ٤٣( مثال -:الحل

-:من معلومات سابقة ٦٠ساوي طوله نصف طول الوتر تساوي الزاوية المحصورة بالوتر والضلع الذي ي

درجة ٦٠= إذاً قيمة الزاوية س

٣٠= جـ د ، وقياس الزاوية ب أ هـ [// أ ب [في الشكل المقابل ) : ٤٤( مثال

درجة ، كم قياس الزاوية أ هـ جـ ؟٥٠= درجة ، وقياس الزاوية هـ جـ د -:الحل

د نرسم خط مستقيم يوازي الشعاعين أ ب ، جـ )بالتبادل ( درجة ٣٠= الزاوية أ هـ و = الزاوية ب أ هـ

)بالتبادل ( درجة ٥٠= الزاوية و هـ جـ = الزاوية د جـ هـ =قياس الزاوية أ هـ جـ . درجة ٨٠ = ٥٠ + ٣٠= قياس الزاوية و هـ جـ + قياس الزاوية أ هـ و

ما قيمة س في الشكل المجاور ؟ ) : ٤٥( مثال -:الحل

-:من معلومة سابقة . درجة ١٨٠تكون الزاويتان متكاملتين إذا كان مجموعهما

درجة ٤٠ = ١٤٠ – ١٨٠ = ١٤٠إذاً الزاوية المتكاملة لــ

J[



درجة بالتبادل ٤٠= و الزاوية س

كم عدد الزوايا الحادة في الشكل المجاور إذا كان قياس الزاوية ) : ٤٦( مثال درجة ؟٩٠= أ م ب -:الحل

٩= عدد الزوايا الحادة

في الشكل المقابل ما قيمة س ؟ ) : ٤٧( مثال -:الحل

١٨٠ = ٩٠+ ن + س ن – ٩٠= ومنها قيمة س ٩٠= ن + س

-:في الشكل أعاله ، إذا علمت أن ) : ٤٨( مثال هـ ر // ب جـ // جـ د ، م ن // ن هـ // أ ب

فما قيمة س ؟ -:الحل

متكاملتان ٨٤ س والزاوية الزاوية ١٨٠ = ٨٤+ س ٨٤ – ١٨٠= س درجة ٩٦= س

في الشكل المقابل ما قيمة س ؟ ) : ٤٩( مثال -:الحل

درجة ١٨٠زاويتان داخلتان مجموعهما ) و + س ( و الزاوية ٧٠الزاوية ١٨٠= و + س + ٧٠

٧٠ – ١٨٠= و + س ١١٠= و + س

قابل بالرأس درجة بالت٥٠= الزاوية و إذاً ١١٠ = ٥٠+ س درجة ٦٠= س

؟٢ و ١في الشكل المقابل ، ما مجموع قياس الزاويتين ) : ٥٠( مثال

J[



-:الحل -:من معلومة سابقة

. درجة ٣٦٠= مجموع زوايا الشكل الرباعي ٣٦٠ = ١١٠ + ١٠٠ + ٢الزاوية + ١الزاوية ٣٦٠ = ٢١٠ + ٢الزاوية + ١الزاوية

٢١٠ – ٣٦٠ = ٢الزاوية + ١وية الزا درجة ١٥٠ = ٢الزاوية + ١الزاوية

)..(المثلث )..(

-:مساحة المثلث بمعلومية قاعدته وارتفاعه ) ١(

االرتفاع× القاعدة × ـــــــــ = م

-:مساحة المثلث بمعلومية ضلعين وزاوية محصورة ) ٢(

جيب الزاوية المحصورة بينهما × ن حاصل ضرب الضلعي× ـــــــــ = م

)حيث هـ الزاوية المحصورة بينهما ( جــا هـ × حاصل ضرب الضلعين × ــــــــــ = م

-:مساحة المثلث بمعلومية أطوال أضالعه الثالثة ) ٣(

) جـ َ –ح ) ( ب َ –ح ) ( أ َ –ح ( ح = م -:حيث

ع المقابل للزاوية وهكذا الضل= نصف المحيط ، أ َ = ح

-:مساحة المثلث المتطابق األضالع ) ٤(

طول الضلع= حيث ل ٢ـــــــــــ ل= م

مساحة المثلث بمعلومية رؤوس المثلث ) ٥(

ـــــــــ = المساحة

١ ٢

٢ ١

] ٣ ٤

١ ٢

١ ١ ص١س ١ ٢ ص٢س ١ ٣ ص٣س

١ ٢

J[



مجموع أطوال أضالعه = محيط المثلث ) ٦(

طول ضلعه × ٣ = محيط المثلث المتطابق األضالع ) ٧(

٣ [× نصف طول الضلع = طول االرتفاع في المثلث المتطابق األضالع ) ٨(

نصف قطر الدائرة الداخلية × ـــــــــــ المحيط = مساحة المثلث ) ٩(

-:المثلث المتطابق الضلعان ) ١٠( .متساويتين له ضلعان متساويان و تكون الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين

-:المثلث المتطابق األضالع ) ١١(

تكون جميع أضالعه متساوية وكذلك جميع زواياه متساوية وكل زاوية . درجة ٦٠تساوي

-:نظرية فيثاغورث ) ١٢( ٢)المجاور + ( ٢)المقابل = ( ٢)الوتر ( ٢|ب جـ | + ٢|أ ب | = ٢|أ جـ |

-:اوية والمتطابق الضلعين في المثلث القائم الز ) ١٣(

درجة ٤٥= يكون قياس زاويتيه الحادتين ۲[× طول أحد ضلعي الزاوية القائمة = طول الوتر

۲ [× ــــــــــــــــــــــــــ = طول ضلع الزاوية القائمة

-:المثلث الثالثيني الستيني ) ١٤(

: درجة ويكون٦٠ درجة ، ٣٠ين هما هو مثلث قائم الزاوية ، قياس زاويتيه الحادت

ــــــــــــــــــــــــــ = ٣٠طول الضلع المواجه للزاوية

الوترطول٢

] ٢

طول الوتر

طول الوتر

٢ ]

١ ٢

J[



٣ [× ــــــــــــــــــــــــــ = ٦٠طول الضلع المواجه للزاوية

-:حقائق ) ١٥( في أي مثلث يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث - درجة ١٨٠= سات زوايا أي مثلث مجموع قيا-زاويتان في مثلث ما فإن الضلعين المواجهين لهما يتطابقان ) تساوت( إذا تطابقت - )متساوي الساقين(وبالتالي يكون هذا المثلث متطابق الضلعين ) يتساويان(الزوايا الداخلية في مثلث ما ، فإن هذا المثلث يكون ) تساوت( إذا تطابقت -

.األضالع ) اويمتس(متطابق يكون االرتفاع منصفاً ) المتساوي الساقين( في المثلث المتطابق الضلعين -

.لزاوية الرأس ومنصفاً أيضاً للقاعدة ويكون عمودياً عليهااألضالع تكون االرتفاعات أعمدة منصفة ) المتساوي( في المثلث المتطابق -

.لألضالع ومنصفات للزوايا )..( متوازي األضالع – المعين – المستطيل–المربع )..(

)..(شبة المنحرف )..( -:المربع

٢ل = مساحة المربع ) ١( ل٤ = محيط المربع ) ٢(

طول الضلع= حيث ل ٢)القطر ( × ـــــــــ = مساحة المربع بمعلومية قطره ) ٣(

-:المستطيل العرض× الطول = مساحة المستطيل ) ١( )العرض + الطول ( ٢ = المستطيلمحيط ) ٢(

-:المعين -:مساحة المعين بمعلومية قطرية ) ١( )طول القطر الثاني ( × ) طول القطر األول ( × ـــــــــ = م -:مساحة المعين بمعلومية ضلعه والزاوية المحصورة بين الضلعين ) ٢( )الزاوية بين الضلعين = هـ ( جــاهـ حيث ٢ل= م طول ضلعه × ٤ = محيط المعين ) ٣(

٢

١ ٢

٢ ١

J[



-:متوازي األضالع -:مساحة متوازي األضالع ) ١( االرتفاع× القاعدة = ع × ق = م -:مساحة متوازي األضالع بمعلومية ضلعين متجاورين والزاوية بينهما ) ٢( جـــاهـ × ٢ل × ١ل = م -:محيط متوازي األضالع ) ٣(

) جموع طول الضلعين المتجاورين م( × ٢= المحيط

-:شبة المنحرف االرتفاع× نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين = مساحة شبة المنحرف ) ١(

ع× ــــــــــــــــــــــ = مساحة شبة المنحرف

مجموع أطوال أضالعه = محيط شبة المنحرف ) ٢( -:خصائص المربع

. جميع أضالعه متساوية - .ع زواياه قائمة وقطراه متعامدان جمي-

-:خصائص المستطيل . أربع زوايا قائمة - . األطراف المتقابلة متساوية - . قطراه متساويان -

-:خصائص المعين . جميع أضالعه متطابقة - . كل زاويتين متقابلتين متساويتين - . قطراه متعامدان وينصف كل منهما اآلخر -

-:الع خصائص متوازي األض . األضالع المتقابلة متساوية ومتوازية - . الزوايا المتقابلة متساوية - . درجة ١٨٠ الزاويتان المتجاورتان مجموعها -

٢ق + ١ق ٢

J[



-:خصائص شبة المنحرف . هو شكل رباعي له ضلعان فقط متوازيان -

-:خصائص الشكل الرباعي هو مضلع مغلق ذو أربعة أضالع- درجة ٣٦٠= الداخلية للشكل الرباعي مجموع قياسات الزوايا- مجموع أطوال أضالعه األربعة = محيط الشكل الرباعي -

-:خصائص الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي يقع داخل الدائرة بحيث تقع رؤوسه على محيط الدائرة وفيه -

) درجة ١٨٠= مجموعهما ( كل زاويتين متقابلتين متكاملتين

-:حقائق مجموع أطوال أضالعه = محيط أي مضلع

عدد أضالعه× طول ضلعه = محيط المضلع المنتظم ) زاوية المضلع = هـ ( ظــا ـــــــــ حيث ٢ـــــــــ ل= مساحة أي مضلع منتظم

هو مضلع فيه أضالعه متطابقة وزواياه متطابقة : المضلع المنتظم -:أمثلة على المضلع المنتظم

. السداسي المنتظم – الخماسي المنتظم – المربع –متساوي األضالع مثلث

)..(الدائرة )..(

ط نق٢ = محيط الدائرة ) ١ (

٢ط نق = مساحة الدائرة ) ٢(

-:الزاوية المركزية ) ٣( )م ( هي زاوية يقع رأسها على مركز الدائرة

أ م جـ = بين ضلعيها قياس القوس المحدد = قياس الزاوية المركزية

ن٤

هـ٢

^

J[



-:الزاوية المحيطية ) ٤(

هي زاوية ضلعها وتران في الدائرة ورأسها يقع على محيط الدائرة أ ب جـ )المشتركة معها بالقوس ( الزاوية المحيطية × ٢= الزاوية المركزية

-:الزاوية المماسية ) ٥(

تر في الدائرة واآلخر مماس هي زاوية رأسها على محيط الدائرة وأحد ضلعيها و لهذه الدائرة

.نصف قياس القوس المحدود بضلعيها على الدائرة = قياس الزاوية المماسية -نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في = قياس الزاوية المماسية -

.القوس .وسقياس الزاوية المحيطية المشتركة معها في الق= قياس الزاوية المماسية -

-:طول القوس ) ٦( القوس هو جزء من محيط الدائرة - محيط الدائرة × ــــــــ = طول القوس -

.حيث ن عبارة عن الزاوية المركزية بالدرجات للقوس

-:مساحة القطاع الدائري ) ٧( . القطاع الدائري هو عبارة عن قطعة من مساحة الدائرة - مساحة الدائرة × ـــــــــ = مساحة القطاع الدائري -

حيث ن عبارة عن الزاوية المركزية بالدرجات

-:مثلث متساوي األضالع مرسوم داخل دائرة ) ٨(

-:مربع مرسوم داخل دائرة ) ٩(

ن

ن٣٦٠

٣٦٠

٣ [× نق = ل

٠

^

J[



-:سداسي منتظم مرسوم داخل دائرة ) ١٠(

-:السداسي ) ١١( )ل طول الضلع ( حيث ٢ــــــــــــــــ ل= مساحة السداسي المنتظم

)..(المجسمات )..(

المجسمات ) ١( :المجسمات المضلعة

الهرم – المنشور – متوازي المستطيالت –مثل المكعب :المجسمات غير المضلعة

الكرة – المخروط –مثل األسطوانة

-:متوازي المستطيالت ) ٢( )االرتفاع× العرض (٢) + العرض× الطول (٤ = طح متوازي المستطيالتمساحة س

مجموع مساحة األوجه الستة المستطيلة = مساحة سطح متوازي المستطيالت االرتفاع× العرض × الطول = حجم متوزاي المستطيالت

۲ [× نق = ل

نق= ل

٣ [ ٣ ٢

J[



-:المكعب ) ٣( ٢)طول الضلع ( × ٤= المساحة الجانبية

٢) طول الضلع ( × ٦ = الكليةمساحة ال ٣)طول الضلع = ( حجم المكعب

-:األسطوانة ) ٤(

ط نق ع٢ =المساحة الجانبية ٢ ط نق٢+ ط نق ع ٢ = الكليةمساحة ال

ع٢ط نق = حجم األسطوانة حيث ع االرتفاع ، نق نصف قطر القاعدة

-:المخروط ) ٥(

٢ط نق+ ط نق ل = مساحة سطح المخروط ع ٢ــــــــــ ط نق = حجم المخروط

حيث ل الراسم ، ع االرتفاع ، نق نصف القطر

-:الكرة ) ٦( ٢ ط نق٤ = مساحة سطح الكرة

٣ـــــــــ ط نق = حجم الكرة

-:الهرم ) ٧( ارتفاع الوجه الجانبي × ــــــــــ محيط القاعدة = المساحة الجانبية مساحة القاعدة + المساحة الجانبية = المساحة الكلية

) االرتفاع × مساحة القاعدة ( ــــــــــ = الحجم

-:المنشور ) ٨( االرتفاع× محيط القاعدة = المساحة الجانبية للمنشور القائم مساحة القاعدة ٢+ المساحة الجانبية = المساحة الكلية للمنشور القائم

االرتفاع× مساحة القاعدة = حجم المنشور

)..( تمرين ٨٠ –ندسة ه)..(

١ ٣

٤ ٣

١ ٢

١ ٣

J[



م مألناه بالماء ثم ١وعاء مكعب الشكل طول حرفه من الداخل ) : ١( مثال

لتر ما حجم الوعاء الثاني من الداخل بالمتر ٧٥٠أفرغناه في وعائين سعة أحدهما المكعب ؟

-: ) ١( الحل االرتفاع× العرض × الطول = حجم الوعاء المكعب ٣ م١ = ١ × ١ × ١= حجم الوعاء المكعب

لتر ١٠٠٠ = ٣ م١ لتر ٧٥٠= حجم الوعاء األول ٣ م٠,٧٥ = ــــــــــــ= حجم الوعاء األول

ومنها ٣ م٠,٢٥ = ٠,٧٥ – ١= حجم الوعاء الثاني

- ) :٢( الحل لتر١٠٠٠ = ٣ م١

لتر٢٥٠= لتر ٧٥٠ – لتر ١٠٠٠= حجم الوعاء الثاني ٣ م٠,٢٥= ـــــــــــ = متر المكعب حجم الوعاء الثاني بــ ال

مكعبات حديدية متساوية الحجم في وعاء مملوء بالماء ٦وضعت ) : ٢( مثال

لتراً فإن طول حرف المكعب الواحد ٧٥٠فإذا زاحت كمية من الماء حجم هي ؟٣بوحدة دسم

-:الحل لتر ٧٥٠= مكعبات ٦حجم الـــ

إذاً لتر١٢٥= ـــــ ــــــ= حجم المكعب الواحد

٣ دسم١= لتر ١: ولكن إذاً

٣ دسم١٢٥= حجم المكعب الواحد دسم ٥× دسم ٥× دسم ٥= حجم المكعب الواحد

ومنها دسم ٥= طول حرف المكعب الواحد

٧٥٠ ١٠٠٠

١٠٠٠ ٢٥٠

٧٥٠ ٦

J[



فإن ٢ سم١٥٠المساحة الكلية للسطح الخارجي لمكعب تساوي ) : ٣( مثال حجمه ؟

-:الحل ٢ ل٦ =المساحة الكلية للمكعب

٢ ل٦ = ١٥٠ ٦بالقسمة على

٢ل = ٢٥ ٥= :۲٥[= ل إذاً

٣ سم١٢٥ = ٣ )٥ = ( ٣ل= حجم المكعب

سم ٢مستطيل مساحته تساوي أربعة أضعاف مساحة مربع طول ضلعه ) : ٤( مثال فإن مساحة هذا المستطيل ؟

-:الحل ٢ سم٤ = ٢ × ٢= ٢ل= مساحة المربع

حة المربع مسا٤= مساحة المستطيل ٢ سم٤ × ٤= مساحة المستطيل ٢ سم١٦= مساحة المستطيل

سم صببنا فيه ٦٠ سم ، وارتفاعه ٥٠ سم ، وعرضه ١٢٠خزان ماء طوله ) : ٥( مثال فما ارتفاع الماء في الخزان ؟. لتر من الماء ١٥٠

-:الحل ٣ سم١٠٠٠= لتر ١

٣ سم١٥٠٠٠٠= لتر ١٥٠ االرتفاع × العرض× الطول = حجم الماء

االرتفاع × ٥٠ × ١٢٠ = ١٥٠٠٠٠ سم ٢٥= ـــــــــــــــــــ = االرتفاع

إذاً سم٢٥= ارتفاع الماء

١٥٠٠٠٠ ٥٠ × ١٢٠

J[



أوجه مربعة الشكل طول حرف كل ٦مجسم هندسي يتكون من ) : ٦( مثال فما حجم هذا المجسم ؟. سم ٣منها

-:الحل الشكل الناتج مكعب

٢٧ = ٣ )٣ = ( ٣ل= حجم المكعب

دائرتان مركزيهما م ، ن تتقاطعان من الداخل في نقطه واحدة فإذا ) : ٧( مثال فما المسافة . ط سم ٨ ط سم ومحيط الدائرة الثانية ٦كان محيط الدائرة األولى

بين مركزيهما ؟ -:الحل

١ ط نق٢= محيط الدائرة األولى ١ ط نق٢= ط ٦ ١نق = ٣

-:وبالمثل ٢ ط نق٢= ئرة الثانية محيط الدا

٢ ط نق٢= ط ٨ ٢نق = ٤

إذاً ١ = ٣ – ٤= المسافة بين المركزين

ما محيط الشكل المقابل علماً بأن طول كل ضلع من أضالع ) : ٨( مثال

سم ؟٣المربعات التي تكون الشكل -:الحل

١٦= عدد األضالع التي تحدد المحيط سم ٤٨= سم ٣ × ١٦= المحيط

أعداد سم ) ١+ س ( سم وطول ضلعيه القصيرين س ، ١٨مثلث محيطة ) : ٩( مثال

فما طول الضلع الثالث في المثلث ؟صحيحة موجبة سم ٢) د ( سم ٤) جـ ( سم ٧) ب ( سم ٨) أ (

-:الحل ١٨= الضلع الثالث + نبحث عن عددين متتاليين

J[



ألن ) أ ( عد راح أستب ١٠ = ٨ – ١٨= ، إذاً مجموع العددين المتتاليين ٨= نفرض الضلع الثالث

١٠ال نجد عددين متتالين مجموعهم ألن ) ب ( الحل

١١ = ٧ – ١٨= ، إذاً مجموع العددين المتتاليين ٧= نفرض الضلع الثالث ٦ ، ٥هما نجد إن العددين المتتاليين

سم ٣) ن(، ) م(كان طول نصف قطر كالً من الدائرتين إذا ) : ١٠( مثال

سم ؟٢= | س | أحسب محيط المستطيل الذي يحيط بهما علماً بأن -:الحل

سم٦= قطر الدائرة = عرض المستطيل ٢+ قطر الدائرة الثانية + قطر الدائرة األولى = طول المستطيل ٢ + ٦ + ٦= طول المستطيل سم١٤= طول المستطيل

إذاً )العرض + الطول ( ٢= محيط المستطيل )٦ + ١٤ ( ٢= محيط المستطيل ٢٠ × ٢= محيط المستطيل سم ٤٠= محيط المستطيل

سم ٣) ن(، ) م(إذا كان طول نصف قطر كالً من الدائرتين ) : ١١( مثال

سم ؟٢= | س | أحسب محيط المستطيل الذي يحيط بهما علماً بأن -:الحل

سم ٦= قطر الدائرة = رض المستطيل ع ٢ –قطر الدائرة الثانية + قطر الدائرة األولى = طول المستطيل ٢ – ٦ + ٦= طول المستطيل ١٠= طول المستطيل

إذاً )العرض + الطول ( ٢= محيط المستطيل )٦ + ١٠ ( ٢= محيط المستطيل ١٦ × ٢= محيط المستطيل سم ٣٢= محيط المستطيل

J[



ط٢٥في الشكل المقابل ضلعا المربع مماسان للدائرة التي مساحتها ) : ١٢( ل مثا فإن مساحة المربع ؟

-:الحل ٢ط نق = مساحة الدائرة

٢ط نق = ط ٢٥ ٢نق = ٢٥ نق = ٥

إذاً سم ١٠ = ٥ + ٥= نق + نق = طول ضلع المربع

٢ سم١٠٠ = ١٠ × ١٠= ل × ل = مساحة المربع

٢٠فقطعت مسافة ) ب(إلى المدينة ) أ(انطلقت سيارة من المدينة : )١٣( مثال كلم ، كما هو موضح في ١٥فقطعت مسافة ) جـ(كلم ثم توجهت إلى المدينة

؟) جـ(، ) أ(كم تبلغ المسافة بين المدينتين . الشكل -:الحل

من نص نظرية فيثاغورث ٢ )١٥ + ( ٢ )٢٠ = ( ٢)أ جـ ( ٢٢٥ +٤٠٠ = ٢)أ جـ ( ٦٢٥ = ٢)أ جـ (

:٦۲٥ [= أ جـ كلم ٢٥= أ جـ

مثلث متساوي األضالع مرسوم داخل دائرة : في الشكل الذي أمامك ) : ١٤( مثال

فإن محيط المثلث ؟. سم ٥طول نصف قطرها -:الحل

في مثلث متساوي األضالع مرسوم داخل دائرة : عندنا قاعدة مهمة ٣ [× نق = ل إذاً ٣ [نق = ل ضلع المثلث طو

٣ [ ٥= طول ضلع المثلث ٣ [ ١٥ = ٣ [ ٥ × ٣= ل × ٣= ل + ل + ل = إذاً محيط المثلث

J[



في الشكل الواضح أمامك مربع مرسوم داخل دائرة طول نصف ) : ١٥( مثال = سم فإن مساحة المربع ٣قطرها

-:الحل ) ۲ [× نق = ل ( ائرة مربع مرسوم داخل د: عندنا قاعدة مهمة

۲ [× نق = طول ضلع المربع ۲ [ × ٣= طول ضلع المربع

٢ سم١٨ = ٢ × ٩ = ٢) ۲ [ × ٣ = ( ٢ل= ل × ل = إذا مساحة المربع

إذا كانت النسبة بين مساحتي مربعين متشابهين ــــــــ وكان طول ) : ١٦( مثال طول المربع الثاني ؟ سم فما ٤= ضلع المربع األول

-:الحل ـــــــــــ= النسبة

ــــــــــ= ــــــــــ

٦٤ = ١٦ × ٤ = ٢ل ٨= ل

= طول الضلع ل : في الشكل الواضح أمامك ) : ١٧( مثال -:الحل

٣ [× ـــــــــ الوتر = ٦٠الضلع المقابل للزاوية

٣ [ ٣= ٣ [ × ٦× ـــــــــ =٦٠الضلع المقابل للزاوية

ثم أوجد طول ضلعه ل أوجدالشكل الموضح أمامك مربع ) : ١٨( مثال ؟المساحة

-:الحل ٢)القطر ( × ـــــــــ = مساحة المربع بمعلومية قطره ٢٥ = ٢ )۲ [ ٥( × ـــــــــ = مساحة المربع بمعلومية قطره

٥= إذاً طول الضلعه ل

١ ٤

٢ل

٢ل٢ ٤ ٢ل

١ ٤

١

٢

٢

٢

٢

٢ ١

١

١

١ ٢

٢

٢

J[



في الشكل الموضح أمامك مساحة المثلث ؟ ) : ١٩( مثال -:الحل

٣٠جــا × ٤ × ٣× ـــــــــ = مساحة المثلث ـــــــــ × ١٢× ــــــــــ = مساحة المثلث ٢ سم٣= مساحة المثلث

سم فإن ١٦ سم ، ١٢في الشكل الموضح أمامك معين طوال قطرية ) : ٢٠( مثال

؟= محيطة -:لحل ا

من نص نظرية فيثاغورث نأخذ مثلث ونوجد الوتر ٨= ، نصف القطر الثاني ٦= نصف القطر األول سم ١٠ = :@:}:٨::{ :+:@:}:٦:{ [) = ل ( طول ضلع المعين

إذاً سم ٤٠ = ١٠ × ٤= ل ٤= محيط المربع

وم داخل في الشكل الموضح أمامك مثلث متساوي األضالع مرس ) : ٢١( مثال

=فإن طول نصف قطر الدائرة . ٣ [ ٢= دائرة ، فإذا كان طول ضلع المثلث -:الحل

-: قاعدة مهمة ٣ [× نق = ل = طول ضلع مثلث متساوي األضالع مرسوم داخل دائرة

٣ [× نق = ٣ [ ٢ سم ٢= نق

مرسوم داخل في الشكل الموضح أمامك مثلث متساوي األضالع ) : ٢٢( مثال

فإن مساحة الدائرة ؟٣ [ ٥دائرة فإذا كان طول ضلع المثلث -:الحل

٣ [× نق = ل ٣ [× نق = ٣ [ ٥

سم ٥= نق ط ٢٥= ط × ٢ )٥ = ( ٢ط نق = مساحة الدائرة

٢ ٢ ٢ ١ ١

١

٣ [ ٢

٣ [ ٥

J[



في الشكل الموضح أمامك مثلث متساوي األضالع مرسوم داخل ) : ٢٣( مثال الدائرة ؟حيط فإن م٣ [ ٥طول ضلع المثلث دائرة فإذا كان

-:الحل ٣ [× نق = ل ٣ [× نق = ٣ [ ٥

سم ٥= نق ط سم ١٠ = ٥× ط ٢= ط نق ٢= محيط الدائرة

في الشكل الموضح أمامك مربع مرسوم داخل دائرة فإذا كان طول ) : ٢٤( مثال

فإن مساحة الدائرة ؟ ۲ [ ٥ضلعه -:الحل

نق ۲ [= ل نق ۲ [= ۲ [ ٥

سم ٥= نق ٢ ط سم٢٥ = ٢ )٥( ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة

في الشكل الموضح أمامك مربع مرسوم داخل دائرة فإذا كان طول ) : ٢٥( مثال

الدائرة ؟حيطفإن م ۲ [ ٥ضلعه -:الحل

نق ۲ [= ل نق ۲ [= ۲ [ ٥

سم ٥= نق ط سم ١٠ = ٥× ط × ٢= ط نق ٢= محيط الدائرة

في الشكل الموضح أمامك سداسي منتظم مرسوم داخل دائرة فإذا ) : ٢٦( مثال

الدائرة ؟و محيط مساحة أوجد سم ٣كان طول ضلعه -:الحل

نق = طول ضلع سداسي مرسوم داخل دائرة : قاعدة مهمة سم ٣= الدائرة طول نصف قطر = طول ضلع السداسي ٢ ط سم٩= ط × ٢ )٣ = ( ٢ط نق= إذاً مساحة الدائرة

ط سم ٦ ) = ٣( × ط ٢= ط نق ٢= ومحيط الدائرة

٣ [ ٥

٥ ] ۲

٥ ] ۲ ٥ ] ۲

J[



أ ب جـ مستطيل ، س ، ص ، ع ، و ، أربع نقاط كل منها على منتصف ) : ٢٧( مثال كما موضح بالشكل فما النسبة بين مساحة المستطيل . أحد أضالع المستطيل

مساحة الشكل س ص ع و ؟و -:الحل

: قاعدة ـــــــــ مساحة المستطيل الذي طوله وعرضه هما طوال قطري = مساحة المعين

المعين إذاً

ــــــــــ مساحة المستطيل = مساحة الشكل س ص ع و مساحة المستطيل = مساحة الشكل س ص ع و ٢

ـــــــــ= ـــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١ : ٢= مساحة الشكل س ص ع و : مساحة المستطيل

الشكل المقابل مستطيل رسم بداخله دائرتان متطابقان فما مساحة ) : ٢٨( مثال ٢ سم٣٢الدائرة الواحدة علماً بأن طول المستطيل يساوي ضعف عرضه ، ومساحته

-:الحل س ، س٢رضه هما نفرض طول المستطيل وع

إذاً ٣٢= س × س ٢ ٣٢ = ٢ س ٢

١٦ = ٢س ٤= س إذاً

سم٤= طول قطر الدائرة = عرض المستطيل إذاً سم ٢= ـــــــــ = نق

ومنها ٢ ط سم٤= ٢ )٢( × ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة

٢

٢

١

١

مساحة الشكل س ص ع و ٢ مساحة المستطيل

١

٢ ٤

J[



خر ، مربعات مرسوم كل منها داخل اآل٣الرسم المقابل يوضح ) : ٢٩( مثال بحيث كان المربع األصغر ينصف أضالع المربع األوسط ، وبالمثل كان المربع ٢األوسط ينصف أضالع المربع األكبر ، فإذا علمت أن طول ضلع المربع األصغر

سم ، فما طول ضلع المربع األكبر ؟ -:الحل

، نوجد طول ضلع المربع األوسط عن ٢= طول وتر المثلث : المربع األصغر -:ريق نص نظرية فيثاغورث ط ٢)ل + ( ٢)ل = ( ٢ )٢( ٢ ل٢ = ٤ ٢ل = ٢

۲ [= ل إذاً

۲ [ ۲ = ۲ [ + ۲ [= طول ضلع المربع األوسط ، نوجد طول ضلع ۲ [ ۲= طول الوتر المثلث : وبالمثل في المربع األوسط

-:المربع األكبر عن طريق نص نظرية فيثاغورث ٢)س + ( ٢)س = ( ٢) ۲ [ ۲( ٢ س٢ = ٨ ٢س = ٤

٢= س إذاً

٤ = ٢ + ٢= طول ضلع المربع الكبير

) أ ز ( ، وكانت نقطة هـ تنصف ) أ جـ ( إذا كانت نقطة ز تنصف ) : ٣٠( مثال ؟) أ جـ ( إلى طول ) أ هـ ( فما نسبة طول

-:الحل ـــــــــ= ــــــــــ

٢ ٢

۲ ] ۲

ل ل

س

س

أ هـ أ جـ

١ ٤

بعد قبل

J[



الشكل الذي أمامك يمثل دائرة مركزها ن رسم داخلها المستطيل ) : ٣١( ال مث سم فإن مساحة الدائرة تساوي ؟٢س ص ن و ، فإذا كان طول قطر المستطيل

-:الحل برسم قطر المستطيل س ن

هو أيضاً نصف قطر الدائرة ) س ن (نالحظ أن القطر سم ٢= إذاً نق ومنها

٢ نقط= مساحة الدائرة ٢ )٢( × ط = مساحة الدائرة ٢ ط سم٤= مساحة الدائرة

ط ١٢في الشكل المقابل أسطوانة دائرية قائمة محيط قاعدتها ) : ٣٢( مثال

سم ، ما هي أقصر مسافة بين النقطتين س ، ص ؟٨سم و ارتفاعها -:الحل

ط ١٢= ط نق ٢= المحيط إذاً ٦= نق

) نة الشكل راح يتحول لـــ مستطيل عند فتح األسطوا( تخيل من نص نظرية فيثاغورث

٢ )٦ + ( ٢ )٨ = ( ٢)ص س ( ٣٦ + ٦٤ = ٢)ص س ( ١٠٠ = ٢)ص س (

١٠= ص س إذاً

سم ١٠= أقصر مسافة بين النقطتين س ، ص

ط ، محيط ١٢= في الشكل الموضح أمامك محيط الدائرة جـ ) : ٣٣( مثال ؟= ط ، فإن محيط المثلث أ ب جـ ٨= لدائرة ب محيط ا= الدائرة أ

-:الحل -:في الدائرة جـ

ط نق ٢= المحيط ط نق٢= ط ١٢

J[



سم ٦= نق -:في الدائرة أ ، ب

ط نق٢= المحيط ط نق٢= ط ٨

٤= نق إذاً

سم ١٠ = ٤ + ٦= طول أ جـ = طول ب جـ سم ٨ = ٤ + ٤= طول أ ب

إذاً سم ٢٨ = ٨ + ١٠ + ١٠= طول أ ب + طول ب جـ + طول أ جـ = ـ محيط المثلث أ ب ج

-:في الشكل الموضح أمامك ) : ٣٤( مثال

أحسب محيط الشكل أ ب جـ د ؟ -:الحل

من المثلث القائم أ ب د ] ٢)٨ + (٢)٦ = (٢)ب د ([ من نص نظرية فيثاغورث ١٠= طول ب

١٠= ب جـ = طول د ب وبما أن المثلث د ب جـ متساوي الساقين إذاً درجة ٦٠= ـــــــــــــــــــــ = لــ إيجاد الزاوية د ، الزاوية جـ

إذاً المثلث د ب جـ متساوي األضالع ١٠= طول ب جـ = طول د ب = ومنها طول د جـ

)جـ د(طول ) + ب جـ(طول ) + أ ب (طول ) + د أ (طول = محيط الشكل أ ب جـ د سم ٣٤= سم ١٠+ سم ١٠+ سم ٦+ سم ٨= ـ د محيط الشكل أ ب ج

مجسم هندسي يتكون من قاعدتين كل منهما على شكل مربع ) : ٣٥( مثال

سم ٨ سم ، ٤ سم ، وأربعة أوجه مستطيلة الشكل أبعاد كل منها ٤طول ضلعه فما حجم المجسم ؟. عمودية على كل من المربعين

-:الحل االرتفاع × العرض× الطول = حجم المجسم ٨ × ٤ × ٤= حجم المجسم ٣ سم١٢٨= حجم المجسم

٦٠ - ١٨٠ ٢

J[



سم وقاعدته على ٢٥المساحة الجانبية لمنشور ثالثي قائم ارتفاعه ) : ٣٦( مثال -: سم هي ٨شكل مثلث متساوي األضالع طول ضلعه

-:الحل :قاعدة

االرتفاع× محيط القاعدة = المساحة الجانبية لمنشور ثالثي قائم سم ٨بما أن القاعدة على شكل مثلث متساوي األضالع طول ضلعه

إذاً سم ٢٤ = ٨ + ٨ + ٨= مجموع أطوال أضالعه = محيط القاعدة

ومنها ٢٥ × ٢٤= المساحة الجانبية لمنشور قائم ٢ سم٦٠٠= المساحة الجانبية لمنشور قائم

سم وقاعدته على شكل ٢٥حجم المنشور الثالثي القائم ارتفاعه ) : ٣٧( مثال

-: هو ٢سم ٣ [ ١٦مثلث مساحتها -:الحل

-:قاعدة االرتفاع× مساحة القاعدة = حجم المنشور ٢٥ × ٣ [ ١٦= حجم المنشور ٣ سم ٣ [ ٤٠٠= حجم المنشور

فإن مساحة ٢ سم٣٠ سم وحجمه ٥منشور ثالثي قائم ارتفاعه ) : ٣٨( مثال

قاعدته ؟ -:الحل -:دة قاع

االرتفاع× مساحة القاعدة = حجم المنشور ٥× مساحة القاعدة = ٣٠

٢ سم٦= مساحة القاعدة

J[



سم فإن ١٥ سم وارتفاعه ١٠هرم رباعي قائم طول ضلع قاعدته ) : ٣٩( مثال ؟= حجمه


االرتفاع× مساحة القاعدة × ـــــــــ = حجم الهرم ١٥× ) العرض × الطول ( × ــــــــ ـ= حجم الهرم ١٥× ) ١٠ × ١٠( × ـــــــــ = حجم الهرم ٣ سم٥٠٠= حجم الهرم

سم ٤ سم وطول نصف قطرها ١٠أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها ) : ٤٠( مثال

فإن حجمها ؟ -:الحل

-:قاعدة ع٢ط نق = حجم االسطوانة ١٠ × ٢ )٤( × ط = حجم االسطوانة ١٠ × ١٦× ط = حجم االسطوانة ٣ ط سم١٦٠= حجم االسطوانة

سم ١٠ سم وطول مولده ١٢مخروط دائري قائم طول قطر قاعدته ) : ٤١( مثال

؟= فإن ارتفاعه -:الحل

من نص نظرية فيثاغورث ٢)االرتفاع + ( ٢ )٦ = ( ٢ )١٠( ٣٦ – ١٠٠ = ٢)االرتفاع ( ٦٤ = ٢)االرتفاع (

سم ٨= اع االرتف

؟= فإن نصف قطرها ٢ سم١٢٥٦كره مساحتها ) : ٤٢( مثال -:الحل

-:قاعدة ٢ ط نق٤= مساحة الكرة

٢نق × ٣,١٤ × ٤ = ١٢٥٦

١

١

١

٣

٣

٣

نق

ع

J[



١٠٠= ٢نق سم ١٠= نق

سم وتقع رؤوسه على ٢٠ أ ب جـ د مربع محاط بدائرة طول قطرها ) :٤٣( مثال

جـ ؟فما مساحة المثلث أ ب. محيط الدائرة -:الحل

االرتفاع× القاعدة × ـــــــــ = مساحة المثلث أ ب جـ ١٠ × ٢٠× ـــــــــ = مساحة المثلث أ ب جـ ٢ سم١٠٠= مساحة المثلث أ ب جـ

في الشكل الموضح أمامك أحسب محيط الشكل أ هـ ب جـ د ) : ٤٤( مثال -:الحل

سم ٣= سم ، طول أ هـ ٥= طول أ ب -:ص نظرية فيثاغورث من ن

٢)هـ ب + ( ٢)أ هـ = ( ٢)أ ب ( ٢)هـ ب + ( ٩ = ٢٥ ١٦ = ٢)هـ ب (

٤= هـ ب = محيط الشكل

)د أ(طول ) + جـ د(طول ) + ب جـ(طول ) + هـ ب(طول ) + أ هـ(طول ٢ + ٥ + ٢ + ٤ + ٣= محيط الشكل سم ١٦= محيط الشكل

التي توجد في الشكل الموضح أمامك ؟كم عدد المربعات ) : ٤٥( مثال -:الحل

٦عدد المربعات

سم فإن مساحة الدائرة؟٤ سم ، ٣رسم مستطيل داخل دائرة أبعاده ) : ٤٦( مثال -:الحل

من نص نظرية فيثاغورث نوجد قطر المستطيل ٢)٤ + (٢)٣ = (٢)القطر( ١٦ + ٩ = ٢)القطر(

١ ١ ٢ ٢

J[



٢٥ = ٢)القطر( ٥= القطر

٥= قطر الدائرة = ر المستطيل قط: مالحظة إذاً

٢,٥= نصف قطر الدائرة ومنها

٢ط نق= مساحة الدائرة ٢)٢,٥(× ط = مساحة الدائرة ط٦,٢٥= مساحة الدائرة

م وكان طولها ضعف عرضها فإن ٦٠= قطعة أرض مستطيلة محيطها ) : ٤٧( مثال

؟=مساحتها -:الحل

س= س ، العرض ٢= نفرض الطول ذاًإ

س ٦= المحيط س٦ = ٦٠

١٠= س ومنها

سم ٢٠ = ١٠ × ٢= س ٢= الطول سم ١٠= س = العرض

إذاً العرض × الطول = مساحة المستطيل ١٠ × ٢٠= مساحة المستطيل ٢ سم٢٠٠= مساحة المستطيل

؟أحسب محيط الشكل ) : ٤٨( مثال -:الحل

٧= ص + الشكل نالحظ أن طول س من خالل ٦) + ص+س + (١١ + ٧ + ٥= محيط الشكل ٦ + ٧ + ١١ + ٧ + ٥= محيط الشكل سم ٣٦= محيط الشكل

J[



؟١٠= ما محيط المستطيل التالي إذا كانت ف ) : ٤٩( مثال -:الحل

)العرض + الطول ( ٢= المحيط ) ف ٣+ ف ٥ ( ٢= المحيط ف٨ × ٢= المحيط ف١٦= المحيط ١٠ × ١٦= المحيط ١٦٠= المحيط

أي كسر يمثل المربعات المظللة بالنسبة لجميع المربعات ؟ ) : ٥٠( مثال -:الحل

مربعا٢٥ً = ٥ × ٥= العدد الكلي للمربعات مربعات ١٠= دد المربعات المظللة ع

ـــــــــ = ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = النسبة

ما أكبر مساحة لمربع يمكن وضعه بالكامل داخل دائرة قطرها ) : ٥١( مثال سم ؟ ۲ [

-:الحل ٢)القطر ( ـــــــــ = المربع مساحة

٢) ۲ [( × ــــــــ = مساحة المربع ٢× ـــــــــ = مساحة المربع ٢ سم١= مساحة المربع

كم تتضاعف مساحة مربع إذا ضاعفنا ضلعه ؟ ) : ٥٢( مثال -:الحل

سم ٢) = قبل مضاعفته ( نفرض طول ضلع المربع ٢م س٤) = قبل مضاعفته ( المساحة

إذاً سم ٤) = بعد مضاعفته ( طول ضلع المربع

٢ سم١٦) = بعد المضاعفة ( المساحة إذاً

مرات ٤تضاعفت المساحة

عدد المربعات المظللة العدد الكلي للمربعات

١٠ ٢٥

٢ ٥

] ۲

٢

٢

٢

١

١

١

J[



لدينا مجسم على شكل هرم رباعي قائم ، فإذا علمت أن طول ضلع ) : ٥٣( مثال م ، ونريد طالء ٨ م ، واالرتفاع الجانبي يساوي ٥قاعدته المربعة الشكل يساوي

رياالت ، فإن ٤لواحد يبلغ ألوجه الجانبية حيث إن سعر الدهان للمتر المربع اا تكلفة طالء المجسم بالريال تساوي ؟

-:الحل ارتفاع الوجه الجانبي× محيط القاعدة × ـــــــــ = المساحة الجانبية للهرم ٨× ) ٥ + ٥ + ٥ + ٥( × ـــــــــ = المساحة الجانبية للهرم

٨ × ٢٠× ـــــــــ = ساحة الجانبية للهرم الم ٢ كم٨٠= المساحة الجانبية للهرم

إذاً ريال ٣٢٠ = ٤ × ٨٠= التكلفة

على محوري اإلحداثيات المتعامدين ، رسمنا دائرة مركزها م ومن ) : ٥٤( مثال

|أ جـ | النقطة ب الواقعة على محيطها رسمنها المستطيل ب أ م جـ ، فإذا كان سم ، فإن طول نصف قطر الدائرة يساوي ؟٥ =

-:الحل من خصائص المستطيل إن قطراه متساويان

سم ٥= طول ب م = إذاً طول أ جـ نصف قطر الدائرة ) = ب م ( ونالحظ أن

إذاً سم ٥= نصف قطر الدائرة

المثلث سم أنشئ ٨= | أ د | أ ب جـ د مستطيل فيه : في الشكل أدناه ) : ٥٥( مثال

٦= | هـ ب | سم ، ٨= | أ هـ | أ هـ ب القائم الزاوية في هـ على الضلع أ ب بحيث إن سم ، فما مساحة الشكل أ هـ ب جـ د ؟

-:الحل بما أن المثلث أ هـ ب قائم الزاوية ، من نص نظرية فيثاغورث نوجد الوتر أ ب

٢ )٦ + ( ٢ )٨ = ( ٢)أ ب ( ٣٦ + ٦٤ = ٢)أ ب ( ١٠٠ = ٢ )أ ب(

١٠= أ ب ١٠= طول د جـ = ومنها طول أ ب

١

١

١ ٢

٢

٢

J[



٢ سم٨٠ = ٨ × ١٠= مساحة المستطيل أ ب جـ د ٢ سم٢٤ = ٨ × ٦× ـــــــــ = مساحة المثلث أ هـ ب

مساحة المثلث + مساحة المستطيل = مساحة الشكل أ هـ ب جـ د ٢٤ + ٨٠= مساحة الشكل أ هـ ب جـ د

٢ سم١٠٤= د مساحة الشكل أ هـ ب جـ

٢١مثلث يزيد ارتفاعه على قاعدته بسنتيمتر واحد ومساحته تساوي ) : ٥٦( مثال ، فما طول قاعدته ؟٢سم

-:الحل ١+ س = س ، االرتفاع = نفرض القاعدة االرتفاع × القاعدة × ـــــــــ = مساحة المثلث

)١+ س ( × س × ـــــــــ = ٢١ س + ٢س = ٤٢ ٠ = ٤٢ – س + ٢س ٠ ) = ٦ –س ) ( ٧+ س (

إجابة مرفوضة٧ -= إما س إجابة مقبولة ٦= أو س

إذاً ٦= س = طول القاعدة

أ ب جـ د مربع ، رسمنا من النقاط المنصفة ألضالعه المربع هـ و ز ح ) : ٥٧( مثال

ألكبر أ ب جـ د ؟فما نسبة مساحة المربع األصغر هـ و ز ح إلى مساحة المربع ا -:الحل

٢= إذاً طول هـ د ٤= نفرض طول ضلع أ د ومنها نوجد طول ضلع هـ جـ عن طريق نظرية فيثاغورث

٢)د حـ + ( ٢)هـ د = ( ٢)هـ حـ ( ٢ )٢ + ( ٢ )٢ = ( ٢)هـ حـ ( ٤ + ٤ = ٢)هـ حـ ( ٨ = ٢)هـ حـ (

٢ [ ٢ = ٨ [= هـ حـ ١٦ = ٤ × ٤= ب جـ د مساحة المربع أ

٨ = ٢ [ ٢ × ٢ [ ٢= مساحة المربع هـ و ز حـ

٢ ١

٢ ١

١ ٢

J[



-:المطلوب ١٦ : ٨= مساحة المربع األكبر أ ب جـ د : مساحة المربع األصغر هـ و ر ح ٢ : ١= مساحة المربع األكبر أ ب جـ د : مساحة المربع األصغر هـ و ر ح

ن خمسة مربعات متطابقة فإذا كان مجموع الشكل أدناه مكون م ) : ٥٨( مثال

، فإن محيط الشكل بالسنتيمترات يساوي ؟٢ سم١٨٠مساحتها -:الحل

٣٦= ـــــــــــ = مساحة المربع الواحد ٦= طول ضلع المربع

عدد األضالع × طول الضلع = محيط الشكل سم ٧٢ = ١٢ × ٦= محيط الشكل

ه ، أ ب جـ د ، أ هـ و ن مربعان ، فما نسبة مساحةفي الشكل أدنا ) : ٥٩( مثال

ن و ل د إلى مساحة هـ ب م و ؟ -:الحل

سم ١= سم ، طول ضلع أ ن ٤= نفرض طول ضلع أ د إذاً

سم ١= سم ، طول ضلع ن و ٣= طول ضلع ن د ٢ سم٣ = ١ × ٣= مساحة ن و ل د

-:وبالمثل سم ١ = سم ، طول ضلع هـ و ٣= طول ضلع هـ ب

٢ سم٣ = ١ × ٣= مساحة هـ ب م و -:نسبة

١= ـــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

محيط مثلث متساوي األضالع يساوي محيط سداسي منتظم مساحة ) : ٦٠( مثال فإن مساحة السداسي هي ؟٢ سم٢المثلث

-:الحل ١ ل٣= محيط المثلث المتطابق األضالع

٢ ل٦= حيط السداسي المنتظم م ١ ل٣= ٢ ل٦ ـــــــــــ = ٢ ومنها ل١ ل١ = ٢ ل٢

١٨٠ ٥

مساحة ن و ل د مساحة هـ ب م و

٣ ٣

١ل٢

J[



٢ـــــــــــــــ ل= مساحة المثلث المتطابق األضالع ٢ـــــــــــــ ل = ٢ ــــــــــــــ = ٢ل

٢ــــــــــــــــــــــــ ل= مساحة السداسي

٢)ـــــــــ ( ـــــــــــــــــــــــ = مساحة السداسي

٢ل× ـــــــــ × ـــــــــــــــــــــــ = مساحة السداسي

ـــــــــــــــ× ــــــــ × ـــــــــــــــــــــــ = مساحة السداسي

٢ سم٣= مساحة السداسي

نسبة بين ـــــــــــــــــــــــــــــــــ هي؟محيط مربع يساوي محيط دائرة فإن ال ) : ٦١( مثال -:الحل

ل٤= محيط مربع ط نق٢= محيط دائرة

إذاً محيط دائرة = محيط مربع

ط نق٢= ل ٤ ط نق= ل ٢

ـــــــــــ= نق ومنها

ـــــــــ= ــــــــ ـــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ

سم ، ٨ سم ، ٦مساحة الدائرة التي تمر برؤوس مثلث أطوال أضالعه ) : ٦٢( مثال سم هي ؟١٠

-:الحل

٤ ١ ] ٣

] ٣ ١ ٤

] ٣ ٨

١

٢

] ٣ ٣ ٢

٣ [ ٣ ٢ ٢

١ل

٣ [ ٣ ٤ ٢

١ ١

] ٣ ٣

] ٣ ٨

٤ ١

٢

مساحة الدائرة مساحة المربع

ل ٢ ط

مساحة الدائرة ط ٢نق ٢ل مساحة المربع

٢ ل٤ × ــــــــ ط

ط

٢ل

٢ ط٤

J[



الزاوية المحيطية المرسوم على قطر الدائرة هي زاوية قائمة سم ١٠= لذلك فإن وتر هذه المثلثات هو قطر للدائرة

ومنها سم ٥= نق

ط ٢٥ = ٢ )٥( ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة :همسة

إن األطوال التالية هي أطوال المثلث قائم الزاوية الخ ... ، } ١٣ ، ١٢ ، ٥{ ، } ٥ ، ٤ ، ٣{

درجة ،٣٠= المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب فيه الزاوية جـ ) : ٦٣( مثال ؟= ، طول أ ب ٣ [ ٢٠= | ب جـ |

-:الحل -:الثيني الستيني في المثلث الث

ـــــــــــــــــــــــــ= | أ ب | = ٣٠طول الضلع المواجه للزاوية

٣ [ × ــــــــــــــــــــــــــ = | ب جـ | = ٦٠طول الضلع المواجه للزاوية إذاً ٣ [ × ـــــــــــــــــــــــــ = ٣ [ ٢٠

سم ٤٠= طول الوتر إذاً

سم ٢٠= ــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = أ ب طول

فإن مساحة ١٠٠ومساحته ) ٤+ س (، ) ١+ س (مستطيل ضلعاه ) : ٦٤( مثال هي ؟) ٣+ س (، ) ٢+ س (مستطيل آخر ضلعاه

-:الحل ١٠٠ ) = ٤+ س ) ( ١+ س = (مساحة المستطيل األول

١٠٠ = ٤+ س + س ٤ + ٢س ١٠٠= ٤+ س ٥ + ٢س ٩٦= س ٥ + ٢س

) ٣+ س ) ( ٢+ س = ( مساحة المستطيل األخر ٦+ س ٢+ س ٣ + ٢س= مساحة المستطيل األخر ٦+ س ٥ + ٢س= مساحة المستطيل األخر

طول الوتر

طول الوتر

٢

٢

طول الوتر ٢

٤٠ طول الوتر ٢ ٢

J[



٦ + ٩٦= مساحة المستطيل األخر ١٠٢= مساحة المستطيل األخر

فإن أصغر ٥ : ٥ : ٣: ٣ : ٢أضالع شكل خماسي متناسبة مع األعداد ) : ٦٥( مثال

زاوية فيه هي ؟ -:الحل

١٨ = ٥ + ٥ + ٣ + ٣ + ٢= مجموع أجزاء التناسب ١٨٠× ) ٢ –ن = ( مجموع زوايا الخماسي ٥= ن = عدد أضالع الخماسي

درجة ٥٤٠ = ١٨٠ × ٣ = ١٨٠× ) ٢ – ٥( درجة ٦٠ = ٥٤٠× ـــــــــ = أصغر زاوية هي

فإن ١٤٤ان طول ضلع مستطيل أربعة أضعاف عرضة ومساحته إذا ك ) : ٦٦( مثال

محيطة ؟ -:الحل

س٤= س ، الطول = نفرض العرض ١٤٤= س × س ٤= المساحة

١٤٤ = ٢ س٤ ٣٦ = ٢س ٦= س إذاً

٢٤ = ٦ × ٤= ، الطول ٦= العرض ومنها

)العرض + الطول ( × ٢= المحيط )٦ + ٢٤( × ٢= المحيط ٣٠ × ٢= المحيط ٦٠= المحيط

ط فإن مساحة ١٦= مربع ودائرة لهما نفس المحيط ومساحة المربع ) : ٦٧( مثال

الدائرة هي ؟ -:الحل

ط١٦= مساحة المربع

٢ ١٨

J[



ط [ ٤= طول ضلع المربع ط [ ١٦= ط [ ٤ × ٤= محيط المربع ط نق٢= محيط الدائرة

ط نق٢= ط [ ١٦

ـــ ـــــــــــــــ= نق إذاً

٦٤ = ٢)ـــــــــــــــــــ ( × ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة

سم فإن ٢ سم ، ٩مربع مساحته ضعف مساحة مستطيل أبعاده ) : ٦٨( مثال النسبة بين محيط المربع إلى محيط المستطيل هي ؟

-:الحل العرض × الطول = مساحة المستطيل ٢ × ٩= مساحة المستطيل

٢ سم١٨= ستطيل مساحة الم ١٨ × ٢= مساحة المربع ٢ سم ٣٦= مساحة المربع

ومنها سم ٦= طول ضلع المربع

ل٤= محيط المربع ٦ × ٤= محيط المربع سم ٢٤= محيط المربع

)العرض + الطول ( ٢= محيط المستطيل )٢ + ٩ ( ٢= محيط المستطيل ١١ × ٢= محيط المستطيل سم ٢٢= محيط المستطيل

إذاً ــــــــــ= ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ط [ ٨ ط

ط [ ٨ ط

محيط المربع محيط المستطيل

٢٤ ١١ ٢٢

١٢

J[



في الشكل المجاور دائرتان متحدتان بالمركز ، وتبتعدان عن ) : ٦٩( مثال ما الفرق بين محيطي هاتين الدائرتين ؟. وحدات ١٠بعضهما بمقدار

-:الحل س= نفرض نصف قطر الدائرة الصغرى

١٠+ س = فيكون نصف قطر الدائرة الكبرى إذاً

س ط ٢= نق ط ٢= محيط الدائرة الصغرى ط ٢٠+ س ط ٢= ط ) ١٠+ س ( ٢= نق ط ٢= محيط الدائرة الكبرى

ط ٢٠= س ط ٢ – ط ٢٠+ س ط ٢= الفرق بين محيطي الدائرتين

ئرة ، فإذا علمت أن في الشكل أدناه مربع أحد رؤوسه على الدا ) : ٧٠( مثال ، فما مساحة الدائرة ؟٨مساحة المربع

-:الحل ٢ل= مساحة المربع

٢ل = ٨ ۲ [ ٢= ل

نصف قطر الدائرة = نالحظ من خالل الشكل قطر المربع نوجد القطر عن طريق نظرية فيثاغورث

٢ )۲ [ ٢ + (٢ )۲ [ ٢= ( ٢)أ م ( ٨ + ٨ = ٢)أ م (

٤= أ م ط ١٦= ط ٢ )٤= ( ط ٢نق= ائرة مساحة الد

في الشكل المجاور مثلث أ ب جـ متطابق األضالع رسم داخل دائرة ) : ٧١( مثال

؟| د هـ | أوجد . سم ٤طول نصف قطرها -:الحل

نرسم نصف قطر الدائرة من المركز إلى الرأس ب | هـ د | -| م د | = | م هـ | بما أن |هـ د | - ٤= | م د | إذاً

بما أن المثلث متطابق األضالع درجة ٦٠= إذاً قياس الزاوية ب

سم ٢= | م هـ | المثلث ثالثيني ستيني وبالتالي نجد أن

J[



في القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر ٣٠ألن الضلع المقابل للزاوية |هـ د | -| م د | = | م هـ | بما أن

|هـ د | - ٤ = ٢إذاً ٢ – ٤= | هـ د | سم ٢= | هـ د |

سم فما هو محيط الدائرة؟٤ سم ، ٣رسم مستطيل داخل دائرة أبعاده ) : ٧٢( مثال -:الحل

نوجد قطر المستطيل عن طريق نظرية فيثاغورث ٢ )٤ + ( ٢ )٣ = ( ٢)القطر ( ١٦ + ٩ = ٢)القطر ( ٢٥ = ٢)القطر (

٥= القطر ٥= قطر الدائرة = تطيل قطر المس

٢,٥= ومنها نصف قطر الدائرة ط نق٢= محيط الدائرة ٢,٥× ط ٢= محيط الدائرة ط ٥= محيط الدائرة

ما طول المستطيل أ ب جـ د أدناه ؟ ) : ٧٣( مثال -:الحل ـــــــــــــــــ= ـــــــــ

س٦ ) = ٢+ س ( ٥ س٦ = ١٠+ س ٥ س ٥ – س ٦ = ١٠ س = ١٠ إذاً

١٢ = ٢ + ١٠ = ٢+ س = طول المستطيل

٥ ٢+ س ٦

س

J[



سم ، ٨في الشكل أعاله ربع دائرة ، رسم داخلها مستطيل طوله ) : ٧٤( مثال ؟] أ ب جـ [ما طول القوس . سم ٦وعرضه


محيط الدائرة × ـــــــــ = طول القوس ٩٠= حسب الشكل هـ

إذاً محيط الدائرة × ــــــــ = لقوس طول ا

إذاً نق ط ٢× ـــــــــ = طول القوس

ومنها نق ط × ـــــــــ = طول القوس

الوتر في المثلث القائم = قطر المستطيل = نق عن طريق نص نظرية فيثاغورث نوجد الوتر

١٠= ومنها الوتر ١٠= نصف قطر الدائرة = بما أن الوتر ط ١٠× ـــــــــ = طول القوس ط ٥= طول القوس

؟= | أ د | فإن ٢= | أ جـ | في الشكل المقابل إذا كان ) : ٧٥( مثال -:الحل

في المثلث القائم الزاوية والمتطابق الضلعين يكون قياس زاويتيه درجة ٤٥= الحادتين

۲ [× طول أحد ضلعي الزاوية القائمة = طول الوتر ۲ [× حد ضلعي الزاوية القائمة طول أ = ٢

ــــــــــــ= طول أحد ضلعي الزاوية القائمة

۲ [ = ـــــــــــ × ـــــــــــ = طول أحد ضلعي الزاوية القائمة إذاً ۲ [= | أ د |

٣٦٠ ٩٠

١ ٤

٢ ١

١ ٢

٣٦٠ هـ

٢ ] ۲

] ۲

] ۲

] ۲ ٢

J[



في الشكل المقابل إذا كانت رؤوس المثلث أ ب جـ تقع على منتصف ) : ٧٦( مثال مثلث د هـ ن فما نسبة مساحة المثلث األصغر إلى األكبر ؟أضالع ال

-:الحل المثلث الصغير عبارة عن مثلث واحد

مثلثات صغيرة ٤المثلث الكبير عبارة عن إذاً

٤ : ١= نسبة مساحة المثلث الصغير إلى المثلث الكبير

؟) = ص + س ( في الشكل المقابل قيمة ) : ٧٧( مثال -:الحل لمثلث الثالثيني الستيني في ا

ــــــــ الوتر ) = ص + س ( طول إذاً ٧= ص + س

في المستوى اإلحداثي في الشكل المقابل إذا كان ) : ٧٨( مثال

؟= عفإن قيمة ٥ [ ٣= | م أ | -:الحل

نالحظ من الرسم أن ع تمثل طول م ع ومن نص نظرية فيثاغورث نوجد طول م ع

إذاً ٣ = ٩ [ = :٣:٦: :- :٤٥ [ = ٢ ٦ – ٢) ٥ [ ٣= ( | ع م|

٣ –وألن ع عبارة عن موقع في المستوى اإلحداثي فإنها تساوي ٣ -= إذاً قيمة ع

محيط الشكل المقابل يساوي ؟ ) : ٧٩( مثال -:الحل

من خالل الشكل الثاني نقدر نوجد طول الضلع س ٥ = : :@: ٣: :+: :@ ٤ [= س

سم ٢٦ = ٥ + ٥ + ٦ + ٨ + ٢= إذاً محيط الشكل

٢ ١

] : : : : : : : :: ::

J[



في الشكل المقابل دائرة مركزها أ ، ) : ٨٠( مثال ، فإن محيط القطاع الدائري أ ب جـ يساوي ؟ ١٠= | ب جـ | طول القوس

-:الحل محيط الدائرة × ــــــــــ = طول القوس

الدائرة محيط × ــــــــــ = ١٠

٨٠= محيط الدائرة

ومنها ط نق٢= محيط الدائرة

ط نق٢ = ٨٠ ـــــــــ= نق إذاً

نق + نق + طول القوس = محيط القطاع الدائري أ ب جـ ــــــــــ+ ــــــــــ + ١٠= محيط القطاع الدائري أ ب جـ

ــــــــــ + ١٠= محيط القطاع الدائري أ ب جـ

)..( المنطقة المظللة –هندسة )..(

منطقة مظللة رسمت داخل ربع دائرة نصف قطرها نق ، ما هي مساحة ) : ١( مثال

هذه المنطقة ؟ -:الحل

٢ط نق= مساحة الدائرة ٢ط نق× ـــــــــ = مساحة ربع دائرة

النسبة بين مساحة المثلث ومساحة المستطيل في الشكل التالي ) : ٢( مثال :هي

-:الحل مساحة المثلث الذي قاعدته وارتفاعه هما طول وعرض : قاعدة

.المستطيل المنشأ معه تساوي نصف مساحة المستطيل إذاً

هـ ٣٦٠

٤٥ ٣٦٠

٤٠

٤٠ ٤٠

٨٠

ط

ط ط

ط

١ ٤

J[



)٢ : ١( النسبة هي

ما مساحة المنطقة المظللة في الشكل الذي أمامك ؟ ) : ٣( مثال -:الحل

العرض× الطول = مساحة المستطيل ٢ سم٢٤ = ٤ × ٦= مساحة المستطيل

٢ط نق= مساحة الدائرة ط ٤= ٢ )٢( × ط = مساحة الدائرة

ط ٢= ط ٤× ـــــــ = مساحة ـــــــ الدائرة إذاً

ط ٦= ط ٢+ ط ٤= مساحة الدائرة والنصف دائرة مساحة الدائرة والنصف دائرة –مساحة المستطيل = مساحة المنطقة المظللة

ط ٦ – ٢٤= المظللة مساحة المنطقة ) ط – ٤ ( ٦= مساحة المنطقة المظللة

. في الشكل الموضح أمامك أحسب المساحة المظللة ) : ٤( مثال ــــــــ= سم ، ط ٤حيث طول ضلع المربع

-:الحل ٢ سم١٦ = ٤ × ٤ = ٢ل= مساحة المربع ـــــــــ = ٤× ــــــــ ـ = ٢ )٢( × ــــــــ = ٢ط نق= مساحة الدائرة

مساحة الدائرة –مساحة المربع = مساحة المنطقة المظللة ــــــــ- ١٦= مساحة المنطقة المظللة

٢ــــــــ سم = ــــــــــــــــــــ = مساحة المنطقة المظللة

سم و ١٢في الشكل الموضح أمامك مربع طول ضلعه ) : ٥( مثال

المنطقة الغير سم ، فما مساحة ٨= | ل م | = | و هـ | = | جـ د |= | أ ب | ؟مظللة

-:الحل

١ ٢ ٢

١

٢٢ ٧

٨٨ ٢٢ ٢٢ ٧ ٧ ٧

٨٨ ٧

٨٨ - ١١٢ ٧ ٧

٢٤

J[



٤= نق ط١٦ = ٢ )٤( ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة

ط ٣٢= ط ١٦ × ٢= مساحة الدائرتين ٢ سم١٤٤ = ١٢ × ١٢ = ٢ل= مساحة المربع

ين مساحة الدائرت–مساحة المربع = مساحة المنطقة الغير مظللة ط٣٢ – ١٤٤= مساحة المنطقة الغير مظللة

= | أ هـ | = | أ و | سم ٣الشكل الموضح أمامك للمربع طول ضلعه ) : ٦( مثال ؟= سم فإن مساحة المنطقة المظللة ١,٥

-:الحل ٢ سم٩ = ٢)٣ = (٢ل= مساحة المربع

٢ سم٢,٢٥ = ٣ × ١,٥× ــــــــ = مساحة المثلث جـ د هـ ٢ سم٢,٢٥ = ٣ × ١,٥× ــــــــ = احة المثلث و ب جـ مس

=مساحة المنطقة المظللة )مساحة المثلث و ب جـ + مساحة المثلث جـ د هـ ( – مساحة المربع

=٢,٢٥ + ٢,٢٥ ( – ٩( =٤,٥ – ٩ ٢ سم٤,٥=

سم ٤في الشكل الموضح أمامك مربع أ ب جـ د طول ضلعه ) : ٧( مثال أنصاف دوائر فما مساحة الشكل المظلل ؟رسمنا أربعة

- ) :١( الحل ) مساحة الدائرة –مساحة المربع ( ٢= المساحة الغير مظللة ) ط ٤ – ١٦ ( ٢= المساحة الغير مظللة ط٨ – ٣٢= المساحة الغير مظللة

المساحة الغير مظللة –مساحة المربع = المساحة المظللة ) ط ٨ – ٣٢ ( – ١٦= المساحة المظللة ١٦ - ط ٨= المساحة المظللة

-:شرح مناطق أربع عن عبارة المظللة غير المساحة أن الرسم في نالحظ المنطقة ولتكن متقابلتين مظللتين غير منطقتين مساحة البداية في نوجد

: كالتالي والسفلية العلوية ) = والسفلية العلوية ( المظللتين غير المنطقتين مساحة

٢ ٢ ١ ١

J[



) واأليسر األيمن ( المتقابلين الدائرتين نصفي مساحة - المربع ةمساح ط ٤ - ١٦ = ط ٢ ٢ - ١٦=

مساحتهما نوجد لم ) واليسرى اليمنى ( مظللتين غير ينتمنطق لدينا وجدت األن ط ٤ - ١٦ ) = والسفلية العلوية ( المنطقتان مساحة نفس تساويان ولكنهما ط ٨ - ٣٢ ) = ط ٤ - ١٦( × ٢ = كاملةً للةالمظ غير مساحة مجموع فيكون

= تساوي حيث كاملةً المظللة المساحة نوجد اآلن كاملة المظللة غير المساحة - المربع مساحة

١٦ - ط ٨ = ط ٨ + ١٦ - = ط٨ + ٣٢ - ١٦ ) = ط ٨ - ٣٢ ( - ١٦= -:شرح

حة الجزء المظلل من إلى مسا) م ( ما نسبة مساحة الدائرة ) : ٨( مثال ؟) ع ( الدائرة

-:الحل ط = ٢)١(× ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة م ط٠,٢٥ = ٢)٠,٥(× ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة ن ط٢,٢٥ = ٢)١,٥(× ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة ع

ط١,٢٥= ط ٠,٢٥+ ط = مجموع مساحة الدائرتين م و ن مجموع مساحة الدائرتين م و ن–الدائرة ع مساحة = مساحة الجزء المظلل ط١,٢٥ – ط ٢,٢٥= مساحة الجزء المظلل ط= مساحة الجزء المظلل

) ع(تساوي مساحة الجزء المظلل من الدائرة ) م(إذاً نسبة مساحة الدائرة

J[



إلى ) أ ( ما نسبة مساحة الدائرة الصغيرة التي مركزها النقطة ) : ٩( مثال ، ) ع ( هي مركز الدائرة الكبيرة ) د ( ؟ علماً أن النقطة الجزء المظلل

والدائرتين الصغيرتين متساويتين ؟ -:الحل

ط = ٢)١(× ط = ٢ط نق) = أ(مساحة الدائرة الصغيرة التي مركزها ط = ٢)١(× ط = ٢ط نق) = د(مساحة الدائرة الصغيرة التي مركزها

ط ٩ = ٢)٣(× ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة الكبيرة مساحة الدائرتين الصغيرتين –مساحة الدائرة الكبيرة = مساحة الجزء المظلل ط٢ – ط ٩= مساحة الجزء المظلل ط٧= مساحة الجزء المظلل

٧ : ١= ط ٧: ط = إذاً نسبة مساحة الدائرة الصغيرة إلى الجزء المظلل

، والمثلثان غير ٢ سم٣٢وي إذا كانت مساحة المستطيل أدناه تسا ) : ١٠( مثال المظللين متطابقا الضلعين ، فما محيط الشكل المظلل ؟

-:الحل العرض × الطول = مساحة المستطيل

٤× الطول = ٣٢ سم ٨= الطول

-:اآلن نوجد أطوال األضالع الخمسة ..كما في الشكل الثاني

سم١ = ٣ – ٤ ) = ١(الضلع

ضلع مثلث قائم تمثل ٣ ، ٤= ألن العرض ( )متطابق الضلعين

سم ٤ = ٤ – ٨ ) = ٢( الضلع تمثل ضلع مثلث قائم ٤ ، ٨= ألن الطول (

)متطابق الضلعين سم ۲ [ ٤) = ٣( الضلع

)٢)٤ + (٢ )٤ = ( ٢)الوتر( ألن من نص نظرية فيثاغورث ( سم ٥ = ٣ – ٨ ) = ٤( الضلع

)٥= ، إذاً الجزء المتبقي ٣= من الطول ، والجزء المعلوم٨= ألن الطول ( سم ۲ [ ٣ ) = ٥( الضلع

J[



)٢ )٣ + ( ٢ )٣ = ( ٢)الوتر ( ألن من نص نظرية فيثاغورث ( إذاً

سم ۲ [ ٧ + ١٠ = ۲ [ ٣ + ٥ + ۲ [ ٤ + ٤ + ١= محيط الشكل المظلل

إذا كانت مساحة الشكل أدناه مربع بداخلة دوائر متساوية ، ف ) : ١١( مثال ، فما مساحة الدائرة الواحدة ؟٢ سم٤٠٠المربع تساوي

-:الحل ٢ل= مساحة المربع

٢ل = ٤٠٠ سم٢٠= إذاً طول ضلع المربع

سم ٥= ومنها نصف قطر الدائرة ط ٢٥ = ٢ )٥( ط = ٢ط نق= مساحة الدائرة الواحدة

دناه ؟ما مساحة المثلث أ ب جـ في الشكل أ ) : ١٢( مثال -:الحل

االرتفاع× القاعدة × ـــــــ = مساحة المثلث

٢ سم٢٤ = ٦ × ٨× ــــــــ = مساحة المثلث

الكسر الذي تمثله المنطقة المظللة في المستطيل المجاور يساوي ) : ١٣( مثال تقريباً الكسر الذي تمثله المنطقة المظللة في الخيارات ؟

-:الحل ـــــــ= هما كال ) أ(

سم ؟٦= ما مساحة الجزء الملون إذا كان طول نصف قطر الدائرة ) : ١٤( مثال -:الحل

مساحة المثلث –مساحة ــــــــ الدائرة = مساحة الجزء المظلل ٦ × ٦× ــــــــ - ٢)٦(ط × ــــــــ = مساحة الجزء المظلل

١

١

٢

٢

)د) (جـ) (ب) (أ(

١ ٣

٣ ١ ٣ ٤

٤ ٢

J[



١٨ – ط ٢٧= مساحة الجزء المظلل ١٨ – ) ٣,١٤ × ٢٧= ( مساحة الجزء المظلل ٦٦,٧٨= مساحة الجزء المظلل

إذا ٦ونصف قطرها) م(في الشكل المقابل نصف دائرة مركزها ) : ١٥( مثال

كان أ جـ عمودي على ب م فإن مساحة المنطقة المظللة تساوي ؟ -:الحل

المثلث أ م ب مساحة–مساحة نصف الدائرة = مساحة المنطقة المظللة |م ب | × | أ م | × ـــــــــ - ٢ط نق× ــــــــ = مساحة المنطقة المظللة ٦ × ٦× ـــــــــ - ٢ )٦( ـــــــــ ط = مساحة المنطقة المظللة ١٨ – ط ١٨= مساحة المنطقة المظللة

إذا ٦ونصف قطرها ) م(في الشكل المقابل نصف دائرة مركزها ) : ١٦( مثال

كان أ جـ عمودي على ب م فإن مساحة المنطقة الغير مظللة تساوي ؟ -:الحل

مساحة المثلث أ م ب= مساحة المنطقة الغير مظللة |م ب | × | أ م | × ـــــــــ = مساحة المنطقة الغير مظللة ٦ × ٦× ـــــــــ = مساحة المنطقة الغير مظللة ١٨ =مساحة المنطقة الغير مظللة

في الشكل المقابل مربع مرسوم داخل دائرة بحيث أحد رؤوس ) : ١٧( مثال

المربع يقع على مركز الدائرة واآلخر على محيط الدائرة فإن مساحة المنطقة المظللة تساوي ؟

-:الحل ٨ [ = :@:۲: :+ :@ ۲ [= نق

مساحة المربع–مساحة الدائرة = مساحة المنطقة المظللة ٢)الضلع ( – ٢ط نق= احة المنطقة المظللة مس

٢ )٢ ( – ٢) ٨ [( ط = مساحة المنطقة المظللة ٤ – ط ٨= مساحة المنطقة المظللة

وحدة مربعة ٢٤في الشكل المقابل إذا كان مساحة الجزء المظلل ) : ١٨( مثال

فإن حجم متوازي المستطيالت يساوي ؟

٢ ٢ ٢ ١ ١ ١

١ ٢

٢ ٢ ١ ١

J[



-:الحل ٦= ــــــــــ = ت عرض متوازي المستطيال

٧٢ = ٦ × ٤ × ٣= الحجم

أوجد مساحة المنطقة المظللة ؟ ) : ١٩( مثال -:الحل

٢ط نق× ــــــــ = مساحة نصف الدائرة العلوية المظللة ٢ سم٧٧ = ٢)٧(× ـــــــــ × ـــــــــ = مساحة نصف الدائرة العلوية المظللة

٢ سم١٩٦ = ١٤ × ١٤= مساحة المربع ٢ سم١٥٤ = ٢ )٧( × ــــــــ = مساحة الدائرة السفلية

مساحة الدائرة السفلية –مساحة المربع = مساحة المنطقة المظللة السفلية ٢ سم٤٢ = ١٥٤ – ١٩٦= مساحة المنطقة المظللة السفلية

إذاً ٢ سم١١٩ = ٢ سم٤٢ + ٢ سم٧٧= مجموع المساحات المظللة

ا حجم المنطقة المظللة بالسنتيمتر المكعب في الشكل م ) : ٢٠( مثال

المجاور؟ -:الحل

٣ سم١٦٠٠٠ = ٤٠ × ٢٠ × ٢٠= حجم المكعب ٣ سم٢٤٠٠ = ٢٠ × ١٠ × ١٢= حجم المكعب األول المسحوب

٣ سم٢٤٠٠ = ٢٠ × ١٠ × ١٢= حجم المكعب الثاني المسحوب ٣ سم١١٢٠٠ ) =٢٤٠٠ + ٢٤٠٠ ( – ١٦٠٠٠= حجم المنطقة المظللة

ما مساحة الجزء المظلل في الدائرة م ؟ ) : ٢١( مثال -:الحل

مساحة الدائرة × ــــــــ = مساحة القطاع الدائري ط٤ = ٢ )٤( × ط × ــــــــ = مساحة القطاع الدائري

٨ = ٤ × ٤× ــــــــ = مساحة المثلث القائم مساحة المثلث القائم–ع الدائري مساحة القطا= مساحة المنطقة المظللة ٨ – ط ٤= مساحة المنطقة المظللة

٢٤ ٤

٢ ١

٢ ٢٢ ١

٧

٢٢ ٧

ن٩٠ ٣٦٠ ١ ٣٦٠

٢

J[



وحدة مربعة ) ٢ –ط ( ٤= مساحة المنطقة المظللة

مساحة المنطقة المظللة في الشكل التالي تساوي ؟ ) : ٢٢( مثال -:الحل

مساحة المربع المظلل) + ١ (مساحة المنطقة المظللة= إذا مساحة المنطقة المظللة الكلية مساحة الجزء المظلل في المربع التالي تساوي ؟ ) : ٢٣( مثال -:الحل

ــــــــ = ١× ــــــــ × ــــــــ = مساحة المثلث األيمن

ـــــــــ= ــــــــ × ــــــــ × ــــــــ = مساحة المثلث األيسر

مجموع مساحة المثلثين –ساحة المربع م= مساحة الجزء المظلل ــــــــ= ــــــــ – ١= مساحة الجزء المظلل

سم ٩= | جـ د | سم ، ٤= | أ د | سم ، ٣= | أ ب | في الشكل ) : ٢٤( مثال

أحسب مساحة المنطقة المظللة ؟ -:الحل

٤ ٢ ٢

٨ ٢ ٢ ٢

٨ ٨ ٥ ٣

١ ١ ١ ١

١ ١ ١

J[



سم ٣= من تشابة المثلثين أ ب هـ ، د جـ هـ يمكن إيجاد طول د هـ ٢ سم١٣,٥ = ٣ × ٩× ـــــــــ = مساحة المثلث د جـ هـ

٢ سم١٨ = ٤ × ٩× ـــــــــ = مساحة المثلث أ د جـ ٢ سم٤,٥ = ١٣,٥ – ١٨= مساحة المنطقة المظللة

سم ، ٣) = ن(، ) م(إذا كان طول نصف قطر كالً من الدائرتين ) : ٢٥( مثال

سم ٢= | س | ماً بأن أحسب مساحة المنطقة المظللة ؟ عل -:الحل

١٤ = ٦ + ٢ + ٦ = ٢+ مجموع القطرين = طول المستطيل ٦= قطر الدائرة = عرض المستطيل

٨٤ = ٦ × ١٤= مساحة المستطيل ط١٨= ط ٢ )٣( × ٢ ) = ٢ط نق( × ٢= مساحة الدائرتين

مساحة الدائرتين –مساحة المستطيل = مساحة المنطقة المظللة ط ١٨ – ٨٤= حة المنطقة المظللة مسا

ما مساحة المنطقة المظللة ؟ ) : ٢٦( مثال -:الحل

١٠ = ٥ × ٤× ـــــــــ = االرتفاع × القاعدة × ـــــــــ = مساحة المثلث الكبير ٤ = ٢ × ٢= مساحة المربع

٢ = ٢ × ٢× ـــــــــ = مساحة المثلث الصغير )مساحة المثلث الصغير + مساحة المربع ( –مساحة المثلث = لمظللة مساحة المنطقة ا

٤ = ٦ – ١٠ ) = ٢ + ٤ ( – ١٠= مساحة المنطقة المظللة

في الشكل المجاور مربع أ ب جـ د رسم داخلة مثلث جـ د هـ متطابق ) : ٢٧( مثال ، فأوجد مساحة المنطقة المظللة ؟٢= | أ ب | فإذا كان . األضالع

-:الحل ٢= طول ضلع المثلث

٣ [ = ٢ ) ٢( × ــــــــــ = ٢ل× ــــــــــ = مساحة مثلث متطابق األضالع

١ ٢ ٢ ١

١ ٢

١ ٢

١ ٢

] ٣ [ ٣ ٤٤ ٤٤

J[



مساحة مثلث متطابق األضالع–مساحة المربع = مساحة المنطقة المظللة ٣ [ - ٤= مساحة المنطقة المظللة

فما . ا في الشكل المجاور كم٨رسمت دائرة داخل مربع طول ضلعه ) : ٢٨( مثال

مساحة المنطقة المظللة ؟ -:الحل

٦٤ = ٨ × ٨= مساحة المربع ط١٦= ط ٢ )٤= ( ط ٢نق= مساحة الدائرة

مساحة الدائرة –مساحة المربع = مساحة المنطقة المظللة ) ط – ٤ ( ١٦= ط ١٦ – ٦٤= مساحة المنطقة المظللة

سم ، رسم داخلها مستطيل ٥ابل دائرة نصف قطرها في الشكل المق ) : ٢٩( مثال

و ب ] أ د [ و َ جـ منتصف ] أ هـ [ سم إذا كانت د منتصف ٨= | أ هـ | أ هـ هَـ أ َ فيه فأوجد مساحة الشكل المظلل ؟] أ جـ [منتصف

-:الحل سم ١٠= قطر المستطيل أ هـ هـ َ أ َ = قطر الدائرة

|جـ ب | = ١= | أ ب | ومنها ٢= | أ جـ | ومنها ٤ = |أ د | ومنها ٨= | أ هـ | سم ١= | جـ ب | = إذاً العرض

؟= | هـ هـ َ | من نص نظرية فيثاغورث نوجد سم ٦= | هـ هـ َ | ومن نص نظرية فيثاغورث ١٠= | أ هـ َ | ، ٨= | أ هـ | نجد أن

إذاً الطول × العرض = مساحة الشكل المظلل

٢ سم٦ = ٦ × ١= | هـ هـ َ| × | ب جـ | = لشكل المظلل مساحة ا

في الشكل المجاور مستطيل أ ب جـ د ، رسمنا ربعي دائرتين ) : ٣٠( مثال مركزيهما جـ ، د ، فما مساحة الجزء المظلل ؟

-:الحل ٢ سم١٠ = ٥ × ٢= مساحة المستطيل

٢ ط سم٢ = ٢ )٢( × ط × ــــــــ= مساحة نصف دائرة = مساحة ربعي الدائرتين مساحة نصف الدائرة –مساحة المستطيل = مساحة الشكل المظلل ط ٢ – ١٠= مساحة الشكل المظلل ٢سم) ط – ٥ ( ٢= مساحة الشكل المظلل

٤٢ ٤١

J[



في الشكل المقابل مربع أ ب جـ د ، تم تقسيم ضلعه إلى ثالثة ) : ٣١( مثال

ء المظلل إلى مساحة الجزء غير المظلل ؟فما نسبة مساحة الجز. أجزاء متساوية -:الحل

١= نفرض س ٩ = ٢)٣= (مساحة المربع

الجزء المظلل الصغير عبارة عن مربع طول ضلعه س ٢ سم١= إذاً مساحته

مساحة الجزء المظلل –مساحة المربع = مساحة الجزء غير المظلل ١ – ٩= مساحة الجزء غير المظلل

٨= ر المظلل مساحة الجزء غي -:النسبة

ــــــــ= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ما هي . وحدة مربعة ١٢في الشكل المجاور مساحة الدائرة تساوي ) : ٣٢( مثال

مساحة المنطقة المظللة ؟ -: ) ١( الحل

-: أقسام متساوية وبالتالي ٨قسمت الدائرة إلى ــــــــ وحدة مربعة = ـــــــــ = لمظلل مساحة الجزء ا

- ) :٢( الحل ــــــــ من الدائرة = ـــــــــ = نسبة الجزء المظلل

ـــــــــ وحدة مربعة = ١٢× ـــــــــ = المساحة

رسم داخله | أ جـ | في الشكل المقابل مربع أ ب جـ د طول قطره ) : ٣٣( مثال

| أ جـ | ـــــــ = | أ َ جـ َ | جـ َ د َ والذي طول قطره مربع أ َ ب َ ؟فما نسبة مساحة المنطقة المظللة إلى مساحة المربع أ ب جـ د

-:الحل ١= نفرض ان قطر المربع الصغير

ـــــــــ= من نص نظرية فيثاغورث طول الضلع ـــــــــ= مساحة المربع الصغير

الجزء المظلل٤ ٨ الجزء غير المظلل

١

١٢ ٢ ٨

٣

٤٥ ٣٦٠

١ ٨

١ ٨

٣ ٢

٢ ١

١ ] ۲ ١

٢

J[



ومنها ٢= ر قطر المربع الكبي

۲ [= من نص نظرية فيثاغورث طول الضلع ٢= مساحة المربع الكبير

إذاً مساحة المربع الصغير –مساحة المربع الكبير = مساحة المنطقة المظللة ـــــــــ= ــــــــ - ٢= مساحة المنطقة المظللة

-:النسبة ٢: ــــــ ـــ= مساحة المربع الكبير : مساحة المنطقة المظللة ٤ : ٣= مساحة المربع الكبير : مساحة المنطقة المظللة

سم ٨ سم ، وعرضها ١٦في الشكل المقابل ، بطاقة مستطيلة طولها ) : ٣٤( مثال

ما مساحة . ، قصت دائرتان متساويتان حيث قطر كل منها أكبر ما يمكن المنطقة المظللة تقريباً ؟

-:الحل ٤= نصف قطر الدائرة ط ٣٢ = ٢ ) ٤( ط ٢= ٢ ط نق٢= مساحة الدائرتين ٢ سم١٢٨ = ٨ × ١٦= مساحة المستطيل

مساحة الدائرتين –مساحة المستطيل = مساحة المنطقة لمظللة ط ٣٢ – ١٢٨= مساحة المنطقة المظللة

سم ، رسمت نصف دائرة ٢٦في الشكل المجاور مستطيل محيطة ) : ٣٥( مثال ، ما محيط المنطقة غير المظللة؟٢ ط سم٨ومساحتها . سم | د جـ| طول قطرها

-:الحل ط٨= ط ٢نق× ــــــــ = نصف الدائرةمساحة

سم ٤= ومنها نق سم ٨ = ٤ + ٤= نق + نق = طول المستطيل

مجهول = عرض المستطيل )العرض + الطول ( × ٢= محيط المستطيل

)العرض + الطول ( ٢ = ٢٦ العرض + الطول =١٣ العرض + ٨ = ١٣

٥= العرض

٢ ٣ ١

٢

٣ ٢

٢ ١

J[



طول المستطيل + محيط النصف دائرة = محيط المنطقة المظللة ٨+ نق ط ٢× ــــــــ = محيط المنطقة المظللة ٨+ ط ٤= محيط المنطقة المظللة

محيط المنطقة المظللة –محيط المستطيل = محيط المنطقة غير المظللة )٨+ ط ٤ ( – ٢٦= المظللة محيط المنطقة غير

ط سم٤ – ١٨= محيط المنطقة غير المظللة

)..( الجزء الثالث –هندسة )..(

تلميذ في الصف الثاني الثانوي ٣٠الرسم التالي يوضح نتائج اختبارات ) : ١( مثال ؟= فإن عدد الناجحين

-:الحل لطالب عدد الناجحين يتضح من الرسم إنه يساوي نصف عدد ا

طالب ١٥= ـــــــــ = عدد الناجحين

تلميذ في الصف الثاني الثانوي ٣٠الرسم التالي يوضح نتائج اختبارات ) : ٢( مثال ؟= فإن عدد الغائبين

-:الحل عدد الطالب × % ٣٠= عدد الغائبين ٣٠× % ٣٠= عدد الغائبين طالب ٩ = ٣٠× ـــــــــ = عدد الغائبين

تلميذ في الصف الثاني الثانوي ٣٠الرسم التالي يوضح نتائج اختبارات ) : ٣( مثال

؟= النسبة المئوية لعدد الراسبين -:الحل

%٥٠= النسبة المئوية لــ عدد الناجحين %٣٠= النسبة المئوية لــ عدد المتغيبين

%٢٠ % ) = ٣٠ % + ٥٠ ( - % ١٠٠= إذاً النسبة المئوية لـ عدد الراسبين

طالب الشكل الموضح أمامك يوضح ٨٠٠مدرسة ثانوية عدد طالبها ) : ٤( مثال ؟= توزيع الطالب فإن عدد طالب الصف الثالث ثانوي

١ ٢

٣٠ ٢

٣٠ ١٠٠

J[



-:الحل النسبة المئوية التي تمثل عدد طالب الصف الثالث ثانوي

=٤٠ % + ٢٥ ( - % ١٠٠ ( % =٦٥ - % ١٠٠% =٣٥%

٨٠٠× % ٣٥= الثالث ثانوي عدد طالب الصف ٨٠٠× ــــــــ = عدد طالب الصف الثالث ثانوي طالب ٢٨٠= عدد طالب الصف الثالث ثانوي

في الشكل الموضح أمامك النسبة المئوية التي تمثل الصف الرابع ) : ٥( مثال هي ؟ -:الحل

% ٢٥= % ١٠٠× ـــــــــ = النسبة المئوية التي تمثل الصف الرابع

درجة ٣٦٠= مجموع زوايا الدائرة : همسة

يوضح الرسم البياني المصروفات الشهرية ألحمد وأسرته وما يوفره ، ) : ٦( مثال ريال ، فكم رياالً يصرف على الطعام ؟٥٠٠٠فإذا علمنا أن راتبه الشهري

-:الحل %١٠٠= مجموع النسب المئوية في الدائرة

= وية في الدائرة مجموع النسب المئ %١٠٠ % = ٢٥ % + ٣ % + ٢٢% + س ٢ % + ١٤% + س %٦٤ - % ١٠٠% = س ٣ %٣٦% = س ٣

%١٢% = س إذاً

٥٠٠٠× % ١٢= ما يصرفه أحمد على الطعام ريال٦٠٠ = ٥٠٠٠× ــــــــ = أحمد على الطعام ما يصرفه

أدناه يمثل سكان مدينة ما التوزيع السكاني الموضح في الشكل ) : ٧( مثال

نسمة تقريباً ، فما العدد الذي يمثله المتقاعدون فيها ؟٥٠٠٠٠يبلغ عددهم -:الحل

النسبة المئوية التي تمثل المتقاعدون

٣٥ ١٠٠

٩٠ ٣٦٠

١٢ ١٠٠

J[



=١٩% + ٢١% + ١٣% + ٣٢ ( - % ١٠٠(% =١٥%

٥٠٠٠٠× % ١٥= عدد المتقاعدين ٥٠٠٠٠× ـــــــــ = عدد المتقاعدين

نسمة ٧٥٠٠= لمتقاعدين عدد ا

ما نسبة ما . الشكل المقابل يمثل مصروفات أسرة في إحدى األشهر ) : ٨( مثال تصرفه األسرة من دخلها على المدارس ؟

-:الحل درجة ٣٦٠= مجموع زوايا الدائرة

٧٢ ) = ٥٤ + ٩٠ + ٣٦ + ١٠٨ ( - ٣٦٠ = قياس الزاوية لقطاع المدارس

%٢٠% = ١٠٠× ـــــــــ = ة ما تصرفه األسرة من دخلها على المدارس نسب

طالب٣٠٠الرسم البياني المجاور يمثل نتائج طالب مدرسة عددهم ) : ٩( مثال كم عدد الطالب الراسبين ؟

-:الحل طالب٣٠٠عدد الطالب في المدرسة

إذاً عدد الطالب الناجحين يمثل النصف طالب١٥٠= الناجحين عدد الطالب ومنها

إذاً عدد الطالب الراسبين والغائبين يمثل النصف الثاني

طالب١٥٠= عدد الطالب الغائبين + عدد الطالب الراسبين % ٦٠= ومن خالل الشكل نسبة الطالب الغائبين

%٤٠= إذاً نسبة الطالب الراسبين % ١٠٠= ن نصف الدائرة إاعتبار

%٦٠= ألنه وضع جزء فقط ذاً إ

١٥٠ × %٤٠= عدد الطالب الراسبين طالب٦٠= ١٥٠× ــــــــ = عدد الطالب الراسبين

١٠٠ ١٥

٧٢

٣٦٠

الرسم ليس على القياس

٤٠ ١٠٠

J[



طالب٣٠٠الرسم البياني المجاور يمثل نتائج طالب مدرسة عددهم ) : ١٠( مثال

؟غائبينكم عدد الطالب ال -:الحل

طالب٣٠٠عدد الطالب في المدرسة طالب١٥٠ = مثل النصفإذاً عدد الطالب الناجحين ي

طالب ١٥٠ = عدد الطالب الراسبين والغائبين يمثل النصف الثانيإذاً % ٦٠= ومن خالل الشكل نسبة الطالب الغائبين

طالب ٩٠ = ١٥٠× ــــــــ = ١٥٠ × %٦٠= عدد الطالب الغائبين طالب٣٠٠م الرسم البياني المجاور يمثل نتائج طالب مدرسة عدده ) : ١١( مثال ؟الدرجة التي يمثلها الطالب الراسبين في الشكل البيانيكم -:الحل

طالب٣٠٠عدد الطالب في المدرسة طالب١٥٠= عدد الطالب الناجحين طالب١٥٠= عدد الطالب الغائبين + عدد الطالب الراسبين

%٤٠= نسبة الطالب الراسبين طالب٦٠ = ١٥٠ × %٤٠= عدد الطالب الراسبين

ومنها ٧٢ = ١٨٠ × ـــــــــ= الدرجة التي يمثلها الطالب الراسبين

)راسبون + غائبون ( قياس الزاوية لـــ = ̊ ١٨٠: همسة

جدول التكلفة واإليراد وعدد القطع التالفة في فروع إحدى ) : ١٢( مثال

-:الشركات


١٠٠ ٦٠


٦٠ ١٥٠

J[



كم عدد التالف لشهر محرم ؟) أ - :الحل

٢٥ = ٤ + ٢ + ٣ + ٤ + ٦ + ٥ + ١= نجمع التالف لــ شهر محرم في أي فرع سجل أقل تكلفة ؟) ب

-:الحل -:جازان ألن

١٤٠ = ٢٠ + ٥٠ + ٥٠ + ٢٠= الرياض مقدار التكلفة في ٢٠٠ = ٦٠ + ٦٠ + ٤٠ + ٤٠= جدة مقدار التكلفة في ١٥٠ = ٤٠ + ٣٠ + ٢٠ + ٦٠= الطائف مقدار التكلفة في ١٣٠ = ٥٠ + ٢٠ + ٣٠ + ٣٠= الخبر مقدار التكلفة في ١٦٠ = ٢٠ + ٨٠ + ٤٠ + ٢٠= تبوك مقدار التكلفة في ٢١٠ = ٣٠ + ٢٠ + ٨٠ + ٨٠= أبها مقدار التكلفة في ١٢٠ = ١٠ + ٣٠ + ٤٠ + ٤٠= جازان مقدار التكلفة في

أقل تكلفة لفرع جازان حصلت في شهر ؟) جـ -:الحل

في شهر ربيع الثاني وهي األقل ١٠ي ألن التكلفة كانت ربيع الثان في أي فرع حصل أكبر عدد تالف ؟) د

-:الحل -: ألن جازان

٧ = ٢ + ٢ + ٢ + ١= مقدار التالف في الرياض ٨ = ٠ + ٢ + ١ + ٥= مقدار التالف في جدة

٩ = ١ + ١ + ١ + ٦= مقدار التالف في الطائف ١٠ = ٢ + ٣ + ١ + ٤ =مقدار التالف في الخبر

١١ = ٢ + ٤ + ٢ + ٣= مقدار التالف في تبوك ٨ = ١ + ٢ + ٣ + ٢= مقدار التالف في أبها

١٢ = ٣ + ١ + ٤ + ٤= مقدار التالف في جازان في أي فرع حصل أقل ربحية في شهر صفر ؟) هـ

-:الحل -:الطائف و أبها ألن

٣٠ = ٥٠ – ٨٠= مقدار الربح في الرياض ٢٠ = ٤٠ – ٦٠= قدار الربح في جدة م

١٠ = ٢٠ – ٣٠= مقدار الربح في الطائف

J[



٣٠ = ٣٠ – ٦٠= مقدار الربح في الخبر ٣٠ = ٤٠ – ٧٠= مقدار الربح في تبوك

١٠ = ٨٠ – ٩٠= مقدار الربح في أبها ٢٠ = ٤٠ – ٦٠= مقدار الربح في جازان

ات موظف خالل الخمسة أشهر األولى من الرسم البياني يوضح مصروف ) : ١٣( مثال -:السنة

؟= الفرق بين الشهر الخامس واألول ) أ -:الحل

٤٠٠٠= في الشهر الخامس ٢٠٠٠= في الشهر األول

٢٠٠٠ = ٢٠٠٠ - ٤٠٠٠= الفرق بين الشهر الخامس والشهر األول نسبة الزيادة من الشهر األول إلى الرابع تساوي ؟) ب

-:الحل ٢٠٠٠= شهر األول في ال

٣٠٠٠= في الشهر الرابع ١٠٠٠ = ٢٠٠٠ – ٣٠٠٠= الزيادة

لــ إيجاد النسبة ؟ النسبة المئوية = ـــــــ ــــــ

ــــــــــــ= ـــــــــــــ

%٥٠ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ= س

معدل مصروفات الموظف خالل الخمسة أشهر تساوي ؟) جـ -:حل ال

معدل المصروفات تعني متوسط المصروفات

الجزء الكل

١٠٠٠ ٢٠٠٠

س١٠٠%

١٠٠ × ١٠٠٠% ٢٠٠٠

مجموع القيم

J[



ــــــــــــــــــــــــــــــــ= المتوسط

٢٩٠٠ = ــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= المتوسط

) بالدرجات المئوية ( ظمى متوسط درجات الحرارة الصغرى والع ) : ١٤( مثال م ١٩٩٦لبعض مناطق المملكة لعام ( % ) ومعدالت الرطوبة النسبية

أقل رطوبة نسبية لمدينة جيزان كانت في فصل ؟) أ

-:الحل الخريف

في مدينة أبها ، كان أكبر فارق بين درجات الحرارة العظمى والصغرى في ) ب فصل ؟ -:الحل

-: ألن صيفالفي فصل ١٠ = ٩ – ١٩= مقدار الفرق في فصل الشتاء ١١ = ١٥ – ٢٦= مقدار الفرق في فصل الربيع

عددها

٤٠٠٠ + ٣٠٠٠ + ٤٥٠٠ + ١٠٠٠ + ٢٠٠٠ ٥

١٤٥٠٠ ٥

ص= درجة الحرارة الصغرى المئوية ع= درجة الحرارة العظمى المئوية

ط) = المئوية (الرطوبة النسبية

J[



١٦ = ١٥ – ٣١= مقدار الفرق في فصل الصيف ١٥ = ١١ – ٢٦= مقدار الفرق في فصل الخريف

في أي مدينة سجلت أقل رطوبة نسبية خالل العام ؟) جـ -:الحل

ف في الرياض في فصل الصي

الرسم البياني التالي يوضح حجم اإليرادات بماليين الرياالت من ) : ١٥( مثال م ٢٠٠١ م إلى عام ١٩٩٨عام

-:من خالل الرسم البياني يساوي ؟٢٠٠١ إلى عام ١٩٩٩مجموع اإليرادات من عام ) أ

-:الحل ١٢ = م ١٩٩٩ عام ١٠ = م ٢٠٠٠ عام ١٦ = م ٢٠٠١ عام

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣٨ = المجموع

؟ ) ٢٠٠١ ، ٢٠٠٠ ، ١٩٩٩ ، ١٩٩٨( ما معدل اإليرادات لألعوام األربعة ) ب -:الحل

المتوسط يعني معدل بكلمة المقصود إذاً

٤٦ ١٦ + ١٠ + ١٢ + ٨ مجموع اإليرادات

J[



١١,٥= ــــــــــ = ــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = متوسط اإليرادات

؟٢٠٠١ إلى عام ١٩٩٨ما نسبة إيرادات عام ) جـ -:الحل

٨ = م ١٩٩٨ عام إيرادات ١٦ = م ٢٠٠١ عام إيرادات نسبة

٢٠٠١ عام إيرادات : ١٩٩٨ عام إيرادات١٦ : ٨ ٢ : ١

؟ ١٩٩٨ عن إيرادات عام ٢٠٠٠ما النسبة المئوية الزدياد إيرادات عام ) د -:الحل الزيادة بعد الزيادة الزيادة قبل

%ص % س % ١٠٠ ١٠ ٢ ٨

ومنها ٢× % ١٠٠ % = س × ٨

%٢٥= إذاً نسبة الزيادة % ٢٥= ـــــــ ــــــــــــــــ% = س

يساوي ؟٢٠٠١ و ١٩٩٨فارق اإليرادات بين عامي ) هـ -:الحل

٨ = م ١٩٩٨ عام إيرادات ١٦ = م ٢٠٠١ عام إيرادات ٨ = ٨ - ١٦ = اإليرادات فارق

أقل كمية لإليرادات كانت عام ؟) و

-:الحل م ١٩٩٨

مية اإليرادات هما ؟أكثر سنتين تقارباً في ك) ل ٢٠٠١ ، ١٩٩٩) د ٢٠٠١ ، ١٩٩٨) جـ ٢٠٠٠ ، ١٩٩٨) ب ١٩٩٩ ، ١٩٩٨) أ

-:الحل ٢٠٠٠ ، ١٩٩٨

٤ ٤ عددها

٢× % ١٠٠ ٨

J[



ريال الرسم البياني ٨٠٠٠أحمد راتبه الشهري ) : ١٦( مثال

يوضح مصروفه الشهري إذا أراد شراء سيارة بشرط أن يدفع لخمس أشهر الموضحة والباقي أقساط كل ما يوفره خالل ا

ريال يكون قيمة ٣٠٠٠ شهرية لمدة عشرة أشهر لكل شهر السيارة؟

ألف ريال ٤٨) ألف ريال ب ٥٠) أ المعطيات غير كافية ) ألف ريال د ٤٦) جـ

-:الحل ألف ريال١٨ = ٣ + ٥ + ٤ + ٢ + ٤= ما يوفره خالل الخمس أشهر

ريال٣٠٠٠٠ = ١٠ × ٣٠٠٠= ط مجموع األقسا ريال٤٨٠٠٠٠ = ٣٠٠٠٠ + ١٨٠٠٠= قيمة السيارة

بيان بعدد المرضى لشلل األطفال ) : ١٧( مثال

.. هـ ١٤٢٥ هـ إلى ١٤٠٥ من عام من الرسم البياني السابق حدد أي عام

ينتهي مرض شلل األطفال ؟ هـ ١٤٤٠) هـ ب ١٤٣٠) أ

هـ ١٤٤٥) هـ د ١٤٣٥ )جـ -:الحل

هـ ١٤٣٥ينتهي مرض شلل األطفال عام . من عدد المرضى ٥ سنوات ينقص ٥نالحظ أن كل

هـ سيكون عدد ١٤٣٥ هـ وفي عام ١٤٣٠ في عام ٥إذاً سيكون عدد المرضى .المرضى صفر

-:لشركات الرسم البياني يمثل مقدار النفقات إلحدى ا ) : ١٨( مثال

:من الرسم البياني يمثل أكثر السنوات في اإلنفاق هي ) أ هـ١٤٢٣) د هـ ١٤٢٢) هـ جـ ١٤٢١) هـ ب ١٤٢٠) أ

-:الحل هـ١٤٢٢

:من الرسم البياني يمثل أقل السنوات في اإلنفاق هي ) ب هـ ١٤٢٢) د هـ ١٤٢٣) هـ جـ ١٤٢٤) هـ ب ١٤٢٥) أ

J[



-:لحل ا هـ١٤٢٥

-:بدأت النفقات في التناقص من عام ) جـ هـ ١٤٢٣) هـ د ١٤٢٢) هـ جـ ١٤٢١) ب هـ ١٤٢٠) أ

-:الحل هـ١٤٢٣

)..(باقي قسمة )..(

، فما باقي قسمة ٣ يساوي ٧إذا كان باقي قسمة س على ) : ١( مثال يساوي ؟٧ س على ٣

-:الحل الباقي = س نفرض

إذاً ٣= س

ومنها ٩ = ٣ × ٣= س ٣

وهو المطلوب ٢ = ٧ على ٩باقي قسمة

، فما باقي قسمة ٢ يساوي ٤إذا كان باقي قسمة س على ) : ٢( مثال يساوي ؟٤ س على ٥

-:الحل الباقي = نفرض س

إذاً ٢= س

ومنها ١٠ = ٢ × ٥= س ٥

ب وهو المطلو٢ = ٤ على ١٠باقي قسمة

، فما باقي قسمة ٤ يساوي ٦إذا كان باقي قسمة س على ) : ٣( مثال يساوي ؟٦ س على ٧


J[



إذاً ٤= س

ومنها ٢٨ = ٤ × ٧= س ٧

وهو المطلوب ٤ = ٦ على ٢٨باقي قسمة

، فما باقي قسمة ٥ يساوي ٨إذا كان باقي قسمة س على ) : ٤( مثال ؟يساوي ٨ س على ٣


إذاً ٥= س

ومنها ١٥ = ٥ × ٣= س ٣

وهو المطلوب ٧ = ٨ على ١٥باقي قسمة

فإن باقي قسمة ٥ يساوي ٩إذا كان باقي قسمة ن على ) : ٥( مثال يساوي ؟٩ ن على ٣

-:الحل الباقي = نفرض ن

إذاً ٥= ن

ومنها ١٥ = ٥ × ٣= ن ٣

وهو المطلوب ٦ = ٩ على ١٥باقي قسمة )..(حاد خانه اآل)..(

؟ ٨١ ٢ما هو أحاد العدد ) : ١( مثال -:الحل

- :٢حاد لقوى خانة اآل٢ = ١ ٢ ٤ = ٢ ٢

J[



٨ = ٣ ٢ ١٦ = ٤ ٢ ٣٢ = ٥ ٢ ٦٤ = ٦ ٢ :

الخ مرات بالصورة ٤ تتكرر كل ٢نالحظ أن قوى

الخ ... ، ٦ ، ٨ ، ٤ ، ٢ ، ٦ ، ٨ ، ٤ ، ٢ ٤الفكرة هي قسمة األس على

مرات ٤ ؟ ألن التكرار كل ٤ليه ومنها

١ والباقي ٢٠ = ٤ ÷ ٨١ ٢= فإن خانة اآلحاد للناتج النهائي ١إذا كان الباقي

؟٦٢ ٣ما هو أحاد العدد ) : ٢( مثال -:الحل

- :٣حاد لقوى خانة اآل٣ = ١ ٣ ٩ = ٢ ٣ ٢٧ = ٣ ٣ ٨١ = ٤ ٣ ٢٤٣ = ٥ ٣ ٧٢٩ = ٦ ٣ :

الخ مرات بالصورة ٤ تتكرر كل ٣نالحظ أن قوى

الخ ... ، ١ ، ٧ ، ٩ ، ٣ ، ١ ، ٧ ، ٩ ، ٣ ٤الفكرة هي قسمة األس على

مرات ٤ ؟ ألن التكرار كل ٤ليه منهاو ٢ والباقي ١٥ = ٤ ÷ ٦٢

٩= فإن خانة اآلحاد للناتج النهائي ٢إذا كان الباقي

٦ ، ٨ ، ٤ ، ٢

، الباقي ، الباقي ، الباقيالباقي ، صفر ٣ ، ٢ ، ١

:إذا كان

١ ، ٧ ، ٩ ، ٣

، الباقي ، الباقي ، الباقيالباقي ، صفر٣ ، ٢ ، ١

:إذا كان

J[



عندما نضاعفه ؟٣٢٠ ٢ما خانة اآلحاد في العدد ) : ٣( مثال -:الحل

-:كذا ٣٢١ ٢ وهو ٣٢٠ ٢أي المطلوب آحاد العدد المضاعف لـــ ٣٢١ ٢ = ٣٢٠ ٢ × ٢

- :٢حاد لقوى خانة اآل٢ = ١ ٢ ٤= ٢ ٢ ٨ = ٣ ٢ ١٦ = ٤ ٢ ٣٢ = ٥ ٢ ٦٤ = ٦ ٢ :

الخ مرات بالصورة ٤ تتكرر كل ٢نالحظ أن قوى

الخ ... ، ٦ ، ٨ ، ٤ ، ٢ ، ٦ ، ٨ ، ٤ ، ٢ ٤الفكرة هي قسمة األس على

مرات ٤ ؟ ألن التكرار كل ٤ليه ومنها ١ والباقي ٨٠ = ٤ ÷ ٣٢١

٢= فإن خانة اآلحاد للناتج النهائي ١إذا كان الباقي

؟٢٥٥٢٧٩ ٣ما خانة اآلحاد للعدد ) : ٤( مثال -:الحل

- :٣خانة اآلحاد لقوى ٣= ١ ٣ ٩ = ٢ ٣ ٢٧ = ٣ ٣

٦ ، ٨ ، ٤ ، ٢

، الباقي ، الباقي ، الباقيباقيال ، صفر٣ ، ٢ ، ١

:إذا كان

J[



٨١ = ٤ ٣ ٢٤٣ = ٥ ٣ :

الخ )١، ٧ ، ٩ ، ٣: ( مرات بالصورة ٤ تتكرر كل ٣نالحظ أن قوى

) التكرار ( ٤الفكرة هي قسمة األس على ) ٣ والباقي ١٩ = ٤ ÷ ٧٩ألن ( ٣ = ٤ على ٢٥٥٢٧٩باقي قسمة

٧= يقابل في خانة اآلحاد للناتج النهائي ٣والــــ ٧= فإن خانة اآلحاد للناتج النهائي ٣إذا كان الباقي

)..(العدد الدوري )..(

يتكرر إلى ماال نهاية ، فأي األعداد التالية ٠,٣١٧٥٢ري العدد الدو ) :١( مثال

؟٩٦٨يمثل العدد الموجود في الخانة رقم ٧) د ٥) جـ ٣) ب ١) أ

-:الحل

٣ والباقي ١٩٣= ـــــــــ

٧و ه٩٦٨إذاً العدد في الخانة رقم - ) :١( همسة

خمسة أرقام ثم ) ٠,٣١٧٥٢( ؟ ألن عدد األرقام في العدد الدوري ٥لماذا تقسيم .يتكرر - ) :٢( همسة

المقصود بالعدد الدوري إن العدد راح يتكرر كذا

٠,٣١٧٥٢٣١٧٥٢٣١٧٥٢٣١٧٥٢

إذا كان الرقم الممثل للخانة

١ ، ٧ ، ٩ ، ٣

، الباقي ، الباقي ، الباقيالباقي ، صفر٣ ، ٢ ، ١

:إذا كان

٩٦٨ ٥

J[



٢لعدد في الخانة المطلوبة بدون باقي فا٥يقبل القسمة على ٣ فالعدد هو ١وإذا تبقى ١ فالعدد ٢وإذا تبقى

٧ فالعدد ٣ وإذا تبقى ٥ فالعدد ٤وإذا تبقى

ابدأ من هنا للمبتدئين بالقدرات من منتديات يزيد...

Documents