مقدمه اي بر المان محدود
TRANSCRIPT
دمه اي بر المان محدود مق
معرفي المان محدود 1-1يكي از عنوان به معموالً. اي نيست تازه ي كوچكتر و تجزيه و تحليل آن ايدةتقسيم يك مدل به قسمتها
هاي منتظم نام برده ضلعي nه كمك تقسيم دايره به ب лموارد قديمي كاربرد اين روش، از محاسبه عدد nقسمت و تشكيل يك nكنيد با تقسيم محيط دايره به مشاهده مي 1- 1همچنانكه در شكل . شود مي
،ضلعي nبا افزايش تعداد اضالع . ضلعي تقريب زد nتوان محيط دايره را با محيط يك ضلعي منتظم، مي .گردد كند و طبيعتاً محيط آن به محيط دايره نزديكتر مي دا ميشكل آن با دايره تطبيق بيشتري پي
تقسيم مدل به اجزاء كوچكتر1- 1شكل
قديمي از روشي است كه امروزه روش المان محدود ناميده ساده و العاده اين يك مثال فوق
ضلعي nاضالع يك از دانشمندان ادوار گذشته اگر با زبان علمي امروز آشنا بودند احتماالً هر . شود مي .ناميدند مي "المان محدود"را يك مذكور
گي براي آن قوانين علمي به سادمقادير فيزيكي و تقسيم مسئله به قسمتهاي كوچكتر، بطوري كه از مثالهاي . گردد ، مطلب جديدي محسوب نميدانش مهندسي امروزقسمتها قابل بيان باشد، براي
توان تحليل نيروهاي موجود در اعضاء يك با آن برخورد دارد، مي اي كه هر مهندس معموالً روزمره :خرپاي شكل زير را درنظر بگيريد. سازه را نام برد
2- 1شكل
وان به سادگي نيروهاي داخلي هر يك از تيرهات با جداكردن اعضاء آن و نوشتن معادالت تعادل مي
قوانين مربوط بهو همچنين انين حاكم بر هر تيرمهندس به قو اين نتيجه از آگاهي. را محاسبه نموددر . خواننده دقيق، متوجه تفاوت دو مثالي كه بيان گرديد، خواهد شد. گردد اتصاالت حاصل مي
نخستين مثال، يعني محاسبه محيط دايره، مدل به خودي خود از اجزاء كوچكتري تشكيل نشده بود، » مجازي« آسان شدن محاسبه مجهوالت، به صورت گر، براي بندي، توسط تحليل بلكه اين تقسيم
اما در مثال دوم، خرپا بصورت فيزيكي از اجزاء كوچكتري تشكيل شده است و هنگام . ديدانجام گردر مورد تفاوت اين دو روش در . تحليل، عملي جز جداكردن اجزاي متصل شده انجام نگرفته است
.بت خواهد شدفصل حاضر و فصول بعدي اين كتاب به تفصيل صح
هاي المان محدود نداريد، افزار اي در آشنايي با نرمزمينهاگر هيچگونه پيشمثال اول فصل دوم را حل كرده، سپس » ديد«مناسب است براي پيدا كردن يك
.به مطالعه اين فصل ادامه دهيد
اي از فنرها يل سيستم يك بعدي شامل مجموعهتحل2-1براي آشنايي بيشتر با نحوه كاركرد المان محدود در تحليل سيستمها، ابتدا بحث را با بررسي يك فنر
اي كه در صنعت دارند، در مدل نمودن رفتار العاده گسترده فنرها جدا از كاربرد فوق. نماييم آغاز ميرا درنظر بگيريد كه در 3-1فنر شكل . روند اء فني سيستمها، بكار مياالستيك تيرها و بسياري از اجز
به دو طرف آن، در هر يك از نقاط ابتدايي و انتهايي آن تغيير مكان ايجاد F2و F1 اثر اعمال نيروهاي .شده استلمان ا" توان آن را يك هاي متداول در المان محدود براي اين فنر به كار برده شود مي گذاري اگر نام
.روند هاي اين المان به شمار مي گره )2( و )1( نقاط. ناميد "خطي يك بعدي
3- 1شكل
همچنانكه در شكل مشخص شده، هر گره تنها يك درجه آزادي دارد و آن، حركت در امتداد
سب با درنظر گرفتن اينكه نيروي ايجاد شده در يك فنر با ميزان تغيير طول آن متنا. باشد مي X محور :توان نوشت است مي
) 1-1 ( F2=K(u1-u2) :با توجه به تعادل نيروهاي افقي به دليل تعادل جسم خواهيم داشت
)1 -2( F1+F2=0 : لذا)1 -3 ( F1= -K(u1-u2)
:بصورت ماتريسي نوشته شوند، معادله زير حاصل خواهد شد) 1- 3( و )1- 1(هاي لهاگر معاد
)1-4 ( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
uu
kkkk
FF
F1اگر. نيروهاي ايجاد شده در فنر، فرض شدند F2وF1البته در روابط مطرح شده، e وF2
e يروهاي ن :هد شدزير تبديل خواوارد شده بر فنر درنظر گرفته شوند، عبارت فوق به شكل
)1 -5( ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
− =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
uu
kkkk
FF e
:تر و يا به صورت خالصه)1 -6] (u[e]K [= e]F[
ماتريس ]K[e ماتريس نيروهاي المان و ]F[e جايي، ماتريس جابه] u[ ،ماتريس6- 1در معادله ماتريس سختي .)به متقارن بودن ماتريس سختي، توجه داشته باشيد( شود ناميده مي ن،سختي الما
اگرچه ماتريس . كند هاي حاصل از آن نيروها مربوط مي جايي نيروهاي وارد بر المان را به جابه ،الماناز ه را مشابسختي فوق، براي يك فنر محاسبه گرديد، ولي ازآنجا كه بسياري از اجزاء سيستمها رفتاري
. را درنظر بگيريد 4- 1تير شكل. توان براي آنها نيز چنين ماتريسي تعريف نمود دهند، مي خود نشان ميبا استفاده از روابط مقاومت .شود در اثر اعمال نيرو به دو انتهاي تير، در آن تغيير شكل ايجاد مي
:استقابل محاسبه مصالح مقدار اين تغيير شكل )1 -7(
EAPL =δ
:جايي تير با رابطه مشابه در فنرها با مقايسه رابطه جابه)1 -8(
KF
x= يا F=kx
4- 1شكل
)1 -9( KL
AE≡
ه، بصورت توان حدس زد كه ماتريس سختي يك تير براي نيروهاي محوري اعمال شد بنابراين مي :زير خواهد بود
)1 -10( [ ]L
AELAE
LAE
LAE
K −
−
=
:نماييم را محاسبه مياكنون ماتريس سختي مجموعه دوفنر سري شده
5- 1شكل
المان وجود دارد 2بصورت كامالً واضح، مشخص گرديده است، اين بار 5- 1همچنانكه در شكل فرض . گره در مدل موجود است 3باشند، درمجموع ها روي يكديگر منطبق مي و چون دو عدد از گره
- با كمي محاسبه، رابطه نيرو. باشد iδجايي همان گره وارد شود و جابه Fi نيروي iكه به گره كنيم :گردد جايي بصورت زير مشخص مي جابه
)1 -11( ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
3
2
1
22
2211
11
3
2
1
0
0
δδδ
KKKKKK
KK
FFF
با ماتريس سختي هر يك از المانها توان به رابطه ماتريس سختي به دست آمده، با كمي دقت مي :پي برد
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
22
22
KKKK ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
11
11
KKKK
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−
−
22
2211
11
0
0
kkkkkk
kk
توان اند، مي رتي دلخواه قرار گرفتهگره در يك رديف به صو n اي از فنرها كه بين براي مجموعه
عدد روي قطر اصلي ماتريس سختي، سختي اصلي و عدد (روش زير تشكيل داد ماتريس سختي را به :)شود روي قطر فرعي، سختي فرعي ناميده مي
kii )در سطر): هاي روي قطر اصلي درايهiستون ،i حاصل جمع سختي اصلي المانهايي كه به گره ،I .گيرد ند، قرار ميشو منتهي مي
Kij )هايي كه روي قطر اصلي نيستند درايه :(در سطرi و ستونj )i#j (مع سختي فرعي حاصلجتوجه كنيد كه اتصال بايد مستقيم باشد و نه (گيرد قرار دارند، قرار مي jرة و گ iالمانهايي كه بين گرة .)به كمك المانهاي ديگر
.دست آوريد ماتريس سختي شكل مقابل را به: مثال
6- 1شكل
محاسبه بعضي از به عنوان مثال نحوة. ا تشكيل دهيمر 6-1خواهيم ماتريس سختي شكل مي: حل :نماييم ها را بررسي مي درايه
K13 =3و1هاي حاصلجمع سختي فرعي المانهاي بين گره :-k4 K12 =2و1هاي جمع سختي المانهاي بين گره حاصل:-k1-k2 :هايت ماتريس سختي بصورت زير خواهد بوددرن
⎥⎥⎥
⎦
⎤
+−−−++−−−−−++
4334
323121
421421
KKKKKKKKKKKKKKKK
به كمك . درآمده است 3×3گره در مدل، ماتريس بصورت 3 الزم به تذكر است كه به علت وجود
در اين . توان برخي مسائل يك بعدي مطرح شده در مقاومت مصالح را حل نمود همين شيوه مي شود كه به علت سادگي، حل كامل آن به خواننده واگذار مي قسمت به يكي از اين مسائل اشاره
.گرديده است
ني مطابق شكل تنيو 1000تيري به شكل مخروط ناقص با ابعاد مشخص شده، تحت يك نيروي :مثال مشخص گرديده است، محاسبه را كه مكان اوليه آن روي شكل Aجايي نقطه جابه .گيرد قرار مي 7- 1
.(E=200e7 Pa)نماييد
7- 1شكل
فنر يك توان تيرها را نيز به عنوان مي ،همانطوركه قبالً در اين فصل مورد اشاره قرار گرفت: حل د، تغيير سطح مقطع تير در طول آن ينجا ممكن است بصورت مشكل جلوه كنآنچه در ا. درنظر گرفت
تلف، براي هر قسمت يك توان پس از تقسيم تير به المانهاي مخ براي حل اين مشكل، مي. باشد مياگرچه اين فرض كمي خطا ايجاد . ها استفاده نمود و از آن در رابطه هسطح مقطع ميانگين درنظر گرفت
به عنوان مثال، . توان دقت را به ميزان الزم افزايش داد ها مي بندي نمايد، اما با افزايش تعداد تقسيم مياين است كه اگر طول در بندي تقسيمنوع مزيت اين. كنيم شكل را به پنج قسمت تقسيم مي
:ها منطبق خواهد شد بر يكي از گره Aها برابر فرض شود، نقطه بندي تقسيم
8- 1شكل
: و داريمi
ii L
EAk =
. گي ماتريس سختي كل سازه را تشكيل دهدتواند به ساد ها، خواننده مي Kiاكنون پس از محاسبه :ف ماتريس سختي، داريميبا توجه به تعر. باشد] k[ 6×6فرض كنيم ماتريس
]δ] [K]=[F[ گردند، تنها داخلي محسوب مي 5و 4و 3 و 2 هاي با درنظرگرفتن اينكه نيروهاي موجود در گره
باشد مي) 1( در محل اتصال به گرة العمل ديوار و عكس 6به گره وارد شده Fنيروهاي خارجي، نيروي :اكنون الزم است قيدهاي سيستم را بررسي نماييم. است Fكه مقدار آن
9- 1شكل
اگرچه . ايم نشان داده <با عالمتاين مقيد بودن را . را ندارد X توانايي حركت در راستاي) 1( گرةدر صورت دو بعدي بودن، مشابه همين مقيد كردن در ابعاد مسئله مورد بحث يك بعدي است، اما
استفاده ∆، از عالمت Yبراي مشخص كردن قيد دوم حركت در راستاي. ديگر نيز قابل انجام استتوان از تركيب نمادهاي فوق مي XYو براي مشخص كردن عدم حركت يك گره در صفحه گردد مي
.دهد اين عالئم را نشان مينحوه استفاده از 10-1شكل . استفاده نمودمشخص است تنها . پردازيم مي] δ[ به هر حال، پس از مشخص شدن قيدها به تعيين ماتريس
لذا . هاي ديگر امكان حركت وجود دارد و براي گره است) 1(ة اي كه امكان حركت ندارد گر گره :خواهيم داشت
10- 1شكل
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
1 0
δδδδδ
δδδδδδ
δ
:كه بصورت زير است Fتريس با توجه به ما
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
F
F
F
0000
]δ] [K]=[F: [داريم ]F [1 -]K] = [δ: [و يا
حل . قابل محاسبه خواهد بود -است Aجايي نقطه كه جابه 2δاز جمله - ها iδكه از معادله باال تمام .ن مثال براي خواننده مفيد خواهد بودعددي اي
اصلي المان محدود ويژگي 3-1
بحث قرار گرفتند، كامالً مشابه مسائل المان محدود بودند و به واقع اگرچه تمام مثالهايي كه تاكنون موردالمان "گردند كه هنوز حتي نام مي گيرند، اما از لحاظ قدمت، به زمانهايي باز هم در اين مجموعه جاي مي
- آنها استهاي مطرح شده نيز شامل كه بحث -ها زهروشهاي حل ماتريسي سا. مطرح نشده بود "محدودآنچه كه باعث توقف رشد اين شاخه گرديد، سرعت بسيار كم . اند از ديرباز، در ميان مهندسان، متداول بوده
پس از ساخت . العاده باالي محاسبات الزم براي تحليل به كمك اين روش بود انسان و حجم فوقكه ديگر چرا. بسيار باال، توقع مهندسان نيز از روشهاي حل تغيير كرده محاسبكامپيوترهايي با سرعتهاي
مشكل حجم و زمان محاسبات مطرح نبود و چيزي كه در درجه اول اهميت قرار گرفت ارائه روشي بود امكان قابل استفاده بوده و محاسبات آن تا حد -يا با حداقل تغيير- كه براي مسائل مختلف بدون تغيير
. از ويژگيهاي مثبت روش تحليل محسوب گرديد» تكراري بودن محاسبات« به اين ترتيب. اشدتكراري ببه همين دليل، روشهاي . در انجام اعمال تكراري نسبت به اعمال خالق، تواناتر بودند زيرا كامپيوترها
ر هم عددي هر روز بيشتر از روز گذشته توسعه يافتند و محدوديتهاي پيشين، يكي پس از ديگري دايد، اگرچه از قدرت بسياري در هاي آن را تا اينجا مشاهده نموده روشهاي ماتريسي كه نمونه. شكستند
شد، يعني بايد اجزاء پذير محدود مي تحليل مدلها برخوردار بودند، اما توانايي آنها به مدلهاي تفكيكين رياضي مشخص موجود بود شدند و براي عملكرد هر كدام قوان سيستم به سادگي از يكديگر جدا مي
به عنوان مثال، براي تحليل تنشهاي ايجادشده در مدلي . تا روشهاي مذكور بتوانند آنها را تحليل نمايند .، روشي وجود نداشت11- 1مشابه شكل
11- 1شكل
با فرض ( براي تحليل تنشهاي ايجادشده در يك تير تحت پيچش Courantآقاي 1943در سال را براي ... سعي كرد ماتريس سختي و آنها را به اجزاء مثلثي تقسيم نمود و) نان و اصل سنصادق بودن
اگرچه شايد بتوان كار وي را تولد المان محدود دانست ولي تا سال . هر يك از المانها محاسبه نمايدرسميت را بكار برد، هنوز اين روش "Finite Element"اي اصطالح در مقاله Clough كه آقاي 1960
بندي تقسيم"توان در با روشهاي پيش از آن را مي "المان محدود"لذا، وجه تمايز . چنداني نيافته بودتقريباً تمامي تحليلهاي المان محدود اوليه، در صنايع هوافضا به كار گرفته . دانست "محيط پيوسته
بدست آوردند و امروزه هاي مهندسي اما اين روشها به سرعت جايگاه خود را در تمامي شاخه. شدندبراي آشنايي بيشتر، در . شوند به عنوان يكي از مهمترين روشهاي تحليل مسائل پيچيده به كار گرفته مي
:اين قسمت مراحل انجام يك تحليل المان محدود، به اجمال معرفي شده استتوان انواع مختلفي اش، مي ه دهند براي هر سيستم، مطابق با اجزاء تشكيل: انتخاب المان مناسب - 1
اي توان آن را با مجموعه به عنوان مثال در تحليل يك سازه مي. از المانها را تعريف نمودتوان آن را به اجزاء اي، مي مدل كرد و يا براي تحليل يك مدل صفحه "فنر"و يا حتي "تير"ازالمانهاي
.شود ناميده مي (Meshing) "ديبن مش"بندي، اين تقسيم. هاي ديگر تقسيم نمود مثلثي يا چند ضلعير تمام اگرچه د. شودبندي، بايد ماتريس سختي هر المان محاسبه پس از انتخاب المان و مش - 2
كرد، ولي در تحليل ايي را بيان ميج ماتريس سختي رابطه بين نيرو و جابه مثالهاي كتاب تا اين قسمتي رابطه خطي را به يكديگر مربوط كند، ، دو كميت دارا"سختي"مدلهاي مختلف ممكن است ماتريس
به عنوان مثال اگر براي يك المان، . هرچند اين دو كميت از حوزه مقاومت مصالح كامالً به دور باشند :ها مشخص نمايد ماتريسي تشكيل شود كه رابطه بين دما و شار گرمايي را در گره
)1 -12( [q]=[K][T] براي آشنايي بيشتر خواننده با . شود ماتريس سختي ناميده مي سب، همچنانتناماتريس برقرار كننده
ك المان ماتريس سختي ينحوة محاسبه نحوه تشكيل ماتريس سختي، در قسمت بعدي اين فصل، .استمثلثي، بصورت كامل شرح داده شده
پس از محاسبه ماتريس سختي هر المان، نوبت به تركيب ماتريسها و تشكيل ماتريس سختي - 3خواننده در قسمت قبل، . شود گفته مي "تركيب" يا Assembling به اين مرحله. رسد مدل مي كل
.اي از اين عمليات را هنگام تحليل فنرهاي سري مشاهده نموده است ساده حالتپس از پايان اين . باشد ها و حل معادالت مي بارگذاري مرحله مهم بعد تعيين شرايط مرزي، - 4
.بهاي موردنظر را بررسي نمودتوان جوا مرحله، ميمستقيماً از حل گر هميشه، پارامترهاي موردنياز تحليل: (Postprocessings)پردازشهاي بعدي - 5
به عنوان مثال اگر پس از مطالعه تغيير شكلهاي ايجادشده .آيد معادالت حاكم بر سيستم به دست نميغييرات چگالي در تمام نقاط را بررسي كند، گر بخواهد ميزان ت در يك تير در اثر بارگذاري، تحليل
خود را محاسبه تغيير شكل، مجهولهي مورد نظر در تحليل بايست با استفاده از نتايج به دست آمده مي، نحوه در ادامه اين بخش. شود گفته مي Postprocessingيا "پردازشهاي بعدي"به چنين عملياتي. نمايد
روشقبل از بررسي . گيرد ي در صفحه، موردبحث قرار ميمحاسبه ماتريس سختي يك المان مثلث .رسد يح مطلب زير ضروري به نظر ميمحاسبه، توض
اي اي و روش تحليل كرنش صفحه تفاوت روش تحليل تنش صفحه 4-1
ناگزير داراي بعد "جسم "آل وجود ندارد و هر دانيد در واقعيت يك جسم دوبعدي ايده همچنانكه ميآن، روي پاسخ مسئله تحليل هاي دو بعدي، وجود بعد سوم و نوع لهنگام تحليل مد. سوم نيز مي باشد :گيرند معموالً يكي از دو فرض زير مورد استفاده قرار مي. تأثير مستقيم دارد
در امتداد عمود بر صفحه وجود ، τشود در اين روش، فرض مي: اي تنش صفحه فرض • .ندارد
:به عبارت ديگر 0=== xzyzzz ττσ
.هاي در صفحه اعمال شده به اجسام كم ضخامت، صادق است اين فرض براي بارگذاري
12- 1شكل
در امتداد عمود بر صفحه γو ε دشو ميدر اين روش فرض : اي فرض كرنش صفحه •
:يعني .وجود نداردzx=γzy= εzz=0γ
ي ضخامت زياد هستند ولي اين روش در تحليل مدلهايي كه در امتداد بعد سوم دارا سطح مقطع يك سد. گيرد كند، مورد استفاده قرار مي شكل و بارگذاري آنها تغيير نمي
.داراي چنين شرايطي است) 12-1مطابق شكل (
)اي حالت تنش صفحه( محاسبه ماتريس سختي يك المان مثلثي5-1نشان داده شده ) Xi,Yi(با iمارهمختصات گره ش. درنظر بگيريد 13- 1يك المان مثلثي را مطابق شكل
ره به وجود در هر گ) ui,vi(جايي شود و جابه وارد مي) (Fxi,Fyi نيروهاي iة فرض كنيد كه به گر. است .دو درجه آزادي در هر گره خواهد بود المان دارايبا اين تعريف . آيد مي
13- 1شكل
روند، كامالً جنبه بكار مي ن مثلثيمت براي محاسبه ماتريس سختي المامراحلي كه در اين قس در. توان از آنها براي محاسبه ماتريس سختي هر المان ديگري نيز استفاده نمود عمومي دارند و مي
شده در المان و تغيير مكان اي ميان نيروهاي ايجاد واقع حاصل اين فرايند، به دست آمدن رابطهزير به صورتي است كه در رابطة] k[ ي ماتريسها پيداكردن مولفه ،هدف. هاي آن خواهد بود گره
:نمايد صدق مي
)1 -13( [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
3
2
2
1
1
66
3
3
2
2
1
1
vuvuvu
K
FFFFFF
xij
y
x
y
x
y
x
:ترو يا بطور خالصه ]][[][ δkF =
جايي در تمام سطح المان خطي كه تغييرات جابهكنيم در محاسبه ماتريس سختي المان فرض مي :توان نوشت به اين ترتيب مي. باشد
)1 -14( ⎩
⎨⎧
++=++=
yxyxvyxyxu
654
321
),(),(
αααααα
1α 2,α جايي در اكنون با درنظرگرفتن شرايط جابه .دنب ثابتي هستند كه بايد محاسبه شوضراي... ودو معادله براي (توان شش معادله ، مي)xi,yi(با مختصات i در هر گره ui,vi ها، يعني مشخص بودن گرهصورت ماتريسي مجموعه معادالت مذكور . سبه نمودها را محا i αتشكيل داد و به كمك آنها )گرههر
:به صورت زير خواهد بود
)1 -15(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
10000001
10000001
10000001
αααααα
yxyx
yxyx
yxyx
vuvuvu
] :و يا ] [ ] [ ] 166616 ××× = αα A
.قابل محاسبه خواهد بود] A[با محاسبه وارون ماتريس ضرايب αپس مقادير
)1 -16( [ ] [ ] [ ] 16
166 ×
−×= δα A
در تمامي سطح المان تعيين v(x,y)و u(x,y)،1- 14، با توجه به رابطه]α[سپس از محاسبه ماتري
توان تنش و كرنش را طبق اكنون به كمك روابط تعريف شده در مقاومت مصالح، مي. گرديده است :هاي زير محاسبه نمود رابطه
)( 2321 ααααε =++∂∂
=∂∂
= yxxx
ux
6354 )( ααααε =++=
∂∂
=∂∂
= yxyy
vy
)()( 654321 yxx
yxyx
vyu
xy αααααα ++∂∂
+++∂∂
=∂∂
+∂∂
=
53 ααγ +=xy
اگر ماتريس كرنش بصورت ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
y
x
γεε
:توان نوشت درنظرگرفته شود، مي
)1 -17(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
010100100000000010
αααααα
εε
xy
y
x
:توان رابطه باال را بازنويسي نمود بصورت نمادين، مي)1 -18( [ ] [ ] [ ] 166313 ××× = αε C
:توان نشان داد كه ، مي16- 1طبق رلبطه] α[با جايگذاري
)1 -19( [ ] [ ] [ ] [ ] 161666313 ×
−××× = δε AC
:ه صورت زير تعريف نمودبرا ]β[ماتريس توان در اين مرحله مي)1 -20( [ ] [ ] [ ] 1
666363−××× = ACB
:داريممقاومت مصالح روابط از
EE
yxx
νσσε −=
Ev
Exy
yσσ
ε −=
xyxy
xy EGτυτ
γ )1(2 +==
:توان نوشت بصورت ماتريسي، مي
)1 -21( ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−
−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
y
x
xy
y
x
Ev
EEv
Ev
E
τσσ
εε
)1(200
01
01
:شود با معكوس نمودن اين رابطه، عبارت زير حاصل مي
)1 -22( ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
y
x
xy
y
x E
εεε
υυ
υ
υτσσ
2100
0101
1
:بصورت زير خواهد بود خالصه شده رابطة
]][[][ εσ D= كتاب با هدف در اين . نامند مي) Stiffness(ها ماتريس صلبيت را در برخي كتاب Dماتريس
ن، از اين نامگذاري پرهيز ابهام ميان ماتريس سختي ماده و ماتريس سختي المابروز جلوگيري از :وان نوشتت با تركيب روابط به دست آمده، مي. نماييم مي
)1 -23( [ ] [ ] [ ] [ ] 166333 ×××= ασ CD بايست از مي )zε=0(اي الزم به تذكر است كه براي تحليل المان محدود با فرض كرنش صفحه
:روابط زير استفاده گردد
EEEzyx
xυσυσσε −−=
EEE
zyxy
υσσυσε −+= 0=zε
xy
xyxy EG
τυτγ )1(2 +
== :توان نوشت اكنون مي
)1 -24( ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−+−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
xy
y
x
xy
y
x E εε
υυ
υυ
υυ
υυυ
τσσ
)1(22100
011
01
1
)21)(1()1(
:و يا
133313 ][][][ ××× = εσ D لت غيرهمسانگردو ماتريسها در حا ابط فوق مربوط به مواد همسانگرد هستندبديهي است، كليه رو
البته روند كلي هيچگونه تفاوتي با مسير طي شده در اين بخش نخواهد . تر خواهند بود كمي پيچيده نيرو تا رابطة شوندتنشهاي داخلي با بارهاي گرهي معادل، جايگزين بايست در اين مرحله مي. داشت
"كار مجازي" كار از اصل براي اين. تغييرمكان و به تبع آن، ماتريس سختي المان حاصل گردد ووارد Fi هاي يك جسم در تعادل استاتيكي نيروي طبق اين اصل، اگر به هر يك از گره. شود استفاده مي
داخلي انجام شده در كار ، اين كار با ميزان شودكار انجام Wشده و در مجموع روي جسم به اندازة :يعني. جسم توسط نيروهاي كرنش، برابر خواهد بود
)1 -25 ( ivol
n
iiextvol FWdW ∂=== ∫∫∫ ∑
=1int εσ
)1-26( [ ] [ ] [ ]{ [ ]} [ ][ ][ ]δδσεεσ == BDB TT :توان نوشت مي سازي انجام سادهپس از
= )1 -27(
dvol∫∫∫. توانند از زير انتگرال بيرون بيايند تمام ماتريسها ثابت هستند و مي dvolغير از :توان آن را به صورت زير محاسبه نمود برابر حجم المان خواهد بود كه مي هم
)28 -1(
)1 -28( tyxyxyx
Vol
33
22
11
111
21
=
با . ضخامت المان فرض شده است tدر عبارت اخير، مقدار دترمينان دو برابر مساحت مثلث و :توان نوشت توجه به تعريف ماتريس سختي اكنون مي
)1 -29 ( )](][[][][ VolBDBK T= در صورتي كه در هنگام تحليل المان . ماتريس سختي به دست آمد شود، همچنانكه مشاهده مي
:توان از رابطه زير استفاده نمود نش نياز باشد، ميت - محدود به بررسي رابطه تغيير مكان)1 -30( ]][][[][ δσ BD=
][]][[كه با فرض BDH :توان نوشت مي =][][][ δσ = H
كند؟ افزار المان محدود چه مي نرم6-1هاي مختلف علوم انجام هانگيزي كه در شاخ افزار المان محدود، به رغم تحليلهاي شگفت يك نرم
در واقع كاري جز حل يك معادل ديفرانسيل حاكم بر سيستم، در يك دامنه خاص و با شرايط دهد، ميتوان بصورت يك مجموعه تمام مسائل مربوط به مقاومت مصالح را مي. دهد مرزي معين انجام نمي
:معادل ديفرانسيل نمايش داد 0=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
ZYXxzxyxx σσσ
0=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
ZYXyzyyyx σσσ
∫∫∫ ∂vol
eT dvolBDB }]{]][[][[
y
x
y
x
y
x
FF
FF
FF
3
3
2
2
1
1
02 =
∂∂
+∂
∂+
∂∂
ZYXzzyxx σσσ
افزار المان محدود تنشهاي بوجود آمده در يك ميز را تحليل هنگامي كه نرمبه عنوان مثال، پس حل -به شكل يك ميز -اي از فضاي سه بعدي واقع دستگاه معادالت باال را در زيرمجموعه كند، در ميكنند، شرايط مرزي معادالت ز قرار دارند و به آن نيرو وارد ميها و لوازمي كه روي مي كتاب. كند مي
چه بيشتر از امكانات گر را در استفاده هر افزار المان محدود، تحليل درك عملكرد نرم. مذكور هستندرغم ظاهر توان نام برد كه علي هاي طبيعت را مي بسياري از پديده. كند افزارهايي كمك مي چنين نرم
به عنوان مثال تغيير شكل يك تير يك سر درگير . كنند ك نوع معادله ديفرانسيل تبعيت ميمتفاوت، از يهاي خنك كننده يك رادياتور، در انتقال كند كه پره اي تبعيت مي در اثر بارگذاري جانبي، از معادله
ده معادالت كنن افزار المان محدود به عنوان حل درك عميق كاربر از نرم. كنند حرارت از آن تبعيت ميافزار در كند تا كاربر بتواند از نرم كمك مي-...و ها كننده تيرها و صفحه و نه به عنوان تحليل -ديفرانسيل
ر فصل مربوط د .هاي به ظاهر كامالً متفاوت ولي داراي يكنوع معادالت ديفرانسيل، استفاده نمايد حوزه .به بررسي بيشتر اين مقوله خواهيم پرداخت به آنالوژي،
روشهاي باقيمانده وزني در تحليل مسائل المان محدود 7-1
02فرض كنيد بايد معادله
2
=++ cdxdub
dxud اي از با شرايط مرزي معيني در زيرمجموعه R2 حل
Finite) از جمله مي توان روش تفاضل محدود. روشهاي متعددي براي اينكار وجود دارد. گردد
Difference) فرض . باشد اما روشي كه موردنظر است، تحليل المان محدود اين معادله مي .را نام برددقيقاً جواب معادله بود مقدار عبارت ~u) 0(اگر . نشان داده شود ~u)x(كنيد جواب تقريبي معادله با
cdxudb
dxuda ++
~~2
2
تقريبي است مقدار عبارت اخير صفر شد، ولي چون اين جواب صفر مي : توان نوشت لذا مي. شود نمي
)(~~
2
2
xRcdxudb
dxuda =++
كامالً بستگي به دقت شود ميناميده )Residual term( "جمله باقيمانده"كه R(x)مقدار عبارت )(~ xu در تخمين زدنu(x) توان صورت مسئله را عوض كرد مياكنون . جواب واقعي معادله دارد :)(~ xu را طوري بيابيد كهR(x) روشهاي متعددي . در عبارت باال تا حد امكان به صفر نزديك باشد
.شود ح داده ميمطلب با يك مثال شر ،براي درك بهتر .براي اينكار وجود دارد~)(1)1(فرض كنيد −+= xxxu تر شدن، براي كلي .چنين جوابي باشد
~)(1)1(عبارت −+= xxxu α گيريم كه به ازاء هر مقدار دلخواه را درنظرميα شرايط مرزي را ، .نمايد ارضا مي
1)12(1221~~
2
2
)( −+=−−+=−+= xxdxud
dxudR x αααα
نزديك بودن به در اينجا الزم است تعريفي براي . در تمام نقاط صفر نيست R(x)واضح است كه نقطه را انتخاب نموده و n تعداد]) 1,0([ توان از بازه موردبحث وان مثال ميبه عن. ارائه نمائيم صفرR(x) را در آن نقاط برابر صفر قرار داد:
R(xi)=0 i=1,2,…,n
12جواب معادله : مثال
2
=+ udx
ud 1)1()0(را طوري به دست آوريد كه رابطه uu برقرار == .باشد)(هدف محاسبه. نويسيم صورت معادله را به شكل موردنظر مي: حل
~xu به صورتي است كه
1~~2
2
)( −+= udx
udR x
ابتدا بايد سعي نمود جوابي حدس زده شود كه شرايط مرزي را . تا حد امكان به صفر نزديك باشدتواند از تعداد ثوابت نمي n معادله سازگار، عددبديهي است براي دست يافتن به تعدادي . ارضا كند
روش ديگري . گويند مي Collection Methodبه اين روش، . ايم بيشتر باشد قرار داده ~uاختياري كه در~)(توان پيشنهاد نمود، پيدا كردن كه مي xu بصورتي است كه∫ dxxR در مورد مثال . ر شودصف )( :داريم
∫ =−+1
0
0]1)12([ dxxα
][ 0)( 10
2 =−+ xxxα
022 =−α
21
=α
)1( :پس211~
)( −+= xu x
∫مشكل روش مطرح شده در اين است كه با درنظرگرقتن اينكه از = 0)( dxxR تنها يك معادلهبيشتر از يك ثابت دلخواه تعيين نمود و طبيعتاً اين ،توان در جواب فرض اوليه گردد، نمي حاصل مي
:به عنوان مثال با فرض. كاهد محدوديت از دقت پاسخ تقريبي مي ...)1()1(1)(~ 2
22
1 +−+−+= xxxxxu αα,...,روش مذكور قادر به محاسبه مقادير 21 ααنيست.
~)(فرض كنيد. هاي وزني اين مشكل را حل نموده است روش باقيمانده xu داراي12پارامترهاي ,,..., αααn12توان توابع مشخص وزني مي. باشد ,,..., wwwn درنظر گرفت و را
iαهرا طوري تعيين نمود ك:
0)(
~=∫ dxuW x
b
a i
آيد و مذكور بدست مي معادله به كمك رابطة nتعريف شده، لذا wi عدد nچون 12 ,,..., αααnبراي تعيين. ابل محاسبه استقiw ها روشهاي مختلفي مطرح گرديده است كه هر
در اين قسمت به روش . باشند دارا مي هاي ويژه خود را كدام مزايا و معايب خاص خود و قابليت iwها به عنوانiαهاي ضرب شده در در اين روش عبارت. شود پرداخته مي) Galerkin(گالركين
xعنوان مثال دربه . شوند فرض مي )1(1)(~)1( −+=−= xxux،xw αدر يا باشد و مي ~)(1)1()1( عبارت 2
21 xxxxxu −+−+= ααشود كه فرض مي: )1(1 xxw −= ،)1(2
2 xxw −= :براي حل همان مسئله به روش گالركين خواهيم داشت
)1(1)(~ −+= xxxu α )1(1 −= xxw ∫ =
1
00)( dxxWR
⎡ ⎤ 01)12()1(1
0=−+−∫ dxxx α
:آيدبنابراين به دست مي85
=α
:در نتيجه داريم)1(
851)(~ −+= xxxu
:از روشهاي متداول بسيار ساده است و داريمپاسخ دقيق در اين مثال خاص، محاسبة101)( ≤≤ = xxU
از روشهاي حل عددي بدون افزايش مرتبه دقت، چندان مفيد همانگونه كه مشاهده نموديد، استفاده .گردد مشاهده مي6/15%و 5/12%اي به دست آمده خطايه نيست و در پاسخ
روش گالركين در تحليل مسائل يك بعدي 1-7-1
در اين بخش به بررسي نحوه استفاده از روش گالركين در تحليل مدلهاي يك بعدي كه معادله دليل اول به اهميت اين بحث، در درجة. شود ه ميديفرانسيل حاكم برآنها از مرتبه دو است، پرداخت
ةايجاد يك شهود قوي براي خواننده در زمينه نحوه تحليل المان محدود مسائل كاربردي و در درج :را درنظر بگيريد 31- 1معادله . باشد روش گالركين مي اي متفاوت از دوم، آشنايي با شيوه كاربرد گونه
)1 -31( 0)( )()()( =−+−
xxx qcdxdua
dxdu
:ورت زير باشدكنيم شرايط مرزي به ص همچنين فرض مي
)(@,)0( 0)(0 Lxqdxduauu x ===
14- 1شكل
متغير ثانويه (Q.) منبع(q) a متغير اوليه
(u) حوزه علمي
بار جانبي نيروي محوري توزيع شده
كشش در كابل
تغير شكل تغير شكل عرضي كابل عرضي
اصطالك در نيروي محوري سطح ميله
EA
ي يك ميلهتغير شكل محور تغير شكل طولي
انتقال حرارت دما K توليد انرژي انرژي
دبيمنبع جرياننقطه اي
μ )0معموالً(π128
4D جريان در لوله ها فشار هيدروليكي
گراديان تنش محوريجريان آرام تراكم ناپذير در كانال سرعت ويسكوزيته فشار
باز با گراديان فشار ثابت حركت جريان در محيط متخلخل هر سيالضريب شار سيال شار
بورع
ضريب دي چگالي بار شار الكتريكي الكتريك
V
الكتروستاتيك
در يك بعد 2مثالهايي از كاربرد معادله مرتبه):1-1(جدول
توان انتقال حرارت به طريق كه از جمله آنها مي شود هاي متعددي مطرح مي در زمينه 31- 1 معادلةها، تغيير ها و لوله جريان سيال در كانال ،)…در يك ديوار يا فين يا( رارت همرفترسانايي، انتقال ح كاربرهايبرخي از ) 1- 1( در جدول. ها و تغيير شكل محوري تيرها را نام برد شكل عرضي كابل
. است ي شدهآنها معرف متغيرهايمعادله مذكور، همراه با بندي المان محدود مربوط به حالت اضي و مشدياگرام فيزيكي، مدل ري 14- 1همچنين در شكل
.شود تغيير شكل محوري تيرها مالحظه مي حل المان محدود معادله ديفرانسيل درجه دوم يك بعدي 1-7-2
، تقريب مناسبي براي پاسخ معادله iبايد طوري تعيين شود كه در هر المان ~iu، 31- 1براي حل معادلة - قسمت nمحدود است به ] [L,0همچنان كه قبالً بيان شد، دامنه معادله كه به بازه. باشدديفرانسيل
با eام المان j در گره uهمچنين فرض كنيد، مقدار. تقسيم شده است-مساوي يا نامساويeju نمايش
~euمان لدر المان محدود، معموالً سعي بر آن است كه براي هر ا. داده شود :فرم زير نوشته شود به
)1 -32( )(1
xm
j
eju e
je u ψ∑
==
eبه jψ ،توابع شكل، در بخش بعدي اين فصل، به صورت . شود تابع شكل يا تابع تقريب گفته مي
يابد، پايان مي xBدر شود و آغاز مي xAبراي هر المان كه از نقطه. كامل مورد بررسي قرار خواهند گرفت :رابطه زير صادق است
)1 -33( ∫ =−+−
0)](~([~
)( dxxguCdx
udadxdw xx
xx
B
A
برابر باشد، ضريب uدقيقاً با ~uانتگرال باال در واقع همان نتيجه روش باقيمانده وزني است و اگر uكه تقريبي از ~uاز uرابطه باال به جاي از آنجه كه در . متحد با صفر خواهد شد w)(تابع وزن
كردن اين قيد، از براي ساده. كند است استفاده شده، استفاده از توابع دو بار مشتق پذير را الزامي مي :گردد روش زير استفاده مي
به مشتق مرتبه اول، تبديل از معادالت حذف شود و ~uسعي بر آن است كه مشتق درجه دوم ن فرم، روش گالركين تغيير يافته يف شده و به حل گالركين به كمك ايحاصل فرم ضع ةبه معادل. شود
با درنظرگرفتن رابطة. شود گفته مي
)1 -34( udxdvv
dxdu
dxuvd
+=)(
:توان رابطه زير را نوشت مي
)1 -35( dxdudxdwa
dxdua
dxdw
dxduwa
dxd /)()( −−=
−
پخش شده است و در طرف راست رابطه، مشتق باالتر از wو u، بين uتق دومدر رابطه باال مش :توان نوشت اكنون مي. وجود ندارد 1مرتبه
)1 -36( =− ∫ dxdxdua
dxdW
xx
A
B )]([
∫ ∫ ∫+−=+ dx
dxdu
dxdwa
dxduwadx
dxdu
dxdwadx
dxduwa B
A
B
A
B
A
B
A
xx
xx
xx
xx ][)(
:بازنويسي كرد) 37- 1(طه زيرباقيمانده وزني را به صورت راب توان معادلة با استفاده از رابطه باال، مي
dx
dxduaw
dxduawdxwqcwu
dxdu
dxdwa
AABB
B
Axxxx
x
x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −− ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+= ∫ )()( )()(
همانطور كه در عبارت اخير، كامالً واضح است، مشخص بودن مقدارdxdua در شرايط مرزي
گيرد و نيازي به وارد كردن شرايط مرزي پس از خود در معادله باال قرار شود، اين قيد خودبه باعث ميمتغيرهاي ثانويه گيرند، قرار مي wهايي كه ضريب به عبارت. جواب عمومي نباشدبه دست آمدن
بحث در معادله مورد. گويند ميdxdua Qتعريف. دهيم نشان مي Qناميم و آن را با متغير ثانويه ميرا
:باشد زير مي براي يك المان نمونه با دو گره به صورت) متغير ثانويه( )(2 dx
duaQ e = dxduaQ e −=1
(Free Body Diagram)ا با تجسم دياگرام پيكربندي آزاد تواند معني فيزيكي اين تعريف ر خواننده مي
راي راحتي تحليل، ب( ها را به عنوان نيروهاي كششي وارد بر آن درك نمايد Qiلمان و فرض كردن اتقريب زدن ،مرحله بعدي .)اند به صورت قراردادي، رو به سمت راست، مثبت فرض شده ها Qiة هم
:اي بايد داراي خواص زير باشد اين چندجمله. اي است پاسخ با يك چندجملهفرم تضعيف بر اساس كه ( در طول المان پيوسته بوده و به ميزان موردنيازآن جواب تقريبي -
.مشتق پذير باشد) شود مشخص ميمعادله شده u، باشد تا بتواند هر گونه تغييرات Xيعني داراي تمام توانهاي . اي بايد كامل باشد چندجمله -
شود، استفاده مي 2به عنوان مثال اگر از تقريب درجه ( را مدل نمايد2وxa1و0aهاي جمله
2xa حتماً موجود بوده وai ها مخالف صفر باشند.
مقدار ( يابي نمايد هاي المان درون را در كليه گره ui مقاديربايست مورد نظر مياي چندجمله - .)برابر باشد uiآن در هر گره با مقدار
:اي درجه يك زير را درنظر بگيريد ترين تقريب، چندجمله به عنوان ساده)1 -38( bxaue += e
x
ee
x
e uuuuBA
21 , = = :توان به صورت ماتريسي زير نوشت دو شرط اخير را مي
Abxau e +=1
)1 -39( B
e bxau +=2
⎥يا⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎭⎬⎫
ba
xx
uu
B
Ae
e
11
2
1
:داريم ueاز حل معادالت باال و جايگزيني آنها در تعريف )1 -40( e
AB
Ae
AB
Beeeew
e uxxxxu
xxxxuuxu 212211 )(
−−
+−−
=+= ψψ
همانطور كه قبالً بيان شد، به ضرايبAB
B
xxxx
−و−
AB
A
xxxx
−) shape Function(توابع شكل−
x)( .اين توابع در قسمت بعدي اين فصل، بررسي خواهند شد. گويند ميeu كه هنگام بحث در مورد
تر با اكنون در حالت عمومي. يش داديم، تقريبي از پاسخ استنما ~uآن را با ةمعادل ،صورت انتگراليبا درنظرگرفتن اينكه در روش )است 2در اين مثال برابر n( گره است nفرض اينكه المان داراي
:توان نوشت شوند، مي انتخاب مي w)(گالركين، ضرايب پارامترهاي مجهول به عنوان تابع وزن)1 -41( )()( xx e
ii ψω =
. ها معادله گالركين را بازنويسي نمودiωتوان هر بار با انتخاب يكي از گره مي nبراي يك المان با :معادله به صورت زير ايجاد خواهد شد nدستگاهي شامل پس
∫ −−+∑ ∑=
∑=
= ej
ej
n
j
eeej
n
j
ej
eeie
jdxd
a QxdxqxuCdx
du
n
exx
B
A )(]))(()1
111
1([ 1 ψψψψψψ
...
)42 -1( ej
e
j
n
j
e
n
en
ej
en
ej
nej
enx
x QdxqxejC
dxd
udx
da xuB
A)(])(()([0
1∫ ∑∑
=
− −∑+= ψψψψψψ
:توان به صورت زير بازنويسي كرد را مي 42- 1دستگاه
∑ = = −−n
ei
ei
ej
eij niQFuk ),...,2,1(0
∫ كه در آن += dxCdx
ddx
daK e
jei
ei
eix
xeij
B
A)( ψψ
ψψ
)1 -43( ∫= dxqF ei
xx
ei
B
Aψ
eبا استفاده از ضرايب ijKوe
iFجدداً نوشتتوان دستگاه را به صورت زير م مي:
)1 -44(
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
en
e
e
en
e
e
en
e
e
nnn Q
F
FF
u
uu
KK
KKK
2
1
2
1
2
1
1
21
1212
.........
...
نيروهاي نشاندهندة ] Q[ماتريس نيروهاي گسترده و نشاندهندة ] F[ماتريس هاي باال در عبارتدقت . توان به عنوان ماتريس سختي حاصل از روش گالركين درنظرگرفت را مي Kو استمتمركز
هاي زير نيز به مجموعه معادالت اضافه شرط. است متقارن K، ماتريس Kijكنيد كه با توجه به تعريف :شود مي
:شرط پيوستگي متغير اوليه- 1
11
+= een uu
كه بر گره ( با مقدار آن در اولين گره المان مجاور eيعني مقدار متغير اوليه در آخرين گره المان .برابر است )منطبق است eالمانآخر
)نيروها(تعادل متغيرهاي ثانويه- 2
.وجود نداشته باشد)منبع خارجي(اگر نيروي خارجي: صفر Q0 : اگر منبع خارجيQ0 موجود باشد.
{01 0Qee
n QQ =+
با فرضe
een Uuu == +1
1
:توان نوشت اي براي كل مدل مي براي المانهاي دوگره
=
+
+
+
−
E
EE
EEE
u
uu
KK
KKK
KKK
KKKK
KK
.
.
.2
1
2221
12111
32
311
222
221
212
211
122
221
112
111
)45 -1(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
−
EE
EE
Q
QQQQ
Q
fff
ffff
f
2
31
22
21
12
11
2
11
2
31
22
21
12
11
......
گفته )Assembled Model Equations(به دستگاه معادالت اخير، سيستم معادالت مدل سرهم شدهاي كه محاسبه ماتريس سمت چپ آمده است براي خواننده jوi اعدادي كه در سطرهاي . شود مي
هاي قبل مطالعه نموده است، مطلب جديدي براي مجموعه فنرهاي يك بعدي را در قسمت Kماتريس .نيست
مقايسه نتايج روش اخير با حل دقيق 1-7-3 يكي از كاربردهاي معادلة
0)( =−+− kCudxdua
dxd
:باشد خنك كننده يك ديوار مي ةتحليل توزيع دما در پر q
drdTkr
drd
rππ 2)2(1
=−
)46 -1( 00 )(@ TRT = , 0)0(@2 =
drdtkrπ
مقايسه يق و روش المان محدود با درنظرگرفتن مقادير زير، پاسخ روش حل دق، 2-1در جدول .گرديده است جواب دقيق
350.00 346.09 334.38 314.84 287.50 252.34 209.38 158.59 100.00
هشت المان
352.63 347.42 335.27 315.48 287.95 252.65 209.56 158.68 100.00
چهار المان
358.73 348.31 337.90
313.59 289.29
249.70 210.12 155.06 100.00
دو المان
377.78 356.24 335.11 315.28 249.44 254.83 197.22 148.61 100.00
يك المان
433.33 391.67 350.00 308.33 266.67 225.00 183.33 141.67 100.00
RS
0
0,125 0.250 0.375 0.500 6.625 0.750 0.875 0.000
)2-1(جدول .اند شده گرديده و تنها براي مقايسه ذكريابي خطي محاسبه به وسيله درون برخي از اعداد
براي المان هاي يك بعدي) Shape Function(توابع شكل 8-1همچنين راجع به . هاي يك بعدي معرفي خواهند شد در اين قسمت توابع شكل مربوط به المان
تا بحث خواهيم نمود )Local Coordinate Variables(ها ي براي المانهاي مختصات محل دستگاهتا حدي هم به كاربردهاي توابع . توابع شكل را داشته باشد خواننده توانايي درك صورت استاندارد
گيري بهره ايهدف از تدوين اين بخش آشنايي خواننده با مفهوم اين توابع بر. شكل خواهيم پرداختارائه ANSYSافزار راهنماي كاملي همراه نرمالبته .باشد افزارهاي المان محدود مي ات نرمبيشتر از امكان
.دهد امل ارائه ميهاي مختلف را با جزئيات ك ست كه فرم رياضي توابع شكل الماناشده
بندي يك ناحيه به تعدادي المان تقسيم 1-8-1 هاي كوچكتر دود، يك ناحيه به بازهبه كمك روش المان مح در حل مسائل مقدار مرزي يك بعدي
.)را مالحظه نماييد 1- 15شكل( شود تقسيم مي
15- 1شكل
اشاره شد، گره ناميده نيز همچنانكه قبالً شوند، مييا به آنها ختم كه المانها در آنها آغاز شده نقاطي
همچنانكه در . اند گذاري شده رهشما 7 تا 1ها با ارقام و گره[] با عالمت ها در شكل باال المان .شوند ميو انتخاب طول مناسب . وجود ندارد ها بودن طول المان شود، اجباري در برابر مشاهده مي 15-1شكل
اي كه مناسب است در ناحيه. باشد مي xu)(براي هر المان، تابع ميزان تغييرات متغير مجهولهاي بيشتري بوجود آمده و جواب در ها كوچكتر باشد تا گره سريعتر است، طول المان u(x)تغييرات
كند، مناسب همچنين در نقاطي كه يكي از پارامترهاي سيستم تغيير مي. نقاط بيشتري محاسبه گردد، كند ميتغيير ) مثل قطر يك ميله( بعالوه در نقاطي كه يك پارامتر. است المانها كوچكتر انتخاب شوند
.ود داشته باشدحتماً بايد يك گره وجدر اين u(x)هنگامي كه تنها در ابتدا و انتهاي المان، گره قرار داده شود، با فرض داشتن مقادير
به چنين المانهايي المان درجه . را خطي فرض نمود u(x)ها، به ناچار در طول المان بايد تغييرات گره) گره در وسط و دو گره در دو انتها مثالً يك(توان براي يك المان بيش از دو گره مي. گويند يك مي
را در طول المان xu)(توان تغييرات گره وجود داشته باشد مي n اگر در يك المان. تعريف نمودنين چبه . بيان نمود n-1اي از درجه ها، به كمك يك چند جمله در محل گره u(x)برحسب مقادير
بندي فضاهاي دو و سه بعدي ممكن است از چند در مش. ويندگ مي n-1هايي، المان از درجه المانهاي هاي مثلثي و قسمت مثالً قسمتي از يك صفحه با المان. المان مختلف در يك مدل استفاده شود
.بندي گردد ديگر با المانهاي مربعي، مش
ها گذاري گره روشهاي مختلف شماره 1-8-2
از آنجا كه حوزه حل يك مسئله، به تعدادي گره . استبراي يك گره، دو نوع شماره گذاري موجود در به عنوان مثال، . گذاري كرد شماره ها را از يك تا آخرين گره موجود تقسيم شده مي توان گره
به اين نوع . شماره گذاري نمود 7تا 1گره وجود دارد مي توان آنها را به ترتيب از 7كه 1- 15شكلهنگام تحليل معادالت حاكم بر هر المان و ساير . گويند مي گذاري، شماره گذاري سراسري شماره
مستقل –هاي هر المان گيرد، روش بهتر اين است كه گره عملياتي كه روي هر يك از المانها انجام ميلذا روي هم رفته به هر گره دو شماره تعلق . گذاري شوند شماره - از موقعيت خود در كل مدل
ديگري عددي كه كند و موقعيت آن گره را در المان مشخص مي اي كه يكي شماره. خواهدگرفت .نمايد مدل تعيين مي هاي موجود در موقعيت گره را در ميان ساير گره
معرفي توابع شكل براي يك المان خطي 1-8-3
بيان شده است، در يك المان خطي يك بعدي، تنها دو گره، در ابتدا و انتهاي المان همچنانكه بارها1با 1را در گره شماره ~uدارند و درصورتيكه مقدارقرار
~u 2با 2و در گره شماره~u با نشان دهيم ،
:توان نوشت ها مي اين گره براي 2xو1xفرض مختصات
)1 -47( 2
12
21
12
1 ~~)( uxxxx
uxxxx
xu−
−+
−
−=
16- 1شكل
:به صورت زير تعريف شوند L2و L1اگر
L
xxxxxxxL −
=−−
= 2
12
21 )(
)1 -48( L
xxxxxxxL 1
12
12 )( −
=−−
=
2211 :توان نوشت مي ~)(~)(~ uxLuxLu +=
، توابع درونياب خطي و يا توابع شكل خطي L2و L1به. كند اين رابطه را دقيقاً بيان مي 17- 1شكل .شود ميگفته
17- 1شكل
خواص توابع شكل 1-8-4
:گردد به سادگي مشخص مي L2(x)و L1(x)با توجه به تعريف
1)( 11 = xL 0)( 11 =xL 0)( 11 = xL 1)( 22 =xL
خواص . مينامند 2را تابع شكل گره L2و 1را تابع شكل گره L1درنظر گرفتن اين مقادير، معموالً با :كنيم را مرور ميمتعددي براي توابع درونيابي خطي وجود دارد كه در اين قسمت تعدادي از آنها
21براي ) الف xxx <<1)()( 21 =+ xLxLxxLxxLx )ب =+ )()( 2111
)()(0 )ج 21 =+dx
xdLdx
xdL
ات محلي در المان هامختص 1-8-5
:هنگام تحليل مدلهاي المان محدود، انتگرالهايي نظير
∫ dxdx
xdLdx
xdL .)(.)( 21 ∫ dxxLxL )()( 21
اگرچه در مورد المانهاي خطي، محاسبه اين انتگرالها نسبتاً ساده است، اما براي . شود بسيار ديده ميساده عمومي براي محاسبه چنين انتگرالهايي مناسب است يك روش ،تعميم روش توابع مشكل خطي
كه به آن Local Coordinate Systemبه همين منظور مختصات محلي يا. گيرد مورد استفاده قرار و طول آن x1اگر مبدأ دستگاه مختصات را در . شود گويند، تعريف مي لماني هم ميدستگاه مختصات ا
:تعريف كنيم خواهيم داشت x2-x1را برابر
18- 1شكل
)1 -49( ,
1212 0)(,1)(
xxxxx−
=→= = ξξξ
و استمفيد ξروش ديگري نيز براي تعريف .باشد جديد موردنظر مي مختصات ξ، 49- 1در رابطة .باشد آن فرض نمودن مبدأ مختصات در وسط المان مي
19- 1شكل
:بازنويسي نمودتوان به صورت زير طبق اين تعريف توابع درونيابي خطي را مي)1 -50( )1(
21)(1 ξξ −=L , )1(
21)(2 ξξ +=L
:توان محاسبه كرد و به سادگي مي)1 -51( )()( 2211 ξξ LxLxx +=
:به عنوان مثال . توان انتگرالهاي مختلف موردنظر را محاسبه نمود اكنون مي
∫ ∫∫ ==21)()( 2
1
2
1 ξξ
ξ dddxLdxxL
31])1([
241)1(
41 1
132 =−−=− +
−ξξξ d
:گيري مشابه و با انجام انتگرالي)1 -52( ∫ =
31)(2
2 dxxL
:انجام داد]) -1 ,1[روي بازه(محاسبات را توان همين همچنين براي انتگرال دوم مي
)1 -53( ∫∫ ∫ ==81)()(
21)()( 2121 ξξξ dLLdxxLxL
61)1( 2 =− ξξ d
.اكنون محاسبات پيچيده گذشته، به سادگي قابل انجام هستند
:مثال∫فرض كنيد الزم است dxu x)(
:با توجه به اينكه. نماييم را محاسبه2 )()()( 2211 xLuxLuxu +=
:توان نوشت باشند، ،مي در ابتدا و انتهاي المان مي uمقادير u2 , u1كه در آن ∫∫∫ +=++=+ dxLudxLLuuLuLudxLuLu 2
12
121212
22
22
1
2
1
2
2211 انتگرال= ][)2(
∫∫ ++=++=+ ][31
612
312 21
22
2121
223
1212121
22
22 uuuuuuuudxLLuuLu
.شود اين روش در المانهاي مرتبه باالتر بهتر مشخص ميسادگي
2المانهاي درجه 1-8-6از يك u، الماني است كه در آن براي تقريب زدن تغييرات كميت مجهول 2يك المان درجه
:شود استفاده مي 2اي درجه ندجملهچ)1 -54( 2
210)(~ xaxaaxu ++= 21 xxx ⟨⟨اكنون نيز هم. ها استفاده شد در طول المان از مقادير آن در گره uكه براي تعريف تغييرات همانطور
~)(از همان روش براي تعيين مقدار xu بايست سه گره تعريف ولي اين مرتبه مي. شود استفاده مي، نتيجه زير حاصل شودي شده است استفاده گير كه نسبت به گره اندازه ′xاگر از مختصات. شود :شود مي
)1 -55( 2321
~ xxu ′+′+= ααα با درنظرگرفتن روابط
)1 -56(
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
==
==
′
′
′
3
~
2
~
1
~
1
21
0
uu
uu
uu
x
x
x
:آيد به دست مي
)1 -57( ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=
++=
=
3213
22212
11
)21(
21
ααα
ααα
α
u
u
u
:توان به سادگي به دست آورد توابع شكل درجه دو را اين بار هم مي)1 -58( 332211 )()()(~ uxQuxQuxQu ′+′+′=
:كه در آن)1 -59(
)1
1)(1
21()(1xxxQ′
−′
−=′
)1
1(1
4)(2xxxQ′
−′
=′
)11
2(1
)(3 −′′
=′ xxxQ
:تواند برقراري روابط زير را آزمايش نمايد مجدداً خواننده به سادگي مي)1 -60(
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = =
=′ 1,0'11
1',21'3,20)(1
xNodeat
xxNodeatxQ
)1 -61(
⎩⎨⎧
=′xNodeat
NodeatxQ
13,10
)(2 )1 -62(
⎩⎨⎧
=′ 31
2,10)(3 Nodeat
NodeatxQ
)1 -63( 10 ≤≤ x 1)()()( 321 =′+′+′ xQxQxQ ξ با استفاده از. شود تعريف مي )16-1(مانند حالت يك بعدي مطابق شكلξ روابط زير به دست :آيد مي
)1 -64( )1)(1()(2 ξξξ −+=Q
)1(2
)(1 −= ξξξQ
)1(
2)(3 ξξξ +=Q
:توان نوشت رسم شده است و مي 20-1در شكل Q3و Q2و Q1 نمودارهاي 332211 )()()(~ uQuQuQu ξξξ ++=
20- 1شكل
روش ديگري براي پيدا كردن توابع درونيابي 7-8-1ديگري نيز ر درجةهدرونيابي درجه اول و دوم به كار رفت براي اگرچه روشي كه براي محاسبه تابع
را دراين قسمت، روش ديگري . شود ميتر ها پيچيده Qiباشد، اما محاسبات مربوط به قابل تعميم مي 2ه توابع درونيابي درجهيك بار ديگر ب. كه به سادگي به درجات باالتر قابل تعميم است كنيم ميمطرح
:عنوان مثالبه .توجه كنيد )1(
2)(1 −= ξξξQ
1)(به فرض . باشد و در نقاط ديگر صفر مي 1برابر iدر گره Qi همچنانكه اشاره شد مقدار ξQ در گرة بايست برابر مي) 3و2هاي گره( ξ=0و ξ=1بايد برابر يك بوده و در ) ξ=−1( شماره يك
به صورت Q1پس اگر . فر باشدص)1 -66( ⋅×⋅×⋅×= )()()(1 ξξξ GFQ
1)(هاي رحتماً بايد يكي از فاكتوفرض شود، ξQ1در=ξپس . صفر شود: )1 -67( 1)( −= ξξF
1)(شد تاهمچنين فاكتور ديگري بايد موجود با ξQ0را در=ξ ،پس.دصفر نماي: )1 -68( ξξ =)(G
n، هر يك خود از درجه nماند، تنها دقت به اين نكته است كه توابع شكل درجه آنچه باقي مي1)(لذا از محاسبه. باشد 2بايد درجه Q1پس. هستند ξQ تنها تعيين يك ضريب باقي مانده است .اي نها در يكديگر يك چندجملهآپس از ضرب شدن و هستنداز درجه يك ξF)(و ξG)(كه چرا
.گردد حاصل مي 2درجه )1 -69( )1()(1 −= ξξKxQ
ξ│)(1=−=11تنها الزم است از فرض Kبراي محاسبه ξQاستفاده شود:
21
=K
)70-1(پس )1(
21)(1 −= ξξξQ
.قابل تعميم است اي اين روش براي هر درجه
.محاسبه نماييد 4را براي يك المان درجه "توابع شكل"يكي از :مثال
21- 1شكل
2)( خواهيم فرض كنيد مي: حل ξQرا حساب كنيم
)()()()()(2 ξξξξξ IHGKFQ = 1)1()(01 +=−−→→=−= ξξξξ F )(ξF ξξξ ξ =→== )(0)( 0 GG
21)(0)(
21 −=→=
=ξξξ
ξHH
1)(0)( 1 −=→== ξξξ ξ II
1از آنجا كه
212 )( =
−=ξξQ:
1)1)(1)(
21)((
21 =+−−
−=ξξξξξK
381)
21)(
23)(1)(
21( −
=⇒=−
−− KK
: پس
ξξξξξ )1)(1)(
21(
38)(2 +−−−=Q