Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
![Page 1: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/1.jpg)
LOGO
Заместитель декана ФПМИ БГУ по
профориентации и дополнительному образованию,
директор конкурса БелЮниор
Б.В. Задворный
Система поиска и дополнительного образования будущих ученых и ее реализация в системе интеллектуальных мероприятий:
От идеи к исследованиюОт идеи к исследованию
![Page 2: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/2.jpg)
5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс 1 курс
2 курс
3 курс
4 курс
Постоянно действую-щие
мероприя-тия
Школы юных математиков и информатиков: Очная форма обученияи школа юного ученого Постоянно действующие сборы !!! Очно-заочная форма обучения и дистанционное обучение
Дополнительные спецкурсы, семинары для студентов
Научный (проблемный) семинар школьников ← педагогический практикум на учебных сборах и пр.
Дополнительная работа с одаренными школьниками по подготовке к различным этапам республиканских и международных турниров и конференций
С участием студентов
Работа с учителями и преподавателями вузов (научно-исследовательский и методический семинар для учителей математики, организация семинаров, курсов совместно с МГИРО, АПО и т.д.)
Педагогическая практика студентов
Договора и сотрудничество с учреждениями образования Министерства образования, другими учреждениями (более 40 договоров о сотрудничестве, в том числе международных)
Участие студентов в
Циклическая системаосновныхинтеллек-ту-альныхмероприятий
Дополнительные интеллектуальные мероприятия и сроки их проведения
Октябрь и
февраль-март
Международный математический Турнир городов(совместно с Комитетом по образованию Мингорисполкома)
← в работе жюри Турнира городов
Декабрь→ XII открытый республиканский турнир юных математиков
6-11 декабря 2010 г.
← в составлении задач, работе жюри, подготовке
команд
Конец февраля
→
Республиканская научная конференция школьников и конкурс БелЮниор (25-27 февраля 2011 г.)
← в руководстве докладами и в жюри конференции
Примечание. По существу мы участвуем и на этапе Минская городская конференции и др. -- « » --
Февраль – апрель
XX (юбилейная) олимпиада ФПМИ (творческая (научно-исследовательская) олимпиада по математике для учащихся 7-10 классов)
← в составлении задач и работе жюри
Апрель – май III международный турнир юных математиков
(предварительные сроки 30 июня – 6 июля 2011 г.)
← в работе жюри
Июль XVI республиканская летняя научно-исследовательская школа (предварительные сроки 13 – 30 июля 2011 г.)
← участие студентов в летней школе как научных
руководителей
![Page 3: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/3.jpg)
РеспубликанскРеспубликанскиеие и международные и международные научные научные конференциконференциии учащихсяучащихся
![Page 4: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/4.jpg)
Путь от идеи к исследованию
ЭТАПЫ:1. Исходная (начальная) постановка задачи
1.1. Общая постановка (идеи, развивающие исходную задачу)
1.2. Возможные модели (математические и другие описакния,
переформулировки, понятия, …) 2.1. Возможные методы исследования 2.2. Литература
3. Собственно процесс исследования
4. Представление результатов (защита, приложения)
![Page 5: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/5.jpg)
Исследовательская работапо теме:
«Переливания 1. Классическая задача о переливаниях»
Работу выполнил:Розенберг Максим
Ученик 8 «Д» классаСредней школы № 41
г. Минска
«СОК Бригантина-2010»
![Page 6: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/6.jpg)
Введение Исходная постановка: даны
сосуды объемом 3 и 5 литров. Можно ли при помощи этих сосудов набрать 4 литра воды?
А 2 литра? 1 литр?
Общая постановка: 1) даны сосуды объемом а и b литров. Найти все значения с литров, которые можно налить при помощи этих сосудов (т.е. найти множество {c таких, что …}).
3 50303110303220300
0033501144502250
![Page 7: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/7.jpg)
Введение Общая постановка: 2) как
получить заданное значение с литров (алгоритм)?
3) как быстрее получить заданное значение с литров (оптимальность)?
3 50303110303220300
0033501144502250
![Page 8: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/8.jpg)
Основные понятия, определения и обозначения
• Система сосудов [a;b]• Состояние системы (l;m)• Элементарная операция• Цикл• Длина цикла• Миницикл• Длина миницикла• Структура цикла
5 70505330511050544
0055703370116670
05220500
44702270
![Page 9: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/9.jpg)
Основные методы исследования
• Табличный• Геометрический
(графический)• Теория чисел (диофантовы
уравнения, числовые функции)
• Алгебра (кольцо целых чисел)
5 70505330511050544
0055703370116670
05220500
44702270
![Page 10: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/10.jpg)
Основные методы исследования
• Табличный• Геометрический
(графический)• Теория чисел
(диофантовы уравнения, числовые функции)
• Алгебра (кольцо целых чисел)
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
(0,4)
(0,5)
0,0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
![Page 11: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Как переливать! При переливаниях с сосудами a и
b имеют смысл лишь постоянные последовательные переливания из сосуда a в сосуд b, а не «комбинированные» переливания, т.е. такие, когда несколько раз переливаем из одного сосуда во второй, а потом из второго в первый - смысла не имеют.
Результаты
5 70505330511050544
0055703370116670
05220500
44702270
![Page 12: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/12.jpg)
НОД(a; b) = 1
Иначе, если a = sd и b = fd,
то с обязательно кратно d
Результаты
2. Какие объемы сосудов имеет
смысл рассматривать?
![Page 13: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/13.jpg)
Если НОД(a; b) = 1, то можно получить
любое значение с литров, где 0 < с < b.
Примечание. Случаи с = 0, с = а, с = b, очевидны и здесь не рассматриваются.
Идея: При любых с, существуют такие x и y, что ax-by=с
Результаты
3. Какое кол-во литров можно
получить при данных 2-ух объемах?
![Page 14: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/14.jpg)
2(a+b)-1 - число состояний
2(a+b)-2 - число элементарных операций (переливаний)
5. Как определить кол-во минициклов?
b и a
Результаты
4. Какова длина всего цикла?5 70505330511050544
0055703370116670
05220500
44702270
![Page 15: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/15.jpg)
6. Как определить точное минимальное кол-во операций до искомого кол-ва литров?
Гипотеза: использовать структуру цикла
Структура цикла:А В: [2, 4, 4, 2, 4, 4, 2]
В А: [4, 4, 6, 4, 4]
(Как получить и как использовать?)
Результаты
5 70505330511050544
0055703370116670
05220500
44702270
![Page 16: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/16.jpg)
6. Как определить точное минимальное кол-во операций до искомого кол-ва литров?
1) ax-by=c 2) 2(x+y)+1 c>a «сверху»
2(x+y)-1 c<a «сверху»
2(a+b-x-y)-1 «снизу»
Результаты5 70505330511050544
0055703370116670
05220500
44702270
![Page 17: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/17.jpg)
РезультатыТаблица. Точное минимальное кол-во операций до искомого кол-ва литров?
С А В В А SНомер
состоянияЧисло
перели-ваний
Через решения уравнения ax – by = c
c < a2(x + y)– 1
a < c < b2(x + y)+ 1
c < a2(x + y)– 2a < c < b2(x + y)
c a2(a + b – x – y) – 1
номер состояния
2(a + b – x – y) – 2число переливаний
2(a + b) – 2
2(a + b) – 4
Через решения уравнения bt – as = c
2(t [b/a]+ s) – 1 2(t [b/a]+ s) – 2
![Page 18: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/18.jpg)
7. Какова структура цикла?• А В
K = 1,2,…,b: 2([ak/b]-[a(k-1)/b])+2, т.е. [2, 4, 4, 2, 4, 4, 2]
• В А
K = 1,2,…,a: 2([bk/a]-[b(k-1)/a])+2,
т.е. [4, 4, 6, 4, 4]
Результаты
![Page 19: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/19.jpg)
Итоги
Полностью исследован случай двух сосудов
Дальнейшие задачи Исследовать замкнутую систему 3-ех
сосудов Исследовать не замкнутую систему 3-ех
сосудов Исследовать n-мерную систему сосудов
![Page 20: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/20.jpg)
Дальнейшие задачи
Исследовать замкнутую систему 3-ех сосудов
Цикл (5, 7, 11)
0,0 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
•
•••
••
![Page 21: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/21.jpg)
5 70504220500
0055702270
99440077224
Цикл (5, 7, 9)
••
• •
•
•• • •
?? ?
?
?
? ?
?
?
Дальнейшие задачи Исследовать замкнутую систему 3-ех
cосудов
![Page 22: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/22.jpg)
Цикл (5, 7, 8)
5 705031105021
00557011667
883300772200
Дальнейшие задачи Исследовать замкнутую систему 3-ех
сосудов
![Page 23: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/23.jpg)
23
«Разрезания фигур на различные прямоугольники»
Выполняли: Тропников Юрий, СШ №41 г. Минска,
Ярошевич Яна, СШ №41 г. Минска,
Тумилович Анастасия, гимназия г. Марьина Горка,
Хмарук Елена, СШ №1 г. Несвижа,
Кусок Екатерина, Лицей БГУ,
Карачун Анастасия, гимназия г. Несвижа.
Руководители: Задворный Борис Валентинович,
Мурашко Егор Сергеевич
![Page 24: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/24.jpg)
1.Условие задачи (начальное)Можно ли целиком разрезать доску 10х10 на
прямоугольники 1х4?
Условие задачи (исследовательское)
1.В зависимости от размера произвольной прямоугольной доски m x n найти возможные остатки разрезания ее на «доминошки»: а) 1*5; б) 1*l, где l – произвольное число;
2.Ввести понятие эквивалентности для разрезания различных досок; исследовать классы эквивалентности; найти минимальные представители классов и способ их разрезания
24
![Page 25: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/25.jpg)
2.1. Решение начальной задачиВ данном случае мы разрезаем доску размерами
10х10 на доминошки размерами 1х4. - 26 шт.
- 25 шт.
- 24 шт.- 25 шт.
1.Чтобы целиком заполнить доску, нам бы понадобилось 25 полосок, но через раскраску мы доказали, что максимум доминошек будет 24, поскольку в каждой доминошке клетки должны быть разных цветов, а здесь видно, что количество синих клеток меньше, чем остальных. 25
![Page 26: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/26.jpg)
2.1. Решение задачи2. А теперь мы
покажем, что указанное число 24 достигается
26
![Page 27: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/27.jpg)
2.2 Исследование задачи
Для удобства введём следующие обозначения:
Прямоугольник - который нужно разрезать: П=(m,n) либо n*m.
Доминошки – прямоугольники размером L=(1,l) или 1*l, которыми заполняется таблица.
Мультидоминошки - прямоугольники размером M=(k,l) или k*l, которыми заполняется таблица.
27
![Page 28: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Введём определения:
Минимальный остаток (m, n) –
минимальное количество клеток,
которое может остаться при разрезании
П=(m, n) на L=(1, l)
(количественная характеристика).
Правильный остаток (R(a, b),
где a и b - стороны прямоугольника)
для П=(m, n) и L=(1, l) –
минимальный остаток, клетки которого
расположены в виде прямоугольника.
![Page 29: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/29.jpg)
Прямоугольники П1=(m1, n1) и П2 =(m2, n2) назовём эквивалентными при разрезании на мультидоминошки k*l, если существуют правильные разрезания этих прямоугольников, дающие одинаковые остатки.
Таким образом, мы ввели отношение эквивалентности на множестве прямоугольников.
Свойства отношения эквивалентности:
1.П~П;
2.П~ П1 П1~П;
3.П~ П1 и П1 ~ П2 П ~ П2.
29
![Page 30: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/30.jpg)
Для каждого правильного остатка R=(a, b) всегда можно выделить множество эквивалентных между собой прямоугольников.
Класс эквивалентности – множество эквивалентных между собой прямоугольников, которые задаются правильным остатком.
Минимальный представитель класса эквивалентности – исходная таблица (m0,n0), где m0=l*1+r1, n0=l*1+r2, где r1, r2 < l, r1, r2 N
Класс эквивалентности при разрезании на «доминошки» L=(1*l) будем обозначать К(a, b).
30
![Page 31: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/31.jpg)
Способ сведения к минимальному представителю класса эквивалентности и наоборот от минимального представителя к любому прямоугольнику, являющимся эквивалентным ему: к минимальному представителю класса эквивалентности прибавляем к его сторонам длиной m0 и(или) n0 прямоугольники (m0,l) или (n0,l) таким образом, чтобы образовывались новые прямоугольники, которые будут эквивалентными исходному (и между собой).
31
![Page 32: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/32.jpg)
Разрезание прямоугольника П=(m, n) на L=(1, l), при котором получается правильный остаток, назовём правильным.
Утверждение. Для любого П=(m, n) всегда существует соответствующее правильное разрезание.
Правильное разрезание →
32
![Page 33: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/33.jpg)
Варианты остатков при разрезании доски m*n на «доминошки» 1*5:
Квадрат 1х1; Прямоугольник 1х4;
Прямоугольник 1х2; Прямоугольник 2х4;
Прямоугольник 1х3;
Квадрат 2х2; Прямоугольник 3х4;
Прямоугольник 2х3;
Квадрат 3х3; Квадрат 4х4;
33
![Page 34: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/34.jpg)
Минимальный остаток
Правильный остаток Размеры таблицы Минимальный представитель класса
Способ разрезания
0 R=(0,0) m=5p и (или) n=5q 1*5 «зонами»
1 R=(1,1) (5p+1)×(5q+1); p, q N0 6*6 «зонами»
(5p+4)×(5q+4); p, q N 9*9 «по кругу»
2 R=(1,2) (5p+1)×(5q+2); p, q N0 6*7 «зонами»
(5p+3)×(5q+4); p, q N 8*9 «по кругу»
3 R=(1,3) (5p+1)×(5q+3); p, q N0 6*8 «зонами»
(5p+2)×(5q+4); p, q N 7*9 «по кругу»
4 R=(1,4) (5p+1)×(5q+4); p, q N0 6*9 «зонами»«по кругу»
R=(2,2) (5p+2)×(5q+2); p, q N0 7*7 «зонами»
(5p+3)×(5q+3); p, q N 8*8 «по кругу»
6 R=(2,3) (5p+2)×(5q+3); p, q N0 7*8 «зонами»«по кругу»
8 R=(2,4) (5p+2)×(5q+4); p=0 и (или) q=0 2*4 «зонами»
9 R= (3,3) (5p+3)×(5q+3); p=0 и (или) q=0 3*3 «зонами»
12 R=(3,4) (5p+3)×(5q+4); p=0 и (или) q=0 3*4 «зонами»
16 R=(4,4) (5p+4)×(5q+4); p=0 и (или) q=0 4*4 «зонами»
34
![Page 35: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/35.jpg)
Минимальный остаток
Правильный остаток
Размеры таблицы Минимальный представитель
класса
Способ разрезани
я
0 R=(0,0) m=lp и (или) n=lq 1*l «зонами»
1 R=(1,1) (lp+1)×(lq+1); p, q N0 (l+1)*(l+1) «зонами»
(lp+(l-1))×(lq+(l-1)); p, q N (2l-1)*(2l-1) «по кругу»
2 R=(1,2) (lp+1)×(lq+2); p, q N0 (l+1)*(l+2) «зонами»
(lp+(l-1))×(lq+(l-2)); p, q N (2l-1)*(2l-2) «по кругу»
4 R=(1,4) … ... …
R=(2,2) (lp+2)×(lq+2); p, q N0 (l+2)*(l+2) «зонами»
(lp+(l-2))×(lq+(l-2)); p, q N (2l-2)*(2l-2) «по кругу»
… … ... … …
a*(l-a) R=(a,l-a) (lp+a)x(lp+l-a); p, q N0 (l+1)*(2l+1) «зонами»«по кругу»
l-1 R=(1,l-1) (lp+1)×(lq+(l-1)); p, q N0 (l+1)*(2l+1) «зонами»«по кругу»
2l-2 R=(2,l-1) (lp+2)×(lq+(l-1)); p=0 и (или) q=0 2*(l-1) «зонами»
… … … … …
(l-1)2 R=(l-1,l-1) (lp+(l-1))×(lq+(l-1)); p=0 и (или) q=0
(l-1)*(l-1) «зонами»
35
![Page 36: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/36.jpg)
3. Перспективы исследования
1.Исследовать случаи 2*l, 3*l, 4*l, k*l;2.Ввести эквивалентность для разрезания
прямоугольников и разработать максимально оптимальный алгоритм для доски m*n и доминошки k*l;
3.Рассмотреть случаи для разрезания других фигур (не только прямоугольников) .
36
![Page 37: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/38.jpg)
},...,3,2,1{ TNT
1sA 2
sA
...,,~ 21
sss AAA
Ts
3sA
Definitions and notations
![Page 39: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/39.jpg)
1sA 2
sA
...,,~ 21
sss AAA
3sA
mAiaia
s
,...,min11
mAiaia
s
,...,min12
mAiaia
s
,...,min13
msAsA iaiaia ,...,,minmax21
~
![Page 40: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/40.jpg)
2,5,4 mTs
Example
5,3,2,124 A
}5,4,3,2,1{5 N
4,3,2,114 A 5,4,2,13
4 A
5,4,3,144 A 5,4,3,25
4 A
54
44
34
24
144 ,,,,
~AAAAAA
![Page 41: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/41.jpg)
2min211
4
iaiaA
4,minmax2144
~
iaiaAA
5,3,2,124 A 4,3,2,11
4 A 5,4,2,134 A
5,4,3,144 A 5,4,3,25
4 A
54
44
34
24
144 ,,,,
~AAAAAA
2min212
4
iaiaA
2min213
4
iaiaA
3min214
4
iaiaA
4min215
4
iaiaA
![Page 42: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/42.jpg)
Theorem 1
Suppose Taaa s ...21 is a finite sequence
of positive integers. Then
1
46,min
21
Tiaia
sA .
(Here is: T = 2s, m = 2, s 4)
![Page 43: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/43.jpg)
The generalization
If mCs , where mC is some constant
of the variable m, 2
Ts , then the following is realized:
1
22,...,1,222,...,1,12,...,,minmax
21~ mmm
Tmmmm
ia
ia
ia
mAA ss .
As the constant we can take
22,...,1,12 mmmmmC .
T4
![Page 44: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/44.jpg)
Conclusions
The first problem has been fully solved for various s and for m = 2 also, it has been fully solved for any m and T = 2s for the second problem the interesting algorithm is obtained The received results have theoretical sense and can be applied to various problems of Number Theory. In particular they concern problems B24 and E2 from [2].
![Page 45: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/45.jpg)
Bibliography
Collected Tasks of Mathematics from “American Mathematical Monthly”, edited by V.M. Alekseev, URSS, Moscow, 2004 (translated from “The Otto Dunkel Memorial Problem Book”, AMM, 64, № 7, part II, 1957).
Unsolved Problems in Number Theory, Richard K. Gay, Third Edition, Springer, 2004 (in Series “Problem Books in Mathematics”, edited by K.A. Bencsath, P.R. Halmos).
1
2
![Page 46: Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061118/54623b91af795988228b4712/html5/thumbnails/46.jpg)
LOGO«ЮНИ-центр-XXI» (Центр профориентационной
работы и дополнительного образования)Комн. 259, ФПМИ, БГУ, пр. Независимости, 4,
220030, г. Минск, Телефон: (+375) (0) 17-209-50-70
Факс: (+375) (0) 17-209-54-05
[email protected]://www.uni.bsu.by