第 40 课时 操作探究型问题
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第 40 课时 操作探究型问题. 操作探究型问题是通过动手测量、作图 ( 象 ) 、取值、计算等实验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理猜想和验证.常见类型: (1) 操作设计问题; (2) 图形剪拼; (3) 操作探究; (4) 数学建模.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.. 考向互动探究. 第 40 课时 ┃ 操作探究型问题. 探究一 折叠剪拼操作探究型问题. 例 1 [ 2013· 北京 ] 阅读下面材料: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第 40课时 操作探究型问题
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操作探究型问题是通过动手测量、作图 (象 )、取值、计算等实验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理猜想和验证.常见类型: (1)操作设计问题;(2)图形剪拼; (3)操作探究; (4)数学建模.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.
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考向互动探究
考点聚焦 归类探究
探究一 折叠剪拼操作探究型问题
回归教材
例 1 [2013· 北京 ] 阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图 40 - 1①所示,在边长为 a(a
>2) 的正方形 ABCD各边上分别截取 AE= BF= CG= DH
= 1 ,当∠ AFQ=∠ BGM=∠ CHN=∠ DEP= 45° 时,求正方形MNPQ的面积.小明发现:分别延长 QE,MF, NG, PH,交 FA, GB,HC, ED的延长线于点 R, S, T,W,可得△ RQF,△ SMG,△ TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形( 如图 40 - 1 )② .
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图 40 - 1
请回答: (1) 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形
( 无缝隙,不重叠 ) ,则这个新的正方形的边长为 ________ ; (2) 求正方形MNPQ的面积;
a
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图 40 - 2
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例题分层分析 (1)△RQF,△ SMG,△ TNH,△WPE是四个全
等的等腰直角三角形,拼成一个新的正方形怎么拼?边长多少?动手试试.
(2) 要求正方形MNPQ的面积,可以利用转化思想,外面的 4 个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积.
(3) 依图 40 - 1②的作法补全图 40 - 2 ,外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积.
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解题方法点析
此类问题按照要求把一个图形先分成若干块,然后拼接成一个符合条件的图形,常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图.
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探究二 中心对称操作探究问题
例 2 [2013· 陕西 ] 问题探究 (1) 请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2) 如图②,M是正方形 ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线 ( 要求其中一条直线必须过点M) ,使它们将正方形 ABCD的面积四等分,并说明理由. 问题解决 (3) 如图③,在四边形 ABCD中, AB∥CD, AB+ C
D= BC,点 P是 AD的中点,如果 AB= a, CD= b,且 b> a,那么在边 BC上是否存在一点 Q,使 PQ所在直线将四边形 ABCD的面积分成相等的两部分?若存在,求出 BQ的长;若不存在,说明理由.
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例题分层分析
(1) 如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分?利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢?利用了圆的什么性质?
图 40 - 3
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解题方法点析
平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形.过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形.
(2) 利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢?利用了正方形的什么性质?如果正方形内有一点M,要求其中一条直线必须过点M,如何分割呢? (3) 把正方形改为菱形呢?
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解: (1) 如图所示.
(2) 如图,连接 AC、 BD相交于点 O,作直线 OM分别交 AD、 BC于 P、 Q
两点,过点 O作 OM的垂线分别交 AB、CD于 E、 F两点,则直线 OM、 EF
将正方形 ABCD的面积四等分.理由如下:
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探究三 平移旋转操作探究问题
例 3 [2013· 山西改编 ] 数学活动——求重叠部分的面积.问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图 40 - 4 ,将两块全等的直角三角形纸片△ ABC和△ D
EF叠放在一起,其中∠ ACB=∠ E= 90° , BC= DE=6 , AC= FE= 8 ,顶点 D与边 AB的中点重合, DE经过点 C, DF交 AC于点 G.
求重叠部分 (△DCG) 的面积.
图 40 - 4
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(1)独立思考:请解答老师提出的问题; (2) 合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△
DEF绕点 D旋转,使 DE⊥AB交 AC于点 H, DF交 AC
于点 G,如图 40 - 5 ,你能求出重叠部分 (△DGH) 的面积吗?请写出解答过程.
图 40 - 5
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例题分层分析
(1) 为求△ DCG的面积,需要研究该三角形的边角的特征; (2) 当将△ DEF绕点 D旋转,使 DE⊥AB交 AC于点 H,此时 G点是 AH的中点吗?△ DGH的面积与△ DAH的面积之间是倍分关系吗?
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解题方法点析
此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间.解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理.关键是掌握好平移前后,旋转前后的图形是全等形.平移前后,每一个点移动的方向相同、距离相等;旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同.
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