第三章 不等式

§3.1.2 比较大小 授课 临川二中 周志如

制作 临川二中 帅奇云

提出问题

甲

乙

对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．

课题：1.2 比较大小

问题 2 ： x-1 与 x+1 谁大谁小？你是怎样比较的？ ① 借助一个中间量：

② 作差比较法：

这种方法的一般形式是： 若 a ＞ b ， b>c ，则 a>c .这叫做不等式的传递性 .

1 1x x x ＜ ＜

11,02)1()1( xxxx 故由

1.用作差比较法判断两个实数大小的原理是： 0

0

0

a b a b

a b a b

a b a b

2. 其依据是不等式的基本性质

作差比较法

① 如果 a>b ，那么 a+c>b+c

知识回顾

② 如果 a>b ， c>0 ，那么 ac>bc

③ 如果 a>b ， c<0 ，那么 ac<bc

---- 加法性质

不等式的基本性质：

---- 乘法性质

问题 3：比较(x＋1)(x+5)与(x＋3)2的大小．

作差比较法的一般步骤:

作差→变形→判断符号→确定大小.

“关键是 变形” . 目的：能方便地判断符号； 技巧：常要用到通分，配方，因式分解等； 变形的最后结果是一般是 n个因式之积，

或完全平方式或常数 , 便于判定正负.

2.解: ∵ 2 2 4 2( 1) ( 2 )x x x x 2.比较 2 2( 1)x 与 4 22x x x 的大小．

4 2 4 22 1 ( 2 )

1

x x x x x

x

作差 变形

定符号

确定大小

试一试 1. 课本 P73 练习第 1题 .

∴ 当1-x=0即 x=1时, 2 2 4 2( 1) ( 2 ) 0x x x x

当 1-x>0即 x<1时, 2 2 4 2( 1) ( 2 ) 0x x x x

当 1-x<0即 x>1时, 2 2 4 2( 1) ( 2 ) 0x x x x

∴ 当 x=1时, 2 2 4 2( 1) 2x x x x x<1时, 2 2 4 2( 1) 2x x x x

x>1时, 2 2 4 2( 1) 2x x x x 若结果含有无法确定符号的字母，则要进行分类讨论 .

问题 4 ：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于 10 ％，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了？还是变坏了？请说明理由。

你会用知识吗？

,10,,,

,

,,:

00

b

aba

mb

ma

b

a

m

ba

且增加面积后的比值为比值为

地板面积的增加面积前窗户面积与加的面积为同时增面积分别为设住宅窗户面积和地板解

！，

b

a

mb

mab

a

b

a

mb

ma

mbb

abm

b

a

mb

ma

住宅的采光条件变好了面积后积和地板同时增加相等的窗户面所以

因此

又于是

由于

,

10

10,

0)(

)(

00

00

问题 5 ：这一结论用语言怎样叙述？这一结论还能用来解释生活中的现象吗？

结论：对于一个正的“真分数”，当分子、分母加上同一个正数时，所得新分数比原分数大。

结论：a b m、、 都是正数,且 a b ,则 b m b

a m a

.

x yy

x

y

x

my

mx

618.058.0

my

mx

y

x

一般的人，下半身长 与全身长 的比值

在 0.57~0.6之间，而芭蕾舞演员在演时，脚尖立起给人以美得享受，原来，脚尖立起调整了身段的比例，如果设人的脚尖立起提高

了 m，则下半身与全身的长度比由 变成

，这个比值非常接近黄金分割值 0.618，

用来解释这种现象的数学关系是

1 、结合章头语的内容，请与同学合作填写下表：

同学甲乙丙丁

my

mx

x y my

x

日常生活还有那些实例满足问题 5 中的不等式？

思考交流

甲

乙

解决问题

2 、甲、乙两人同时从 A 地出发沿同一路线走到 B 地，所用时间分别为 t1 和 t2 ，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走 , 且 m≠ n.

（ 1 ）不妨令路程为 1 ，请同学各自用 m ， n 表示出 t1 和 t2 ；

（ 2 ） 与同桌一起比较 t1 和 t2 的大小，并判断谁先到达 B 地 .

思考交流

奎屯王新敞新疆

奎屯王新敞新疆

奎屯王新敞新疆

第一步：作差并化简，其目标应是 n个因式之积或完全平方式或常数的形式 , 便于判定正负

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论

第三步：得出结论

作差 变形

定符号

确定大小

本课小结本课主要讲了作差法的原理，依据，以及简单应用。要按照步骤进行。

作业布置 1. 课本 P74 A 组第 5 题； B 组第 3 题 . 2. 研究性学习活动： 材料：以课本 P74 B 组第 1 题为背景；实 际调查也要求以课本知识为背景 . 要求： ① 结合你家里和旅行社的实际情况（家庭 人数，旅行社报价等）； ②可以按课本的优惠条件，也可以按调查 的实际情况而定； ③每人交一份 200-300 字左右的小论文 .

2009.10