лекция 3 эмм в менеджменте

Экономико-математические методы в планировании и управленииУральский федеральный университет

2014

им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Кафедра «Экономика и управление строительством и рынком недвижимости»

Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 2

Тема 4. Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты постнумерандоПлан Виды потоков платежей; Обобщающие параметры потоков

платежей. Основные понятия и определения; Годовая постоянная рента

постнумерандо; Начисление процентов один раз в году; Начисление процентов m раз в году;

Постоянная p-срочная рента постнумерандо; Начисление процентов один раз в конце

года (m=1); Начисление процентов m раз в году

(m#p);


Виды потоков платежей

Последовательности платежей во времени называются потоками платежей.

Во времени потоки платежей могут быть:

регулярные - платежи осуществляются через равные промежутки времени;

нерегулярные - платежи через произвольные промежутки времени.

По вероятности выплат потоки платежей могут быть:

верные выплаты в случае безусловных выплат, например, погашение кредита;

условные выплаты выплата ставится в зависимость от наступления какого-либо события, например, страховые выплаты, пенсии.


Виды потоков платежейПо срокам выплат потоки платежей могут быть:

конечные если задан определенный срок, в течение которого должны производится выплаты, например, выплаты по кредиту;

вечные если срок, в течение которого должны производится выплаты не задан, например, пенсии;

немедленные если выплаты производятся сразу при наступлении назначенного срока;

отложенные если выплаты откладываются.

Платежи называются постнумерандо, если осуществляются в конце заданных периодов, и пренумерандо если в начале.


Обобщающие параметры потоков платежей Обобщающими параметрами потока платежей являются его наращенная сумма S и современная стоимость A. Наращенная сумма потока платежей S ─ это сумма всех членов потока с начисленными на них процентами по сложной ставке процента до конца срока. Современная стоимость потока платежей A ─ это сумма всех членов потока, дисконтированных на начало всех выплат.


Обобщающие параметры потоков платежейОбщая схема потока платежей


Обобщающие параметры потоков платежейПрямой метод расчета S и A.Пусть имеется ряд платежей: S1 , S2 , S3 ,...Sm со сроками n1 ,n2 ,n3...nm . Общий срок выплат лет n лет; начисление процентов производится один раз в конце года по сложной процентной ставке i.Тогда справедливы следующие равенства:

Умножим второе уравнение на (i+1)n и получим:

1 1

(1 ) , (1 ) .j j

m mn n n

j jj j

S S i A S i

1

(1 ) (1 ) .j

mn nn

jj

A i S i


Обобщающие параметры потоков платежейУчитывая, что выражение справа в полученном равенстве в точности равно S , т.е.

получаем следующие зависимости:

- взаимосвязь между наращенной суммой и современной стоимостью потока платежей.

1

(1 ) .j

mn n

jj

S i S

(1 ) .(1 )

nn

SS A i A

i


Основные понятия и определения

Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы равны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Общая схема ренты

Рента является частным случаем потока платежей, которому присуща регулярность выплат.



Параметры ренты: Основные обязательные

член ренты R ─ это размер отдельного платежа;

период ренты t ─ это временной интервал между последовательными платежами;

срок ренты n ─ это число лет, в течение которых предполагаются выплаты от их начала до конца;

процентная ставка i ─ это ставка сложных процентов, по которой производится их начисление.


Основные понятия и определенияПараметры ренты:

Дополнительныечисло платежей в году p ─ это

число частей, на которые разбит годовой платеж;

частота начислений процентов в году m показывает, сколько раз в году производится начисление процентов на выплаченные суммы.

Если p=1 или m=1, то эти параметры не используются в явном виде в формулах.


Классификация финансовых рентПо количеству членов ренты делятся на:

Ограниченные – с конечным числом членов;

Бесконечные (вечные) – с бесконечным числом членов;По количеству выплат в году ренты делятся на:

Дискретные – платежи производятся через определенные промежутки времени; годовые - платежи производятся раз

в году (p=1); p-срочные - платежи производятся p

раз в году (p>1); Непрерывные – платежи

производятся так часто, что такие ренты можно рассматривать как непрерывные.



Классификация финансовых рентПо числу раз начислений процентов в году различают

Ренты с ежегодным начислением процентов (m=1);

Ренты с начислением процентов m раз в году (m>1);

Ренты с непрерывным начислением процентов (m);По величине членов ренты различают:

Постоянные ренты– все платежи одинаковы;

Переменные ренты - с изменяющимися во времени платежами.По моменту выплат платежей различают:

Ренты постнумерандо (обыкновенные)– платежи осуществляются в конце периодов;

Пренумерандо – с платежами в начале периодов.



Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуВ течение n лет в банк вносится по R рублей в конце каждого года. Ежегодно на взносы начисляются проценты по сложной процентной ставке i. Схема платежей и начислений процентов

На 1-й член начисляются проценты один раз в году по ставке i в течение срока, равного (n-1) лет; на 2-й член (n-2) года, на 3-й член (n-3) лет …… на n-й член 0 лет.


Наращенная сумма потока платежей равна:

Рассмотрим сумму членов, располагая их с конца:

Как видно, члены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=1+i, число членов прогрессии равно n.

Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в году

1 2

3

(1 ) (1 )

(1 ) ... (1 ) .

n n

n

S R i R i

R i R i R

2

2 1

(1 ) (1 ) ...

(1 ) (1 ) .n n

S R R i R i

R i R i


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуИспользуя известную формулу для нахождения суммы членов геометрической прогрессии

где a первый член суммы,

q знаменатель прогрессии,

n число членов прогрессии,

S сумма членов прогрессии,

найдем наращенную сумму годовой постоянной ренты постнумерандо:

1,

1

nqS a

q

(1 ) 1 (1 ) 1.

(1 ) 1

n ni iS R R

i i


Коэффициент при R называется коэффициентом наращения годовой ренты:

Экономический смысл этого коэффициента в том, что он представляет собой наращенную сумму ренты с членом R=1. В экономике этот коэффициент является 2-й функцией сложного процента и называется «накопление единицы за период»

Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в году

,

(1 ) 1.

n

n i

is

i


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуИспользуя формулу для современной стоимости произвольного потока платежей:

Найдем современную стоимость годовой постоянной ренты постнумерандо,

Получим:

.(1 )nS

Ai

(1 ) 1(1 ) (1 )

nn ni

A S i R ii

1 (1 ).

niА R

i


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуКоэффициент при R называется коэффициентом приведения годовой ренты и обозначается как

Экономический смысл этого коэффициента в том, что он представляет собой современную стоимость ренты с членом R=1. В экономике этот коэффициент является 5-ой функцией сложного процента и называется «текущей стоимостью единичного аннуитета».

,

1 (1 ).

n

n i

ia

i


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуСхема платежей годовой постоянной ренты постнумерандо при m-разовом начислении процентов

На 1-й член начисляются проценты m-раз в году по ставке в течение срока, равного (n-1) лет, на 2-й (n-2) года, на 3-й член (n-3) лет и т.д., на n-ый член 0 лет.


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуНаращенная сумма потока платежей равна:

Рассмотрим сумму членов, располагая их с конца:

( 1) ( 2)

1 1 ...

... 1 .

m n m n

m

i iS R R

m m

iR R

m

2

( 1)

1 1 ....

.... 1 .

m m

m n

i iS R R R

m m

iR

m


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКак видно, члены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, равным а число членов прогрессии равно n.Применяя формулу для нахождения суммы геометрической прогрессии, получим:

- формула для вычисления наращенной суммы годовой постоянной ренты постнумерандо c m-разовым начислением процентов в году

1 ,m

iq

m

1 1.

1 1

mn

m

im

S Rim


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент наращения годовой ренты в этом случае будет равен:

Современная стоимость этой ренты находится по формуле:где q - знаменатель прогрессии, равный

,

1 1.

1 1

mn

i mmn m

im

sim

1 .m

iq

m

nA S q


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуПолучим

Формула для вычисления современной стоимости годовой постоянной ренты постнумерандо c m-разовым начислением процентов в году.

1 11 ,

1 1

mn

mnn

m

iim

A S q Rmi

m

1 1.

1 1

mn

m

im

A Rim


Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент приведения годовой ренты в этом случае будет равен

,

1 1.

1 1

mn

i mmn m

im

aim


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуСхема платежей и начислений процентов в этом случае будет выглядеть так

Если сумма годового платежа составляет R, то сумма разового платежа - R/p. Число членов ренты равно np.На 1-й член начисляются проценты по ставке i в течение срока, равного (n-1/p) лет, на 2-й (n-2/p) года, на 3-й член (n-3/p) лет и т.д., на np-ый член 0 лет.


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуНаращенная сумма потока платежей будет равна:

Располагая слагаемые в обратном направлении, получим

1 2

1

(1 ) (1 ) ...

... (1 ) .

n np p

p

R RS i i

p p

R Ri

p p

1 2

1

(1 ) (1 ) ...

... (1 ) .

p p

np

R R RS i i

p p p

Ri

p


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуЧлены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, равным а число членов прогрессии равно np .Применяя формулу нахождения суммы геометрической прогрессии для нашего случая, получим

- формула для вычисления наращенной суммы постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов один раз в году.

1

(1 ) ,pq i

1

1 1

(1 ) 1 (1 ) 1.

(1 ) 1 (1 ) 1

npnp

p p

R i R iS

p pi i


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуКоэффициент наращения ренты в этом случае будет равен:

Современная стоимость этой ренты находится по формуле:

где q - знаменатель прогрессии, равный

( ), 1

1 (1 ) 1.

(1 ) 1

npn i

p

is

pi

npA S q

1

(1 ) .pq i


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуПолучим

откуда

- формула для вычисления современной стоимости постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов один раз в году.

1( )

1

(1 ) 1(1 )

(1 ) 1

n npnp p

p

R iA S q i

pi

1

1 (1 ).

(1 ) 1

n

p

R iA

pi


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуКоэффициент приведения ренты в этом случае будет равен:

( ), 1

1 1 (1 ).

(1 ) 1

npn i

p

ia

pi


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуСхема платежей и начислений процентов в этом случае (mp) будет выглядеть так

Сумма разового платежа составит - R/p . Число членов ренты - np. На 1-й член начисляются проценты m раз в году по ставке i/m в течение срока, равного (n-1/p) лет, на 2-й (n-2/p) года, на 3-й член (n-3/p) лет и т.д., на np-ый член 0 лет.


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуНаращенная сумма потока платежей будет равна:

или

1 2

1

1 1 ...

... 1 .

m n m np p

mp

R i R iS

p m p m

R i R

p m p

1 2

1

1 1 ...

... 1 .

m mp p

m np

R R i R iS

p p m p m

R i

p m


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуЧлены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, равным а число членов прогрессии равно np .Таким образом, для нашего случая получим

- формула для вычисления наращенной суммы постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов mp раз в году.

1

m

piq

m

1 1 1 1.

1 1 1 1

mnp mnp

m m

p p

i iR Rm m

Sp pi i

m m


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент наращения в этом случае равен:

Современная стоимость этой ренты находится по формуле:

где q - знаменатель прогрессии

( )

,

1 11

.

1 1

mn

pi mmnm p

im

sp i

m

npA S q 1 .

m

piq

m


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуПолучим

Формула для вычисления современной стоимости постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов mp раз в году

( )1 11

1 1

mn

mnp

pnp

m

p

iR im

A S qp mi

m

1 1.

1 1

mn

m

p

iR m

Ap i

m


Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент приведения ренты в этом случае будет равен:

( )

,

1 11

.

1 1

mn

pi mmnm p

im

ap i

m


Сравнение результатов наращения и современных стоимостей разных видов постоянных рентРассмотрим соотношение наращенных сумм и современных стоимостей рент в зависимости от частоты выплат и начислений процентов.

Пусть сумма годовых выплат (R), продолжительность рент (n) и размеры процентных ставок (i) одинаковы.

Обозначим S(p;m), A(p;m) наращенные суммы и современные стоимости постоянных рент постнумерандо. Если p=1, то число выплат в году равно 1, если m=1, то число начислений процентов равно 1, если непрерывное начисление процентов, то m=.


Сравнение результатов наращения и современных стоимостей разных видов постоянных рентРасположим наращенные суммы постоянных рент постнумерандо по возрастанию:(1;1) (1; ) (1; ) ( ;1) ( ; ) ( ; ),S S m S S p S p m S p

1

1 1(1 ) 1

(1,1) , (1, ) ,

1 1

1 (1 ) 1(1, ) , ( ,1) ,

1(1 ) 1

1 11

( , ) , ( , ) .

11 1

mn

n

m

n n

p

mn

n

m

p p

ii m

S R S m Ri i

me R i

S R S pe p

i

iR R em

S p m S pp pi e

m


Сравнение результатов наращения и современных стоимостей разных видов постоянных рент Расположим современные стоимости постоянных рент постнумерандо по возрастанию:(1; ) (1; ) (1;1) ( ; ) ( ; ) ( ;1).A A m A A p A p m A p

1

1 11

(1, ) , (1, ) ,1

1 1

1 (1 ) 1(1,1) , ( , ) ,

1

1 11 (1 )

( , ) , ( ,1) .

(1 ) 11 1

mn

n

m

n n

p

mn

n

m

p p

ie m

A R A m Re i

m

i R eA R A p

i pe

iR R im

A p m A pp pi i

m


Спасибо за внимание

лекция 3 эмм в менеджменте

Education