情 253 「ディジタルシステム設計 」

（ 3 ） Constellation3ファイヤー和田

wada@ie.u-ryukyu.ac.jp

琉球大学工学部情報工学科

1

直交座標と極座標 [P75]

• 極座標– XY 直交座標上の点を、原点からの距離・角度を用いる

極座標を用いて表す。

直交座標

0X 軸

Y軸

(x0, y0)

x0

y0

極座標

0

(A0, Φ 0)A0

Φ 0

2

極座標・直交座標変換• 角度 Φ と大きさ A を用いて、平面上の点の位置を示

す。– この角度 Φ が変復調では位相となる。– この大きさが変復調では振幅となる。

Φ

A

x

y

A

xA

y

cos

sin

cos

sin

Ax

Ay

3

BPSK 波形• BPSK とは Binary Phase Shift Keying

• 位相 Φ の値として２つの値を用いて、２つの波形を生成する。• 通信を行うときに、上記２つの波形の一つを送るので、 2 種

類の可能性があり、’ 1’ か’ 0’ かすなわち 1 ビットの情報を送信する。

)2cos( ftAx元の波形

情報’ 0’ を送信する場合： Φ =0 とする

情報’ 1’ を送信する場合： Φ =π （ 180 度）とする。

)2cos( ftAx

)2cos( ftAx

4

SCILAB にて BPSK 波形を作る

5

BPSK の２つの波をコンスタレーションで示す

• BPSK の２つの波の振幅と位相は？– 情報‘０’ ：振幅 A=1 、位相 Φ ＝０– 情報‘１’ ：振幅 A=1 、位相 Φ ＝ π

• これを極座標面に表現すると

極座標

0

(A0, θ0)=(1, 0)

(A1, θ1)=(1, π)

6

QPSK 波形• Quadrature Phase Shift Keying

• 4 つの位相を用いる– Φ ＝ 1*π/4– Φ ＝ 3*π/4– Φ ＝ 5*π/4– Φ ＝ 7*π/4

)4/2cos( ftAx)4/32cos( ftAx)4/52cos( ftAx)4/72cos( ftAx

7

SCILAB にて QPSK 波形を作る

8

QPSK の４つの波をコンスタレーションで示す

• QPSK の４つの波の振幅と位相は？– 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 1 π /4– 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 3 π /4– 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 5 π /4– 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 7π /4

極座標

0

(A0, Φ 0)=(1, 1π/4)

(A1, Φ 1)=(1, 3π/4)

(A2, Φ 2)=(1, 5π/4)

(A2, Φ 2)=(1, 7π/4) 9

クイズ１• 以下の２つの送信波形（ BPSK, QPSK ）の各サイクル（ T1 ～ T5

）の波のコンスタレーションポイントを示せ• ただし基準の波の波形として以下の式を仮定せよ！• ( ヒント ) 図の BPSK はこれまで説明した波と異なる。

)2cos( ftAx基準となる波形

10

クイズ２• 以下の４つのコンスタレーションに対応

する波形を SCILAB で生成せよ

極座標

0

x0

x1

x2

x3

1-1

-1

1

11

X 軸、 Y 軸を I 相、 Q 相にチェンジ [p79]

• これまで見てきたように、 X 軸と Y 軸ではちょうど90° の位相差がありました。すなわち、直角です。

• これからは、 X 軸を I 相（ In Phase ） ,Y 軸を Q 相(Quadrature Phase)

• 平面を IQ 平面と呼ぶ

IQ平面

0I相

Q相

12

ここからは教科書を超えた事項！

13

新導入１：複素指数関数

• 実数部と虚数部からなるので、複素数である。• 実数部だけみると、これまで使用した三角関数

)2sin()2cos(

)(~ )2(

ftAjftA

Aetx ftj

実数部 虚数部

• これまでは、三角関数を用いたが、もう一歩すすんで複素指数関数を導入する！

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新導入２：複素平面• IQ 平面

– I 相、 Q 相の２つの値のペアで、平面上の点を指定した。

• 複素平面– 複素数ひとつで、平面上の 1 点を示す方法を導入する。– 実部を I 相に対応：実数軸– 虚部を Q 相に対応：虚数軸

複素平面

0実数軸（ I相）

嘘数軸（ Q相）

a

ba + j b

15

複素指数関数は複素平面では回転を示す関数となる。

)2sin()2cos(

)(~ )2(

ftAjftA

Aetx ftj

実数部 虚数部

0実数軸、 I相

虚数軸、 Q相 )(~ tx

)2cos( ftA

)2sin( ftAA

ft2

16

時間とともに複素指数関数は回転する。

17

複素振幅

ftjj

ftj

eAe

Aetx

2

)2()(~

tj

j

eXtx

f

AeX

0)(~20

とすると、、

• X は x(t=0) の値であり、回転のスタート位置（ t=0 の位置）を示す。

• X を複素振幅という 18

複素指数関数で、 QPSK を示す。

ftjjftjeeetx

24

1)

4

12(

0 )(~

ftjjftjeeetx

24

3)

4

32(

1 )(~

ftjjftjeeetx

24

5)

4

52(

2 )(~

ftjjftjeeetx

24

7)

4

72(

3 )(~

0実数軸、 I相

虚数軸、 Q相

4

1je

4

3je

4

5je 4

7je

複素振幅を、複素平面にプロットすれば、コンスタレーションとなる。

19

複素振幅を SCILAB でプロットする

20

同一周波数の波の合成方法)2sin()2cos()( ftfttx 右式の合成を調べる

それぞれの波のコンスタレーションを調べ、合成する 0

虚数軸、 Q相

実数軸、 I相j01

j10

ftj

ftjftj

ej

ejejtx

2

22

)1(

)10()01()(~

複素指数関数に変換

合成波の振幅と位相がわかる 2A 4

j1

合成波 )4/2cos(2)( fttx 21

振幅、位相の計算

0

虚数軸、 Q相

実数軸、 I相j01

j10 j1

22

HW3

( １ ) webclass 情報工学科　デジタルシステム設計

に用意したＨＷ２を完了させよ。講義から 2 週間後同一曜日の夜２３：００を期限

とする。

• http://webclass.cc.u-ryukyu.ac.jp/

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