Πανελλήνιες Εξετάσεις- Φυσική [Δείγμα 16σελ]

3Τα δηλώνουν το βαθμό δυσκολίας

1o ΘΕΜΑ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Σχετίζεται με την ερώτηση 1.4 στη σελίδα 31 του Σχ. Βιβλίου

ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Λυκείων 2003 1) (1.4) Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας:

α. η κινητική του ενέργεια είναι μηδέν. β. η επιτάχυνσή του είναι μέγιστη. γ. η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν. δ. η δυναμική του ενέργεια είναι μέγιστη.

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2005 2) (1.1) Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η ταχύτητα του σώματος:

α. έχει την ίδια φάση με την επιτάχυνση α. β. είναι μέγιστη στις ακραίες θέσεις. γ. είναι μέγιστη, κατά μέτρο, στη θέση ισορροπίας. δ. έχει πάντα αντίθετη φορά από τη δύναμη επαναφοράς.

ΓΕΝΙΚΩΝ Λυκείων 2008 3) (1.4) Στην απλή αρμονική ταλάντωση, το ταλαντούμενο σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα:

α.στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του. β.όταν η επιτάχυνση είναι μέγιστη. γ.όταν η δύναμη επαναφοράς είναι μέγιστη. δ.όταν η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν.

ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Λυκείων 2010 4) (1.5) Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητά του είναι μηδέν.

ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Λυκείων 2005 5) (1.1) Σώμα μάζας m που είναι προσδεμένο σε οριζόντιοελατήριο σταθεράς k, όταν απομακρύνεται από τη θέση ισορρο-πίας κατά Α, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουμε την απομάκρυνση Α, η περίοδος της ταλάντωσης γίνεται:

α. 2Τ. β. Τ. γ. Τ/2. δ. 4Τ.

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2006 6) (1.2) Η συχνότητα ταλάντωσης ενός συστήματος ελατηρίου - μάζας

α. είναι ανεξάρτητη από τη σταθερά k του ελατηρίου.β. είναι ανεξάρτητη από το πλάτος Α της ταλάντωσης.γ. εξαρτάται από την ενέργεια του ταλαντωτή.δ. είναι ανεξάρτητη από τη μάζα του ταλαντωτή.

H Περίοδος (και η Συχνότητα) εξαρτάται μόνο από τα φυσικά χαρακτηριστικά

του ταλαντωτή.Δηλαδή εδώ, από την μάζα (m)

και την σταθερά του ελατηρίου (k)

T = 2πmk

1ο ΘΕΜΑ

4

1o ΘΕΜΑ

Τα δηλώνουν το βαθμό δυσκολίας

Από τις σχέσεις:

F Dx F m

== −− == αα και F Dx F m

== −− == αα

συμπερανουμε ότι:τα «F», «α» έχουν ίδια • φοράτα «F», «χ» έχουν αντίθετη φορά • τα «α», «χ» έχουν αντίθετ• η φορά

Το πρόσημο των μεγεθών : «χ», «α» και «F»καθορίζεται από την φορά τους

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2004 7) (1.4) Ένα σύστημα ελατηρίου - μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν τετραπλασιάσουμε την ολική ενέρ-γεια της ταλάντωσης αυτού του συστήματος, τότε:

α. η συχνότητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί.β. η σταθερά επαναφοράς θα τετραπλασιαστεί.γ. το πλάτος της ταλάντωσης θα τετραπλασιαστεί.δ. η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2004 8) (1.4) Σε μία γραμμική αρμονική ταλάντωση διπλασιάζουμε το πλάτος της. Τότε:

α. η περίοδος διπλασιάζεται.β. η συχνότητα διπλασιάζεται.γ. η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή.δ. η μεγίστη ταχύτητα διπλασιάζεται.

ΟΜΟΓΕΝΩΝ 20109) (1.3) Όταν σε μια απλή αρμονική ταλάντωση διπλασιάσουμε το πλάτος της, τότε διπλασιάζεται και η

α. περίοδος.β. συχνότητα.γ. ολική ενέργεια.δ. μέγιστη ταχύτητα.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2007 10) (1.1) Ένας ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t1 έχει ενέργεια ταλά-ντωσης Ε και πλάτος ταλάντωσης Α. Τη χρονική στιγμή t2 που έχει χάσει τα 3/4 της αρχικής του ενέργειας το πλάτος της ταλά-ντωσής του είναι:

α. A/4 β. 3Α/4 γ. A/2 δ. A/3

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 2008 11) (1.3) Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση έχουν πάντα την ίδια φορά:

α. η ταχύτητα και η επιτάχυνση.β. η ταχύτητα και η απομάκρυνση.γ. η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση.δ. η δύναμη επαναφοράς και η επιτάχυνση

ΓΕΝΙΚΩΝ Λυκείων 2009 12) (1.2) Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγμή

α. έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο.β. έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο.γ. θα έχουν το ίδιο ή αντίθετο πρόσημο ανάλογα με την αρχική

φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης.δ. μερικές φορές έχουν το ίδιο και άλλες φορές έχουν

αντίθετο πρόσημο.

Χρησιμοι Τυποι

umax = ω Α

Ε = ½ D Α2

Ε = ½ m umax2

Τα μεγέθη f, T, ω και D παραμένουν ΣΤΑΘΕΡΑ,

όταν αλλάζει κάποιο από τα μεγέθη Α, Ε ενός συστήματος που εκτελεί Α.Α.Τ..


2o ΘΕΜΑ

ΓΕΝΙΚΩΝ Λυκείων 20091) (2.3) Υλικό σημείο Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και κυκλικής συχνότητας ω. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτη-τάς του είναι υ0 και του μέτρου της επιτάχυνσής του είναι α0. Αν x, υ, α είναι τα μέτρα της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του Σ αντίστοιχα, τότε σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει:

α. υ2 = ω (Α2 − x2). β. x2 = ω2 (α0

2 − α2 ). γ. α2 = ω2 ( υ0

2 − υ2 ). Μονάδες 3Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 6

ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2010 2) (2.3) Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m και 2m αντίστοιχα είναι δεμένα στα άκρα δύο ελατηρίων με σταθερές k και k/2, όπως φαίνεται στο σχήμα, και εκτελούν απλές αρμονικές ταλα-ντώσεις με ίσες ενέργειες ταλάντωσης.

Σ1

mk

Σ2

2mk/2

Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες.Το πλάτος ταλάντωσης Α1 του σώματος Σ1 είναι:

α. μικρότερoβ. ίσoγ. μεγαλύτερo

από το πλάτος ταλάντωσης Α2 του σώματος Σ2.Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση.

Μονάδες 2Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Μονάδες 7

ΓΕΝΙΚΩΝ Λυκείων 20043) (2.4) Δύο σώματα Σ1 και Σ2 με ίσες μάζες ισορροπούν κρεμα-σμένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια με σταθερές k1 και k2 αντίστοιχα, που συνδέονται με τη σχέση k1 = k2 /2.Απομακρύνουμε τα σώματα Σ1 και Σ2 από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και 2x αντίστοιχα και τα αφήνουμε ελεύθερα την ίδια χρονική στιγμή, οπότε εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Τα σώματα διέρχονται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας τους:

α. ταυτόχρονα.β. σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σ1.γ. σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σ2.

Μονάδες 2Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 4

Διπλησ Εφαρμογησ Τυπου

1) Εφαρμόζουμε δύο φορές τον τύπο:

t Tmk t m

k== == ⇒⇒ ==

4

2

4 2

ππ ππ

και διαιρούμε κατά μέλη

2) Χρησιμοποιούμε ότι: k1 = k2/2

3) Δεν αλλάζει το: m

4) Δεν επηρεάζει το: χ


1) Εφαρμόζουμε δύο φορές τον τύπο: Ε = ½ k A2


2) Χρησιμοποιούμε ότι: k1 = k, k2 = k/2

3) Δεν αλλάζει το: E


2ο ΘΕΜΑ

ΑπόδειξηΑρχικά αποδεικνύουμε τους τύπους:

α = – ω2 χu2 = ω2 (A2 – χ2 )

και στη συνέχεια κάνουμε τη απόδειξη που ζητείται.

( Χρησιμοποιούμε και το : u0 = ω A )

6

2o ΘΕΜΑ


αποΔΕιξηΧρησιμοποιούμε τους τύπους:

F = m αα = − ω2 A ημωt

x = A ημωt

σΧΕΔιασμοσ γραφικησ παρασΤασησ

Για να κάνουμε μια γραφική παράσταση δύο μεταβλητών, πρέπει να γνωρίζουμε τη σχέ-ση που τις συνδέει.

Εδώ η σχέση αυτή είναι: U = ½ k χ2

η οποία είναι 2ου βαθμού, οπότε η γραφική παράσταση θα είναι παραβολή.

ΓΕΝΙΚΩΝ Λυκείων 20034) (2.4) Σώμα μάζας m εκτελεί γραμμική απλή αρμονική ταλάντω-ση. Η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση x = Α ημωt, όπου Α το πλάτος της ταλάντω-σης και ω η γωνιακή συχνότητα. Να αποδείξετε ότι η συνολική δύναμη, που δέχεται το σώμα σε τυχαία θέση της τροχιάς του, δίνεται από τη σχέση: F = - m ω2 x.

Μονάδες 6

ΓΕΝΙΚΩΝ Λυκείων 2005 5) (2.3) Σώμα μάζας Μ έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυ-φου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά απόσταση α από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο να κάνει ταλάντωση. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα και με ένα άλλο ελατήριο σταθε-ράς k΄ = 4k. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυναμικών ενεργειών των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση με την απομά-κρυνση στο ίδιο διάγραμμα.

Μονάδες 6

ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2007 6) (2.1) Στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων Α και Β των οποίων τα άλλα άκρα είναι ακλόνητα στερεωμένα, ισορροπούν δύο σώματα με ίσες μάζες. Απομακρύνουμε και τα δύο σώματα προς τα κάτω κατά d και τα αφήνουμε ελεύθερα, ώστε αυτά να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Αν η σταθερά του ελατηρίου Α είναι τετραπλάσια από τη σταθερά του ελατηρίου Β, ποιος είναι τότε ο

λόγος των μέγιστων ταχυτήτων uu

A

B

( ,max)

( ,max)

των δύο σωμάτων;

α. 1/2 β. 1 γ. 2Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

Μονάδες 2Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Μονάδες 6

ΟΜΟΓΕΝΩΝ 2008 7) (2.1) Το σώμα Σ1 του παρακάτω σχήματος είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α σε λείο οριζόντιο δάπεδο.

Σ1

Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ1 είναι α1,max.Το σώμα Σ1 αντικαθίσταται από άλλο σώμα Σ2 διπλάσιας μάζας, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους Α.Για το μέτρο α2,max της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ2, ισχύει:

α. α2,max = ½ α(1,max) β. α2,max = α1,max γ. α2,max = 2 α1,max

Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση.Μονάδες 2

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.Μονάδες 6



u Amk

A

u km

A

max

max

== == == ⇒⇒

⇒⇒ ==

ωωππ ππ

ππΑΑ

ΤΤ2 2

2


2) Χρησιμοποιούμε ότι: kA = 4 kB

3) Δεν αλλάζει το: m



αα ωωππ ππ

ππ

αα

max

max

== ==

==

⇒⇒

⇒⇒ ==

22

2

2 2

2ΑΑ

ΤΤA

mk

A

km

A


2) Χρησιμοποιούμε ότι: m2 = 2 m1

3) Δεν αλλάζουν τα: Α, k


3o - 4o ΘΕΜΑ


3ο- 4ο ΘΕΜΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 20071)

ΘΕΜΑ 4ο

Ένα σώμα Σ μάζας m1 είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζό-ντιου ελατηρίου σταθεράς Κ. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα ελατήριο - μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επί-πεδο και τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο κατά τη θετική φορά.

Σ(m1)υ

x=0

Η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώμα-τος Σ δίνεται από τη σχέση: x=0,1ημ10t (SI).Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι Ε=6J. Τη χρονική στιγμή t=π/10sec στο σώμα Σ σφηνώνεται βλήμα μάζας m2=m1/2 κινούμενο με ταχύτητα υ2 κατά την αρνητική φορά. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει μετά την κρούση εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση πλά-τους A′=0,1 6 m.

α. Να υπολογίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου και τη μάζα m1 του σώματος Σ

Μονάδες 8 β. Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια Ε΄ και τη γωνιακή

συχνότητα ω΄ της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Μονάδες 8

γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ2 του βλήματος πριν από την κρούση.

Μονάδες 9

Σύγκριση ΕξισώσεωνΣυγκρίνουμε την εξίσωση που δίνεται

με τη Γενική Εξίσωση Α.Α.Τ.: χ = Α ημωt

και βρίσκουμε τα: Α, ω.

Αντικαθιστούμε τους τύπους:

Ε' = = ½ k A'2.................... Ε'=...

k m m km m

== ++(( )) ⇒⇒ ==++1 2

2

1 2

ωω ωω' '

β

Χρησιμοποιούμε τους τύπους: Ε = = ½ k A2.................... k =...

Tmk

m== ==2 11ππ ..................... ...

α

8 φορές θέμα πανελληνίων Ασκήσεις: 1, 59, 60, 61, 64, 65, 68, 73

Εφαρμογή της A.Δ.Ο. για τη κρούση: ΡΡ ΡΡ ΡΡ ΡΡ ΡΡ

οολλ οολλ== ⇒⇒ ++ == ⇒⇒' ' ...1 2

Από το τύπο: ωω ππ==

2ΤΤ

βρίσκουμε ότι η περίοδος

της Α.Α.Τ. είναι: Τ = 2π/10 sec

Άρα, η στιγμή t=π/10s αντιστοιχεί σε: t = T/2

Οπότε τη στιγμή της κρούσης το σ�μα βρίσκε�τη στιγμή της κρούσης το σ�μα βρίσκε�ται στη Θ.Ι. και κινείται προς τα αρνητικά.Συνεπ�ς, ισχύουν:

u1 = umax = ω Α

u ΄ = umax΄ = ω΄ Α΄

γ

12 φορές θέμα πανελληνίων

Ασκήσεις: 53, 59, 61, 62, 64, 66, 67, 70, 71, 73, 74, 76

8

3o - 4o ΘΕΜΑ


α Εξισώσεις Ελεύθερης Πτώσης:u2 = g t

h = ½ g t2

Εφαρμογή της A.Δ.Ο. για τη κρούση: ΡΡ ΡΡ ΡΡ ΡΡ ΡΡ

οολλ οολλ== ⇒⇒ ++ == ⇒⇒' ' ...1 2

β


Ασκήσεις: 1, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14

Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου δίνεται από τη σχέση:

Uελ = ½ k Δl2

Μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου έχουμε, όταν το σ�μα βρίσκεται στην μέγιστη

απόσταση από τη θέση φυσικού μήκους ( αφού από εκεί μετριέται το Δl )

δ


Ασκήσεις: 1, 10

Αλλαγη Θεσησ ΙσόρρόπιασΕπειδή αλλάζει η μάζα του ταλαντευόμενου συστήματος, αλλάζει και η Θ.Ι. του.

Εφαρμόζουμε:

▪ 1ο Ν.Ν. (ΣF =0) στις δύο Θ.Ι. .

▪ Α.Δ.Μ.Ε. για την κίνηση του συσσωματώματος από την Θ.Ι.(1) έως την Θ.Μ.Α. .

β


Ασκήσεις: 1, 17, 19

ΟΜΟΓΕΝΩΝ 20092)

ΘΕΜΑ 4ο

Σώμα Σ1 μάζας m1=7kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο.

Σ1

h

Σ2

Από ύψος h=3,2m πάνω από το Σ1 στην ίδια κατακόρυφο με τον άξονα του ελατηρίου αφήνεται ελεύθερο σώμα Σ2 μάζας m2=1kg, το οποίο συγκρούεται με το Σ1 κεντρικά και πλαστικά.

Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της ταχύτητας u2 του Σ2 οριακά πριν αυτό συ-γκρουστεί με το Σ1.

Μονάδες 6

β. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

Μονάδες 6

γ. το πλάτος Α της ταλάντωσης του συσσωματώματος.Μονάδες 6

δ. τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.Μονάδες 7

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10m/s2.


3o - 4o ΘΕΜΑ

ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Λυκείων 20073)

ΘΕΜΑ 3ο

Στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωμένο σώμα μάζας m1=1,44kg, ενώ το άλλο του άκρο είναι ακλόνητο.Πάνω στο σώμα κάθεται ένα πουλί μάζας m2 και το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του συστήματος είναι 0,4π m/s και η δυναμική του ενέργεια μηδενίζεται κάθε 0,5s. Όταν το σύστημα διέρχεται από την ακραία θέση ταλάντωσης, το πουλί πετά κατακόρυφα και το νέο σύστημα ταλαντώνεται με κυκλική συχνότητα 2,5π rad/s. Να βρείτε:

Α. Την περίοδο και το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης.Μονάδες 6

Β. Τη σταθερά του ελατηρίου.Μονάδες 6

Γ. Tη μέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης.Μονάδες 6

Δ. Τη μάζα του πουλιού.Μονάδες 7

Η δυναμική ενέργεια μηδενίζεται δύο φορές σε κάθε περίοδο. Άρα Τ/2 = 0,5 sec

Χρησιμοποιούμε το τύπο:

k m km

== ⇒⇒ == ==12

1

ωω ωω' ' ...

Β

Αντικατάσταση στο τύπο:umax΄ = ω΄ Α΄

Α΄ = ΑΕφόσον το πουλί πετά κατακόρυφα,

δε θα έχουμε μεταβολή της ορμής στο χχ΄οπότε το σ�μα παραμένει ακίνητο.

Έτσι δεν αλλάζει η Θ.Μ.Α..

( Β΄ Τρόπος : A.Δ.M.E.Τ. μεταξύ Θ.Μ.Α. κ΄ Θ.Ι.)

Γ

ΑΕπίλυση των τύπων:

υmax = ω A και ωω ππ==

2ΤΤ

( Β΄ Τρόπος : A.Δ.M.E.Τ. μεταξύ Θ.Ι. κ΄ Θ.Μ.Α. )


Ασκήσεις: 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 14

Χρησιμοποιούμε το τύπο: Tm m

k==

++2 1 2ππ

Δ


Ασκήσεις: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11

10

3o - 4o ΘΕΜΑ


ΓΕΝΙΚΩΝ Λυκείων 20064)

ΘΕΜΑ 3ο

Τα σώματα Σ1 και Σ2, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ιδα-νικού ελατηρίου σταθεράς k=100N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,2m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ2 ισορροπεί στο οριζόντιο επί-πεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος ℓ0 του ελατηρίου.

Σ1 Σ2

lo

Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ1 κινούμενο προς τα δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελα-στικά με το σώμα Σ2. Θεωρώντας ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά κίνη-σης την προς τα δεξιά, να υπολογίσετε

α. την ταχύτητα του σώματος Σ1 λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ2.

Μονάδες 6 β. τις ταχύτητες των σωμάτων Σ1 και Σ2, αμέσως μετά

την κρούση. Μονάδες 6

γ. την απομάκρυνση του σώματος Σ1, μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Μονάδες 6

δ. την απόσταση μεταξύ των σωμάτων Σ1 και Σ2 όταν το σώμα Σ1 ακινητοποιείται στιγμιαία για δεύτερη φορά. Δεχθείτε την κίνηση του σώματος Σ1 τόσο πριν, όσο και μετά την κρούση ως απλή αρμονική ταλάντωση σταθεράς k. Δίνεται π=3,14

Μονάδες 7

αΕπίλυση των τύπων:

υmax = ω A και k = m1 ω2

( Β΄ Τρόπος : A.Δ.M.E.Τ. μεταξύ Θ.Ι. κ΄ Θ.Μ.Α. )


Ασκήσεις: 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 14

Εφαρμογή Τύπων Ελαστικής Κρούσης:

υυ υυ11 2

1 21' ==

−−++

m mm m

και υυ υυ21

1 21

2' ==++m

m m

β


Ασκήσεις: 3, 6, 11, 12, 14

γ

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

χ = Α΄ ημ ( ωt + φ0)

Το πλάτος της ταλάντωσης αλλάζει μετά την κρούση, αφού αλλάζει η ολική ενέργεια της ταλάντωσης. Το πλάτος της νέας ταλάντωσης βρίσκεται από τη σχέση:

u΄max = ω Α΄

Η αρχική φάση υπολογίζεται αντικαθιστ�ντας στην εξίσωση:

χ = Α' ημ( ωt + φ0 )τις αρχικές συνθήκες: t = 0 κ΄ χ = 0 και λύνοντας την τριγωνομετρική εξίσωση.Από τις δύο λύσεις που προκύπτουν, επιλέγουμε αυτή που ικανοποιεί τη δεύτερη αρχική συνθήκη:

u1΄ < 0 ( όπως προκύπτει από το (β) ερ�τημα )

γ


Ασκήσεις: 3, 6

Χρόνος Κίνησης

Το Σ1 κάνει Α.Α.Τ. οπότε ακινητοποιείται για δεύτερη φορά, όταν βρίσκεται στην θέση:

χ = + Α΄ ( αφού u1΄ < 0 )

O χρόνος κίνησης, τόσο του Σ1 όσο και του Σ2 είναι: t = 3Τ/4

To Σ2 διανύει απόσταση: Δχ2 = u2΄ t

Άρα η απόσταση των δύο σωμάτων είναι:d = Δχ2 – Α΄

δ

6 φορές θέμα πανελληνίων Ασκήσεις: 3, 10, 13, 16, 17, 20


3o - 4o ΘΕΜΑ


ΘΕΜΑ 3ο

Σώμα Σ1 μάζας m1=1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλι-μένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30ο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελα-τηρίου σταθεράς k=100Ν/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Σ 1

φ

Εκτρέπουμε το σώμα Σ1 κατά d1=0,1m από τη θέση ισορ-ροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και το αφήνουμε ελεύθερο.

1) Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Μονάδες 5

2) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθ-μού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ1.

Μονάδες 5

Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά Δℓ=0,3m. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=1kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα Σ1, και ύστερα αφή-νουμε τα σώματα ελεύθερα.

Σ 2Σ 1

φ

3) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ2 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του.

Μονάδες 6

4) Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφή-σαμε ελεύθερα τα σώματα χάνεται η επαφή μεταξύ τους.

Μονάδες 9

Δίνονται: ημ30ο=1/2 , g=10m/s2

Απόδειξη Α.Α.Τ. Στη Θέση Ισορροπίας ισχύει:

ΣFχ= 0 =>... Σε μια Τυχαία Θέση δείχνουμε ότι ισχύει:

ΣFχ= - D x

1

Αντικατάσταση στον τύπο:

∆∆∆∆

Pt

k Amax

. . .== ==

2

Το σ�μα m2 και το σύστημα (m1+m2) θα κάνουν Α.Α.Τ. με την ίδια περίοδο.

Για το σ�μα m2 : TmD

== 2 2ππ

Για το σύστημα (m1+m2): Tm m

k==

++2 1 2ππ

3

Εφαρμόζουμε τη σχέση: ΣF = - D xστην θέση που χάνεται η επαφή.

(στην θέση αυτή ισχύει: Ν=0)

Έτσι, βρίσκουμε την απόσταση "x" της θέσης που χάνεται η επαφή, από τη Θέση Ισορροπίας

του συστήματος (m1+ m2 ).

ΠΡΟΣΟΧΗ ! Η άσκηση ζητά την απόσταση μεταξύ της θέσης που χάνεται

η επαφή και της αρχικής θέσης (Θ.Μ.Α.).

4

12

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Aπαντήσεις στα Θέματα των Α.Α.Τ.

1ο ΘΕΜΑ

1 2 3 4γ γ δ Λ

5 6 7 8β β δ δ

9 10 11 12δ γ δ α

2ο ΘΕΜΑ


2.3 γ

α α ηµω ω ηµω α ω

ηµω

== −− == −− ⇒⇒ == −− (( ))==(( ))

max t t xx t

2 2 1ΑΑ

E K U D mu Dx

m A mu m x

A u

D m

== ++ ⇒⇒ == ++ ⇒⇒

⇒⇒ == ++ ⇒⇒

⇒⇒ == ++

==(( ))12

12

12

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

Αω

ω ω

ω ω 22 21

2 2 2 22

4

02 2

2

22 2 2 2 2

x A u

u u u u

u

o

o(( )) ==(( ))⇒⇒ == ++ ⇒⇒

⇒⇒ == ++ ⇒⇒ == ++ ⇒⇒

⇒⇒

ω ωαω

αω

ω ω α

ωΑ

αα ω γ2 2 2 2== −−(( ))⇒⇒u uo

Άρα, σωστό είναι το (γ).

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 20102)

2.3 α

E kAE k A

E k A

EE

k A

k A

k A

== ⇒⇒==

==

⇒⇒ == ⇒⇒

⇒⇒ ==

12

1212

1212

1

21 1

2

2 22

1 12

2 22

1 112

2 22

1

2

2

1

1

2

1

21 2

2

12

1

k AAA

kk

AA

k

k

AA

A A

⇒⇒ == ⇒⇒ == ⇒⇒

⇒⇒ == << ⇒⇒ << ⇒⇒ α

Άρα, σωστό είναι το (α).


13




2.4 γ

Για να μετακινηθούν τα σώματα από την Θ.Μ.Α. έως την Θ.Ι. χρειάζονται χρόνο Τ/4. Οπότε:

t

mk t m

k== == ⇒⇒ ==Τ4

2

4 2

π π

Εφαρμόζουμε το τύπο δύο φορές:

t mk

t mk

tt

kk

kk t t

kk1

1

22

1

2

2

1

22

21 2

2

2 2

2 11

2==

==

⇒⇒ == == == >> ⇒⇒ >>==

π

π

( )



2.4 -

•• ==

•• == −−

⇒⇒

== −−==

⇒⇒ == −−

F mt

F m tx t

F m xα

α ω ηµωω ηµω

ηµωω2

22

ΑΑ

Α


2.3 -

Η σχέση που συνδέει την δυναμική ενέργεια και την απομάκρυνση είναι:

•• ==

•• == == ⇒⇒ ==

U k x

U k x kx U U

1212

12

4 4

2

2 2' ' '

U

-α +αx

4kα2

kα2


2.1 γ

umk

A u km

uu

kmkm

u

max max

,max

,max

,max

== == == ⇒⇒ == ⇒⇒

== ⇒⇒

ωπ π

πΑ

ΤΑ Α

Α

Α

Α

Β

Α

Β

Α

2 2

2

uukk

uu

kk

uu

Β

Α

Β

Α

Β

Β

Β

Α

Β

,max

,max

,max

,max

,max

== ⇒⇒ == ⇒⇒

⇒⇒ == ⇒⇒

4

2 γ



2.1 α

α ωπ π

πα

α

max max

,max

== ==

==

⇒⇒ == ⇒⇒

⇒⇒

22

2

1

2 2

2Α

ΤΑ Α Α

mk

km

ααα

αα

2

1

2

2

1

1

12

122,max

,max,max== == == ⇒⇒ == ⇒⇒

kmk

m

mm

mm

Α

Α

Άρα, σωστό είναι το (α).

14



3ο - 4ο ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 20071)

4.α

•• == ⇒⇒==

==

•• == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==⋅⋅

x tA m

rad

E k k k

0 1 100 1

10

12

2 2 60 1

22 2

,,

sec

,

ηµω

ΑΕΑ

⇒⇒⇒⇒ ==

•• == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==

•• == ⇒⇒ == ⇒⇒

km

mk

m

1200

2 2 210

2 210

21200

110

1 1

Ν

ΤΤ Τ

Τ

ωπ π

ωπ

ππ

π

sec

====

⇒⇒ == ⇒⇒ ==

m

m m kg

1

21

1

12001

10 120012

4.β

•• == ⇒⇒ == (( )) ⇒⇒ ==

•• == ++ ⇒⇒ ==++

==

E k E E J

k m m km m

' ' ' , '

( ) ' '

12

12

1200 0 1 6 362 2

1 22

1 2

Α

ω ωkk

m m

rad

11

2

120012 6

120018

10 63

++⇒⇒

⇒⇒ ==++

== ⇒⇒ ==ω ω' 'sec

4.γ

Η χρονική στιγμή t = π/10 s είναι η t=T/2 ( T=π/20 s ) οπότε το σώμα m1 θα βρίσκεται στην Θ.Ι. και θα κινεί-ται προς τα αρνητικά. Έτσι θα έχουμε:

υ1 υ2

υoλ (+)

•• == == == ⋅⋅ ⇒⇒ ==

•• == == == ⇒⇒ ==

u u A u ms

u u A u m

1 110 0 1 1

10 63

0 1 6 2

max

max

,

' ' ' ' , '

ω

ωολ ολ ssA

P P P P P PP P P m u m u

. . .

' '

∆Ο

•• ++ == ⇒⇒−− −− == −− ⇒⇒

⇒⇒ ++ == ⇒⇒ ++

1 2 1 2

1 2 1 1 2

ολ ολ

ολ 22 1 2

21 2 1 1

22 4

== ++(( )) ⇒⇒

⇒⇒ ==++(( )) −−

⇒⇒ ==

m m u

um m u m u

mu m

s

ολ

ολ

'

'


3.α

Επειδή η κρούση θα γίνει στην Θ.Ι. η ταχύτητα είναι η μέγιστη.

•• == ⇒⇒ == == ⇒⇒ ==

•• == == ⇒⇒ == ⋅⋅ ⇒⇒ ==

k m km

rads

u u u u ms

12

1

1 1 1

1001

10

10 0 2 2

ω ω ω

ωmax ,Α

3.β

Εφαρμόζουμε τους τύπους της Ελαστικής κρούσης.

•• ==−−++

⇒⇒ ==−−++

⇒⇒ == −−

•• ==++

⇒⇒ ==

u m mm m

u u u ms

u mm m

u u

11 2

1 21 1 1

21

1 21 2

1 31 3

2 1

2

' ' '

' ' 22 11 3

2 12⋅⋅++

⇒⇒ ==u ms

'

3.γ

Η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι της μορφής: x A t== ++(( ))' ηµ ω ϕ0

* ( Το πλάτος της Α.Α.Τ. θα αλλάξει μετά την κρούση, αφού αλλάζει η Ολική Ενέργεια )

uu u

u

k m km

u km

'' '

'

' ' '

max

max

====

⇒⇒

==

== ⇒⇒ ==

⇒⇒

⇒⇒ == ⇒⇒

ω ω

ω ωΑ Α

Α Α

1

1

12

1

11

==== ⇒⇒ ==mk u m1

1 0 1' ' ,Α

Για να βρούμε την αρχική φάση (φ0) αντικαθιστούμε τις αρ-χικές συνθήκες t=0, x=0: x A t A== ++(( ))⇒⇒ == ++(( ))⇒⇒ ==ηµ ω ϕ ηµ ω ϕ ηµϕ0 0 00 0 0

οπότε: φ0=0 ή φ0=π

Για t=0: u uu uu u

== ⇒⇒== >>== <<

maxmax

max

συνϕσυνσυνπ0

0 00

Επειδή την t=0, u1' <0 επιλέγουμε φ0=π.

Άρα x t== ++(( ))0 1 10, ηµ π

3.δ

Το Σ1 ακινητοποιείται για δεύτερη φορά όταν βρίσκεται στην θέση x=+Α ( αφού u1' <0 ).Ο χρόνος κίνησης του Σ1 (αλλά και του Σ2 ) θα είναι:

t T mk

t== == == ⇒⇒ ==34

34

2 32

1100

0 151ππ

π, sec

Το Σ2 (αφού κάνει ΕΟΚ) θα διανύσει στο χρόνο αυτό απόσταση:∆ ∆x u t x m2 2 2 0 15== ⇒⇒ ==' , π

Το Σ2 θα απέχει από το Σ1 απόσταση:

d x A d m== −− == −− ⇒⇒ ==∆ 2 0 15 0 1 0 371' , , ,π

15



ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Λυκείων 20073)

3.Α

Επειδή η δυναμική ενέργεια μηδενίζεται 2 φορές σε κάθε

περίοδο, έχουμε ότι: T T2

0 5 1== ⇒⇒ ==, sec sec

u A Au u

mmaxmax max , ,== ⇒⇒ == == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==ωω π

ππ2

0 421

0 2

Τ

Α Α

3.Β

k m k k Nm

== ⇒⇒ == (( )) ⇒⇒ ==12 2 21 44 2 5 9ω π π' , ,

3.Γ

Η αλλαγή στην μάζα συμβαίνει, όταν το σώμα βρίσκεται στην Θ.Μ.Α. (όπου u=0) οπότε από την Α.Δ.Ο. έχουμε ότι:

Ρ Ρ

ολ ολx x m m u m u u(( )) (( ))== ⇒⇒ ++(( )) == ⇒⇒ == ⇒⇒' ' '1 2 1 0

η Θ.Μ.Α. δεν αλλάζει, οπότε δεν αλλάζει ούτε το Α. Άρα:

u u ms' ' ' ' , , ' ,max max== == == ⇒⇒ ==ω ω π πΑ Α 2 5 0 2 0 5

3.Δ

T m mk

T m mk

m m T k m T k m

m

==++

⇒⇒ ==++

⇒⇒

⇒⇒ ++ == ⇒⇒ == −− ⇒⇒

⇒⇒ ==

2 4

4 41 9

1 2 2 2 1 2

1 2

2

2 2

2

2 1

2

2

π π

π π

ππ

π

2

2 24

1 44 2 25 1 44 0 81−− == −− ⇒⇒ ==, , , ,m kg

ΟΜΟΓΕΝΩΝ 20094)

4.α

h gt t hg

t== ⇒⇒ == == ⇒⇒ ==⋅⋅1

22 2 3 2

100 82 2 , , sec

u gt u ms2 210 0 8 8== == ⇒⇒ ==⋅⋅ ,

4.β

Ρ Ρ Ρ

1 2 2 2 1 2

2 2

1 2

1 87 1

1

++ == ⇒⇒ == ++(( )) ⇒⇒

⇒⇒ ==++

==⋅⋅++

⇒⇒ ==

' '

' '

m u m m u

u m um m

u ms

4.γ

Θ Ι Σ ∆ ∆. . : ,1 1 1 10 0 7(( )) == ⇒⇒ == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==F F W k m g mελ

Θ Ι Σ ∆

∆

. . :

,2 2 1 2

2

0

0 8(( )) == ⇒⇒ == ⇒⇒ == ++(( )) ⇒⇒

⇒⇒ ==

F F W k m m g

mελ ολ

Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ μεταξύ της θέσης μετά την κρούση και της θέσης μέγιστης απομάκρυνσης.

K U K U

m m u k k

++ == ++ ⇒⇒

⇒⇒ ++(( )) ++ −−(( )) == ⇒⇒

⇒⇒ ++(( )) ++

' '

' '12

12

12

12

7 1 1 12

1 22

2 12 2

2

∆ ∆ Α

1100 0 8 0 7 12

100

4 0 5 50 0 09 0 3

2 2

2 2

, , '

, ' ' , ' ,

−−(( )) == ⇒⇒

⇒⇒ ++ == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==

A

A A A m

4.δ

Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι: U kελ ==12

2∆ ,οπότε U Uελ ελ== (( ))max όταν ∆ ∆ == max .Αυτό συμβαίνει στην κατώτερη θέση. Άρα:

U k A U

U

ελ ελ

ελ

max max

max

, ,(( )) (( ))

(( ))

== ++(( )) ⇒⇒ == ++(( )) ⇒⇒

⇒⇒ ==

12

12

100 0 8 0 3

12

22 2∆

1100 1 21 60 5⋅⋅ ⇒⇒ ==(( )), ,maxU Jελ

16




3.1

Στην Θ.Ι. έχουμε:ΣF=0 => Fελ - Βχ = 0 => k Δl1= m1 g ημφ (1)

Σε μία Τυχαία Θέση έχουμε:ΣF = Βχ - Fελ = 0 => m1 g ημφ - k (χ+Δl1) = 0

⇒⇒ == −− −− ⇒⇒ == −− −−⇒⇒ == −−

Σ ∆ Σ ∆ ∆Σ

F m g k k l F k l k k lF k

1 1

1

1 1ηµϕ χ χχ

( )

Άρα το σώμα εκτελεί Απλή Αρμονική Ταλάντωση.

3.2

∆∆

∆∆

∆∆

Α Α

∆∆

∆

Pt

m ut

m ut

m m k

Pt

max max maxmax

max

,

== == == == == ⇒⇒

⇒⇒ == ⋅⋅ ⇒⇒

α ω2

100 0 1 PPt

Kg m∆ max sec

== 10 2

3.3

Το σώμα m2 και το σύστημα (m1+m2)θα κάνουν Α.Α.Τ. με την ίδια περίοδο.

Για το σώμα: T mD

== 2 2π

Για το σύστημα: T m mk

==++2 1 2π

Άρα: 2 2

1 1100

1 50

1 2 2 1 2 2

1 2 2

π πm m

kmD

m mk

mD

m mk

mD D

D Nm

++== ⇒⇒

++== ⇒⇒

⇒⇒++

== ⇒⇒++

== ⇒⇒ ==

3.4

Δl

Δl 0

x 1

x

Θέση Φυσικού Μήκους

Θέση Ισορροπίας

Θέση Μέγιστης Απομάκρυνσης

Θέση που χάνεται η επαφή

d

Αρχικά βρίσκουμε την απόσταση "x" της θέσης που χάνεται η επαφή, από την Θέση Ισορροπίας του συστήματος (m1+ m2 ).

( στο σημείο που χάνεται η επαφή έχουμε Ν=0 )

Σ F D x N B D x B D x

xBD

x m gD

x

x

N

x

x

== −− ⇒⇒ −− == −− ⇒⇒ −− == −− ⇒⇒

⇒⇒ == ⇒⇒ == ⇒⇒ ==⋅⋅ ⋅⋅

→→

2

0

2

2 2 1 10 0

( )

,ηµϕ 5550

0 1⇒⇒ ==x m,

Στην Θ.Ι. του (m1+ m2 ) έχουμε:ΣF=0 => Fελ - Βχ = 0 => k Δl0= (m1 +m2 ) g ημφ =>

=>

∆ ∆l m m gk

l mo o==++

== ⇒⇒ ==( ) ,1 2

2 10 12

1000 1ηµϕ

Από την εκφώνηση δίνεται ότι η απόσταση της Θ.M.A.από το φυσικό μήκος είναι ίση με Δl = 0,3m.

Επομένως η Θ.Ι. απέχει από την Θ.Μ.Α. απόσταση: x1 = Δl - Δl0 => x1 = 0,3-0,1 => x1 = 0,2m

Άρα η ζητούμενη απόσταση μεταξύ της αρχικής θέσης (Θ.Μ.Α.) και της θέσης που χάνεται η επαφή, θα είναι:

d x x d d m== ++ ⇒⇒ == ++ ⇒⇒ ==1 0 1 0 2 0 3, , ,

Πανελλήνιες Εξετάσεις- Φυσική [Δείγμα 16σελ]

Documents