アルゴリズムとデータ構造補足資料 13-1

「 2 分探索木」

横浜国立大学理工学部

数物・電子情報系学科富井尚志

静的データ　 / 　動的データ• 静的データ

– あらかじめ、データの全量がわかっている– データの追加・削除がない

→ 静的データ構造：配列

• 動的データ– データの追加・削除がある– したがって、データの全量もわからない（増減する）

→ 動的データ構造順アクセスだけ： 線形リスト効率的な探索、局所的なデータ管理：木構造

動的データ構造• 線形リスト

– 次の項目への「ポインタ」

• 木構造– 複数の「部分木」を持つ

• 部分木が高々 2 個の木構造： ２分木 binary tree

• 動的データ構造共通のオペレータ– 要素の生成（追加）

• 生成先 ポインタ変数 = (struct 構造体名 *)malloc(sizeof(struct 構造体名 ))

– 要素の削除• free( 削除先へのポインタ )

おまけ• 木構造 tree structure– 複数の「部分木」を持つ

• 部分木が高々 2 個の木構造： ２分木 binary tree

– どの部分木にも、自分自身（の節）を含まない– 親と子は 1:n の関係

• 網構造 network structure– 複数の「参照先」を持つ

– 参照先の参照先の…参照先に自分自身を含んでよい

解の候補

２分探索のイメージ： 解の候補を片側「半分」に絞り込む

解の方針：「区間」と「中央」を決めて、「中央」より「右」、「左」のどちらかに絞り込む

n 件のデータ 解

解の候補

解の候補

解の候補

解の候補

！

log2 n

２分探索：　 O( log n ) （オーダ ろぐエヌ） のアルゴリズム

静的データの探索：２分探索

２分探索の特徴• 探索の計算量（比較回数）は O(log n)• あらかじめソートされている必要がある– ソートの計算量：クイックソート O( n log n )– ソートの計算量の方が重い

→ 最初に一度だけソートする。探索は頻繁に行う。（固定的な名簿の探索に使える）

• つまり、静的データ（データの増減、追加・削除が起こらない）を対象にしている。

動的データを木構造を使って２分探索可能にする方法：　探索木 (search tree)

• 任意の節点 N について、以下の条件を満たしている木1. (N の ) 左部分木中のすべての節点のキーが、

N のキーよりも小さい2. (N の ) 右部分木中のすべての節点のキーが、

N のキーよりも大きい

動的データを木構造を使って２分探索可能にする方法：　探索木 (search tree)

root

1

4

3 5

6

2

8 10

9

7

キーの値が小さい キーの値が大きい

探索木のオペレータ• 探索木を探索する

• 探索木に節点を追加（挿入）する

• 探索木から節点を削除する

探索木 (search tree)root

1

4

3 5

6

2

8 10

9

7

キーの値が小さい キーの値が大きい

8 を探せ！

探索木 (search tree)root

1

4

3 5

6

2

8 10

9

7

キーの値が小さい キーの値が大きい

8 を探せ！根から始めて

8 は左？右？→ 　右

探索木 (search tree)root

1

4

3 5

6

2

8 10

9

7

キーの値が小さい キーの値が大きい

8 を探せ！根から始めて

8 は左？右？→ 　左

探索木 (search tree)root

1

4

3 5

6

2

8 10

9

7

キーの値が小さい キーの値が大きい

8 を探せ！根から始めて

発見！ O(log n)

探索木のオペレータ• 探索木を探索する

• 探索木に節点を追加（挿入）する

• 探索木から節点を削除する