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output from the 4 hidden unitsweights of the 4 hidden units

dot−products

weights of the 5 hidden units

dot−products

dot−product

perceptron output

α 1, ... ,α

1

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5

5

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Page 4: 10,2!# / !34 ! 506#87 % :9

optimal margin

optimal hyperplane

¹l�pu�z"��' Í �-=� �'*�"#.3$7%2p'���wG#�)('H7"#.�(#.C%2p'o7"����C%2p'H3��! �# Í /"�!34'H %)(�p�� "#�2�)�7"#�I*'.�o>@J%'$)�z"7"7"�%��&� '*I*&(�%��)HK"3$#.�(9�'*/os5�p&�J�u���'*��)(È"z"#.��'*)HK%/"'c{N %'�&cJ%'�3$#.��u.�! ���wl2!#.��u.'*)n&5)('H7"#.�(#�&(�p�� RC"'*&�s�'*'H �&�J%'&�s���I*2!#�)n)('*)H�� #�2:z%'x��wl&�J%'� �z"34C�'H�5��wl)�z"7"7�����& � '*I*&n����)-#. %/R&cJ%'� �z"34C"'H�@��w�&c�(#��! %�! %u � '*I*&n����)H�

� º ¨ �*¿e'H�(���%� à ¼�� � ºª �z"34C�'H�6��wÆ)�z"7"7�����& � '*I*&(����)�¼ %z"34C"'H����wÆ&��n#��! %�: %u � '*I*&(�%��) Õ ¿�� Ã� �.&('.K�&�J"#�&4&�J%�p)qC���z" %/�/"�%'*)o %�.&�'*��7%2p�pI*�p&(2p��I*�% .&�#��: �&cJ%'R/"�:3~'H %)(�p�� "#�2p�p&F����w�&�J%'R)�7"#�I*'R��w)('H7"#.�n#�&(�p�� L����&Bwi�.2p2p��s5)Bwy����3Ö&�J%�p)ÆC���z" %/BK�&�J"#�&B�|wZ&�J%'���7%&(�!3$#�2%J.�"7"'H�(7%2!#. %'@IH#. �C"'�I*�� %)(&c�(z%I*&('*/wy����3�#@)�3$#�2p2" �z"34C�'H�B��wZ)cz"7"7"����& � '*I*&(�%��)Æ��'*2:#�&(� � '6&(�,&�J%'�&��(#��! %�! %u�)('*&B)(�p�*'�&�J%'�u.'H %'H�(#�2}�p�H#�&n�}�% #.C%�p2p�p&F��s5�p2p2�C�'�J%�pu�J�� ' � 'H ��! �#. ��! 8{N %�}&n'�/"�!34'H %)(�p�� "#�2�)�7"#�I*'.� �y O%'*I*&(�p�� ��s�'�s5�p2}2/"'H34�� %)n&��(#�&('�&�J"#�&�&�J%'R�(#�&(�p�v¿�� à wi����#<��'H#�262p�|wi'q7"���%C%2}'H3~)�IH#8 �C�'q#�)x2p�és #�)�¸��ª¸ R#. %/�&�J%'��7%&(�!3$#�2�J.�"7"'H�n7%2:#8 %'�u.'H %'H�(#�2}�p�*'*)�s�'*2p2B�! 1#$C%�p2p2p�p�� �/"�!34'H %)(�p�� "#�2¤wi'H#�&�z"��'�)�7"#�I*'.�A '*& £���� Ñ � � Ê ¸C"'x&�J%'��%7%&(�!3$#�2�J8��7�'H�(7%2!#. %'4�! �wi'H#�&�z"��'x)�7"#�I*'.���]'�s5�p2p2l)�J%��s�K%&�J"#�&5&�J%'xs�'*�}u%J.&() £�� w��%��&�J%'��7%&(�!3$#�2ÆJ8��7�'H�(7%2!#. %'��: &�J%'xw�'H#�&cz"��'�)�7"#�I*'$IH#. �C"'4s-���p&(&n'H #�)�)(��34'42p�! %'H#.��I*��34C%�! "#�&(�p�� <��w)�z"7"7�����& � '*I*&n����) £�� Ê �)�z"7"7�����& � '*I*&n����) � � � Õ ¿i· Ã>5J%'�2p�! %'H#.�,/"'*I*�p)(�p�� �w�z" %I*&n�}�% � ¿ à �! R&�J%',wi'H#�&�z"��'�)c7"#�I*'�s5�p2p2l#�I*I*����/"�! %u.2p�1C"'x��wl&�J%',w��%�(3R�� ¿ ÃlÊ )n�}u% �� �)�z"7"7"����& � '*I*&(����) � � � �� Ñ � ���� Á ¿i» Ãs-J%'H��' � �� �p)5&�J%'�/"�.&�DF7"����/Zz%I*&5C�'*&Fs�'*'H �)�z"7"7�����& � '*I*&(�%��) � #8 %/ � '*I*&n��� �! �w�'H#�&cz"��'-)c7"#�I*'.�>5J%'�/"'*I*�p)(�p�� �wyz" %I*&(�p�� RIH#. �&�J%'H��'cwi����'�C�'�/"'*)(IH���!C�'*/ #�)G#~&Fs��42!#X�.'H�5 %'*&�s����(9®��¹l�pu�z"��'&"�"

Page 5: 10,2!# / !34 ! 506#87 % :9

non−linear transformation

1w iw jw Nw

z isupport vectorsin feature space

input vector in feature space

xinput vector,

classification

¹l�pu�z"��' "�6��2!#�)()n�ª{ZIH#�&(�p�� 1C8�1#4)�z"7"7�����&�D � '*I*&n���5 %'*&�s����(94��w6#. Rz" "9% %��s- 17"#�&n&('H�( ��p)-I*�% %I*'H78D&�z"#�2p2p��/"�� %'�C.�~{N��)(&�&��(#. %)�w����n34�! %u�&cJ%'�7"#�&n&('H�( ��: 8&(�$)n��34'�J%�}u%J8Dy/"�:3~'H %)(�p�� "#�2¤w�'H#�&cz"��'-)c7"#�I*'.�=� ���7%&(�!3$#�2�J.�"7"'H�n7%2:#8 %'oI*�� %)n&��(z%I*&('*/]�! r&�J%�p)�wi'H#�&�z"��'�)�7"#�I*'$/"'*&('H�n34�! %'*)�&cJ%'$��z%&�7"z%&H��>5J%')(�!34�p2!#.���p&��R&(�o#4&�s���Dy2!#X�.'H��7"'H��I*'H7%&c���� �IH#. <C"'�)n'*'H RC.�RI*��3�7"#.���p)(�� �&(�4¹l�pu�z"��' Ì �

Page 6: 10,2!# / !34 ! 506#87 % :9

α1 αi α j

k

αs

u ju iu1 usku = K( , )

x

x

x x

input vector,

vectors,support

Lagrange multipliers

classification

k

comparison

¹l�pu�z"��' "®� �G2:#�)()(�|{ZIH#�&(�p�� ���w~#. �z" "9% %��s- �7"#�&(&('H�n �C.��#�)�z"7"7"�%��&�D � '*I*&(�%�R %'*&Fs����n9Z� >5J%'7"#�&(&n'H�( <�})4�! ��! "7"z%&4)�7"#�I*'$I*�%3$7"#.��'*/]&n�R)�z"7"7"����& � '*I*&(�%��)H�4>5J%'o��'*)�z%2p&(�! %u � #�2:z%'*)$#.��'o %�� 8D2p�! %'H#.��2p�4&��(#. %)�wi���(3~'*/B�L=v2}�! %'H#.�¤wyz" %I*&(�p�� ���wZ&�J%'*)('�&��(#. %)�wi���(3~'*/ � #�2!z%'*)l/"'*&('H�(3~�: %'�&�J%'6�%z%&�7"z%&��wl&�J%'�I*2!#�)()(�|{Z'H�*�� ��s�' � 'H�*KL' � 'H ��|w-&cJ%'$��7%&(�!3$#�2�J.�"7"'H�n7%2:#8 %'ou.'H %'H�n#�2p�}�*'*)�s�'*2p2�&�J%'$&('*I*J" %�pIH#�257"����C%2p'H3���wJ%��s�&(�x&���'H#�&�&�J%'�J%�}u%J�/"�:3~'H %)(�p�� "#�2®w�'H#�&�z"��',)�7"#�I*'���'H3$#��! %)H�6�� Ì � � Í �p&�s5#�)6)cJ%�és, Rº4 ¼FK%&�J"#�&&�J%'�����/"'H�T��wN��7�'H�(#�&(�p�� %)Twi���¤I*�� %)(&��(z%I*&n�: %u4#,/"'*I*�p)(�p�� xwyz" %I*&(�p�� 4IH#. $C�'��: 8&('H��I*J"#. %u.'*/B�T�! %)(&('H#�/��wZ3$#.98�! %u�#5 %�� 8Dy2p�! %'H#.�l&��n#. %)�wi���(3$#�&n�}�% 5��wZ&cJ%'6�! "7"z%& � '*I*&(����)¤w��82}2p��s�'*/�C8��/"�.&�DF7"���%/Zz%I*&()Ts5�p&�J)�z"7"7�����& � '*I*&(�%��)5�! <wi'H#�&�z"��'x)�7"#�I*'.K®�� %'4IH#. �{N��)(&,I*��3$7"#.��'x&�s�� � '*I*&(����),�! <�: "7"z%&x)�7"#�I*'R¿iC.�'.�øuZ�4&c#.9.�! %uR&�J%'*�!��/"�.&�DF7"���%/Zz%I*&����,)n��34'4/"�p)(&�#. %I*'R34'H#�)�z"��' à KB#. %/]&�J%'H r3$#.9�'$#R %�� 8Dy2p�! %'H#.�&��(#8 %)�w��%�(3$#�&(�p�� ,��wN&�J%' � #�2:z%'@��wZ&�J%'5��'*)�z%2p&H�lO%'*'5¹l�pu�z"��'6"Z�T>5J%�p)6'H "#.C%2p'*)æw����¤&�J%'�I*�� %)(&c�(z%I*&(�p�� ��wN���pI*J�I*2!#�)()n'*)l��w�/"'*I*�p)(�p�� ~)�z"��wy#�I*'*)HK w����¤'*�"#.3$7%2p'�7��.2p�� %��3~�:#�2"/"'*I*�})n�}�% 4)�z"��wy#�I*'*)T��w�#8�(C%�p&��(#.���p2p�/"'*u���'*'.�æ�]'�s5�p2p2BIH#�2p2T&�J%�p)5&���7�'���wT2}'H#8�( %�! %u13$#�I*J%�: %'�w��%�6)cz"7"7"����&�D � '*I*&(����), %'*&Fs����n9��X�>@J%'-&('*I*J" %�pÈ�z%'���w )cz"7"7"����&�D � '*I*&(���� %'*&�s����(98)lsG#�)6{N��)(&6/"' � '*2p��7�'*/Rwi���l&cJ%'���'*)n&����pI*&('*/�IH#�)('��w5)('H7"#.�n#�&(�! %u�&��(#��! %�! %u�/Z#�&�#Rs@�}&cJ%��z%&4'H�(������)X�q�� ]&cJ%�})$#.��&(�pI*2}'Rs�'$'*�%&('H %/�&�J%'R#.7"7"����#�I*J���w)�z"7"7�����&�D � '*I*&n���6 %'*&�s����(98)6&(�xI*� � 'H�ls-J%'H �)('H7"#.�n#�&(�p�� �s5�p&�J%��z%&�'H�(�����æ�� 4&�J%',&��(#��: %�! %u � '*I*&(����)���$âªáeçoáeçXâªülê�ß�ã�ä/.Lä�ä�ã6åXçéßcüeâ���ä5ç�è2.]ù�ú�1éù�âªßn÷ áeç�ä�â �Hä�ß�è +Bä 3cå�ß(ê �*âøê���áeç�ä5üièn÷ 1éáeâªènêoè(ê$ü#1XåHå.è(úyá ��ä�ù�áiènúyüâªü6+!ènú�áeçéä�üiä,÷ªä�ßnúiêHâøê��ã�ßcùiçXâøêéä�ü�õ�:êoáeç�ä-ü#1XåHå.è(úyáeó ��ä�ù�áiè(úyü@÷ªä�ß(úiêXâøê�$ßn÷��cè(úiâªáeç�ã äcõ �XõZáeçéä,ù�è�ã�åX÷ªä 3câªáeà�è2+láeçéäù�è(ê�üiáeú�1éù�áeâªènê �Hè*ä�üLêéècá��Hä�å.ä�ê ��ènê-áeçéä �*âªã�ä�êéüeâªènêéßn÷ªâpáþà�è +�áeç�ä�+!ä�ßcá#1HúyäTüeåéßcùFä � % 1�áNènê�áeçéä¤ê�1éã'%.ä�ú�è +�ü#1XåHå.ènúyá

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