pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/aiaa98.pdf · 7xn~ 1 & w}1 w wxn r{! }1 7...

13

Upload: vanminh

Post on 13-Apr-2018

264 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

���������������� ���

� ��������������� � �!��"���#���$%�&�!��'(� ')*�� ��+-, ��.�+/�10(�� �2�(0(�3+!�!�3�4*����65�#75�, 8:9;�7��� <=�7���3��+:4*��+/�, �%�!�3+;�?>@��+!AB�7��� CD�3E-F�����GB5��39!H

I3JLKNM�OQP?RSJ�T&UWVXJZY-U[KNUQ\^]�_/JL`�KNKN`3a3b?RWU[KNJLU[c�\^d_;U[eNf�U[g;hU[i?JLc?`1j1k

l%mQnXoNprqWsro1tvu�wWx?yWzW{|y[}�~�xQ}r�W��wWx?y[�ry[xX{S��~���}2�7xX��}1�W�~���{��r��x3��wWx�r�W����������}r�!�S�?���L�����WxN�r{��?�r{��r��xX��xX{/���r{|������W�7���}1�7��{|}1�/��xN�|wW�W���1zWxN~&��}Bw[�r�[�7��x(�7�^�3��zW���&�W}1�W�����W�xN�r{&��}1�7��{|}1�!yW{|}1�W��xX�%~X��u�wWx&�Z}7��z[~������wW��~3y[�ry[xX{&��~}1���wWx!�����7x!{��r�W�1x/~��|�r�W�������N�r����}1�3}r���r�&�r{|�����7{|���1xX�%���W��1xX{|��xN��y[xX�[�7zW��zW���u���}�7�^��xX{|xX�7�!�S�?�D��}1�7��{|}1�Q��xN�|wW��W���1zWxN~;�r{|x-z[~�xN���}�7xN~����1�&�W}1�W�����WxN�r{!��}1�7��{|}1����xX{�~���w[�r��1�|wW��xX�1x!~��|�r�W�������N�r����}1�3}r�Q��wWx!y[xX�[�7zW��zW� }r�1xX{���wWx!�%�r¡�����-zW�={��r�W�1x;}r��}1y[xX{��r�����W�%��}1�[�7������}1�[~���wW����x!yW{|}r�����7���W�������xX�[�r�[�2�Z{|xN�1zWxX�[�������7}1�%�r���2y[xX{��Z}1{|�%�r�[��xN~X�Su�wWx?��xX{|����|~!}r��xN�1�|w}r����wWxN~�x���xN�|wW�W���1zWxN~/�r{|x����7�1xN~��������r��xN���r�[���wWx�����yW{|}r�1xX��xX�7�|~-}r�1xX{3��}1{|x�����1~|~����X�r�;�7u�¢�L�����WxN�r{u�����xX��¢L�7�r�r{|���r�7���/��}1�7��{|}1�2~|�|wWxX��xN~�~�z[�|wB�1~%£�¤¥}1{%¦��}1�7��{|}1����xX{�~/�r{|x3�7��~|��z[~|~�xN���§=y[�r{|������zW���r{/xX��yWw[�1~���~!��~yWzW��}1� ��wWx{|xN�r���L������x3����yW��xX��xX�7�|�r����}1�(}r�/��wWxN~�x&��}1�W���{|}1����xX{�~��Z}1{2��wWx/���7�1xX{|��xN�3y[xX�[�7zW��zW�=xX¡�y[xX{|����xX�7�X��¢L�;��~~�wW}r���/��w[�r��~�zW���|�r�W��x��-zW�������L}1�7¨�xN�������1x�xX¡���xX�[~���}1�[~S}r����wWx~��|�r�[�W�r{��;�|w[�r{��1����xX{|���N�r����}1�;}r�[�S�?����}1�7��{|}1����xX{�~��r����}r����}��}1y[x�������w%~|�r��yW�����W��{��r��x�����yW��xX��xX�7�|�r����}1�-��}1�[~���{��r���7�|~X�©Q���[�r�����1ª��%��}1��yW��xX��x-�r�r�����W�r����}1�&}r����wWx/yW{|}1y[}�~�xN�&�S�?���}1�7��{|}1����xX{!~���{|z[����zW{|xN~;��~!�X�r{|{|��xN�}1zW�!��wW{|}1zW�1w��~�xX�!}r�{|xN�r����~������!�W}1�W�����WxN�r{;~����-zW���r����}1�[~��WzW�;�r��~�}%�7�3��xN�r�[~2}r�yWw7�7~����X�r�[xX¡�y[xX{|����xX�7��{|xN��}1{��W~X�

« ¬S­-®Q¯?°%±²³�®?´X°-­

µ �r���W��~|�|wWxN�7zW�����W�-��}1�7��{|}1�S~���{|z[����zW{|xN~�w[�N�1x!yW{|}r�1xN�%z[~�xX��ZzW�������%�r�7�yW{��1�������X�r���ryWyW�����X�r����}1�[~X��§2~/�r�xX¡7�r��yW��x1ª��}�~��2�r��{���{��N�Z�;��}1�7��{|}1�S���N�2~��r{|x/�[�1~�xN�3}1���wWx/���7��xX{|y[}1����r����}1� }r�/���[�7�������7z[�r�����(�7xN~����1�WxN� ��}1�7��{|}1����xX{�~/}1{3�%�r¶1xz[~�x!}r��~�}1��x/�1�7�LwW}7�;���r���W��~������|�|wW���W�-y[}1�������1�;·����������r{|���1ª���B{|}1�[}1���}1�7��{|}1�2yW{|}1�W��xX�%~���wWx���}1�7��{|}1����xX{3�7���[�r�����X~�r{|x%�1�N¨�z[~���xN������{|xN�r���L������x%�1�X��}1{��7���W�3��}���|~!�1xX}1��xX��{|��r�[�B���WxX{|�����1~X�=¸�}r��xX�1xX{Nª;����~�yW����x�}r�-�7zW��xX{|}1z[~%~�z[�����xN~|~��ZzW���ryWyW�����X�r����}1�[~XªQ��wWx3��}1�[~���{|z[������}1�}r�;��wWx%}r�1xX{��r���¹|º�»�¼N½X¾L¿ÁÀ�ÂNÃ/ÄÅ3Æ�Ç�Ç�È�ÉSÂrÊQËQÌ�Ê�¾L¿ Ä�Í�Î�Ï�ÎrÐ ÃZ¿ÁÃZÑrÃZÊ?»|ÒWËQÊ�¾L» ÎrÍ ÑrÃZ¿ Ä�ÐÍ�ÎrÓ Ë Ð ÃZ¾L» ÎrÍ ÑrÃZ¿ Ä�Ð�Ï�ÎrÄXÔ ËQÕÁÕ�¾L¿ÁÀ�ÂNÃ[¾LÊ Ð Ê�¾LÖ�Ê Ó7Ô×�Ø ½XÑ Ð ÂNÑ Ï�ÎrÐ ÃZ¿ÁÃZÑrÃZÊ�»|ÒSÉ7Ê Ä Â Î »�ÕÁ»�À�½�Ù7Ú�Û�Ü�Ý�ÞrÙ Ø Í|ß�Í�à Ñ7Ù Ï ¿Á¿ à Ñrá Í ÙÛ�â�ÜNÙrã Í ¼ Í�Î7Ô7ä Ý�Ì Í ¿ÁÕ�å7æXç�èXé�êXç�ë�ç�ìXí|îXï�ð�æ�ñ�ò�óXîXí�ôWð�çXí7ð�è|õö�÷?ø ä[ù ËSÝZº ä[ù É�Ù�â Í Ö Ô(äWÓ »�Ñ Í ¾ Óú Ê�ÕÁ¿ Î ÙSûNÆ�Ü�ü�ü�É7»�ÑrÕÁ»�Ñ Ð Êº�Ê Ó Ê�ý1ÙNþN¾ Í�ÎrÄ Ê ÔWä Ý�Ì Í ¿ÁÕ�å7ç|õ�æXç�ëXé|ç|ÿXìXí|î�ë|óWð��Xë� ÉSÂrÊ�� Í ÃZÂ��!»�¾Lá Ð Ù Ï�ÎrÄXÔ Ù7â|Þ��W¾L¿ÁÌ�Ê�� Í ¾Lá� Í ½�Ù ø Í ÃZ¿ Ä á1Ù�;ËÜNÆ�È�Ú�Ü Ô�ä Ý�Ì Í ¿ÁÕ�å�õXçXï�í|ç��|ì� Nç|ó�ô�ê���ë|æNï�ðZí���

��}1�7��{|}1��~���{|z[����zW{|x-���7�r�r{|���r�W���&�X�r���?�Z}1{/��wWx�xX�W�1���WxXxX{|���W����[~����1w7�|~;}r����wWx3�7xN~����1�WxX{-�r�[����}1{|x���{|�������X�r�����1ªQ��wWx%{|xX�~�zW�������W�/��}1�7��{|}1�W���N�2~��7}�xN~��W}1��yW{|}r�����7x2�r�7�/�1z[�r{��r�7��xXxN~�����L�1��x�}r�2{��ryW�����|w[�r�W�1xN~;�����wWx%~|�|wWxN�7zW��xN�&�r�r{|���r�W��xN~X�u�wWxN~�x!�7�^�3��zW������xN~�w[�N�1x2�[xXxX���wWx;�%�r���3��}1�����r�r����}1�%�Z}1{��wWx%�7xX�1xX��}1yW��xX�7�;}r�2��}7�7xX{|�����r���W��~|�|wWxN�7zW�����W�3��}1�7��{|}1���xN�|wW�W���1zWxN~��r�[�%w[�N�1x;��xN�%��xN�1�7���W�/��}%~�}1��x;�|w[�r����xX�W�1���W�{|xN~�xN�r{��|w3�����wWx-�r{|xN�-}r����wWx-�r�[�r���7~���~2�r�[�~����7��wWxN~���~�}r��S�?� ~��7~���xX�%~X��·�z[�|w&~��7~���xX�%~!�r{|x-�7xN~|��{|���[xN����~��|�r��xX�~�y[�1��x2�Z}1{|�D�1~

�� � � ���1� ����� ���1������ � � ���1� � ��! ���1����� ��"N�

��wWxX{|x� # � ���%$|����~��/������xX�L�r�r{|�����W�-y[�r{��r��xX��xX{��7xN~|��{|���W����W�2��wWx�{��r�W�1x�}r�[y[}�~|~����W��x��7���[�r�����X~�}r����wWx�yW���r�7�X�?·�z[�|w~��7~���xX�%~Q�r{|x��[�r��zW{��r�1xX¡���xX�[~���}1�[~S}r����z[~���}1�%�r{|�!�7u�¢�~��7~����xX�%~X�'&�{|��x)([��~�y[xN�r¶����W�WªQ��wWx%{|xN��xX�7�������N�r�r�����r�W��x%�S�?�~����7��wWxN~���~%��xN�|wW�W���1zWxN~3�r����}r� ��wWx(��}1�[~���{|z[������}1�B}r�-��wWx�1��}1�[�r�?��}1�7��{|}1�S���N�v�1~;�%��wW}1��x/xX�7�������3�Z}1{!�r�����1�7����~|~�����W��x��/ªr��w[�r�?��~Xªr������wW}1zW�Q{|xN�1zW��{|���W�2zW�W�[�r��zW{��r�7~�xXy[�r{��r��xN��7xN~����1��~����7��wWxN~�xN~/�r�[���ZzW{|��wWxX{|��}1{|x�yW{|}r�����7x%��wWxX}1{|xX������X�r�;�1z[�r{��r�7��xXxN~-��� ��xX{|�%~%}r�/�[}1��w�~��|�r�W�����������r�[��y[xX{|��Z}1{|�%�r�[��x;���3��wWx!yW{|xN~�xX�[��x;}r�Q�L�1~��2������xX���7}1�%�r���%xX�1}1��zW�����}1�[~?}r����wWx;~|�|wWxN�7zW��xN�!�r�r{|���r�W��xN~X�+*�}1��x;�r��~�};��w[�r��~����[��x��wWxN~�x-~����7��wWxN~���~���xN�|wW�W���1zWxN~2{|xN�7z[��x!��}~�}1�������W�3� ,[�W����x~�xX��}r�?�.-&¢�~��L�����WxN�r{�-&�r��{|��¡�¢L�WxN�1z[�r�������W�|ª7��wWx2zW�[�7xX{|��������W����}1��yWzW�|�r����}1�[~��r{|x;�[}1��w3�L�1~��2�r�[�%�1�X��zW{��r��x1�¢L����wW��~-��}1{|¶[ª���x&�r{|x��}1�[~����7xX{|���W�&��wWx�|w[�r����xX�W�1���W��ryWyW�����X�r����}1��}r��r�v§�{|����/2{|���1xX�6¢L�7�1xX{|��xN�6�QxX�[�7zW��zW��L§0/;¢����&�1~��7xXyW������xN�����v©Q���1zW{|x1"r� u�wWx(y[xX�[�7zW��zW���wW���|w��~!wWxX{|x%��wWx%��}1y(�����W¶���~-�7{|���1xX��7�&��wWx3{|}1�|�r��xN��r{|���Z�[}1����}1� �����W¶W�|ª����[~���xN�1�}r���%��}1{|x-�����1~|~����X�r�?�X�r{|�X�§2~���wWx;�r{|�v��~�{|}1�|�r��xN�%�r�[�-�1xX�|~�����}�~�xX{���}/��wWx2wW}1{|���X}1�W��|�r�Wy[}�~�������}1�Sªr��wWx�wW}1{|���X}1�7�|�r�7��}1����}1�-}r����wWx2�r{|�6����y��[xX���}1��xN~?��}1{|x�����������xN���r�[�-��wWx����WxX{|�����1~?����xX��xN�/�Z{|}1�6��wWx�r{|� �r{|x2��}7�7�2,[xN���Qu�wW��~?�[�r��zW{��r�����/��xN�1�W~���}/��wWx!�7xN~����1�}r�Q��}1�7��{|}1����xX{�~Q��w[�r���1�N¨�z[~��?����{|xN�r���L������x���}/��wWx2{|}1�|�r����}1�}r�S��wWx!�r{|��?©W}1{���wW��~�yWzW{|y[}�~�x1ª1����}/¶����[�W~�}r�Q�S�?��~����W���wWxN~���~���xN�|wW�W���1zWxN~2�r{|x!���7�1xN~��������r��xN�%��wWx-~�}1���X�r����xN�3�S©?u�r�[�&y[}1������}1yW���-��xN�|wW�W���1zWxN~;��wW���|w&z[~�x��S©?uv�r�[�&y[}1�������}1yW���2{|xXyW{|xN~�xX�7�|�r����}1�[~�}r�?��wWx;{|}1�[}1�XªW{|xN~�y[xN�������1xX���1�432zW{,[�[�r�Q�1}��r�Q��~2��}��}1��yW��xX��xX����r�r�����W�r��x-��wWxN~�x/��xN�|wW�W���1zWxN~}1���wWx�yWw7�7~����X�r�?xX¡�y[xX{|����xX�7�X�u�wWxX{|x��Z}1{|x1ªQ���(�1�W�7������}1�

"

Page 2: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

��}(��wWx&z[~�z[�r�2~��|�r�W���������1ª�y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x�r�[��{|}1�Wz[~����WxN~|~{|xN�1zW��{|xX��xX�7�|~Xª7��x/~�w[�r���S�r��~�}��[x/��}1�[��xX{|�WxN�3�7����wWx/�����yW��xX��xX�7�|�r����}1���}1�[~���{��r���7�|~���w[�r�����WxX�����|�r�W���3~�wW}r�BzWy3���{|xN�r���L��}1{|����ryWyW�����X�r����}1�[~X�-u�wWx-�%�N¨�}1{;����yW��xX��xX�7�|�r����}1���}1�[~���{��r���7�|~��r{|x;��wWx;�Z}1����}r�����W�W�� u�wWx2wW���1wW�Z�Z{|xN�1zWxX�[���-���r���%}r�Q��wWx!��}1�7��{|}1����xX{�~?�-z[~���[x/��}1��y[�r�����W��x2������w��wWx!�1����z[�r��}1{2�[�r�[�7������wS�� u�wWx���}1�7��{|}1����xX{S�7���[�r�����X~[�-z[~��[�[x���}1�[~���~���xX�7�[������w��wWx�N�r�r�����r�W��x~|�r��yW�����W�{��r��x3������wW��~��ryWyW�����X�r����}1�

����������¸��1�^�|�*�}1��x���w[�r�3��wWx�~�xN��}1�[� }r�-��wWxN~�x���}1�[~���{��r���7�|~���~%xN~��

y[xN�����r������7�^�3��zW���;��}&w[�r�[�7��x��1~!���/��}1�[��xX{|�[~!��wWx����7��xX{|��[�r�;yW{|}1y[xX{|����xN~%}r�-��wWx���}1�7��{|}1����xX{�r�[�B�X�r�W�W}1�%�[x�7���{|xN�������&��{|xN�r��xN���wW{|}1zW�1w&��wWx%yW{|}1y[xX{|����xN~;}r����wWx%����}�~�xN�7���}�}1y�~��7~���xX����x~�w[�r����~�xXx%wW}r��xX�1xX{/��w[�r���&~�zW���|�r�W��x�-zW�������L}1�7¨�xN�������1x;xX¡���xX�[~���}1�3}r�?��wWx!y[}1������}1yW���;��xN�|wW�W���1zWxyW{|}r�����7xN~�r��x���xN�������1x(��xN�r����}B}r�1xX{���}1��x���wW��~�7�^�%���zW�����1�(§��W}1��wWxX{-���N����}�w[�r�[�7��x%��wW��~/����yW��xX��xX�7�|�r����}1���}1�[~���{��r���7����}1zW����w[�N�1x&�[xXxX�B��}���zW�Wx&��wWx&��xX���1w7�����W��ZzW�[������}1�[~?zW�7�����W�1�7xN�1z[�r��x;����}�~�xN�7�L��}�}1y-yW���r�7���r�[�-}1y[xX�W���}�}1y&��}1�7��{|}1����xX{�~�y[xN���2,��X�r����}1�[~��r{|x!��xX�X��¸�}r��xX�1xX{Nª���wW��~yW{|}7��xN�7zW{|x�{|xX�1xN�r��xN� ��} �[xw[�r{��7��� ��{��1���|�r�W��x�}1����wW��~�ryWyW�����X�r����}1���r�[�������}�~��;���[~��|�r�[��xN~2��xN�&��}3wW���1w&}1{��7xX{��}1�7��{|}1����xX{�~Q�1~Q���?{|xN�1zW��{|xN~?��}1��yW�����X�r��xN�!��xX���1w7�����W�2�ZzW�[�������}1�[~X�§��W}1��wWxX{?����y[}1{|�|�r�7����~|~�zWx���~Q��};xX�r�r��z[�r��x���wWx��[xX�Wx),[�|~

}r�S�S�?�B~����7��wWxN~���~S��xN�|wW�W���1zWxN~Q���-{|xX���r{��!��}/�����1~|~����X�r�7{|}1��Wz[~��?��}1�7��{|}1�7��xN�|wW�W���1zWxN~?~�z[�|w��1~?£�¤6�r�[�/¦~����7��wWxN~�xN~X�¢L����zW{|�[~�}1zW�����3��wW��~2�ryWyW�����X�r����}1�%��w[�r����wW}1zW�1w3��wWx/£�¤�r�[�%¦��}1�7��{|}1����xX{�~��r{|x!�X�ry[�r�W��x;}r�?yW{|}r�����7���W�-~�}1��x;~��|�r��W���������2�1z[�r{��r�7��xXxN~[��wWxX�!�r{|x1ªN�1~�xX¡�y[xN����xN��ªr}1zW��y[xX{��Z}1{|��xN��7�%�S�?�6��}1�7��{|}1����xX{�~��r����wWx!y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x2��xX�1xX�L�u�wWx�y[�ry[xX{/��~/}1{|���r�W���XxN���1~;�Z}1����}r�2~X��·�xN������}1��&�7xX�~|��{|���[xN~Q��wWx���}7�7xX�����W�2}r����wWx2§0/;¢���r�[�/���7��{|}7�7z[��xN~Q��wWxyW{|}1�W��xX��~�y[xN���2,��X�r����}1�[~X�(§=�W{|��x��2{|xX����xX�=}r�;��wWx�S�?�~����7��wWxN~���~!��xN�|wW�W���1zWxN~!z[~�xN���Z}1{-��wWx3§0/;¢��6��~/�1���1xX����·�xN������}1� �7�Qu�wWxQ�ZzW�����7xN~����1�;yW{|}7��xN�7zW{|xQzWy;��}���wWx��W}1�W�����W�xN�r{;~����-zW���r����}1�[~��r�[�3{|xN�r�SxX¡�y[xX{|����xX�7��{|xN~�zW���|~2�r{|x!yW{|xX�~�xX�7��xN������·�xN������}1���W���}1�[����z[�7���W�3{|xX�%�r{|¶7~!�r{|x%�1���1xX����&·�xN������}1���7�§����;�.-&¢L�L{|xX���r��xN�(��}1��yWzW�|�r����}1�[~/������wWx&�ryWyW�����X�r����}1�

��xX{|x�y[xX{��Z}1{|��xN�-z[~����W�!��wWx;�.-&¢���}1�7��{|}1�[uS}�}1���[}r¡�������Lª¦ ��}1�7��{|}1����xX{�~��xX{|xB�7xN~����1�WxN�vz[~����W����wWxB¦���§��[�r���7~���~�r�[��·����7��wWxN~���~3uS}�}1���[}r¡������Lª!��wWx�W}1�W�����WxN�r{3~����-zW���r�����}1�[~���xX{|x;}1�W�|�r���WxN��z[~����W� �;ËWÉ��1Ë ú����NÏ ����� Ï øQØ �L�1�������������xN~?�r�[�/�S�?�B��}1�7��{|}1����xX{�~���xX{|x�����yW��xX��xX�7��xN�;z[~����W�2��wWxùSä Ë��rÝ�É Ï � ä � ÷ ù Ø �� ÷ � �©W}1{?�;{|xN�r�W~�������xX��{|���?�%�r��{|��¡ !6ª���wWx��W}1�|�r����}1�"!$#��~��|�r�[�W~��Z}1{2y[}�~��������1x!�7x),[�W����x/�r�[�%��xN�r�[~���w[�r�2�r���S��wWx

xX���1xX�7�r�r��zWxN~�}r�%!��r{|x!y[}�~��������1x1�&!'�(����xN�r�[~��r���S��wWxxX���1xX�7�r�r��zWxN~/}r�)! �r{|x3�WxX���r�����1x1�u�wWx%zWyWy[xX{��S©?uv}r�! �+* !�,-,'!�,/.!0.1,'!0.-.32 ��~��7x),[�WxN�3�1~4)57�6! �-7�� � !0.-. � !0.1,17�68�90!�,-,:7��-; , !�,/. �6��

< < < << < < << < < <

============ > >@? ? << < < << < < << < <

============

> >

? ?A A A AA A A AA A A AA A A A

B B B B B B B B BBBBBBBBBBBBBBBBCC D

DEGF H F

EJI H Iâ/K F

â/K I LL

MNF1OM)I/OL�P I

Q

Q RNS&T

U�V�W)XNYNZJY T

©Q���1zW{|x "�#�©W}1{���}7�7xX�����W�/��wWx/§0/;¢��

[ \]�^ _ °%±�`)aN´N­�b ° c�®�d�`fehg*¬i]¢L����wW��~�~�xN������}1�Sª/��wWx��S�?� ~����7��wWxN~���~��}7�7xX�!�Z}1{&��wWx§0/;¢�����~2�7xX�1xX��}1y[xN�3�r�[�3��wWx/�7xN~����1�~�y[xN���2,��X�r����}1�[~��r{|x���7��{|}7�7z[��xN�����}1�[~����7xX{!��wWx%����}1�L�����W¶��r{|���7xXyW������xN����©Q���1zW{|x0"r�?¢L�Q��~S��xX���7¶��W}r���"� "Nª������w[�r�Q��wWx���}1����}1�/xN�1z[�r�����}1�3��~��7xN~|��{|���[xN�3�1~!6�6j1��kj � � �6j �.�j1� �ml �6j1� �(n � �6�����wWxX{|x j �o* j�,j:.32 # �o*qp. 90r%,r%,%90r�.32 � �s�7��r�[�!6�6j1�4# � * !�, � �t���}�~��6j�,N�$!0. � t���}�~��6j:.r�!0. � t&��}�~X�6j:.r� !0. 2 ���6���� �6j �.�j1� # �o* 9N�t��j�, �j:.S~������6j:.r��9t �j .. ~����S�6j:.N�t �j ., ~������6j:.r� 2 � �6u��

!�,# � � ��v ,/w . , � � ��v .-w .. � � v .-w . , � �yx1�!0.�# � � ��v .-w .. � �6z��t # � v .-w�,/w�.+� �6{��

�r�[� l �6j1�4# �+* 9!� v , � v .N�sw�,/|���}�~X�6j�,N�9 v .-w�.-|���}�~X�6j�, � j:.r� 2 � ��":���

Page 3: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

n # � * 9 n ,� 2 � ��" "N�

¢L����wW��~?�ryWyW�����X�r����}1�Sª1��wWx4,[{�~��W¨�}1���7�?��~?�1����z[�r��xN�%�r�[�/��wWx~�xN��}1�[�2¨�}1���7�Q��~Q�Z{|xXx1�?©W{|}1�=�6���L�|��" "N�|ª���x2�X�r�%�7xX{|���1x���wWx�Z}1����}r�����W�/xN�1z[�r����}1�[~X�

�6!�, 90!0.N�Jkr%, � t&��}�~X�6r%,%90r�.N�Jkr�.� t&~������6r%, 9r�.N� �r .. � � v , � v .N�sw�,/|�~������6r%,N�9 v .-w�.-|�~������6r�.N� � n ,.� ��":��t���}�~X�6r%,%90r�.N�Jkr%, � !0.%kr�. 9t�~������6r%,%90r�.N� �r . ,9 v .-w�.-|�~������6r�.r� � � � ��":���

u�wWx��%�r������}1�7��{|}1��}1�7¨�xN�������1x���~?��}!�%�r���7�|�r���/��wWx2~�xN��}1�[��r{|� ���3�/�1xX{|�����X�r��y[}�~�������}1�%����¶1x;�r�3���7�1xX{|��xN��y[xX�[�7zW��zW�z[~����W�!��wWx2{|}1�|�r����}1��}r�S��wWx/� ,[{�~����Q�1����z[�r��xN�%�r{|��Q¢L�%��wWx�Z}1����}r�����W�WªN��wWx ,[{�~��Q�r{|���r�[�!��wWx�~�xN��}1�[�/�r{|���r{|x��X�r����xN������ �r�[�������� ��� � ªW{|xN~�y[xN�������1xX���1��¢L���wWx!yWw7�7~����X�r��xX¡��y[xX{|����xX�7�?��}1{|{|xN~�y[}1�[�7���W����}����;��wWx2�r{|�6��~?�1����z[�r��xN�/�7��;��}1��}1{��7{|���1xX�/�7�-�;�1xX��}7������������}1�7��{|}1��y[}r��xX{��r��yW���2,[xX{N�u�wWx!yWw7�7~����X�r���1z[�r�7��������xN~��r{|x;�1���1xX��1~��Z}1����}r�2~X�w�, � � � ":��� v ����w�. � � � ":��� v ��� v , � � � ��������|����v . � � � ��������|����i| � { � z�� v���� . � � ��"1�7�§2~���wWx&�1xX��}7������� �r%,%}r�!��wWx ,[{�~����r{|� �X�r���Z}1����}r�D��wWx��}1���%�r�[�!���WyWzW�?�1}1���|�r�1x�����}!��wWx2�r��yW���2,[xX{Q�[xN�X�rz[~�x�}r���wWx!�����1w7���WxN~|~?}r�Q��wWx/~�xN��}1�[�%�r{|�ª���x!�X�r��1~|~�zW��x2��w[�r���wWx-�7���[�r�����X~��Z{|}1�=��wWx/���WyWzW���1}1���|�r�1x!��}%��wWx/�1xX��}7��������r%,2��~��r����}�~���xN�1z[�r�������1���1xX�3�7��� $ �r%, � 9 "��� �r%, � 7����� � � ��":���u�wW��~���xN�r�[~���w[�r�/��":����X�r��[x-~�����yW���2,[xN����}&��":����������w{|xN�1~�}1�[�r�W��x;�1�X��zW{��1���1�32�3��wWx!}1��wWxX{�w[�r�[��ª[��":�����[xN��}1��xN~�w�,���}�~��6r%, 90r�.N�Jkr%, � � � w�.�kr�.

� |�~������6r�.r� � �w�,[~������6r%, 90r�.N� �r . , � ��":u��u�wWxX�SªW�7x),[�W���W���� # � �w�,�~������6r%,X�� �! # � �w�,[��}�~X�6r%,X�� ��"�x1��r�[�3z[~����W���":u��|ª��r�W}1��wWxX{;�7xN~|��{|��yW����}1�3�Z}1{2��wWx-§0/;¢��B��~�1~��Z}1����}r�2~#��}�~��6r�.r��k���� � � w�. kr�. � �@| � k�! ��~����S�6r�.N� � ��":z��u�wWx2y[xX�[�7zW��zW�vw[�1~�����}/¶����[��}r�QxN�1zW�������W{|��zW�v~��|�r��xN~�#� zW�[~��|�r�W��x�xN�1zW�������W{|��zW�6~��|�r��x #�r#". � �-�Z����y�y[}1���7�����W�zWy7���r{��W~��� ~��|�r�W��x�xN�1zW�������W{|��zW�*~��|�r��x # r#". �%$ �Z����y(y[}1���7�����W��7}r���7���r{��W~��

¢L����wW��~��ryWyW�����X�r����}1�Sª?��x3��������}1�W���(��}1�[~����7xX{/��wWx&�7�^�%���zW����~�����z[�r����}1�%��wWxX{|x2��wWx2����y3��~?y[}1���7�����W�/zWy7���r{��W~X�S§��������xN�7���r��x!�����WxN�r{|���N�r����}1�3}r�;��":u����r{|}1zW�[�3r#". � ����wWxX���xN�1�W~���} k���� � � w�. kr�. � �@| � k�! �yr�. � ��":{��¢L�7��{|}7�7z[�����W�/��wWx;�WxX���r�r{|���r�W��x'&��7x),[�WxN�%�1~

& # �(���� � � w�.:r�.+� �6������x;�1xX� k& � ���w�. �@| � k�! �|�)&�9 ��� � � �6"N�µ �r��wWxX{|���W�%��wWx�xN�1z[�r����}1� ���� �*�! �r%,/������w���":���;�r�[��6"N����wWx;�Z}1����}r�����W�-~�����yW��x;�S�?����}7�7xX����~�}1�W�|�r���WxN�

�� $+,,-&�&����r%,.�//0 �21334 335

+,,-� "'� �� � � �� � � �� � � 9 ,6�7

.�//0����w�. �@| � k�! � +,,- � "��

. //0(8 " � 9 "'�:9�;�! +,,-

��"�. //0(8 � � � "<9�= 33>33?

+,,-&�&����r%,. //0

+,,-���@A76�7.�//0 ��� �6���

��wWxX{|x��[}1��wB&&�r�[� ��� �r{|x%�1~|~�zW��xN�&��}&�[x3��xN�1~�zW{|xN��ª�! ��~�����xX��xN�3�1~2�r�3xX¡���xX{|�[�r�S������xX�L�r�r{|�����W�-y[�r{��r��xX��xX{�~�r�[��k�! ��~��1~|~�zW��xN����}-�[x!�XxX{|}W�¢L�-}1{��7xX{Q��}/�7xX{|���1x��S�?� ��}7�7xX��~Q������w-�[}1zW�[�W~S}1�-��wWx������xX�L�r�r{|�����W�!y[�r{��r��xX��xX{�~Xª1������~��1~|~�zW��xN�/��w[�r����wWx!�r{|��X�r�3{|}1�|�r��x!������wW���3��wWx/�r�W�1zW���r{�{��r�W�1x9 r ,DC r%, C r , �6� � r , � $ � � �6����u�wW��~�����xX���W~

�! FEHG��! � �! !I # � ���w�,[��}�~X� r , ���-�w�,���}�~��6���6� � �6��7�©W{|}1���6��7�|ª �! ��~��W}1{|�%�r�����XxN���1~

��J# � �! 9 �! � �! 9 �! ��:�! � E � 9 "�� "1� � �6����u���}6�7�^��xX{|xX�7���wW}1zW�1w=��}1��yW��xX��xX���vxN�1zW���r�r��xX�7���S�?�{|xXyW{|xN~�xX�7�|�r����}1�[~-�X�r� �[xz[~�xN��Z}1{%��wWx�§0/;¢��Q��u�wW��~-��~�7xN~|��{|���[xN�����3��wWx/~�xN�1zWxX�L��

Page 4: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

����� ���� ��� ����������������������� "!�#"��!$ ��%�xXyW{|xN~�xX�7�����W� �! �Z{|}1� �6������1~

�! �! 4�:�! ��! 9 �! ��J

� w�,N��" � ��}�~X� r , ��� � w�,N��" 9��}�~X� r , ������J+�N�6�u����wWxX{|x ��J?�7xX�W}1��xN~���wWx��WxX���W}1{|�%�r�����XxN�2~|�|wWxN�7zW�����W���r�r{|����r�W��xN~XªS��wWx/�Z}1����}r�����W��S�?� ��}7�7xX�?}r���S©?u6����y[x���~;}1�W��|�r���WxN���

�� $+,,-&�&����r%,. //0 �

+,,,-� " � �&(')(*,+ � 9 &(')(*,+ �� � � J,-/.AJ,-.� � � 9 ,6�7

. ///0+,,-&�&����r%,. //0

+,,-��J,- ; J,-.�

.�//010 J �+,,-���@A76�7.�//0 ��� �6�x1�

&�J � 8 � � � "<9 +,,-&�&����r%,. //0 � �6�z��

������w

0 J � ��J�&�J:�/2 ��JN�%$|�32 C "N� � �6�{������� ����546�� ����7�������987�:��;$�<�:8��,#=���� "!�#">��!$ ��·����������r{|���1ª��7��{|xX�%�r{|¶����W�/��w[�r��! 9 �! �! 9 �! � �! 9 �! �! 9 �! � " � �6������r�[�%���7��{|}7�7z[�����W�/��wWx!�W}1�|�r����}1�

? ,r� �! �4# � �! 9 �! �! 9 �! � ? .r� �! � # � �! 9 �! �! 9 �! � �6�"N���x�}1�W�|�r���-��wWx��Z}1����}r�����W�!�S�?� y[}1������}1yW������}7�7xX���Z}1{���wWx§0/;¢��Q�

�� $+,,-&�&����r%,. //0 �

@AAB ? ,N� �! � +,,- � " � �&(')(*,+ � 9 &(')(*,+ �� � � �! � � � 9 ,6�7

. //0��? .r� �! � +,,- � " � �&(')(*,+ � 9 &(')(*,+ �� � � �! � � � 9 ,6�7

.�//0C3DDE+,,-&�&����r%,.�//0

+,,-���@A76�7. //0 ��� �6����

�r�[�3������~�xN�1~������%�1xX{|�2,[xN�%��w[�r� ? ,;�r�[� ? .!�r{|x!y[}1������}1yW�����}�}1{��7���[�r��xN~S��w[�r�Q��~ ? ,�F(�2�r�[� ? .GF(�2�r�[� ? , ��? . � "

����H I�!��,#<JK�,���LJKMN�O�����P���, ��Q>3 �M:R�S:�=���<MN>T �,�,�,UQMN�<�,�$RV8� �� T �,�N§2~��r��{|xN�1�7�-~��|�r��xN��������wWx;¢L�7��{|}7�7z[������}1�Sª1��wWx2�%�r������}1�W���{|}1�1}1�7¨�xN�������1x?�Z}1{S��wWx�§0/;¢����~���};~��|�r�W�������Xx?��wWx����7�1xX{|��xN�y[xX�[�7zW��zW�6z[~����W�;��wWx2{|}1�|�r����}1�[~?}r����wWx;�r{|� �1~��7xXyW������xN����B©Q���1zW{|x��[xX��}r�!ª2�r�[� ~����-zW���|�r�WxX}1z[~�������[��{|xN�1~�x&�1~�-z[�|w��1~y[}�~|~����W��x���wWx({��r�W�1x��wWxX{|x(~��|�r�W�������N�r����}1����~�1�|wW��xX�1xN��� 32�Wx�����y[}1{|�|�r�7�/�7�^�3��zW�����&}r�2��wW��~!yW{|}1�W��xX�

W

W

·��|�r{|�����W���Q}�~�������}1�

X X X XX X W

uQ�r{|�1xX���Q}�~�������}1�

r%,(YZ Z

Z Z W[[

[[W r%,WW \ �[��}1�7��{|}1�����r�W��x;�Q}�~�������}1�

©Q���1zW{|x� #�� ���7x7%2�r�W�1x/·��|�r�W�������N�r����}1���Z}1{2��wWx/§0/;¢����}1��xN~��Z{|}1�=��wWx;�L�1���2��w[�r����wWx/§0/;¢����[xN��}1��xN~�zW�[��}1�W���{|}1�����r�W��x��1~%��wWx�y[xX�[�7zW��zW� �1xX�|~����}�~�xX{3��}���wWx�wW}1{|����X}1�7�|�r�Sy[}�~�������}1�SªWwWxX�[��x!��wWx/�WxXxN�%�Z}1{;�-���r���W��~|�|wWxN�7zW��xN���}1�7��{|}1����xX{�~X�S§�y[�r{|�Q�Z{|}1�v��wWx��%�r¡����%�r����}1�-}r�S��wWx�{��r�W�1x��wWxX{|x!~��|�r�W�������N�r����}1�3wW}1���W~Xª���x!�-z[~����r��~�}-yW{|}r�����7x2y[xX{|��Z}1{|�%�r�[��x!���&��xX{|�%~�}r��~�xX���������W�1�L������x/�r�[�}r�1xX{�~�wW}�}1�����{|xN~�y[}1�[~�x-��}&{|x��ZxX{|xX�[��x%~����1�[�r��~X�3u�wW��~;���������[x3�7xX�|�r����xN����·�xN������}1��W�-§���~�}3��wWx���}1�7��{|}1����xX{!~�wW}1zW���xX¡�wW���W���;�1�7�xN�1z[�r��x-{|}1�����L}r��������wWx-wW���1wW�Z�Z{|xN�1zWxX�[���%{��r�W�1x!�Z}1{;�W}1��~�x�r����xX�7z[�r����}1�S�

] \]�^ ^v°-­-®Q¯?° a�_0`;³%d­´a`%²�`Gbu�wW��~3~�xN������}1�ByW{|}r�����7xN~%�(�W{|��x��/{|xX����xX� }r�-��wWx�7xN~����1���xN�|wW�W���1zWxN~;��w[�r�/�������?�[x%z[~�xN��Z}1{/��wWx%§0/;¢��6�ryWyW�����X�r�����}1�S�vu���}(�S�?�*�7xN~����1� ��xN�|wW�W���1zWxN~��������;�[x&���7�1xN~���������r��xN�%wWxX{|xN�N�Z��xX{ #� ��wWx/�S©?uB�7xN~����1�3��xN�|wW�W���1zWx1ª� ��wWx!y[}1������}1yW���!�7xN~����1�%��xN�|wW�W���1zWx1�§2~2���[�7���X�r��xN��7�3��wWxX��{;�[�r��xN~Xª[~�z[�|w&��xN�|wW�W���1zWxN~2�ryWyW�����}&�S�?� yW���r�7�|~2������w(�S©?u6�r�[��y[}1������}1yW���/y[�r{��r��xX��xX{|��7xXy[xX�[�7xX�[��x1ª!{|xN~�y[xN�������1xX���1� u�wWx ,[{�~��&�����1~|~}r�3�S�?�yW���r�7�|~��X�r�3�[x/�7xN~|��{|���[xN�3�1~

�� �1�0� ���7c 0 c+��� , 0 ��� .����& c0�1��c)� ��!�c(c 0 c+��!�c , 0 ��!�c . ���& � � , � ��! , c 0 c+��! ,-, 0 ��! ,/. ���� � � . � ��! . c 0 c+��! .1, 0 ��! .-. ���0 c��=d �%$|� & c ��6�����

Page 5: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

��wWxX{|x d �%$|�[��~Q��������xX�L�r�r{|�����W�2y[�r{��r��xX��xX{��%�r��{|��¡!�r�[�!��~z[~�z[�r�����&�1~|~�zW��xN���}w[�N�1x��%�W��}7�|¶����7���r�1}1�[�r�?~���{|z[����zW{|x���3��wWx;�Z}1{|�

d �%$|� � �7���r��� ����� � d � �%$|��� ����� �����1�%$|�y8� ����� �0� �6���7��r�[�%�W}1{|�%�r�����XxN�%~�z[�|w%��w[�r�

d �%$|� 6 d �%$|� C 8� $$F(� � �6�����&���}7�|¶7~2�7xX�W}1��xN� d � �r�[� ����8%�r{|x;�1xX�WxX{��r�����-{|x��ZxX{|{|xN�%��}�1~/�ZzW�����r�[�({|xXy[xN�r��xN�7��~|�X�r���r{/�W��}7�|¶7~��1�X��}1{��7���W���}��wWx¦(�r�[�r���7~���~;�r�[�~����7��wWxN~���~�������xX{��r��zW{|x"����ªi���L��*�}1��x-��w[�r�~���{��r���1w7���Z}1{|���r{��;��}1��yWzW�|�r����}1�[~S��xN�1�/��};��wWx�~��|�r��xX��~�y[�1��x{|xXyW{|xN~�xX�7�|�r����}1�+- �� &

.0 � 14 5+- � � , � .� , ! ,-, ! ,/.� . ! .1, ! .-. .0 � +- �7c! , c

! . c .0 d �%$|�� �68�9 !�c(cad �%$|��� ; , � ��c !�c , !�c .i��� +- �0 � .0 �

�6��u��wWxX�[��x��wWxyW���r�7�-������w����WyWzW�|~ 0 �r�[� �B�r�[�(}1zW��yWzW�|~&%�r�[� � w[�1~;~��|�r��xX��~�y[�1��x/�W�r�|��xX�7��{|��xN~���wW���|w&�r{|x!�Z{��1�������}1�[�r�[�ZzW�[������}1�[~�}r�Q��wWx!������xX�L�r�r{|�����W�/y[�r{��r��xX��xX{ d �%$|�|�¸�xX{|xN�N�Z��xX{NªW��x!�r{|x;z[~����W�-��wWx;�Z}1����}r�����W�/�W}1�|�r����}1�� �%�Z}1{���wWx/��}1�7��{|}1��~����1�[�r�� 0 �Z}1{2xX¡�}1�1xX�W}1z[~����WyWzW�|~� &/�Z}1{2��}1�7��{|}1����xN��}1{�y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x;�r�r{|���r�W��xN~� � �Z}1{���wWx!��xN�1~�zW{|xX��xX�7��~����1�[�r�L�§2~/�r��r����xX{|�[�r�����1x-��}��wW��~!�7xN~|��{|��yW����}1�Sª���x��r{|x%�r��~�}��}1�[~����7xX{|���W��y[}1������}1yW����~��7~���xX�%~���wW���|w!�r{|x��7xN~|��{|���[xN�2�7���wWx/~��|�r��xX��~�y[�1��x;{|xXyW{|xN~�xX�7�|�r����}1�

�� � � � ? �%$|��� ����� ,N� ? �%$|��� 0 ��� .r� ? �%$|�������& �1� ,N� ? �%$|��� ����! ,-,N� ? �%$|��� 0 ��! ,/.1� ? �%$|�������� � � .r� ? �%$|��� ����! .1,N� ? �%$|��� 0 ��! .-.1� ? �%$|������� �6��x1���wWxX{|x;�1xX�WxX{��r�����1ª � � ? �|ª � ,N� ? �|ªQ�������r{|x/�N�%�Wx2�ZzW�[������}1�[~}r�W��wWx?������xX�L�r�r{|�����W��y[�r{��r��xX��xX{ ? �%$|�WxX�1}1�������W�����/��y[}1�������}1yW���!~�xX����rªW�L� x1��ª? �%$|� E ��0# � ��}� ? ��� � ����� � ? ����� � $$Fm� � �6��z��

��wWxX{|x;��wWx!�W}1�|�r����}1���}� � � ~��|�r�[�W~��Z}1{���wWx!��}1�7�1xX¡�w7zW���}r�?��wWx/~�xX� � � �����xN�r{|���1ª���wWxB~��|�r��xX��~�y[�1��x �W�r�|�B}r���wWx yW���r�7�(�6��x1�{��r�W�1x}r�1xX{%���%�r��{|��¡(y[}1������}1y[x��r�[�(��w7z[~�������{|�������r�����wW}1���W~���w[�r�+- � � ? �%$|��� � ,N� ? �%$|��� � .r� ? �%$|���

� ,N� ? �%$|��� ! ,-,r� ? �%$|��� ! ,/.r� ? �%$|���� .r� ? �%$|��� ! .1,r� ? �%$|��� ! .-.r� ? �%$|��� .0 E

� # � ��} 14 5+- � � � , � � . �� , � ! ,-, � ! ,/. �� . � ! .1, � ! .-. � .0 ��� � "��- � ����� � � = >? ��6��{��

��wWxX{|x +- � � � , � � . �� , � ! ,-, � ! ,/. �� . � ! .1, � ! .-. � .0

# �+- � � ? ��� � � ,N� ? ��� � � .r� ? ��� �� ,N� ? ��� � ! ,-,N� ? ��� � ! ,/.r� ? ��� �� .r� ? ��� � ! .1,N� ? ��� � ! .-.r� ? ��� � .0 �� � "�� ����� � � �

�s�����©W}1{2�r�7�3}r����wWx-�S�?�vyW���r�7�|~!�6�����L�|�6������}1{/�6��x1�L�|�6��{��|ª

��wWx�S�?� ��}1�7��{|}1��yW{|}1�W��xX� �Z}r�Z��xX� {|x��ZxX{|{|xN�(��}�1~-��wWx���r���W��~|�|wWxN�7zW�����W�/��}1�7��{|}1��yW{|}1�W��xX�3����}1�[~���~��|~����&~�xXxX¶����W��r��S�?�6��}1�7��{|}1����xX{

�� @ � � @ ���[� � @ ��� @ ���[� � �� � � @ ���[� � @ ��! @ ���[� � � �s� "N�

��wWxX{|x���%$|� ��d �%$|���Z}1{2��wWx-�S©?u����S�?��yW���r�7�!�6�����L�|�6������r�[�����%$|� ��? �%$|�[�Z}1{S��wWx�y[}1������}1yW�����S�?��yW���r�7�?�6��x1�L�|�6��{��~�z[�|w%��w[�r�� ��wWx;����}�~�xN�7�L��}�}1y�~��7~���xX�D�6�����L�|�6�����?�r�[�3�s� "N�Q}1{?��wWx����}�~�xN�7�L��}�}1y�~��7~���xX� �6��x1�L�|�6��{��/�r�[�B�s� "N�!��~-���7��xX{|��[�r�����3~��|�r�W��x1ª� ��wWx��%.��L���[�7z[��xN�3���r���}r�?��wWx/}1y[xX{��r��}1{;��}1�W�WxN�������W�0 ��}�&-��~��[}1zW�[�7xN���7���Qª

�Z}1{/�r����y[�r{��r��xX��xX{!��{��N¨�xN����}1{|��xN~����%$|�!�7x),[�WxN�&�7�&xX����wWxX{�6������}1{!�6��{��|�¢L�-��~/�W}r� ��xX�����L¶��W}r�����w[�r��~�z[�|wyW{|}1�W��xX�%~/�X�r�(�[x

w[�r�[�7��xN�!�����/�!~�zW���|�r�W��x��1xX�WxX{��r�����N�r����}1�-}r����wWx&�}1zW�[�7xN�%�xN�r����xX���%�7��u�wWx��Z}1����}r�����W�&�.-&¢;�|w[�r{��1����xX{|���N�r����}1�[~�Z}1{���wWx;~�}1���r�r�W���������-}r�Q~�z[�|w-yW{|}1�W��xX�%~Q��~���wWxX�%}1�W�|�r���WxN���u�wWx�{|xN�1�7xX{?��~?{|x��ZxX{|{|xN�/��}/{|x��ZxX{|xX�[��xN~&����ª�u�ªGx�ª�z7ª ":�7ª ":���Z}1{���}1{|x!�7xX�|�r����~��r�[�3�1�W�7������}1�[�r�[{|xN~�zW���|~X�

H���� �$�:���NM T �,�,��� ; #Q�$R� ����<�,�$R�� /�L �����8��,M:RL�<�u�wWx��|w[�r{��1����xX{|���N�r����}1�;}r�W��wWx�~�}1��zW����}1�[~[��}2��wWx��S�?����}1�W���{|}1�SyW{|}1�W��xX� �Z}1{;�S©?u�yW���r�7�|~�{|xN�1zW��{|xN~���wWx-�7x),[�W������}1�[~}r�?~|�X�r�����W��~�xX�|~���}1��y[�r�����W��x;������w3��wWx;y[�r{��r��xX��xX{2~���{|z[�����zW{|x�1���1xX� �����6���7�|� /2xX�W}1�����W���wW��~%~���{|z[����zW{|x&�1~�!&ª��wWx��Z}1����}r�����W�!~|�X�r�����W�!~�xX�|~��X�r���[x2���7��{|}7�7z[��xN���Qu�wWx2~�xX�}r�Q~�������xX��{|���2~|�X�r�����W��~��1~|~�}7�����r��xN��������w%��wWx;y[�r{��r��xX��xX{~���{|z[����zW{|x"!���~��7x),[�WxN�%�1~

#%$ # �'& # # # 6 � # � # d1�Pd # �( d ������w~���{|z[����zW{|x)! � �

·����������r{|���1ª���wWx/~�xX�2}r��~�¶1xX����~�������xX��{|���;~|�X�r�����W��~��1~|~�}7������r��xN�%������w��wWx!y[�r{��r��xX��xX{�~���{|z[����zW{|x)!D��~��7x),[�WxN�%�1~� $ # �*& � ##� 6 � 9D�4� � d �Pd 6 �4�

( d ������w~���{|z[����zW{|x)! � ��

Page 6: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

���1zW���r�r��xX�7�����1ª1���?��~QxN�1~������/�1xX{|�2,[xN�!��w[�r�?������w # #(�7ª1��wWx~|�|wWxN�7zW��xN�!�%�r��{|��¡ d ~|�r���2,[xN~S��wWx2�1z[�1�7{��r��������}1�[~���{��r���7�|~��� * 8d 2 6 * # �� 6 9 #)2 * 8d 2 Fm� �

( d ~X�Q�X� d 6 d C 8� ������w~���{|z[����zW{|x)! �� ����w���wWx&�r�[}r�1x3�7x),[�W������}1�[~-�r�[��W}1�|�r����}1�[~-���(�����[��ª��wWx��Z}1����}r�����W�;�.-&¢S�|w[�r{��1����xX{|���N�r����}1�;�Z}1{?��wWx2~�}1���r�r�W���������}r�?��wWx!yW{|}1�W��xX�=�X�r�3�[x!xN~��|�r�W����~�wWxN���������� p ������ ���� ��� � � ����� ����������� � ��� � � � � �� �"!$#%'&(&*) � �� %'&(+*)�, � ��� d � �*�� � � �%� !�� �$-�. / � � �$� � � �� �)� - � � � � �0� %'&$12)(3 � � �5476 � �� 478 � �� � � �� 9#:! � �!�*� �'; ��� �� �� ���)� � - �*� �'; � � .�� ! . c � ! .1,��-��� � ��� � 6. � ! 6c . � ! 6,/. �-����< � �*�)�� - � � � ���=# 3 � � ��< ��� � � �(�*> �?� � �� @��A�B -*� �)� � � � � � �� - �C����� �D��� � % � - � � � � )FE � ��� � �G � � �9� � ����� -*� �� � � � � � � � � � ;$� � � � � � � ��� � � � � � �%. /�� � ;$� ����� - �<� � � ��� �H� ; � �� � �=#I� ; ��� � � �<�*> �?� � � � � � ��'; ��# ��� � �)� � - ��� �)� � - �*���J �*K��L<-� # & ��M & � � �� � � � � ��'; � . � , / ��# ��� � �)� � - ��� �)� � - �*�(�)� & �*N & �:�� - �@����� �7��� �� �)� - � � � � -*� � �)� � � � �

# & �OM & E #%$ � ���� & �PN & E � $ �s����� � � �2< � �� ��� �Q��RTSL�

4 66+,,,,-� 6 J � J � J �7c+� � 6c � 6&� 6c J � � & ��c 9 # & � � & !�c(c ��! 6c(c � 6&

� 6, J ! 6c , � 6&# & ��c # & !�c(c� , ! , c

J � , � 6c # & � 6,� & !�c , ! 6c(c # & ! 6, c9��i8 ! 6c , # & ! 6,-,# & !�c , 9 # & �! ,-, � 9��i8

. ////0 476 �(�4� �s�����4 68

+,,,,-� K � K � 6 K � 6c ���7c N 6&��c K � N & � 6c 9QM & � N & ! 6c(c � !�c(c N 6&

� ,�K ! , c N 6&M & � 6c M & ! 6c(c� 6, ! 6c ,

K � 6, �7c M & � ,N & ! 6, c !�c(c M 6& !�c ,9��i8 ! , c M & ! ,-,M & ! 6, c 9QM & �! 6,-, � 9��i8

. ////0 478 �(�4� �s���7�* J 88 K2 #m�4� �s�����* # & �� M & 2 #m� �s��u��

��� � ; � � ����!�� � 3U �� qWp V ��XW u�wWx�|w[�r{��1����xX{|���N�r����}1���1���1xX������u�wWxX}1�{|xX�'�7� "���}1�[~�������zW��xN~(��~��|�r�[�W�r{��6~�xX�������7x),[�W����x(yW{|}1��1{��r�ªQ��w[�r�/��~XªQ�����W�������Xx-��wWx%�����WxN�r{!}1�7¨�xN�������1x���~�zW�W�¨�xN���3��}���wWx��.-&¢���}1�[~���{��r���7�|~�s�����L�|�s��u��|ª;�r�[�B�X�r�B�[x

~�}1���1xN�/������w-�1xX{|�/x��3����xX�7�Q���7��xX{|��}1{|�Ly[}1���7����xN�|wW�W���1zWxN~?�1~���� "1�7ª ":�7ª.":u7ª."�x��L�H���� �$�:���NM T �,�,��� ; #Q�$R� ����<�,�$R�� /�L 87�:��;$>�<�:8��,#=8��,M:RL�<�§=~����������r{/�|w[�r{��1����xX{|���N�r����}1�(�X�r�(�[x3�7xX{|���1xN�&�Z}1{-y[}1�������}1yW���2�S�?�ByW���r�7�|~Q�7�-���7�1}1¶����W�!�/~�zW���|�r�W��x�xX¡���xX�[~���}1��}r���wWx &�}1zW�[�7xN� %�xN�r�S��xX���%�"���7ªGz��L�©W}1{ ~�����yW�����������1ª������~ ,[{�~����1~|~�zW��xN� ��w[�r� � .r� ? �|ª

� .r� ? �|ª ! ,/.r� ? �|ª ! .1,r� ? �?�r{|x�y[�r{��r��xX��xX{|�L���[�7xXy[xX�[�7xX���S}1{xN�1zW���r�r��xX�7�����1ª* � . �! ,/. � 2 � * � .! ,/.J2 � � � . � ! .1, � � � � � . ! .1,G� �� � "��- � ����� � � � �s��x1�

������� p �����?Y��� ��� � � �O��� ��� � �=# � � �P� - ��� � � %'&�ZL) � ��%'&([*) � ��:� � �\476 � �� 478 � �� � � �:! � �!�*� �'; ��� �� �� ��)� � - �*� �'; � � .�� ! .1,��-��� � �� � � 6. � ! 6,/. �-����< � �*�)�� - � � � ���=# 3� � ��< ��� � � ���*> �?� � � � F��A�B -*� �)� � � � � � �� - �I����� ����� �% �*> � ���� � � )"E � ��� � �"G � � ��� � ����� -*� �� � � � � � � � � �T� - � � �!� � / � �$� � ;$� � � � � ���%. / �� � ;$� ����� - ��� � � ��� �H� ; � ��� �=#0� ; ��� � � �H�*> �?� �:� � � � � �'; ��# ��� � �)� � - ��� �)� � - �*���J �*K���� � � �?� ; # � �"��� �Q��RTS -*� �� � � � � �$]

4 66 +- � 6 � J � J � � J � , � � 6, �� 6, � J 9��i8 ! 6,-, �� , � ! ,-, � 9��i8 .0 476 �(�4���s��z��

4 68 +- � � K � K � 6 � K � 6, � � , �� , � K 9��i8 ! ,-, �� 6, � ! 6,-, � 9��i8 .0 478 �(�4�1�s��{��

* J 88 K�2 #(� �6�����;$� � � � "�� ����� � � 3\ ~����W�&�&~������1w7�������7�^��xX{|xX�7�/�ryWyW{|}��1�|wSªS���/��~/y[}�~|~����W��x��}��|w[�r{��1����xX{|���Xx��-zW������yW��x2�r�[���-zW���������|w[�r�W�WxX�7~�y[xN���2,��X�r�����}1�[~����/��wWx��X�1~�x�}r�Wy[}1������}1yW�����S�?� ~��7~���xX�%~�� ":�7ª ":{7ª�{��L�·����[��x ����w[�1~yW{|}r�1xN�6z[~�x��ZzW�3��� ��wWx�§0/;¢�� ��}1�7��{|}1�Lª��x �W{|��x)([�����7��{|}7�7z[��x���wWx��.-&¢�~�|w[�r{��1����xX{|���X���W�*�%.�����r���3y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x2�����}1�r¨�zW�[������}1�3��}��.-&¢�{|xX�1��}1�3��}1�W�~���{��r���7�|~�}1����wWx-y[}1��x-}r����wWx�����}�~�xN�7�L��}�}1y�~��7~���xX��-u�wWx{|xN�1�7xX{S��~S{|x��ZxX{|{|xN�!��} � ":{�ª�������Z}1{?�2��wW}1{|}1zW�1w/�7��~|��z[~|~���}1�}1���.-&¢�{|xX�1��}1�[~2�r�[�3��wWxX��{;z[~�x/���{|}1�Wz[~��;��}1�7��{|}1�S��wWxX�}1{|�1�©W}1{-��}1��yW��xX��xX�WxN~|~XªS��x��-z[~��!��xX�7����}1����w[�r�-�.-&¢{|xX�1��}1�[~S}r�[��wWx���}1��yW��xX¡!yW���r�Wx��r{|x��1xX{|�!�1xX�WxX{��r�L�Q§2~?xX¡���r��yW��xN~Xª��1xX{|�����X�r���r�[�&wW}1{|���X}1�7�|�r�?~���{|��y[~XªS����{�����xN~XªQ��}1�W���~�xN����}1{�~Xª[�����?�r�[�����7��xX{�~�xN������}1�[~?}r�Q~�z[�|w%{|xX�1��}1�[~��r{|x;�.-&¢{|xX�1��}1�[~X� -}1{|xX}r�1xX{NªS�r�7��~�xX�^�Z����}1�r¨�zW���r��x�{|xX�1��}1��}r����wWx��}1��yW��xX¡(yW���r�Wx&�X�r�B�[x��ryW{|}r¡����%�r��xN�(��} �r�7���7xN~���{|xN��1�X��zW{��1���%������w��r�&�.-&¢�{|xX�1��}1�S�2�.-&¢�{|xX�1��}1�&�r{|x/��}1{|x�Z}1{|�%�r�������|w[�r{��1����xX{|���XxN�3�1~���wWx/~�xX�

& & E:^ #�� � &�! �@_&�! 6 �(� � � �6�"N�©W}1{!��wWx3y[}1������}1yW���%~��7~���xX� �6��x1�|ª����/��~!�W}1�-�7�^�3��zW���!��}xN~��|�r�W����~�w%��wWx;�Z}1����}r�����W�"��{��L�u

Page 7: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

������� p ����� � � � � � ���*> �?� � � � :��A�B -*� �)� � � � � � �� - ������ �� ��� � % �*> � ���� � � )DE � ��� � ��G � � ��� � ����� -*� �� � � � � �

� � � � � - � � �!� � / � �$� � ;$� � � � � � �%. / �� � ;$� ����� - �� � � ��� ��<� � � ; � ��� �� % , � ����� �*�)�� - ��� � � � � � ) � � �� ��*� �'; ��� � � � /� ��� � � � �N?"��� � - � � �!� � / � �$� �:��#2� � � �0��� � � � �� � �A� � � �*�� ��� �Q��RTS � � � � � %'+��*)

, � ���� � � �"��� � � �<�*> �?� � ��# ��� � �)� � - ��� �)� � - �*�7K � ��TJ� ����� � � � !��� �*������ @ � ���� @ � ���� @ � ���! @ � ���� - � ����� � ��� �;$� � � � , � � ��RTS#� � � !�� � � �?� ; � � ����!�� �*<+,,,-

J � � � �� @ � � . � � �W� ��� 6 @ � � � � � � .��! @ � � . � � K ��� .��� @ � � � �W���J � , � � �� @ � ! .1,N� 6 � � , � � � . �! @ � ! .1,N� 6� , � � ! ,/.��! @ � � . � , � K ��! ,/.��� @ �� �� �9��i8 �! ,-, � ��! ,/.��! @ � ! .1, 9��i8

.�//0 �(�4� �6������ ��� * K 88 J 2 � ! ����� � � K ��� . �� @ ��� @ �� � ��� .��! @ � � .J � � � �� @ � � .�� � !������ ��� 6��

� � �m�4� �6�����* J 88 K 2 #(� �6���7�

;$� � ��� � < 32323 < � 3U �� qWp V �� � §2~Q�[x��Z}1{|x���wWx���}1�[�7������}1�[~S�1���1xX�-����u�wWxX�}1{|xX�%~&�7�����r�[�3�7� ���W}1��}1�W���3~�xN��zW{|x!~��|�r�W���������3�r�[�3y[xX{|��Z}1{|�%�r�[��x!�Z}1{/�r�7��1�7����~|~����W��x;�Z{|}1�XxX�&�r�r��zWx�}r����wWx-y[�r�{��r��xX��xX{ ? �WzW�Q�r��~�}��Z}1{��r�7�;������xX���7xXy[xX�[�7xX�7�S��{��N¨�xN����}1{|�? �%$|�;��}1� ,[�WxN���}��6��z��|��¸�}r��xX�1xX{Nª[��wWx%�1�W�7������}1�[�r�Q�.-&¢{|xX�1��}1� y[}1��x���}1�[~���{��r���7�����Bu�wWxX}1{|xX� �7� �(}1�W�����%�r¶1xN~~�xX�[~�x!�r���Z{|}1�XxX�3�r�r��zWxN~�}r� ? ������|~�y[}1������}1yW���;{��r�W�1x1�� wWxX�/~�}1��zW����}1�[~[��}2��wWx��.-&¢���}1�[�7������}1�[~[}r�Wu�wWxX}1{|xX�%~�7� "Q}1{��7����w[�N�1xQ�[xXxX�!�Z}1zW�[��ªX��wWx�~��|�r��xX��~�y[�1��x��W�r�|��}r�7��wWx��}1�7��{|}1����xX{S�����s� "N�S�X�r�/�[x���}1��yWzW��xN�2�Z}1{?�r�7�;�1�7����~|~����W��x�r�r��zWx�}r�W��wWx�y[�r{��r��xX��xX{ d �%$|��}1{%���%$|�|ª1z[~����W����xX�����L¶��W}r���~|�|wWxX��xN~X�Qu�wWx;{|xN�1�7xX{���~�{|x��ZxX{|{|xN����}�� ":z7ªG"-�S�r�[��� x1ªGz7ª{��[�Z}1{;�-��}1��yW{|xXwWxX�[~����1x;�7��~|��z[~|~���}1�S�� \]�^ ^v°-­-®Q¯?° a�a:`2¯��! 3­-®�d�`GbQ´ab�c1°/¯

®�d�` ehg*¬i]¢L����wW��~!~�xN������}1�SªS��x ,[{�~��2�1���1x��3��wW}1{|}1zW�1w��7xN~|��{|��yW����}1�}r����wWx�~�y[xN���2,��X�r����}1�[~2�r�[�&��}1�7��{|}1�Q}1�7¨�xN�������1xN~2��}1�1xX��wWxX{������w���wWx���}1�7��{|}1�?~���{|z[����zW{|x/z[~�xN�3�Z}1{!��wWx�§0/;¢��Q�.*�xX¡���7�^��xX{|xX�7�;{|}1�Wz[~��!�r�[��S�?�=~����7��wWxN~�xN~!�r{|x%�X�r{|{|��xN�&}1zW�

�r�[�{|xN~�zW���|~;�r{|x��7��~|��z[~|~�xN�3������w�{|xX���r{��W~���}��wWx�~�y[xN�����,��X�r����}1�[~;���7��{|}7�7z[��xN�&xN�r{|����xX{!�WzW�/�r��~�}3�Z{|}1� ��wWx%����xX���y[}1���7��}r�/��wWx&xN�1~�x&}r�/����yW��xX��xX�7�|�r����}1��}1� ��wWx&yWw7�7~�����X�r�QxX¡�y[xX{|����xX�7�X�/u�wW��~����1~��;yWw[�1~�x!w[�1~2{|xX�1xN�r��xN��WxN��xN~��~|�r{|�3~����[��x!��x/w[�N�1x;�Z}1zW�[�~�}1��x!����~��%�r�|�|wWxN~��[xX����xXxX���}1��yWzW��xX{|���XxN�!�W}1�W�����WxN�r{Q~����-zW���r����}1�[~S�r�[�!��wWx#"Á{|xN�r�%$N{|xX�~�y[}1�[~�xN~�}1�3��wWx/§0/;¢��Q�

& ')( 'º�» Î ÃZ¾L»�ÕÁÕÁÊ�¾

*,+�- 'Q . '/ ËQº�É ' Ë�0 Ï � ' *,1322)4 '*,165&)7Q&)789 8Ì�Ê Í�Ð Ñr¾LÊ Ó Ö Í ¾ Ð|Ô

Æ '�: +

©Q���1zW{|x)� #�¢L�7��xX{���}1�W�WxN������}1�·���{|z[����zW{|x2�Z}1{���wWx/§0/;¢��;���� � �� T �,�N58� ����<�NRL�<MN�<�,�$R M:R� �<87��#Q�%<�>#QMN�<�,�$R��©W}1{Q��wWx��7xN~����1�[~XªN��x�~�w[�r�����[x�z[~����W�2��wWx�~����7��wWxN~���~S���7��xX{|���}1�W�WxN������}1�3~�wW}r���-���3©Q���1zW{|xN�7��u�wWx;~�xX{|���r�[��}1�W�WxN������}1�}r�;��wWx&§0/;¢�� �r�[�(��wWx&�1����z[�r��}1{�L§N��u2�-��~��7xN~|��{|���[xN��7���6�x1�L�|�6�{��2}1{��6�"N�L�|�6����2�7xXy[xX�[�7���W�%}1����wWx-y[�r{|������zW����r{;�S�?�v{|xXyW{|xN~�xX�7�|�r����}1�3��x-�r{|x-�1����z[�r�����3z[~����W�W�*�}1��x��w[�r����x!w[�N�1x!���7��{|}7�7z[��xN�3~�}1��x;���7��xX�1{��r�S�1������}1�&���3��wWx�Z}1{|���r{��-�|w[�r�W�WxX�W��}-xX�[~�zW{|x��XxX{|}-~���xN�1�7����~��|�r��x2��{��1�|¶����W�xX{|{|}1{��r���r�%xN�1zW�������W{|��zW�6y[}�~�������}1�S�?u�wWx2���7��xX�1{��r�[�1������}1���~�wWxX{|x!�7xN~|��{|���[xN�%�1~

���=���>�= � � 9 ��� �� �6�������wWxX{|x >�= ��~Q�;�7xN~����1�!y[�r{��r��xX��xX{N�Qu�wWx?�L�r�������!}r�[��xN~��Q}1{{|x��ZxX{|xX�[��x!~����1�[�r��~ � �Z}1{2��wWx/�r{|�={|}1�|�r����}1����3��wWx!{��r�W�1x�6����-��wW���|w �r{|x&z[~�xN�(wWxX{|xN�N�Z��xX{3�X�r�B�[x��7xN~|��{|���[xN���1~�Z}1����}r�2~X�

� �%$|�4# � 133334 33335

J@? 7)AB $ �6� C $ C n ��DC � � � n C $ C 6 . 9 n �9 J@? 7)AB �%$�9 6 . � � 6 . 9 n C $ C 6 . �0n �9 �DC � � � 6 . �0n ��$ � ��9 n �J@? 7)AB �%$�9 �2� �)�m9 n C $ C �2� �6��u����wWxX{|x �DC � � # � �w�,[��}�~X�6r%,(Y|�|ª n'� � � �%�r�[�r%,(Y|� C r , ���~��!�|�r{|�1xX���r�r��zWx1��§B~�����yW��x2�7{��N�����W�;}r�Q~�z[�|w%~����1�[�r��~Q��~�7xXyW������xN�����3©Q���1zW{|xN�W�?u�wWxX�%��wWx!~�y[xN���2,��X�r����}1�[~?�Z}1{���wWx��}1�7��{|}1��~��7~���xX���r{|x;��wWx2�Z}1����}r�����W�#E�F �G ��wWx/����}�~�xN�7�L��}�}1y3~��7~���xX�D��~����7��xX{|�[�r������~��|�r�W��x1�E�F WHG ��wWx��%.��L���[�7z[��xN�3���r���}r�?��wWx/}1y[xX{��r��}1{;��}1�W�WxN�������W�

0 �(� ��}�& � * >I ������= 2 ��~��[}1zW�[�7xN�-�7���Qª���wWxX{|x>I ��~����7xN~����1�%y[�r{��r��xX��xX{N�x

Page 8: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

'8� �� �� � � � � � � � � � � � � � � �

� �� �P � F 9 P � F �

â/K I Ä » Ð�� EJI���

9 â/K I Ä » Ð� EJI����

� �%$|�

$�©Q���1zW{|xN�#�u�wWx ��}1���%�r�[� � �%$|�

E�F �G ~�y[xN���2,��X�r����}1�[~ E�F �G �r�[� E�F WHG �-z[~��2wW}1���}1����wWx���r{|�1xN~���{��r�W�1x2}r� r , �1~��L�r{2�1~�y[}�~|~����W��x1�E�F � G ��wWx2�S�?�B��}1�7��{|}1����xX{?�-z[~��Q�[x�����yW��xX��xX�7�|�r�W��x�������w�/�����W���-zW� ~|�r��yW�����W�/���7��xX{|�r�r�� � ��� �%~�xN�1�L�

u�wWx(~�y[xN���2,��X�r����}1� E�F �G ��xN�r�[~3��w[�r�&��wWx��S�?� ��}1�W���{|}1����xX{!�-z[~��;~��|�r�W�������Xx/��wWx����7�1xX{|��xN�y[xX�[�7zW��zW������r�7��1xX{|�����X�r��y[}�~�������}1�(������wWx3{��r�W�1x3r%, E � 9 r , � r , �Z� &�xX�~����7xN~Xª���wWx�~�y[xN���2,��X�r����}1� E�F WHG ��{��r�[~����r��xN~2y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x��{��1�|¶����W���r�[�%wW���1wW�Z�Z{|xN�1zWxX�[���-���r����r����xX�7z[�r����}1�}1�7¨�xN��������1xN~X�;u�wWx-~�y[xN���2,��X�r����}1� E�F �G xX¡�yW{|xN~|~���w[�r�;~��|�r�W�������N�r�����}1��WzW�!�r��~�}3y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x��r�[�&{|}1�����L}r�{|xN�1zW��{|xX��xX�7�|~�-z[~����[x�1�|wW��xX�1xN� }1�B��wWx&���r{|�1xN~��%{��r�W�1x&}r�/y[}�~|~����W��x�7���[�r�����X~�}r�Q��wWx/§0/;¢��Q�[u�wWx/~�y[xN���2,��X�r����}1� E�F � G ��~��7���{|xN�������3�7�����|�r��xN�%�Z{|}1� yWw7�7~����X�r��w[�r{��7���r{|x����������|�r����}1�[~X�;���� �� T !������:��� ��;�RL�������<���&�x��Z}1{|x/zW���������X���W�-��wWx/�S�?�v~����7��wWxN~���~���xN�|wW�W���1zWxN~����7��{|}1��7z[��xN�3���3����·�xN������}1���7ªW������~����[~���{|z[�������1x;��}%���7�1xN~��������r��x��w[�r�Q�X�r�-�[x��1�|wW��xX�1xN�;z[~����W�;��z[~���}1�%�r{|�2{|}1�Wz[~��S��}1�7��{|}1���xN�|wW�W���1zWxN~!~�z[�|w��1~!£�¤ �r�[�¦ ~����7��wWxN~�xN~X� *�}1��x ,[{�~����w[�r�!~����[��x/��wWx�~����7��wWxN~���~2yW{|}1�W��xX���7xXyW������xN�����©Q���1zW{|x���~%��}1��yW��xX��xX����~����W�1zW���r{3� ! ,/. � ��r�[� ! .1, � ���|ª�r�7��£�¤@~����7��wWxN~���~�~���xXy[~%��xX{|xy[xX{��Z}1{|��xN�(z[~����W���wWx�.-&¢��Z}1{|�-zW���r����}1�����(� ":z��LªQ��wW���|w���~!�W}1�/{|xN~���{|������xN�&�7�~����W�1zW���r{|�����yW{|}1�W��xX�%~X� -}1{|xX}r�1xX{NªS���}1{��7xX{!��}�~|�r����~��Z���wWx-����yW��xX��xX�7�|�r����}1���}1�[~���{��r���7�|~ E�F � G ª���wW���|w{|xN�1zW��{|x{|xN�1~�}1�[�r�W��x���}1�7��{|}1����xX{/�7���[�r�����X~XªS��x%�r��~�}w[�N�1x-���7��{|}1��7z[��xN�/�.-&¢�{|xX�1��}1�/y[}1��x���}1�[~���{��r���7�|~�}1�/��wWx�����}�~�xN�7�L��}�}1y�7���[�r�����X~X�/u�wW��~;{|xN�1zW��{|xN~2z[~����W�%��wWx-{|x),[�WxN�&£�¤ ~����W���wWxN~���~���xN�|wW�W���1zWx?���"� ":{��[��·�xXx��r��~�};·�xN������}1� ���|�?u�wWx��.-&¢{|xX�1��}1�&zW�[�7xX{;��}1�[~����7xX{��r����}1���~;�7xX��xX{|�����WxN��7�3��wWx-���W���xX{�~�xN������}1��}r���3w[�r�^�Z�LyW���r�Wx1ª��3��}1�W���-~�xN����}1{/�r�[�&��7��~�¶�1~�~�wW}r���%���&©Q���1zW{|x)�7�� �XW �� £�¤ n� ��Wo ��� n���n mQqWn ��� � � q�� � � ���Sq��

�I��� � �&��1~�xN�}1�(��W}1�����[�r����}7�7xX�2�L§0/;¢��6����1xX{|�����X�r��y[}�~��������}1��r%, � �7ª��L� x1� r , � ���|ªW�r�3£�¤ ��}1�7��{|}1����xX{�w[�1~?�[xXxX�

��� KN`��

��� KN`��

KN`��

©Q���1zW{|x)� #��.-&¢?{|xX�1��}1�%�Z}1{���wWx/����}�~�xN�7�L��}�}1y3~��7~���xX���}1��yWzW��xN����xN�1�7���W�/��}%�/y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x2��xX�1xX�%� � � ��x�x����wWxX{|x&��wWx >I � � � �� � >�=1� � � ���r�[� ��wWx(�.-&¢-{|xX��1��}1���}1�[~���{��r���7�2��~!�7xX��xX{|�����WxN��7�"! J�# ' � � � � � � J�# ' ���� ����J�# ' � ����$r�3u�wWx-y[}1��xN~!}r����wWx%£�¤*��}1�7��{|}1����xX{!�r{|x�1���1xX��1~�9Nu�x � ":u�u ��9&��{ � z����&% ":{ � ":��{�' ��9N��{ � �":u�{ ��9N� � ":�":{ ��� � �*�}1��x&��w[�r����wW��~���~����B~��|�r{|¶���}1�7��{��1~��-������w ��wWx{|xN~�zW���}1�W�|�r���WxN�%������wW}1zW��y[}1��x/��}1�[~���{��r���7�|~���wW���|w3����xX���7xN�%��wWx��}1�7��{|}1����xX{�y[}1��xN~�9N� � �" ":� � ":�)(���9N� � z����{ � ":� ) �)9N� � {�x�x���{ � ":� ) �9N � ������x � ":� ) ��9N� � z���u �&� � �·�z[�|w�7���[�r�����X~2����xN�r{|���3�7}��W}1�;~|�r����~��Z�3��wWx/����yW��xX��xX�W��|�r����}1����}1�[~���{��r���7�|~ E�F � G �r�[���w7z[~��-z[~��2�[x/{|zW��xN�}1zW���� ��wW��~%�ryWyW�����X�r����}1�S��·�}Wª���x}1�W���({|xX�|�r���WxN����wWx ,[{�~��£�¤v��}1�7��{|}1����xX{N�Qu�wWx;��}1{|{|xN~�y[}1�[�7���W�;�W}1�W�����WxN�r{�~����-zW���r�����}1�[~Qz[~����W�2��wWx�{|xN�r����~���������}7�7xX���6���Q�r{|x���}1��y[�r{|xN�!������w{|xN��}1{��W~;}1�(��wWx+*���{|zWx�,3xX¡�y[xX{|����xX�7�/���(©Q���1zW{|x"u7��©W}1{xN�1�|w ,[�1zW{|x1ªW��wWx���"rª "N�L��~�zW�WyW��}1�2~�wW}r�2~���wWx-��}1���%�r�[� ��r�[�/��wWx2������xX�L{|xN~�y[}1�[~�x�}r��r%,Nª���wWx/��"rª���L��~�zW�WyW��}1�?~�wW}r�2~r�.rª���wWx/�67ª "N�L��~�zW�WyW��}1��~�wW}r�2~?��wWx;��}1�7��{|}1��~����1�[�r� �Sª��r�[���wWx!�67ª���L��~�zW�WyW��}1��~�wW}r�2~ ��Jr����x�,[{�~��Q}1�[~�xX{|�1x���wWx2��}1�W�~���~���xX�[���&}r�2��wWx%{|xN~�y[}1�[~�xN~;}r����wWx3~����-zW���r����}1��r�[�&��wWxxX¡�y[xX{|����xX�7�Xª���wW���|w%��}%~�}1��x2xX¡���xX�7���r�r�����W�r��xN~���wWx!~������yW���2,[xN����}7�7xX����x%w[�N�1x%z[~�xN�&�Z}1{�~����7��wWxN~���~X� 32�Wx3�X�r��r��~�}3~�xXx���w[�r�;��wWx%��}1�7��{|}1�?~��7~���xX� w[�1~;�1xX{|�y[}�}1{!y[xX{|��Z}1{|�%�r�[��x�z[~����W�;��wW��~���}1�7��{|}1����xX{?xX�1xX��}1����wWx2~�}1��xX��w[�r�{|xN�7z[��xN���|�r{|�1xX�Nr%,(Y � ����$r�� �XW �XW ¦ s � �WoNp � �-� � p¥mQqWn ��� � � q.�0/��Ss � pNoNq����

�I��� � ���x/�7xN�����7xN����}�����yW{|}r�1x2��wWxN~�x!yW{|xX���������[�r{|�/{|xN~�zW���|~�z[~�����W�&¦�~����7��wWxN~���~/�7�xX¡�yW��������������|�r¶����W�(�1�X��}1zW�7�/}r�;��wWxz

Page 9: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

·����-zW���r����}1�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

�?¡�y[xX{|����xX�7�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

©Q���1zW{|x�u #&£�¤ ��}1�7��{|}1��~��7~���xX� � � � � ��x�x��Wª&r%,(Y �����$N��|w[�r�W�1���W���7���[�r�����X~/}r�!��wWx&§0/;¢��Qª���wWxX{|x r , � u���$r�\ ~����W�,[{�~����L}1{��7xX{Q¦&~|�X�r�����W�!�r�[�-��wWx2y[�r{��r��xX��xX{�~S��zW�WxN���} >I � � � �� � >�= � � � zB�r�[� ! J�# ' � � � "�� � J�# ' ���� ����J�# ' � ����$Nª���x&��}1�7�1xX{|�1xN�(z[~����W����wWx¦���§��[�r���7~���~�r�[�%·����7��wWxN~���~?uS}�}1���[}r¡3�Z������w%��wWx;£�¤v~����7��wWxN~���~�~���xXy[~xX�7�Z}1{������W�%����}�~�xN�7�L��}�}1y3y[}1��x-��}1�[~���{��r���7�|~��?��}3~�}1��x/��}1�W���{|}1����xX{�������w3y[}1��xN~

�9Nu" � ��{�x %��� � ��{�u�' �)9&��x � ��z�� �)9N��� � x���� �9N� � z�{�{�� �)9N� � ��x��� �)9N� � ����u � � � ���wW���|w��r{|x(����xN�r{|����~|�r����~��L�1����}1{|��������w�{|xN~�y[xN�����}B��wWx����yW��xX��xX�7�|�r����}1���}1�[~���{��r���7�|~X�¢L�(}1zW{/xX¡7�r��yW��x1ªQz[~�z[�r�¦�~����7��wWxN~���~-�r���1}1{|����wW�%~/��}1zW�����xN�1�(��}zW�[�1�X��xXyW�|�r�W��x��}1�7��{|}1����xX{-�7���[�r�����X~X�&§2~/�[x��Z}1{|x1ª���wWx%�W}1�W�����WxN�r{/~������zW���r����}1�[~2�r�[�3��wWx-w[�r{��7���r{|x;xX¡�y[xX{|����xX�7�2�r{|x-~�wW}r���3���©Q���1zW{|x�x��§2~!xX¡�y[xN����xN��ª���wW��~/~�xN��}1�[����}1�7��{|}1����xX{!yW{|}r�����7xN~;�[xX���

��xX{!y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x!}1�&��wWx-�|�r{|�1xX��r%,(Y � ����$r�/¸�}r��xX�1xX{Nª��wWx/�1xX{|�3~|�r��x!��}1�7��{|}1����xX{��WzW��������w��wWx!�|�r{|�1xX�)r%,(Y����W���{|xN�1~�xN�/��}�u���$��7}�xN~Q�W}1�QxX�1xX�-yW{|}r�����7x�~��|�r�W���������/�r�[�!��x�7���&�W}1�0,[�[���r�7�&~�����yW��x/���N���}�1z[�r{��r�7��xXx/��wWx%~|�r��x��xX�1xX�S}r�Qy[xX{��Z}1{|�%�r�[��x;}1�3��wW��~����r{|�1xX{�{��r�W�1x1�·�zW�������W�2zWy�}1zW{?{|xN~�zW���|~Xª1��wWx2£�¤v��}1�7��{|}1����xX{?��~?�r�W��x

��}!~��|�r�W�������Xx���wWx�{��r�W�1x%����$?�WzW�QyW{|}r�����7xN~��1xX{|�!y[}�}1{?y[xX{|��Z}1{|�%�r�[��x1�u�wWx�¦B��}1�7��{|}1����xX{!yW{|}r�����7xN~!�1�7xN�1z[�r��x%y[xX{|��Z}1{|�%�r�[��x2}1�%��wWx;{��r�W�1xN����$��WzW���7}�xN~��W}1����}1�W�1xX{���}1{|¶

·����-zW���r����}1�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

�?¡�y[xX{|����xX�7�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

©Q���1zW{|x�x #?¦���}1�7��{|}1�S~��7~���xX� � � � � � x�{���z7ª�r%,(Y � ����$X��Z}1{?{��r�W�1xN~SzWy-��}�u���$�wWxX�[��x�������z[~���{��r�����W�;���ZzW�[�W�r��xX�7�|�r���{��1�7xX}r�3�[xX����xXxX��y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x��r�[�-��wWx;~����Xx�}r�S��wWx�}1yW�xX{��r�����W�%{��r�W�1x1�/¢L�&�%�r�7��ryWyW�����X�r����}1�[~���wW��~;��{��1�7xX}r���~�1xX{|�-�������������W�/�r�[���X�r�%}1�W���-�[x;�WxX�1}1�����r��xN��}1zW�|~����7x���wWx~�xX�;}r�+,[¡�xN����}1�7��{|}1����xX{;~���{|z[����zW{|xN~��7�xX¡�yW��}1�������W�%���r���W�~|�|wWxN�7zW�����W�/~���{��r��xX�1��xN~X��u�wW��~���~���}1�[~����7xX{|xN�%���3��wWx!�WxX¡��~�xN������}1�S�

;���H ����5��;�RL�������<���¢L�%��wW��~�~�xN������}1�Sª���wWx!~����7��wWxN~���~���xN�|wW�W���1zWxN~��7��~|��z[~|~�xN�-���·�xN������}1�"�!�r{|x�xX¡�yW��}1����xN�-��}!����yW{|}r�1x��[}1��w�y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x�r�[�%��wWx;}1y[xX{��r�����W�-{��r�W�1x;}r�?��wWx/§0/;¢��Q�

� �?��� � � n������ ��� q���� � s � �WoNp � �-� � p§��/�S©?u���}1�7��{|}1����xX{���~S�7xN~����1�WxN�2z[~����W����wWx��S©?u��7xN~|��{|��yW�����}1�&}r����wWx-§0/;¢��Qª[��wWxX{|x r , � u���$r�;u�wWx/y[�r{��r��xX��xX{�~>I �r�[� >�= ��xX{|x�~�xX�Q��})� � ��2�r�[� � � �7ªN{|xN~�y[xN�������1xX���1�?u�wWxzW�[�7xX{|�������W�%�7u�¢;�7���[�r�����X~2}r����wWx%�S©?u6��}1�7��{|}1����xX{!�r{|xxN�1~������&}1�W�|�r���WxN�&�7�&���[~��|�r�7�����r�����W�3��wWx%�S©?uv��}1�7��{|}1����xX{�r�;~�}1��x;�Z{|}1�XxX�&�r�r��zWxN~2}r�4��Jr�;©W}1{2��wWx-xX¡���{|xX��x/�r�r��zWxN~}r�+��J;��wWx2�Z}1����}r�����W���7���[�r�����X~��r{|x;}1�W�|�r���WxN�����J � "# �9N��u�� � ��u �)9N����{ � x���N9N�{" � z"��)9N�� � ��u���9 " � ��x�z�u �&� � ���J � 9 "0# �9N��u�� � ��u �)9N����{ � x� �N9N�{" � z���)9&�� � z�z�z �{

Page 10: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

9 " � ����u�x �&� � �·�z[�|w(�7���[�r�����X~/�r{|x3�r���r����~|�r����~��L�1����}1{|�����({|xX���r{��W~!��}����yW��xX��xX�7�|�r����}1�;��}1�[~���{��r���7�|~��r�[�2w[�N�1x?�[xXxX�/�7xX{|���1xN�2�7������W�������X���W�WªW��wW{|}1zW�1w&�r���.-&¢��Z}1{|�-zW���r����}1�SªW��wWx/�W}1{|�}r�;��wWx � �%�r��{|��¡}r�;��wWx�S�?� ��}1�7��{|}1����xX{-���(��wWx&��}1�W�~���{|z[������}1�yW{|}7��xN�7zW{|x1�2u�wWx!�W}1�W�����WxN�r{2~����-zW���r����}1�[~��r�[���wWx2w[�r{��7���r{|x�xX¡�y[xX{|����xX�7�|~��r{|x2~�wW}r���-���%©Q���1zW{|x&z7�?§2~xX¡�y[xN����xN��ªQ�[}1��w�y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x-�r�[���wWx-��wWx%~����Xx-}r����wWx}1y[xX{��r�����W�/{��r�W�1x�w[�N�1x2�[xXxX�%xX�Ww[�r�[��xN�%�1~���}1��y[�r{|xN�-��}yW{|xX����}1z[~��7u�¢���}1�7��{|}1����xX{�~X�

·����-zW���r����}1�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

�?¡�y[xX{|����xX�7�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

©Q���1zW{|x"z #%�S©?u ��}1�7��{|}1��~��7~���xX�@� � � � � ��x����7ª%r%,(Y �u���$N�� �?��XW � � n������ ��� q � � � �o � � ��ss � �WoNp � �-� � p§�~����������r{-�7xN~����1�(��~-�W}r�=��}1�[�7z[����xN�(z[~����W�&��wWx3y[}1�������}1yW�����7xN~|��{|��yW����}1�;}r�W��wWx�§0/;¢��QªN��wWxX{|x r , � u���$rªNwWxX�[��x��xN�1�7���W����};y[}1������}1yW�����S�?� ��}1�7��{|}1����xX{�~X��¢L�/}1{��7xX{S��};~|�r�����~��Z�(��wWx����yW��xX��xX�7�|�r����}1����}1�[~���{��r���7�|~ E�F � G ª���xw[�N�1xz[~�xN�3��wWx!{|x),[�WxN�3~����7��wWxN~���~���xN�|wW�W���1zWx!}r��u�wWxX}1{|xX� �7� ���wW���|w�X�r�w[�r�[�7��x!��}1�[~���{��r���7�|~�}1�3��wWx-����}�~�xN�7�L��}�}1y3�7����[�r�����X~X��� ����w���wWx�~�xX��xN������}1� >I � � � "�� >�= � � � �3�r�[�! J�# ' � "�� � J�# ' � ��� ����J�# ' � ����$NªS��wWx�zW�[�7xX{|�������W�%�7u�¢��}1�7��{|}1����xX{�~?}1�W�|�r���WxN���r����wWx2xX¡���{|xX��x;�r�r��zWxN~�}r�S��wWx;y[�r�{��r��xX��xX{�{��r�W�1x;w[�N�1x2��wWx;�Z}1����}r�����W���7���[�r�����X~r%, � � $ # �9Nu�{ � ���� %���� � ��"�' �N9N��� � ���{ �)9N�� � x�x�� �9N� � u���x�{ �&� � �

r%, � u�� $ # �9)x�u � ��z���� �)9N��� � ����u %0� " � ������' �)9N��� � ":��{ �9N � ":����{ �&� � �u�wWxX���r{|x%�r���r���(~|�r����~��L�1����}1{|�1�3u�wWx��W}1�W�����WxN�r{/~����-zW���r�����}1�[~!�r�[�&��wWx�w[�r{��7���r{|x/xX¡�y[xX{|����xX�7�|~;������w��wWx�y[}1�������}1yW������}1�7��{|}1����xX{?�r{|x�~�wW}r���/���-©Q���1zW{|x {7�?¢L�?��~?�r���r���/}1�W�~�xX{|�1xN�-��w[�r���r���r���%�1xX{|�-�1}�}7��y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x���~��1�|wW��xX�1xN�}r�1xX{���wWx/~|�r��x;}1y[xX{��r�����W�-{��r�W�1x1�

·����-zW���r����}1�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

�?¡�y[xX{|����xX�7�

0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100

time[sec]

φ1 [deg]

0 5 10 15 20−4

−2

0

2

4

time[sec]

φ2 [deg]

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

time[sec]

u [deg/sec]

0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

time[sec]

|θr|<1

©Q���1zW{|x0{ #��Q}1������}1yW�����}1�7��{|}1�-~��7~���xX��� � � � � ��x��{7ªr%,(Y � u���$N�;���; ���� �O�$RL�� ��:�,�,�Q ���8��,�N��NRL�<MN�<�,�$R©W}1{;��}1��yW��xX��xX�WxN~|~Xª[��x-�1���1x-�%�W{|��x����7xN~|��{|��yW����}1�}r����wWx����yW��xX��xX�7�|�r����}1�/}r�S�S�?����}1�7��{|}1����xX{�~S�[}1��w-�Z}1{���wWx2�W}1�W������WxN�r{~����-zW���r����}1�[~%�r�[� �Z}1{&��wWxxX¡�y[xX{|����xX�7�|~X� *�}1��x,[{�~�����w[�r�;�7zWx!��}%��wWxX��{2���WwWxX{|xX�7��������xX�L�r�r{|�����W�-�[�r��zW{|x1ª�S�?����}1�7��{|}1����xX{�~!�r{|x3�1xX�WxX{��r�����&w[�r{��7xX{/��}�����yW��xX��xX�7���w[�r�6�����1~|~����X�r�/�7u�¢3��}1�7��{|}1����xX{�~X� ¢L�&��~~�wW}r�����[xX��}r���w[�r�/�W}1�W�����WxN�r{/~����-zW���r����}1�[~!�X�r�(�[x%xN�1~�������y[xX{��Z}1{|��xN�z[~����W� �NÏ ����� Ï øQØ ª��r�[����w[�r�3�S�?� ��}1�7��{|}1����xX{�~��X�r� �[x����yW��xX��xX�7��xN�!}1�-��wWx2§0/;¢���������w-����������x�x���}1{|�?z[~����W�2��wWxùSä Ë��rÝ�É Ï � ä � ÷ ù Ø �� ÷ � �¢L�*}1{��7xX{���}Dy[xX{��Z}1{|� ��wWx=��}1�7��{|}1����xX{�����yW��xX��xX�W��|�r����}1�[~Xª���xvw[�N�1xvz[~�xN� ��wWx ([xX¡����W����������}r��xX{|xN� �7��NÏ ����� Ï øQØ ��wW���|wB}1�W��� {|xN�1zW��{|xN~%��wWx��}1�[~���{|z[������}1�B}r��7���[�r�������W��}7�|¶7~Q��}1�1xX��wWxX{�������w-��wWxX��{?���7��xX{���}1�W�WxN������}1�[~X�©W}1{���wWx;�W}1�W�����WxN�r{�~����-zW���r����}1�[~?}r�Q��wWx/����}�~�xN�7�L��}�}1y%~��7~����xX�%~����7�1}1�������W�B��wWxB�S©?u¥��}1�7��{|}1����xX{�~Xª/��x z[~�xN����wWx

":�

Page 11: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

�W��}7�|¶����7���r�1{��r� �1~�~�wW}r�������3��wWx;��x��Z���Lw[�r�[�%~����7x;}r�?©Q���1�zW{|x�":�7��¢L�2��}1�[~���~��|~�}r�?��wWx;�Z}1����}r�����W�/yW{|���[����y[�r�[�W��}7�|¶7~X�� ������� #;��wWx�W}1�W�����WxN�r{&~����-zW���r��}1{3�W��}7�|¶B}r�3§0/;¢���[�1~�xN��}1���":���L�|��":u��� ��� #���wWx�yW{|xX�LyW{|}7��xN~|~����W���W��}7�|¶��~/��}1��yWzW�����W�%{|xX��xX��r�r�7�S}1zW��yWzW�|~S��}1�[~���~������W��}r�W��wWx�~|�|wWxN�7zW��xN�2�r�r{|���r�W��x��J-�7�(�6����|ª���wWx%��xN�1~�zW{|xX��xX�7� ��� � �w�,[~������6r%,N�|ª�r�[���wWx��xN�1~�zW{|xX��xX�7�F& 9 ��� � )(*,+& r�.r� u�wWxN~�x�r�r{|���r�W��xN~��r{|x&�X�r����zW���r��xN��Z{|}1� ��wWx�r�r��zWxN~�}r� r%,�r�[��r�.;�7xX��xN����xN�3�7�%����}-xX�[��}7�7xX{�~X����� ��� #?��wW��~/�W��}7�|¶(��}1{|{|xN~�y[}1�[�W~;��}���wWx�7u�¢!y[�r{|�}r�;��wWx�S©?u=��}1�7��{|}1����xX{�~/�r�[���X�r�(�[x&�7xX�|�r����xN�(�1~�Z}1����}r�2~X�

�� Y �1� Y � Y ��� Y � Y ��QY � � Y � Y ��! Y � Y � �6��x1�

������w � Y �+,- ���)(*,+& r�.�0 J

.�/0 �0�QY � * �&�J�2 �W�r�[�%��wWx;�ZxXxN�7��[�1�|¶�{|xX���r����}1� 0 J � ��J�&�JQ�

*�}1�W�����WxN�r{2·����-zW���r����}1�

Demux

Demux

Pre−Proc

PP

*

Mul

Mux

Mux

rx’=Acx+Bcyu=Ccx+Dcy

LTISS

NonlinearSimulator

ADIP

��}1�7��{|}1����xX{�¢L��yW��xX��xX�7�|�r����}1�

Demux

Demux*

Mul

Mux

Mux

r

DA12

DA

CNT24

CNT

Pre−Proc

PP

x’=Acx+Bcyu=Ccx+Dcy

LTISS

©Q���1zW{|x ":� #��S©?uB��}1�7��{|}1����xX{·����������r{|���1ª7�1~�~�wW}r���%���3��wWx!{|���1w7���Lw[�r�[��~����7x2}r�?��wWx,[�1�zW{|x1ª1��wWx;�S©?u�~���{|z[����zW{|x���~��r��~�}!xN�1~������/����yW��xX��xX�7��xN�!}1���wWx-�ZyWw7�7~����X�r�Z��§0/;¢��(�7�-{|xXyW���1�����W�/��wWx;�W}1�W�����WxN�r{�~������zW���r��}1{Q�W��}7�|¶ ������� ������w-��wWx�¢ � 3 �7{|���1xX{S�W��}7�|¶7~ ��� �r�[�

��� �Wu�wWxX�3�����[xN��}1��xN~?�L�r��{|���%~���{��r���1w7���Z}1{|���r{��-��}��1xX�WxX{|��r��x���wWx�����}7�7x%�1~|~�}7�����r��xN��������w���wWx%�S©?u6��}1�7��{|}1����xX{N�u�wW��~)����}7�7x/��~2��wWxX�&�����W¶1xN�3��}3� %�zW�W�1xX���;zW���|��~�}1���1xX{z[~����W�-��wWx;�L�1������������xN~�}r�?��wWx ùSä Ë��rÝ�É Ï � ä � ÷ ù Ø �� ÷ � ��}��}1�[~�������zW��x&��wWx�7��~|��{|xX��xX�L������x&�S�?�*��}1�7��{|}1����xX{N� *�}1��x��w[�r����wWx&�7xN~����1�WxX{���}1��yW��xX��xX�����N�1}1���W~/��wWx&�7��~|��{|xX�����N�r�����}1�3yWw[�1~�x;���~�z[�|w3�-yW{|}7��xN�7zW{|x1�

*�}1�W�����WxN�r{2·����-zW���r����}1�

x’=Ac(t)x+Bc(t)yu=Cc(t)x+Dc(t)y

LTVSS

[Ak(p) Bk(p); Ck(p) Dk(p)]

PLPV

Mux

Muxrxc

Pre−Proc

PP2

NonlinearSimulator

ADIP

��}1�7��{|}1����xX{�¢L��yW��xX��xX�7�|�r����}1�

[Ak(p) Bk(p); Ck(p) Dk(p)]

PLPV

Mux

Muxrxc

Pre−Proc

PP2

DA12

DA

CNT24

CNT

x’=Ac(t)x+Bc(t)yu=Cc(t)x+Dc(t)y

LTVSS

©Q���1zW{|x " "�#��Q}1������}1yW���;��}1�7��{|}1����xX{©W}1{�y[}1������}1yW����S�?�*��}1�7��{|}1����xX{�~Xª���wWx{|xX��xX�r�r�7�3�7���r�

�1{��r�%~!�r{|x%��wW}�~�x%}r�;©Q���1zW{|x'" "r��¢L���1�W�7������}1���} ��������r�[� ��� ������w(��wWx~|�|wWxN�7zW��xN���r�r{|���r�W��x ��� �7����"�x1�|ª���xw[�N�1x;��wWx2�Z}1����}r�����W�-�WxX�B�W��}7�|¶7~X������� � #[��wWx-~�}1���1xX{��W��}7�|¶%}r����wWx/�7�^��xX{|xX�7�����r��xN�1z[�r�����}1�={|xX���r��xN�v��}v���1xX�WxX{��r�%�����WxN�r{������xX�L�r�r{|�����W��L�7u��!��~��7~���xX�

�� Y �1� Y��%$|� � Y ��� Y��%$|� � Y ��QY � � Y|�%$|� � Y ��! Y��%$|� � Y.� �6��z��

��wWxX{|x � Y � +- ���)(*,+& r�.� .0 ���QY � �;�� � � � � #���wW��~?�W��}7�|¶/��~Q}1�W���!�Z}1{���}1��yWzW�����W�;��wWx;~��|�r��xX�~�y[�1��x��W�r�|�2}r�[��wWx�y[}1������}1yW������}1�7��{|}1����xX{Q�r�?��wWx���zW{|�{|xX�7�%�r�r��zWx&}r�-��wWx�~|�|wWxN�7zW��xN���r�r{|���r�W��x �! �%$|�|ª;��xw[�N�1x * � @ � ? �%$|��� � @ � ? �%$|���

� @ � ? �%$|��� ! @ � ? �%$|��� 2" "

Page 12: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

� �! 9 ��� �%$|��! 9 �! � ��� �� ������ * � @ , � @ ,� @ , ! @ , 2� ��� ��� �

���� �%$|��9 �! �! 9 �! � ��� �� + ����

* � @ . � @ .� @ . ! @ .�2� ��� ��� + � �6��{��

�7u��!·W·

2

p

1

y 1

u

Mux

Mux

Mux

Mux1

stvmgain

S−Function

Demux

Demux

1/sIntegrator

���7u��

1

p*

Mul

*

Mul1

f(u)

p2

f(u)

p1

1

S

+

+

Sum

SaturationS0(:)

vetex1

S1(:)

vetex2

©Q���1zW{|x ": #��7u��!·W·%�r�[�3���7u��u�wWx ���[~����7x�}r�&��wWx �W��}7�|¶7~ ���� � �r�[� � � � � ��~(�7xX��|�r����xN�v��� ©Q���1zW{|x ":7� u�wWx��W��}7�|¶ ���� � ��~~�����yW�����wWx&������xX�L�r�r{|�����W���1xX{�~���}1��}r�/��wWx �� ��� �W��}7�|¶[��u�wWx� ���������������� �W��}7�|¶ �X�r����xN��� �������� ���� ��~%~�����yW������}1���yWzW�����W�-��wWx!�%�r��{|��¡��L�1xN����}1{�yW{|}7�7z[���|~����3��wWx!{|���1w7���Lw[�r�[�~����7xN~?}r���6��z��?�r�[�-��wWx;�7u���~��7~���xX�D�6��z��Q��~�{|xXyW{|xN~�xX�7��xN��7�%�r�zWyWy[xX{��S©?u �����wWx2�Z}1{|�* �� Y�QY 2 � 4)5"! * � YX�%$|� � YX�%$|�

� Y��%$|� ! YX�%$|� 2 � "��# * � Y� Y 2 � �6u����u�wWx � ���� �W��}7�|¶(��~%��}1��yWzW�����W�&��wWx�~��|�r��xX��~�y[�1��x�W�r�|�z[~����W� �6��{��|ª;��wW���|wB�r{|x&��wWxX�ByW{|}r�����7xN�(��}���wWx ���� ��W��}7�|¶%���3�1xN����}1{|���XxN���Z}1{|��

$ ^v°-­³&aN²±´N­�b&%h`('&)!¯+*1b��x�X�r��~�zW���%�r{|���Xx���wWx%{|xN~�zW���|~/}r�;��wWx��Z}1zW{-¶����[�W~/}r�~����7��wWxN~���~���xX��wW}7�W~��1~�~�wW}r���%���&uQ�r�W��x�"r�

~����7��wWxN~���~ � r , r%,(Y �-,£�¤ 7����x � ����$ �1~¦ �7� x�{ u���$ ����$ 7���1~�S©?u����S�?� �7� ��x u���$ u���$ 1~�Q}1�������S�?� �7� �� u���$ u���$ 1~

uQ�r�W��x "�#D�QxX{��Z}1{|�%�r�[��x����[�7xN��xN~&�Z}1{��7u�¢�r�[�v�S�?���xX��wW}7�W~u�wW��~�~�wW}r�2~���w[�r��xN�1�|w~����7��wWxN~���~���xX��wW}7�3�X�r���wWxX}1{|xX������X�r������~��|�r�W�������Xx2��wWx;}1y[xX{��r�����W�/{��r�W�1x�� 9 r , � r , �[�WzW��xX¡��y[xX{|����xX�7�|�r�����2�7}�~�x&� 9Nr%,(Y��-r%,(Yy�L�Q§2~��Z}1{S��wWx�¦���~����7��wWxN~���~Xª��x2}1�[~�xX{|�1x2~�}1��x����ry%�[xX����xXxX����wWx;����}!{��r�W�1x1ª���w[�r����~Xªr , � u���$-�r�[�r%,(Y � ����$r��u�wW��~2�%�N�&��}1��x/�Z{|}1����wWx�L�1���;��w[�r�2��x-�1�7}1yW��xN���wWx-�ryWyW{|}r¡����%�r��xN�3�%�r��wWxX�%�r������X�r����}7�7xX�[�Z}1{���wW{2§0/;¢��Q�[¢L�uQ�r�W��x "rª�-,����[�7���X�r��xN~���wWx~�xX���������W���-������x;�����wWx;xX¡�y[xX{|����xX�7�|~X���x��X�r���1�W�7{|xN~|~-��wWx�����y[}1{|�|�r�7�3��}1����xX�7�|~%�r�[}1zW���wWx/�7u�¢��r�[�3�S�?����xX��wW}7�W~��1~�~�wW}r���%���uQ�r�W��x�7�

~����7��wWxN~���~ ��}1����xX�7�|~£�¤ ��xN~|~�y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x

�WxXxN�W~�y[}1��x!��}1�[~���{��r���7�¦ }r�Z��xX�wW���1wWxX{�}1{��7xX{

�WxXxN�W~�y[}1��x!��}1�[~���{��r���7��S©?u����S�?� �W}��7��{|xN����y[}1��x/��}1�[~���{��r���7�

��{|xN�r�|~��1xX�WxX{��r�S�7xXy[xX�[�7xX�[��x�Q}1�������S�?� y[}1��x!��}1�[~���{��r���7�03 �

��{|xN�r�|~�}1�W���3�N�%�Wx;�7xXy[xX�[�7xX�[��xuQ�r�W��x& #+-xX{|���|~��r�[�-�7xX��xX{|���|~?���%�7u�¢Q�r�[���S�?� ��xX��wW�}7�W~��x�w[�N�1x�yW{|xN~�xX�7��xN���!��}1��yW{|xXwWxX�[~����1x��ryWyW�����X�r����}1�-}r��S�?�*��}1�7��{|}1�2��xN�|wW�W���1zWxN~%��}(��wWx��}1�7��{|}1�2}r�-�r���r{|����7{|���1xX�(���7�1xX{|��xN�y[xX�[�7zW��zW���u�wWx3y[�r{|������zW���r{-���7��xX{|xN~��}r�;��wW��~��ryWyW�����X�r����}1�(����xN~-������wWx%�L�1������w[�r�%�r�������W�1{|xN�7���xX�7�|~�}r�?��wWx!�7xN~����1�3yW{|}1�W��xX�vw[�N�1x;��}-�[x!�|�r¶1xX�3���7��}��1�����}1zW�7�Xª[�Z{|}1� ��wWx�~�y[xN���2,��X�r����}1�[~2zWy���}��wWx���}1�[~���{��r���7�|~���WwWxX{|xX�7����}-{|xN�r���L��}1{|���-����yW��xX��xX�7�|�r����}1�[~X�Q¢L�%��wW��~���}1�W���xX¡��XªW����w[�1~��[xXxX�~�wW}r������w[�r����zW{|{|xX�7�������N�r�r�����r�W��x2~����W���wWxN~���~���xX��wW}7�7}1��}1�1��xN~�~�z[�|w�1~�¦(�r�[�3�S�?�6��xN�|wW�W���1zWxN~�%�N�(�L�r���;��}�yW{|}r�����7x��1�X��xXyW�|�r�W��x��r�[~���xX{�~X� § �%�N¨�}1{}1�[~��|�1����x2��~�zW�[�7}1zW�W�����/��wWx2����yW��xX��xX�7�|�r����}1�%��}1�[~���{��r���7���w[�r�2yWzW�|~�w[�r{��3���������|�r����}1�[~�}1���wWx-��}1�7��{|}1����xX{2�7���[�r������X~X�Qu�wWxN~�xQ���������|�r����}1�[~��r{|x?�1xX�WxX{��r�����;�7�^�3��zW���[��}2w[�r�[�7��x������wW������wWxz[~�z[�r���Z}1{|�-zW���r����}1�(}r�/�S�?� ��}1�7��{|}1����xN�|wW��W���1zWxN~X��¢L�2w[�1~��[xXxX��~�wW}r���3��w[�r�;��~�zW���|�r�W��x!xX¡���xX�[~���}1�}r����wWxN~�x/��xN�|wW�W���1zWxN~2���[����z[�7���W�%�.-&¢�{|xX�1��}1�&��}1�7��{��r���7�|~}1�%��wWx!����}�~�xN�7�L��}�}1y3�7���[�r�����X~��r����}r�2~?��}-}r�1xX{���}1��x2��wW��~�7�^�3��zW�����1�i� wWxX�!����yW��xX��xX�7�|�r�W��x1ª����Sw[�1~��[xXxX�!}1�[~�xX{|�1xN���w[�r�;�S�?� ��}1�7��{|}1����xX{�~�}1zW��y[xX{��Z}1{|� ,[¡�xN�¦(��}1�7��{|}1����xX{�~�[}1��w(���({|}1�Wz[~����WxN~|~!�r�[�y[xX{��Z}1{|�%�r�[��x1�&u�wWxN~�x%}1�[~�xX{|��r�r����}1�[~���xX{|x!��}1� ,[{|��xN���7�%~����-zW���r����}1�[~?�WzW����}1{|x;�����y[}1{|�|�r�7�������7� ��7zW�-�[xX{%}r�/{|xN��}1{��W~�}1�B��wWx�yWw7�7~����X�r�xX¡�y[xX{|����xX�7�X�

":

Page 13: pierre.apkarian.free.frpierre.apkarian.free.fr/papers/AIAA98.pdf · 7xN~ 1 & W}1 W WxN r{! }1 7 {|}1 xX{ ~ w[ r

%h`Nc�`2¯�`;­³ `Gb����������� ��� �������� �������������������������! "��# �$"%&��� �'��)(���� ��*+����$��,�-/. 0�)-)1��.!�3242

� 53��*���*"���6 � ���0��170�)$3.98������)(��)-)�:����;�� �=<�� 8"���>$>���?:13���3� @��BA"C�1DA"C�1����,����EF "��# �$�*+����$��,�-/.G��� �,�����13��.�322H

� I3�����"JK�&L��"M ��N.&OK�"P!�&A+�)$>�Q�� �DR �"*��&%&����-)1�D "��S# 6��>$���1��>�����Q$�C�1UT!�,1��>13��(�1���E"�G�)V�13�WTX��>�'�1�$��,�)(�Y���S(�13�,$�������$,�U�� �KY�� '�����1�-)�)Z�13�G%&��� �'��)(��3.\[>]!]!]�^�_�`�a b3cd&e fhg�i ` f cXj g a f _3c�.�k�-/� O�*!S,IH�.\��� ���. � �N� 5l3S,I4

� m���R �N*��n%&����-)1��� �FOK�nTX��(�o3��>���� �QJK�npNC���6N�q "1�k��)1�r��EKPnMXA�s �3.&Pn�Ft�s �G�� �Wu!.KjXvKjxw+_�y�z�{ fhg a |K]!a�z}�`�aN~.� �N���355�3S��35I5�.\�322��

� l3�UOK��TX��(�o3��>�F�� �F<��\8+1�(�o�13���"��6 �� �>��$>�)(K��$��#��)-)�)Z3��$>�)�����E"TX��>�'�1�$��,�)(3��-)-��S>%&13� 1�� ��13��$KPN����13��������>$>13'��K6��>�����TX��>�'�1�$��,�)(3��-)-)��S,%&1�� 13� ��13��$9PN����13���.K%&��� �'��)(0M�1�13��S# ��(�o . d ~��`�a\����bFy:aB� g���e b f `�aN~9� g a\} y:a\��`�_9j g a f _ g }� � b f � i b�.�k�-/� %q��*!Shm�I�.\� �N� 523S,IH�.N�3225

� H3�UOK� TX��(�o3��>�N��<���������(�C�13� 6�-)������k����GPN����13���M �>��(�$>�)��� ��-An�>����,E/���>'K��$>�)�����3. � � b f cGj g a f _3c��N� f/f c�.qk�-/� 55�.U��� � 5�.� �N� �23S,25�.\�322�m

� �3��Tn�"Oq� o3��,������� �DTn�q<��C�����1�$3�0O�*+����k1�V7*"C ��>��(�S$>13�,�)Z3��$>�)������E!<�������S>��(�C�13� 6�-)13�GLq�B*+����$��,�-)-)13�,�3.N[>]!]!]^�_�`�a b3c d&e fhg�i ` f c�j g a f _3c�."k�-/� m���.&��� � l�.&� �N� 4lI3S,4H�m .�322l

� 43��Tn��Oq� o3��,����N. Tn�\<��C�����1�$3.\<�� 8+1�(�o�13���"��1�- E:S>��(�C�13� 6�-)13�Lq��*+����$��,�-0��EBPN����13���TX��>�'�1�$>13�hSh�+��,�������������,S$>13'��3�"O�%&1��>�)�����XV��'K��-)1. d&e fhg�i ` f y/��`.�k�-/� I��.n��� � 2� �N���35l���S��35H��.\�322l

� 23��Tn�WOq� o3��,����N.� q�WR �WOq� �'��3��Oq��k����(�13��<�������S��(�C�13� 6�-)�����&AN1�(�C ���)��6�1��nE/���nY���(�13�,$������������>$>13'��3.�[>]!]!]^�_�`�a b3c g axj g a f _ g } � � b f � i ^ ����{�a g } g z � .&$>�W�� � 13���.�3224

���3�3��*�����(�C�13�,13���X�G�)V�13�G� F3� �U�B*+����$��,�-/.X^�_>��aN~�b"y:aQj g a �f _ g }�� d ] e _ g�� ��`�aU�+��_�b � ��� f y:���3.�k�-�6 '�1���En$�C�1q��� 1�(�����-*+����$��,��# 6�$>�)����$>�K$�C�1��!*"*72l

�������*�����(�C�13�,13���!�G�)V�13��� F�� �U�B*+����$��,�-�E/���!PN����13��!TX��>�3S'�1�$��,�)(3��-)-)�;�+��,�������������>$>13'��3.0jXvKj��������+_�})��`�a b�|� d . � �N��I��3453S,I��34��.n�322l

���353�G<��"��(����,-)1�$>$>���� �0P!�+�X-/��<�C ����6��/��t,'K� �,��k13�0PN����13���F��$��,�)V9t,��1���6 ��-)�)$,�9*+��� ���)$>�)������E/���K<�������S>��(�C�13� 6�-)����� .jXvKjW�������+_�})��`�a b�|X� d . � �N� IH5H3S,IHI��.N�322l

���3I3�UOK��L&1�-�'�13�,�>�>���N� �G1�$�C�������E/���� "��# 6��>$�<�������S��(�C�13� 6�-)����� .KT!CN��%���A"C�1��>�)�3.�PN��� o����������7Y����)k13�,�>�)$,�.��r+13��13�N.\�322l

����m��U�+6N���"���&1��>$>13�,��kB�� �7OK���\�q�&13'����,��k���o�/��t,��$>13�,�)���Tn�����$DTn�-)������'�����-9�G1�$�C������0���=*+����k1�V;T!�,����>�'qS'������ �GA"C�1����,�W�� ��Oq� ��-)�)(3��$>�)�����3.&��thOq����$�6 ���)1��U���Oq� ��-)�)13�G�F��$�C�13'K��$>�)(��qk�-/���3I�.N��thOq��.\�322�m

���3l3�UP!���+�� ��13�># 13�,��C�1W�� �B�\�q8+�����N��T!�,��'K��- S,%�6 ��-GTn��S$>13��$>����-� "13� 6�(�$>�)���7�G1�$�C����WE/���GT!�,��#�-)13'��Qt,��k�-)k�������F��$��,�)V9t,��1���6 ��-)�)$>�)1��3.� Q` f { c!�!_ g z�_�` iKi y:a�z � ��_�y/��bUw".��� � H2�. � �N� 5�l3S,5IH�.N�322l

���3H3���\�\8+�����F�� �FP!�\�X-/�X<�C ����6��/�&�G1�$�C����G��E"*+13��$>13�,�&E/����G������'��)Z��:����<&13��13�>��-)�)Z�1��9�X�)�13��k���-�6�1��3.+�ny:aNc d } z�c+`�aN~d+��� } y/��c�.�k�-/���344�.\� �N� HI3S����.\�3225

���3�3�UTn�q<��C�����1�$��� �DOK���&13'����,��k���o�/�x<&13��13�>��- S,T!6 �>� ��>1Pn�Ft����-)k13�,�qr"�)$�C�8+13��(�C 'K��>o�3."jXvKj � `�a d a fhg a y g .� �N� I��3H53S,I��3Hl�.N�322I

���343�UTn�!<��C�����1�$U�� ��Tn�nOq� o3��,����N��O�PN����13��K�F��$��,�)V9t,��S1���6 ��-)�)$,�0Oq� � �,����(�C9$>�9Lq�¡*+����$��,�-/.�[>a f c&¢ c&� g���e b f`�aN~K� g a\} y:a\��`�_�j g a f _3c�.�k�-/� m .\� �N� m�5���Shmm�4�.N�322�m

���323�U���!*"C��)-���-)���� �9Tn�+<��C�����1�$3���U��%&1��>�)���Wr"�)$�CWTn�-)1TX-���(�13'�13��$Q*+�����>$��>������$>�3�9��0Pn�Ft�Oq� � �,����(�CN.&[>]!]!]^�_�`�a b3c d&e fhg�i cnj g a f _�}�c�.k�-/��m �.�I�.�� �N�Il43S,IH��.\�322H

� 5�3��<��+<���,(����9�� �W%��XOq�,Z�1�-)�)13�G�� �WR �!%���3E/��6�ZF�� �9R �8+13�>��6��>�>��6N�UOq�9Pn�Ft�M����>'�6�-���$>�)���9E/���K "��# 6��>$K%&�)��oTn�-)1"O��>�>�)��� '�13��$Xk�����£�6�$�� 6�$nM�1�13� # ��(�o .�[>¤ d j7¥ g _�}�~j g a�z�_>��b�b�.\�����M �>����>�)�>(�� .X�322H

� 5����UA��!thr"�����o���� �9 q�!�"�+��o�1�-)$>���N�GO�-)-&*+����$��,�-)-)13�,�UE/���$�C�1G<&13��13�>��-"�U�=*+����$��,�-+T!�,��#�-)13'���Pn�Ft��XV��)�>$>13��(�1*+��� ���)$>�)�����q�� �F��$���$>1K��� ��(�1�M����>'�6�-����3. d&e fhg�i ` f y/��`.k�-/� I��.\��� � 4�. � �N���3I��3S��3I��3��.\�322�m

� 553��<�� R � 8"��-����3. R � *�� %&����-)1. JK�)<&-)��k13��. OK� TX��(�o3��>�N. q�)��'��)$�CN�Qu\ShOq� ��-)���>�)�Q�� �D������$�C�1��>�)�GAN���-�# ��V\.qA"C�1�F��$�C�Q���>o�3.n�322I

� 5I3�UTn�)<��C�����1�$3.�OK� �&13'����,��k���o�/.=OK� R � Pn�6 #N.x��� *"C��)-���-)�/�Pn�Ft+*+����$��,�-nAN���-�# ��V\.NA"C�1q�F��$�C�Q���>o�3.n�322l

":�